弹性力学预备知识12-23

C2 0.
所求特解为 x A coskt .
§1－2 一阶常微分方程的解法
一、可分离变量的微分方程 形如 g ( y)dy f ( x)dx 例如
dy 2 x2 y dx
4 5
的方程为可分离变量的微分方程.
4 5
y dy 2 x 2 dx
解法
设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,
dy P ( x )dx , y
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
齐次方程 非齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
第一章 数学预备知识
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 微分方程的一般概念 一阶常微分方程的基本解解法 高阶线性常微分方程解法 变分法的基本概念 矩阵代数的基础知识 函数的级数展开
§1－1
微分方程的一般概念
一、微分方程的定义及分类
凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程叫微分方程.是联系 自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。微分 方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶, 根据组成方程的未知函数个数,微分的性质,幂次等,可分为常微分方 程、偏常微分方程、线性与非线性微分方程以及微分方程组，等等
1
2
y C1er1x C2er2 x
(a)有两个相等的实根 ( p2 4q 0) p rx r1 r2 , 一特解为 y1 e 1 特征根为 2 另一特解设为 y2 u( x)er1x 代入原方程可求得
u 0, 取 u ( x) x ,则 y2 xer1x
d2x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, C1 A, dt t 0
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx Q( x )e
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
例: 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线 y f (x) 与
偏微分方程.
y 3 y 2 z z 2 y z
常微分方程组
二、微分方程的求解
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的 解. 设 y ( x) 在区间 I 上有 n 阶导数，使得
F[ x, ( x),( x),, ( n) ( x)] 0 y ( x) 为方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0. 的解 则称
y C1e C2e
rx 1
r2 x
y C1er1x xC2er2 x
y e x C1 cos x C2 sin x
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy 0 (齐次) y py qy f ( x ) (非齐次)
二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法
设 y e rx , 将其代入上述齐次方程, 得 2 rx 2 rx ( r pr q )e 0 e 0， r pr q 0
微分方程的解概念 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例
y y ,
y y 0
通解 y ce x
通解 y c1 sin x c2 cos x
(2)特解:
确定了通解中任意常数以后的解。
（3）解的图象: 微分方程的积分曲线(族) （4）初始条件: 用来确定任意常数的条 件 （5）初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
当存在u0 ,使 f (u0 ) u0 0，则u u0是新方程的解，
代回原方程 , 得齐次方程的解为 y u0 x。
三、
一阶线性微分方程
1、一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx 2、一阶线性微分方程的解法
1） 线性齐次方程 (使用分离变量法)
g( y )dy f ( x )dx
1 5
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g ( y )和 f ( x ) 的原函数, G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的解。上例方程的解为
2 3 y x C 3
二、齐次方程
1.定义： 形如
dy y f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x
结论: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的 方法称为特征方程法。n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程 的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常 数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例1
求方程 y 4 y 4 y 0 的通解
解得
P ( x ) dx
y u( x )e
P ( x ) dx , u( x )[ P ( x )]e
P ( x ) dx u Q( x ), 将y和y代入原方程得 ( x )e
P ( x )dxdx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
2 (1) 若不是特征方程的根 p q 0
Q( x ) ln y dx P ( x )dx , y
C u( x) ev x 与齐次方程通解相比
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
P ( x ) dx
(r 1)(r 2 1)2 0
r1 1, r2 r3 j, r4 r5 j
特征根为
故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x
四、二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f ( x) 非齐次线性方程 y py qy 0 对应齐次方程
2.解法 作变量代换
u
y , x
即 y xu,
dy du du u x , f (u), 代入原式 u x dx dx dx du f ( u) u 可分离变量的方程 即 . dx x du u 当 f (u) u 0时,得 ln C1 x , 即 x Ce f u u y du y 其中 (u) ， 将u 代入，可得通解x Ce x f (u) u x
.
2）线性非齐次方程
讨论

dy P ( x ) y Q( x ). dx
dy Q( x ) P ( x ) dx, y y
两边积分 Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y 非齐次方程通解形式 即 y e v ( x ) e P ( x ) dx .
特征方程的根 通解中的对应项
若是 k 重根 r
(C 0 C1 x C k 1 x k 1 )e rx
k 1 若是 k 重共轭 [(C0 C1 x C k 1 x ) cos x
复根 i
( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
y x 3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面
积, 求曲线 f ( x ).
解:
0
x
f ( x )dx ( x y ) ,
3 2
0
2
x
ydx x 3 y,
两边求导得 y y 3 x ,
解此微分方程
y
Q
y x3
C 3 x 2e dx dx ye
四、二 阶常系 通解结构 y Y y* （Y 齐次方程通解，y -非齐次方程特解） 数非齐 讨论：f ( x) e x P ( x), （其中P ( x)为多项式） 次线性 m m 设非齐方程特解为 y* Q( x)e x 代入原方程 微分方
Q( x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) P 程 m x
y xy ,
y P( x) y Q( x)
一阶常微分方程
y 2 y 3 y e x
x( y)2 2 yy x 0
二阶常系数非其次微分方程. 一阶非线性常微分方程.
( n1)
y
( n)
f ( x, y, y,, y
)
n阶常微分方程.
z x y x
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
二阶:
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) y x x0 y 0 , y x x0 y 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线。