有限元法的基本思想及计算 步骤
有限元法的基本思想
单元模型构造方法
整体坐标系法 局部坐标系法
Lagrange插值方法 Hermite插值方法
单元模型构造方法
2节点线单元
1. 假设插值多项式
u(x) a0 a1x
u1 u
u2
1
2
x1 x
x2Βιβλιοθήκη ox2. 利用节点值求 a0 和 a1
uu21
a0 a0
a1x1 a1x2
a0
u1x2 x2
① 组合单元 抵抗拉压变形的二维单元+板单元+单元局
部随体坐标系。适合于薄壳单元和中厚壳单 元
常用单元模型
准三维空间单元 ② 壳理论单元
由空间壳理论严格构造的壳单元。适合 于薄壳单元和中厚壳单元
③ 退化单元 由三维实体单元退化成的壳单元。只适 合于中厚壳单元
单元模型构造
有限元法的基本思想 通过单元分片近似,在每个单元内假设 近似函数来分片表示系统的场函数
xx
yy
zz xy
y
z
zx
yz 0
xx
yy
zz
xy
线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
xx yy xy
1
E
2
1
0
1 0
1
0 0
2
xx yy xy
De
E
1
2
1
1
0
0
1
0 0 2
线弹性问题本构方程—平面应变
二维问题
平面应变状态
zz 0 xz 0 yz 0 xz 0
插值多项式选择条件
深入分析
E为弹性模量;为泊松比
0 0 0
1 2
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法(Finite Element Method)是一种用于求解工程和物理问题的数值计算方法。
它将复杂的结构或物理系统分割成若干个小的、简单的部分,这些部分被称为有限元。
通过对每个有限元进行数学建模和描述,再根据各个有限元之间的相互关系,最终得到整个系统的数学模型,并通过求解模型得到所需的结果。
有限元法的基本原理可以总结为以下几个步骤:1.离散化:将需要分析的实际物体或系统划分为多个小的部分,每个小部分称为有限元。
每个有限元都有自己的几何形状和物理特性。
2.建立方程:对每个有限元进行数学建模,设定适当的假设和方程,并将其转化为一个或多个待求解的方程。
这些方程描述了物体各点之间的关系和行为。
3.组装和边界条件:将所有有限元的方程组合起来形成整个系统的方程。
在这个过程中,考虑到边界条件,如约束和加载,以使系统模型更接近实际情况。
4.求解方程:通过数值解法或迭代算法,对系统方程进行求解。
常用的方法有直接法、迭代法、矢量或矩阵求逆等。
5.后处理:根据求解结果,得到所需的物理量和信息,并进行数据分析和可视化,以获得更深入的认识。
有限元法的最大优点之一是其适用性广泛。
它可以应用于各种复杂的结构和物理系统,包括静力学、动力学、热传导、电磁学等。
通过适当的选择有限元类型和参数,可以对各种材料和结构进行准确的分析和预测。
此外,有限元法对于学术和工程研究的意义也非常重大。
它提供了一种理论和实践相结合的方法,可以对实际问题进行数值模拟和优化设计。
通过对有限元模型的分析,可以预测物体或系统的行为和响应,从而为实际工程项目的决策提供有力的支持。
然而,有限元法也存在一些局限性和挑战。
首先,有限元法在建立数学模型和求解方程时需要一定的理论基础和数值计算技术。
其次,模型的精确性和结果的准确性依赖于有限元的选择和划分,以及材料参数和边界条件的准确性。
最后,有限元法的计算量通常很大,特别是对于复杂的结构和多物理场问题,需要高性能计算和有效的算法来提高计算效率。
偏微分方程的有限元法
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点有限元法的物理意义直观明确,理论完整可靠。 因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理(如力学中的最小势能原理)。 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上,有突出优点: ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意,通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取,可以充分保证所需的数值计算精度。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用,随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
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5.1 泛函与变分原理
数学上,通常自变量与因变量间的关系称为函数,而泛函则是函数集合的函数,也就是函数的函数,即自变量为函数,而不是变量。
5.1.1 泛函的定义 泛函通常是指一种定义域为函数,而值域为实数的“函数”。 设C是函数的集合,B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x),在B中都有一个元素J与之对应,则称J为y(x)的泛函,记为J[y(x)]。
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
泛函的变分
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
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5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开
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5.1 泛函与变分原理
其中
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
有限元法简介
有限元法的孕育过程及诞生和发展 牛顿(Newton) 莱布尼茨(Leibniz G. W.)
大约在300年前,牛顿和莱布尼茨发明了积 分法,证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然,积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的,前者进行无限划分而后者 进行有限划分,但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
思路:以计算机为工具,分析任意变形体以获得所有 力学信息,并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便,一般人员可以使用。 实现办法:
技术路线:
发展过程: 如何处理 对象的离散化过程
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧,梁,杆,间隙)
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化,用 有限个容易分析的单元来表示复杂的对象, 单元之间通过有限个结点相互连接,然后 根据变形协调条件综合求解。由于单元的 数目是有限的,结点的数目也是有限的, 所以称为有限元法(FEM,Finite Element Method)。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法,是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出,但由于当时计算机 尚未出现,它并未受到人们的重视。
X
0.056
0.058
X
0.06
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一,广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法(Finite Element Method,简称FEM)是一种常用的数值计算技术,可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元,利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组,通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势,因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中,关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程,并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中,通常采用三角形或四边形单元来进行划分,这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求,合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后,需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例,我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状,可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中,常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后,需要进行相应的后处理,进行数据分析和可视化。
有限单元法的基本思想
α1 α4
α2 x α5 x
α3 α6
y y
应变
x 2, y 6, xy 3 5
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
虚功原理 ——建立等效积分形式的平衡方程
变形体中满足平衡的力系在任意 满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零,即体系外力的虚功与内力的 虚功之和为零。
有限元法分析流程
x
E 1 2
u x
v y
,
xy
E 2(1
)
v x
u y
y
E 1 2
v y
u x
,
x
x
yx
y
fx
0, xy
x
y
y
fy
0
位移表示的平衡微分方程:
x xy
x
xy y
y y
xz z yz
z
pvx pvy
0 0
xz x
yz y
z z
pvz
0
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
几何方程
应变 ~ 位移
u
第二章 有限元法的基本思想
第二章
弹性力学有关知识
有限元法基本思想
有限元法分析流程
弹性力学 有关知识
有限元法 基本思想
有限元法的基本思想及计算步骤
有限元法的基本思想及计算步骤有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体,简称离散化。
这些单元仅在顶角处相互联接,称这些联接点为结点。
离散化的组合体与真实弹性体的区别在于:组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但是这种联接要满足变形协调条件,即不能出现裂缝,也不允许发生重叠。
显然,单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力,作用在结点上的荷载称为结点荷载。
当连续体受到外力作用发生变形时,组成它的各个单元也将发生变形,因而各个结点要产生不同程度的位移,这种位移称为结点位移。
在有限元中,常以结点位移作为基本未知量。
并对每个单元根据分块近似的思想,假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律,再利用力学理论中的变分原理或其他方法,建立结点力与位移之间的力学特性关系,得到一组以结点位移为未知量的代数方程,从而求解结点的位移分量。
然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。
显然,如果单元满足问题的收敛性要求,那么随着缩小单元的尺寸,增加求解区域内单元的数目,解的近似程度将不断改进,近似解最终将收敛于精确解。
用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多,其中最主要的计算步骤为:1)连续体离散化。
首先,应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。
常见的单元有:杆单元,梁单元,三角形单元,矩形单元,四边形单元,曲边四边形单元,四面体单元,六面体单元以及曲面六面体单元等等。
其次,进行单元划分,单元划分完毕后,要将全部单元和结点按一定顺序编号,每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上,并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。
2)单元分析。
所谓单元分析,就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。
现以三角形单元为例说明单元分析的过程。
如图1所示,三角形有三个结点i,j,m。
在平面问题中每个结点有两个位移分量u,v和两个结点力分量F x,F y。
什么是有限元方法基本思想是什么基本步骤
什么是有限元方法? 基本思想是什么? 基本步骤是什么? 单元分析时的基本数学方法有哪些?
第二讲 弹性力学平面问题的
有限单元法
1、有限单元法的计算步骤 2、平面问题的常应变(三角形)单元 3、单元刚度矩阵 4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 5、平面问题的矩形单元 6、六节点三角形单元 7、单元载荷移置 8、整体分析 9、整体刚度矩阵的形成 10、支承条件的处理 11、整体刚度矩阵的特点
考虑整体结构的约束情况,修改整体刚度方程之后上式 就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求 出结点位移。
7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力
解出整体结构的结点位移列阵 后,再根据单元结点 的编号找出对应于单元的位移列阵 e,将 e代入就可求
出各单元的应力分量值。
vm
2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得 单元
的应变分量
x y
xy
u
u x
v y
y v
x
2 6
3 5
• 由于三节点三角形单元的位移 函数为线性函数,则单元的应 变分量均为常量,故这类三角 形单元称为常应变单元(位移 在单元内和边界上为线性变化, 应变为常量)
IN j
INm
i j
um
vm
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
um
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法(Finite Element Method,简称FEM)是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域,并在每个子域上建立适当的解析函数,最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法,适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题,将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元,称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量,然后通过建立方程组,求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件,并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面:1.几何建模:根据实际问题,将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元,如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化:将物体划分成有限元,并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致,以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定:确定每个有限元的节点,以及每个节点对应的自由度,自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量:根据单元的几何关系和物理性质,建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系,载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装:将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件:根据实际问题,将边界条件施加到系统方程中,通常为位移或载荷。
7.解方程:根据边界条件和施加的载荷,求解系统方程,得到节点的位移和应力等解。
8.后处理:根据求解的结果,计算出物体的各种性质,并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用,例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高,有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
有限元知识点总结
收敛性:位移函数含单元常量应变;反应单元刚体位移;单元内部位移连续;相邻公共边界连续协调。
四节点矩形单元:位移函数满足收敛性条件,为协调单元;较常应变单元有更高的计算精度。
六节点三角形单元:比常应变三角形单元精度高
30、 非节点载荷等效的基本原则是什么?
答:能量等效原则和圣维南原理。
31、 试计算三节点三角形边界上不同线性分布载荷的等效节点载荷。(参考教材P58面)
答:1.均质材料单元所受体力等效,只需将单元外载荷均匀等分至各个节点即可
2.边界受均匀分布力等效,只需将单元边界上的分布载荷之和平均分配至受力的连个节点
3.边界受三角形分布面力等效,总力ql/2,分布力ql/6;ql/3
23、 何为单元的协调性和完备性条件?为什么要满足这些条件?平面问题三节点三角形单元是如何满足这些条件?矩形四节点单元是否满足?
答:完备性准则:如果在能量泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶,则有限元解收敛的条件之一是单元函数至少是m阶的完全多项式。
24、 何为协调单元?何为非协调单元?为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元?
答:1.位移函数应包含刚体位移
2.位移函数应能反映单元的常应变状态
3.位移函数在单元内要连续,在单元边界上要协调。
19、 位移函数构造为何按Pascal三角形进行?为什么?
答:选取多项式具有坐标的对称性,保证单元的位移分布不会因为人为选取的方位坐标不同而变化。
20、 如何理解有限元解的下限性?简要说明。
11、 以平面微元体为例,考虑弹性力学基本假设,推导微分平衡方程。
12、 常见的弹性力学问题解法有哪几类?各有何特点或局限?简述求解思路?
有限元法
{F}(e) = ⎪⎩⎪⎨⎧FFij((ee)) ⎪⎭⎪⎬⎫—为单元节点力向量(列阵);
34
{Φ}(e)
=
⎪⎧Φ ⎪⎩⎨Φ
(e) i
(e) j
⎪⎫ ⎪⎭⎬
——为单元节点位移向量
(列阵),也为单元自由度列阵;
将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式, 则
⎡ EA
[K ](e)
=
⎢ ⎢ ⎢−
L EA
⎣L
− EA L
所谓离散化就是将一个连续体分割成若干个 通过节点相连的单元,这样一个有无限个自由度 的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结 构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局 部坐标系和整体坐标系的确定。
10
物理系统举例
载荷
载荷
11
有限元法的基本思想 (1)假想把连续系统分割成数目有限的单元,单元之
的转移矩阵,其关系式为 {F}= {K}{Φ},这就是总
体平衡方程;
22
确定总体刚度矩阵[K]的办法 1)直接利用总体刚度系数的定义
在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的 基础上获得总体刚度矩阵。此方法只在简单情况下 才能采用。 2)集成法
将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。 这里所说的迭加不是简单的相加,而是将下角标相 同的刚度系数相加,然后按总码的顺序对号入座。
A(2) = 1×10−4 m2, E (1) = E (2) = 1.96 ×105 MPa,
L(1) = L(2) = 0.1m
29
A(1) E(1)
A(2) E(2)
1①
2
②3
F3
L(1)
L(2)
Φ1
Φ2
Φ3
F1
有限元方法的求解步骤
有限元方法的求解步骤引言有限元方法是一种数值分析技术,用于求解连续介质力学问题。
它的基本思想是将复杂的物理问题离散化为简单的几何单元,并在每个单元上建立适当的数学模型。
通过在整个域内组装这些单元,最终得到整个系统的近似解。
本文将详细介绍有限元方法的求解步骤,包括问题建模、网格划分、单元模型与刚度矩阵计算、边界条件处理和求解方程等内容。
问题建模在使用有限元方法求解实际问题之前,首先需要对问题进行建模。
这涉及确定问题的几何形状、边界条件和材料属性等方面。
通常可以使用偏微分方程来描述力学行为,并根据具体情况选择适当的方程类型。
网格划分网格划分是有限元方法中非常重要的一步,它将连续域离散化为有限多个几何单元。
常用的网格类型包括三角形网格和四边形网格。
根据具体情况,可以选择不同密度和形状的网格来逼近真实几何形状。
单元模型与刚度矩阵计算在每个几何单元上,需要建立适当的数学模型来描述物理行为。
通常使用一些基本假设和理论模型来近似真实行为。
对于弹性力学问题,常用的单元模型包括线性弹性、非线性弹性和塑性等。
根据单元模型,可以计算每个单元的刚度矩阵。
刚度矩阵描述了单元内部各个节点之间的相互作用关系。
它是由材料属性和几何形状决定的,并且可以通过数值积分等方法进行计算。
边界条件处理边界条件是求解过程中必须考虑的重要因素。
它们描述了系统在边界上的约束条件,例如固定边界、施加力或位移等。
在有限元方法中,通常将边界条件转化为所谓的约束方程,以便将其应用于整个系统。
对于固定边界条件,可以直接将相应自由度设置为零。
而施加力或位移边界条件,则需要将其转化为等效荷载或约束方程,并在求解过程中进行处理。
求解方程有限元方法最终目标是求解整个系统的近似解。
为此,需要将所有单元的刚度矩阵组装成整个系统的刚度矩阵。
同时,需要将所有边界条件应用于约束方程中。
通过求解线性方程组,可以得到系统的节点位移。
常用的求解方法包括直接法和迭代法。
在实际计算中,可以根据问题特点选择最适合的方法。
有限元法基本原理
有限元法基本原理
有限元法是最先应用于航空工程结构的矩阵分析方法,主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。
有限元法的基本思想:将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元),即将连续体假想划分为数目有限的离散单元,而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结,用离散单元的集合体代替原来的连续体。
一般情况下,有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组,解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移,进而可求得各单元上的应力分布规律。
有限元方法求解问题主要分为以下几步:(1)结构的离散化
将已连续体线性沦为单元组合体;(2)挑选加速度模式
即假定单元中位移分布是坐标的某种函数,位移模式一般选为多项式的函数;
(3)单元力学特性分析
利用弹性力学的平衡方程、几何方程、物理方程和虚功原理得到单元节点力和节点位移之间的力学关系,即建立单元刚度矩阵;
(4)排序耦合节点力根据机械功成正比原则,用耦合节点Courtomer替代所有促进作用于单元边界或单元内部的载荷;
(5)建立整个结构的所有节点载荷与节点位移之间的关系(整体结构平衡方程),即建立结构的的总体刚度矩阵;
(6)边界条件
排除结构发生整体刚性位移的可能性。
(7)求解线性方程组
方程组存有唯一求解,即为获得结构中各节点的加速度,单元内部加速度通过插值获得。
(8)后处理与计算结果评价。
有限元法的基本思想
求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元,选取适当的插值函数,使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时,列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组,利用计算机解出节点位移后,再用弹性力学的有关公式,计算出各单元的应力、应变,当各单元小到一定程度,那么它就代表连续体各处的真实情况。
有限元法的基本思想 所谓来自限元法(FEA),其基本思想是把连续的几何机构离散成有限个单元,并在每一个单元中设定有限个节点,从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体,同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律,再建立用于求解节点未知量的有限元方程组,从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。
有限元的基本原理
有限元的基本原理
有限元法的基本原理是建立在表示实际连续体的离散模型的基础上。
该方法的基本思想是将实际连续体分割为有限个较小的、称为有
限元的部分,每个有限元都被认为是相互独立的,而受到软件模型所
描述的一组约束。
有限元法模型求解是通过将所有有限元在一定环境
下的相互作用来描述整个物体。
这些有限元之间相对于解析方法更接
近实际情况,所以解法能够更加精确地检验计算结果。
有限元法的步骤如下:
1. 选定有限元的类型和形状,不同的有限元类型适用于不同的计
算问题。
2. 将整个实际物体离散成为多个有限元,每个元内部的参数、如
位移分布、应变场等等,是用一定的方程求解的。
3. 去掉有限元间间隔,并构造出一个总体联立方程。
4. 利用边界条件得出相应“挤压”量,完成总体应力分布的过程。
5. 通过这些有限元联立方程组,算出整个物体所有部位的应力、
位移和应变,从而得到整个物体的状态分布。
有限元法能以极大程度上模拟多结构系统间的相互作用和这些作
用对物体性质的影响,如形变,热度和应力。
这个方法可被应用广泛,包括航空航天、汽车制造、能源以及生命科学等等。
有限元方法基本原理
有限元方法基本原理有限元方法(Finite Element Method, FEM)是一种数值计算方法,主要用于求解偏微分方程的数值解。
它最早由Courant、Bubnov和Galerkin等人在20世纪50年代提出,并在以后的几十年中得到了广泛的发展和应用。
有限元方法的基本原理是将要求解的区域分割成若干个小的子区域,通常称为有限元,每个有限元内部的物理量可以用一个简单的数学表达式来表示。
然后,通过在有限元之间建立连续性条件,将整个问题转化为一组代数方程,进而得到数值解。
有限元方法的基本步骤包括:建立有限元模型、离散化、建立代数方程、求解代数方程和后处理。
下面将详细介绍每个步骤的具体内容。
第一步,建立有限元模型。
该步骤主要是对要求解的问题进行数学建模,包括选择适当的坐标系、定义物理量和约束条件等。
通常,物理问题可以通过连续介质假设,将其离散化为一组小的有限元。
第二步,离散化。
将要求解的区域划分为有限个小的子区域,通常称为有限元。
常见的有限元形状包括三角形、四边形和六面体等。
有限元的选择通常是根据问题的几何形状和物理条件来确定的。
第三步,建立代数方程。
有限元方法的核心是建立代数方程,用于描述物理问题在离散点上的数值解。
代数方程通常是通过施加适当的数学形式和边界条件来建立的。
建立代数方程的基本思想是使用一组试验函数来近似描述有限元内部的解。
通常采用Galerkin方法,即在离散点上进行加权残差积分,使得残差的加权平均为零。
第四步,求解代数方程。
一旦代数方程建立完成,就可以使用数值方法求解这组代数方程。
常见的求解方法包括直接法和迭代法等。
直接法适用于方程较小的情况,而迭代法适用于方程较大的情况。
常见的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和共轭梯度法等。
第五步,后处理。
求解代数方程后,需要对结果进行后处理和分析。
后处理包括计算和显示物理量、绘制图形以及进行误差估计等。
通过后处理,可以对模型进行验证,并对结果进行解释和解释。
弹性力学-第5章 有限元法
(a)从上到下建模 从生成体(或面)开始,并结合其它方
法生成最终的形状。
加
用于产生最终形状的合并称为布尔运算
提示: 当生成二维体素时,ANSYS定义一个面及其它所包含 的线和关键点。当生成三维体素时,ANSYS定义一个 体及其所包含的面、线及关键点。 如果低阶的图元连在高阶图元上,则低阶图元不能删除.
§5-2 建模
一. 有限元模型的建立
a.建模的方法 b.坐标系统与工作平面 c.实体建模
1.建模方法
有限元模型的建立方法可分为: (1)直接法
直接根据机械结构的几何外型建立节点和单元,因此直接 法只适应于简单的机械结构系统。
(2)间接法(Solid Modeling)
适用于节点及单元数目较多的复杂几何外型机械结构系 统。该方法通过点、线、面、体积,先建立实体模型, 再进行网格划分,以完成有限元模型的建立。
第五章 有限元法解平面问题
§5-1有限元法简介 一. 有限元法的基本思想
1.将连续的问题域离散为有限数目的单元; 2.单元之间通过节点相连; 3.每一个单元都有精确的方程来描述它如何对一定载 荷去响应; 4.单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数 关系插值得到; 5.模型中所有单元的响应之和给出设计的总响应。
由于单元形状简单,易于建立节点量的平衡关系和能量关 系方程式,然后将各单元方程集组成总体代数方程组,计 入边界条件后可对方程求解。
二. 有限元法的位移解法 1.有限元法的单元和节点
1.有限元法的单元和节点 2.有限元的基本未知量(DOFs) 3.单元形函数
节点自由度是随 单元类型 变化的。
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
有限元法的基本步骤
有限元法的基本步骤有限元法是一种数值计算方法,用于求解一般的物理问题。
它将求解区域划分为许多小的有限元,然后在每个有限元中近似地求解物理方程。
下面是有限元法的基本步骤。
1.问题建模和离散化:首先,将待求解的物理问题建模为一个数学模型。
确定问题的几何形状、材料特性、边界条件以及所关心的物理量等。
然后,将求解区域离散化为有限个子域,即有限元。
这些子域通常被称为有限元。
这可以通过网格划分、三角剖分等方法完成。
2.选择适当的有限元类型:根据问题的性质和求解的准确性要求,选择适当的有限元类型。
有限元可以是线性元、二次元、高次元等。
线性元是最简单的元素类型,但精度较低;高次元则可以提供更高的精度,但可能需要更多的计算资源。
3.构造刚度矩阵和载荷向量:对每个有限元,需要确定与之相关的刚度矩阵和载荷向量。
刚度矩阵描述了有限元中节点之间的刚度关系,载荷向量描述了有限元中的外部载荷。
这些可以通过对有限元进行分析和积分得到。
4.组装:将所有有限元的刚度矩阵和载荷向量组装成整体的刚度矩阵和载荷向量。
这可以通过将每个有限元的局部坐标映射到全局坐标系中,然后使用节点编号等方法实现。
5.应用边界条件:为了得到唯一的解,必须对一些节点施加边界条件。
边界条件可以是位移约束、力约束或应力约束等。
这些边界条件可以通过直接施加到刚度矩阵和载荷向量上,或通过修改刚度矩阵和载荷向量来实现。
6.求解:利用数值方法求解稀疏矩阵方程组。
通常使用迭代方法,如共轭梯度法、Jacobi迭代法或Gauss-Seidel法等,来求解这个方程组。
7.后处理:在得到解后,可以通过一些后处理操作进行结果的分析和可视化。
后处理可以包括计算附加的物理量,如应力、应变、位移等,并将结果可视化。
有限元法是一种广泛使用的数值计算方法,可以用于求解各种工程和科学领域的问题。
它具有高精度、适用范围广等优点,并且可以随着计算资源的增加而提高计算精度。
在实际应用中,根据具体问题的特点,有限元方法的步骤和细节可能会有所调整和改变,但上述基本步骤仍然适用于大多数情况。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想(1)将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同形状,因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
(2)有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
(3)一个问题的有限元分析中,未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量,从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
(4)一经求解出这些未知量,就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值,从而得到整个求解域上的近似解。
显然,随着单元数目的增加,也即单元尺寸的缩小,或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高,解的近似程度将不断改进,如果单元是满足收敛要求的,近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步,它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说,就是将要分析的结构物分割成有限个单元体,并在单元体的指定点设置结点,使相邻单元的有关参数具有一定的连续性,并构成一个单元的集合体,以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架,那么这种划分十分明显,可以取每根杆件作为一个单元,因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体,那么为了有效地逼近实际的连续体,就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后,就可以对典型单元进行特性分析。
此时,为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力,在分析连续体问题时,必须对单元中位移的分布作出一定的假设,也就是假定位移是坐标的某种简单的函数,这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算(微分和积分)比较方便,并且由于所有光滑函数的局部,都可以用多项式逼近。
有限元法的基本思想
有限元法的基本思想:首先,将表示结构的连续体离散为若干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。
其次,用每个单元内所假设的近似函数在单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。
最后通过和原问题数学模型(基本方程、边界条件)等效的变分原理或加权余量法,建立求解基本未知量的袋鼠方程组或常微分方程组,应用数值方法求解,从而得到问题的解答。
(有限元法分为三类:即位移法、力法、和混合法。
位移求解问题的步骤如下:结构的离散化、单元分析、单元集成、引入约束条件、求解线线方程组,得出节点位移、由节点位移计算单元的应力与应变。
)节点位移:节点在受力变形过程中,节点位置的改变,分为线位移、角位移。
节点载荷:作用在节点上的外载荷。
单元节点力:单元与节点之间的作用力。
杆件结构划分单元的原则:(1)杆件的焦点一定要取为节点。
(2)阶梯行杆截面变化处一定要取为节点(3)支撑点和自由端要取为节点(4)集中载荷处要取为节点(5)欲求位移的点要取为节点(6)单元长度不要相差太多弹性力学的几个基本假设:连续性假设、弹性假设、均匀性和各向同性假设、小变形假定、无初应力假设。
弹性力学几个基本概念:1、外力:作用于物体的外力,通常分为表面力和体积力。
面力:分布在物体表面上的外力体积力:分布在物体体积内的外力,通常与物体的质量成正比且是各质点位置函数。
内力:弹性体受到外力作用后,其内部将有内力存在。
在选择多项式位移模式的时候考虑的因素:1、单元的完备性和协调性的要求2、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,这一性质称为N向各项同性。
3、多项式位移模式中的项数必须与单元多项式的项数与单元外节点的自由度相等弹性力学的典型问题:1、空间问题2、平面问题:平面应力问题、平面应变问题平面应力问题的特点:(1)长度尺寸远大于厚度(2)沿板面有平行版面的面力,且沿厚度均布:体力平行与版面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上无外力作用。
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有限元法的基本思想及计算步骤
有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体,简称离散化。
这些单元仅在顶角处相互联接,称这些联接点为结点。
离散化的组合体与真实弹性体的区别在于:组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。
但是这种联接要满足变形协调条件,即不能出现裂缝,也不允许发生重叠。
显然,单元之间只能通过结点来传递内力。
通过结点来传递的内力称为结点力,作用在结点上的荷载称为结点荷载。
当连续体受到外力作用发生变形时,组成它的各个单元也将发生变形,因而各个结点要产生不同程度的位移,这种位移称为结点位移。
在有限元中,常以结点位移作为基本未知量。
并对每个单元根据分块近似的思想,假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律,再利用力学理论中的变分原理或其他方法,建立结点力与位移之间的力学特性关系,得到一组以结点位移为未知量的代数方程,从而求解结点的位移分量。
然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。
显然,如果单元满足问题的收敛性要求,那么随着缩小单元的尺寸,增加求解区域内单元的数目,解的近似程度将不断改进,近似解最终将收敛于精确解。
用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多,其中最主要的计算步骤为:
1)连续体离散化。
首先,应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。
常见的单元有:杆单元,梁单元,三角形单元,矩形单元,四边形单元,曲边四边形单元,四面体单元,六面体单元以及曲面六面体单元等等。
其次,进行单元划分,单元划分完毕后,要将全部单元和结点按一定顺序编号,每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上,并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。
2)单元分析。
所谓单元分析,就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。
现以三角形单元为例说明单元分析的过程。
如图1所示,三角形有三个结点i,j,m。
在平面问题中每个结点有两个位移分量u,v和两个结点力分量F x,F y。
三个结点共六个结点位移分量可用列
阵(δ)e表示:
{δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T
同样,可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示:
{F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T
应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系
{F}e=[k]e{δ}e
(1)式中 [k]e——单元刚度矩阵。
3)整体分析。
整体分析是对各个单元组成的整体进行分析。
它的目的是要建立起一个线性方程组,来揭示结点外荷载与结点位移的关系,从而用来求解结点位移。
有了式(1),就可用结点的力平衡和结点变形协调条件来建立整个连续体的结点力和结点位移的关系式,即
[K]{δ}={R}
(2)式中 [K]——整体刚度矩阵;
{δ}——全部结点位移组成的列阵;
{R}——全部结点荷载组成的列阵。
在这个方程中只有{δ}是未知的,求解该线性方程组就可得到各结点的位移。
将结点位移代入相应方程中可求出单元的应力分量。
用有限元法不仅可以求结构体的位移和应力,还可以对结构体进行稳定性分析和动力分析。
例如,结构体的整体动力方程
[M]{δ}+[C]{δ}+[K]{δ}={F}
式中 [M]——整体质量矩阵;
[C]——整体阻尼矩阵;
[K]——整体刚度矩阵;
{δ}——整体结点位移向量;
{F}——整体结点荷载向量。
求出结构的自激振动频率、振型等动力响应,以及动变形和动应力
等。
另一方面,在处理大型结构分析中(如飞机、桥梁等),普遍采用子结构法、p型或h型有限元模型以及边界元法,从而提高了计算速度,降低了计算工作量。