1.5.1普通单纯形法
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目标函数值：Z ( X1 ) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0.
Q4
3
5
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
5 x1 x2 0
0
o
Q1
4
x1
5
1 1 代入目标函数得： Z 8 x2 x4 3 3 这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：
解：化为标准型
max Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5 x2 x3 15 6x x4 24 1 2 x2 x2 x5 5 x1 i 1, ,5 xi 0 当前可行基 {x3 , x4 , x5} 所对应的基本可行解
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 6 A 1 2 5 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 5 1 1/ 3 1 1 2 1
0 15 ×1/6 0 24 24 5 min, , 4 6 1 1 5 Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5 0 0 0 0 15 1/ 6 0 4 主元素 ×（-1） 0 1 5 ×（-2） 0 0 0
max Z 2x1 x2
15 5 x2 6x 2 x2 24 1 x2 5 x1 xi 0 i 1, 2,3
5 3
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
Q4
5 x1 x2 0
0
Q1
4
x1
x4
移到右边，得
5 x2 x3 15 1 1 x1 4 x2 x4 3 6 2 1 x5 1 x2 x4 3 6 i 1, ,5 xi 0
由此，得到一个新的基本可行解： X1 (4,0,15,0,1)T
基本可行解 X1 (4,0,15,0,1)T 对应可行域的 Q1 (4,0)
按最小比值规则：
x1 x2 x3
0 5 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
目标函数系数行
按最小比值规则：
1 1 Z 8 x2 x4 3 3
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
x1 x2 x3
0 5 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 0 5 1 1/ 3 0 1 0 1/ 3
5
1.5.1 普通单纯形法
基 初始基本可行解 本 思 目标函数 值增大的 …… 想 方向迭代
目标函数 值增大的 方向迭代
目标函数 值增大的 方向迭代
另一个基本可行解
达到最优基本可行解，或判 定出问题无界或问题无解。
例 求解下列(LP)模型(单纯形法基本思想)举例
max Z 2x1 x2
15 5 x2 6x 2 x2 24 1 x2 5 x1 xi 0 i 1, 2,3
（2）
X 0 (0,0,15,24,5)
显然不是最优。
T
将 X 0 代入目标函数得 Z ( X 0 ) 0
5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x2 x5 5 x1 i 1, ,5 xi 0
（2）
又因为 x2
称
x3 , x4 , x5
为基变量。
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 5 1 0 0 15 A 6 2 0 1 0 24 1 1 0 0 1 5
此方程组的解为
x3 15 x4 24 6 x1 x 5 x 1 5
其中 称
1.5 单纯形法
Simplex Method
1. 复习
例：解非齐次线性方程组
6 x1 x 1
5 x2 2 x2 x2
x3 x4 x5
15 24 5
（1）
增广矩阵
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 5 1 0 0 15 A 6 2 0 1 0 24 1 1 0 0 1 5
5 x2 2 x2 x2
x1 , x2
为任意实数。
x1 , x2
为非基变量，或自由未知变量。
称非基变量
x1 , x2
为0的解 X 0
(0,0,15,24,5)
T
叫基本解。
若对基变量加以限制，则得到带有非负约束的方程组
15 x3 x 24 6 x1 4 5 x1 x5 x1 0, x2 0
仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
24 x1 6
x1 5
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基 {x1 , x3 , x5 }。
5 x2 6x 1 2 x2 x2 x1 xi 0
x3 x4 x5 i 1, ,5
15 24 5
（2）
可行基 {x1 , x3 , x5 } 留在左边，非基变量 x2 ,
从而
5 x2 0 2 x2 0 x2 0
x1 , x2
解域为
Q4
3
5
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
注意：此时的 x1 , x2 已经不是任意实数，不 是自由未知变量了。
5 x1 x2 0
0
Q1
4
x1
5
例 求解下列(LP)模型(图解法)
Q4
3
5
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
5 x1 x2 0
0
o
Q1
4
x1
5
1 1 代入目标函数得： Z 8 x2 x4 3 3 这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：
解：化为标准型
max Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5 x2 x3 15 6x x4 24 1 2 x2 x2 x5 5 x1 i 1, ,5 xi 0 当前可行基 {x3 , x4 , x5} 所对应的基本可行解
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 6 A 1 2 5 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 5 1 1/ 3 1 1 2 1
0 15 ×1/6 0 24 24 5 min, , 4 6 1 1 5 Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5 0 0 0 0 15 1/ 6 0 4 主元素 ×（-1） 0 1 5 ×（-2） 0 0 0
max Z 2x1 x2
15 5 x2 6x 2 x2 24 1 x2 5 x1 xi 0 i 1, 2,3
5 3
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
Q4
5 x1 x2 0
0
Q1
4
x1
x4
移到右边，得
5 x2 x3 15 1 1 x1 4 x2 x4 3 6 2 1 x5 1 x2 x4 3 6 i 1, ,5 xi 0
由此，得到一个新的基本可行解： X1 (4,0,15,0,1)T
基本可行解 X1 (4,0,15,0,1)T 对应可行域的 Q1 (4,0)
按最小比值规则：
x1 x2 x3
0 5 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3
1 0 0 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 3
x4 x5 b
0 15 0 4 1 1 0 8
目标函数系数行
按最小比值规则：
1 1 Z 8 x2 x4 3 3
1 3 15 4 min , , 5 1/ 3 2 / 3 2
x1 x2 x3
0 5 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 0 5 1 1/ 3 0 1 0 1/ 3
5
1.5.1 普通单纯形法
基 初始基本可行解 本 思 目标函数 值增大的 …… 想 方向迭代
目标函数 值增大的 方向迭代
目标函数 值增大的 方向迭代
另一个基本可行解
达到最优基本可行解，或判 定出问题无界或问题无解。
例 求解下列(LP)模型(单纯形法基本思想)举例
max Z 2x1 x2
15 5 x2 6x 2 x2 24 1 x2 5 x1 xi 0 i 1, 2,3
（2）
X 0 (0,0,15,24,5)
显然不是最优。
T
将 X 0 代入目标函数得 Z ( X 0 ) 0
5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x2 x5 5 x1 i 1, ,5 xi 0
（2）
又因为 x2
称
x3 , x4 , x5
为基变量。
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 5 1 0 0 15 A 6 2 0 1 0 24 1 1 0 0 1 5
此方程组的解为
x3 15 x4 24 6 x1 x 5 x 1 5
其中 称
1.5 单纯形法
Simplex Method
1. 复习
例：解非齐次线性方程组
6 x1 x 1
5 x2 2 x2 x2
x3 x4 x5
15 24 5
（1）
增广矩阵
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 5 1 0 0 15 A 6 2 0 1 0 24 1 1 0 0 1 5
5 x2 2 x2 x2
x1 , x2
为任意实数。
x1 , x2
为非基变量，或自由未知变量。
称非基变量
x1 , x2
为0的解 X 0
(0,0,15,24,5)
T
叫基本解。
若对基变量加以限制，则得到带有非负约束的方程组
15 x3 x 24 6 x1 4 5 x1 x5 x1 0, x2 0
仍留作非基变量，故仍有 x2 0
（2）式变为
0 x3 15 x4 24 6 x1 0 x 5 x 0 1 5
24 x1 6
x1 5
24 再让 x1 从零增加，能取得的最大值为 x1 min{ ,5} 达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基 {x1 , x3 , x5 }。
5 x2 6x 1 2 x2 x2 x1 xi 0
x3 x4 x5 i 1, ,5
15 24 5
（2）
可行基 {x1 , x3 , x5 } 留在左边，非基变量 x2 ,
从而
5 x2 0 2 x2 0 x2 0
x1 , x2
解域为
Q4
3
5
x2
Q3
24 6 x1 2 x2 0 15 5x2 0
Q2
注意：此时的 x1 , x2 已经不是任意实数，不 是自由未知变量了。
5 x1 x2 0
0
Q1
4
x1
5
例 求解下列(LP)模型(图解法)