特殊三角形(综合测试三)人教版

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2019-2020初中数学八年级上册《特殊三角形》专项测试(含答案) (49)

浙教版初中数学试卷2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2分)如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，ED 垂直平分AC，交AC边于点D，交BC 边于E. ∠C= 35°，则∠BAE为（）A． 10°B．15°C．20°D．25°2．(2分)下列说法中，错误的是（）A．等边三角形是特殊的等腰三角形B．等腰三角形底边上的中线是等腰三角形的对称铀C．有一个角为 45°的直角三角形是等腰直角三角形D．等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角3．(2分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，△ABC的周长是24cm ，BC=10cm，则△AEF的周长是（）A．10 cm B．12cm C．14 cm D．34 cm4．(2分)如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕A逆时针旋转后，能够与△ACP′重合，如果AP=3，那么2PP 等于（）A．9 B．12 C．15 D．l85．(2分)下列各组条件中，能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=60°，∠B=40°B．∠A=70°，∠B=50°C．∠A=90°，∠B=45°D．∠A=120°，∠B=15°6．(2分)三角形的三边长a、b、c满足等式（22+-=，则此三角形是（）()2a b c abA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．(2分)满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．222=-B．∠C=∠A一∠Bb a cC．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b: c=12：13：58．(2分)如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：（1）DE=AC；（2）DE⊥AC；（3）∠CAB=30°；（4）∠EAF=∠ADE，其中不正确结论的个数有（）A．0个B．l个C．2个D．以上选项均错误9．(2分)下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等腰直角三角形B．长方形C．正方形D．圆二、填空题∆中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则10．(2分)如图，ABCCD= .11．(2分)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了步路(假设2步为l m)，却踩伤了花草．12．(2分)如图，点D是△ABC内部一点，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE=DF，若∠ABD=26°，则∠ABC= ．13．(2分)在Rt△ABC中，若∠C=90°，AB=c，BC=a,AC=b．(1)已知a =3，b=4，则c= ；(2)已知a=6，c=10，则b = ；(3)已知b=5，c=13，则a= ．14．(2分)如图，剪四个与图①完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图②所示的图形．(1)大正方形的面积可以表示为．(2)大正方形的面积也可表示为．(3)对比两种方法，你能得出什么结论?15．(2分)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，D是AB的中点，△BCD的周长是l8，则AB的长是．16．(2分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°, AD⊥BC于D，BC=12，则BD= ．17．(2分)如图，锐角△ABC中，∠BOC=140°,两条高BD、CE交于点0，则∠A= ．解答题18．(2分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且CD⊥AB于点D．(1)若∠B=50°，则∠A= ；(2)若∠B—∠A=50°，则∠A= ．19．(2分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ACD=52°，则∠BDC= ．20．(2分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，CD⊥AB于D，则∠ACD= ．21．(2分)如图，已知0C是∠A0B的平分线，直线DE∥OB，交0A于点D，交0C于点E，若OD=5 cm，则DE= cm．三、解答题22．(7分)如图，在△ABC中，AB =AC，D 为 BC边上的一点，∠BAD = ∠CAD，BD = 6cm，求BC的长.23．(7分)已知：如图，∠AOB=∠AOC ，∠1=∠2．试说明：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AO⊥BC．24．(7分)如图，已知∠ABC、∠ADC都是直角，BC=DC．说明：DE=BE．25．(7分)如图，在△DEF 中，已知DE=17cm ，EF=30 cm ，EF 边上的中线DG=8 cm ，试说明△DEF 是等腰三角形．26．(7分)试判断：三边长分别为222n n +,21n +、2221n n ++(n>O)的三角形是否是直角三角形?并说明理由．27．(7分)如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E ，交BA 的延长线于F ，请说明：(1)△BCF 是等腰三角形；(2)△ABD ≌△ACF ；(3)BD=2CE ．28．(7分)如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AE 是△ABC 中与∠BAC 相邻的外角的平分线，且AE ∥BC ，则△ABC 是等边三角形吗?为什么?29．(7分)如图，在△ABC 中，∠ABC= 50°，∠ACB=70°，延长 CB 至D使 BD=BA，延长 BC 至E使 CE=CA. 连结 AD、AE，求△ADE 各内角的度数.30．(7分)如图，在△ABC中，∠1=∠2，AB=AC=10，BD=4，求△ABC的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C2．B3．C4．D5．C6．B7．C8．B9．A二、填空题10．311．412．52°13．(1)5；(2)8；（3）1214．(1)c 2 ；(2)214()2ab b a ⨯+-；（3）222a b c +=15．1316．317．40°18．(1)40°；(2)20°19．97°20．25°21．5三、解答题22．∵∠BAD=∠CAD ，∴AD 是∠BAC 的平分线．∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∴AD 是△ABC 的BC 边上的中线，∴BD=CD=12BC ． ∵BD=6cm ，∴BC=12(cm)23．（1）证明：△AOB ≌△AOC ，得AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）由（1）得，∠OAB=∠OAC ，∴AO ⊥BC ．24．先说明Rt △ADC ≌Rt △ABC ，再说明△DCE ≌△BCE25．说明DG 是EF 是中垂线26．是直角三角形，理由略27．(1)利用△CBE ≌△FBE 来说明；（2）利用ASA 说明；(3)利用CF=2CE 而CF=BD 来说明28．△ABC 是等边三角形．说明三个内角都是60°29．∠D=25°，∠E=35°，∠DAF=120°30．28。

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．
20．如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
13．如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线过点，，．
(3)如图2，在（2）的条件下，点D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②若直线PD上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
(1)点E的坐标为；

特殊三角形-练习题(含答案)

特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。

2. 整数边长的直角三角形有__________组。

3. 锐角三角形的内角和为__________度。

4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。

5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。

三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。

解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。

2. 在等边三角形ABC中，边长为6。

连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。

解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。

四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。

结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。

特殊三角形单元检测 (困难)培优提升答案

第二章、特殊三角形单元测试（难度：困难）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图标中轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，轴对称图形共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°﹣αB．β＝180°﹣αC．β＝D．β＝120°﹣α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90°﹣α＝α+β，即β＝90°﹣α；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：β＝180°﹣α；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：β＝α﹣90°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形D．正五边形【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．5．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（）A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补【分析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，根据矩形的性质可得AB ∥CD，∠B＝90°，再根据折叠可得：∠B＝∠GHE＝90°，从而可得GH∥FN，进而可得∠1＝∠MFN，即可判断A；根据角平分线和平行线的性质即可判断B和C；根据平角定义即可判断D．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合题意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折叠得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合题意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合题意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4与∠2不一定互补，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，∠FBA＝∠CBE＝∠ABC，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠F AB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC，∵∠CBE＝∠ABC，∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；∵BG⊥DG，∴∠G＝90°，∴∠GDB+∠GBD＝90°，又∵∠GDB＝∠ABC，∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；又∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠GBD，∵∠ABF＝∠EBC，∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝＝2+．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．10．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）11．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系求单线段的最值是解题的关键．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．【分析】连接BD交AC于点O，证明AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法可求解DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC＝2，若点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN 交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，∵AC＝2，∴AK＝KC＝2，∵AB＝3，∴BK＝AB﹣AK＝1，在Rt△BKC中，∠BKC＝90°，BK＝1，CK＝2，∴BC＝＝，∵•BC•AH＝•AB•CK，∴AH＝，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为，∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．【点评】本题考查了轴对称问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．15．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是4．【分析】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F 作FH⊥CA交CA的延长线于H．则DE＝AD，则DC+DB+DA＝DC+DE+EF≥CF，求出CF即可得出结论．【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．图①、图②、图③均是9×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画△ABC关于AC的轴对称图形，得到四边形ABCD．（2）在图②中，画EF∥BC，点E在AC上，点F在AB上，且AE＝2EC．（3）在图③中，画△ABC关于BC的轴对称图形，得到四边形ACMB．【分析】（1）依据要求，根据轴对称的性质作图即可．（2）利用平行线分线段成比例定理作图即可．（3）取格点P，Q，连接PQ，过点A作BC的垂线，与PQ交于点M，连接CM，BM 即可．【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．（2）如图②，EF即为所求．（3）如图③，四边形ACMB即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点B、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．20．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB 的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO ＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【分析】先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故PM ＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN ＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC ﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．22．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．。

2020年九年级数学中考专题复习《特殊三角形》过关检测(Word版附答案)

《特殊三角形》过关检测一、选择题(本大题共16小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.对于命题“已知:a∥b,b∥c,求证:a∥c”.如果用反证法,应先假设( )A.a不平行bB.b不平行cC.a⊥cD.a不平行c2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( )A.∠B=∠CB.AD⊥BCC.AD平分∠BACD.AB=2BD第2题图第3题图第4题图3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB等于( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm4.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无法判断5.给出下列几组数:①6,7,8;②8,15,16;③n2-1,2n,n2+1;④m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0),其中能组成直角三角形的三条边长是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④6.下列命题中:①两直角边对应相等的两个直角三角形全等;②两锐角对应相等的两个直角三角形全等;③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确的个数有( )A.2B.3C.4D.57.如图,在△ABC中,∠C=45°,点D在AB上,点E在BC上.若AD=DB=DE,AE=1,则AC的长为( ) A.√ B.2 C.√3 D.√2第7题图第8题图第9题图8.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,F为BC的中点,DE=5,BC=8,则△DEF的周长是( )A.13B.15C.18D.219.如图,在△ABC中,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE 于点E,D,若AC=3,AB=4,则DE的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.910.如图,沿AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=150°,沿BD的方向前进,取∠BDE=60°,测得BD=520 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为( )A.(260√3-80) mB.(260√2-80)mC.260√3 mD.180 m11.如图,若AB=AC,下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)12.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则CD的长是( )A.2B.52C.2 √2 D.3√22第12题图第13题图第14题图13.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点F,若∠F=30°,DE=1,则EF 的长是 ( )A.3B.2C.√3D.114.如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC 交DE 于点F,点G 为AF 的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE 的长为 ( )A.2√3B.√10C.2√2D.√615.如图,正方形ABCD 的边长为1,其面积标记为S 1,以CD 为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S 2……按照此规律继续下去,则S 2 018的值为 ( )A.(12)2 015 B.(12)2 016 C.(12)2 017 D.(12)2 018第15题图第16题图16.如图,等腰三角形ABC的底边长为8 cm,腰长为5 cm,一动点P在底边上从B 向C以0.25 cm/s的速度移动,则当P点与顶点A的连线PA与腰垂直时,点P 运动的时间为( )A.12 sB.25 sC.7 sD.7 s或25 s二、填空题(本大题共3小题,共10分.17~18小题各3分,19小题有2个空,每空2分)17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠BCD,则△ACD的形状为.第17题图第18题图第19题图18.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,D是BC上的一点,AC=20,CD=10√3-6,则AD= .19.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=6,腰AB上的高CE=8,则BC= ,△ABC的周长等于.三、解答题(本大题共7小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(本小题满分8分)在△ABC中,AB=√3,AC=√2,BC=1.求证:∠A≠30°.21.(本小题满分9分)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm,E为BC边上的一点,将纸片沿AE翻折,使点B与CD边上的点F重合.求线段EF的长.22.(本小题满分9分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线EF交AB于点E,交BC FC.于点F.求证:BF=1223.(本小题满分9分)如图,把一块等腰直角三角形零件△ABC(其中∠ACB=90°),放置在一凹槽内,A,B,C三个顶点分别落在凹槽内壁上,已知∠ADE=∠BED=90°,测得AD=5 cm,BE=7 cm,求该三角形零件的面积.24.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,且AD与BF交于点E,那么△AEF是等腰三角形吗?请说明理由.25.(本小题满分11分)如图,AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分,如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等,且AC=AE.(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF;(2)请你猜想BC与BE的数量关系并证明.26.(本小题满分12分)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作等边三角形BPM,连接CM.(1)观察并猜想AP与CM之间的数量关系,并说明理由;(2)若PA=PB=PC,则△PMC是三角形;(3)若PA∶PB∶PC=1∶√2∶√3,试判断△PMC的形状,并说明理由.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D D C B D C D A题号9 10 11 12 13 14 15 16答案 B A B C B C C D12√17.直角三角形18.2√3419.24√5520. 略21. 5 cm.22.略23. 37cm2.24. △AEF是等腰三角形25. (1)如图所示.(2)BC=BE.26. (1)AP=CM(2)等边(3)△PMC是直角三角形。

三角形综合测试(人教版)(含答案)

三角形综合测试（人教版）试卷简介:本套试卷是针对三角形全章重要知识点及其应用的考查，包括三角形内角和、外角定理，三边关系，多边形内角和公式及镶嵌等。

一、单选题(共12道，每道8分)1.下列判断:①三角形的三个内角中,最多有一个钝角;②三角形的三个内角中,至少有两个锐角;③有两个内角分别为50°和20°的三角形一定是钝角三角形;④直角三角形两锐角互余.其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：∵三角形的内角和为180°∴三角形的三个内角中最多有一个钝角，三角形的三个内角中至少有两个锐角，则①②正确；有两个内角为50°和20°的三角形的第三个角为110°，是钝角∴这个三角形是钝角三角形，则③正确；∵直角三角形中有一个角等于90°∴直角三角形中两锐角的和为90°，互余，则④正确．故正确的有①②③④，共4个．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理2.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=45°,AD,CF都是高,相交于点P,角平分线BE分别交AD, CF于Q,S,则图中的等腰三角形个数是( )A.2B.3C.4D.5答案：D解题思路：∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高∴∠DAC=45°∴CD=AD∴△ADC为等腰直角三角形∵∠BAC=180°-45°-60°=75°∠BAC=∠BAD+∠DAC∴∠BAD=75°-45°=30°∴∠APF=60°∴∠SPQ=∠APF=60°∵∠ABC=60°，且BE是∠ABC的角平分线∴∠QBD=∠ABQ=30°∴∠BQD=60°∴∠BQD=∠PQS∵∠SPQ=∠PQS=60°∴SP=SQ∴△QSP为等腰三角形∵∠BAD=EBA=30°∴△QAB是等腰三角形∵∠ABE=30°，∠AEB=∠EBC+∠ACD=30°+45°=75°，∠BAC=75°∴∠BAC=∠AEB∴AB=BE∴△ABE是等腰三角形∵在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠CBF=60°∴∠SCB=∠SBC=30°∴△SBC是等腰三角形故△ADC，△QSP，△QAB，△ABE，△SBC是等腰三角形，有5个故选D．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形3.如图,一花坛的形状是正六边形(设其为六边形ABCEFG),管理员从BC边上的一点H出发, 沿HC→CE→EF→FG→GA→AB→BH的方向走了一圈回到H处,则管理员从出发到回到原处在途中身体转过了( ).A.90°B.180°C.270°D.360°答案：D解题思路：管理员从BC边上的一点H出发，HC→CE→EF→FG→GA→AB→BH的方向走了一圈回到H处，他正好转过了六边形的所有外角∵多边形外角和为360°∴管理员从出发到回到原处在途中身体转过了360°．故选D．试题难度：三颗星知识点：多边形外角和定理4.如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是( )A.180°+∠2=3∠1B.∠1+∠2=90°C.180°-∠1=3∠2D.∠1=2∠2答案：A解题思路：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AB=BD∴∠BAD=∠1∵∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，∴∠B=∠1-∠2，在△ABD中，∵∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°∴∠1-∠2+2∠1=180°∴3∠1-∠2=180°即180°+∠2=3∠1．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理5.把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2的度数为( )A.125°B.120°C.140°D.130°答案：D解题思路：如图，∠1=40°∴∠3=90°+∠1=90°+40°=130°∵直尺的两边互相平行∴∠2=∠3=130°故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形外角定理6.有3cm,6cm,8cm,9cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：∵四条线段的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9根据三角形三边关系可得：只有3，6，8和6，8，9和3，8，9能组成三角形．∴最多能组成三角形的个数为3故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系7.如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线,则∠1的度数为( )A.30°B.36°C.38°D.45°答案：B解题思路：∵ABCDE是正五边形∴∠BAE=(5-2)×180°÷5=108°∵AB=AE∴∠AEB=(180°-108°)÷2=36°∵∴∠1=∠AEB=36°故选B．试题难度：三颗星知识点：多边形内角和定理8.如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图2.则下列说法正确的是( )A.点M在AB上B.点M在BC的中点处C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远答案：C解题思路：∵∠C=100°，∠B=30°∴AB＞AC如图，取BC的中点E，连接AE，则BE=CE∴AB+BE＞AC+CE由三角形三边关系，AC+BC＞AB∴AB<AD∴AD的中点M在BE上即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形三边关系9.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2的度数是( )A.90°B.100°C.130°D.180°答案：B解题思路：如图，∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°，∴∠1+∠2=150°-∠3，∵∠3=50°∴∠1+∠2=150°-50°=100°故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理10.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为2000°,则这个内角是( )A.20°B.160°C.200°D.140°答案：B解题思路：设多边形的边数是n，没加的内角为α（0°<α<180°）根据题意得：(n-2)•180°=2000°+α∵2000°÷180°=11……20°∵n是正整数∴n-2=12∴n=14∴α=160°．故选B．试题难度：三颗星知识点：多边形内角和定理11.用边长为1的正方形纸板,制成一幅七巧板(如图1),将它拼成“小天鹅”图案(如图2),其中阴影部分的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去A，B，C部分的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，∴阴影部分面积==．故选A．试题难度：三颗星知识点：面积问题12.某中学新科技馆铺设地面,已有正三角形形状的地砖,现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖,与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌,则该学校不应该购买的地砖形状是( )A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形答案：C解题思路：∵正方形的每个内角是90°，90°×2+60°×3=360°，故A选项能密铺；∵正六边形每个内角是120°，120°+60°×4=360°，故B选项能密铺；∵正八边形每个内角是，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，故C选项不能密铺；∵正十二边形每个内角是150°，150°×2+60°=360°，故D选项能密铺．故选C．试题难度：三颗星知识点：平面镶嵌。

人教版数学八年级上册《三角形》单元综合测试含答案

人教版数学八年级上学期《三角形》单元测试考试时间：100分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分,共30分)1．（2019·山东初二期中）下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是（） A ．3cm ,4cm ,5cmB ．8cm ,7cm ,15cmC ．5cm ,5cm ,11cmD ．13cm ,7cm ,20cm2．（2019·广西初二期中）如图,D 是AB 边上的中点,将△ABC 沿过D 的直线折叠,使点A 落在BC 上F 处,若∠B=50°,则∠EDF 的度数为（）A ．50°B ．40°C ．80°D ．60°3．（2019·广西初二期中）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形,则a 的值可以是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．84．（2019·福建省武平县第一中学初二期中）如图,直线a ∥b,∠1=75°,∠2=40°,则∠3的度数为（）A ．75°B ．50°C ．35°D ．30°5．（2019·福建省武平县第一中学初二期中）在ABC ∆中,画出边AC 上的高,下面4幅图中画法正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．（2019·湖北初二期中）已知2x =是关于x 的方程()2440x m x m -++=的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长,则ABC 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或107．（2019·河北初二期中）若一个正n边形的每个内角为144°,则n等于()A．10 B．8 C．7 D．58．（2019·恩施市新塘民族中学初二期中）如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=CD,若BC=5,AD=4,则图中阴影部分的面积为................... ................... ................... ....... .......... ..... .......... ..... （）A．5 B．10 C．15 D．209．（2019·广东初二月考）下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线是射线B．三角形的中线是线段C．三角形的高是直线D．直角三角形仅有一条高线10．（2019·江苏河塘中学初一月考）如图△ABC中,已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且S△ABC=4,那么阴影部分的面积等于…（）A．1 B．2 C．12D．14二、填空题（每小题4分,共24分)11．（2019·厦门市湖滨中学初二期中）空调外机安装在墙壁上时,一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法是利用了三角形的________________．12．（2019·青浦区实验中学初二期中）如图,Rt ABC ∆中,90BAC ∠=,35B ∠=,AD ⊥BC,那么DAC ∠=______.13．（2019·黑龙江初一期中）如图,△ABC 中,点D 在BC 上,且BD 2DC =,点E 是AC 中点,若△CDE 面积为1,则△ABC 的面积为____.14．（2019·汕头聿怀实验学校初二期中）一个三角形的两边长分别是2和7,最长边a 为偶数,则这个三角形的周长为______．15．（2019·山东初一期中）已知△ABC 中的三边a=2,b=4,c=3,h a ,h b ,h c 分别为a,b,c 上的高,则h a ：h b ：h c =____． 16．（2019·浙江初二期中）如图,在△ABC 中E 是BC 上的一点,EC ＝2EB,点D 是AC 的中点,AE 、BD 交于点F,AF ＝3FE,若△ABC 的面积为18,给出下列命题：①△ABE 的面积为6；②△ABF 的面积和四边形DFEC 的面积相等；③点F 是BD 的中点；④四边形DFEC 的面积为．其中,正确的结论有___．（把你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题一（每小题6分,共18分)17．（2019·云南初二期中）五边形ABCDE的五个外角的度数比为1∶2∶3∶4∶5,求它的五个内角的度数. 18．（2019·山东初二期中）已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长．19．（2019·陕西初三）有一块三角形的地,现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）.请你在图上作出分法.（不写作法,保留作图痕迹）四、解答题二（每小题7分,共21分20．（2019·福建省武平县第一中学初二期中）已知一个多边形的边数n,它的每一个内角都等于150 ,求：（1）边数n；（2）这个n边形的内角和；21．（2019·河南初二期中）如图所示,△ABC中,∠B=36°,∠ACB=110°,AE是∠BAC的平分线．(1)求∠AEC的度数；(2)过△ABC的顶点A作BC边上的高AD,求∠DAE的度数．22．（2019·重庆初二期中）如图所示,在△ABC中,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,AD是高,∠BAC=80°,∠C=54°,求∠DAC、∠BOA的度数．)五、解答题三（每小题9分,共27分)23．（2019·山东初二月考）如图,已知ABC ∠的平分线BD 和ACE ∠的平分线CD 相交于D,DBC D ∠=∠(1)AB 与CD 平行吗？请说明理由；(2)如果54A ∠=︒,求D ∠的度数.24．（2019·河南初二开学考试）如图,在△ABC 中,∠BAC 是钝角,画出：(1)∠BAC 的平分线；(2)AC 边上的中线；(3)AC 边上的高；(4)AB 边上的高．25．（2019·重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图,在△ABC 中,已知AD BC ⊥于点D,AE 平分()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；（2）若F 是AE 上一动点,当F 移动到AE 之间的位置时,FD BD ⊥,如图2所示,此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？（3）若F 是AE 上一动点,当F 继续移动到AE 的延长线上时,如图3,FD BC ⊥,①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由,如果不成立,写出新的结论.参考答案一、单选题（每小题3分,共30分)1．（2019·山东初二期中）下列每组数分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是（）A．3cm,4cm,5cm B．8cm,7cm,15cmC．5cm,5cm,11cm D．13cm,7cm,20cm【答案】A【解析】根据三角形三边关系定理判断得出答案.【详解】A：5<4+3,A能摆成三角形,故A选项正确；B：8+7=15,B不能摆成三角形,故B选项错误；C：5+5<11,C不能摆成三角形,故C选项错误；D：13+7=20,D不能摆成三角形,故D选项错误;故答案选择A.【点睛】本题考查的是三角形三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.2．（2019·广西初二期中）如图,D是AB边上的中点,将△ABC沿过D的直线折叠,使点A落在BC上F处,若∠B=50°,则∠EDF的度数为（）A．50°B．40°C．80°D．60°【答案】A【解析】试题分析：由D是AB边上的中点结合折叠的性质可得AD=BD=DF,即可求得∠BFD的度数,再根据三角形的内角和定理可求得∠BDF的度数,最好根据折叠的性质求解即可.根据折叠的性质可得AD=DF,∠ADE=∠EDF∵D是AB边上的中点∴AD=DF∴BD=DF∵∠B=50°∴∠BFD=∠B=50°∴∠BDF=80°∴∠ADE=∠EDF=50°故选A.考点：折叠的性质,中点的性质,等边对等角,三角形的内角和定理点评：折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．a的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是（）3．（2019·广西初二期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【解析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3,解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3,即2＜a＜8,由此可得,符合条件的只有选项C,故选C．【点睛】本题考查了三角形三边关系,能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键,注意：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边．4．（2019·福建省武平县第一中学初二期中）如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=40°,则∠3的度数为（）A．75°B．50°C．35°D．30°【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行,内错角相等可以得出∠4=∠1=75°,再根据三角形外角的性质即可得出答案.【详解】∵a∥b,∴∠4=∠1=75°,∴∠2+∠3=∠4=75°,∵∠2=40°,∴∠3=75°﹣40°=35°, 故选C ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质,结合图形熟练应用相关性质解题是关键. 5．（2019·福建省武平县第一中学初二期中）在ABC ∆中,画出边AC 上的高,下面4幅图中画法正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作哪一条边上的高,即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．【详解】解：在△ABC 中,画出边AC 上的高,即是过点B 作AC 边的垂线段,正确的是D ．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形的高,关键是要注意高的作法．6．（2019·湖北初二期中）已知2x =是关于x 的方程()2440x m x m -++=的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长,则ABC 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．8或10【答案】C【解析】把x=2代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根,即等腰△ABC 的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【详解】把x=2代入方程得4-2（m+4）+4m=0,解得m=2,则原方程为x 2-6x+8=0,解得x 1=2,x 2=4,因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长,①当△ABC的腰为4,底边为2时,则△ABC的周长为4+4+2=10；②当△ABC的腰为2,底边为4时,不能构成三角形．综上所述,该△ABC的周长为10．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．7．（2019·河北初二期中）若一个正n边形的每个内角为144°,则n等于()A．10 B．8 C．7 D．5【答案】A【解析】根据多边形的内角和公式列出关于n的方程,解方程即可求得答案.【详解】∵一个正n边形的每个内角为144°,∴144n=180×(n-2),解得：n=10,故选A.【点睛】本题考查了多边形的内角和公式,熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键.8．（2019·恩施市新塘民族中学初二期中）如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=CD,若BC=5,AD=4,则图中阴影部分的面积为（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】根据题意,观察可得：△ABC关于AD轴对称,且图中阴影部分的面积为△ABC面积的一半,先求出△ABC的面积,阴影部分的面积就可以得到．【详解】根据题意,阴影部分的面积为三角形面积的一半,∵S△ABC=12×BC AD=12×4×5=10,∴阴影部分面积=12×10=5. 故答案选A. 【点睛】本题考查了轴对称的性质,解题的关键是熟练的掌握轴对称的性质. 9．（2019·广东初二月考）下列说法正确的是（）A ．三角形的角平分线是射线B ．三角形的中线是线段C ．三角形的高是直线D ．直角三角形仅有一条高线【答案】B【解析】三角形的角平分线,中线,高都是线段,故A,C 错误,B 正确；任何三角形都有三条高线,故D 错误.故选B.10．（2019·江苏河塘中学初一月考）如图△ABC 中,已知D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点,且S △ABC =4,那么阴影部分的面积等于…（）A ．1B ．2C ．12D ．14【答案】A【解析】试题解析：如图,点F 是CE 的中点,∴△BEF 的底是EF ,△BEC 的底是EC ,即12EF EC =,高相等； ∴12BEF BEC S S =，D. E. 分别是BC 、AD 的中点,同理得,12EBC ABC S S =，∴1,4BEF ABC S S = 且S △ABC =4,∴1BEF S =，即阴影部分的面积为1.故选A.二、填空题（每小题4分,共24分)11．（2019·厦门市湖滨中学初二期中）空调外机安装在墙壁上时,一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上,这种方法是利用了三角形的________________．【答案】稳定性【解析】钉在墙上的方法是构造三角形,因而应用了三角形的稳定性．【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性,故答案为：稳定性．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性,正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．12．（2019·青浦区实验中学初二期中）如图,Rt ABC ∆中,90BAC ∠=,35B ∠=,AD ⊥BC,那么DAC ∠=______.【答案】35°【解析】通过∠ BAC 和∠ B 和度数,可以求出∠ C 的度数,又知AD ⊥BC,求解∠ DAC 。

人教版数学八年级上册《三角形》单元综合测试附答案

15.在活动课上,小红有两根长为4 cm、8 cm的小棒,现打算拼一个等腰三角形,则小红应取的第三根小木棒的长度是_____cm.
【答案】8
ห้องสมุดไป่ตู้【解析】
【分析】
题目给出两条小木棒长为和打算拼一个等腰三角形,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【详解】当第三根是时,其三边分别为、、 ,不符合三角形三边关系,故舍去；
A. 120OB. 180O.C. 240OD. 3000
8.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是（）
A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形
9.在锐角三角形中,最大角α的取值范围是 ( )
A 0°＜α＜90°B.60°＜α＜90°C.60°＜α＜180°D.60°≤α＜90°
10.一个多边形截取一个角后,形成另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是（）
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系定理求出第三边的长,即可得出结论．
【详解】∵7﹣2＜第三边＜7+2,∴5＜第三边＜9．
∵第三边为奇数,∴第三边=7,所以三角形的周长是2+7+7=16（cm）．
故答案为16cm．
【点睛】首先根据题意求出第三边,然后再求出周长．
14.已知一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角与一个外角的度数比为5∶1,则这个多边形的边数是_____．
5.如果三角形的一个外角是锐角,那么这个三角形为()
A.钝角三角形B.锐角三角形
C 直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形外角的定义,与相邻的内角互补,若三角形的一个外角是锐角,则与它相邻的内角是钝角,故这个三角形是钝角三角形.

特殊三角形综合测试(人教版)(含答案)

特殊三角形综合测试（人教版）试卷简介:针对等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定及性质进行综合考查，训练同学们几何做题过程中画图，见到什么想什么，辨析结构的能力.一、单选题(共10道，每道10分)1.在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC,AB于点D,E,则△AEC的周长等于( )A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b答案：A解题思路：根据题意画出图形，∵DE垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=a，∴EC+AE=a，∵AC=b．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=a+b，故选A．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,则∠BAC的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：如图，延长AD交BC于点E．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∵∠ADC=125°，∴∠DCE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到,交AC于点D.若AC=12,则的面积为( )A.6B.9C.12D.18答案：D解题思路：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴由旋转可知：，，∴，∴为等腰直角三角形，∴即．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质4.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1,则DB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：在等边△ABC和等边△DEF中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，DE=DF=EF，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴∠ADF=90°，同理∠EFC=90°，∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），∴AD=BE．在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴BD＝2BE，∴BD＝2AD．∵AB=1，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形5.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,则PE+PF 与BD的大小关系为( )A.PE+PF>BDB.PE+PF=BDC.PE+PF<BDD.无法确定答案：B解题思路：如图，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，（出现多个垂直考虑等面积法），，，∵，即∵AB=AC，∴BD=PE+PF．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质．6.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,按如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.则∠MEC的度数为( )A.30°B.36°C.45°D.60°答案：C解题思路：如图，连接AM．∵三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°，60°角的三角板，∴∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，∴∠DAB=90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∴AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，∴∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°∵M点为BD的中点，∴AM=DM=BM，∴△DEM≌△ACM（SAS），∴ME=MC，∠6=∠5，∵∠AMD=90°，∴∠6+∠EMA=90°，∴∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∴∠MEC=45°．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质7.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于点O,连接BC,则∠BOC的度数为( )A.120°B.125°C.135°D.150°答案：A解题思路：如图，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AC=AE，AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，∠3=60°，∴∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠EAB=∠CAD．∴△EAB≌△CAD（SAS）．∴∠1=∠2∵∠2+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB+∠3=120°，即∠BOC=120°．故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质8.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BN,CM为高,P是BC的中点,连接MN,MP,NP,则以下结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.②④答案：B解题思路：结论①：∵BN，CM为高，∴∠BMC=∠BNC=90°，∵P为BC的中点，∴NP=MP，①正确；结论②：当∠ABC=60°时，∵∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC∵BN，CM为高，∴，∴AM=AN，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN=60°，∴∠AMN=∠ABC∴MN∥BC，②正确；结论③：在Rt△ABN中，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=30°，∴AB=2AN，∴BN≠2AN，③错误；结论④：由③可知AN:AB=1:2，同理可得：AM:AC=1:2，∴AN:AB=AM:AC，④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质9.如图,在△ABD中,C是BD的中点,∠BAC=90°,∠CAD=45°.若AC=2,则AB的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：1．思路点拨看到中点，想到以下几种方法：与直角三角形结合利用直角三角形斜边中线等于斜边一半；与等腰三角形结合利用“三线合一”；另外就是倍长中线或者类倍长中线，结合题目中的条件，发现可以利用倍长中线法．2．解题过程如图，延长AC至点E，使得CE=AC，连接DE．∵C是BD的中点，∴BC=DC，又∵∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD（SAS）∴∠E=∠BAC=90°，DE=AB，∵∠CAD=45°，∴∠ADE=45°，∴AE=DE，∵AE=2AC，∴AB=2AC，∵AC=2，∴AB=4．3．易错点对中点这个条件不敏感，所以需要同学们对于中点的几种用法进行总结，并能够结合题干条件选择合适的方法解决问题．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质10.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在AB,BC边上,且AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G.下列结论:①AE=CD;②∠AFC=120°;③△ADF是等边三角形;④.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④答案：D解题思路：结论①：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，又∵AD=BE∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正确；结论②：由①知△ABE≌△CAD∴∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=120°，故②正确；结论③：∵∠FAD<∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD≠60°，∴△ADF不是等边三角形，故③错误；结论④：由②知∠AFC=120°∴∠AFG=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∴，即．故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选D．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质第11页共11页。

初中数学竞赛专题三：特殊三角形(word 无答案)

初中数学竞赛公益讲座：特殊三角形一、基础知识：1）等腰三角形：对称性；底边上的高、中线和角平分线三线合一。

2）正三角形：旋转中的不变性，60度和120度；重心、外心、内心、垂心四心合一；内部任何一点到三边的距离和为定值；……3）直角三角形：勾股定理；代数化与数形结合；射影定理；斜边中线；共圆；4）特殊的直角三角形：等腰直角三角形—对称性，旋转不变性；含30 度角的直角三角形—30度角所对直角边是斜边的一半，包含一个等边三角形和一个顶角为120度的等腰三角形。

二、例题分析例1、如下左图，在四边形ABCD中，∠B=135度，∠C=120度，AB=2，BC=4-2，CD=4，求AD的长度。

例2、如上右图，四边形ABCD，对角线AC、BD交于点E，I是△BEC的内心，BD⊥AC，且BD=AC=BC，M是BC的中点，求证：IM⊥AD，AD=2IM.例3、如下左图△ABC中，AB=AC，在AB边上有两点P和Q，在AC边上有两点R和S，且PQ=RS，M和N分别是PR和QS的中点，求证：MN⊥BC。

例4、如上右图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠C的平分线交DF于点G，DG=3，BC=16，若∠BED=2∠D FC，求BE的长。

例5、如下左图，等边△ABC的边长为4，D是AC边上的动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰直角三角形BDE，连接AE，求AE长的最小值。

例6、如上右图，△ABC中，∠B AC=60度，∠AT C=∠B TC=∠CT A=120度，M 是BC的中点，求证：2AM=TA+TB+TC。

例7、如下图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DF⊥AB于点F，A E⊥CF于点E且交DF于点M，求证，M是DF的中点。

三、练习题1、如下左图，在△ABC中，AD和BE是中线，且∠C AD=∠C BE=30度，求证：△ABC是正三角形。

2、如上右图，在△ABC中，AB≠AC，AD是角平分线，E、F分别在AB、AC上，且BE=CF，连接EF，分别取EF、BC的中点M、N，连接MN，求证：MN⫽AD3、如下左图，在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC=2，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，求点Q的运动轨迹的长度。

《特殊三角形》单元试卷(含答案)

特殊三角形单元测试卷附答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形中，是轴对称图形的是(A)2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)A. a＝1，b＝2，c＝3B. a＝2，b＝3，c＝4C. a＝2，b＝4，c＝5D. a＝3，b＝4，c＝53．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)A．20°B．35°C．40°D．70°(第4题) (第5题)(第6题) 5．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于(B)A. 65°B. 50°C. 60°D. 57.5°【解】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来的，∴DF＝A D.∵D是AB的中点，∴AD＝B D.∴BD＝DF.∴∠B＝∠BF D.∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝180°－65°－65°＝50°.6．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)A. 2B. 2C. 3D. 2 37．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S 1＝4，S 2＝9，S 3＝8，S 4＝10，则S ＝(B )A ．25B ．31C ．32D ．40(第7题) (第8题 8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长，交BC 于点D ，则下列说法中，正确的个数是(D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A. 1B. 2C. 3D. 49．如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为(C )A ．20°B ．25°C ．30°D ．45°(第9题) (第9题解)【解】如解图，过点E 作EM ∥BC ，交AB 于点M ，则∠AME ＝∠B ，∠AEM ＝∠AC B.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝4.∴∠AME ＝∠AEM ＝60°.∴AM ＝AE ＝2.∴BM ＝AB －AM ＝2.∵AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥B C.∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM .∴点E 和点M 关于AD 对称．连结CM 交AD 于点F ，连结EF ，则此时EF ＋CF 的值最小．∵AC ＝BC ，AM ＝BM ，∴∠ECF ＝12∠ACB ＝30°. 10．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，有下列结论：①CD ＝CB ；②AD ＋AB ＝2AE ；③∠ACD ＝∠BCE ；④AB －AD ＝2BE .其中正确的是(C )A. ②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④(第10题)(第10题解)【解】如解图，在EA 上取点F ，使EF ＝BE ，连结CF .∵CE ⊥AB ，EF ＝BE ，∴CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B. ∵∠AFC ＋∠CFB ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝∠AF C.∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠FA C.在△ACD 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠AFC ，∠DAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACF (AAS )．∴AD ＝AF ，CD ＝CF .∴CD ＝CB ，故①正确．AD ＋AB ＝AF ＋(BE ＋AE )＝AF ＋EF ＋AE ＝AE ＋AE ＝2AE ，故②正确．根据已知条件无法证明∠ACD ＝∠BCE ，故③错误．AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．综上所述，正确的是①②④.二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝30°．,(第11题),(第12题)12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD是__8__ cm.13．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝87°．,(第13题),(第14题)14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4∶5∶6．15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC ＝__52°__．(第15题)【解】∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝α2.∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－α2.∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，＝180°，∴2α＋102°－α2解得α＝52°，即∠ADC＝52°.。

2022年人教版中考数学复习第一部分考点讲解第四章三角形第三节特殊三角形及其性质

第9题图
第三节特殊三角形及其性质
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玩转陕重西难10点年突中破考真题
一、与等腰三角形有关的证明与计算
例 1 已知在△ABC中，AB＝AC.
9
(1)若△ABC的一边长为3，周长为12，则AB＝___2___；
(2)若点E和点F分别是AB，AC的中点，且BC＝4，则EF＝___2____；
(3)如图①，若点D在BC的延长线上，∠BAC＝40°，∠D＝20°，则∠CAD＝ 50° ___；
∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为_2_或__52_或__75_．
第5题图
第三节特殊三角形及其性质
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改变题设条件→“点D是BC边上一动点，过点D作DE⊥BC交AB边于点E”变为 “点D是AB的中点，点E是BC边上一动点”．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝2 3 ，AC＝2，点D是AB的中点，点E 是边BC上一动点，将△BDE沿DE所在直线翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于
判定
4.等边三角形是轴对称图形，有_3__条对称轴 1.三边都相等的三角形是等边三角形 2.三角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是_6_0_°_的等腰三角形
第三节特殊三角形及其性质
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等边三角形的性质与判定(如图②)
面积计算公式：S=
1 ah＝
2
3 4
a2,其中a是等边三角形
第三节特殊三角形及其性质
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1.有一个角为__9_0_°的三角形是直角三角形
2.勾股定理逆定理：若_a_2_＋__b_2＝__c_2_；__c_2_－__a_2＝__b_2_；__c_2_－__b_2＝__a_2, 判定

二次函数与特殊三角形存在性综合问题(原卷版)-九年级数学上册《重难点题型-高分突破》(人教版)

专题2.6二次函数与特殊三角形存在性综合问题（三大题型）【题型1等腰三角形的存在性问题】【题型2直角三角形的存在性问题】【题型3等腰直角三角形存在性问题】等腰三角形的存在性问题【方法1几何法】“两圆一线”（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点C 1为例，具体求点坐标：过点A 作AH⊥x 轴交x 轴于点H，则AH=1，又32121131311==-=∴=HC AC ，()03211，坐标为故点-C 类似可求点C 2、C 3、C 4．关于点C 5考虑另一种方法．【方法2代数法】点-线-方程表示点：设点C 5坐标为(m ,0)，又A （1,1）、B （4,3），表示线段：11-m 225+=）（AC 94-m 225+=）（BC 联立方程：914-m 1-m 22+=+）（）（，623m =解得：，），坐标为（故点06232C 直角三角形的存在性【方法1几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C ；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C ．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：，设，坐标得、由易证求法相同，如下：、040231a ,4a ,3ab ,3a b 1N a,31,4333333343C C C C C C C CCC b bM BN AM B A NB M N AM NB AM ==+=======∆≈∆【方法2代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A 【题型1等腰三角形的存在性问题】【典例1】（2023•兴庆区校级模拟）如图，已经抛物线经过点O （0，0），A （5，5），且它的对称轴为x ＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是x 轴上的一点，且△OAB 为等腰三角形，请直接写出B 点坐标．【变式1-1】（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．【变式1-2】（2022秋•亳州期末）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；【变式1-3】（2023春•中山市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2022秋•怀远县期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；【变式1-5】（2023•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；【变式1-6】（2023•隆昌市校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【变式1-7】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．【变式1-8】（2022秋•朔州期末）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-9】（2022秋•港南区期末）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BCP的面积最大值；（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2直角三角形的存在性问题】【典例2】（2022秋•云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线得解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P AC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2023春•兴宁区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A 作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当点B的坐标为时，直接写出t的值；（2）s关于t的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2023•庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x 轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C 构成的三角形的面积最大，求出此时P点的坐标；（3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标．【变式2-3】（2023•喀喇沁旗一模）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△BCD的形状并说明理由．（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF ⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．【变式2-4】（2023•铁岭模拟）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝的图象与一次函数y＝﹣的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【变式2-5】（2023•怀化二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是抛物线上的动点，当∠OEF＝∠BAE时，求点F的横坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由；【变式2-6】（2023•金湾区一模）如题22图，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，并且经过点A（﹣2，0），交x轴于另一点B，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3等腰直角三角形存在性问题】【典例3】（2023•增城区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-1】（2023•抚远市二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-2】（2023•富锦市校级一模）如图，是抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．【变式3-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M为该抛物线的对称轴l上一点，点P为该抛物线上的点且在l左侧，当△AMP是以M为直角顶点的等腰直角三角形时，求符合条件的点M的坐标．【变式3-4】（2023•西安一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx ﹣1的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴于点M，以PM为斜边作等腰直角三角形PMN，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．【变式3-5】（2023•惠民县自主招生）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△P AB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。

新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教学设计

新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教学设计一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形和直角三角形两个部分。

本章内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行教学的，旨在让学生进一步理解三角形的特殊性质，提高他们的观察和思考能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容时，已经具备了基本的三角形知识，但对于等腰三角形和直角三角形的性质和判定，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。

2.过程与方法：培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索和解决问题的精神。

四. 教学重难点1.重点：等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。

2.难点：如何引导学生理解和运用等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和图形模型，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生积极参与课堂讨论，培养他们的思考能力和解决问题的能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，加深对三角形性质的理解。

六. 教学准备1.教具：准备相关的图形模型和实物模型。

2.教学素材：收集相关的生活实例和练习题。

3.课件：制作课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）展示等腰三角形和直角三角形的图形，引导学生观察它们的特殊性质。

3.操练（15分钟）让学生动手操作，尝试判断给出的三角形是否为等腰三角形或直角三角形。

教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

4.巩固（10分钟）针对学生的操作情况，进行讲解和辅导，使学生理解和掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定方法。

5.拓展（10分钟）出示一些相关的练习题，让学生运用所学的知识解决问题。

新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案

新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形和直角三角形两个部分。

本章内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行学习的，旨在让学生进一步理解三角形的特征，学会识别和判断特殊的三角形，并掌握其性质。

二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，他们对三角形的基本概念和性质有了初步的了解。

但是，对于等腰三角形和直角三角形的性质，他们可能还不是很清楚，需要通过具体的活动和例题来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，感受数学的乐趣，培养团队协作和积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。

2.难点：学生能够灵活运用三角形的性质，解决一些复杂的实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生理解和掌握三角形的性质。

2.动手操作法：通过学生的动手操作，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.讨论交流法：学生在小组内进行讨论和交流，培养团队协作和积极思考的精神。

六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。

2.教学素材：PPT、教学案例、练习题等。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么特点？你是如何判断的？2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现等腰三角形和直角三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握。

3. 操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检测他们对于等腰三角形和直角三角形的理解和掌握。

4. 巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用等腰三角形和直角三角形的性质进行解决，巩固他们对于这些性质的理解和掌握。

特殊三角形能力提升测试题

第二章：特殊三角形能力提升测试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（）A ．80°或50°B ．50°或20°C ．80°或20°D ．50°2．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（）A ．3，4，6B ．7，24，25C ．6，8，10D ．9，12，153．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（）A ．67°B ．67.5°C ．22.5°D ．67.5°或22.5°4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 在BC 上，E 是AB 的中点，AD 、CE 相交于F ，且AD ＝DB.若∠B ＝20°，则∠DFE 等于（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6．下列说法中，正确的是（）A ．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B ．三角形是直角三角形，三角形的三边为a ，b ，c ，则满足a 2﹣b 2＝c 2C ．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：5：6，则△ABC 是直角三角形7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有（）A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个 8．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE ＝CD ，AD 、BE 相交于F 点，BH ⊥AD 于H 点，FH ＝3，EF ＝0.5，则AD 的长为（）A ．6B ．6.5C ．7D ．7.59.由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连接,AF CH ，设正方形ABCD 的面积为1S ，正方形EFGH 的面积为2S ，四边形AFCH 的面积为3S ．若123S S S =+，则下面结论一定正确的是( )A ．45EAF ∠=︒B ．60=︒∠BAEC ．2BE AE =D ．3BE AE =10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝2，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（）A．①②④B．①④C．②③D．①③④二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图是单位长度为1的正方形网格，则123∠+∠+∠=______°．12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝38°，点E，F分别在边BC，AC上，将△CEF沿EF所在的直线折叠，使C的对应点C'落在AB上，且C'E＝BC'，则∠AFC'＝_____13.如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°14．如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接CD，则S△ADC＝______________2m15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．16.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝_______三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝512（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．18.（本题8分）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．19（本题8分）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．20（本题10分）．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．21（本题10分）．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E．（1）求证：点E在BD的垂直平分线上；（2）若∠DEB＝α，①求∠CPD的度数；（用含α的式子表示）；②当α＝110°时，求∠A的度数．22．（本题12分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．23.（本题12分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．。

反比例函数与特殊三角形存在性问题(原卷版)(人教版) -九年级数学下册

专题02反比例函数与特殊三角形存在性问题类型一、等腰三角形存在性问题(1)求双曲线的解析式；(2)求点E B F，，的坐标：(3)若点P为x轴上一动点，使得标(1)试说明反比例函数kyx=的图象也经过点B；(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．①求MEF的面积；②在x轴上是否存在一点G，使得GEF△是等腰三角形，若存在，直接写出点G(1)求k 的值．(2)将正方形OABC 分别沿直线AB BC ，翻折，得到正方形MC '，NA '分别与函数()0ky x x =>的图象交于点(3)在x 轴上是否存在点P ，使PEF !为等腰三角形，若存在，直按写出点在，请说明理由．(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)观察图象直接写出k ax b x +>时x 的取值范围是；(4)直接写出：P 为x 轴上一动点，当三角形OAP 为等腰三角形时点类型二、直角三角形存在性问题(1)求m和k的值；(2)x轴上是否存在一点请说明理由．(1)求反比例函数的解析式；的面积；(2)连接EF、OE、OF，求OEF(3)是否存在x轴上的一点P，使得EFP△是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．BC=，求点E的坐标；(1)若4(2)连接AE，OE．①若AOE△的面积为24，求k的值；⊥②是否存在某一位置使得AE OA类型三、等腰直角三角形存在性问题(1)求a ，b 的值及反比例函数的解析式；(2)若1OD =，求点C 的坐标，判断四边形ABCD 的形状并说明理由；(3)若点M 是反比例函数(0)k y x x=>图象上的一个动点，当直角三角形时，求点M 的坐标．(1)求反比例函数k y x=的表达式；(2)连接BD ，OB ，OD ，求ODB △(3)P 是线段AB 上的一个动点，Q 是线段APQ △是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点(1)求反比例函数kyx=的表达式及E点坐标；(2)如图2，连接DE，AC，试判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由；(3)如图3，连接AE，在反比例函数kyx=的图象上是否存在点F，使得AEF∠=在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．(1)=a，b=；(2)求反比例函数的表达式；(3)点N在x轴正半轴上，点MCM为直角边的等腰直角三角形时，点。

三角形中的中点综合测试(人教版)(含答案)

三角形中的中点综合测试（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=BC=3DE=6，则四边形DEFG的周长为( )A.6B.9C.11D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半2.如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D．若BF=2，则AD的长为( )A. B.1 C.1.5 D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一3.已知：如图，在△ABC中，BF⊥AC，CG⊥AB，垂足分别为F，G，D是BC的中点，DE⊥FG，垂足为E，则下列说法错误的是( )A.GD=BDB.DF=CDC.BG=CGD.DE平分∠GDF答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一4.已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．有下列说法：①；②；③G是CE的中点；④∠B=2∠BCE．其中一定正确的是( )A.①②③B.②③④C.②④D.①②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半5.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．若AB=9，AC=14，BC=18，则GH的长为( )A. B.5C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，BD⊥DE于D，DE交BC于E．若BE=6，则CD的长为( )A.2B.3C.4D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半7.如图，AD∥BC，AC⊥BC于C，BD和AC相交于E，且DE=2AB．若∠BAC=21°，则∠DBC的度数为( )A.21°B.22°C.23°D.24°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半8.如图，在△ABC中，点E是AC的中点，过点E作AB的平行线，与∠ABC的角平分线交于点F；连接CF，若∠CFB=90°，AB=8，EF=1，则BC=( )A.3B.7C.4D.6答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一9.如图，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE 交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，则OE=( )A. B.C.1.5D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一第11页共11页。