(2)(教师版)考点专题二 平面向量与复数

考点专题二 平面向量与复数（2）【考情分析】从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考内容.此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.【知识梳理】[重难点]1.复数的相等：两个复数),(),,(21R d c di c z R b a bi a z ∈+=∈+=，当且仅当c a =且d b =时，.21z z =特别地，当且仅当0==b a 时，.0=+bi a2. 复数的模：复数),(1R b a bi a z ∈+=的模记作z 或bi a +，有.22b a bi a z +=+=3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数z 的共轭复数记作z z ,-、-z 互为共轭复数.如果),(,R b a bi a z bi a z ∈-=+=-，则有R z ∈的充要条件是z z z ;-=是纯虚数的充要条件是z z -=-且.0≠z 4.复平面在平面直角坐标系中，可以用点),(b a Z 表示复数),(1R b a bi a z ∈+=，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称x 、y 轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C 和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系. 5.实系数一元二次方程实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式042<-=∆ac b 时，实系数一元二次方程R c b a c bx ax ∈=++,,(02且)0≠a 在复数集中有一对互相共轭的虚数根.2422i ab ac a b x -±-=[易错点]1.在进行复数计算时，要灵活利用i 和)2321(i +-=ωω的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于i 和ω的计算问题，并注意以下结论的灵活运用： ①i i 2)1(2±=±；②i iii i i -=+-=-+11,11；③)(,1,,13424144Z n i i i i i i n n n n ∈-=-===+++；④ωωω123212==--=-i ，.01,123=++=ωωω 2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当C z ∈时不总是成立的：①n m zz mnn m ,()(=为分数）；②)1(≠=⇒=z n m z z nm ；③00212221==⇒=+z z z z ，④.22z z =【基础练习】1. 若复数)3)(1(i bi -+是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则._____=b2.设i i z ()2(2-=为虚数单位），则复数z 的模为________.【答案】5（2013江苏） 3. 已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．（2013福建理）4. 已知集合{}i zi M ,,2,1=为虚数单位，{}4,3=N ，{}4=N M ，则复数=z （ ） i A 2.- i B 2. i C 4.- i D 4.解析：因为{}zi M ,2,1=，{}4,3=N ，由{}4=N M ，得M ∈4，所以4=zi ，所以 i z 4-=.答案：C【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013江西理）5. 若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________． 【答案】90°（2001上春）6. 已知C z ∈，且22i 1,i z --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是( B )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.（2009上春） 7. “22≤≤-a ”是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（ ） （A ）必要不充分条件． （B ）充分不必要条件． （C ）充要条件．（D ）既不充分也不必要条件．解：由实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根,可得240a ∆=-<,即可得(2,2)a ∈-,∵(2,2)[2,2]-⊆-, ∴“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的必要不充分条件, 故应选A ．（2009上文） 8. 设1z 、2z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）【答案】D （2013陕西理）.A 若021=-z z ，则=1z 2z .B 若=1z 2z ，则=1z 2z.C 若21z z =，则⋅1z =1z ⋅2z 2z .D 若21z z =，则2221z z = 【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，,a c b d ==，所以12z z =，故A 项正确；若12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故B 项正确；若12||||z z =，则2222a b c d +=+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；当12||||z z =时，可取i z z ==21,1，显然1,12221-==z z ，即2221z z ≠，假命题.【例题精讲】例1. 已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z .（2011上）解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， ∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+例2. 已知z 是复数，izi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.（2005上春）设R)∈+=y x yi x z 、(，i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y .i x x i i x i i x i z )4(51)22(51)2)(2(51222-++=+-=--=-由题意得 4=x . ∴ i z 24-=.∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=，根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0)2(804122a a a ，解得 62<<a ，∴ 实数a 的取值范围是)6,2(.例3. 已知复数z a bi =+（a 、b R +∈）(i 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ． 复数3w u i =+（u R ∈）满足w z -<u 的取值范围 ．（2009上文） 解：原方程的根为,22,1i x ±=,,+∈R b a ,2i z +=∴,524)2(|)2()3(|||2<+-=+-+=-u i i u z w 62<<-∴u ．例4. 对于复数．．d c b a ,,,，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意x ，y S ∈，必有xy S ∈”，则当221,1a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b c d ++等于（ ）（2010福建理）A.1B.-1C.0D.i解法1：由12=b ，得1=b 或1-=b .又∴=,1a 由集合中元素的互异性知.1-=b 由b c =2，即12-=c ，得i c =或i c -=.（1）当i c b a =-==,1,1时，{}d i S ,,1,1-=，因为集合S 具有性质“对任意x 、S y ∈，必有S xy ∈”，所以S i bc S i ac ∈-=∈=,，故i d -=，1-=++∴d c b .（2）当i c b a -=-==,1,1时，{}d i S ,,1,1--=，因为集合S 具有性质“对任意x 、S y ∈，必有S xy ∈”，所以S i bc S i ac ∈=∈-=,，故i d =，1-=++∴d c b .解法2：221,1a b c b=⎧⎪=⎨⎪=⎩，111a b c =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩或111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩或11a b c i =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或11a b c i =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，又因为集合中的元素具有互异性，且对任意x ，y S ∈，必有xy S ∈，所以11a b c i d i =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩或11a b c i d i=⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以b c d 1++=-．点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型．（2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的、c d 的不同取值，进而求出b c d ++；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法1优于解法2（3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想．（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识．（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高．“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题．所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势．【能力强化】1. 在复平面内，复数2)2(i -对应的点位于( )（2013北京理）【答案】DA.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限2. 若复数z 满足i z i 34)43(+=-错误！未找到引用源。

，则z 的虚部为（ ）（2013全国新课标I 理）A .4-B .54-C .4D .54 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i+-=3455i +，故z 的虚部为45，故选D.3. R m mi z ∈+=,2，若iz+--11对应点在第二象限，则m 的取值范围为__________. 4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为ii-+13、i +-2、0，则第四个顶点对应的复数为___________.5. 已知z 为复数，则2>+z z 的一个充要条件是z 满足 .（2003上春） 【答案】6. 设集合{}R x x x y y M ∈-==,sin cos 22，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<-=R x i i x x N 为虚数单位，,21,则N M 为_______.【答案】[)1,0（2011陕西理）7. （2013福建理第5题）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B 【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．满足题意的),(b a 的取值为)1,2(),1,1(),0,1(),1,1(),2,1(),1,1(),1,1(),0,1(-------，（2,0），共9个.8. 在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)（2005上） 解：原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i. 9. 已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.（2004上春）解：由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 10.已知关于x 的实系数一元二次方程02=++c bx ax 有两个虚根1x 、2x ，且i iac i ai ()31(-=-为虚数单位），121=-x x ，求实数b 的值. 【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算，复数的模及一元二次方程根与系数的关系.解：由题设i a c i ai -=-)31(，得⎩⎨⎧==c a a 31，所以⎩⎨⎧==31c a ，代入方程032=++bx x ，求出两虚根为212,2122221i b b x i b b x ---=-+-=，于是22112b x x -=-，由1122=-b ，得11=b 或11-.。