雨中跑步数学模型(蒋伟)

雨中跑步的数学模型

摘要：本模型建立了在雨中奔跑时淋雨最少与奔跑速度，雨量，降雨方向，路程远近的关系，从而得出在雨中如何奔跑才会淋雨最少的方法。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向，路程的远近，奔跑的速度

问题重述：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

模型假设及符号说明

1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3）降雨方向保持不变。

4）你以一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

模型建立与计算

1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=

雨中行走的时间 )(秒v

D t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米

（升）

米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,, 结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

。米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得

米度你在雨中行走的最大速472167/6=v

从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。

原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

2）考虑降雨方向。

若记雨滴下落速度为r （米/秒）雨滴的密度为1 ,≤p p

表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度

系数。

所以，rp I =

因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。 顶部的淋雨量)sin ()/(1θpr wd v D C =

度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间θsin ,/r wd v D 前表面淋雨量)]cos ([)/(2v r p wh v D C +=θ 总淋雨量))cos (sin (21v r h dr v

pwD C C C ++=+=θθ 61039.1,/23600,/4-⨯=⨯==p s cm I s m r 取参数

)5.1cos 6sin 8.0(1095.64

v v

C ++⨯=-θθ 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定θ，如何选择v 使得 c 最小。

情形1

90=θ )5.18.0(1095.64+⨯=-v

C 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.1134=⨯=-m C

情形2

60=θ ]/)334.0(5.1[1095.64v C ++⨯=-

结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。

假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47.1107.143

4=⨯=-m C

情形3 18090<<θ 此时，雨滴将从后面向你身上落下。

]5.1/)cos 6sin 8.0[(1095.64++⨯=-v C θθ

。，则令 90090 <<+=ααθ ]5.1/))90cos(6)90sin(8.0[(1095.64++++⨯=-v C αα

]5.1/)sin 6cos 8.0[(1095.64+-⨯=-v C αα

能的。可能取负值，这是不可时，当C 900 →α

出现这个矛盾的原因：我们给出的模型是针对雨从你的前面落到身上情形。

因此，对于这种情况要另行讨论。

当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是v v r pwDh /)sin (-α

淋雨总量为v v r h dr pwD C /)]sin (cos [-+=αα

αα

cos sin wdpr r D C = 再次代如数据，得)sin 4/()cos 8.0(1095.64αα-⨯=C

结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

若雨滴是以 120的角度落下，即雨滴以

30=α的角

从背后落下，你应该以的速度行走，s m v /230sin 4== 此时，淋雨总量为 升24.02/)2/38.0(1095.634=⨯=-m C

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是v r v pwDh /)sin (α-

淋雨总量为v r v h dr pwD C /)]sin (cos [αα-+=

]//)sin cos [(r h v r d pwDr C +-=αα

才可能小。尽可能大，当C v r d ,0sin cos >-αα

才可能小。

尽可能小，当C v r d ,0sin cos <-αα ，而αsin r v >，所以αsin r v →才可能小。C

升。

时，取77.06/)634.0(1095.630,/634=+⨯===-m C s m v α 结论：若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量，此时淋雨量才是最少的。

参考文献：姜启源 谢金星等

《数学模型》（第三版） [M] 高等教育出版社