RLW方程的一种结点沿特征方向移动的有限元方法

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有限元求解方法

有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。

本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。

有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。

在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。

通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。

有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。

首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。

然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。

接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。

然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。

最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。

在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。

有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。

在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。

例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。

在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。

例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。

在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。

例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。

有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。

同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。

然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。

首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。

一类广义rlw方程的初值问题

一类广义rlw方程的初值问题现在我们来回顾一类广义RLW方程的初值问题。

这类RLW方程包括KdV等数学模型。

具体来说，这类方程由一个非线性恒定系数组成，它以四阶导数的形式出现。

首先，我们考虑一个典型的RLW方程$$u_{t}+u_{xxxx}+u^{3}=0$$其中，$u$是任意定义在区域$\Omega\subseteq\mathbb{R}\setminus\{d\}$,即$$\Omega=\{(x,t):x\in R\}$$上的非负函数。

关于该方程的初值问题，$$u(x,t=0)=u_{0}(x), \;x\in \Omega$$与边界条件，$$u(d,t)=h(t),\;t\geq 0,$$其中$h(t)$是一个已知的函数，构成了一个非线性抛物型偏微分方程的初值边界问题。

在此过程中，我们有必要为该方程提供一个有效的数值求解方法，用以解决初值边界问题。

迄今为止，有许多求解方法可以应用于该问题。

有精确解、弹性孤立子方法等，也有一些现代数值方法，如有限元法、有限差分法、偏微分格式定积分方法、多点有限元方法等。

有限差分算法和有限元算法都具有非常好的精度，因此被广泛应用于此问题的求解。

有限元算法的优点在于可以更准确地模拟偏微分方程的初值边界条件，尤其是处理复杂的初值问题时。

通常，对于复杂的初值问题，利用有限差分算法将速度提高约两个数量级。

有限元算法也可以用于求解一类广义RLW方程的初值边界问题。

在有限元算法中，主要采用Galerkin有限元形式，将未知量$u$分解为有限个有界域函数的线性组合。

通过利用Galerkin有限元形式，可以用一组约束来确定待求解的未知函数，然后利用这些约束和初值条件，用有限差分方法来近似解出满足RLW方程的解。

最后，值得指出的是，所有上述方法都需要解决初值问题时，提供一个有效的初值，并将该初值不断更新，以用作参考，以帮助算法更进一步求解，以提高整体计算的精度。

有限元的基本原理

有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。

其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。

基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。

2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。

3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。

4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。

5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。

有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。

因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。

有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。

其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。

有限元的基础理论

§1有限元的基础理论§1-1 概述有限元法是一种数值计算的近似方法。

早在40年代初期就已有人提出，但当时由于没有计算工具而搁置，一直到50年代中期，高速数字电子计算机的出现和发展为有限元法的应用提供了重要的物质条件，才使有限元法得以迅速发展。

有限元法在西方起源于飞机和导弹的结构设计，发表这方面文章最早而且最有影响的是西德的J.H.Argyris教授，于1954–1955年间，他在《Aircraft engineering》上发表了许多有关这方面的论文，并在此基础上写成了《能量原理与结构分析》，此书成为有限元法的理论基础。

美国的M.T.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin和L.J.Topp等人于1956年发表了一篇题为《复杂结构的刚度和挠度分析》一文，此文提出了计算复杂结构刚度影响系数的方法，说明了如何利用计算机进行分析。

美国教授R.W.Clough于1960年在一篇介绍平面应力分析的论文中，首次提出了有限元法的名字。

1965年英国的O.C.Zienliewice教授及其合作者解决了将有限元应用于所有场的问题，使有限元法的应用范围更加广泛。

有限元法的优点很多，其中最突出的优点是应用范围广。

发展至今，不仅能解决静态的、平面的、最简单的杆系结构，而且还可以解决空间问题、板壳问题、结构的稳定性问题、动力学问题、弹塑性问题和粘弹性问题、疲劳和脆性断裂问题以及结构的优化设计问题。

而且不论物体的结构形式和边界条件如何复杂，也不论材料的性质和外载荷的情况如何，原则上都能应用。

§1-2 有限元的基础理论有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点处连接而组成整体。

把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。

先对单元进行特性分析，然后根据各节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后作整体分析。

这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化为简单单元的分析与综合的问题。

对有限元的认识

对有限元的认识有限元方法是一种工程计算方法，用于求解复杂的物理问题。

它通过将连续的物理域离散成有限数量的小元素，然后利用数值方法来近似求解这些元素上的物理方程。

这种方法在工程设计和分析中得到了广泛的应用。

有限元方法的核心思想是将连续的物理域划分为有限数量的小元素，每个元素由节点和单元组成。

节点是元素的顶点，而单元则是连接节点的边。

通过在节点上定义适当的函数来近似描述物理量的变化，有限元方法可以将连续的物理问题转化为离散的数值问题。

有限元方法的求解过程分为两个主要步骤：离散化和求解。

在离散化过程中，根据问题的特点和要求，选择合适的单元类型和节点布局。

然后，在每个单元上建立适当的数学模型，例如线性模型或非线性模型。

在求解过程中，将物理方程转化为代数方程组，并利用数值方法求解这个方程组。

最后，通过插值方法将数值解转化为物理解。

有限元方法具有很多优点。

首先，它可以用于求解各种不规则形状和复杂边界条件下的物理问题。

其次，通过选择合适的单元类型和节点布局，可以在不同精度和计算成本之间进行权衡。

此外，有限元方法还可以很好地处理多物理场耦合和非线性问题。

然而，有限元方法也存在一些局限性。

首先，离散化过程中需要选择合适的单元类型和节点布局，这对于复杂的物理问题可能比较困难。

其次，求解过程中需要建立适当的数学模型，并选择合适的数值方法。

这需要对问题的特点和要求有较深的理解。

最后，有限元方法对计算资源的要求较高，特别是在处理大规模问题时。

总的来说，有限元方法是一种强大的工程计算方法，可以用于求解各种复杂的物理问题。

它的应用范围广泛，并且已经在工程设计和分析中得到了广泛的应用。

虽然有限元方法存在一些局限性，但通过合理的离散化和求解策略，可以有效地克服这些问题。

因此，有限元方法在工程领域的应用前景非常广阔。

《有限元基本原理》课件

这些有限元在节点处相互连接，形成一个离散化的模型，用于模拟真实结构的力学行为、热传导、电磁场分布等。
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合，如有限差分法、有限体积法等，以拓展其应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下的振动、冲击和响应。例如，地震工程中建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限元法，可以模拟结构的动态行为，预测其在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒塌过程。

有限元方法历史简介

有限元方法历史简介有限元方法历史简介取自Wikipedia的免费百科全书数学有限元方法（FEM）是用来求偏微分方程式（PDE）的近似解，也求积分方程式，例如热传输方程式。

求解方法是基于完全取消微分方程式（稳态问题），或把偏微分方程式（PDE）译成等效的常微分方程式，然后采用像有限差等标准的技术求解。

在解偏微分方程式时，主要的挑战是创建近似研究的方程式，但数字稳定，这意味着在输入数据和中间计算都不会聚集错误，并造成无意义的输出结果。

有许多这么做的方法，它们都有各自的优缺点。

对于求解复杂域（像汽车和油管道）偏微分方程式，或当希望在全部范围精确变化时，有限元方法是好的选择。

例如，在模拟地球气候模式时，在土地和完全开放的海域之上有着准确的预测是非常重要的，采用有限元方法，这个要求是可以做得到的。

1 历史有限元方法起源于需要解决市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析问题。

它的开发可以追溯到A.Hrennikoff（1941）和R.Courant（1942）的工作。

虽然这些先驱者使用这些方法，并且引人注目的不同，但他们都共享一个基本的特性：把连续域的网格离散化进入一组离散的子域里。

Hrennikoff的工作是采用格子使域离散，而与之类似，为了求解起源于汽缸扭转的问题的二阶椭圆的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的方法是把域划分成有限的三角形子域。

对于由Rayleigh，Ritz和Galerkin开发的偏微分方程式（PDEs），Richard Courant的贡献是改进，绘制了大量的早期结果。

针对机身和结构分析的有限元方法的开发最早开始于1950年代中期，并且用于市政工程的有限元方法许多是1960年代在伯克利开始启动（见伯克利早期有限元研究）。

在1973年Strang和Fix出版的《有限元方法的分析》里，提供的方法采用了严格的数学基础，并且已经在广泛变化的工程学科，即电磁和流体力学里，针对物理系统的数字建模，归纳成为应用数学的分枝。

有限元方法基本原理

有限元方法基本原理有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种数值计算方法，主要用于求解偏微分方程的数值解。

它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出，并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。

有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域，通常称为有限元，每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。

然后，通过在有限元之间建立连续性条件，将整个问题转化为一组代数方程，进而得到数值解。

有限元方法的基本步骤包括：建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。

下面将详细介绍每个步骤的具体内容。

第一步，建立有限元模型。

该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模，包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。

通常，物理问题可以通过连续介质假设，将其离散化为一组小的有限元。

第二步，离散化。

将要求解的区域划分为有限个小的子区域，通常称为有限元。

常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。

有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。

第三步，建立代数方程。

有限元方法的核心是建立代数方程，用于描述物理问题在离散点上的数值解。

代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。

建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。

通常采用Galerkin方法，即在离散点上进行加权残差积分，使得残差的加权平均为零。

第四步，求解代数方程。

一旦代数方程建立完成，就可以使用数值方法求解这组代数方程。

常见的求解方法包括直接法和迭代法等。

直接法适用于方程较小的情况，而迭代法适用于方程较大的情况。

常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。

第五步，后处理。

求解代数方程后，需要对结果进行后处理和分析。

后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。

通过后处理，可以对模型进行验证，并对结果进行解释和解释。

有限元方法基本原理

有限元方法基本原理有限元方法被广泛应用于工程领域中对复杂结构力学问题的求解。

其基本原理是将一个复杂的实体分割成连续的小元素，并在每个小元素内近似描述结构的力学行为。

然后根据各个小元素的相互连接关系，通过求解各个小元素的力学方程，得到整个结构体系的力学响应。

在有限元方法中，划分成小元素的实体被称为有限元。

每个有限元内会选择一个适当的数学函数形式来近似描述该元素内的过程变量（如位移、应力等）。

通常，利用多项式函数或三角函数来近似描述是较为常见的选择。

有限元法的基本思想是利用小元素内的力学方程来建立元素间的联系。

这一联系通过引入节点来实现。

节点是在有限元网格上选取的特殊位置，在节点处的位移和应力是所有相邻元素的位移和应力的加权平均。

在整体结构体系上，所有节点只有两种运动自由度（如平面问题为两个：水平和垂直方向），我们将节点处对应的变量称为自由度。

有限元分析的过程可以分为网格划分、单元插值、力学方程建立和边界条件处理四个主要步骤。

首先，将整个结构体系划分成小的有限元。

然后，在每个有限元内部选择一个插值函数，并利用插值函数得到相应的位移和应力的近似解。

接下来，根据物体在各个小元素上的力学原则，建立每个小元素的力学方程。

最后，在整个结构体系上，应用边界条件将自由度限制在给定的边界条件下。

通过求解各个小元素的力学方程，可以得到整个结构体系的应力、应变和位移分布。

这些分析结果可以用来评估结构的强度、刚度和稳定性等重要参数。

有限元方法的优点在于它能够处理复杂的几何形状和边界条件，并提供了精确的力学响应。

因此，它被广泛用于各个工程领域中的结构设计和分析中。

有限单元法知识点总结

有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。

有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。

有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。

2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。

离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。

加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。

形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。

3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。

建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。

建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。

施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。

求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。

后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。

4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。

结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。

板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。

梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。

壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。

体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。

5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。

有限元方法基础教程第三版答案第二单元

有限元方法基础教程第三版答案第二单元1. 诉述有限元法的定义答:有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答:首先,将表示结构的连续离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答:分类:位移法、力法、混合法;步骤:结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移。

4. 有限元法有哪些优缺点答:优点:有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解;通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合;可以从其他CAD软件中导入建好的模型;数学处理比较方便,对复杂形状的结构也能适用;有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点。

缺点:有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算,所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。

对无限求解域问题没有较好的处理办法。

尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术,但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。

5. 梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答:由每个节点位移分量的总和确定6. 简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答:单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量。

7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么P14 答:Q——整个结构的节点载荷列阵(外载荷、约束力);整个结构的节点位移列阵;结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵。

8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答:由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解。

9. 简述整体刚度矩阵的性质和特点P14 答:对称性;奇异性;稀疏性;对角线上的元素恒为正。

一种求解 RLW 方程的紧致差分格式

一种求解 RLW 方程的紧致差分格式孙建安;吴广智;贾伟【摘要】利用紧致有限差分方法进行空间离散，龙格库塔方法进行时间离散，建立了一种求解RLW方程的数值格式，较好地解决了对空间与时间混合导数项的离散问题，并在空间和时间上都保持了高阶精度。

所得数值结果证实了该数值格式具有较高的精度。

%A compact difference scheme is established for solving the regularized long wave equation by using the compact difference method in space discretion and the Runge‐Kutta method in time discretion , the mixed derivative is skillfully treated and the higher order accuracy is maintained both in space and time . It is confirmed that the numerical solutions obtained from the scheme are with extremely high accurate .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】4页(P38-41)【关键词】紧致有限差分方法;龙格库塔方法;RLW方程;数值解【作者】孙建安;吴广智;贾伟【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070;西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O411.11992年,Lele[1]总结格式,得到了任意高阶精度对称紧致有限差分格式的推导方法,与普通差分方法相比,紧致差分方法可以在相同数量的节点上获得更高的精度,例如使用五节点即可达到六阶精度.该方法的应用十分广泛,曾经被用来研究弹性波方程[2]、泊松方程[3]、N-S方程[4]等.RLW方程是由Peregrine[5]提出的一类非线性演化方程,是描述许多物理现象(如浅水波、等离子体声波等)的一种非常好的模型,尤其是在研究非线性色散波方面起了非常重要的作用[5,6],尽管该方程某些形式的解析解可以得到(如孤波解)，但很多形式的解析解目前无法获得，因此对其数值解法的研究十分重要，提高其数值求解的精度也很有意义.众多数值方法都曾经用于求解RLW方程,例如五次和二次B样条Petrov-Galerkin有限元法[7]、伽辽金线性有限元法[8]、二次B样条集中伽辽金有限元法[9]、三次B样条配置法[10]、微分求积方法[11]、J分裂法和三次样条函数相结合的方法[12,13]、有限差分法[14]等.本文使用紧致差分方法进行空间离散,使用四阶龙格库塔方法[15]进行时间离散,提出了一种新的求解RLW方程的高精度数值格式,并通过数值计算，对新的数值格式的计算精度进行了研究.紧致有限差分方法是使用函数值的某种线性组合来表示该函数导数值的线性组合的一类差分方法,该方法增加了差分格式的精度与稳定性.对于函数u(x),x∈[a,b],将自变量区间n等分,插入n+1个节点x1(a),x2,…x,xn+1(b),相邻节点间距为h,则在内节点处,五点六阶精度的对称紧致差分格式为[4]其中，分别为节点xi处函数u以及u对x的一阶、二阶导数值.边界点与近边界点处的差分格式可参考文献[4].若节点处函数值已知,求解由内点、近边界点及边界点处的差分格式构成的线性方程组,即可求得各节点处的一阶和二阶导数值.RLW方程[5]的具体形式为数值求解该方程的主要困难在于其含有时间与空间的混合导数项,为此,本文构造了一种使用紧致差分方法与龙格库塔方法求解该方程的新的数值算法.引入变量将方程(3)改写为对方程(5)使用四阶龙格库塔方法其中,zn表示z在第n时间层的值;k1=g(tn,zn)=-(ux)n-ε(uux)n.由于un已知,由(1)式和(2)式可解得(ux)n,(uxx)n的值,进而可得到zn及k1的值.接下来给出k2,k3,k4的计算方法.以k2为例,记,由z与u的关系(4)式可得,利用(2)式可得由于已知,求解线性方程组(7)式即可得到,再利用(1)式求得ux,即可得到采用类似的方式可求出k3和k4的值,进而可用(6)式计算出zn+1.然后利用关系(7)式将其中替换为替换为un+1,可得到求解线性方程组(9),得到u在第n+1时间层的值un+1.考虑如下初始条件的RLW方程其对应的方程的精确解为其中,v=1+εd；.计算时取ε=1,μ=1,xc=0.由于算例为孤波解,边界处满足因此,为了简化边界点与近边界点的处理方式,计算时在求解区间左右端点的外侧分别外插了x-1=-80-2h,x0=-80-h,xn+2=120+h,xn+3=120+2h四个节点,并取u(x-1,t)=u(x0,t)=u(xn+1,t)=u(xn+2,t)=0,则近边界点与边界点即可按照内点处理. 为方便对比数值结果的误差,引入误差范数L2与L∞及守恒量I,它们分别定义为[16] 表1给出了在d=0.1,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法与几种其他算法求解RLW方程孤波解所得到的数值结果在时间t=20时的误差范数与守恒量对比.表2给出了在与表1相同条件下本文算法所得的数值结果与文献[4,11,15]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表3给出了在d=0.03,h=0.25,τ=10-3,x∈[-80,120]时本文算法所得的数值结果与文献[13]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.表4给出了在d=0.01,h=3/16,τ=10-3,x∈[-130,170]时本文算法所得的数值结果与文献[11]中的数值结果在不同时刻的误差范数与守恒量对比.可以看出，本文建立的数值格式在计算精度方面更高于其他数值方法；在长时间计算的过程中，本文格式一直保持了高计算精度，具有很好的稳定性；同时，通过表3和表4还可以看出，在方程参数变换过程中，本文格式同样保持了高计算精度.用紧致差分格式与龙格库塔方法构造了一种新的求解RLW方程的数值格式,较好地解决了对空间与时间的混合导数项的离散问题,并在空间和时间上都保持了高阶精度.使用新数值格式计算得到的RLW方程的数值解与其他数值格式获得的数值解进行了比较,结果显示本文构造的新数值格式具有更高的数值计算精度，因此该数值格式在RLW方程数值解法的研究中很有实用价值与参考意义.【相关文献】[1] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].Journal of Computational Physics,1992,103:16-42.[2] 王书强,杨顶辉，杨宽德.弹性波方程的紧致差分方法[J].清华大学学报:自然科学版,2002,42(8):1128-1131.[3] 田振夫.求解泊松方程的高精度紧致差分方法[J].黄淮学刊:自然科学版,1998,14(4):25-28.[4] 沈露予.不可压缩Navier-Stokes方程高精度算法研究[D].南京：南京信息工程大学,2005:8-10.[5] PEREGRINE D H.Calculations of the development of an undular bore[J].Journal of FluidMechanics,1966,25:321-330.[6] BONA J L,PRITCHARD W G,SCOTT L R.Numerical schemes for a model of nonlinear dispersive waves[J].Computer Physics Communications,1985,60:167-196.[7] DOGAN A.Numerical solution of regularized long wave equation using Petrov-Galerkin method[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2001,17:485-494. [8] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematical Modelling,2002,26:771-783.[9] ESEN A,KUTLUAY S.Application of a lumped Galerkin method to the regularized long wave equation[J].Applied Mathematical and Computation,2006,174:833-845.[10] RASLAN K R.A computational method for the regularized long waveequation[J].Applied Mathematical and Computation,2005,167:1101-1118.[11] 孙建安,陶娜，张涛锋，等.用余弦微分求积法数值求解RLW方程[J].西北师范大学学报:自然科学版,2011,47(5):30-34.[12] JAIN P C,SHANKAR R,SINGH T V.Numerical solutions of regularized long wave equation[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,1993,9:579-586. [13] ZAKI S I.Solitary waves of the splitted RLW equation[J].Computer Physics Communications,2001,138:80-91.[14] 罗明英,舒国皓，王殿志.RLW方程的有限差分逼近[J].四川师范大学学报:自然科学版,2001,24(2):138-143.[15] 王能超著.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,2002:105-106.[16] DOGAN A.Numerical solution of RLW equation using linear finite elements within Galerkin’s method[J].Applied Mathematica l Modeling,2002,26:771-783.。

有限元法的基本思想及计算步骤

用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1)连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2)单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量Fx，Fy。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e 表示： ,δ-e=*ui vi uj vj um vm+T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[Fix Fiy Fjx Fjy Fmx Fmy]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系 ,F-e=*k+e,δ-e (1)式中 [k]e——单元刚度矩阵。
Thank you
3)整体分析。
整体分析是对各个单元组成的整体进行分析。它的目的是要建立起一个线性方程组，来揭示结点外荷载与结点位移的关系，从而用来求解结点位移。有了式(1)，就可用结点的力平衡和结点变形协调条件来建立整个连续体的结点力和结点位移的关系式，即*K+,δ-=,R(2)式中 [K]——整体刚度矩阵; ,δ-——全部结点位移组成的列阵; {R}——全部结点荷载组成的列阵。在这个方程中只有,δ-是未知的，求解该线性方程组就可得到各结点的位移。将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。用有限元法不仅可以求结构体的位移和应力，还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。例如，结构体的整体动力方程 *M+,δ-+*C+,δ-+*K+,δ-=,F-式中 [M]——整体质量矩阵; [C]——整体阻尼矩阵; [K]——整体刚度矩阵; ,δ-——整体结点位移向量; {F}——整体结点荷载向量。求出结构的自激振动频率、振型等动力响应，以及动变形和动应力等。另一方面，在处理大型结构分析中(如飞机、桥梁等)，普遍采用子结构法、p型或h型有限元模型以及边界元法，从而提高了计算速度，降低了计算工作量,F-e=*k+e,δ-e

有限元法分析

1 11
2
xi xj
1 xm
yi yj
1 11
2
0 6
0 6 18 (cm2 )
ym 1 0 6
bi yj ym 0, ci xm xj 6,
bj ym yi 6, cj xi xm 0,
bm yi y j 6 cm xj xi 6
则由式(5-15)和式(5-18)，求得应变距阵[B]和平面应力问题的弹性距阵[D]为
单元4： i4 , j4 , m4 5, 6, 3
假设在单元分析中，已得出单元 1 在整体坐标系中的单元刚度
矩阵[K] (1)，写成分块形式为
局码 i
j
m
i K22
K 1 j
K32
K23 K33
K21 K31
1
2
3
m K12 K13 K11 1
单元1 i2 j3 m 1
23
1 总码
现以图5-9所示的某弹性体边界上的一部分单元的组合为例，来说明其叠加过程。
如图5-9所示，假设节点 i 是三个单元①、②、③的连接点，受相关单元上移置而来的外载荷 Rix与 Riy ，如图5-9(a)所示。
同时三个单元都受到节点 i 所施加的节点力Rix(1)、Riy(1)、Rix(2)、 Riy(2)、Rix(3)、Riy(3)，如图5-9(b)所示。
由虚功原理,可得单元的有限元方程，即节点力与节点位移之
间的关系，从而得到单元的刚度矩阵。
4. 整体分析（单元组集）
整体分析是对由各个单元组成的整体进行分析。整体分析的目的是建立节点外载荷与节点位移之间的关系，以求解节点位移。
把各单元按节点组集成与原结构体相似的整体结构，得到整体结构的节点力与节点位移之间的关系。

有限元法的发展

20世纪60年代有限单元法发展迅速，除力学界外，许多数学家也参与了这一工作，奠定了有限单元法的理论基础，搞清了布限单元法与变分法之间的关系，发展了各种各样的单元模式，扩大了有限单元法的进一步得到蓬勃发展，其应用范围扩展到所有工程领域，成为连续介质问题数值解法中最活跃的分支．由变分法有限元扩展到加权残数法与能量平衡法有限元，由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定性问题、动力问题和波动问题，由线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，由结构分析扩展到结构优化乃至于设计自动化，从固体力学扩展到流体力学、传热学、电磁学等领域．有限单元法的工程应用如表l—1所示．

这类问题的解决通常有两种途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态的解．这种方法只在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致不正确的甚至错误的解．

因此，人们在广泛吸收现代数学、力学理论的基础上，借助于现代科学技术的产物——计算机来获得满足工程要求的数值解，这就是数值模拟技术，数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要推动力之一

目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有：有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，但就其实用性和应用的广泛性而言，主要还是有限单元法．作为一种离散化的数值解法，有限单元法首先在结构分析，然后又在其他领域中得到广泛应用

离散化的思想可以追溯到20世纪40年代．1941年 A．Hrennikoff首次提出用构架方法求解弹性力学问题，当时称为离散元素法，仅限于用杆系结构来构造离散模型．如果原结构是杆系，这种方法是精确方法，发展到现在就是大家熟知的结构分析的矩阵方法．究其实质这还不能说就是有限单元法的思想．1943年 Rcourant在求解扭转问题时为了表征翘曲函数而将截面分成若干三角形区域，在各三角形区域设定一个线性的翘曲函数．这是对里兹法的推广，实质上就是有限单元法的基本思想，这一思想真正用于工程中是在电子计算机出现后

有限元综述

有限元综述近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径。

1965年“有限元”这个名词第一次出现，到今天有限元在工程上得到广泛应用，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

1960年，克拉夫（Clough）教授在他的一篇论文”平面分析的有限元法”中首次引入了有限元这一术语。

这一方法是结构分析专家把杆件结构力学中的位移法推广到求解连续体介质力学问题而提出来的.这一方法的提出,引起了广泛的关注,吸引了众多力学,数学方面的专家和学者的研究.有限元可应用于求解偏微分方程,可用于具有变分泛函的任何数学问题.有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，因此有限元法优于其他近似方法。

有限元分析概念是把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。

由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

有限元算法

有限元算法有限元算法是计算机科学中一种通用的数值计算方法，它把物理和数学问题的解决过程分割成一系列的小计算问题，并使用数值方法求解这些小问题，然后整合到大的解决方案中去。

有限元算法可以解决复杂的物理和数学问题，它具有高精度、稳健性、速度快和灵活性等优点，可以用于流体力学、热学、弹性力学、机械分析、数值计算及众多其他程和科学领域。

有限元算法的发展始于20世纪50年代，当时用于解决数学方程组的方法仍然停留在解线性方程的范畴，非线性方程的解决尚待进一步研究提供支持。

1960年，Richard Courant和David Hilbert著名的《数学物理学导论》一书中提出“有限元”概念，它标志着有限元算法正式迈出了发展的步伐。

1972年，O.C. Zienkiewicz和R.L. Taylor出现了《有限元法：数值分析应用》，使有限元算法确立了一种新的数值解法，它大大改变了史前时期解数值方程的办法。

有限元算法的核心就是在空间上划分网格，把压力分布表示成一系列节点的离散值，并在节点处的离散值间建立合理的连接关系，然后根据物理原理，建立有限元方程组以描述物理场的变化，最后使用迭代法求解这组方程组，从而得到物理场的预测值。

由于有限元算法的多样性，它支持多种不同类型的问题，特别是处理复杂问题时具有很大的优势。

有限元算法可以应用于复杂的物理和数学问题，它的多样性使它成为世界上最先进的科学计算技术。

有限元算法已经广泛应用于工程、航空航天、石油化工等多个领域中，为人类的社会发展作出了重要贡献。

由于有限元算法需要对网格进行划分以获得较高精度的结果，网格划分过程极其耗时，是有限元算法运行速度慢的关键因素。

为了提高有限元算法的运行速度，研究者们提出了多种新的优化方法。

例如，几何优化、物理优化和多尺度优化等技术，这些技术不仅可以减少网格划分中的重复计算，而且能够对复杂的物理场进行模拟和计算，使结果的精度提高。

随着有限元算法技术的发展，研究者们也设计出了许多高性能的软件平台，这些软件具有灵活的计算架构，可以让用户更方便快捷地使用有限元算法进行科学计算。

fruchterman-reingold算法

fruchterman-reingold算法
Fruchterman-Reingold算法是一种常用于可视化图形的力导向布局算法。

该算法通过模拟物理力学系统中的粒子运动来确定节点的位置。

其基本思想是将节点看作带电粒子，带有相互排斥力和相邻节点之间的引力。

节点之间的力会导致节点远离彼此，直到达到一个平衡状态。

算法的步骤如下：
1. 初始化节点的位置，可以随机分布或者根据需求进行设定。

2. 计算节点之间的斥力，节点之间的斥力与它们之间的距离成反比，即距离越近，斥力越大。

3. 计算节点之间的引力，节点之间的引力与它们之间的距离成正比，即距离越远，引力越大。

4. 对于每个节点，根据斥力和引力以及一定的能量衰减系数更新节点的位置，使节点朝着力的方向移动一定的距离。

5. 重复步骤2-4直到达到一定的迭代次数或者节点的位置不再变化。

通过迭代的过程，Fruchterman-Reingold算法可以将节点布局成一个比较均匀和美观的图形。

它经常被用于可视化复杂的网络或者图形结构，以帮助用户更好地理解和分析数据。