您的位置：360文档中心› 图形的相似测试题1

图形的相似测试题1

合集下载

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(有答案解析)(1)

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 与DAF △的面积之比为（ ）A ．2:5B ．3:5C ．4:25D ．9:252．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为16米，若小明的眼睛与地面距离为1.5米，则旗杆的高度为（ ）A ．643米 B ．12米 C ．9米 D ．163米 3．下列说法中，正确的说法有（ ） ①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为49； ④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足512MG GN MN MG -==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．55B ．355C ．205-D ．1045-5．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．点B是线段AC的黄金分割点，且AB<BC．若AC=4，则BC的长为（）A．252+B．252-C．512-D．51-7．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．AB BCAD DE=D．AB ACAD AE=8．如图，在正方形ABCD中，BPC△是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①2BE AE=；②DFP BPH∽△△；③PFD PDB∽△△；④2DP PH PC=⋅．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④9．若34,x y=则xy=（）A．34B．74C．43D．7310．若ad=bc，则下列不成立的是( )A ．a cb d= B ．a c ab d b-=- C ．a b c db d++= D ．1 111a cb d ++=++ 11．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO GP =，下列结论：①GOP BCP ∠=∠，②BC BP =，③:21BG PG =+，④DP PO =．正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．如图，△ABC 是测量小玻璃管内径的量具，AB 的长为18cm ，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处（D 、E 分别在AC 、BC 上，且DE ∥AB ），那么小玻璃管内径DE 是_____cm ．14．如图，小静在横格纸上画了两条线段AB ，CD ，点A ，D 在同一条格线上，点B ，C 在同一条格线上，AB 与CD 的交点也在格线上，横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，若4=AD ，则BC =______．15．如图，一组平行线L1、L2、L3截两相交直线L4、L5，则AOED=____．16．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为__________米．17．已知点P在线段AB上，且AP∶PB=2∶3，则PB∶AB=____．18．如图，若ABC与DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF与ABC的周长比为_________．19．在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若ADE面积为14，则四边形DBCE的面积为_____．20．如图，4AB=，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，12BE DB=，作EF DE⊥并截取EF DE=，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE x=，BC y=，则y关于x的函数解析式是__________．三、解答题21．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBDCAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．22．如图1，ABC 中，ACB 90∠=︒，D 为AB 上的一点，以CD 为直径的O 交BC 于E ，连接AE 交CD 于G ，交O 于F ，连接DF ，BAC EFD ∠=∠．（1）求证：AB 与O 相切；（2）如图2，若AF:FG 3:2=， ①若6AF =，求线段CG 的长； ②求tan CAE ∠的值．23．如图，在△ABC 中，∠C =∠ADE ，AB =3，AD =2，CE =5， 求证：（1）△ADE ∽△ACB ； （2）求AE 的长．24．如图，小明为了测量大树AB 的高度，在离B 点21米的N 处放了一个平面镜，小明沿BN 方向后退1.4米到D 点，此时从镜子中恰好看到树顶的A 点，已知小明的眼睛（点C ）到地面的高度CD 是1.6米，求大树AB 的高度．25．如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点A 处，小丽站在点C 处，这时小军的身高AB 形成的影子为AE ，小丽身高CD 形成的影子为CF ．（1）请画图确定灯泡P 的位置（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子AE 和CF 分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离AC 为10米，点E ，A ，C ，F 在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．26．如图，ABC 的顶点坐标分别为()1,3A 、()4,2B 、()2,1C ． （1）以原点O 为位似中心，在原点另一侧画出111A B C △，使1112AB A B = （2）写出1A 的坐标______． （3）111A B C △的面积是______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ∥AB ，∴∠EDF=∠ABF ，∠DEF=∠BAF ， ∴△DEF ∽△BAF ． ∵DE ：EC=3：2，∴33325DE BA ==+， ∴35EF DE AF BA ==， 设点D 到AE 的距离为h ，∴D 132152DEF AFEF hS S AF AF E h F ⋅===⋅． 故选择：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．B解析：B 【分析】如图，BC=2m ，CE=16m ，AB=1.5m ，利用题意得∠ACB=∠DCE ，则可判断△ACB △DCE ，然后利用相似比计算出DE 的长． 【详解】解：如图，BC=2m ，CE=16m ，AB=1.5m ， 由题意得ACB DCE ∠=∠，ACB DCE ∴，AB BC DE CE ∴=，即1.52=16DE ， 12DE m ∴=，∴旗杆的高度为12m ．故选：B ．．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．3．C解析：C 【分析】根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、 【详解】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误； ②一元二次方程x 2-3x -4=0 （x -4）（x +1）=0 x -4=0或x =1=0x 1=4，x 2=-1，故②正确；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为22()349=，故③正确；④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误； ⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确． 故选：C 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．4．A解析：A 【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题． 【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ， ∵AB=AC ， ∴BF=12BC=2， 在Rt ABF ，AF=2222325AB BF -=-=，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴512CD BC -=即5142CD-=， 解得CD=252-，∴12ADCC AF SD ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBSS；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案． 【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线 ∴12DE BC =，即①结论正确； 又∵DE 是ABC 的中位线∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误； 又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OEAB OB=，即③结论正确； ∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COECOE ABC ADCS S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．6．B解析：B 【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BC=12AC ，将AC=4代入即可得出BC 的长度． 【详解】 解：∵点B 是线段AC 的黄金分割点，且AB ＜BC ，∴AC ， ∵AC=4，∴BC=2．故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 7．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．D解析：D【分析】由正方形ABCD ，与BPC △是等边三角形的性质求解，求解30,EBA ∠=︒ 从而可判断①；证明60,PFE BPC ∠=∠=︒ =15,PBH PDF ∠=∠︒ 可判断②；由15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒ 可判断③； 证明30,PDH PCD ∠=︒=∠ 再证明,PDH PCD ∽ 可得,DP PH PC PD=从而可判断 ④． 【详解】 解： 正方形ABCD ，90,,ABC A BCD ADC CB CD AB ∴∠=∠=∠=∠=︒==BPC △是等边三角形，60,PBC PCB BPC ∴∠=︒=∠=∠906030,EBA ∴∠=︒-︒=︒2,BE AE ∴= 故①符合题意；正方形ABCD ，//,45,AD BC CBD ∴∠=︒60,PFE PCB ∴∠=∠=︒60,PFE BPC ∴∠=∠=︒BPC △是等边三角形，,PC BC CD ∴==而906030,PCD ∠=︒-︒=︒()11803075,2CDP ∴∠=︒-︒=︒ 907515,PDF ∴∠=︒-︒=︒由60,45,PBC CBD ∠=︒∠=︒15,PBH ∴∠=︒,PBH PDF ∴∠=∠,BPH DFP ∴∽ 故②符合题意；15,30,15,60,PBD BDP PDF PFD ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒,PFD BPD ∴不相似，故③不符合题意；正方形ABCD ，45CDB ∴∠=︒，90451530,PDH PCD ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠,DPH CPD ∠=∠,PDH PCD ∴∽,DP PH PC PD∴= ∴ 2DP PH PC =⋅，故④符合题意，综上：符合题意的有：①②④．故选：.D【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含30的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键． 10．D解析：D【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a c b d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由a c ab d b -=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由a b c d b d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； D 、由1?111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．11．D解析：D【分析】由正方形的性质证明180BOG BCG ∠+∠=︒，结合180BOG GOP ∠+∠=︒， 从而可判断①；由GO GP =，可得,GOP GPO ∠=∠从而可得,GPO BCP ∠=∠可判断②；设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b === 再证明,DHP BGP ∽ 可得,DH HP BG PG= 求解2,b HP a= 再证明,PG b = 利用,HG HP PG =+ 列方程2,b a b b a -=+解关于a 的方程并检验即可判断③；证明,DHP CHD ∽求解DP = 再证明,BCP GPO ∽ 求解PO = 由,a b ≠ 可判断④，从而可得答案．【详解】解： 正方形ABCD 与正方形EFGH ．45,45,DBC EGF ∴∠=︒∠=︒90,BGC ∠=︒4590135,EGC ∴∠=︒+︒=︒36036045135180,BOG BCP OBC OGC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180,BOG GOP ∠+∠=︒∴ GOP BCP ∠=∠，故①符合题意；GO GP =，,GOP GPO ∴∠=∠,GPO BCP ∴∠=∠,BC BP ∴= 故②符合题意；正方形,FGHE//,EH FG ∴,DHP BGP ∴∽,DH HP BG PG∴= 设,,BG a CG b == 则,DH CG BF b ===,,BC BP BG PC =⊥,PG CG b ∴==,b HP a b∴= 2,b HP a∴= ,FG HG HP PG a b ==+=-2,b a b b a∴-=+ 2220,a ba b ∴--=(21,2b a b ±∴==±经检验：(1a b =-不合题意，舍去，(1,a b ∴=+(11b BG a PG b b∴===+ 故③符合题意；,,BC BP BG CP =⊥,CBG PBG ∴∠=∠//,DE BG,HDP PBG ∴∠=∠,CBG DCH ∠=∠,HDP DCH ∴∠=∠,DHP CHD ∠=∠,DHP CHD ∴∽,DH DP CH CD∴= ,,DH b CH BG a ===CD ∴=b a ∴=DP ∴= 45,,,CBP PGO BC BP GP GO ∠=︒=∠==,BC BP PG GO∴= ,BCP GPO ∴∽ ,BC CP GP PO∴=22,BC CD PC CG b ====2,b b PO=PO ∴=,a b ≠,DP PO ∴≠ 故④不符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是四边形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．12【分析】利用平行证明△CDE ∽△CAB 根据相似三角形对应边成比例的性质即可求DE 长【详解】∵DE ∥AB ∴△CDE ∽△CAB ∴即解得：cm 故答案为：12【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质解题解析：12【分析】利用平行证明△CDE ∽△CAB ，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求DE 长．【详解】∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴=CD DE CA AB ，即()6020=6018DE - 解得：12DE =cm故答案为：12【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质：相似三角形对应边成比例．14．6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线根据平行线分线段成比例可得代入计算即可解答【详解】解：如图过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线∵横格纸的横线平行解析：6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，根据平行线分线段成比例可得AD OE BC OF=，代入计算即可解答．【详解】解：如图，过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，∵横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等， ∴AD OE BC OF =， 即423BC =， ∴CD=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．15．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 16．【分析】在同一时刻物高和影长成比例列比例式求解即可【详解】解：设他的同学的影长为xm ∵同一时刻物高与影长成比例∴解得x=2经检验x=2是原方程的解∴他的同学的影长为2m 故答案为：2【点睛】此题主要考解析：【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．【详解】解：设他的同学的影长为xm ，∵同一时刻物高与影长成比例，∴1.4 1.61.75x=， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解，∴他的同学的影长为2m ，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．17．3∶5（或）【分析】根据比例的性质直接求解即可【详解】解：由题意AP:PB=2:3∴PB:AB=PB:(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或）【点睛】本题主要考查比例问题关键是解析：3∶5（或35） 【分析】根据比例的性质直接求解即可．【详解】解：由题意AP:PB=2:3，∴PB :AB = PB :(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或35）． 【点睛】本题主要考查比例问题，关键是根据比例的性质解答． 18．【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解：设正方形网格的边长为1由勾股定理得：D【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE ＝EF ＝同理可求：AC，BC∵DF ＝2，AB ＝2，∴1EF DE DF BC AB AC === ∴△EDF ∽△BAC ，∴DEF 与ABC，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．【分析】先根据三角形的中位线定理可得再根据相似三角形的判定与性质可得由此即可得出答案【详解】在中DE 分别是ABAC 的中点即面积为面积为则四边形DBCE 的面积为故答案为：【点睛】本题考查了三角形的中位 解析：34【分析】 先根据三角形的中位线定理可得1,//2DE BC DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质可得14ADE ABC S S =，由此即可得出答案． 【详解】在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，1,//2DE BC DE BC ∴=， ADE ABC ∴，214ADE ABC S DE SBC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即4ABC ADE S S =△△， ADE 面积为14， ABC ∴面积为1414⨯=， 则四边形DBCE 的面积为13144ABC ADE SS -=-=， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20．【分析】作FG ⊥BC 于G 依据已知条件求得△DBE ≌△EGF 得出FG=BE=xEG=DB=2x 然后根据平行线的性质即可求得【详解】解：作FG ⊥BC 于G ∵∠DEB+∠FEC=90°∠DEB+∠BDE=9解析：124x y x =-- 【分析】作FG ⊥BC 于G ，依据已知条件求得△DBE ≌△EGF ，得出FG=BE=x ，EG=DB=2x ，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG ⊥BC 于G ，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG ，在△DBE 与△EGF 中B FGE BDE FEG DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△EGF ，∴EG=DB ，FG=BE=x ，∴EG=DB=2BE=2x ，∴GC=y -3x ，∵FG ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴FG ∥AB ，CG ：BC=FG ：AB ， 即34x y x y-=， ∴124x y x =--． 故答案为：124x y x =--． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，熟练掌握辅助线的做法是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似； （2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC =， ∴13CB CB =，即CB =． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．22．（1）见解析；（2）①GC =②12. 【分析】（1）由余角的定义得到1290∠+∠=︒，由三角形外角性质得到3+4EFD ∠=∠∠，结合已知条件可证得2=4∠∠，再由同弧所对的圆周角相对可得1=FDC ∠∠，由此证明490FDC ∠+∠=︒即可解题；（2）①连接CF ，由直径所得的圆周角是90°可证90FCD CDF ∠+∠=︒，继而证明FGC CGA ，由相似三角形对应边成比例解得FG CG CG GA =，据此解题即可； ②过点F 作FN CD ⊥，继而证明FCN DFN ，根据相似三角形的性质可得FN CN DN FN =，整理得2FN DN CN =⋅，再证明FGC CGA ，得到2252CG FG =，在Rt FNG 中，根据勾股定理解得222FN FG GN =-，继而得到DN CN ⋅=22FG GN -，由已知条件设2,3GN x ND x ==，CG m =，整理得到22231005m xm x --=，根据公式法解关于字母m 的一元二次方程，得到10,12,6CG x CN x FN DN CN x ===⋅=，最后根据等角的正切值相等解题即可．【详解】解：（1）,EFD ECD BAC EFD ∠=∠∠=∠BAC ECD ∴∠=∠90ACB ∠=︒90CEA CAE ∴∠+∠=︒90ECD ACD BAC ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒90ADC ∴∠=︒CD AB ∴⊥AB ∴与O 相切；（2）①:3:2,6AF FG AF ==4FG ∴=10AG ∴=连接CFCD 为直径90CFD ∴∠=︒90FCD CDF ∴∠+∠=︒90,CEA CAE CEA CDF ∠+∠=︒∠=∠CAE FCD ∴∠=∠FGC FGC ∠=∠FGC CGA ∴ FG GC CG AG∴= 241040CG FG GA ∴=⋅=⨯=210GC ∴=；②过点F 作FN CD ⊥，AB 与O 相切，AB CD ∴⊥ //FN AB ∴32AF DN FG GN ∴== 设2,3(0)GN x ND x x ==>90CNF FND ∠=∠=︒+=90FCN CFN CFN NFD ∠∠=∠+∠︒ FCN NFD ∴∠=∠FCN DFN ∴FN CN DN FN∴= 2FN DN CN ∴=⋅CAE FCD ∠=∠，FGC FGC ∠=∠FGC CGA ∴FG GC CG AG∴= :3:2AF FG =2252CG FG ∴= 在Rt FNG 中，222FN FG GN =-DN CN ∴⋅=22FG GN -2223()45x CG GN CG x ∴⋅+=- 即2223(2)45x CG x CG x ⋅+=- 设CG m = 22223645xm x m x ∴+=- 即22231005m xm x --= 22,3,105a b x c x ==-=- 222224(3)4(10)255b ac xx x ∴∆=-=--⨯⨯-= 13510425b xx m x a -+∴=== 23554225b x x m x a --===-（舍去）10,12,6CG x CN x FN DN CN x ∴===⋅=61tan 122FN x FCN CN x ∠=== CAE FCN ∠=∠ 2ta 1ta n n FCN CAE ∴∠==∠． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）见解析；（2）1【分析】（1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE 的长度．【详解】解：（1）证明：∵∠C =∠ADE ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB（2）解：由（1）知，△ADE ∽△ACB ，则AD AE AC AB=∵AB =3，AD =2，CE =5， ∴253AE AE =+， 得：121,6AE AE ==-（舍去）∴AE 的长是1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．24米【分析】先证明△CDN ∽△ABN ，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长．【详解】解：∵AB ⊥DB ，DC ⊥DB ，∴∠CDN=∠ABN=90°，∵∠CND=∠ANB ，∴△CDN ∽△ABN ． ∴CD AB DN BN =， 即1.61.421AB =， ∴AB=1.6×21÷1.4=24（米），答：大树AB 的高度为24米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出△CDN ∽△ABN 是解题关键． 25．（1）见解析；（2）路灯的高度7.2米．【分析】（1）连接EB ，FD ，延长EB 交FD 的延长线于点P ，点P 即为所求作．（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．设AH ＝x 米，则CH ＝（10−x ）米，利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：（1）作图如下：P ∴点即为所求灯泡的位置．（2）过P 做PH AC ⊥于点H ，设AH x =米，则(10)CH x =-米，PH AC ⊥，AB AC ⊥，E E ∠=∠，EAB EPH ∴△△∽．EA AB EH PH∴=． 1 1.81x PH∴=+． 1.8(1)PH x ∴=+．同理可证：FDC FPH ∽．CF DC FH PH ∴=． 即2 1.6210 1.8(1)x x =+-+． 解得：3x =． 1 1.813PH ∴=+． 解得：7.2PH =．答：路灯的高度7.2米．【点睛】本题考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（1）见解析；（2）()12,6A --；（3）10【分析】（1）根据位似图形的性质即可以原点O 为位似中心，在原点另一侧画出111A B C △，使1112AB A B =； （2）结合（1）即可写出A 1的坐标；（3）根据网格利用割补法即可求出111A B C △的面积．【详解】解：（1）如图，111A B C △为所求．（2）由图可知：()12,6A --．故答案为：()2,6--．（3）111A B C △的面积是：1114626242410222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质．。

2022学年上学期青岛版九年级数学上册第一章【图形的相似】测试卷附答案解析

2022学年上学期青岛版九年级数学上册第一章【图形的相似】测试卷附答案解析

2022学年上学期九年级数学上册第一章【图形的相似】测试卷试卷满分120分,考试时间120分钟.第l 卷（选择题共36分 ）一、单项选择题（共 8小题，每小题3分 ，共24分.每小题四个选项只有一项正确.）1.如图，三个矩形中相似的是 ( )A ． 甲和乙B ． 乙和丙C ． 甲和丙D ． 没有相似矩形2. 在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR3.两个相似多边形的一组对应边分别是3cm 和4.5cm ，如果它们的周长之和是80cm ，那么较大的多边形的周长是（ ）A ．16cmB ．32cmC ．48cmD ．52cm4. 如图，在△ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中，不能满足△APC 与△ACB 相似的条件是（ ）.A. ∠ACP =∠BB. ∠APC =∠ACBC. AC 2=AP •AB ；D.AB •CP =AP •CB5.如图，▱ABCD 中， 35AB BC BE ==，，平分ABC ∠交AD 于点E 、交AC 于点F ，则AF FC 的值为（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 32 D ． 236. 如图，AB ，CD 相交于点E ，且AC ∥EF ∥DB ，点C ，F ，B 在同一条直线上．已知AC ＝p ，EF ＝r ，DB ＝q ，则p ，q ，r 之间满足的数量关系式是（ ）A ．+＝B ．+＝C ．+＝D ．+＝7. 如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，使斜边DF 与地面保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝30cm ，EF ＝15cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝120cm ，CD ＝600cm ，则树AB 的高度为( )cm ．A.300B.400C.420D.4808.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 第6题图A.524B.532C.173412D.173420 二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分.每小题四个选项有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的即得0分.）9.如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )A ．31=BC DEB ．21=∆∆的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31= 10.如图，平行四边形ABCD 中，连接AC ，在CD 的延长线上取一点E ，在CB 的延长线上取一点H ，连接EH ，交AD 、AC 、AB 分别于点F 、点K 、点G ，则下列结论正确的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝11.（2022寿光市期中）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A ，B 的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A 沿着垂直于AB 的方向走到E ，再从E 沿着垂直于AE 的方向走到F ，C 为AE 上一点，其中4位同学分别测得四组数据：其中能根据所测数据求出A ，B 两树距离的有（ ）． A ．AC ，∠ACB B ．EF ，DE ，∠F C ．CD ，∠ACB ，∠ADB D ．∠F ，∠ADB ，FB12.如图，正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，CG ⊥DE 于G ，延长BG 交CD 于点F ，延长CG 交BD 于点H ，交AB 于N ，下面四个正确结论的是（ ）A.＝；B.S △DEC ＝3S △BNH ；C.∠BGN ＝45°；D.GN +EG ＝BG ；第 II 卷（非选择题 共84分）三 、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.只填写最后结果.）13. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =12cm ，BC =27cm ，E 、F 分别在两腰AB 、CD 上，且EF ∥AD ，如果梯形AEFD ∽梯形EBCF ，则EF = __ _ ．第7题图第8题图 第10题第9题图第11题 第12题14. 如图，点A ，B 都在格点上，若BC ＝，则AC 的长为 . 15. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m 的竹竿AC 斜靠在石坝旁，量出竿上AD 长为1m 时，它离地面的高度DE 为0.6m ，则坝高CF 为 m ．16. 在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于21，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为（2，4），则其对应点A 1的坐标是 ．四 、解答题 （共7小题，共68分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（7分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点0；(2)求出△ABC 与△A′B′C′的位似比；(3)以点0为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比等于1.5．18.（8分） 如图，在△ABC 中，D 在AC 上，DE ∥BC ，DF ∥AB ．（1）求证：△DFC ∽△AED ；（2）若CD ＝AC ，求的值．19．（9分）如图，在水平桌面上有两个“E”，当点P 1，P 2，O 在同一条直线上时，在点O 处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．(1)图中b 1，b 2，l 1，l 2满足怎样的关系式？(2)若b 1＝3.2 cm ，b 2＝2 cm ，①号“E”的测试距离l 1＝8 cm ，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离应为多少？20.（10分）阅读下面材料：“如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．” 第13题图 第14题图 第15题图第17题图 第18题第19题图（1）选择：如图1，点O 是等边△PQR 的中心，P ′、 Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′与△PQR 是位似三角形，此时，△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比、位似中心分别为( )A.2，点P B ．12 ，点PC ．2，点O D.12 ，点O （2）如图2，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形，阅读后证明相应的问题的画法： ①在△AOB 内画等边△CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上，②连结OE 并延长交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′，过点E ′作E ′D ′∥ED 交OB 于点D ′；③连结C ′D ′，则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形，求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．21．（11分）如图，学校的操场上有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处竖立3 m 高的竹竿CD ；乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE ＝3 m ，乙的眼睛到地面的距离FE ＝1.5 m ；丙在C 1处竖立3 m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处后退6 m 到E 1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1＝4 m ．求旗杆AB 的高．22.（11分）（2021·黄冈中考）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．23.（12分）问题探究（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠ADC 互余，小明发现四边形ABCD 中这对互余的角可进行拼合：作∠CDF ＝∠ABC ，在射线DF 上任取一点E （不与点D 重合），连接AE ，发现AD ，DE ，AE 之间的数量关系是 ；问题解决（2）如图2，有一个四边形公园ABCD ，B 、D 是公园的两个入口，AC和BD 是公园的两条主干道，其中∠BAC ＝90°，∠ABC 与∠ADC 互余，AB ＝2AC ，AD ＝100m ，CD ＝70m ，求BD 的长．2022学年上学期青岛版九年级数学上册第一章【图形的相似】测试卷1.C2.A 解析:∵以点O 为位似中心，∴点C 对应点M ，设网格中每个小方格的边长为1，则OC =√22+12=√5，OM =√42+22=2√5，OD =√2，OB =√32+12=√10，OA =√32+22=√13，OR =第21题图 第23题图第22题图√22+12=√5，OQ＝2√2，OP=√62+22=2√10，OH=√62+32=3√5，ON=√62+42=2√13，∵OMOC=√5√5=2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．3.C解析：设较大多边形与较小多边形的周长分别是m，n．则＝＝．因而n＝m．根据周长之和是80cm．得到m+m＝80．解得：m＝48cm．4.D5.B6.C解析：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴＝+＝＝＝1，即＝1，∴．故选：C．7.C解析：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm.选C.8.A解析:如图所示：设DM＝x，则CM＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，解得：x＝4，∴DM＝6，∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM=＝5，过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，∴BH BDAB BM=，即385BH=，解得BH＝524，即水面高度为524．9.AD 10.ABD解析：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BCA.∵AB∥CD，∴＝，故A符合题意；B.∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠EFD＝GHB，∠HBG＝∠HCD＝∠FDE，∴△GHB∽△EFD，∴，故B符合题意；C.∵AB∥CD，∴∠AFG＝∠H，而∠AGF＝∠BGH，∴△HBG∽△FAG，∴，而HB＝FD不一定成立，故C不符合题意；D.∵AB∥CD，AD∥BC，∴，，∴，故D符合题意；故选：ABD．11.A C解析：A选项中知道∠ACB和AC长，可以根据AB＝AC•tan∠ACB求出AB，故A选项正确；B选项中tan∠F＝，得不到与AB相关的具体数量关系，故B选项不正确；C选项中根据﹣＝CD，即可计算出AB，故C选项正确；D选项中∠F+∠ADB＝90°，FB得不到与AB相关的具体数量关系，故D选项不正确，故答案为：A，C．12.ABCD解析：A.∵在正方形ABCD中，AB∥CD，∴△NBH∽△CDH，∴＝，∵△NBC≌△ECD（ASA），E为BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴NB＝BC＝CD，∴＝＝，故A正确；B.如下图所示，过H点作IJ∥AD，∵△NBH∽△CDH，∴IJ＝HJ，∴HI＝IJ＝DC，∴S△DEC＝EC•DC，S△BNH＝BN•HI＝EC×DC＝×（×EC×DC），∴S△DEC＝3 S△BNH，故B正确；C.过点B作BP⊥CN于点P，BQ⊥DG交DE的延长线上于点Q，∴∠BPC＝∠BQD＝∠PGQ＝90°，∴四边形PBQG是矩形，∴∠PBQ＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBP＝∠QBE，由①得△NBC≌△ECD，∴EC＝BN，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝BN，∵∠BPN＝∠BQE＝90°，∴△BPN≌△BQE（AAS），∴BP＝BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴∠BGE＝45°，故C正确；D.如图所示，连接N，E，设BN＝x，则BE＝EC＝x，BC＝2x，∵CG⊥DE，∠NBC＝90°，∴CN＝＝＝，EN＝＝＝，由△ECN面积可得CN•GE＝EC•BN，∴GE＝，∴GN＝＝，∴GN+GE＝+＝，∴GC＝CN﹣GN＝﹣＝，∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，∴，∴BG＝FG，∴BG＝BF，FC＝BN＝x，∴BG＝×＝，∴GN+GE＝BG，故D正确；综上所述，故选：ABC D．13.18，14.解析：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD ∥AE ，∴△BDC ∽△BEA ，∴，∴＝，解得BA ＝2，∴AC ＝BA ﹣BC ＝2﹣＝.15.2.7解：如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ，∴，即，解得CF ＝2.7.16.（4，8）或（﹣4，﹣8）解析：∵△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于21，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为（2，4），∴点A 对应点A 1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），即（4，8）或（﹣4，﹣8）．故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）．17. 解：(1)提示：位似中心在各组对应点连线的交点处．(2)位似比为1：2．(3)略．18.解：（1）证明：∵DF ∥AB ，DE ∥BC ，∴∠DFC ＝∠ABF ，∠AED ＝∠ABF ，∴∠DFC ＝∠AED ，又∵DE ∥BC ，∴∠DCF ＝∠ADE ，∴△DFC ∽△AED ；（2）∵CD ＝AC ，∴＝由（1）知△DFC 和△AED 的相似比为：＝，故：＝（）2＝（）2＝． 19．解：(1)因为P 1D 1∥P 2D 2，所以△P 1D 1O ∽△P 2D 2O .所以P 1D 1P 2D 2＝D 1O D 2O ，即b 1b 2＝l 1l 2. (2)因为b 1b 2＝l 1l 2，b 1＝3.2 cm ，b 2＝2 cm ，l 1＝8 m ，所以3.22＝8l 2.所以l 2＝5 m. 20.解:(1)由位似的定义，观察图l 知：点O 是位似中心，根据三角形中位线的性质可推出位似比为1／2，故选D ．(2)证明：∵EC ∥E ′C ′，∴，∠CEO=∠C ′E ′O ． ∵ED ∥E ′D ′，∴，∠DEO=∠D ′E ′O ′，故，∠CED=∠C ′E ′D ′．∵△CDE 是等边三角形，∴CE=DE ，∠CED =60°. ∴C ′E ′=E ′D ′，∠C ′E ′D ′=60°，∴△C ′D ′E ′是等边三角形．21解：如图，连接F 1F ，并延长使之与AB 相交，设其与AB ，CD ，C 1D 1分别交于点G ，M ，N ，设BG ＝x m ，CE OE C E O E =''''ED OE E D O E =''''′′′′D E ED E C CE =GM ＝y m.∵DM ∥BG ，∴△FDM ∽△FBG .∴DM BG ＝FM FG ，则1.5x ＝33＋y. ① 又∵ND 1∥GB ，∴△F 1D 1N ∽△F 1BG .∴D 1N BG ＝F 1N F 1G ，即1.5x ＝4y ＋6＋3. ② 联立①②，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.故旗杆AB 的高为9＋1.5＝10.5(m)．22.证明：（1）BCE ACD ∠=∠，BCE ACE ACD ACE ∴∠+∠=∠+∠，即ACB DCE ∠=∠，在ABC 和DEC 中，ACB DCE A D ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，ABC DEC ~∴；（2）由（1）已证：ABC DEC △△，2ABC DEC C C S SB E ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，:4:9ABC DEC S S =，6BC =， 2649EC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，解得9EC =或9EC =-（不符题意，舍去），则EC 的长为9． 23.解：（1）∵∠ADC +∠ABC ＝90°，∠CDE ＝∠ABC ，∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝90°，∴AD 2+DE 2＝AE 2．故答案为：AD 2+DE 2＝AE 2．（2）如图2中，在线段DC 的下方作∠CDT ＝∠ABC ，过点C 作CT ⊥DT 于T ．∵∠CTD ＝∠CAB ＝90°，∠CDT ＝∠ABC ，∴△CTD ∽△CAB ，∴∠DCT ＝∠ACB ，＝，∴＝，∠DCB ＝∠TCA ， ∴△DCB ∽△TCA ，∴＝，∵＝2，∴AC ：BA ：BC ＝CT ：DT ：CD ＝1：2：，∴BD ＝AT ，∵∠ADT ＝∠ADC +∠CDT ＝∠ADC +∠ABC ＝90°，设AD ＝a ＝100m ，CD ＝b ＝70m ，∴DT ＝CD ＝b ， ∴AT＝＝， ∴BD ＝AT ＝＝＝20m ．。

图形相似专题练习含答案解析

图形相似专题练习含答案解析

图形的相似1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于〔〕A．B．C．D．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是〔〕A．点P B．点O C．点M D．点N3．△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，那么△DEF的周长为〔〕A．2 B．3 C．6 D．544．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为适宜的条件：，使△ADE∽△ABC．〔不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！〕5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．〔1〕请写出图中各对相似三角形〔相似比为1除外〕；〔2〕求BP：PQ：QR．6．计算：|3﹣|+〔〕0+〔cos230°〕2﹣4sin60°．7．计算：﹣2sin45°+〔2﹣π〕0﹣．8．计算：|﹣|﹣+〔π﹣4〕0﹣sin30°．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，假设牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．〔计算结果准确到0.1米，≈1.732〕10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．〔计算结果准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．〕12．明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．13．我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．〔准确到0.1米〕14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕求AD的长．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E〔，2〕，连接AE，ED．〔1〕求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；〔2〕假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；〔3〕经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由〔1〕中的抛物线平移得到？请说明理由．16．某县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段〔村子和公路的宽均不计〕，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村〔线段CD某处〕，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村〔线段AB某处〕，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿．设点P，Q运动的时间是t秒〔t＞0〕．〔1〕D，F两点间的距离是；〔2〕射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部？假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；〔3〕当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；〔4〕连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．图形的相似参考答案与试题解析1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，那么MN等于〔〕A．B．C．D．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．【解答】解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM〔三线合一〕，BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，=MN•AC=AM•MC，又S△AMC∴MN==．应选：C．【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是〔〕A．点P B．点O C．点M D．点N【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，应选A．【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考察位似图形的概念．3．△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，那么△DEF的周长为〔〕A．2 B．3 C．6 D．54【考点】相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长=3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．应选C．【点评】此题考察对相似三角形性质的理解．〔1〕相似三角形周长的比等于相似比；〔2〕相似三角形面积的比等于相似比的平方；〔3〕相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为适宜的条件：∠B=∠1或，使△ADE∽△ABC．〔不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！〕【考点】相似三角形的判定．【专题】压轴题；开放型．【分析】此题属于开放题，答案不唯一．注意此题的条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可．【解答】解：此题答案不唯一，如∠C=∠2或∠B=∠1或．【点评】此题考察了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似．要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题．5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．〔1〕请写出图中各对相似三角形〔相似比为1除外〕；〔2〕求BP：PQ：QR．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题．【分析】此题的图形比拟复杂，需要仔细分析图形．〔1〕根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP ∽△BER；〔2〕根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．【解答】解：〔1〕∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．〔2〕∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP：PR，∴BP=PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP=PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR=RE．，∴QR=2PQ．又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，∴BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考察了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．6．计算：|3﹣|+〔〕0+〔cos230°〕2﹣4sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据实数的有关运算法那么计算．【解答】解：原式==﹣．【点评】此题考察实数的根本运算，难度适中．7．〔2021•〕计算：﹣2sin45°+〔2﹣π〕0﹣．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：原式==．【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．8．计算：|﹣|﹣+〔π﹣4〕0﹣sin30°．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】此题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法那么求得计算结果．【解答】解：原式=﹣3+1﹣=﹣2．【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，假设牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．〔计算结果准确到0.1米，≈1.732〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道角以及斜边，求对边，可以用正弦值进展解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】此题考察直角三角形知识在解决实际问题中的应用．10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．〔计算结果准确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形Rt△BCD、Rt△ACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：在Rt△BCD中，tan45°==1，∴CD=BC．在Rt△ACD中，tan30°=，∴．∴．∴3CD=CD+10．∴CD=+5≈13.66〔米〕∴条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1〔米〕．【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．12．明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：皮尺，标杆；〔2〕请在图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．【考点】相似三角形的应用．【专题】方案型；开放型．【分析】树比拟高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在下出现的影子来解决．【解答】解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．【点评】此题运用相似三角形的知识测量高度及考察学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力．此题答案有多种，测量方案也有多种，如〔1〕皮尺、标杆、平面镜；〔2〕皮尺、三角尺、标杆．13．我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．〔准确到0.1米〕【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD=．∴AD=AB•sin∠ABD=15×sin21°≈5.38米．〔3分〕∵cos∠ABD=．∴BD=AB•cos∠ABD=15×c os21°≈14.00米．〔5分〕在Rt△BDC中，tan∠CBD=．∴CD=BD•tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米．〔8分〕∵cos∠CBD=．∴BC=≈≈17.77米〔10分〕∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1米〔11分〕答：折断前发射塔的高约为34.1米．〔12分〕注意：按以下方法进展近似计算视为正确，请相应评分．①假设到最后再进展近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；②假设解题过程中所有三角函数值均先准确到0.01，那么近似计算的结果为：AD+CD+BC≈5.40+10.88+17.66=33.94≈33.9．【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕求AD的长．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔1〕由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；〔2〕由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用AB﹣AE可求出EB的长，再由〔1〕∠AED=90°，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=x，用CB﹣CD表示出BD=12﹣x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：〔1〕∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角〔〕，∴AD为圆O的直径〔90°的圆周角所对的弦为圆的直径〕，∴∠AED=90°〔直径所对的圆周角为直角〕，又AD是△ABC的∠BAC的平分线〔〕，∴∠CAD=∠EAD〔角平分线定义〕，∴CD=DE〔在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等〕，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕，∴AC=AE〔全等三角形的对应边相等〕；〔2〕∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，由〔1〕得到∠AED=90°，那么有∠BED=90°，设CD=DE=x，那么DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即〔12﹣x〕2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==．【点评】此题考察了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，此题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的．灵活运用圆周角定理及勾股定理是解此题的关键．15．如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E〔，2〕，连接AE，ED．〔1〕求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；〔2〕假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形A′E′D′C′B′；〔3〕经过A′，E′，D′三点的抛物线能否由〔1〕中的抛物线平移得到？请说明理由．【考点】作图﹣位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质．【专题】压轴题；网格型．【分析】〔1〕A，E，D三点坐标，可用一般式来求解；〔2〕延长OA到A′，使OA′=3OA，同理可得到其余各点；〔3〕根据二次项系数是否一样即可判断两个函数是否由平移得到．【解答】解：〔1〕设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c∵A〔1，〕，E〔，2〕，D〔2，〕〔1分〕∴，解之，得∴过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=﹣2x2+6x﹣．〔4分〕〔2〕如图．〔7分〕〔3〕不能，理由如下：〔8分〕设经过A′，E′，D′三点的抛物线的表达式为y=a′x2+b′x+c′∵A′〔3，〕，E′〔，6〕，D′〔6，〕∴，解之，得a=﹣2，，∴a≠a′∴经过A′，E′，D′三点的抛物线不能由〔1〕中的抛物线平移得到．〔8分〕【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值．16．某县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段〔村子和公路的宽均不计〕，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村〔线段CD某处〕，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村〔线段AB某处〕，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；方案型．【分析】〔1〕由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；〔2〕作点M关于射线OE的对称点M'，那么MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM'过D点．求出AM'的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；〔3〕作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM 于点H，连接GM，那么GM=GM'，可证得N，D两点重合，即M'N过D点．求GM+GD=M'D的值就是最小值．【解答】解：方案一：由题意可得：∵A在M的正西方向，∴AM∥OE，∠BAM=∠BOE=30°，又∵∠BMA=60°∴MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB，〔1分〕∵点M到乙村的最短距离为MD，∴将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，即最小值为MB+MD=3+〔km〕；〔3分〕方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M'，那么MM'=2ME，连接AM'交OE于点P，PE∥AM，PE=AM，∵AM=2BM=6，∴PE=3，〔4分〕在Rt△DME中，∵DE=DM•sin60°=×=3，ME=DM=×，∴PE=DE，∴P点与D点重合，即AM'过D点，〔6分〕在线段CD上任取一点P'，连接P'A，P′M，P'M'，那么P'M=P′M'，∵AP'+P'M'＞AM'，∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为AD+DM=AM'=；〔7分〕方案三：作点M关于射线OF的对称点M'，作M'N⊥OE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，那么GM=GM'，∴M'N为点M'到OE的最短距离，即M'N=GM+GN在Rt△M'HM中，∠MM'N=30°，MM'=6，∴MH=3，∴NE=MH=3，∵DE=3，∴N，D两点重合，即M'N过D点，在Rt△M'DM中，DM=，∴M'D=〔10分〕在线段AB上任取一点G'，过G'作G'N'⊥OE于N'点，连接G'M'，G'M，显然G'M+G'N'=G'M'+G'N'＞M'D，∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=M'D=，〔11分〕综上，∵3+＜，∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短．〔12分〕【点评】此题主要考察线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿．设点P，Q运动的时间是t秒〔t＞0〕．〔1〕D，F两点间的距离是25 ；〔2〕射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部？假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；〔3〕当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；〔4〕连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕由中位线定理即可求出DF的长；〔2〕连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF 分为面积相等的两局部，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；〔3〕①当点P在EF上〔2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上〔5≤t≤7〕时，PB=PF+BF就可以得到；〔4〕当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．【解答】解：〔1〕Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，∵D，F是AC，BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴DF=AB=25故答案为：25．〔2〕能．如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，∵D，F是AC，BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，∴QK过DF的中点O时，即过矩形CDEF的中点，QK把矩形CDEF分为面积相等的两局部此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．故t==．〔3〕①当点P在EF上〔2≤t≤5〕时，如图2，QB=4t，DE+EP=7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t=4；②当点P在FC上〔5≤t≤7〕时，如图3，QB=4t，从而PB===5t，由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20．解得t=7；〔4〕如图4，t=1；如图5，t=7．〔注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB〕【点评】此题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．18．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．【解答】解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕【点评】考察了平行线的性质及相似三角形的判定定理．。

判断图形相似练习题

判断图形相似练习题

判断图形相似练习题在几何学中，判断图形相似是一个非常重要的概念。

相似的图形具有相同的形状但尺寸不同，通过比较它们的边长比例可以得出它们是否相似。

下面，我们将提供一些图形相似的练习题，帮助你巩固对这一概念的理解。

练习题1：给定两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，边长比例为AB：DE=1：2。

判断这两个三角形是否相似。

解答1：根据题目已知条件可得∠A=∠D，∠B=∠E，以及边长比例AB：DE=1：2。

根据相似三角形的性质，如果两个三角形的对应角相等且相应边的比例相等，那么它们是相似的。

练习题2：给定两个矩形ABCD和EFGH，已知AB=3cm，DC=6cm，EF=4cm，判断这两个矩形是否相似。

解答2：根据矩形的性质，对角线相等的四边形是矩形。

所以我们可以先计算两个矩形的对角线长度：AC和EG。

根据勾股定理，AC的长度为√(AB^2+DC^2)=√(3^2+6^2)=√45≈6.71cm；EG的长度为√(EF^2+FG^2)=√(4^2+6^2)=√52≈7.21cm。

由于AC和EG的长度不相等，因此两个矩形并不相似。

练习题3：给定两个圆O和P，已知O的半径为4cm，P的半径为8cm，判断这两个圆是否相似。

解答3：由于圆没有边长之类的概念，我们不能直接用边长比例判断两个圆是否相似。

相似的圆是指半径相等或者半径的比例相等的圆。

在这个例子中，圆O的半径为4cm，圆P的半径为8cm。

它们的半径之比为4：8=1：2。

根据相似圆的定义，我们可以得出结论：圆O和圆P是相似的。

通过以上练习题的解答，我们对判断图形相似练习题有了更深入的理解。

相似的图形有着相同的形状，但尺寸可能不同。

通过比较对应角的相等性以及边长比例的关系，我们能够准确判断图形是否相似。

熟练掌握这些概念对于几何学的学习和实际应用非常重要。

图形的相似单元测试(含答案)

图形的相似单元测试(含答案)

图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A. 1250千米 B. 125千米 C. 12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝ab ，则ba b a ＋－的值是（ ） ★ A. 32 B. 23 C. 49 D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（ ） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到；B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如右上图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ） ★★★A. ∠APB ＝∠EPC ；B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC ＝2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3， AC =4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（ ） A.35x + B. 45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）AB CA. b a c =+B. b ac =C. 222b a c =+D. 22b a c == 二、填空题11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ．12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD·BC ＝ .14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF . 那么AG ：DH ＝ ，△ABC 与△DEF 的面积比是 .15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝ .17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 .18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝__ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．（第20题图）OA 1 A 2A 3A 4 AB B 1 B 2 B 3 14三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么： （1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

图形的相似经典测试题

图形的相似经典测试题

图形的相似经典测试题一、选择题1．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C 为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出2()COFAOES OCS OA∆∆=，因为CA：AB＝13：24，AO＝OB，推出CA：OA＝13：12，推出CO：OA＝5：12，可得出2()COFAOES OCS OA∆∆=＝25144，因为S△AOE＝9，可得S△COF＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∴∠COF＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠EAO＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OCS OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2，D 是AB 边上一个动点（不与点A 、B 重合），E 是BC 边上一点，且∠CDE ＝30°．设AD ＝x ，BE ＝y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2， ∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.633y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下． 故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列结论正确的是（ ）A ．AD DE DB BC= B ．BF EF BC AB = C ．AE EC FC DE = D ．EF BF AB BC= 【答案】C【解析】【分析】 根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE ∽△ABC ，可判断A 的正误；由△CEF∽△CAB ，可判定B 错误；由△ADE ～△EFC ，可判定C 正确；由△CEF ∽△CAB ，可判定D 错误.【详解】解：如图所示：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE AD AD BC AB DB=≠， ∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C=≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ， ∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．4．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+=故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．5．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2y x =上，若点A 在反比例函数k y x=上，则k 的值为( )A ．12B ．12-C ．14D ．14- 【答案】B【解析】【分析】通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后由点的坐标即可求得答案．【详解】解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：∵点B 在反比例函数2y x =上 ∴设2,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴OE x =，2BE x=∵90AOB ∠=︒ ∴90AOD BOD ∠+∠=︒∴90BOE AOF ∠+∠=︒∵BE x ⊥，AF x ⊥∴90BEO OFA ∠=∠=︒∴90OAF AOF ∠+∠=︒∴BOE OAF ∠=∠∴BOE OAF V V ∽∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO === ∴121122OF BE x x =⋅=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∵点A 在反比例函数k y x=上 ∴12x k x=- ∴12k =-． 故选：B【点睛】本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．6．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSSVV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13 BCOAODSSVV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）A．1：2 B．1：5 C．1：100 D．1：10【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换11．把Rt ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．13．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．14．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A．23B．2C．33D．32【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴2 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．15．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等于（）A．（25+2）cm B．（25﹣2）cm C．（5+1）cm D．（5﹣1）cm 【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，51MPMN-=，又MN=4，所以，MP=25- 2. 所以答案选B.【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.17．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km=，3BD km=，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处B．距C点2km处C．距C点3km处D．CD的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA PB PE PB EB+=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆:，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得 PC CE PD BD =，即253x x =-， 解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.18．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠BB ．∠BDE +∠C ＝180° C ．AD •BC ＝AC •DED ．AD •AB ＝AE •AC【答案】C【解析】【分析】 A 、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；B ：根据题意可得到∠ADE=∠C ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D 、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【详解】解：A 、由∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；B 、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ；C 、由AD•BC=AC•DE ，得不能判断△ADE ∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D 、由AD•AB=AE•AC 得，∠A=∠A ，故能确定△ADE ∽△ACB ，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似．19．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =又Q 点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=Q 点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。

相似测试题及答案

相似测试题及答案

相似测试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是相似图形的特征？A. 形状相同B. 面积相等C. 边长成比例D. 角度相同答案：B2. 如果两个图形相似，那么它们的对应角：A. 相等B. 不相等C. 可能相等也可能不相等D. 无法确定答案：A二、填空题1. 相似图形的对应边的比值叫做________。

答案：相似比2. 两个相似多边形的面积比等于它们的相似比的________。

答案：平方三、判断题1. 两个图形相似，它们的周长比等于它们的相似比。

（）答案：√2. 如果两个图形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比为4:9。

（）答案：√四、简答题1. 请简述相似图形的定义。

答案：相似图形是指两个图形的对应角相等，对应边的比值相等的图形。

2. 相似图形的性质有哪些？答案：相似图形的性质包括：对应角相等，对应边的比值相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

五、计算题1. 若两个相似三角形的相似比为3:4，求它们的面积比。

答案：面积比为9:16。

2. 已知一个三角形的边长为3, 4, 5，另一个相似三角形的边长为6, 8, 10，求这两个三角形的面积比。

答案：面积比为1:4。

六、论述题1. 论述相似图形在实际生活中的应用。

答案：相似图形在实际生活中有广泛的应用，例如在建筑设计中，设计师会使用相似图形来保持建筑的比例和风格；在地图制作中，相似图形用于表示不同比例尺的地图；在服装设计中，相似图形用于保持服装的款式和比例等。

2. 论述如何判断两个图形是否相似。

答案：判断两个图形是否相似，首先要检查它们的对应角是否相等，然后检查它们的对应边的比值是否相等。

如果这两个条件都满足，那么这两个图形就是相似的。

此外，还可以通过面积比来判断，如果两个图形的面积比等于它们边长比的平方，那么它们也是相似的。

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。

图形相似单元测试题及答案

图形相似单元测试题及答案

图形相似单元测试题及答案# 图形相似单元测试题及答案一、选择题1. 两个图形相似的条件是什么？A. 面积相等B. 周长相等C. 对应角相等，对应边成比例D. 形状相同答案：C2. 如果两个三角形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比是多少？A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:4答案：B3. 在相似图形中，对应角的大小关系是什么？A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 不确定答案：A二、填空题4. 如果一个图形放大到原来的两倍，则其面积变为原来的________倍。

答案：45. 相似三角形的判定定理包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、_______。

答案：AAA（角角角）三、简答题6. 请解释什么是相似比，并给出一个例子。

答案：相似比是指两个相似图形对应边长的比值。

例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，那么2:3就是它们的相似比。

7. 描述如何判断两个多边形是否相似。

答案：要判断两个多边形是否相似，需要满足以下条件：对应角相等，且对应边成比例。

如果一个多边形的每个角和每条边都与另一个多边形的相应角和边成相同的比例，那么这两个多边形就是相似的。

四、计算题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，BC=8cm，求EF的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似比，我们有AB:DE = BC:EF。

将已知数值代入，得到6:9 = 8:EF。

解这个比例，我们得到EF = (8 * 9) / 6 = 12cm。

结束语本单元测试题涵盖了图形相似的基本概念、判定方法和实际应用。

通过这些题目的练习，可以帮助学生加深对图形相似概念的理解和应用能力。

希望同学们能够认真完成这些题目，并在解答过程中发现问题、解决问题，从而提高自己的数学素养。

人教版数学九年级图形的相似(单元测试卷)

人教版数学九年级图形的相似(单元测试卷)

班级小组姓名成绩（满分120）一、填空题（每空4分，共44分）1、如果两个三角形相似，相似比为2∶3，则它们对应边上的中线比为。

2、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为。

3、把一个三角形改成与它相似的三角形，若边长扩大4倍，则面积扩大倍。

4、如图所示，要证ABC ACD∽，已经具备了A A∆∆∠=∠，还需添加的条件是或。

5、两个相似三角形的一对对应边分别为20㎝和8㎝，它们的周长相差60㎝，则这两个三角形的周长分别为和。

6、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是(只需写出一个即可).7、已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似.你添加的条件是(只需添加一个你认为适当的条件即可).8、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).9、如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF ∽△CDE，则AF=cm。

二、选择题（每题4分，共24分）10、已知A、B两地的实际距离AB=5千米，画在图上的距离A B＝2cm，则该地图的比例尺是()A、2∶5B、1∶2500C、250000∶1D、1∶25000011、已知线段a，b，且23ab ，则下列说法错误的是()12、在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm，这个零件的实际长是()A、64mB、64dmC、64cmD、64mm13、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形()A、1对B、2对C、3对D、4对14、△ABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于()A、2∶1B、1∶2C、2∶3D、3∶215、如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有()A、1条B、2条C、3条D、4条三、解答题（16、17每题9分，其他题目每题10分）16、如图，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，若图中的两个直角三角形相似，求AD的长。

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

图形的相似基础测试题含答案

图形的相似基础测试题含答案

图形的相似基础测试题含答案一、选择题1．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．2．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q作QF OA⊥，垂足为F，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点， 12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ，2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．3．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝21：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③【答案】B【解析】【分析】①正确．只要证明EC=EA=BC ，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断．④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC 平分∠DCB ，∴∠ECB=12∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB=BC ，∵AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误， 设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +，∴BD=7a ， ∴AC ：BD=3a ：7a=21：7，故③正确，∵OF=13OB=7a ， ∴BF=73a ， ∴BF 2=79a 2，OF•DF=7a•7779a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ a 2， ∴BF 2=OF•DF ，故④正确，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．4．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】 由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，据此求解可得． 【详解】16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'，DA E DAB '∴∆~∆， 则2A DE ABD S AD AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭'， 解得3A D '=或37A D '=-（舍）， 故选：B ．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点．5．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③2EG ＝BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据SAS ，即可证明①△ABE ≌△CDF ；在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证明△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2，即可证得②AG ＝GH ＝HC ，③2EG ＝BG ；由S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，可得结论④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，BC ＝DA ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2∴AG ＝CH ＝１３AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，故选：D 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．6．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，AF 与DE 相交于点O ，则AO DO=（ ）．A ．13B 25C ．23D ．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE ≌△BAF ，从而进一步得△AOD ∽△EAD ．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AE=BF ，AD=AB ，∠EAD=∠B=90︒∴△ADE ≌△BAF∴∠ADE=∠BAF ，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒，∠FAB+∠BFA=90︒，∴∠DAO=∠BFA ，∴∠DAO=∠AED∴△AOD ∽△EAD∴12AO AE DO AD ==故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．7．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B 3C 15±D 15+ 【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去） 经检验15x +=，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．8．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．10．在相同时刻，物高与影长成正比，如果高为1米的标杆影长为2米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A．20米B．18米C．16米D．15米【答案】D【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，列出方程，求解即可得出旗杆的高度．【详解】解：根据题意解：标杆的高：标杆影长=旗杆的高：旗杆的影长，即1:2=旗杆高：30，∴旗杆的高=130=152⨯米．故选：D．【点睛】本题主要考察的是相似三角形的应用，正确列出方程是解决本题的关键．11．两个相似三角形的对应边分别是15cm 和23cm ，它们的周长相差40cm ，则这两个三角形的周长分别是（ ）A ．45cm ，85cmB ．60cm ，100cmC ．75cm ，115cmD ．85cm ，125cm 【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可．【详解】设小三角形的周长为xcm ，则大三角形的周长为（x+40）cm ， 由题意得，154023x x =+， 解得，x=75，则x+40=115，故选C ．12．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm 的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C ．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．13．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．14．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】D【解析】【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D ．故选D ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．15．如图，正方形ABDC 中，AB ＝6，E 在CD 上，DE ＝2，将△ADE 沿AE 折叠至△AFE ，延长EF 交BC 于G ，连AG 、CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝CG ；③AG ∥CF ；④S ∆FCG ＝3，其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+∴BG＝3，CG=6-3=3∴BG＝CG，故②正确；又BG＝CG，∴1802FGC FCG-∠∠=o又∵Rt△ABG≌Rt△AFG∴1802FGC AGB-∠∠=o∴∠FCG=∠AGB∴AG∥CF，故③正确；过点F作FM⊥CE，∴FM∥CG∴△EFM∽△EGC∴FM EFGC EG=即235FM=解得65 FM=∴S∆FCG＝116344 3.6225ECG ECFS S-=⨯⨯-⨯⨯=V V，故④错误正确的共3个故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．16．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B 、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．17．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．18．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CHAB BC=、GH BHCD BC=，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GH CHAB BC=，即2GH CHBC=①，∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴GH BHCD BC=，即3GH BHBC=②，①+②，得：123GH GH CH BHBC BC+=+=，解得：61.25GH==．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．19．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=【答案】C【解析】【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．20．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°=33，∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S△AOD=2是解题关键．。

图形的相似经典测试题含答案

图形的相似经典测试题含答案

【详解】
解： BCE BDA， CEB DEA
ADE∽B查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的
圆周角相等．
2．如果两个相似正五边形的边长比为 1：10，则它们的面积比为（ ）
A．1：2
B．1：5
C．1：100
D．1：10
【答案】C
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在 Rt△ADG 和 Rt△FDG 中，
AD＝DF DG＝DG
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
设正方形 ABCD 的边长为 a，AG＝FG＝x，BG＝a−x，
∵BE＝EC，
∴EF＝CE＝BE＝ 1 a 2
∴GE= 1 a+x 2
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即：( 1 a+x)2=( 1 a)2+(a-x)2 解得：x＝ 1
2
2
3
∴BG＝2AG，
故②正确； ∵BE＝EF，
∴△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，
∴△EBF 与△DEG 不相似，
故③错误； 连接 CF， ∵BE＝CE，
∴BE＝ 1 BC， 2
∴S△BFC＝2S△BEF． 故④错误， 综上可知正确的结论的是 2 个． 故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，如果 AC=3，AB=6，那么 AD 的值为 （）
A． 3 2
B． 9 2
C． 3 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】

图形的相似基础测试题含答案解析

图形的相似基础测试题含答案解析

图形的相似基础测试题含答案解析一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A ．35B ．43C ．53D ．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC ，做FN ⊥BC ，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt △FNE ∽Rt △ECD ，再利用相似比得出1 2.52NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF 是等腰直角三角形，从而求出CE ．【详解】解：过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF ，1 2.52NE CD == ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF ， ∴2255.3323CE NE ==⨯= 故选C ．【点睛】 此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A．2B．4C．3D．5【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD：AF=3：5，∴AD：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选D．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．4．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.【详解】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC AD AB AC=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.5．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B 之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=225AC BC+=∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP 2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．7．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE ∆向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．2B 3C 15±D ．152【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ，由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】解：∵1AB =，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， ∴EF AD DF AB=，即111x x =-， 解得：1152x +=，2152x -=（不合题意，舍去） 经检验152x +=，是原方程的解． ∴15AD +=． 故选：D ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．8．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B【解析】【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【详解】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G Q 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点睛】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．9．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（ ）A ．1：2B ．1：5C ．1：100D ．1：10 【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．故选：C ．点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．10．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC －CB 运动，到点B 停止．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PD 的长y （cm ）与点P 的运动时间x （秒）的函数图象如图2所示．当点P 运动5秒时，PD 的长是（ ）A ．1.5cmB ．1.2cmC ．1.8cmD ．2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知，点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒，∵点P 的运动速度是每秒1cm ，∴AC=3，BC=4．∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴根据勾股定理得：AB=5．如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则易得△ABC ∽△ACH ． ∴CH AC BC AB =，即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==． ∴如图，点E （3，125），F （7，0）． 设直线EF 的解析式为y kx b =+，则 123k b {507k b=+=+， 解得：3k 5{21b 5=-=． ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+． ∴当x 5=时，()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==． 故选B ．11．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（ ）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】 设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB Q 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k =又Q 点B 的坐标为(1,2)-∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯= Q 点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．12．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A 在反比例函数y=6x （x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A．y=﹣6xB．y=﹣4xC．y=﹣2xD．y=2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出13BCOAODSS=VV，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．【详解】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵BOAO=tan30°3∴13BCOAODSS=VV，∵12×AD×DO=12xy=3，∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣2x．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数数的几何意义，正确得出S △AOD =2是解题关键．13．如图，点A ，B 是双曲线18y x=图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k y x=在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．A ．2516-B ．258-C ．254-D ．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOE S OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ， ∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12， ∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0， ∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴AE=2（舍负），∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）A ．22B ．12C ．14D 3【答案】A【解析】【分析】过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出2OB OA =【详解】 ∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，∠CAO ＝∠BOD ，∴△ACO ∽△BDO ，∴2()S OBD OB S AOC OA∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12， ∴2()OB OA ＝121＝12 ，∴2 OBOA，故选A．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做辅助线，然后得到相似三角形再进行求解17．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交AC于点D．下列结论：①△AC1C 为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α＝75°；④CA＝CB1，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，得到△ABC≌△AB1C1，根据全等三角形的性质得到AC1=AC，于是得到△AC1C为等腰三角形；故①正确；根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°，由三角形的内角和得到∠C1AC=120°，得到∠B1AB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB，于是得到△AB1D∽△BCD；故②正确；由旋转角α=120°，故③错误；根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°，推出∠B1AC=∠AB1C，于是得到CA=CB1；故④正确．【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1，∴△ABC≌△AB1C1，∴AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形；故①正确；∴AC1＝AC，∴∠C1＝∠ACC1＝30°，∴∠C1AC＝120°，∴∠B1AB＝120°，∵AB1＝AB，∴∠AB1B＝30°＝∠ACB，∵∠ADB1＝∠BDC，∴△AB1D∽△BCD；故②正确；∵旋转角为α，∴α＝120°，故③错误；∵∠C1AB1＝∠BAC＝45°，∴∠B1AC＝75°，∵∠AB1C1＝∠BAC＝105°，∴∠AB1C＝75°，∴∠B1AC＝∠AB1C，∴CA＝CB1；故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【详解】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．19．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A ．AD AE BD EC =B ．AF DF AE BE =C ．AE AF EC FE =D ．DE AF BC FE = 【答案】D【解析】【分析】 由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断. 【详解】∵DE //BC ，∴AD AE BD EC= ，故A 正确； ∵DF //BE ，∴△ADF ∽△ABF , ∴AF DF AE BE =，故B 正确； ∵DF //BE ，∴ AD AF BD FE =，∵AD AE BD EC= ，∴AE AF EC FE =，故C 正确； ∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ,∴DE AD BC AB =，∵DF //BE ，∴AF AD AE AB =，∴DE AF BC AE =，故D 错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.20．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF ∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8. 故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．。

相似图形测试题及答案

相似图形测试题及答案

相似图形测试题及答案### 相似图形测试题及答案#### 题目一：识别相似图形题目描述：给定一组图形，找出其中形状和结构相似的图形。

图形组A：- 图形1：圆形- 图形2：正方形- 图形3：三角形- 图形4：圆形图形组B：- 图形1：圆形- 图形2：正方形- 图形3：三角形- 图形4：椭圆形答案：在图形组A中，相似的图形是图形1和图形4，它们都是圆形。

在图形组B中，没有两个图形是完全相似的，但图形1和图形4在形状上最为接近，都是圆形或椭圆形。

#### 题目二：找出不同图形题目描述：在一组图形中，找出与其他图形不同的那一个。

图形组C：- 图形1：菱形- 图形2：菱形- 图形3：菱形- 图形4：圆形图形组D：- 图形1：正方形- 图形2：长方形- 图形3：正方形- 图形4：正方形答案：在图形组C中，图形4与其他三个菱形不同，因为它是一个圆形。

在图形组D中，图形2与其他三个正方形不同，因为它是一个长方形。

#### 题目三：图形变换题目描述：给定一个基础图形，通过旋转、翻转或平移，找出与之匹配的图形。

基础图形：- 图形E：一个向上的箭头变换图形组：- 图形1：一个向下的箭头- 图形2：一个向左的箭头- 图形3：一个向右的箭头- 图形4：一个向上的箭头答案：图形4是基础图形E的直接匹配，因为它是一个向上的箭头。

图形1、2和3分别是基础图形的旋转或翻转版本。

#### 题目四：图形组合题目描述：将给定的两个图形组合，形成一个新的图形。

图形组F：- 图形1：半圆形- 图形2：半圆形图形组G：- 图形1：半圆形- 图形2：三角形答案：在图形组F中，将两个半圆形组合可以形成一个完整的圆形。

在图形组G中，将半圆形和三角形组合可以形成一个扇形或一个有尖角的图形。

通过这些测试题，可以考察观察者对图形的识别能力、空间想象力以及逻辑推理能力。

正确答案的得出需要仔细观察图形的特点，理解图形之间的相似性和差异性，以及掌握图形变换的规律。

(典型题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)(1)

(典型题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．如图，ABC 的两个顶点B 、C 均在第一象限，以点()0,1A 为位似中心，在y 轴左侧作ABC 的位似图形ADE ，ABC 与ADE 的位似比为1：2若点C 的纵坐标是m ，则其对应点E 的纵坐标是（ ）A ．32m -+B ．23m +C ．()23m -+D ．23m -+ 2．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．512+ B ．512- C ．5＋1 D ．5－1 3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12OD OB =，连接CO 并延长交AD 于点E ，若△COD 的面积是2，则四边形ABOE 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知□ABCD ，以B 为位似中心，作□ABCD 的位似图形□EBFG ，位似图形与原图形的位似比为23，连结CG ，DG ．若□ABCD 的面积为30，则△CDG 的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．如图，CD ，BE 分别是ABC 两条中线，连结DE ，则:EDC ABC S S 的比值是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．237．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，线段AE ，AF 与对角线BD 分别交于点G .设矩形ABCD 的面积为S ，则下列结论不正确的是（ ）A ．:2:1AG GE =B ．::1:1:1BG GH HD =C ．12313S S S S ++=D ．246::1:3:4S S S = 8．若34,x y =则x y =（ ） A ．34 B ．74 C ．43 D ．739．如图，已知ABC ，DCE ，FEG ，HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且4AB =，2BC =，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．8310．如图，梯形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，已知AD ∥BC ，AD =2，BC =4，S △AOD =1，则梯形ABCD 的面积为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．611．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（ ）A ．14B ．9C ．425D ．36512．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE CE =， 1.MN =线段MN 的两端在CD ，AD 上滑动，当ABE 与以D ，M ，N 为顶点的三角形相似时，DM 的长为（ ）A ．13B ．13或23C ．55D ．55或255二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN ＝32NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD ，其中正确的结论的序号是_____．14．如图，小静在横格纸上画了两条线段AB ，CD ，点A ，D 在同一条格线上，点B ，C 在同一条格线上，AB 与CD 的交点也在格线上，横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，若4=AD ，则BC =______．15．如图，在ABC ∆中，点111,,A B C 分别是,,AC BC AB 的中点，连接1111,AC A B ，四边形111A B BC 的面积记作1S ；点222,,A B C 分别是1111,,A C B C A B 的中点，连接2222,A C A B ，四边形2212A B B C 的面积记作2S …，按此规律进行下去，若ABC S a ∆=，则3S =__________；n S =__________．（n 为正整数）16．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．17．已知AEF ABC ∽，且:1:3AE AB =，四边形EBCF 的面积是8，则ABC S =____________．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,O E 是OB 的中点，连接AE 并延长交BC 于点,F 若BEF ∆的面积为1,则正方形ABCD 的面积为________________________．19．线段AB 、CD 在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 均在格点上，线段AB 、CD 是位似图形，位似中心的坐标是__________．20．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.8米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为____米．三、解答题21．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？22．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数+6y x =-的图象1l 分别与,x y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点(),5C m（1）求m 的值及2l 的解析式；（2）求AOC S 的值；（3）垂直于x 轴的直线x a =与直线12,l l 分别交于点,P Q ，若线段2PQ =，求a 的值； （4）一次函数64y kx k =-+的图象与线段AB （含端点）有公共点，且满足y 随x 的增大而减小，设直线与x 轴的交点横坐标为,x 直接写出x 的取值范围．23．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，DF AE ⊥于点F ，设()0AD AEλλ=>．（1）若1λ=，求证：CE FE =；（2）若3,4AB AD ==，且D B F 、、在同一直线上时，求λ的值．24．如图，在△ABC 中，∠C =∠ADE ，AB =3，AD =2，CE =5，求证：（1）△ADE ∽△ACB ；（2）求AE 的长．25．如图，小明想测量河对岸建筑物AB 的高度，在地面上C 处放置了一块平面镜，然后从C 点向后退了2.4米至D 处，小明的眼睛E 恰好看到了镜中建筑物A 的像，在D 处做好标记，将平面镜移至D 处，小明再次从D 点后退2.52米至F 处，眼睛G 恰好又看到了建筑物顶端A 的像，已知小明眼睛距地面的高度ED ，GF 均为1.6米，求建筑物AB 的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）26．如图1，在等边ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EDF=60．（1）求证：BDE CFD △∽△；（2）若点D 移至BC 的中点，如图2，求证：FD 平分EFC ∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设点C 的纵坐标为m ，然后表示出AC 、EA 的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可；【详解】设点C 的纵坐标为m ，则A 、C 间的纵坐标的长度为()1m -，∵△ABC 放大到原来的2倍得到△ADE ，∴E 、A 间的纵坐标的长度为()21m -,∴点E 的纵坐标为()()2112323m mm ⎡⎤---=--=-+⎣⎦；故答案选D ．【点睛】 本题主要考查了位似变换，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 2．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，∴k =负值舍去)，∴12k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EF AD DF= ∵E 是BC 的中点，∴EC=1122BC AD = ∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1，∴S △ADF ＝4， ∵12EF DF = ∴DF=2EF ∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2，∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．C解析：C【分析】由题意可得△BOC 的面积为4，通过证明△DOE ∽△BOC ，可求S △DOE ＝1，即可求解．【详解】解：∵12 ODOB，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2＋4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴DOEBOCSS.（ODOB）2＝14，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】连接BG，根据位似变换的概念得到点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，根据相似三角形的性质得到BGBD＝FGCD＝23，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接BG，∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，∴点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为30，∴△CDB的面积为15，∵FG∥CD，∴△BFG∽△BCD，∴BGBD＝FGCD＝23，∴DGBD＝13，∴△CDG的面积＝15×13＝5，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、平行四边形的性质，掌握位似图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用三角形中位线定理证明三角形的相似，根据相似三角形的性质确定面积之比，利用中线的性质等量代换三角形即可得证．【详解】∵CD ，BE 分别是ABC 两条中线，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴ADE S =14ABC S , ∴ADE S：ABC S =1：4， ∵点E 是AC 的中点， ∴ADE S=EDC S ， ∴EDC S ：ABC S =1：4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形相似的判定与性质，中位线的性质，熟练掌握定理，灵活运用性质，规范进行代换是解题的关键．7．D解析：D【分析】 根据平行线分线段成比例定理和线段中点的定义得：21AG AD GE BE ==，可判断选项A 正确；同理根据平行线分线段成比例定理得：13BG BD =，13DH BD =即可判断B 选项；设1S x =根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系依次用x 表示各三角形的面积，即可判断C 和D 选项．【详解】 ①四边形ABCD 是矩形,//BC AD BC AD ∴=点E 是BC 的中点1122//BE BC AD AD BE∴== ∴21AG AD GE BE == 故选项A 正确；②//BE AD1213BG BE DG AD BG BD ∴==∴= 同理得：13DH BD =::1:1:1BG GH HD BG GH HD ∴==∴=故选项B 正确 ③//BE ADDAG ∴△BEG ∽△ 13453414S S S BG GH HD S S S ∴=+==∴==设1S x =则5342S S S x ===12S x ∴=同理可得：2S x =1231243S S S x x x x S ∴++=++== 故选项C 正确；④由③可知：664S x x x x =--=246::1:2:4S S S ∴=故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质,三角形相似的性质和判定,平行线分线段成比例定理,三角形面积等知识,解题的关键是理解题意,掌握等底同高三角形面积相等,相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．C解析：C【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键． 9．D解析：D【分析】先求出BP ，进而利用勾股定理求出AP 的平方，即可求AI=8，最后判断出QG ∥AC ，即可通过全等得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AP ⊥BC 垂足为P ，∵AB=AC ，BC=2，∴BP=12BC ＝1，BC=CE=EG=GI=2， 在Rt △ABP 中，根据勾股定理得，AP 2=AB 2-BP 2= 42-12=15 ，在Rt △API 中，PI=772BC =，根据勾股定理得222=1578AI AP PI ++= ， ∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，∴∠ACB=∠QGC ，∴QG ∥AC ，∴△IGQ ∽△ICA ， ∴QI IG AI IC ＝ ， ∴268QI ＝， ∴QI=83， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI 是解本题的关键．10．A解析：A【分析】先根据AD ∥BC ，得到△AOD ∽△COB ，从而得出△COB 的面积，再根据△AOB 与△COB 等高，从而得出△AOB 的面积，同理得出△DOC 的面积即可得出梯形ABCD 的面积．【详解】解：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB∵AD =2，BC =4， ∴12AD BC = ∴114AOD COB COB S S S == ∴COB S △ =4∵△AOB 与△COB 等高，又∵12AO CO = ∴142AOB AOB COB S S S == ∴AOB S =2同理，DOC S =2∴ABCD S 梯形=AOD COB AOB DOC SS S S +++ =1+4+2+2=9．故选：A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．11．C解析：C【分析】连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ∽△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝6，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝6，再根据勾股定理求得AC =，5BC =125CJ =，进而可求得CR 的长． 【详解】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =，∴5a =（舍负）∴AC =，BC = ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅，∴125565CJ ==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425， 故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 12．D解析：D【分析】根据90B D ∠=∠=，所以只有两种可能，假设ABE △∽NDM 或ABE △∽MDN △，分别求出DM 的长即可．【详解】 解：正方形ABCD 边长是2，BE CE =，1BE ∴=，225AE AB BE ∴+=当ABE △∽NDM 时::DM BE MN AE ∴=，1.MN = 5DM ∴=． 当ABE △∽MDN △时，::DM BA MN AE ∴=，2=1，=AB MN25DM ∴ 5DM ∴=25． 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM 与AB 是对应边时，②当DM 与BE 是对应边时这两种情况．二、填空题13．①②③【分析】由BE＝EF＝FCCG＝2GD可得BF=CG易证△ABF≌△BCG 即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接A解析：①②③【分析】由BE＝EF＝FC，CG＝2GD可得BF=CG，易证△ABF≌△BCG，即可解题；②易证△BNF∽△BCG，即可求得BNNF的值，即可解题；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解题；④连接AG，FG，根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，90AB BCABF BCGBF CG⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，90CBG NBFBCG BNF∠∠⎧⎨∠∠︒⎩＝＝＝，∴△BNF∽△BCG，∴32BN BCNF CG==，∴BN=32NF；②正确；作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，22AF AB BF=+13∵S △ABF =12AF•BN =12AB•BF ， ∴BN =61313，NF =23BN =41313， ∴AN =AF -NF =913， ∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH =313，NH =213，BN ∥EH ， ∴AH =111313，AN MN AH EH =，解得：MN =2713143， ∴BM=BN-MN =31311，MG=BG-BM =81311， ∴38BM MG =；③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则NG=BG-BN 713 ∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =12CG•CF +12NF•NG =1+1413=2713， S 四边形ANGD =S △ANG +S △ADG =12AN•GN +12AD•DG =6335126213+=， ∴S 四边形CGNF ≠12S 四边形ANGD ，④错误； 故答案为 ①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB =3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．14．6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线根据平行线分线段成比例可得代入计算即可解答【详解】解：如图过点O 作OE ⊥AD 于点EOF ⊥CB 于点F 则EOF 三点共线∵横格纸的横线平行解析：6【分析】过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，根据平行线分线段成比例可得AD OE BC OF=，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点O 作OE ⊥AD 于点E ，OF ⊥CB 于点F ，则E 、O 、F 三点共线，∵横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，∴AD OE BC OF =， 即423BC =， ∴CD=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．15．【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S1的值进而可得出S2的值找出规律即可求值【详解】解：∵是的中位线∴∴∴同理∴；同理可得∴故答案为：；【点睛】本题考查的是相似三角形的性质 解析：a 32 212n a - 【分析】根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定和性质可求出S 1的值，进而可得出S 2的值，找出规律即可求值．【详解】解：∵1111,AC A B 是ABC ∆的中位线，∴11111,//2AC BC AC BC =， ∴11AC A ABC ∆∆， ∴111144AC A ABC S S a ∆∆==，同理111144A CB ABC S S a ∆∆==，∴1111442S a a a a =--=； 同理可得，2335,,2232a a a S S ===， ∴212n n aS -=．故答案为：a 32；212n a - 【点睛】 本题考查的是相似三角形的性质及三角形中位线定理，正确得出面积变化规律是解答此题的关键．16．【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD 进而可得出∠FAE ＝∠FCD 结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD 利用相似三角形的性质可得出＝＝2利用勾股定理可求出AC 的长度再结合CF ＝解析：103【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出∠FAE ＝∠FCD ，结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出CF AF ＝CD AE ＝2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF ＝CF CF AF +•AC ，即可求出CF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD， ∴∠FAE ＝∠FCD ，又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF ＝CD AE＝2． ∵AC 22AB BC +5， ∴CF ＝CF CF AF+•AC ＝221+×5＝103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF 是解题的关键．17．9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9设列方程即可求解【详解】解：∵∴∴设则解得x=9故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形性质求出面积比设出未知数列解析：9【分析】根据相似三角形性质得到△AEF 和△ABC 面积比为1∶9，设ABC S x =△，列方程即可求解．【详解】解：∵AEF ABC ∽，:1:3AE AB =， ∴219AEF ABC S AE S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△, ∴设ABC S x =△， 则189x x -=， 解得x=9．故答案为：9【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形性质求出面积比，设出未知数列出方程是解题关键．18．【分析】根据正方形的性质得OB ＝ODAD ∥BC 根据三角形相似的性质和判定得：根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得结论【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴OB ＝ODAD ∥BC ∴△BEF ∽△DE解析：24【分析】根据正方形的性质得OB ＝OD ，AD ∥BC ，根据三角形相似的性质和判定得：13BE EF ED AE ==，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△DEA ， ∴BE EF ED AE=， ∵E 是OB 的中点， ∴13BE EF ED AE ==，∴S △BEF ：S △AEB ＝EF ：AE ＝13， ∵△BEF 的面积为1，∴△AEB 的面积为3，∵13BE ED ， ∴S △AEB ：S △AED ＝13， ∴△AED 的面积为9，∴S △ABD =9+3=12， ∴正方形ABCD 的面积=12×2=24．故答案为：24．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．19．(00)或(4)【分析】分①点A 和点C 为对应点点B 和点D 为对应点；②点A 和点D 为对应点点B 和点C 为对应点两种情况根据位似中心的概念解答【详解】解：①当点A 和点C 为对应点点B 和点D 为对应点时延长CAB解析：(0，0)或(143，4) 【分析】分①点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点；②点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答．【详解】解：①当点A 和点C 为对应点，点B 和点D 为对应点时，延长CA 、BD 交于点O ，则位似中心的坐标是（0，0），②当点A 和点D 为对应点，点B 和点C 为对应点时，连接AD 、BC 交于点P ，则点P 为位似中心，∵线段AB 、CD 是位似图形，∴AB ∥CD ，∴△PAB ∽△PDC ，∴12AP AB PD CD ===，即152AP AP =-， ∴AP 53=， ∴位似中心点P 的坐标是(533+，4)，即(143，4)， 综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(143，4)， 故答案为：(0，0)或(143，4)． 【点睛】 本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．20．8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：∵BD ⊥ABAC ⊥AB ∴BD ∥AC ∴△ACE ∽△BDE ∴∴∴AC=8（米）故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用正确的识别图形解析：8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ，∴△ACE ∽△BDE ， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.80.210.2AC -=， ∴AC=8（米），故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题21．6米【分析】先根据DE ∥BC 得出△ADE ∽△ACB ，再根据相似三角形的对应边成比例求出AD 的值，由AC ＝AD+CD 得出结论．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC， 设AD ＝x ，则有1.51.8＝1x x +， 解得x ＝5． 甲的影长AC ＝1+5＝6米．答：甲的影长是6米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意判断出△ADE ∽△ACB 是解题的关键． 22．（1）1m =， 5y x =；（2）15AOC S =；（3）43a =或23a =；（4）18x ≥． 【分析】（1）由一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，可得+65m -=求出m ，设2l 的解析式为y kx =过点C(1,5)，求出k 即可；（2） 由y=0时，+60,6x x -==，OA=6，12AOC C S OA y =⋅； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()562a a --=解之即可；（4）由一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），13k =-，一次函数为163y x =-+ ，与x 轴交点，当18x ≥时即可． 【详解】解：（1）∵一次函数+6y x =-的图象1l 过点(),5C m ，∴+65m -=，∴1m =，设2l 的解析式为y kx =过点C ，∴k=5，∴2l 的解析式为5y x =；（2）一次函数+6y x =-与x 轴交点为A ，当y=0时，+60,6x x -==，∴OA=6， 11651522AOC C S OA y =⋅=⨯⨯=； （3）当x a =时，与直线1l 交于点P （,6a a -），与直线2l 交于点Q （,5a a ），PQ=()56612a a a --=-=，113a -=， 113a -=±， 43a =或23a =； （4）一次函数整理得()64y k x =-+，由64x y =⎧⎨=⎩， ∴一次函数64=-+y kx k 的图象横过定点(6,4) ，A （6,0），B （0,6），一次函数64=-+y kx k 的图象过B （0,6），∴646k -+=，∴13k =-，∴一次函数163y x =-+， ∴y=0，x=18，当18x ≥时一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点且满足y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查直线解析式，三角形面积，两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围问题，掌握待定系数法求直线解析式，三角形面积求法，会求两直线l 1，l 2与x=a 交点距离，一次函数64=-+y kx k 的图象与线段AB （含端点）有公共点范围方法是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）1615 【分析】（1）根据矩形的性质可得，90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，再根据已知条件DF AE ⊥，即可证明DFA ≌ABE △，则AF BE =，进而通过线段的和差关系求得；（2）由勾股定理求得BD 的长度，再由ABD △的面积求得AF 的长度，则可用勾股定理求得DF 的长度，则可得BF 的长度，再由DFA ≌ABE △，求得EB 的长度，在Rt ABE △中，根据勾股定理即可求得AE ，即可求得λ的值．【详解】（1）∵1λ=，∴1AD AE=， ∴AD AE =，又∵四边形ABCD 是矩形，∴90//B AD BC AB CD AD BC ∠=︒==，，，，∴DAF AEB ∠=∠，∵DF AE ⊥，∴90DFA B ∠=∠=︒，∴在DFA 和ABE △中，DFA B DAF AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DFA ≌ABE △，∴AF BE =，∵=AE AD BC =，∴AE AF BC BE -=-， ∴CE FE =；（2）如图，D B F 、、三点共线，∵3,4AB AD ==，∴5BD ==，∵DF AE ⊥， ∴1122ABD S AB AD BD AF =⋅=⋅△， ∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴165DF ===， ∴169555BF BD DF =-=-=， ∵//AD BE ， ∴在ADF 和EBF △中，FAD FEB ADF EBF AFD EFB ∠=∠∠=∠∠=∠，，，∴ADF ∽EBF △， ∴AD DF EB BF=， 即164595EB=， ∴94EB =，∴154AE ===， ∴14161554AD AE λ===．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、三角形面积、相似比等，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点，利用勾股定理求解线段的长．24．（1）见解析；（2）1【分析】（1）利用“两角法”进行证明；（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例来求AE 的长度．【详解】解：（1）证明：∵∠C =∠ADE ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB（2）解：由（1）知，△ADE ∽△ACB ，AC AB∵AB =3，AD =2，CE =5， ∴253AE AE =+， 得：121,6AE AE ==-（舍去）∴AE 的长是1【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．25．32米【分析】易得△ABC ∽△EDC 以及△ABD ∽△GFD ，根据相似三角形的性质得到关于x 和y 的方程组，求解即可．【详解】解：设AB 为xm ，BC 为ym ，根据题意知，△ABC ∽△EDC ，有 1.62.4x y =①． △ABD ∽△GFD ，有 1.62.4 2.52x y =+②． 联立①②，得x ＝32．答：建筑物AB 的高度为32m ．【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．26．（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF ，于是得到△BDE ∽△CFD ；（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD 平分∠EFC ．【详解】解：（1）∵AB=AC=BC ，∴∠B=∠C=60°，∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE ，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE ，∴∠BED=∠CDF ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）∵△BDE ∽△CFD ，CF DF∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴CD DE=CF DF∵∠EDF=∠C=60°，∴△DEF∽△CDF，∴∠DFE=∠CFD，∴FD平分∠EFC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

图形的相似 测试题及答案

图形的相似 测试题及答案

图形的相似 测试题（时间：90分钟 满分：120 分）班级： 姓名： 得分：一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，其中是相似图形的组数是（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组2. 下列各组四条线段中，长度不成比例的是（ ）A ．1cm ， cm ，cm ，cmB ．12cm ， 14cm ，4cm ，42cm4382127C ．15cm ， 3cm ，7.5cm ，9cmD ．10cm ， cm ，3cm ，cm34523.某一时刻，身高1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m ，则该旗杆的高度是（ ）A. 1.25 mB. 10 mC. 20 mD. 8 m4.如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF 的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40第4题图 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图5．三角形的一条中位线将三角形分成的两部分面积之比是（ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:46. 如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2=BC•BD B ．AB 2=AC•BDC ．AB•AD=BD•BCD ．AB•AD=AD•CD7.如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的（ ）A ．H 或NB ．G 或HC ．M 或ND ．G 或M8.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9.如图, D,E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3等于（ )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:410. 如图，将△DEF 缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P ，连接DP ，取DP 的中点A ，再连接EP ，FP ，取它们的中点B ，C ，得到△ABC .则下列说法:①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比是1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比是1∶2，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知A,B两地的实际距离AB=5 km，画在图上的距离为2cm，则该地图的比例尺为 . 12．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为 .第12题图313．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_______（结果保留根号）.14．在△ABC中，AB=8，A C=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）.15．如图，P是四边形ABCD的对角线AC上一点，且AP﹕AC=3﹕4．过点P作PM//BC交AB于点M，作PN//DC交AD于点N，则四边形AMPN与四边形ABCD是，相似比是，位似中心是点 .第15题图第16题图Rt△ABC斜边上一点，四边形BFED为正方形，若BC=6，AB=8，则正方形BFED的17．如图所示为测量小玻璃管口径的量具ABC，其中AB的长为10毫米，AC被分为60等分，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是___ _毫米．第17题图第18题图18．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图①）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图②）；继续操作下去…则第2014次剪取时，s2014 = .三、解答题（共58分）19.（10分）在下面的网格图中按要求画出图形，先画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，再画出以点O 为位似中心，与△ABC位似且相似比为2的△A2B2C2.第19题图20.（10分）矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′C′D′的面积为57.6cm²，这两个矩形相似吗?为什么?第20题图21．（12分）已知如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB ＝1:2 .(1)求AE:DC 的值.(2)△AEF 与△CDF 相似吗?若相似,请说明理由,并求出相似比.(3)如果＝6cm 2,求AEF S ∆CDFS ∆第21题图22.（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC.（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图①），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 与点G （如图②），求证：四边形EFDG 是菱形．第22题图23．（14分）阅读材料：如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A ，B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．第23题图参考答案一、1.B 2.C 3. C 4．A 5．C 6. A 7. C 8. C 9. C 10.C二、11. 1:250 000 12．4 13．14．答案不唯一，如∠A=∠D 15．位似图形 3﹕4 A 433-16． 17．5 18． 247201321三、19.略.20. 解：矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似.理由如下：因为矩形A′B′ C′D′的面积为57.6cm²，A′D′=6cm，所以A′B′=57.6÷6=9.6.所以，,即356.916//==cm cm B A AB 35610//==cm cm D A AD ，所以矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′相似.////D A AD B A AB =21．解：(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以DC=AB.由，得. 所以；12AE EB =13AE AB =13AE DC =(2)相似.由题意知，DC ∥AB,所以∠DCF=∠EAF,∠F DC=∠FEA.所以△AEF ∽△CDF.由（1）知，所以相似比为.13AE DC =13（3）因为△AEF ∽△CDF ，所以，所以.21:3AEF CDF S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭254CDF S cm = 22.解：证明：（1）因为点E 是BC 的中点，BC=2AD ，所以EC=BE=BC=AD.又AD ∥BC ，所以四边21形AECD 为平行四边形，所以AE ∥DC ，所以△AOE ∽△COF ；（2）连接DE 。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图形的相似检测题
（相似的图形～相似三角形的判定 考试时间120分钟 满分150分） 班级
号数 姓名____ ____成绩
A 卷
一、选择题(每题5分,共计50分) 1.下列说法不一定正确的是（ ）
A 、所有的等边三角形都相似
B 、有一个角是1000的等腰三角形相似
C 、所有的正方形都相似
D 、所有的矩形都相似 2.如果cd
ab =，那么有 （ ） A 、
d c b a = B 、a c d b = C 、d b c a = D 、b
a
c d = 3.下列各组线段中，能成比例线段的是 （ ）
A 、 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝
B 、 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝
C 、 0.1㎝，0.2㎝，0.3㎝，0.4㎝
D 、 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝
4.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④ A ．①和② B ．②和③ C ．①和③ D ．②和④
5．下列条件中，能判定△ABC ∽△DEF 的有（ ）
①∠A=450，AB=12，AC=15，∠D=450，DE=16，DF=40 ②AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40 ③∠B=470，AB=15，BC=20，∠E=470，EF=28，DE=21 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
6．如图（1），DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ）
A 、2对
B 、3对
C 、4对
D 、5对 图
（1）
7．如图（2），P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定
A
B
C
D
E F
A
B
C
P
能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ）
A 、∠ACP=∠
B B 、∠ACP=∠A
C 、AC
AP AB
AC = D 、AB
AC BC
PC =
8. 在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ。

则ＰＱ＝（ ） A
2
15- B 53- C
25- D
2
53-
9、如图，∠APD ＝900，AP ＝PB ＝BC ＝CD ，
则下列结论成立的是（ ）P
A
A ΔPA
B ∽ΔPCA B ΔPAB ∽ΔPDA
C ΔABC ∽ ΔDBA
D ΔABC ∽ΔDCA
10、如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，则梯子的长为( ) A ．3.85m B ．4.00m C ．4.40m D ．4.50m
二、填空题(每题4分共20分)
11. 若
则x y y +=______.22x y
x y
+=- 12．在比例尺为1:40000的地图上量得A 与B 两地的距离是24厘米,则A 与B 两地
的实际距离是米
13.ΔABC的三条边分别为54cm、45cm、63cm, 另一个和它相似的三角形最短边长为15cm,则这个三角形的最长边为.周长为
14.如图，FB
=，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ= 。

AD=
DF
15. 如图表示△AOB 和它缩小后得到的△GOD，它们的相似比为．
三.解答题:
一、16、(10分). 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
17、(10分).如图, P 是正方形ABCD 边BC 上的一点,且BP = 3PC, Q 是CD 中点
(1)与ΔADQ相似的三角形是
(2)试说明:AQ 与PQ的关系(位置与数量)
18、(10分).如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、B、A为顶点的三角
形相似
．．?。

相关文档
最新文档