【优化探究】高三数学(文)高考二轮复习练习:3.3推理论证能力(含答案)
高考数学二轮复习第三部分能力篇专题三推理论证能力课件理
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试题(shìtí解) 析(jiě
[例 3] (类比推理拓展新知识)已知 P(x0,y0)满足 x20-y20>1,过点 P 作一直线与双曲线 x2-y2=1 的图象相交且仅有一个公共点,则该 直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角π4或34π;类比此思 想,已知 P(x0,y0)满足 3x20-x0y0>1,过点 P 作一直线与函数 3x2 -xy=1 的图象相交且仅有一个公共点,则该直线的倾斜角为 ___π3_或__π2____.
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能力2
能力1
能力2
能力3 能力4
归纳、类比(lèibǐ)和演绎推理
试题(shìtí解) 析(jiě
[例 2] (归纳推理发现一般结论)如图是按一定规律排列的三角形等式
表,现将等式从左到右,从上到下依次编上序号,即第 1 个等式为 20+
21=3,第 2 个等式为 20+22=5,第 3 个等式为 21+22=6,第 4 个等式
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能力 (nénglì)1
能力1 能力2
能力3
能力4
试题(shìt解í)析(jiě
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x+2mx=1+2xmx2, 当 m≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当 m<0 时,令 f′(x)=0 得 x= -21m.
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能力 (nénglì)3
能力(nénglì)1
能力(nénglì)2
能力3
当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形 式出现时,宜用反证法来证.
能力4
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能力4
数学(shùxué) 归纳法
高考语文二轮复习高中语文逻辑推断知识点及练习题及解析
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高考语文二轮复习高中语文逻辑推断知识点及练习题及解析一、高中语文逻辑推断1.下面文段有三处推断存在问题,请参考①的方式,说明另外两处问题。
2017年,消费者权益保护协会收到有关网购的投诉量同比翻了一番。
这些消费是在网上发生的,所以,没有有效的解决办法。
火爆的网上促销活动致使商家服务和商品质量存在大量的问题。
老年人不熟悉网络操作,就会落入购物欺诈陷阱中。
在此,消费者协会提醒广大网民,选择知名厂商,选择货到付款等方式可在一定程度上减少网购纠纷的发生。
①网上消费不一定没有有效的解决办法。
②________。
③________。
2.下面文段有三处推断存在问题,请参考①的方式,说明另外两处问题。
最近,由于“博物馆”一词成为热搜,兴起了一股“文物热”。
许多年轻人将参观博物馆视为生活中不可或缺的一部分,这带动了博物馆衍生产业的发展,多数博物馆必将实现盈利,我国迎来了文化产业全面发展的春天。
①“‘博物馆’一词成为热搜”并非“兴起‘文物热’”的原因。
②________③________3.下面文字有三处推断存在问题,请参照①的方式,说明另外两处问题。
共享单车让短途出行更加方便,有了它,大家都不用再挤地铁或公交了。
共享单车减少了汽车的使用量,让我们的生活变得更加绿色环保,有了它,就不会再有空气污染。
在满足人们安全、快捷、舒适出行的同时,共享单车还成为治疗城市拥堵“癌症”的一剂猛药,有了它,城市特别是大城市的交通拥堵消失了。
①有了它,大家不一定不用再挤地铁或公交。
②________③________4.下面文段有三处推断存在问题,请参照①的方式,说明另外两处问题。
沉溺于抱怨,只会驱走身旁的朋友,可见,一味地抱怨只会让自己更孤单。
所以,我们要尽可能管住自己的情绪。
不抱怨,我们的心情就会很晴朗。
心情美丽舒适了,无论做什么事情都能够成功,那么,我们的人生幸福指数就会很高。
①不是不抱怨,我们的心情就会很晴朗。
②________。
高考数学二轮复习推理与证明专题训练习题(含答案解析)
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高考数学二轮复习专题训练:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用反证法证明命题“a b ∈N ,,如果ab 可被5整除,那么a ,b 至少有1个能被5整除.则假设的内容是( ) A .a ,b 都能被5整除B .a ,b 都不能被5整除C .a 不能被5整除D .a ,b 有1个不能被5整除 【答案】B2.设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( ) A . 21(2)2n f n +≥ B . 2(2)2n n f +≥ C . 22()2n f n +≥ D .以上都不对 【答案】B3.用反证法证明命题“若022=+b a ,则b a ,全为0”其反设正确的是( )A .b a ,至少有一个不为0B . b a ,至少有一个为0C . b a ,全不为0D . b a ,中只有一个为0 【答案】A4.给出下面四个类比结论:①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ;类比向量,,若0=⋅,则=或= ②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量2a =;类比复数z ,有22z z =④实数b a ,有022=+b a ,则0==b a ;类比复数z ,2z 有02221=+z z ,则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A .0B .1C .2D .3 【答案】B 5.若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足:①(,)f x x x =,②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+,则(12,16)f 的值是( )A .12B . 16C .24D .48【答案】D6.用反证法证明命题:“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根,那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时,应假设( )A .c b a ,,中至多一个是偶数B . c b a ,,中至少一个是奇数C . c b a ,,中全是奇数D . c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C 7.由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与b a之间大小关系为( ) A .相等B .前者大C .后者大D .不确定 【答案】B8.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角,则180A B ∠+∠=︒.B .由平面三角形的性质,推测空间四面体性质.C .某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班都超过50人.D .在数列{}n a 中,()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭,由此归纳出{}n a 的通项公式. 【答案】A9.在求证“数列2, 3, 5,不可能为等比数列”时最好采用( ) A .分析法B .综合法C .反证法D .直接法【答案】C 10.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A .三角形B .梯形C .平行四边形D .矩形【答案】C11.给出下列四个推导过程:①∵a ,b∈R+, ∴(b /a )+(a /b )≥2=2; ②∵x ,y∈R+,lgx+lgy ≥2;a ∈R ,a ≠0, ∴(4/a )+a ≥2=4; x ,y R ,xy <0,(x /y )+(y /x )=-[(-(x /y ))+(-(y /x ))]≤-2=-2. 其中正确的是( )A .①②B .②③C .③④D .①④ 【答案】D12.在证明命题“对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=”的过程:“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A .分析法B .综合法C .分析法和综合法综合使用D .间接证法 【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.观察下列式子:213122+<,221151+234+<, 222111712348+++<⋅⋅⋅,由此可归纳出的一般结论是 .【答案】14.三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真,则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,,【答案】②15.若a 、b 是正常数,a ≠b ,x 、y ∈(0,+∞),则a2x +b2y ≥,当且仅当a x =b y时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=4x +91-2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0,12的最小值为____________. 【答案】3516.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M N ,分别是AB PC ,的中点.求证:(1)MN ∥平面PAD ;(2)MN CD ⊥.【答案】(1)取PD 的中点E ,连结AE NE ,.N E ,∵分别为PC PD ,的中点.EN ∴为PCD △的中位线,12EN CD∥∴,12AM AB =,而ABCD 为矩形, CD AB ∴∥,且CD AB =.EN AM ∴∥,且EN AM =.AENM ∴为平行四边形,MN AE ∥,而MN ⊄平面PAC ,AE ⊂平面PAD ,MN ∴∥平面PAD .(2)PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面,CD PA ⊥∴,而CD AD ⊥,PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线,CD ⊥∴平面PAD ,而AE ⊂平面PAD ,AE CD ⊥∴.又MN AE ∵∥,MN CD ⊥∴.18.若,x y 都是正实数,且2,x y +> 求证:12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12y x +<都不成立,则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立, 因为0x >且0y >,所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加,得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ,这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19.有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ;如5→5+12=3,即e 变成c. ①按上述规定,将明文good 译成的密文是什么?②按上述规定,若将某明文译成的密文是shxc ,那么原来的明文是什么?【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ; h →8→2×8-1=15→o ;x →24→2×24-26=22→v ; c →3→2×3-1=5→e故密文shxc 的明文为love 20.已知a 是整数,2a 是偶数,求证:a 也是偶数.【答案】(反证法)假设a 不是偶数,即a 是奇数.设21()a n n =+∈Z ,则22441a n n =++.24()n n +∵是偶数,2441n n ++∴是奇数,这与已知2a 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a 一定是偶数.21)a b c ++.【答案】因为222a b ab +≥,所以22222()2a b a b ab +++≥(此处省略了大前提),所以)b a b ++(两次省略了大前提,小前提),同理,)b c +)c a +,三式相加得)a b c ++.(省略了大前提,小前提)22.设 f(x)=x 2+a. 记f 1(x)=f(x),f n (x)=f(f n -1(x)),n =1,2,3,…,M ={a ∈R|对所有正整数n ,||f n (0)≤2}.证明,M =[-2,14]. 【答案】⑴ 如果a <-2,则||f 1(0)=|a|>2,a ∈/M . ⑵ 如果-2≤a ≤14,由题意,f 1(0)=a ,f n (0)=(f n -1(0))2+a ,n =2,3,…….则 ① 当0≤a ≤14时,||f n (0)≤12,(∀n ≥1). 事实上,当n =1时,||f 1(0)=|a|≤12,设n =k -1时成立(k ≥2为某整数), 则对n =k ,||f k(0)≤||f k -1(0)2+a ≤(12)2+14=12. ② 当-2≤a <0时,||f n (0)≤|a|,(∀n ≥1).事实上,当n =1时,||f 1(0)≤|a|,设n =k -1时成立(k ≥2为某整数),则对n =k ,有 -|a|=a ≤()f k -1(0)2+a ≤a 2+a注意到当-2≤a <0时,总有a 2≤-2a ,即a 2+a ≤-a =|a|.从而有||f k (0)≤|a|.由归纳法,推出[-2,14]⊆M . ⑶ 当a >14时,记a n =f n (0), 则对于任意n ≥1,a n >a >14且a n +1=f n +1(0)=f(f n (0))=f(a n )=a n 2+a . 对于任意n ≥1,a n +1-a n =a n 2-a n +a =(a n -12)2+a -14≥a -14.则a n +1-a n ≥a -14. 所以,a n +1-a =a n +1-a 1≥n(a -14).当n >2-a a -14时,a n +1>n(a -14)+a >2-a +a =2, 即f n +1(0)>2.因此a ∈/M .综合⑴,⑵,⑶,我们有M =[-2,14]。
高三推理与证明复习题及答案
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高三推理与证明复习题及答案Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8通州高级中学高三数学周练(推理与证明)1 若等差数列 {}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++,则p =_______,首项1a =_______;公差d =_______3,5,6---211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-,其常数项为0,即30,p += 3p =-,2211132(),3,6,2,52222n d d d dS n n n a n d a a =--=+-=-=--=-=-2 若lg lg 2lg(2)x y x y +=-,则_____xy= 2 4 2222lg()lg(2),(2),540,,4xy x y xy x y x xy y x y x y =-=--+===或而20,444x y x y >>∴== 3 设221)(+=xx f ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________3()(1)xf x f x +-==2x x =+==(5)(4)(0)(5)(6)[(5)(6)][(4)(5)]...[(0)(1)]6f f f f f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=-++-++++== 4 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称,则.______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f4 0 (0)0,(1)(0)0,(2)(1)0,(3)(2)0f f f f f f f ====-==-=(4)(3)0,(5)(4)0f f f f =-==-=,都是05 设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________5 0 ''()()()()()()(),()()()f x x b x c x a x c x a x b f a a b a c =--+--+--=--,''()()(),()()()f b b a b c f c c a c b =--=--,///()()()()()()()()()a b c a b cf a f b f c a b a c b a b c c a c b ++=++------ ()()()0()()()a b c b a c c a b a b a c b c ---+-==---6 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===,则x y z ++ 897 从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________7 2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项8 已知实数0≠a ,且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-,则a =__________8 1 21()2f x ax x a a =-+-有最小值,则0a >,对称轴1x a=,min 1()()1f x f a ==-即2211112()()20,1,20,(0)1f a a a a a a a a a a a a=⋅-⨯+-=-=-+-=>⇒=9 已知b a ,是不相等的正数,b a y b a x +=+=,2,则y x ,的大小关系是_________9 x y < 22222()22a b y a b x +==+=>= 10 若正整数m 满足m m 102105121<<-,则)3010.02.(lg ______________≈=m10 155 *512lg 2512lg 21,154.112155.112,,155m m m N m <<+<<∈=11 若数列{}n a 中,12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =11 1000 前10项共使用了1234...1055+++++=个奇数,10a 由第46个到第55个奇数的和组成,即1010(91109)(2461)(2471)...(2551)10002a +=⨯-+⨯-++⨯-==12 若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞,则k 的范围是____ (1 13 )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f , 经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ,推测当2≥n 时,有__________________________ 2(2)2n n f +>14 若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ,记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=,试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值,推测出.________________)(=n f 2()22n f n n +=+三、解答题1 已知:23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin 5sin 222=++通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明1 解: 一般性的命题为2223sin (60)sin sin (60)2ααα-+++=证明:左边001cos(2120)1cos 21cos(2120)222ααα----+=++003[cos(2120)cos 2cos(2120)]232ααα=--++-=所以左边等于右边1 观察(1)000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=(2)000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= 由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论1 若,,αβγ都不是090,且090αβγ++=,则tan tan tan tan tan tan 1αββγαγ++=3 ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列,求证:cb ac b b a ++=+++311 3 证明:要证原式,只要证3,1a b c a b c c aa b b c a b b c +++++=+=++++即即只要证2221,bc c a abab b ac bc +++=+++而02222,60,A C B B b a c ac +===+- 222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a abab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++∴===+++++-+++++4 已知c b a ,,均为实数,且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ,求证:c b a ,,中至少有一个大于04 证明:假设c b a ,,都不大于0,即0,0,0a b c ≤≤≤,得0a b c ++≤,而222(1)(1)(1)330a b c x y z ππ++=-+-+-+-≥->, 即0a b c ++>,与0a b c ++≤矛盾, ,,a b c ∴中至少有一个大于017 (本小题满分12分)已知向量),(11=m ,向量,n 与向量m 的夹角为43π,且n m ⋅=-1(1)求向量n ;(2)设向量a =(1,0),向量2cos 2cos 32x b x π=-(,()),其中0<x <32π,若n a ⋅=0,试求|n b +︱的取值范围、17 (1)令()n x y =,,则⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+143cos 2122πy x y x 即∴⎩⎨⎧=+-=+1122y x y x ⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧-==10y x ,故()10n =-,或()01n =-, (2)()10a =,0n a ⋅=()01n ∴=-, 22cos 2cos 1cos cos 323x n b x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,, 故22241cos 2221cos 23cos cos 322x x x n b x x ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+-=+⎪⎝⎭=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-++x x x x 23cos 2cos 211234cos 2cos 211ππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+x x x x x 2sin 232cos 212112sin 232cos 212cos 211 =⎪⎭⎫⎝⎛++32cos 211πx0 <x <32x3π∴<32π+x <35π则-1≤⎪⎭⎫⎝⎛+32cos πx <21∴21≤2n b +<45 故22≤n b +<18 (本小题满分12分)设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图像关于原点对称,)(x f 的图像在点),1(m p 处的切线的斜率为-6,且当2=x 时)(x f 有极值(1) 求a 、b 、c 、d 的值;(2) 若1x 、[]1,12-∈x ,求证:︱()21)(x f x f -︱≤344 18 (1))(x f y = 的图象关于原点对称,∴由)()(x f x f -=-恒成立有0==d b则c ax x f cx x a x f 44323+=+=)(,)( 又0261=-=)(,)(f f∴⎩⎨⎧=+-=+04464c a c a ⇒⎩⎨⎧-==22c a 故0,2,0,2=-===d c b a(2)x x x f 832)(3-= [])(1,1)2)(2(282)(2x f x x x x x f 时当-∈∴+-=-=<0,)(x f 在 [-1,1]上递减而[]111,-∈x ∴)(1f ≤)(1x f ≤)(1-f 即322-≤)(1x f ≤322∴)(1x f ≤322同理可得)(2x f ≤322∴)()(21x f x f -≤)(1x f +)(2x f ≤344故)()(21x f x f -34422 (本小题满分14分)已知正项数列{}n a 和n b 中,a 1 = a (0<a <1=,a b -=11 当n ≥2时,21111----==n n n n n n a b b b a a , (1) 证明:对任意,*N n ∈有1=+n n b a ; (2) 求数列{}n a 的通项公式;记n n nn S b a c ,12+=为数列{}n c 的前n 项和,求n S 的值 22 (1)证明:用数学归纳法证明① 当n=1时,a 1+b 1=a+(1-a )=1,命题成立:②假设n=k (k ≥1且*N k ∈)时命题成立,即a k +b k =1,则当1+=k n 时,111+++=+k k k k b a b a =()111111222==-=-+=-+-kk k k kk k kkkkk b ba b a a b a b a b a∴当1+=k n 时,命题也成立 综合①、②知,1=+n n b a 对*N n ∈恒成立(2)解;∵(),nn nn n nnn n n n a a a a a a b a b a a +=--=-==++11112211∴11111+=+=+n n n n a a a a ,即1111=-+n n a a ③ ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是公差为1的等差数列,其首项是,a a 111=∴()1111⨯-+=n a a n ,从而()an aa n 11-+= (3)解:∵()1112+++===n n n n n n nn a a b a a b a c , ③式变形为11++-=n n n n a a a a , ∴1+-n n n a a c ,∴()()()naaa a a a a a a a a c c c S n n n n n +-=-=-++-+-=+++=++1111322121∴a na a a S n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→1lim lim。
【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)
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【高三】高三数学不等式推理与证明测试(含答案)【高三】高三数学不等式、推理与证明测试(含答案)2022高三三章数学题综合测试题(11)不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)1.如果a、B、C∈ 如果已知R,那么下列命题中正确的一个是()a.若a>b,则ac2>bc2b.若ac>bc,则a>bc、如果A3>B3,ab<0,则1A>1BD。
如果A2>B2,ab>0,则1A<1b解析 c 当c=0时,可知选项a不正确;当c<0时,可知b不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;当a<0且b<0时,可知d不正确.2.如果设置a={XX-2≤ 3,X∈ r} ,B={YY=1-x2,X∈ r} ,然后∩ B=()a.[0,1]b.[0,+∞)c、 [-1,1]d。
解析 c 由x-2≤3,得-1≤x≤5,即a={x-1≤x≤5};b={yy≤1}.故a∩b=[-1,1].3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”。
验证n=1时,左边计算的公式为()a.1b.1+2c、 1+2+22d.1+2+22+23解析 d 当n=1时,左边=1+2+22+23.4.如果x,y,Z∈ R+已知,且XYZ(x+y+Z)=1,(x+y)(y+Z)的最小值为()a.1b.2c、 3d.4解析 b ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y×1xyz+xz=1xz+xz≥21xzxz=2,当且仅当xz=1,y(x+y+z)=1时,取“=”,∴(x+y)(y+z)in=2。
5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )a、 2ab-1-a2b2≤0b.a2+b2-1-a4+b42≤0c.a+b22-1-a2b2≤0d.(a2-1)(b2-1)≥0分析d,因为A2+b2-1-a2b2≤ 0(A2-1)(b2-1)≥ 0,选择D6.对于平面α和共面的直线、n,下列命题为真命题的是( )a、如果⊥ α,⊥ n、然后n‖αb.如果‖α,n∥ α、然后‖nc.若α,n∥α,则∥nd.若、n与α所成的角相等,则∥n解析C对于平面α和共面直线,N,真命题是“如果”α,N∥ α、然后“n”7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+3<1对于一切实数都成立,则k的取值范围是( )a、(-∞,+∞)b、(1,3)c.(-∞,3)d.(-∞,1)∪(3,+∞)分析B∵ 4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥ 34,∴不等式等价于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,也就是说,对于任何x,2x2+(6-2k)x+3-K>0是常数,∴δ=(6-2k)2-8(3-k)<0,∴1<k<3.8.让函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f()<0,则f(+1)的符号为()a.f(+1)≥0b.f(+1)≤0c、 f(+1)>0d.f(+1)<0解析 c ∵f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,‡从F()<0,-1<0,‡+1>0,‡F(+1)>F(0)>09.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )a、 2b.22c.4d.5分析C∵ a>0,b>0,∵ 1A+1b+2Ab≥ 21ab+2Ab≥ 4,当且仅当a=b=1时取等号,∴1a+1b+2abin=4.10.不等式log2x(5x-1)>0的一个充要条件是()a.x>12b.15<x<25或x>12c、 15<x<1D。
高考数学(理)二轮专题练习:推理与证明、复数、算法(含答案)
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推理与证明、复数、算法1.推理方法(1)合情推理合情推理是依据已有的事实和正确的结论 (包含定义、公义、定理等 ),实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推断某些结果的推理过程,概括和类比是合情推理常有的方法,在解决问题的过程中,合情推理拥有猜想和发现结论、探究和供给思路的作用,有益于创新意识的培育.S△PA′B′ PA′·PB′[问题 1]图1有面积关系:S△PAB=PA·PB,则图2有体积关系:________.V P-A′B′C′ PA′·PB′·PC′答案V P-ABC =PA·PB·PC(2)演绎推理演绎推理是指假如推理是从一般性的原理出发,推出某个特别状况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理的一般模式是“三段论”,包含:①大前提;②小前提;③结论.2.证明方法(1)直接证明①综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论建立,这种证明方法叫综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法.②剖析法一般地,从要证明的结论出发,逐渐追求使它建立的充足条件,直至最后,把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件 (已知条件、定义、定理、公义等 ),这种证明方法叫剖析法.剖析法又叫逆推法或执果索因法.(2)间接证明——反证法一般地,假定原命题不建立,经过正确的推理,最后得出矛盾,所以说明假定错误,进而证明原命题建立,这种证明方法叫反证法.(3)数学概括法一般地,证明一个与正整数n 相关的命题,可按以下步骤进行:① (概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时命题建立;(n② (概括递推 )假定 n= k (k≥n0,k∈N* )时命题建立,证明当n= k+ 1 时命题也建立.只需达成这两个步骤,就能够判定数题对从n0开始的全部正整数n 都建立.上述证明方法叫做数学概括法.[问题2]用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时,应假定________________________________________________________________________ .答案三角形三个内角都大于60°3.复数的观点关于复数 a+ bi(a,b∈R),a 叫做实部, b 叫做虚部;当且仅当b=0时,复数 a+ bi(a,b∈R )是实数 a;当 b≠0时,复数 a+ bi 叫做虚数;当a= 0 且 b≠0时,复数a+bi 叫做纯虚数.[问题 3]若复数 z= lg(m2- m- 2)+ i ·lg(m2+3m+3)为实数,则实数m 的值为 ________.答案- 24.复数的运算法例与实数运算法例同样,主假如除法法例的运用,此外复数中的几个常用结论应记熟:(1)(121+ i= i ;1- i=- i ; (3)i4n= 1; i4 n+14n+2=- 1; i4n+ 34n4n+ 1i)±=±2i; (2)1+ i = i ; i=- i ; i+ i1- i+ i 4 n +2 4 n+3 1 30232+ i= 0; (4)设ω=-±2i ,则ω=1;ω=ω;ω= 1; 1+ω+ω=0.2[问题 4]已知复数 z=1-3i, z 是 z 的共轭复数,则 | z |= ________.3+ i答案15.算法(1)控制循环构造的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这种题目时第一要弄清楚这两个变量的变化规律,其次要看清楚循环结束的条件,这个条件由输出要求所决定,看清楚是知足条件时结束仍是不知足条件时结束.(2)条件构造的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的,此中没有遗漏也没有重复,在解题时对判断条件要认真鉴别,看清楚条件和函数的对应关系,对条件中的数值不要遗漏也不要重复了端点值.[问题 5]履行以下图的程序框图,假如输出a=341,那么判断框中能够是()A . k<4?B . k>5?C. k<6? D . k<7?答案C分析依据程序框图,第一次循环,a=0+ 1= 1, k= 1+ 1=2;第二次循环,a=4×1+ 1=5, k= 2+ 1= 3;第三次循环,a=4×5+ 1=21, k= 3+1= 4;第四次循环,a=4×21+ 1= 85, k= 4+ 1= 5;第五次循环,a=4×85+ 1= 341, k=5+ 1= 6.要使输出的a= 341,判断框中能够是“k<6?”或“k≤5?”.应选 C.易错点 1 复数的观点不明致误例 1 若 z= sin θ-3+ cos θ-4i 是纯虚数,则tan θ-π的值为 () 554A.-7 B . 711C.-7D.-7 或-7找准失分点此题常有的错误主要有两点:一是混杂复数的相关观点,忽略虚部不为0 的限制条件,错得34sin θ=, cos θ=±,致使错选 D.二是记错两角差的正切公式,致使计算有误.55正解由 z 为纯虚数,知sin θ-3= 0,且 cos θ-4≠ 0. 5534sin θ3则 sin θ=,进而 cos θ=-.所以 tan θ==-.55cos θ4ππ -3- 1∴ tan θ- =tan θ-tan 4 =4 =- 7. 43π1+ tan θ·tan 41- 4答案A易 点 2 循 次数掌握禁止致例 2行下 的程序框 ,若 p = 0.8, 出的 n =________.找准失分点 简单堕入循 运算的 “黑洞 ”,出 运算次数的误差而致 .正解着框 箭 的走向列 出相关的 出数据,有1 = 1 1 1 3 3 1S : 0+, + 2 , + 32 2 22 = 4 4 2 = 0.875,n: 2,3, 4.“0.875<0.8 ”判断 “否 ”, 出 n = 4.答案4易 点 3 数学 法未用 假 致例 3用数学 法 明等差数列的前n 和公式 S n = na 1+n n -d(n ∈ N + ).2解① 当 n = 1 , S 1= a 1,等式建立.② 假 n = k(k ∈ N + ,k ≥1) ,等式建立,1即 S k =a 1k + 2k(k - 1)d.当 n = k + 1 , S k +1= a 1+ a 2+ a 3+ ⋯+ a k +a k + 1= a 1+ (a 1+ d)+ (a 1+ 2d)+ ⋯ +[a 1+ (k - 1)d] +(a 1+ kd) = (k + 1)a 1+ (d +2d + ⋯ +kd)1= (k + 1)a 1+ 2k(k + 1)d1= (k + 1)a 1+ 2(k + 1)[(k + 1)- 1]d ,即当 n =k + 1 ,等式建立.由 ①② 知,等式 随意的正整数n 都建立.找准失分点本 的 因在于从 n =k 到 n = k +1 的推理中,没实用到 假 .正解① 当 n = 1 , S 1= a 1,等式建立.② 假 n = k(k ∈ N + ,k ≥1) ,等式建立,1即 S k =a 1k + 2k(k - 1)d.当 n = k + 1 , S k +1 = a 1 +a 2+ ⋯ + a k + a k + 11= S k +a k +1= a 1k + 2k(k - 1)d + a 1+ kd= (k + 1)a 1+ 1(k + 1)[(k + 1)- 1]d2 即当 n =k + 1 ,等式建立.由 ①② 知,等式 随意的正整数n 都建立.1. (2014 ·安徽 ) i 是虚数 位, z 表示复数 z 的共 复数.若z+ i ·z 等于 ()z = 1+ i , iA .- 2B .- 2iC . 2D . 2i 答案 Cz 1+ i- i 2+ i分析 ∵ z = 1+ i , ∴ z = 1- i , i = i =i=1- i ,∴ z+ i ·z = 1- i + i(1 - i) = (1- i)(1 + i) = 2. i故 C.2. (2014 ·福建 ) 如 所示的程序框 ,运转相 的程序, 出的 S 的 等于 ( )A .18B . 20C . 21D .40答案 B分析由 意,得S = 0, n = 1;S = 0+ 2+ 1= 3<15,n =2; S = 3+ 22+ 2= 9<15, n = 3;S =9+ 23+ 3= 20, n = 4,因 20≥15,所以 出S.故 B.3.复数 z 知足 (- 1+ i) z = (1+ i) 2,此中 i 为虚数单位, 则在复平面上复数z 对应的点位于 ()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 D分析(- 1+ i) z = (1+ i) 2= 2i ,+=- i(i + 1)= 1-i ,则 z = 2i=i - 1-+所以复数 z 在复平面上对应的点为 (1,- 1),则这个点位于第四象限.4. i 为虚数单位,复数1+ ai为纯虚数,则实数 a 等于 ()2+ iA .-2B .- 131C.2D . 2答案A1+ ai+ a - + a+a -2+ a= 0,且分析 因为 2+ i =+-=5为纯虚数,所以5 2a - 1≠0即 a =- 2. 55.(2014 北·京 )学生的语文、 数学成绩均被评定为三个等级, 挨次为 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且此中起码有一门成绩高于乙,则称 “学生甲比学生乙成绩好 ”.假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生,那么这组学生最多有 ()A .2 人B .3 人C .4人D .5 人 答案 B分析假定知足条件的学生有 4 位及 4 位以上,设此中4 位同学分别为甲、乙、丙、丁,则4位同学中必有两个人语文成绩同样,且这两个人数学成绩不同样(或 4 位同学中必有两个数学成绩同样,且这两个人语文成绩不同样),那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满 足条件的学生不可以超出3 人.当有 3 位学生时,用 A , B , C 表示 “优异 ”“合格 ”“不合格 ”,则 知足题意的有 AC , CA ,BB ,所以最多有 3 人.6. (2014 ·山东 )用反证法证明命题: “设 a , b 为实数,则方程 x 3+ax + b = 0 起码有一个实根 ”时,要做的假定是 ( )A .方程 x 3+ ax + b = 0 没有实根B .方程 x 3+ ax + b = 0 至多有一个实数C .方程 x 3+ ax + b = 0 至多有两个实根D .方程 x 3+ ax + b = 0 恰巧有两个实根答案A分析方程 x 3+ ax + b = 0 起码有一个实根的反面是方程x 3+ ax +b = 0 没有实根,故应选 A.7.若复数 z 1= 4+ 29i , z 2= 6+ 9i ,此中 i 是虚数单位,则复数 (z 1- z 2)i 的实部为 ________.答案- 20分析(z 1- z 2)i = (- 2+ 20i)i =- 20- 2i ,故 (z 1-z 2)i 的实部为- 20.8. (2014 ·江苏 )已知复数 z = (5+ 2i)2(i 为虚数单位 ),则 z 的实部为 ________.答案 21分析因为 z = (5+ 2i)2= 25+ 20i + (2i) 2= 25+20i -4= 21+ 20i ,所以 z 的实部为 21.x 2 y 29.椭圆与双曲线有很多优美的对偶性质,如关于椭圆有以下命题:AB 是椭圆 a 2 + b 2= 1(a>b>0)2的不平行于对称轴且可是原点的弦,M 为 AB 的中点,则 k OM ·k AB =- b2.那么关于双曲线则有ax 2 y 2以下命题: AB 是双曲线 a 2 - b 2= 1(a>0, b>0) 的不平行于对称轴且可是原点的弦, M 为AB 的中点,则 k OM ·k AB = ________.2答案 ba 2分析设 A(x 1, y 1),B(x 2, y 2) ,M (x 0, y 0),x 0= x 1+ x 22 ,则有y 1+ y 2y 0=2 .将 A , B 代入双曲线 x 2 y 2=1 中得2 - 2a b x 12 y 12 x 22 y 22a 2-b 2= 1, a 2 -b 2 =1,两式相减得x 12- x 22 y 12- y 222 =2 ,abx 1- x 2x 1+ x 2即a2y 1- y 2 y 1+ y 2 即x 1- x 2x 1+ x 2=y 1- y 2y 1+ y 2 ,b 222=b 2,即 k OM ·k AB = b2.aa10. (2014 ·北湖 )设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将构成a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为 D (a)(比如 a = 815,则 I(a)= 158,D( a) =851).阅读以下图的程序框图,运转相应的程序,随意输入一个a ,输出的结果 b= ________.答案495分析取 a1= 815? b1=851- 158= 693≠815? a2= 693;由 a2= 693? b2= 963- 369= 594≠693? a3=594;由 a3= 594? b3= 954- 459= 495≠594? a4=495;由 a4= 495? b4= 954- 459= 495= a4? b= 495.。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》技巧及练习题含答案
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新高考数学《推理与证明》专题解析一、选择题1.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是A.甲B.乙C.丙D.无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确,则乙、丙的预测错误,推出矛盾!若乙的预测正确,甲、丙的预测错误,推出矛盾!若丙的预测正确,甲、乙的预测错误,可推出三个人的名次。
【详解】若甲的预测正确,乙、丙的预测错误,则丙是第一名,甲不是第三名,则甲是第二名,乙是第三名,矛盾!若乙的预测正确,甲、丙的预测错误,则乙是第三名,甲的预测错误,那么甲是第三名,矛盾!若丙的预测正确,则甲、乙的预测错误,则甲是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,则乙是第二名。
因此,第三名是甲,故选:A。
【点睛】本题考查合情推理,突出假设法在推理中的应用,通过不断试错来推出结论,考查推理分析能力,属于中等题。
2.我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a,则a的值为( )A.100820182⨯⨯B.100920182C.1008⨯2020220202⨯D.1009【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解:第一行第一个数为:0112=⨯; 第二行第一个数为:1422=⨯; 第三行第一个数为:21232=⨯; 第四行第一个数为:33242=⨯;L L ,第n 行第一个数为:1n 2n n a -=⨯;一共有1010行,∴第1010行仅有一个数:10091008a 1010220202=⨯=⨯; 故选C . 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.3.已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上,则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为( )A .13311x y +=B .111099x y += C .11133x y += D .199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】先根据点在椭圆上,求得2a ,再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上,故可得21009199a +=,解得2110a =; 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为:103111099x y +=,整理可得11133x y+=. 故选:C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程,以及类比法的应用,属综合基础题.4.已知函数()f x 的导函数为()f x ',记()()1f x f x '=,()()21f x f x '=,…,()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =,则()()20192021f x f x += ( )A .2cos x -B .2sin x -C .2cos xD .2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ,可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---,最后计算可得结果.【详解】由题可知:()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知:()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选:D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,选择题、填空题可以使用取特殊值,归纳猜想等方法的使用,属中档题.5.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A .丙被录用了 B .乙被录用了C .甲被录用了D .无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,综上可得甲被录用了,故选:C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.6.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时,小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过北京的是()A.小钱B.小李C.小孙D.小赵【答案】A【解析】由题意的,如果小赵去过长城,则小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;如果小钱去过长城,则小赵说真话,小钱说谎,小孙、小李说真话,满足题意,故选A.7.某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a,b,c,d,当游泳池内装满水时,同时打开其中两个出水口,放完水所需时间如下表:则a,b,c,d四个出水口放水速度最快的是()A.d B.b C.c D.a【答案】A【解析】【分析】利用所给数据,计算出每个出水口分别的放水时间,比较大小即可.【详解】由题易解得a,b,c,d放水时间分别为70,100,90,50,所以d出水速度最快.故选:A.【点睛】本题考查了方程的思想,属于基础题.8.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是 ( )A .各月的平均最低气温都在0℃以上B .七月的平均温差比一月的平均温差大C .三月和十一月的平均最高气温基本相同D .平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上,A 正确;由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒,而一月的平均温差小于7.5C ︒,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B 正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒,基本相同,C 正确;由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,所以不正确.故选D . 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种:(1)对图形中的线条认识不明确,不知所措,只觉得是两把雨伞重叠在一起,找不到解决问题的方法;(2)估计平均温差时易出现错误,错选B .9.下面几种推理中是演绎推理的为( )A .由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电B .猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯,,,的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C .半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=D .由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念,得到A 是归纳推理,B 是归纳推理,C 是演绎推理,D 是类比推理,即可求解. 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念,可得:对于A 中, 由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电,属于归纳推理; 对于B 中, 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯,,,的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+,属于归纳推理,不是演绎推理;对于C 中,半径为r 的圆的面积2S r π=,则单位圆的面积S π=,属于演绎推理; 对于D 中, 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=,推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=,属于类比推理, 综上,可演绎推理的C 项,故选C . 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定,其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念,以及推理的规则是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.10.用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时,从n k =到1n k =+,不等式左边需添加的项是( ) A .111313233k k k +++++ B .112313233k k k +-+++ C .11331k k -++ D .133k + 【答案】B 【解析】分析:分析n k =,1n k =+时,左边起始项与终止项,比较差距,得结果. 详解:n k =时,左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时,左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++,选B. 点睛:研究n k =到1n k =+项的变化,实质是研究式子变化的规律,起始项与终止项是什么,中间项是如何变化的.11.用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时,由n k =到1n k =+时,不等试左边应添加的项是( )A .12(1)k +B .112122k k +++ C .11121221k k k +-+++ D .1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入,1n k n k ==+,两式作差可得左边应添加项。
高中数学论证检测试题(有答案)-教学文档
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高中数学论证检测试题(有答案)[例1] 对于, 2,求证:。
证明:(1),左右
(2)假设n=k时成立
即:
当时,左=
右即时成立
综上所述由(1)(2)对一切,命题成立
[例2] 对于,求证:,可被整除。
证明:(1),左成立
(2)假设n=k时成立即:
当时,
时成立
综上所述由(1)(2)对一切
[例3] 求证:,可被17整除。
证明:(1)n=0,左=15+2=17成立
(2)假设n=k成立即,MN
当时,
[例4]数列满足,,求。
解:,
推测
证明:(1)n=1成立
(2)假设n=k成立即
当时,
成立综上所述对一切,成立
[例5] (为常数),试判断是否为数列中的一项。
证明:推测
(1)成立
(2)假设n=k成立即,时,
成立综上所述对一切,成立
p不是中的一项
[例6] 数列满足(1)求证:对一切成立;(2)令,,试比较与大小关系。
(1)① 成立
② 假设n=k时成立,即
当n=k+1时,
时成立综上所述由①②对一切,
(2),
7. 函数的最大值不大于,又时,(1)求
(2)设,,求证:
8.为常数,证明对任意
7. 证明:(1)n=1 成立
(2)假设时成立即,当n=k+1时,
成立综上所述对一切,
8. 证明:(1)n=1,成立(2)假设n=k时成立即当时,
成立
综上所述对一切命题成立。
(压轴题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(包含答案解析)(2)
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一、选择题1.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A 层班级,生物在B 层班级,该校周一上午课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有A .8种B .10种C .12种D .14种2.下列推理过程不是演绎推理的是( )①一切奇数都不能被2整除,2019是奇数,2019不能被2整除; ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方; ③在数列{}n a 中,()111,312n n a a a n -==-≥,由此归纳出{}n a 的通项公式; ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A .①②B .③④C .②③D .②④3.“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”,是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n ,如果n 是偶数,就将它减半;如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,已知正整数m 经过6次运算后才得到1,则m 的值为( ) A .5或32B .10C .64D .10或644.杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列{}n a ,若数列{}n a 的前n 项和为n S ,则57S =( )A .265B .521C .1034D .20595.某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛,老师告知只有一位同学获奖,四人据此做出猜测:甲说:“丙获奖”;乙说:“我没获奖”;丙说:“我没获奖”;丁说:“我获奖了”,若四人中只有一人判断正确,则判断正确的是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁6.祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子,他提出了一条原原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于( ) A .243a b π B .243ab π C .22a b πD .22ab π7.利用反证法证明:若0x y +=,则0x y ==,假设为( )A .,x y 都不为0B .,x y 不都为0C .,x y 都不为0,且x y ≠D .,x y 至少有一个为08.观察下列各式:2749=,37343=,472401=,…,则10097的末两位数字为( ) A .49B .43C .07D .019.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,去掉所有为1的项,依次构成2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…,则此数列的前50项和为( )A .2025B .3052C .3053D .304910.在数学兴趣课堂上,老师出了一道数学思考题,某小组的三人先独立思考完成,然后一起讨论.甲说:“我做错了!”乙对甲说:“你做对了!”丙说:“我也做错了!”老师看了他们三人的答案后说:“你们三人中有且只有一人做对了,有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是( ) A .乙做对了 B .甲说对了C .乙说对了D .甲做对了11.已知222233+=,333388+=,44441515+=,⋅⋅⋅,若66n nm m+=(m 、n 均为正实数),根据以上等式,可推测m 、n 的值,则m n +等于( )A .40B .41C .42D .4312.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3人作出如下预测:甲说:我不是第三名;乙说:我是第三名;丙说:我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第三名的是 A .甲B .乙C .丙D .无法预测二、填空题13.本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法,即将区间[0,1]分割成n 个小区间,求每个小区间上矩形的面积,再求和的极限.类比上述方法,试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14.观察下面的三角形数组,可以推测:该数组第10行的和为______.15.若点()000,P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>内,则被0P 所平分的弦所在的直线方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+,通过类比的方法,可求得:被()1,1P 所平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程是________. 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.17.在如图的数表中,仅列出了前6行,照此排列规律还可以继续排列下去,则数表中第n (3n ≥)行左起第3个数为_______。
高考数学二轮总复习能力练3推理论证能力文
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能力练 ( 三) 推理论证能力一、选择题1.已知数列 { a } 中,a=1,n≥2时,a=a + 2n-1,挨次计算 a , a , a 后,猜想 a 的n 1 nn-1 234 n表达式是 ( )A. 3n- 1 B.4 n- 3C.n2D.3 n-1分析: a =1,a =4, a =9, a =16,猜想 a 2= n .1 2 3 4 n答案: C2.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+ bx+c=0( a≠0)有有理根,那么a,b, c 中起码有一个是偶数”时,应假定( )A.a,b,c中起码一个是偶数B.a,b,c中起码一个是奇数C.a,b,c全部是奇数D.a,b,c中恰有一个偶数分析:因为用反证法证明数学命题时,应先把要证明的结论进行否认,获取要证的结论的反面,而命题中“a, b, c 中起码有一个是偶数”的否认为“a, b, c 全部是奇数”.答案: C3.(2019 ·桃城区校级月考) 如图,第 1 个多边形是由正三角形“扩展”而来,第 2 个多边形是由正方形“扩展”而来,,这样类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为1 1 1 1a n,则++++=()a3a4a5a99①②③④⑤97B. 97A.100 3003 1C.100 D.100分析:a =12,a =20,a =30,猜想 a = n( n+1)( * 1 1 1 1n≥3,n∈ N ) ,因此==-.3 4 5 n an n n+1 n n+1因此1+1+1++1=1 1+1 1+1 1++1 1 1-1 97a-4 -5 -6 99 -=100 = .3 4 5 99 3 4 5 100 3 300a a a答案: A4.如图,是某小朋友在用火柴拼图时体现的图形,此中第 1 个图形用了 3 根火柴,第 2 个图形用了9 根火柴,第 3 个图形用了18 根火柴,,则第 2018 个图形用的火柴根数为 ( )11 / 6①②③A.2 016 ×2 019 B.2 017 ×2 018 C.2 017 ×2 019 D.3 027 ×2 019 分析:由图可知第 1 个图形用了3=3×1 1+ 1根火柴,2第 2 个图形用了 9=3×22+1根火柴,2第 3 个图形用了 18=3×33+1根火柴,,2概括得:第n 个图形用3(1 +2+ 3++ ) =3n n+1 根火柴.n 2当 n=2 0183n n+1时,=3 027 ×2 019.2答案: D5.有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱竞赛,此中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖了.”若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是()A.甲 B. 乙C.丙D.丁分析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的,不切合题意;若乙获奖了,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不切合题意;若丙获奖了,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,切合题意;若丁获奖了,则甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不切合题意,综上所述,丙获奖了.答案: C6.(2019 春·会宁县校级期中) 在中国决胜全面建成小康社会的重点之年,怎样更好地保障和改良民生,怎样确实加强政策“获取感”,成为2019 年全国两会的重要关切.某地域为改良民生调研了甲、乙、丙、丁、戊5个民生项目,获取以下信息:①若该地域引进甲项目,就一定引进与之配套的乙项目;②丁、戊两个项目与民生亲密有关,这两个项目起码要引进一个;③乙、丙两个项目之间有矛盾,两个项目只好引进一个;④丙、丁两个项目关系度较高,要么同时引进,要么都不引进;⑤若引进项目戊,甲、丁两个项目也一定引进.则该地区应引进的项目为()22 / 63 / 6A .甲、乙 B. 丙、丁 C.乙、丁D.甲、丙分析: 由条件②可知,丁、戊两个项目起码要引进一个, ∴选项 A ,D 清除;假定引进丁项目,则由条件④,可知必引进丙项目, ∴选项 C 清除. 答案: B 二、填空题7.已知2+ 2= 22, 3+3=33, 4+4=44, ,若 6+ a = 6a ( a ,33881515ttt 均为正实数 ) ,类比以上等式,可推测a , t 的值,则 a - t =.分析: 类比等式可推测 a = 6, t = 35,则 a - t =- 29.答案: - 298.今年国庆节时期,甲、乙、丙、丁四位驴友准备自驾游,四人挑选了A ,B ,C ,D ,E 五个景点,因为时间关系只好去一个景点,于是他们商议去哪一个景点.甲说:“只需不去D 就行.”乙说:“ B , C , D ,E 都行.”丙说:“我喜爱 B ,但只需不去 C 就行.”丁说:“除了 E 以外其余都能够.”据此推测,他们四人共同去的景点是.分析: 依据甲说的清除 D ;依据乙说的清除 A ;依据丙说的清除 C ;依据丁说的清除 E ,由此 可知他们四人共同去的景点是 B .答案: Bx 2 y 2x y9.椭圆中有以下结论:椭圆a 2+b 2=1(a >b >0)上斜率为1 的弦的中点在直线a 2+b 2=0 上,22类比上述结论:双曲线x2- y2= 1(a >0, >0) 上斜率为 1 的弦的中点在直线上.abbx 2 y 2x y分析:类比椭圆中的结论可知, 双曲线 a 2 -b 2 = 1 上斜率为 1 的弦的中点在直线 a 2-b 2= 0 上.不妨设弦的两个端点为 (1, 1) ,( 2,2 -y 10),则1+ x 2x y y 2) ,则y=1. 设弦中点为 ( 0,x 0=x,xx 2-x 1x y222x 1y 12- 2=1,2222yabxxy1+22 -12- 1y,将上述两头点代入双曲线方程得两式相减得 yy 0=22 22 -222abx 2 -y2= 1,a b= 0,34 / 6x 2- x 1 x 2+ x 1 - y 2- y 1 y 2+ y 1= 0, a 2b 2 x 2+1y 2+12 0 2y 0xyx化简得 a 2-b 2= 0, a 2- b 2= 0,x 0 y 00,于是x y因此 a 2- b 2= ( x , y )在直线 a 2- b 2=0 上. xy答案: a 2- b 2=0三、解答题10.如图,四棱锥 P -ABCD 中,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是∠ ABC =60°的菱形, M 为 AD 的中点.(1) 求证:平面 PCM ⊥平面 PAD ;(2) 求三棱锥 D - PAC 的高.分析: (1) 依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形,∴MC ⊥ AD ,MP ⊥ AD ,∴AD ⊥平面 PMC ,又∵ AD ? 平面 PAD ,∴平面 PCM ⊥平面 PAD .3(2) 在正△ PAD 中, PM = 2 PD = 3,33, S △ =1 3,在正△ ACD 中, CM = 2 AD = 2×2×2sin 60 °=ACD1∴V P - ACD = 3S △ ACD · PM =1.Rt △ PCM 中, PC =2 26,PM + CM = 在等腰△ PAC 中, PA = AC = 2, PC = 6,15S2设三棱锥 D - PAC 的高为 h ,12 15由 V D - PAC = V P - ACD 得 3S △ PAC ·h = 1,∴ h = 5 .11.已知函数 f ( x ) = sin x -ax , g ( x ) = bx cos x ( a ∈ R , b ∈ R) .45 / 6(1) 议论函数 f ( x ) 在区间 (0 ,π ) 上的单一性;2(2) 若 a = 2b 且 a ≥3,当 x >0 时,证明: f ( x )<g ( x ) .分析: (1) f ( x ) = sin x - ax ,则 f ′(x ) = cos x- a ,当 a ≥1时, f ′(x ) ≤0,因此函数f ( x ) 在区间 (0 ,π ) 上单一递减;当 ≤- 1时, f′ ( ) ≥0,因此函数f ( ) 在区间 (0 ,π ) 上单一递加;axx 当- 1<a <1 时,存在 φ∈ (0 ,π ) ,使得 cos φ= a ,即 f ′(φ) = 0,x ∈ (0 , φ) 时 f ′(x )>0 ,因此函数 f ( x ) 在区间 (0 , φ) 上单一递加,x ∈ ( φ,π ) 时 f ′(x )<0 ,因此函数 f ( x ) 在区间 ( φ,π ) 上单一递减.(2) 证明:要证明 f ( x )< g ( x ) ,只需证明 f ( x ) - g ( x )<0 ,当 a = 2b 时, f ( x ) -g ( x ) = sin x - ax (2 + cos x )<02sin xa等价于2+ cos x <2x .sin xa记 M ( x ) =- x ,2+ cos x 22cos x + 1a1 12 a1 则 ′()=2- =-3-- + ,M xx22+ cos x3232+ cos2a 1当 a ≥ 3,即 2≥ 3时, M ′(x ) ≤0, M ( x ) 在区间 (0 ,+∞ ) 上单一递减, M ( x )< M (0) = 0,因此当 x >0 时, f ( x )< g ( x ) 恒建立.5 6 / 6。
高考数学二轮复习推理与证明
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北京航空航天大学附中三维设计 高考数学二轮复习:推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.给出下列三个类比结论①nn n n n n n b a b a b a b a ab +=++=)()(类比,则有与)(;②βαβαβαsin sin )sin()sin(log log )(log =+++=类比,则有与y x xy b a a ; ③22222222)()(2)(b b a a b a b a b ab a b a +•+=++++=+类比,则有与; 其中正确的个数是( )A .0B .1C .2D .3【答案】B 2.观察式子:2222221311511171+<,1++<,1+++<,222332344……,由此可归纳出的式子为( )A .22211111+++......+<232-1n n B .22211111+++......+<232+1n n C .2221112-11+++......+<23n n nD .22211121+++......+<232+1n n n【答案】C3.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A .三角形B .梯形C .平行四边形D .矩形 【答案】C4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( ) A .4,6,1,7 B .7,6,1,4 C .6,4,1,7 D .1,6,4,7 【答案】C5.把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形,则第七个三角形数是( ) A . 27 B . 28 C . 29 D . 30 【答案】B6.若7++=a a P ,43+++=a a Q ,)0(≥a 则P 、Q 的大小关系是( )A .P >QB .P =QC .P <QD .由a 的取值确定 【答案】C7.把下列各题中的“=”全部改成“<”,结论仍然成立的是( )A .如果,a b c d ==,那么a c b d -=-;B .如果,a b c d ==,那么ac bd =;C .如果,a b c d ==,且0cd ≠,那么a b c d=; D .如果a b =,那么33a b = 【答案】D8.已知数列{}n a 的前n 项和2(2)n n S n a n =≥,而11a =,通过计算234,,a a a ,猜想n a 等于( ) A .22(1)n + B .2(1)n n +C .221n- D .221n - 【答案】B9.对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:5323+=,119733++=,1917151343+++=,…,仿此,若3m 的“分裂数”中有一个是61,则m 的值是( ) A . 6 B .7 C . 8D . 9【答案】C10.若()f n 为21()n n N *+∈的各位数字之和,如2141197,19717+=++=则(14)17f =,记1211()(),()(()),()(())k k f n f n f n f f n f n f f n +===k N *∈则=)8(2012f ( ) A . 3 B . 5 C . 8D . 11【答案】B11.下列推理所得结论正确的是( )A . 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x a a a log log )(log +=+B . 由ac ab c b a +=+)(类比得到y x y x sin sin )sin(+=+C . 由)()(c b a c b a ++=++类比得到)()(yz x z xy =D . 由nn nb a ab =)(类比得到nnny x y x +=+)( 【答案】C12.已知钝角△ABC 的最长边为2,其余两边的长为a 、b ,则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于( )A .2B . 4C .2-πD .24-π 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,可猜想得到对任意的正整数n 都成立的等式为____________ (用n 的代数式表示)【答案】n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)214.已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),L L ,则第80个数对是 。
高三数学上学期第二次调研考试试题文含解析试题
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卜人入州八九几市潮王学校第三中2021届高三数学上学期第二次调研考试试题文〔含解析〕本套试卷一共23题,一共150分只有一项尾符合题目要求的。
{A x y ==.{}2,0xB y y x ==>,那么A B =〔〕A.[]0,2B.(]1,2C.[]1,2D.()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】 计算出集合A 、B ,利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{(){}(){}[]20200,2A x y x x x x x x ===-≥=-≤=,由于指数函数2x y =是增函数,当0x >时,0221x y =>=,那么()1,B =+∞,因此,(]1,2A B =,应选:B.【点睛】此题考察集合交集运算,同时也考察了函数的定义域与值域的求解,考察计算才能,属于根底题. 2.()1,2OA =-,()3,OB m =,假设OA OB ⊥,那么m 等于〔〕A.6-B.6C.32D.32-【答案】C 【解析】 【分析】将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=,并利用向量数量积的坐标运算可求出m 的值.【详解】()1,2OA =-,()3,OB m =,且OA OB⊥,320OA OB m ∴⋅=-+=,解得32m =, 应选:C.【点睛】此题考察垂直向量的坐标表示,通常将向量垂直转化为两向量数量积为零,考察计算才能,属于根底题.()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,那么()()9f f =〔〕A.12B.12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9f f 的值. 【详解】()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()139log 92f ∴==-, 因此,()()()92sin sin 33f f f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭,应选:D. 【点睛】此题考察分段函数值的计算,对于多层函数值的计算,需充分利用函数解析式,由内到外逐层计算,考察计算才能,属于根底题.4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,一共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?〞意思是:一座7层塔一共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,那么塔的顶层一共有灯 A.1盏 B.3盏 C.5盏D.9盏【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯, 由题意{a n }是公比为2的等比数列,∴S 7=()711212a --=381,解得a 1=3. 应选:B .5.4sin 65πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭,那么cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭〔〕A.45 B.35C.45-D.35【答案】C 【解析】 【分析】将角3πα-表示为326πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,再利用诱导公式可得出结果. 【详解】4cos cos sin 32665ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,应选:C.【点睛】此题考察利用诱导公式求值,解题的关键就是弄清所求角与角之间的关系,考察计算才能,属于中等题.6.如下列图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,E 为AO 的中点,假设(),DE AB AD R λμλμ=+∈,那么λμ⋅等于〔〕A.316-B.316C.12D.12-【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算,将DE 用AB 和AD 表示,可得出λ和μ的值,由此可计算出λμ⋅的值.【详解】E 为AO 的中点,且O 为AC 的中点,所以,()111244AE AO AC AB AD ===+,()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=+-=-,14λ∴=,34μ=-.因此,1334416λμ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭,应选:A. 【点睛】此题考察利用基底表示向量,要充分利用平面向量的加减法法那么,考察运算求解才能,属于中等题.()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos gx x ω=的图象,只要将()y f x =的图象()A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移8π个单位长度C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 【答案】A 【解析】【详解】由()f x 的最小正周期是π,得2ω=,即()sin(2)4f x x π=+cos 2()8x π=-,因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象.应选A .考点:函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么不等式()24(3)f a f a ->的解集为()A.(4,1)-B.(1,4)-C.(1,4)D.(0,4)【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性,把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数,由2(4)(3)f a f a ->,可得243a a -<,整理得2340a a --<,解得14a -<<,所以不等式的解集为(1,4)-.应选B.【点睛】此题考察函数不等式,通常根据函数的单调性转化求解,一般不代入解析式.{}n a 中满足2019201820172a a a =+,假设存在两项m a 、n a 12a =,那么m n +=〔〕A.4B.5C.6D.7【答案】A 【解析】 【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ,由题中条件2019201820172a a a =+求出公比q ,再利用等比数列的通项公式12a =可求出m n +的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q,那么q >,2019201820172a a a =+,22017201720172a q a q a ∴=+,22q q ∴=+,即220q q --=,0q >,解得2q ,12m n a a a =,即214m n a a a =,所以,112111224m n a a a --⨯⨯⨯=,化简得224m n +-=,22m n ∴+-=,因此,4m n +=,应选:A.【点睛】此题考察等比数列相关量的计算,对于等比数列的问题,通常利用首项和公比进展表示,考察计算才能,属于中等题. 10.ABC ∆中,2BA AC ⋅=,ABC S ∆,那么A =〔〕A.3π B.23π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,利用平面向量数量积的定义和三角形的面积公式将题中等式用b 、c 、A 的等式表示,可求出tan A 的值,结合角A 的取值范围,可得出角A 的值. 【详解】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,那么()cos cos 2BA ACcb A bc A π⋅=-=-=,1sin 2ABC S bc A ∆=所以cos 2sin bc A bc A =-⎧⎪⎨=⎪⎩tan A =0A π<<,23A π∴=,应选:B.【点睛】此题考察平面向量数量积的定义,同时也考察了三角形的面积公式,考察计算才能,属于中等题.()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,假设对于任意给定的等比数列{}n a ,假设(){}n f a 仍是比数列,那么称()f x 为“保等比数列函数〞.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数:①()3f x x =; ②()x f x e =; ③()f x =④()ln f x x =那么其中是“保等比数列函数〞的()f x 的序号为〔〕A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()()1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,那么1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭,该函数为“保等比数列函数〞;对于②中的函数()xf x e=,()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数〞;对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===数〞;对于④中的函数()ln f x x =,()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函数〞.应选:C.【点睛】此题考察等比数列的定义,着重考察对题中定义的理解,考察分析问题和解决问题的才能,属于中等题.ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,假设220a b ac -+=,那么sin sin AB的取值范围是〔〕A.0,2⎛ ⎝⎭B.22⎛ ⎝⎭C.D.32⎛⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式,并结合条件220a b ac -+=得出2B A =,根据ABC ∆为锐角三角形得出角A 的取值范围,可得出sin 1sin 2cos A B A=的取值范围. 【详解】220a b ac -+=,即()2222cos 0a a c ac B ac -+-+=,化简得2cos 0a B c a -+=.由正弦定理边角互化思想得2sin cos sin sin 0A B C A -+=, 即()2sin cos sinsin 0A B A B A -++=,所以,sin cos cos sin sin 0A B A B A -+=,()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ∴=-=-,02A π<<,02B π<<,22B A ππ∴-<-<,B A A ∴-=,2B A ∴=,ABC ∆是锐角三角形,且3C A B A ππ=--=-,所以02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩,解得64A ππ<<,那么cos 2A <<,所以,sin sin 1sin sin 22cos A A B A A ==∈⎝⎭, 因此,sin sin AB的取值范围是,32⎛ ⎝⎭,应选:D. 【点睛】此题考察余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用,同时也考察了二倍角公式的应用,考察分析问题和解决问题的才能,属于中等题.二填空题此题一共4小题,每一小题5分,一共20分.{}n a 的前n 项和为n S ,假设359,25S S ==,那么2019a =______。
最新黑龙江高考数学文二轮模拟试题(及答案)
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2021年黑龙江高考数学文二轮模拟试题及答案1.集合,那么( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >22.以下函数既是偶函数又在上单调递减的函数是( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >33.那么=( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >44.假设复数满足 (其中为虚数单位),那么复数在复平面内对应的点在( )A象限B第二象限C第三象限D第四象限分值: 5分查看题目解析 >55. 以下说法错误的选项是( )A“〞是“直线与直线垂直〞的充分不必要条件B,那么是恒成立的必要不充分条件C设是两个命题,假设是假命题,那么均为真命题D命题使得那么均有分值: 5分查看题目解析 >66.设函数,假设,且,那么的小值是( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >77. 实数满足,假设的小值是2,那么 ( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >88.等差数列的公差为,关于的不等式的解集是,那么使得数列的前项和大于零的的正整数的值是( )A11B11或12C12D12或13分值: 5分查看题目解析 >99. 如图,格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图,那么该几何体的体积为( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >1010. 在中,内角A,B,C 所对的边分别为,成等差数列,那么的值为( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >1111. 定义在R上的函数为偶函数,且满足,,假设数列的前项和满足,那么( )ABCD分值: 5分查看题目解析 >1212.对于函数,假设存在常数,使得对定义域内的每一个的值,都有,那么称为“和谐函数〞,给出以下函数①②③④,其中所有“和谐函数〞的序号是( )A①③B②③C①④D①③④分值: 5分查看题目解析 >填空题本大题共4小题,每题5分,共20分。
把答案填写在题中横线上。
1313.直线的倾斜角是_____________分值: 5分查看题目解析 >1414. 四面风光,那么四面体外接球的外表积是____________分值: 5分查看题目解析 >1515. 函数的定义域为,为的导函数,且满足,那么不等式的解集是_____________分值: 5分查看题目解析 >1616. 在中,为的内心,假设,其中,那么动点P的轨迹所覆盖的Q区域面积为____________分值: 5分查看题目解析 >简答题〔综合题〕本大题共70分。
上海高三数学高考二轮复习教案类比专题之新题型类比与推理含答案
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沪教版(上海)高中数学度高三数学二轮复习专题之高考中的新题型类比与推理教学目标1、掌握类比思想在具体解题中的应用2、掌握不同题型中的不同的类比原则知识梳理生活中,类比思想是处处存在的,惠更斯提出的波动说,是与水波、声波类比而受到的启发。
英国医生詹纳发现的种牛痘可以预防天花,就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到启发,从树叶的锯齿形状发明了锯,从雄鹰的飞起到制造飞机上天等。
数学中,类比思想在等差和等比数列的研究中,在函数与数列的研究中处处都可以体现典例精讲一、 数列中的类比推理 例1(★★★)在等差数列{}n a 中,若10=a ,则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{}n b 中,若19=b ,则有等式 成立.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是: 等差数列 用减法定义 性质用加法表述(若,,,,*N q p n m ∈且 ,q p n m +=+则q p n m a a a a +=+); 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述(若,,,,*N q p n m ∈且,q p n m +=+则q p n m a a a a ⋅=⋅).由此,猜测本题的答案为:).,17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-事实上,对等差数列{}n a ,如果0=k a ,则⋅⋅⋅=+=+--+--+n k n n k n a a a a 2221210=+=k k a a . 所以有:n a a a +⋅⋅⋅++21+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++2121(n n n a a a a an k n k a a ----+1222)(*,12N n k n ∈-<).从而对等比数列{}n b ,如果1=k b ,则有等式:),12(*122121N n k n b b b b b b n k n ∈-<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅--成立.评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题,主要考查观察分析能力,抽象概括能力,考查运用类比的思想方法由等差数列{}n a 而得到等比数列{}n b 的新的一般性的结论。
高三年级教学质量第二次检测考试数学(文)试题(解析版)
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高三年级教学质量第二次检测考试数学(文)试题一、单选题1.已知集合,,若,则()A.1 B.2 C.3 D.5【答案】C【解析】先解不等式,根据,确定集合A,根据,就可以求出【详解】而,所以,因此集合,所以,因此本题选C.【点睛】本题考查了集合的表示方法之间的转化、集合之间关系。
2.设复数(是虚数单位),则的虚部为()A.B.C.D.【答案】C【解析】先求出复数的共轭复数,计算,根据结果写出虚部。
【详解】复数,,的虚部为,因此本题选C。
【点睛】本题考查了复数的共轭复数、复数的四种运算、虚部的概念。
3.已知向量、的夹角为,,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】求向量的模可以先求出模的平方,然后再开算术平方根。
【详解】,因此本题选A。
【点睛】本题考查了向量求模的方法。
一般的方法有二种:一是平方进行转化;另一个是利用向量加减法的几何意义进行求解。
本题也可以利用第二种方法来求解。
设则=利用余弦定理可以求出它的模。
4.已知,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】由可以求出,进而可以求出的值。
运用两角差的正切公式可以求出的值。
【详解】所以,,因此本题选D。
【点睛】本题考查了同角三角函数之间的关系、两角差的正切公式。
5.函数的图像是()A.B.C. D.【答案】B【解析】首先由函数解析式可知函数为奇函数,故排除A,C,又当时,,在上单调递增,,故选B6.双曲线的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍,则离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意根据离心率公式,列出等式,再由之间的关系,最后求出离心率。
【详解】由题意可知,即,而得,因此本题选A.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法。
7.函数的部分图像如图所示,则函数的单调增区间为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由图可知:图象过,这样可以利用周期公式可以求出,把代入解析式中,求出,最后求出函数的单调增区间。
【详解】由图可知:图象过,;图象过,,因为,所以,,当时,函数单调递增,化简得,因此本题选D。
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限时规范训练
1.已知数列{a n }中,a 1=1,n ≥2时,a n =a n -1+2n -1,依次计算a 2,a 3,a 4后,猜想a n 的表达式是( )
A .3n -1
B .4n -3
C .n 2
D .3n -
1
解析:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a 4=16,猜想a n =n 2. 答案:C
2.用反证法证明命题“若a ,b ∈N ,ab 能被7整除,那么a ,b 中至少有一个能被7整除”时,假设应为( ) A .a ,b 都能被7整除 B .a ,b 都不能被
7整除
C .b 不能被7整除
D .a 不能被
7整除
解析:由反证法的定义可知,假设应否定结论,“a ,b 中至少有一个能被7整除”的否定是“a ,b 都不能被7整除”,故选B. 答案:B
3.要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只要证明( ) A .2ab -1-a 2b 2≤0 B .a 2
+b 2
-1-a 4+b 42
≤0
C.
a +
b 2
2
-1-a 2b 2≤0
D .(a 2-1)(b 2-1)≥0
解析:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0⇔(a 2-1)(b 2-1)≥0. 答案:D
4.观察下列事实:|x |+|y |=1的不同整数解(x ,y )的个数为4,|x |+|y |=2的不同整数解(x ,y )的个数为8,|x |+|y |=3的不同整数解(x ,y )的个数为12,…,则|x |+|y |=20的不同整数解(x ,y )的个数为( ) A .76
B .80
C .86
D .92
解析:由已知条件知|x |+|y |=n 的不同整数解(x ,y )的个数为4n ,∴|x |+|y |=20的不同整数
解(x ,y )的个数为4×20=80. 答案:B
5.有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛,其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是( ) A .甲
B .乙
C .丙
D .丁
解析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的,不符合题意;若乙获奖了,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不符合题意;若丙获奖了,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,符合题意;若丁获奖了,则甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不符合题意,综上所述,丙获奖了,故选C. 答案:C
6.(2016·辽宁联考)定义在区间(-1,1)上的函数f (x )满足:f (x )-f (y )=f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x -y 1-xy ,x ∈(-1,0)时
f (x )>0.若P =f ⎝⎛⎭⎫15+f ⎝⎛⎭⎫17,Q =f ⎝⎛⎭⎫12,R =f (0),则P ,Q ,R 的大小关系为( ) A .R >Q >P
B .R >P >Q
C .P >R >Q
D .Q >P >R
解析:令x =y =0得f (0)=0,令x =0得f (-y )=-f (y ),所以f (x )为奇函数.由x ∈(-1,0)时f (x )>0知:x ∈(0,1)时f (x )<0.令x 1,x 2∈(0,1)且x 2>x 1,则f (x 2)-f (x 1)=f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2-x 11-x 2x 1,又x 2
-
x 1-(1-x 1x 2)=(x 1+1)(x 2-1)<0,x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,所以
x 2-x 11-x 2x 1∈(0,1),故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2-x 11-x 2x 1<0,
即f (x 2)<f (x 1),从而f (x )在(0,1)上单调递减.又P =f ⎝⎛⎭⎫15-f ⎝⎛⎭⎫-17=f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫15+171+15×17
=f ⎝⎛⎭⎫13,12>13>0,所以Q <P <R ,故选B. 答案:B 7.已知
2+2
3
=223
, 3+38
=3 38
, 4+4
15
=4 415
,…,若 6+a t
=6
a t
(a ,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a ,t 的值,则a -t =________. 解析:类比等式可推测a =6,t =35,则a -t =-29.
答案:-29
8.今年国庆节期间,甲、乙、丙、丁四位驴友准备自驾游,四人筛选了A,B,C,D,E 五个景点,由于时间关系只能去一个景点,于是他们商量去哪一个景点.
甲说:只要不去D就行;
乙说:B,C,D,E都行;
丙说:我喜欢B,但只要不去C就行;
丁说:除了E之外其他都可以.
据此推断,他们四人共同去的景点是________.
解析:根据甲说的排除D;根据乙说的排除A;根据丙说的排除C;根据丁说的排除E,由此可知他们四人共同去的景点是B.
答案:B
9.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD是边长为2的正三角形,△ABC与△ACD都是斜边为AC的直角三角形,且AC=2 3.E,F分别为BD,AC的中点.
(1)求证:AE与DC不垂直;
(2)求异面直线AB与DF所成角的大小.
解析:(1)证明:假设AE与DC垂直,由已知可得AD⊥DC.
∵AD与AE在平面ABD内交于点A,
∴CD⊥面ABD,又BD⊂面ABD,
∴BD⊥DC,
又由已知可得△ADC≌△ABC,∴DC=BC.
连接CE可得CE⊥BD,又CD⊂面BCD,CE⊂面BCD,∴CD∥CE,显然与DC和CE相交矛盾,故假设不成立,即AE与DC不垂直.
(2)取BC的中点G,连接DG,FG,∵F,G分别为AC,BC的中点,
∴FG∥AB,
∴∠DFG为异面直线AB与DF所成角(或其补角).
在△BCD中,BC=DC=32-22=22,BD=2.
由余弦定理得cos ∠DBC=
2 4,
∴DG =4+2-2×2×2×
2
4
=2. 在△DGF 中,DF =3,GF =1,∴DG 2=DF 2+GF 2, ∴∠DFG =90°,
故异面直线AB 与DF 所成角为90°.
10.设正整数a ,b ,c 满足:对任意的正整数n ,lg c =a n +b n
n +1
.
(1)求证:a +b ≥c ;
(2)求出所有满足题设的a ,b ,c 的值.
解析:(1)证明:当n =1时,由已知得lg c =a +b
1+1
,即lg c 2=lg(a +b ),∴a +b =c 2,
则a +b -c =c 2-c =c (c -1),
∵c ∈N *,∴c (c -1)≥0,∴a +b -c ≥0,即a +b ≥c . (2)不妨设a ≥b ,由lg c =
a n +
b n n +1
,得(n +1)lg c =lg(a n +b n ),即a n +b n =c n +
1.
若a >c ,则a c >1,故⎝⎛⎭⎫a c n <c ,解得n <log a
c c , 与n 为任意的正整数矛盾. 若a ≤c ,则0<a c ≤1,0<b
c ≤1,
∴0<⎝⎛⎭⎫a c n
≤1,0<⎝⎛⎭
⎫b c n ≤1, 从而0<c ≤2,∵c ∈N *,∴c =1或2.
当c =1时,a n +b n =1,而a n +b n ≥2,矛盾,舍去.
当c =2时,⎝⎛⎭⎫a c 2+⎝⎛⎭⎫b c 2=2,从而a c =1,b
c =1,故a =b =c =2. 11.已知函数f (x )=ln x +2x +1.
(1)当x ≥1时,求f (x )的最小值;
(2)求证:ln(n +1)>13+15+17+…+1
2n +1(n ∈N *).
解析:(1)由题可知函数f (x )的定义域为(0,+∞). ∵f ′(x )=1x -
2
x +
2=x 2+1
x x +
2>0,
∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.
当x ≥1时,f (x )≥f (1)=1.故f (x )的最小值为1.
(2)由(1)可知,当x >1时,ln x +
2
x +1>1,即ln x >x -1x +1
. 令x =k +1k ,则有ln k +1k >1
2k +1,
∴∑n
k =1
ln k +1k >∑n k =1 1
2k +1.
∵ln(n +1)=∑n
k =
1
ln k +1
k
, ∴ln(n +1)>13+15+17+…+1
2n +1(n ∈N *).。