【状元之路】2017届高三数学一轮总复习开卷速查 选修4-1-2 直线与圆的位置关系 Word版含解析(数理化网)
【状元之路】2017届高三数学一轮总复习开卷速查 选修4-4-1 坐标系 Word版含解析(数理化网) - 副本
开卷速查(选修4－4－1) 坐标系1．[2015·江苏]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径。
2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点。
(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。
3．[2014·辽宁]将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 。
(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程。
4．[2015·课标Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。
开卷速查(选修4－4－2) 参数方程1．[2015·湖南]已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)。
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ。
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值。
2．[2015·福建]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)。
高三数学一轮总复习 几何证明选讲 第二节 直线与圆的位置关系课件 选修4-1.ppt
_积___相等
□22 __P_A_·P__B_＝__P_C__·P_D_ □24 _P_A_·P__B_＝__P_C__·P_D
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从圆外一点引圆的 一条割线和一条切 切割线 线，切线长是这点 定理 到割线与圆的两个 交点的两条线段长
的□25 _比__例__中__项___
□26 _P_A_·P__B_＝__P_C__2 _
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4．如图，CD是⊙O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，若 ∠D＝20°，则∠DBE＝__________。
解析：连接CB。因为CD为圆的直径，则∠CBD＝90°， 又因为∠D＝20°，所以∠DCB＝70°。 又因为AE为圆的切线， 所以∠DBE＝70°。 答案：70°
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5．如图所示，AB是⊙O的直径，CB切⊙O于B点，CD切⊙O 于D点，交BA的延长线于E点，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为 __________。
□4 12∠AOB
O为圆心，A、B、C、 D为圆上任意四点， 且∠CAD︵＝∠A︵CB，
则有□6 CD＝AB
6
半圆(或直径)所对
的圆周角等于□7
推 ____9_0_°____ 论 2
90°的圆周角所对的
弦为□9 _直__径_____
O为圆心，A、B、C 为圆上三点，且BC 为圆的直径，则有
∠BAC＝□8 90°
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
20
考点一
圆周角及弦切角的性质
【例1】 (1)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD， 过C作圆O的切线交AD于E。若AB＝6，ED＝2，求BC的长。
解析：由切割线定理，得ED2＝EA·EB，∴22＝EA(EA＋3)。 即EA2＋3EA－4＝0，解得EA＝1(舍去负值)，∴EB＝4。 ∵CB切圆O于B点，CD切圆O于D点，AB是圆O的直径，∴CD＝CB，∠CBE＝ 90°。 由勾股定理得CB2＋EB2＝CE2， 即CB2＋42＝(2＋CB)2，解得CB＝3。 ∴BC的长为3。 答案：3
【状元桥】2017年高考数学(理)一轮总复习课件选修4-1几何证明选讲
两三角形相似．
判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角 成比例 形的两边对应________，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述 成比例 且夹角相等，两三角形相似． 为：两边对应________ 判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三 成比例 ，那么这两个三角形相似．简述为：三边对 角形的三条边对应________ 成比例 应________，两三角形相似． (2)两个直角三角形相似的判定 相等 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应________ ，那么它们相似．
对应线段 定理 三条平行线截两条直线，所得的____________ 成比例． 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 对应线段 _____________ 成比例． 【思考探究】 使用平行截割定理时要注意什么？ 提示： 要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序．
3．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定
④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或 相似比的平方 ． 内切圆)的面积比等于____________ 4．直角三角形的射影定理 比例中项 ；两直角边分 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的________ 比例中项 ． 别是它们在斜边上射影与斜边的________
证明：在梯形 ABCD 中， ∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB. 又 BC＝BC，∴△ABC≌△DCB. ∴∠BAC＝∠BDC， ∵AC∥ED，AD∥BC， ∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，∠EAD＝∠ABC＝∠DCB， EA ED ∴△EAD∽△DCB.∴ ＝ ，即 ED· CD＝EA· BD. DC DB
若点 D 在线段 BC 的延长线上，如图 2 所示，则仍可证△ABD∽△CAD ，但△ABC 是钝角 三角形． 综上所述，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 答案： 直角三角形或钝角三角形
状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：选修4-4.2参数方程 含答案 精品
4－4.2 参数方程一、选择题1．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程为( ) A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1) C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2) D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2) 2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心3．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B ．－23 C.32 D ．－324．抛物线x 2－2y －6x sin θ－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R )( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线5．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l 被圆所截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：1．D 2.D 3.D 4.B 5.D二、填空题6．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．7. 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，则点P 到直线l 的距离的最大值为________．8．已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则y x 的取值范围是________．答案：6.⎝⎛⎭⎫1，255 7.2105 8.⎣⎡⎦⎤0，33三、解答题9．已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数)． (2)∵点A 、B 都在直线上，∴可设点A 、B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A 、B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎫1＋32t 2，1＋12t 2， 将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0. ①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2，∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.10．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．导学号74780129解析：(1)由题意可知x 2＋y 2＝16cos 2θ＋16sin 2θ＝16，则曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16， 整理得t 2＋33t －9＝0.设A 、B 对应的参数为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝37.11．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t (t 为参数)． (1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解析：(1)C 1是圆，C 2是直线，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)． 化为普通方程为：C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22， 联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝ (22)2－4×2×1＝0， 所以压缩后C ′1与C ′2仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．。
高三文科数学总复习课件：选修4-1 2直线与圆的位置关系
因为AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,所以AE=1,由射影定理得AB2=AE·AD,
3=2r,r= .
3
2
答案: 3
2 3
2
4.(2014·陕西高考)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若
AC=2AE,则EF=
.
【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,
∽△ADQ,所以
故
又因为∠DAQ=∠PBC=∠BDQ,
所以△ADQ∽△DBQ.
BC DQ , AC AQ
BD DQ， AD AQ
【加固训练】如图,圆O的两弦AB和CD交于点E,EF∥CB,EF交AD的延长线于点F.求 证:△DEF∽△EAF.
【证明】因为EF∥CB,所以∠BCD=∠FED, 又∠BAD与∠BCD是 所对应的圆周角,
相交弦定 理
长的相等
积_____
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线相,等这一点到每条 割线
切线长
与圆的交点的两条线段长的积_____
切割线定 理
从圆外一点引圆的切线和割线,_______是这
切线长
点到
两条切线
割线与圆交点的两条线段长的比例中项
【小题快练】 1.(2014·天津高考)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于 点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB2=FD·FA; ③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【规范解答】(1)连接BC, 因为AB为☉O的直径, 所以∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°. 因为GC与☉O相切于C, 所以∠ECB=∠BAC, 所以∠BAC+∠ACG=90°. 又因为AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°, 所以∠BAC=∠CAG.
高考数学一轮总复习 第2节 直线与圆的位置关系课件(选修4-1)
判定定理 如果四边形的一个外角等于它的__内__角__的_对__角__，
的推论 那么这个四边形的四个顶点共圆
圆的内接四边形的对角_互__补____ 性质定理 圆内接四边形的外角等于它的内角的__对__角___
3. 圆的切线
定义、定 理及推论
内容
定义
判定定理 性质定理 性质定理 的推论
[答案]
3 2
5 ． (2013·重 庆 高 考 ) 如 图 所 示 ， 在 △ ABC 中， ∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C 作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与 外接圆交于点E，则DE的长为________.
[解析] 在△ABC 中，BC＝AB·sin 60°＝10 3， 由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°， 所以 CD＝5 3，BD＝15， 由切割线定理知，CD2＝DE·BD, 解得 DE＝5. [答案] 5
B．①②④
C．③⑤
D．①③⑤
[解析] ①错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系
不确定．②错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧
才相等．③正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接
圆．④错误，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧
的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数
等于弦切角度数的2倍．⑤正确，圆内接四边形ABCD的对角互
思路点拨 (1)根据角平分线的性质和弦切角定理得到BE ＝CE，结合已知DB⊥BE，从而得到DE为直径，进而利用勾股 定理证明两线段相等；
(2)根据圆的切线AB及(1)的结论可以确定△BCF的形状， 从而确定其外接圆的直径，求其半径．
(1)证明：连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE， 故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定 理可得DB＝DC.
高考数学一轮复习配套讲义：选修4-1 第2讲 直线与圆
第2讲 直线与圆[最新考纲]1．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．2．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知 识 梳 理1．圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(i)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ii)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4．与圆有关的比例线段基本图形条件结论应用弦AB 、CD 相交于圆内点P (1)P A ·PB ＝ PC ·PD(2)△ACP ∽△BDP(1)在P A 、PB 、PC 、PD 中知三求一 (2)求弦长及角P AB 、PCD 是⊙O 的割 线 (1)P A ·PB ＝ PC ·PD(2)△P AC ∽△PDB(1)求线段P A 、PB 、PC(2)应用相似求AC 、BDPA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割 线 (1)P A 2＝PB ·PC (2)△P AB ∽△PCA(1)已知P A 、PB 、PC 知一(2)求解AB 、ACP A 、PB 是⊙O 的切线(1)P A ＝PB (2)∠OP A ＝∠OPB(1)证线段相等，已知P (2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊 断 自 测1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝______.解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.答案50°3.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．解析∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴BCAD＝PBPD＝13.答案1 34. (·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案125°5．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径r＝________.解析设⊙O的半径为r(r＞0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，则r＝ 6.答案 6考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC ＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(1)(2)法一 连接BE ，如图(1)所示，∠EAB ＝60°＝∠CBA ， 则Rt △ABE ≌Rt △BAC ，所以AE ＝BC ＝3.法二 连接EC ，OC ，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE ＝∠CAE ＝30°，又∠DCA ＝60°，故∠ECA ＝30°，(2)又因为∠CAB ＝30°，故∠ECA ＝∠CAB ，从而EC ∥AO ，由OC ⊥l ，AD ⊥l ，可得OC ∥AE ，故四边形AOCE 是平行四边形， 又因为OA ＝OC ，故四边形AOCE 是菱形，故AE ＝AO ＝3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小． (1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角．所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC ，即AB ·AC ＝AD ·AE 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ， ∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD . 又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A . 故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理． 【训练2】 (·天津卷)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CFCA，CF＝CA2CB＝83.答案83考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O 的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED ＝∠HDE ＝30°.∵AE ＝AF ，AD 平分∠BAC ，∴EF ⊥AD . 又∠EHA ＝∠HDE ＋∠CED ＝60°， ∴∠CEF ＝30°.∴CE 平分∠DEF .关于圆的综合应用【典例】 如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．[审题视点] (1)连接AB ，在⊙O 1中使用弦切角定理，在⊙O 2中使用圆周角定理，即可证明∠D ＝∠E ；(2)根据切割线定理，只要求出BE 的长度即可，在⊙O 2中根据相交弦定理可得BP ·PE ，根据(1)中△ADP ∽△CEP ，又可得BP ，PE 的一个方程，解方程组求出BP ，PE 的长度即可． (1)证明 连接AB ，如图所示．∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D . 又∵∠BAC ＝∠E .∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC . (2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ， ∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12.① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ， ∴DP EP ＝APCP ，即9＋x y ＝62，②由①②，可得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－1.(负值舍去) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16. ∴AD ＝12.[反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把⊙O 2中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【自主体验】如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .(1)求证：AB 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． (1)证明 ∵BE 切⊙O 于B ， ∴∠ABE ＝∠ACB .又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ， ∴AE AB ＝ABBC . ∴AB 2＝AE ·BC .(2)解 由(1)△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC . 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EFAF .又AD ∥BC ，∴，∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF 6， ∴EF ＝308＝154.一、填空题 1.如图，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________. 解析 由弦切角定理得，∠MCA ＝∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC2＝AC 5AC ＝55. 答案 55 2.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点．AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO ＝________.解析 ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . 由此得，∠ACO ＝∠CAD ， ∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠CAD ＝∠CAO ，故AC 平分∠DAB . ∴∠CAO ＝40°，∴∠ACO ＝40°.答案40°3.(·天津卷)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝32，则线段CD的长为________．解析因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝649，所以x＝43.答案4 34.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.解析由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BC∶AC＝CD∶CB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案 25.(·陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.解析由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5. 答案 5 6.(·广东卷)如图，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________. 解析 ∵PB 切⊙O 于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB .又∠PBA ＝∠DBA ，∴∠DBA ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB .∴AB AC ＝AD AB ， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ， ∴AB ＝mn . 答案 mn7.如图，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为______． 解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线， ∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝AB BD ，∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝8＝22(舍去负值)． 答案 2 28．(·湖南卷)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________． 解析 根据相交弦定理求出PC 的长， 过O 作弦CD 的垂线． 由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.答案 32 9.(·重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________． 解析 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20， ∴AC ＝10，BC ＝10 3.∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3. 由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ， 即(53)2＝15DE ， ∴DE ＝5. 答案 5二、解答题 10.如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD .(1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． (1)证明 ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ， ∴∠DCO ＝∠DCA ＋∠ACO ＝90°， ∵AO ＝CO ，∴∠OAC ＝∠ACO ， ∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠OAC ，∴∠DAC ＝∠ACO ，∴OC ∥AD . (2)解 由(1)OC ∥AD 且OC ⊥DC ， ∴AD ⊥DC ，∴即∠ADC ＝90°， 连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ADC ＝∠ACB ， 又∵∠DAC ＝∠BAC ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB ，∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52. 11.(·新课标全国Ⅰ卷)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DC.(2)解由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝3 2.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径为3 2.12.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC. (2)证明因为∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以FBFD＝F AFB，所以FB2＝F A·FD. (3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BC tan∠ABC＝23，所以AD＝ACcos∠DAC＝43(cm)．。
状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：选修4-1.
4－1.2 直线与圆的位置关系一、选择题1．如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，P A ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于( )A ．2或－5B ．2C ．3D ．102．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．43．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB 和DC 延长线交于P 点，AC 和BD 交于E 点，则图中的相似三角形有( )A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对4．如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为( )A.55B.255C.355D. 325．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于点C ，DF ⊥EB 于点F ，若BC ＝6，AC ＝8，则DF ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．6答案：1．B 2.C 3.B 4.C 5.B二、填空题6．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．7．(2015·东城区综合练习)如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O 于B ，C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________.8．(2015·陕西西安三模)以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的圆O 交AC 边于点E ，点D 在BC 上，且DE 与圆O 相切．若∠A ＝56°，则∠BDE ＝________.答案：6.72 7. 10778.68°三、解答题9.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝4，BP ＝2，(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解析：(1)连接OC ，OD ， OE ，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC .又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ， ∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴PF PC ＝PDPO，由割线定理知PC ·PD ＝P A ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1，所以OB 是圆F 的直径，且过P 点的圆F 的切线为PT ， 则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.10．(2015·银川模拟)如图，△ABO 三边上的点C 、D 、E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长．解析：(1)证明：∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OB OE， 又OD ＝OE ，∴OA ＝OB .如图，连接OC ，∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB . 又点C 在⊙O 上，∴直线AB 是⊙O 的切线． (2)如图，延长DO 交⊙O 于点F ，连接FC .由(1)知AB 是⊙O 的切线，∴弦切角∠ACD ＝∠F ， ∴△ACD ∽△AFC ，且在Rt △DCF 中，tan ∠F ＝DC CF ＝tan ∠ACD ＝12，∴AD AC ＝CD FC ＝12，又AD ＝2，∴AC ＝4.由切割线定理可知AC 2＝AD ·AF ，则2·(2＋2r )＝42，∴r ＝3.11．如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，半径OB ⊥OP ，AB 交PO 于点C . (1)求证：P A ＝PC ；(2)若圆O 的半径为3，OP ＝5，求BC 的长度．导学号74780127解析：(1)证明：如图，连接OA .因为OA ＝OB ，所以∠OAB ＝∠OBA .因为P A 与圆O 相切于点A ， 所以∠OAP ＝90°.所以∠P AC ＝90°－∠OAB . 因为OB ⊥OP ，所以∠BCO ＝90°－∠OBA . 所以∠BCO ＝∠P AC . 又因为∠BCO ＝∠PCA ， 所以∠PCA ＝∠P AC ， 从而P A ＝PC .(2)如图，假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N .因为P A 与圆O 相切于点A ， PMN 是圆O 割线， 所以P A 2＝PM ·PN ＝(PO －OM )·(PO ＋ON )．因为OP ＝5，OM ＝ON ＝3，所以P A 2＝(5－3)(5＋3)＝16， 所以P A ＝4，所以由(1)知PC ＝P A ＝4.所以OC ＝5－4＝1. 在Rt △OBC 中，BC 2＝OB 2＋OC 2＝9＋1＝10，所以BC ＝10.。
高中数学选修4-1(人教A版)第二讲直线与圆的位置2.1关系知识点总结含同步练习题及答案
P A = P D + DC =
1 C△PDE ＝6． 2
如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠C = 72∘ ，⊙O 过 A 、B 两点且与 BC 切于点 B ，与 AC 交于点 D ，连接 BD ．若 BC = √5 − 1 ，则 AC = ______．
解：2 ． 因为 AB = AC，∠C = 72∘ ，所以 ∠ABC = 72∘ ，∠A = 36∘ ，因为 BC 切 ⊙O 于点 B ， 所以 ∠DBC = ∠A = 36∘ ，所以 ∠ABD = 36∘，∠BDC = 72∘ ，故 AD = BD = BC = √5 − 1，可证 △ABC ∽ △BDC，所以 BC 2 = CD ⋅ AC = (AC − AD) ⋅ AC = AC 2 − AD ⋅ AC，设 AC = x 则有 (√5 − 1)2 = x2 − (√5 − 1)x，解得 x1 = 2，x2 = √5 − 3 （不合题意，舍去），所以 AC = 2． 如图所示，⊙O 的两条弦 AD 和 CB 相交于点 E ，AC 的延长线和 BD 的延长线相交于点
解：C． 如图所示， CD 切 ⊙O 于B ，CO 的延长线交 ⊙O 与 A ，若 ∠C = 36∘ ，则 ∠ABD 的度 数是（ ） A．72∘ B．63∘ C．54∘ D．36∘
解：B． 连接 OB ，因为 CD 为 ⊙O 的切线，所以 ∠OBC = 90∘ ，因为 ∠C = 36∘ ，所以 ∠BOC = 54∘ ． 又因为 ∠BOC = 2∠A，所以 ∠A = 27∘ ，故 ∠ABD = ∠A + ∠C = 63∘．
高中数学选修4-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
务 理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 二、知识清单
高中数学全程复习方略 选修4-1.2 直线与圆的位置关系课件 理
三年15考 高考指数:★★★ 1.会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. 2.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切 割线定理.
1.圆的切线的判定和性质是本讲的重点内容，也是考试的热点 内容. 2.考查圆的切线的判定方法，主要出现在证明题中；考查圆的 切线的性质，主要是判定定理及其他知识的综合应用. 3.切割线定理通常与三角形相似、弦切角、公切线长等知识综 合命题.
2.圆周角定理的两个推论的理解 这两个推论为证明角相等、弧相等以及线段相等提供了新思 路，应用这两个推论时，要根据具体条件灵活运用.
【例1】(1)如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4， ∠ACB=30°,则圆O的面积等于______.
(2)AB是圆O的直径，CD垂直平分OA，那么在∠1,∠2,∠3，∠4 中等于30°角的个数是______.
【解题指南】(1)可通过作辅助线，把圆周角问题转化为圆 心角问题加以解决. (2)先证明△AOC是等边三角形，再求四个角的度数.
【规范解答】(1)连接AO，OB，因为∠ACB=30°, 所以∠AOB=60°,所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径 r=OA=AB=4，圆O的面积S=πr2=16π. (2)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°, 又∵CD垂直平分OA，∴AC=OC， 又∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，
1
3
PEP2E=PA8·0 PB4=5P,A·(PA+AB)=6×(6+7 )=80,
∴
由割线定理，得1：PC·PD=PA·PB，
3
即(12-r)(12+r)=6×(6+7 )
∴144-r2=80,∴r2=4645,∴r=8. 答案：(1)6 (2) 8
【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：选修4-1-2直线与圆的位置关系
课后课时作业1．[2015·北京海淀期末]如图所示，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E，则下面结论中，错误的结论是()A．△BEC∽△DEAB．∠ACE＝∠ACPC．DE2＝OE·EPD．PC2＝PA·AB答案D解析由切割线定理可知PC2＝PA·PB，所以选项D错误．2. [2015·北京模拟]如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE 是圆的两条割线，且BD⊥AE，连接MD，EC.则下面结论中，错误的结论是()A．∠ECA＝90°B．∠CEM＝∠DMA＋∠DBAC．AM2＝AD·AED．AD·DE＝AB·BC答案D解析因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以∠BDE＋∠BCE＝180°，因为∠BDE＝90°，所以∠BCE＝90°，故A正确；因为直线AM与圆相切于点M，由弦切角定理可得∠AMD＝∠MED；由四边形BDEC是圆的内接四边形，所以∠ABD＝∠CED，所以∠CEM＝∠MED＋∠CED＝∠DMA＋∠DBA，故B正确；因为直线AM与圆相切于点M，由切割线定理可得AM2＝AD·AE，故C正确；由割线定理得AD·AE＝AB·AC，所以AD·(AD＋DE)＝AB·(AB＋BC)，所以AD·DE－AB·BC＝AB2－AD2，而AB与AD不一定相等，故D错误．3. [2014·天津高考]如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④答案 D解析 因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，又AE 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠DAC ，所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF ，所以AB·BF ＝AF·BD ，结论④正确；又AF BF ＝BF DF ，得BF 2＝AF·DF ，结论②正确．故选D .4. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为( )A .43B .12C .53D ．1答案 A解析 由相交弦定理得AF·FB ＝EF·FC ，∴FC ＝AF·FB EF ＝2.由△AFC ∽△ABD ，可知FC BD ＝AF AB ，∴BD ＝FC·AB AF ＝83.由切割线定理得DB 2＝DC·DA ，又DA ＝4CD ，∴4CD 2＝BD 2＝649，∴CD ＝43.故选A .5. [2016·武汉模拟]如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.答案 377解析 在△POD 中，由余弦定理可知PD ＝4＋1－4cos 120°＝7，再由PE·PD ＝PB·PC ⇒PE ＝377. 6．如图所示，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径为________．答案 533解析 连接OC ，则OC ⊥CP ，∠POC ＝2∠CAO ＝60°，Rt △OCP 中，PC ＝5，则OC ＝CP tan 60°＝53＝533. 7．[2015·江南十校联考]如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.答案 2解析连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝ 2.8．[2016·沈阳模拟]如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC 为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E，则BEBC＝________.答案1 2解析 连接CD ，因为AC 是⊙O 的直径，所以CD ⊥AB.因为BC 经过半径OC 的端点C 且BC ⊥AC ，所以BC 是⊙O 的切线，而DE 是⊙O 的切线，所以EC ＝ED.所以∠ECD ＝∠CDE ，所以∠B ＝∠BDE ，所以DE ＝BE.所以BE ＝CE ＝12BC ，所以BE BC ＝12.9．[2015·湖南高考]如图所示，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F.证明：(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME ＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN ＝FM·FO.10．[2015·陕西高考]如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．解(1)证明：因为DE为⊙O的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA.(2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝AD CD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.11．[2015·课标全国卷Ⅰ]如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E.(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．解 (1)证明：连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.12. [2016·长春质检]如图，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C.(1)证明：DA平分∠BDE；(2)若AB＝4，AE＝2，求CD的长．解 (1)证明：∵AE 是⊙O 的切线， ∴∠DAE ＝∠ABD.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°， ∴∠ABD ＋∠ADB ＝90°.又∠ADE ＋∠DAE ＝90°，∴∠ADB ＝∠ADE ，∴DA 平分∠BDE.(2)由(1)可得△ADE ∽△BDA ，∴AE AD ＝AB BD ，∴2AD ＝4BD ，即BD ＝2AD ，∴∠ABD ＝30°，∴∠DAE ＝30°.∴DE ＝AE tan 30°＝233.由切割线定理可得AE 2＝DE·CE ，∴22＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋CD ，解得CD ＝433.。
高考一轮作业：选修4-1-2直线与圆的位置关系(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题1．(2018·天津)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．解析：∵EA 2＝EB·ED，∴EB ＝4，ED ＝9，∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC ，∴EA ∥BC ，∴∠E ＝∠ACB ＝∠EAB ，∴AB ＝AC ＝4，AD ＝6，∴∠D ＝∠CAD ，又∠D ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAD ，∴AF ＝FC ，同理BF ＝FD ，∴BC ＝AD ＝6，由ACBD ＝CF BF 得45＝CF 6－CF ，∴CF ＝83. 答案：832．(2018·广东)(几何证明选讲选做题)如右图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：由CE 与圆相切于C 得∠ECA ＝∠ABC ，又ED ＝2，AB ＝6⇒AE ＝4，所以三角形ABC 相似于三角形ACE ，于是AB AC ＝AC AE ⇒AC 2＝24，在Rt △ABC 中BC 2＝AB 2－AC 2＝36－24＝12⇒BC ＝2 3. 答案：2 33．(2018·陕西)(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.解析：∵PE ∥BC ，∴∠PED ＝∠BCE(同位角相等)， 又∵∠EAD ＝∠BCE(同弧所对的圆周角相等)， ∴∠PED ＝∠EAD ， 又∵∠EPD ＝∠EPA ，∴△APE ∽△EPD ，则PE AP ＝PD PE ，PE 2＝AP·PD＝6，即PE ＝ 6. 答案： 64．(2018·湖北重点中学联考)如图，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形，因此有∠ECB ＝180°－∠E2＝67°， 因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°.而由A 、B 、C 、D 四点共圆，有∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°5．(2018·北京西城)如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线AC ，已知AD ＝23，AC ＝6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________．解析：过O 作直线OE ⊥BC ，垂足为E ，则OE 即为圆心O 到AC 的距离，连接OB ，根据切割线定理可得AD 2＝AB·AC，即12＝6AB ，得AB ＝2，所以BC ＝AC －AB ＝6－2＝4，在Rt △OEB 中，OE ＝32－22＝ 5.答案： 56．(2018·福州二模)如图，已知OA ＝OB ＝OC ，∠ACB ＝45°，则∠OBA ＝________.解析：∵A 、B 、C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∴∠AOB ＝2∠ACB ＝90°. 又∵OA ＝OB ， ∴∠OBA ＝45°. 答案：45°7．(2018·豫南九校联考)如图，点B 在⊙O 上，M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，∠BNA ＝45°，若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，则MN 的长为________．解析：∵∠BNA ＝45°，∴∠BOA ＝90°， ∵OA ＝3OM ＝23，∴OM ＝2，又BO ＝23，∴BM ＝4， ∵BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，∴MN ＝2. 答案：28．(2018·天津河西质量调查)如图，已知图中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．解析：由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，由于AF ＝2FB ，可解得BF ＝1，所以BE ＝12.由切割线定理得CE2＝EB·EA＝74，即CE ＝72.答案：729．(2018·陕西质检)(几何证明选讲选做题)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由弦切角定理得∠PAB ＝∠ACB ，又因为∠BAC ＝∠APB ，所以△PAB ∽△ACB ，可得AB BC ＝PBAB，将PB ＝7，BC ＝5代入得AB ＝35.答案：3510．(2018·浙江金华十校期末)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．解析：如图，连AE ，易知AE ∥BD ，∴BD AE ＝DF AF， 易知△ABO 是等边三角形， 可得BD ＝1，AD ＝AF ＋FD ＝ 3. ∴AF ＝233. 答案：233二、解答题11．(2018·辽宁)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明：(Ⅰ)∠FEB ＝∠CEB ； (Ⅱ)EF 2＝AD·BC.证明：(Ⅰ)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB. 故∠FEB ＝∠CEB.(Ⅱ)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF. 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF·BF， 所以EF 2＝AD·BC.12．(2018·课标全国Ⅱ)选修4－1：几何证明选讲如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E 、F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B 、E 、F 、C 四点共圆．(Ⅰ)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(Ⅱ)若DB ＝BE ＝EA ，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值． 解：(Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB ＝∠A ， 由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(Ⅱ)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE. 由DB ＝BE ，有CE ＝DC ， 又BC 2＝DB·BA＝2DB 2， 所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.13．(2018·课标全国Ⅰ)选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(Ⅰ)证明：DB ＝DC ；(Ⅱ)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(Ⅰ)连结DE ，交BC 于点G.由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE. 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝3 2.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32.。
2017届新课标高考总复习·数学课件：选修4-1 第2节 直线与圆的位置关系
第十五页，编辑于星期六：点 五十七分。
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解：(1)证明：由于△ ABC 是等腰三角形，AD⊥BC， 所以 AD 是∠CAB 的平分线． 又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F， 所以 AE＝AF，故 AD⊥EF，从而 EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF， AD⊥EF， 故 AD 是 EF 的垂直平分线．又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上．连接 OE，OM，则 OE⊥AE.
新课标高考总复习·数学
第十二页，编辑于星期六：点 五十七分。
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(2)设 CE＝1，AE＝x. 由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2. 由射影定理可得 AE2＝CE·BE， 即 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2－12＝0. 解得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
新课标高考总复习·数学
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[听前试做] (1)连接 AB，AC.由题设知 PA＝PD，故 ∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，从而 BE ＝ EC . 因此 BE＝EC.
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第二十六页，编辑于星期六：点 五十七分。
新课标高考总复习·数学
第三页，编辑于星期六：点 五十七分。
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1．圆周角 (1) 定 理 ： 圆 上 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 心 角 的 一半 ． (2)推论 1：①同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 ． (3)推论 2：①半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ． ②90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
2017届高三数学一轮复习课件：选4-1-2 直线与圆的位置关系
第十八页，编辑于星期六：一点 六分。
[规律方法] (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而 证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小。 (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径 (或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角。
第十九页，编辑于星期六：一点 六分。
10
5
C. 3
D.2
解析：由题意可得 CM×MD＝AM×MB，则 2×4＝2AM2，AM＝2。又 CN×NE＝AN×NB，即 3NE＝4×2，解得 NE＝83。
答案：A
第三十七页，编辑于星期六：一点 六分。
2．(2015·广东卷)如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，切点为 C，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D。若 AB＝4，CE ＝2 3，则 AD＝________。
第三十一页，编辑于星期六：一点 六分。
则 AB＝10x，OH＝3x， ∴Rt△HOD 中，DH＝ OD2－OH2＝4x， AH＝AO＋OH＝8x， Rt△HAD 中，AD2＝AH2＋DH2＝80x2。 ∵∠BAD＝∠DAE，∠AED＝∠ADB＝90°， ∴△ADE∽△ABD，可得AADE＝AADB， ∴AD2＝AE·AB＝AE·10x。 而 AD2＝80x2，∴AE＝8x， 又∵OD∥AE，∴△AEF∽△DOF， 可得DAFF＝DAEO＝85。
又 CD 是∠ACB 的平分线，所以 AD＝DE，从而 BE＝2AD。
第三十四页，编辑于星期六：一点 六分。
(2)当 AC＝1，EC＝2 时，求 AD 的长。 解析：(2)由已知得 AB＝2AC＝2，设 AD＝t(0＜t＜2)，根据割线定理得， BD·BA＝BE·BC， 即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)， 所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即 2t2＋3t－2＝0， 解得 t＝21，即 AD＝21。
2016-2017学年高中数学选修4-1课件：第2讲 直线与圆的位置关系 第3节
第二十五页，编辑于星期五：十七点 二十九分。
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
[思路点拨] (1)要判断△ABC 为直角三角形，需验证 a2＋ b2＝c2 是否成立，只需利用韦达定理，求出 a、b、c 之间的关 系即可．
该直线与圆有何关系，又有什么性质呢？
第五页，编辑于星期五：十七点 二十九分。
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
1．切线的性质 (1) 性 质 定 理 ： 圆 的 切 线 垂 直 于 经 过 __切_点__的__半__径___． 如图，已知 AB 切⊙O 于 A 点，则
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
证明： 连接OD，则OD⊥DC， 又OA＝OD，DA＝DC， 所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO， ∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO， 所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，
所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC．
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
(2)∵BD是直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°. ∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°， ∴∠BDE＝120°. ∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°. ∴∠ABD＝∠EAD＝30°. 在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°， ∴AD＝2DE. 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝4DE. ∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.
2016-2017学年高中数学选修4-1课件：第2讲 直线与圆的位置关系 第5节
∴CD＝CNA·CCM＝2 714，
∴r＝12(AC－CD)
＝12
14－2
七点 二十九分。
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
[规律方法] (1)应用切割线定理的一般步骤
①观察图形，寻找切割线定理成立的条件；
②找准相关线段的长度，列出等式；
如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：__P_A_·_P_B_＝__P_C_·_P_D__．
第七页，编辑于星期五：十七点 二十九分。
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
预习学案
课堂学案
课后练习
(2)切割线定理 ①文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线，_切__线__长___是这点到割线与 圆交点的_两__条__线__段__长___的比例中项； ②图形表示 如 图 ， ⊙ O 的 切 线 PA ， 切 点 为 A ， 割 线 PBC ， 则 有
∴DA＝DC，EB＝EC． ∴△PDE 的周长为 PA＋PB＝2PA． 连接 OA，则 OA⊥PA．
∴PA＝ PO2－OA2＝ 132－52＝12(cm)． ∴△PDE 的周长为 24 cm.
第十五页，编辑于星期五：十七点 二十九分。
数学 选修4-1
第二讲 直线与圆的位置关系
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第二讲 直线与圆的位置关系
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3.本例中已知条件不变，如何证明A1E＋B1F ＝P1C.
证明： 由例 3 知 EA∥FB，CP∥FB，
∴EA∥CP∥FB．
∴PACE＝FECF，PBCF＝EECF， ∴PACE＋PBCF＝FECF＋EECF＝1. ∴A1E＋B1F＝P1C.
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3．[2015· 课标Ⅱ]如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与 △ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点，F 两点。 (1)证明：EF∥BC； (2)若 AG 等于⊙O 的半径，且 AE＝MN＝2 3，求四边形 EBCF 的面积。 解析： (1)证明：由于 △ABC 是等腰三角形， AD⊥BC，所以 AD 是∠CAB 的平分线。 又因为⊙O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F， 所以 AE＝AF，故 AD⊥EF。 从而 EF∥BC。
2
故 DE＝AE－AD＝3，即⊙O 的直径为 3。
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故 AD 是 EF 的垂直平分线。 又 EF 为⊙O 的弦，所以 O 在 AD 上。 如图，连接 OE，OM，则 OE⊥AE。 由 AG 等于⊙O 的半径得 AO＝2OE， 所以∠OAE＝30° 。 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形。 因为 AE＝2 3，所以 AO＝4，OE＝2。 1 因为 OM＝OE＝2，DM＝2MN＝ 3，所以 OD＝1。 10 3 于是 AD＝5，AB＝ 3 。 1 10 32 3 1 3 × － ×(2 3)2× ＝ 所以四边形 EBCF 的面积为2× 2 2 2 3 16 3 3 。
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2．[2015· 课标Ⅰ]如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线， BC 交⊙O 于点 E。 (1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若 OA＝ 3CE，求∠ACB 的大小。
解析：(1)证明：连接 AE，由已知得，AE⊥BC， AC⊥AB。 在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC， 故∠DEC＝∠DCE。 连接 OE，则∠OBE＝∠OEB。 又∠ACB＋∠ABC＝90° ， 所以∠DEC＋∠OEB＝90° ， 故∠OED＝90° ，DE 是⊙O 的切线。 (2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2。 由射影定理可得，AE2＝CE· BE，所以 x2＝ 12－x2，即 x4＋x2 －12＝0。 可得 x＝ 3，所以∠ACB＝60° 。
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开卷速查(选修 4－1－2)
直线与圆的位置关系
1．[2015· 湖南]如图，在⊙O 中，相交于点 E 的两弦 AB，CD 的 中点分别是 M，N，直线 MO 与直线 CD 相交于点 F。证明： (1)∠MEN＋∠NOM＝180° ； (2)FE· FN＝FM· FO。
解析：(1)如图所示。因为 M、N 分别是弦 AB，CD 的中点，所 以 OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90° ，∠ENO＝90° ，因此∠OME ＋∠ENO＝180° 。又四边形的内角和等于 360° ，故∠MEN＋∠NOM ＝180° 。 (2)由(1)知，O，M，E，N 四点共圆，故由割线定理即得 FE· FN ＝FM· FO。
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4．[2015· 陕西]如图，AB 切⊙O 于点 B，直线 AO 交⊙O 于 D， E 两点，BC⊥DE，垂足为 C。 (1)证明：∠CBD＝∠DBA； (2)若 AD＝3DC，BC＝ 2，求⊙O 的直径。 解析：(1)证明：因为 DE 为⊙O 的直径， 则∠BED＋∠EDB＝90° ， 又 BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90° ， 从而∠CBD＝∠BED。 又 AB 切⊙O 于点 B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA。 (2)由(1)知 BD 平分∠CBA， BA AD 则BC＝CD＝3，又 BC＝ 2，从而 AB＝3 2。 所以 AC＝ AB2－BC2＝4，所以 AD＝3。 AB2 由切割线定理得 AB ＝AD· AE，即 AE＝ AD ＝6，