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上海市崇明区2020 届高三一模数学试卷

2019.12

一 . 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）

1. 已知集合 A {0,1,2,3} ， B { x |0 x 2} ，则 A I B

2.不等式 | x 2| 1的解集是

3.半径为 1 的球的表面积是

4. 已知等差数列{ a n } 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和S n

5.函数 f ( x)x 1 的反函数是

6. 计算：lim 3n 12n n n 1

n32

2

7.二项式 ( x )6的展开式中常数项的值等于

x

8.若双曲线的一个顶点坐标为 (3,0) ，焦距为10，则它的标准方程是

9. 已知a、b R，若直线 x 2y 3 0与直线 (a 1)x by 2 互相垂直，则 ab 的最大

值等于

10. 已知函数f (x)是定义在R上的周期为 2 的奇函数，当0x 1 时，f ( x) x3ax 1 ，

则实数 a 的值等于

11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，

若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同

的选派方案共有种

12. 正方形 ABCD 的边长为4， O 是正方形 ABCD 的中心，过中心O 的直线 l 与边 AB 交于

点 M，与边CD交于点N， P 为平面上一点，满足

uuur

2OP

uuur

OB(1

uuur )

OC

uuur

uuur ，则PM

PN

的最小值为

二 . 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共20 分）

13.若 a0 b ，则下列不等式恒成立的是（）

A. 1 1

B. a b

C. a3b3

D. a2b2

a b

14.已知 z C ，“ z z0 ”是“z为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

15. 如图，在底面半径和高均为 2 的圆锥中，AB、CD是底面圆 O 的两条互相垂直的直径， E 是母线 PB 的中点，已知过CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）

1

B. 1

C.10

D.

5

A.

42

2

16. 若不等式(| x a | b)sin(x)0 对 x[ 1,1]恒成立，则 a b 的值等于（）

6

25

C.1

D. 2

A. B.

36

三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）

17. 在直三棱柱ABC A1 B1C1中， ABC 90 ， AB BC 1， BB1 2 .

（1）求异面直线B1C1与A1C所成角的大小；

（2）求点B1与平面A1BC的距离 .

18. 已知函数f (x)3

sin 2x cos2 x1. 22

（1）求函数f (x)的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；

（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为 a 、b、 c ，且c 3 ， f (C )0 ，若 sin B 2sin A，求a、 b 的值.

19. 某辆汽车以 x 公里 /小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求

60 x 120 ）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为

1

(x 100

4500) 升 .

5

x

（1）欲使每小时的油耗不超过

9 升，求 x 的取值范围；

（2）求该汽车行驶 100 公里的油耗 y 关于汽车行驶速度 x 的函数，并求 y 的最小值 .

20. 已知椭圆

:

x 2

y 2 1，其左右顶点分别为 A 、 B ，上下顶点分别为 C 、 D ，圆 O

4

是以线段 AB 为直径的圆 .

（1）求圆 O 的方程；

2 ）若点 E F

y 轴对称的两个不同的点， 直线 CE DF 分别交 x 轴于点 M 、 （ 、 是椭圆上关于 、

uuur uuur

N ，求证： OM ON 为定值；

（3）若点 P 是椭圆

上不同于点 A 的点，直线 AP 与圆 O 的另一个交点为

Q ，是否存在点

uuur 1 uuur

P 的坐标，若不存在，说明理由 .

P ，使得 AP

PQ ？若存在，求出点

3

21. 已知无穷数列 { a n } 、 {b n } 、 { c n } 满足：对任意的 n N * ，都有 a n 1 | b n | | c n |，

b n 1 |

c n | | a n | ， c n 1 | a n | | c n |，记

d n max{| a n |,| b n |,| c n |} （ max{ x, y, z} 表示 3 个

实数 x 、 y 、 z 中的最大值） .

（1）若 a 1 1， b 1 2 ， c 1 4 ，求 a 4 、 b 4 、 c 4 的值； （2）若 a 1

1， b 1

2 ，求满足 d 2

d 3 的 c 1 的所有值；

（3）设 a 1 、 b 1 、 c 1 是非零实数，且 | a 1 | 、 |b 1 |、 | c 1 |互不相等，证明：存在正整数 k ，使

得数列 { a n } 、 { b n } 、 { c n } 中有且只有一个数列自第

k 项起各项均为 0.