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[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计61几何概型试题理

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[推荐学习]2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计59随机事件的概率试题理

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考点测试59 随机事件的概率一、基础小题1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )①恰好有1件次品和恰好有两件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少1件次品和全是正品．A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④ 答案 D解析 根据互斥事件概念可知选D. 2．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件A 发生的概率； ③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③答案 B解析 由概率的相关定义知①④⑤正确．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.3 答案 C解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A 是对立事件，由于P (A )＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.选C.4．甲、乙两位同学在国际象棋比赛中，和棋的概率为12，乙同学获胜的概率为13，则甲同学不输的概率是( )A.12B.13C.16D.23 答案 D解析 本题考查随机事件的概率和互斥事件、对立事件的概率的计算．因为乙获胜的概率为13，所以甲不输的概率为1－13＝23.5．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( ) A. 甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案 B解析 互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16B.15C.13D.25 答案 C解析 由题意可知在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.7．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．答案726解析 52张中抽一张的基本事件为52种，事件A 为1种，事件B 为13种，并且A 与B 互斥，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝726.8．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为________．答案 0.32解析 摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32. 二、高考小题9．[2014·全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78 答案 D解析 解法一：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有24＝16(种)结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，C 14A 22＝8(种)；②每天二人，有C 24＝6(种)，所以P ＝8＋616＝78，故选D.解法二(间接法)：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P ＝1－216＝78.故选D. 10．[2014·陕西高考]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45 答案 C解析 根据题意知，2个点的距离小于正方形边长的有4对，故所求概率P ＝1－4C 25＝35，故选C.11．[2015·江苏高考]袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案 56解析 记两只黄球为黄A 与黄B ，从而所有的摸球结果为：(白、红)，(红、黄A )，(红、黄B )，(白、黄A )，(白、黄B )，(黄A 、黄B )，共6种情况，其中颜色不同的有5种情况，则所求概率P ＝56.12．[2014·广东高考]从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．答案 16解析 从10个数字中任取7个数，共有C 710＝120(种)不同取法，其中中位数是6的取法有C 36·C 33＝20(种)，故满足条件的概率为P ＝20120＝16.13．[2014·江苏高考]从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．答案 13解析 从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}共6种取法，其中乘积为6的有{1,6}和{2,3}共2种取法，因此所求概率为P ＝26＝13.三、模拟小题14．[2017·山西四校联考]从1、2、3、4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两个数之和为偶数的概率是( )A.16B.13C.12D.15 答案 B解析 由题意知所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，和为偶数的基本事件有(1,3)，(2,4)，共2个，故所求概率为26＝13.15．[2016·云南统考]在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A.956B.928C.914D.59 答案 B解析 分析可知：要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.16．[2017·郑州模拟]有3个相识的人某天各自乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一车厢内相遇的概率为( )A.29200 B.725 C.29144 D.718答案 B解析 解法一：设事件A 是“至少有2人在同一车厢内相遇”，A 1是“恰有2人在同一车厢内相遇”，A 2是“3人在同一车厢内相遇”，则A ＝A 1＋A 2且A 1、A 2彼此互斥，∵P (A 1)＝C 23C 110C 19103＝27100，P (A 2)＝10103＝1100， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝28100＝725.解法二：设事件A 是“至少有2人在同一车厢内相遇”，则事件A 的对立事件A －为“3人分别在3节不同的车厢”，则P (A －)＝A 310103＝1825，∴P (A )＝1－P (A －)＝1－1825＝725.17．[2016·石家庄质检]甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0.48B ．0.52C ．0.8D ．0.92 答案 D解析 由题意可得，甲、乙二人都不能解决这个问题的概率是0.2×0.4＝0.08，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是1－0.08＝0.92，故选D.18．[2017·云南昆明质检]中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案1928解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1) (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的0．85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a .2．[2016·北京高考]A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)解 (1)由题意知抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为100×820＝40. (2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1<μ0. 二、模拟大题3．[2016·南昌模拟]某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下表：根据上表统计结果得到甲、乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率，用频率去估计他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．(1)计算甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率；(2)若甲一天能生产20件产品A ，乙一天能生产15件产品A ，估计甲、乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数．解 (1)甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率P ＝1－110＝910.(2)估计甲一天生产的20件产品A 中有20×110＝2(件)三等品，估计乙一天生产的15件产品A 中有15×15＋5100＝3(件)三等品，所以估计甲、乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品．4．[2017·河南洛阳模拟]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ， 所以P (G )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ， 所以P (H )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ， 所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.5．[2016·郑州模拟]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120，故事件A ，B ，C 发生的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，由对立事件概率公式得P (N )＝1－P (A ∪B )．即P (N )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.6．[2016·山西怀仁月考]甲、乙、丙三人参加了去国外进修的考试，考试合格者可正式签约去进修，甲表示只要考试合格就去，乙、丙则约定：两人考试都合格就一同去，否则两人都不去．设每人通过考试的概率都是12，且考试是否通过互不影响．(1)求三人中至少有一人通过考试的概率； (2)求三人中没有人去国外进修的概率．解 (1)用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙通过考试． 由题意知A 、B 、C 相互独立且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.又事件“三人中至少有一人通过考试”的对立事件为“没有人通过考试”，所以三人中至少有一人通过考试的概率为1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.(2)由题意知三人中没有人去国外进修表示甲没有通过考试且乙、丙中至少有一人没有通过考试，所以三人中没有人去国外进修的概率为P (A －B C －)＋P (A －B －C )＋P (A －B －C －)＝P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＋P (A －)P (B －)P (C －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38.。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 57 Word版含答案

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 57 Word版含答案

考点测试排列与组合一、基础小题．将名司机和名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有名司机和名售票员，则可能的分配方案种数是( )．．．．答案解析(分组分配法)将名售票员平均分为组，分配到辆车上，有种，再分配司机有种，故共有方案数种．．将名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有( )．种．种．种．种答案解析由每班至少名，最多名，知分配名额为，∴分配方案有··＝(种)．故选.．将标号为的张卡片放入个不同的信封中．若每个信封放张，其中标号为的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )．种．种．种．种答案解析先放、的卡片有种，再将、、、的卡片平均分成两组再放置，有·种，故共有·＝(种)．．将字母，，，，，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．种．种．种．种答案解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有种排法．因此共有··＝(种)不同的排列方法．．位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得－分；选乙题答对得分，答错得－分．若位同学的总分为，则这位同学不同得分情况的种数是( )．．．．答案解析分四类：第一类，人全选乙题则有种；第二类，人选甲题人选乙题，则有·种；第三类，人选甲题人选乙题，则有··种；第四类，人选甲题，则有种，则这位同学不同得分情况种数为＋·＋··＋＝，故选.．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( )答案解析由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件，则事件包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有种；当甲值周三时，有种；当甲值周四时，有种，当甲值周五时，有种．所以事件包含的基本事件数()＝＋＋＋＝，所以事件发生的概率为()＝＝，故选.．高三()班需要安排毕业晚会的个音乐节目、个舞蹈节目和个曲艺节目的演出顺序，要求个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )．．．．答案解析两个舞蹈节目不连排，可先安排个音乐节目和个曲艺节目有种排法，再将个舞蹈节目插到个空中的个中去，由分步计数原理，有·＝(种)，故选.．一个口袋内装有个不同的红球，个不同的白球，若取出一个红球记分，取出一个白球记分，从口袋中取个球，则总分不小于分的取法有( )．种．种．种．种答案解析设取个红球，个白球，于是(\\(＋≥，＋＝，))其中(\\(≤≤，∈，≤≤，∈，))于是(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝))或。

[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第八章概率与统计56和答案

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考点测试56 变量间的相关关系与统计案例一、基础小题1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－2x ＋100 B.y ^＝2x ＋100 C.y ^＝－2x －100 D.y ^＝2x －100答案 A解析 B 、D 为正相关，C 中y ^值恒为负，不符合题意． 2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元答案 B解析 ∵a ^＝y －b ^x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点中心(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．4．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 D解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，代入相关系数公式r ＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2＝1.5.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．直线l 过点(x ，y )B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同答案 A解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误；D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误；根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确．6．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：) A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关答案 D解析由于K2＝30× 6×9－7×8 213×17×14×16≈0.0024，由于K2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.7.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．答案D解析由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：根据表中所给的数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有差别？_______________________________________________________ .答案 1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论解析根据列联表中的数据，可以求得K 2＝392× 39×167－29×157268×324×196×196≈1.78，而K 2<2.072，所以我们不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．二、高考小题9．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D解析 由柱形图，知2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势，故其排放量与年份负相关，故D 错误．10．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元答案 B解析 ∵x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝y －0.76x ＝8－0.76×10＝0.4， ∴y ^＝0.76x ＋0.4.当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8.11．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A．成绩C．智商D．阅读量答案 D解析根据K2＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d，代入题中数据计算得表1：K2＝52× 6×22－10×14 216×36×20×32≈0.009；表2：K 2＝52× 4×20－12×16216×36×20×32≈1.769；表3：K 2＝52× 8×24－8×12216×36×20×32≈1.3；表4：K 2＝52× 14×30－6×2 216×36×20×32≈23.48.∵D 选项K 2最大，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D. 12．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0答案 B解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知b <0，a >0.故选B.13．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4答案 A解析 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A.三、模拟小题14．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋132，则b ^的值为( )A ．－12B.12 C ．－110D.110答案 A解析 将x ＝3，y ＝5代入到y ^＝b ^x ＋132中，得b ^＝－12.故选A.15．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12答案 B解析 依题意可知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ，解得a ^＝18. 16．下列说法错误的是( )A ．在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好答案 B解析 对于A ，在回归模型中，预报变量y 的值由解释变量x 和随机误差e 共同确定，即x 只能解释部分y 的变化，∴A 正确；对于B ，线性回归分析中，相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴B 错误；对于C ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C 正确；对于D ，在回归分析中，用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2取值越大，说明模型拟合的效果越好，∴R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，D 正确．故选B.17．为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H 0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K 2≈3.918.经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.其中所有正确结论的序号是________． 答案 ①解析 根据查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，计算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.已知家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则变量x 与y ________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．答案 正相关 1.7解析 由题意，知n ＝10，x ＝110∑i ＝110x i ＝8，y ＝110∑i ＝110y i ＝2，∴b^＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a ^＝2－0.3×8＝－0.4，∴y ^＝0.3x －0.4，∵0.3>0，∴变量x 与y 正相关．当x ＝7时，y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．一、高考大题1．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17,∑7i ＝1y i －y 2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 t i －t y i －y∑ni ＝1t i －t 2∑ni ＝1y i －y 2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1t i －t y i －y ∑ni ＝1t i －t 2，a ^＝y －b ^ t . 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28,∑7i ＝1y i －y 2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i＝40.17－4×9.32＝2.89， r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99. 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1t i －t y i －y ∑7i ＝1t i －t 2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨． 2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1u i －u v i －v ∑n i ＝1u i －u 2，α^＝v －β^ u . 解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1 w i －w y i －y ∑8i ＝1w i －w 2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)，知当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果，知年利润z 的预报值z ^＝0.2×(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12，所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 二、模拟大题3．班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系．参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d，其中n ＝a＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)(2)K 2＝12×10×13×9≈6.418，∵3.841<6.418，∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关． 4．为使政府部门与群众的沟通日常化，某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年，该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政.2016年初，社区随机抽取了60名居民，对居民上网参政议政意愿进行调查．已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布表如下：附：χ2＝11221221n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，(1)居民”，请你根据频数分布表，完成2×2列联表，据此调查是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”；(2)6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．解(1)由题意，知积极上网参政的有8＋14＋10＋6＝38人，不积极上网参政的有8＋14＝22人，2×2列联表为：∴χ2＝40×20×38×22≈7.03，∵7.03>6.635，∴有99%的把握认为“上网参政议政与性别有关”．(2)选取男居民人数为6×4060＝4人，选取女居民人数为6×2060＝2人，记4个男居民分别为A、B、C、D,2个女居民分别为甲、乙，则基本事件有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，甲)，(A，B，乙)，(A，C，D)，(A，C，甲)，(A，C，乙)，(A，D，甲)，(A，D，乙)，(A，甲，乙)，(B，C，D)，(B，C，甲)，(B，C，乙)，(B，D，甲)，(B，D，乙)，(B，甲，乙)，(C，D，甲)，(C，D，乙)，(C，甲，乙)，(D，甲，乙)，共20种．满足条件的基本事件有12种，∴所求概率为P ＝1220＝35.5．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －x y i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^·x .解 (1)由条件可知，x ＝15∑i ＝15x i ＝5405＝108，y ＝15∑i ＝15y i ＝4205＝84，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，∑i ＝15(x i －x )2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，b ^＝∑i ＝15x i －x y i －y∑i ＝15x i －x2＝144200＝0.72， a ^＝y －b ^x ＝84－0.72×108＝6.24， 故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.72x ＋6.24. (2)当x ＝200时，y ^＝0.72×200＋6.24＝150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米． 6．某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：与销量的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从(1)中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元？(保留整数)附：b ^＝∑i ＝1nx i －x y i －y ∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b^x .解 (1)A ，B ，C 三家连锁店平均售价和销量分别为(83,83)，(85,80)，(87,74)，∴x ＝85，y ＝79，∴b ^＝错误!＝－2.25，∴a ^＝y －b ^x ＝270.25，∴y ^＝－2.25x ＋270.25. (2)设该款夏装的单价应定为x 元，利润为f (x )元， 则f (x )＝(x －40)(－2.25x ＋270.25) ＝－2.25x 2＋360.25x －10810，∴当x ≈80时，f (x )取得最大值．故该款夏装的单价应定为80元．。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计66Word版含答案

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计66Word版含答案

考点测试66 用样本估计总体一、基础小题1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所取的200A．40 B．20 C．30 D．60答案 B解析由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.2．对于一组数据x i(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为x i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化答案 B解析由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案 C解析由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.75答案 C解析产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，选C.5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．答案 甲解析 根据众数及中位数的概念易得x ＝5，y ＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案 乙解析 甲的平均数x 1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x 2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x 1＝x 2；甲的方差s 21＝110＝4，乙的方差s 22＝110＝1.2，所以s 21>s 22，即参加比赛的最佳人选为乙． 二、高考小题7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140 答案 D解析 由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.8．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23 答案 B解析 由茎叶图，可知这组数据的中位数为20＋202＝20.9．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32 答案 C解析 设数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为x ，标准差为s ，则2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的平均数为2x －1，方差为x 1－－x －2＋x 2－－x －2＋…＋x 10－－x －210＝x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x 10－x210＝4s 2，因此标准差为2s ＝2×8＝16.故选C.10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18 答案 C解析 由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有200.40＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.11．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a答案 A解析 ∵x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝1，方差s 21＝4，且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的均值y ＝110(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110＝110＝s 21＝4.故选A.12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．答案 4解析 由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间上的共有4组，故成绩在区间上的运动员人数是4.三、模拟小题13． 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．16 答案 C解析 由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为14＋162＝15，故选C.14．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有( )A．①②③ B．①③ C．②③ D．①答案 B解析由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则( )A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x答案 D解析显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数5＋62＝5.5(分)，众数为5，平均数x＝＋8＋9＋＋＋＋10×5＋6×630≈5.97(分)，所以m0<m e<x，故选D.16．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案50 1015解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.17．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．答案54解析前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.18．某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．答案67.5解析平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.一、高考大题1．某工厂36名工人的年龄数据如下表：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，方差s 2＝19＝19＝1009.(3)由(2)知s ＝103，所以x －s ＝3623，x ＋s ＝4313.因为年龄在x －s 与x ＋s 之间共有23人， 所以其所占的百分比是2336≈63.89%.2．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．解 (1)由频率分布直方图，知月均用水量在 中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1.解得a ＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以 2.5≤x <3.由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 二、模拟大题3．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的平均值为x 乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值范围． 解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2甲＝÷5＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 乙＝100＋120＋x ＋y ＋1605＝120(g/km)，得x ＋y ＝220，故y ＝220－x ，所以乙类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2乙＝÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s 2乙<s 2甲，解得90<x <130.4．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．解(1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.X的分布列为：E(X)＝136×10＋147×10＋154×5＋189×10＋203×10＝10＝165.5(元)．(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．5．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克． 50个样本小球重量的平均值为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为0.2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. ∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝35⎝⎛⎭⎪⎫或E X＝3×15＝35.6．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，试比较s21与s22的大小；(只需写出结论)(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．解(1)根据频率分布直方图的性质，得(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.根据频率分布直方图，估计s21>s22.(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P (A )＝0.20＋0.10＝0.3，P (B )＝0.10＋0.20＝0.3. 所以P (C )＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝0.42. (3)由题意，可知X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03×0.30×0.73＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.31×0.72＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×0.71＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33×0.70＝0.027.所以X 的分布列为：所以X 0.9.。

2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计58和答案

2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计58和答案

考点测试58 二项式定理一、基础小题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 4的展开式中的常数项为( )A ．－24B ．－6C ．6D ．24 答案 D解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r4(2x )4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 424－r(－1)r ·x 4－2r ， 令4－2r ＝0，即r ＝2，故常数项为C 2422(－1)2＝24.2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 答案 C解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式的第5项为T 5＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4，故n －42－4＝0，即n ＝12. 3．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－10 答案 D解析 x 3＋x 10＝x 3＋10，题中a 9只是10的展开式中(x ＋1)9的系数，故a 9＝C 110(－1)1＝－10.4．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 C解析 (1＋2x )3的展开式中常数项是1，含x 的项是C 23(2x )2＝12x ；(1－3x )5的展开式中常数项是1，含x 的项是C 35(－3x )3＝－10x ，故(1＋23x )3(1－3x )5的展开式中含x 项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.5.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20 答案 C解析 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.6．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n ＝10，T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ·(x )10－r ＝C r 102rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r ＝2，故常数项是C 21022＝180.7．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( ) A ．32,80 B ．32,40 C ．16,20 D ．16,10 答案 A解析 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝5，故展开式中(x －1)的系数为a 1＝C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x n (n ∈N *)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A.45256B.47256C.49256D.51256 答案 A解析 由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝56，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8，∴常数项为C 810×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，故选A. 9.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________．答案 －20解析 展开式中，各项系数的和为4n ，二项式系数的和为2n ，由题知2n ＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20.10．1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C nn ＝________.答案 4n解析 在二项展开式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n 中，令x ＝3，得(1＋3)n ＝C 0n ＋C 1n 3＋C 2n 32＋…＋C n n 3n ，即1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C n n ＝4n.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案 －160解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝ 2x －1 6x 3，又∵(2x －1)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ，令6－r ＝3，得r ＝3. ∴T 3＋1＝－C 36(2x )3＝－20×23·x 3＝－160x 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为－160.12．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为________． 答案 －210解析 (x 2－x ＋1)10＝10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.二、高考小题13．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由于(x 2＋x ＋y )5＝5，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r(r ＝0,1,2，…，5)，因此只有当r ＝2，即T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2中才能含有x 5y 2项．设(x 2＋x )3的展开式的通项为S i ＋1＝C i 3(x 2)3－i ·x i ＝C i 3x6－i (i ＝0,1,2,3)，令6－i ＝5，得i ＝1，则(x 2＋x )3的展开式中x 5项的系数是C 13＝3，故(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数是C 25·3＝10×3＝30.14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－1)r C r 5a r·x 52－r (r＝0,1,2，…，5)．令52－r ＝32，得r ＝1，所以展开式中含x32项的系数为(－1)C 15·a ，于是－5a ＝30，解得a ＝－6.15．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故选C.16．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字填写答案)． 答案 10解析 T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r C r 5·x5－r 2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.17．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2解析 T r ＋1＝a 5－r C r 5x10－52r，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.18．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.答案 3解析 解法一：∵(1＋x )4＝x 4＋C 34x 3＋C 24x 2＋C 14x ＋C 04x 0＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1，∴(a ＋x )(1＋x )4的奇数次幂项的系数为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，∴a ＝3. 解法二：设(a ＋x )(1＋x )4＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋b 4x 4＋b 5x 5. 令x ＝1，得16(a ＋1)＝b 0＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5，① 令x ＝－1，得0＝b 0－b 1＋b 2－b 3＋b 4－b 5，② 由①－②，得16(a ＋1)＝2(b 1＋b 3＋b 5)， 即8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 三、模拟小题19．(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( ) A ．－100 B ．－15 C ．35 D ．220 答案 A解析 由二项式定理可得(x －2)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x 6－r，∴x 3的系数为C 36(－2)3＝－160，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，∴(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为－160＋60＝－100.20．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.答案 B 解析22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________________________________________________________________________．答案 56解析 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8x 8－2k，令8－2k ＝－2，解得k ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56.23．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20 答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.24．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.25．从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是( )A ．(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)B ．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)C ．(1＋x)(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋11x 11)D ．(1＋x)(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 11) 答案 A解析 x 9是由x ，x 2，x 3，x 4，x 5，…，x 11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x 9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)的展开式中x 9的系数，选A .26．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120 答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋x ＋1x 201510＝(1＋x)10＋C 110(1＋x)91x 2015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201510，所以x 2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C .27．(x ＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5 答案 C解析 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！ 7－r ！·2r ≥7！r－1 ！ 7－r ＋1 ！·2r －1，7！r ！ 7－r ！·2r≥7！r＋1 ！ 7－r －1 ！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤163，r≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.28．若⎝⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 的一次项的系数为________．答案 －15解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n xn －3r2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C nn |＝1024，所以(1＋3)n ＝1024，解得n ＝5，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15.29．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．答案 －160解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.30．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．答案 32解析 对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2r x n －r 2－r3 ，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))

2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。

2018届高考数学第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例试题理

2018届高考数学第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例试题理

考点测试67 变量间的相关关系与统计案例一、基础小题1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－2x ＋100 B.y ^＝2x ＋100 C.y ^＝－2x －100 D.y ^＝2x －100答案 A解析 B 、D 为正相关，C 中y ^值恒为负，不符合题意． 2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B解析 ∵a ^＝y －b ^x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点中心(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．4．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1答案 D解析 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^i ，代入相关系数公式r ＝1－∑i ＝1ny i －y ^i2∑i ＝1ny i －y2＝1.5. 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．直线l 过点(x ，y )B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同答案 A解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以B、C错误；D中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以D错误；根据线性回归直线一定经过样本点中心可知A正确．6．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：A．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关答案 D解析由于K2＝－213×17×14×16≈0.0024，由于K2很小，因此，在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.7. 如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．答案D解析由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D.8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：根据表中所给的数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有差别？________________________________________________________________________.答案 1.779 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论解析根据列联表中的数据，可以求得K2＝－268×324×196×196≈1.779，而K2<2.072，所以我们不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．二、高考小题9．[2015·全国卷Ⅱ]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析由柱形图，知2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势，故其排放量与年份负相关，故D错误．10．[2015·福建高考]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A．11.4万元 B．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 答案 B 解析 ∵x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝y －0.76x ＝8－0.76×10＝0.4， ∴y ^＝0.76x ＋0.4.当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8.11．[2014·江西高考]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 答案 D 解析 根据K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，代入题中数据计算得表1：K 2＝－216×36×20×32≈0.009；表2：K 2＝－216×36×20×32≈1.769； 表3：K 2＝－216×36×20×32≈1.3；表4：K 2＝－216×36×20×32≈23.48.∵D 选项K 2最大，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选D. 12．[2014·湖北高考]根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0答案 B解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知b <0，a >0.故选B.13．[2014·重庆高考]已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4答案 A解析 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A.三、模拟小题14．[2017·大连双基测试]已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝b ^x ＋2，则b ^的值为( )A ．－12 B.12 C ．－110 D.110答案 A解析 将x ＝3，y ＝5代入到y ^＝b ^x ＋132中，得b ^＝－12.故选A.15．[2016·兰州、张掖联考]对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ，解得a ^＝18.16．[2016·漳州二模]下列说法错误的是( )A ．在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好 答案 B解析 对于A ，在回归模型中，预报变量y 的值由解释变量x 和随机误差e 共同确定，即x 只能解释部分y 的变化，∴A 正确；对于B ，线性回归分析中，相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴B 错误；对于C ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C 正确；对于D ，在回归分析中，用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2取值越大，说明模型拟合的效果越好，∴R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，D 正确．故选B.17．[2017·温州月考]为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H 0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K 2≈3.918.经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为95%；④这套眼保健操预防近视的有效率为5%.其中所有正确结论的序号是________． 答案 ①解析 根据查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．18．[2016·兰州一模]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，计算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.已知家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则变量x 与y ________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．答案 正相关 1.7解析 由题意，知n ＝10，x ＝110∑i ＝110x i ＝8，y ＝110∑i ＝110y i ＝2，∴b ^＝184－10×8×2720－10×82＝0.3，a ^＝2－0.3×8＝－0.4，∴y ^＝0.3x －0.4，∵0.3>0，∴变量x 与y 正相关．当x ＝7时，y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．一、高考大题1．[2016·全国卷Ⅲ]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17, ∑7i ＝1y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 t i －ty i －y∑n i ＝1t i －t2∑ni ＝1y i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1t i －ty i －y∑ni ＝1t i －t2，a ^＝y －b ^t .解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28, ∑7i ＝1y i －y 2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．2．[2015·全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑8i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑n i ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1w i －w y i －y ∑8i ＝1 w i －w 2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)，知当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果，知年利润z 的预报值 z ^＝0.2×(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12，所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值，故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 二、模拟大题3．[2016·石家庄模拟]班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有10人认为作业多，2人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有3人认为作业多，7人认为作业不多．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系． 参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解(2)K 2＝－212×10×13×9≈6.418，∵3.841<6.418，∴有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关．4．[2016·广东模拟]2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． 参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d参考数据：解 (1)由已知得70后“生二胎”的概率为3，并且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k(k ＝0,1,2,3)，其分布列如下：所以E (X )＝3×3＝2.(2)K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030>2.706， 所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．5．[2017·成都诊断]PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：(2)若周六同一时段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b ^·x .解 (1)由条件可知x ＝15∑i ＝15x i ＝5405＝108，y ＝15∑i ＝15y i ＝4205＝84，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，∑i ＝15(x i －x )2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，b ^＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝144200＝0.72， a ^＝y －b ^x ＝84－0.72×108＝6.24，故y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.72x ＋6.24. (2)当x ＝200时，y ^＝0.72×200＋6.24＝150.24.所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．6．[2017·厦门质检]某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； (3)已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.2万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中系数计算公式b ^＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ^＝y －b^x ，其中x ，y 表示样本均值．解 (1)平均值为10万元，中位数为6万元．(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，所以从该单位中任取2人，此2人中年薪高于5万的人数记为ξ，ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 24C 210＝215，P (ξ＝1)＝C 14C 16C 210＝815，P (ξ＝2)＝C 26C 210＝13，所以ξ的分布列为：E (ξ)＝0×15＋1×15＋2×3＝5.(3)设x i ，y i (i ＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则x ＝2.5，y ＝5，∑i ＝14(x i －x )2＝2.25＋0.25＋0.25＋ 2.25＝5，∑i ＝14(x i －x )(y i －y )＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，b ^＝∑i ＝14x i －xy i －y∑i ＝14x i －x2＝75＝1.4， a ^＝y －b ^x ＝5－1.4×2.5＝1.5，所以线性回归方程为y ^＝1.4x ＋1.5. 当x ＝5时，y ^＝8.5.故可预测该员工第五年的年薪为8.5万元．。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计64Word版含答案

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计64Word版含答案

考点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是( )A.809 B.559 C.509 D.103答案 C解析 由题意，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509.故选C. 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000,0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (ξ)＝200.4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E (5ξ＋1)＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析 ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝A 313A 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213A 33A 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113A 33A 315＝135.所以，ξ的分布列为：于是E (ξ)＝0×2235＋1×35＋2×35＝5，故E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝5×25＋1＝3.6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：答案 甲解析 设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X ，Y ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E (Y )＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E (X )>E (Y )，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．7．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ<30)＝0.2，则P (30<ξ<50)＝________.答案0.6解析根据正态分布曲线的对称性，可得P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：答案4760元解析由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．二、高考小题9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.)A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线，所以P(－1<X<1)＝0.6826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X<1)＝0.3413，即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P＝0.34131＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.10．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)答案 C解析由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；由图象知σ1<σ2且均为正数， ∴P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，由题中图象知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，故C 正确，D 错．11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 答案 A解析 取m ＝3，n ＝3，则p 1＝36×1＋36×12＝34＝912，p 2＝C 23C 26×1＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝15＋35×23＋15×13＝23＝812， ∴p 1>p 2. ξ1的分布列为：∴E (ξ1)＝1×2＋2×2＝2；ξ2的分布列为：∴E (ξ2)＝1×15＋2×5＋3×5＝2，∴E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.12．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则该组数据的方差s 2＝15＝0.1.13．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35. 故D (ξ )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.三、模拟小题14．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ 的数学期望E (ξ)为( )A.179 B.199 C ．2 D.73答案 A解析 由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝A 3333＝627，P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827，P (ξ＝3)＝C 1333＝327， ∴E (ξ)＝1×627＋2×1827＋3×327＝179，故答案为A.16．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×＝12×(1－95.44%)＝0.0228，∴用电量在320度以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23，故选B.17．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800 答案 A解析 P (X <90)＝P (X >110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1000×25＝400.故选A.18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝1，a 2＝a 4＝0，则A ＝10101)，其中二进制数A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83B.113C.89D.119 答案 B解析 解法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113. 解法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.一、高考大题1．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望E (X )＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝6. 2．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ， P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为：E (X )＝200×10＋300×10＋400×10＝350(元)．二、模拟大题3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．解 (1)设“甲恰得一个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝3(元)．4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)， 故μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544， 由正态分布的对称性，得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772.(2)设A 型车、B 型车的数量分别为x ，y ，则 相应的营运成本为1600x ＋2400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7及P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 过点P 时在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．5．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元. 在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解 (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)①随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为：所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125(元)． ②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件，依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫23413＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. 6．某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解 (1)设事件B 为“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”，则P (B )＝C 14C 12C 26＝815. (2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件．当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x 100＋150×6×70－x 100＝780－2x ， 由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为，x ∈N *.。

【配套K12】2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试理

【配套K12】2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试理

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2016·长春模拟]从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选，而丙没入选的不同选法种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28 答案 C解析 (间接法)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C 39＝84(种)，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C 37＝35(种)，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.2．[2016·山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12 答案 A解析 满足条件的向量m 共有4×3＝12(个)．由m ⊥n 得a ＝b ，所以满足m ⊥n 的m 只有(3,3)与(5,5)两个，所求概率为P ＝212＝16.3．设随机变量X ～N (0,1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 答案 D解析 P (－1<X <0)＝1－2P X 2＝12－p ，选D. 4．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.6答案 D解析 每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．5．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160 答案 B解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P (A BC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35，故选B 。

教育最新K122018年高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试文

教育最新K122018年高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试文

单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对答案 C解析由互斥事件和对立事件的概念可判断结果．2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )A．①随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样答案 B解析∵社会购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入的差别明显，∴①适宜采用分层抽样；而从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况时，个体之间差别不大，且总体数量和样本容量都较小，∴②适宜采用随机抽样．3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53答案 A解析由中位数、众数、极差的定义可知选项A正确．4．[2016·山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12答案 A解析 满足条件的向量m 共有4×3＝12(个)．由m ⊥n 得a ＝b .所以满足m ⊥n 的m 只有(3,3)与(5,5)两个，所以所求概率为P ＝212＝16.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.6 答案 D解析 每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．6．[2016·大连双基测试]从数字1,2,3,4,5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )A.15B.25 C.35 D.45答案 C解析 基本事件有：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共20个，记“这个两位数大于30”为事件A ，有：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共12个，则P (A )＝1220＝35.7．[2016·湖北七市联考]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系太弱，无研究价值 答案 B解析 依题意，注意到题中的相关的点均集中在某条直线的附近，且该直线的斜率小于1，结合各选项，故选B.8．[2016·东北三省四市一模]在中秋节前，小雨的妈妈买来5种水果，4种肉类做月饼．要求每种馅只能用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅，则小雨妈妈做出水果馅月饼的概率是( )A.13B.58C.23D.79答案 B解析 设5种水果分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,4种肉类分别为B 1，B 2，B 3，B 4，用2种食材，且水果和肉类不能混合在一起做馅的所有可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 4，A 5)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共16种，用水果做馅的共10种，所以做出水果馅月饼的概率是58.9．[2016·天津渤海一中质检]有一个食品商店为了调查气温对热饮销售的影响，经过调查得到关于卖出的热饮杯数与当天气温的数据如下表，绘出散点图如下．通过计算，可以得到对应的回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，根据以上信息，判断下列结论中正确的是( )A ．气温与热饮的销售杯数之间成正相关B ．当天气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮C ．当天气温为10 ℃时，这天恰卖出124杯热饮D ．由于x ＝0时，y ^的值与调查数据不符，故气温与卖出热饮杯数不存在线性相关性 答案 B解析 当x ＝2时，y ^＝－2×2.352＋147.767＝143.063，即这天大约可以卖出143杯热饮，故B 正确．10．下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减小5个单位，故②不正确；线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义，在线性回归分析中，相关系数为r ，|r |越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对分类变量x 与y 的随机变量的观测值K 2来说，K 2越大，“x 与y 有关系”的可信程度越大，故⑤正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.11．[2017·石家庄模拟]在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C解析 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.12．从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(被测学生的身高全部在155 cm 到195 cm 之间)，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，绘制成的频率分布直方图如图所示．若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名，记他们的身高分别为x ，y ，则|x －y |≤5的概率为()A.715 B.14 C.58 D.1116答案 A解析 由频率分布直方图，可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50＝4，分别记为a ，b ，c ，d ，身高在[190,195]的人数为0.008×5×50＝2，分别记为A ，B ，若x ，y ∈[180,185)，则有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共6种情况，若x ，y ∈[190,195]，则有AB ，共1种情况，若x ∈[180,185)，y ∈[190,195]或x ∈[190,195]，y ∈[180,185)，则有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，共8种情况，所以基本事件的总数为6＋1＋8＝15，而事件“|x －y |≤5”所包含的基本事件数为6＋1＝7，故P (|x －y |≤5)＝715. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是________．答案 13解析 3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.14．为了实现素质教育，某校开展“新课改”动员大会，参会的有100名教师，1500名学生，1000名家长，为了解大家对推行“新课改”的认可程度，现采用恰当的方法抽样调查，抽取了n 个样本，其中教师与家长共抽取了22名，则n ＝________.答案 52解析 根据题意可知采用分层抽样的方法最为合适，参会人数为100＋1500＋1000＝2600，设抽取教师x 名、家长y 名，则x ＋y ＝22，又x100＝y 1000＝n 2600，x ＋y 1100＝n2600，故n ＝52.15．某社会实践调查小组，在对高中学生“能否良好使用手机”的调查中，随机发放了120份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：最精确的p 的值应为________．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ，答案 解析 根据题意K 2≈3.03，又2.706<3.03<3.841，所以能够在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“能否良好使用手机与性别有关”，即最精确的p 的值为0.1.16．[2017·海淀模拟]现有7名数理化成绩优秀者，分别用A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，C 1，C 2表示，其中A 1，A 2，A 3的数学成绩优秀，B 1，B 2的物理成绩优秀，C 1，C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A 1和B 1不全被选中的概率为________．答案 56解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2), (A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ，则其对立事件N 表示“A 1和B 1全被选中”，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，所以P (N )＝212＝16，由对立事件的概率计算公式，得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．[2017·云南统测](本小题满分10分)某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)的数据如下表：(1)若从这5 (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计今年6月份该种产品的产量．参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解 (1)设事件A 为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(m ，n )(其中m ，n 表示月份)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，∴P (A )＝410＝25.(2)x ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15×(4＋4＋5＋6＋6)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×4＋2×4＋3×5＋4×6＋5×6＝81，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝81－5×3×555－5×9＝0.6，a ^＝y －b ^x ＝5－0.6×3＝3.2，∴y ^＝0.6x ＋3.2. 当x ＝6时，y ＝6.8.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件．18．[2017·安徽联考](本小题满分12分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题．(1)求分数在[70,80)内的频率；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；(3)若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．解 (1)由题意，可得分数在[70,80)内的频率为 1－(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＝0.3. (2)因为分数在[40,70)内的频率为 (0.010＋0.015×2)×10＝0.4，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x ，则 0．4＋(x －70)×0.310＝0.5，解得x ＝2203.(3)第1组中有学生60×0.1＝6人(设为1,2,3,4,5,6)，第6组中有学生60×0.05＝3人(设为A ，B ，C )．从两组学生中随机抽取2人，共有36个基本事件，满足条件的基本事件有18个，所以所求的概率为12.19．[2017·长春质检](本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为34，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝150×50×120×80≈11.111>10.828，所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为商品好评与服务好评有关． (2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次．假设好评的交易分别表示为A ，B ，C ，不满意的交易分别表示为a ，b ，从5次交易中，取出2次的所有取法(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种情况，其中只有一次好评的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，共6种，所以只有一次好评的概率为610＝35.20．[2016·衡中调研](本小题满分12分)某游戏网站为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．(1)求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；(2)若已从年龄在[35,45)，[45,55)的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这2人在不同年龄组的概率．解(1)各组年龄的人数分别为10,30,40,20.估计所有玩家的平均年龄为0.1×20＋0.3×30＋0.4×40＋0.2×50＝37(岁)．(2)根据分层抽样的特点，可知抽取的6人中，年龄在[35,45)范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45,55)范围内的人数为2，记为m，n.从这6人中选出2人，抽取的结果共有15种，列举如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)．设“这2人在不同年龄组”为事件A，则事件A所包含的基本事件有8种，故P(A)＝815.所以这2人在不同年龄组的概率为8 15 .21．[2016·贵阳质检](本小题满分12分)下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．(1)不要求证明)(2)求此人到达当日空气质量优良的概率；(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．解(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．(2)设A i表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j，j＝1,2，…，13)．设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝613.(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A，即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150，小于300”，由题意可知P(A)＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝8 13 .22．[2016·黄冈质检](本小题满分12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度D i和声音能量I i(i＝1,2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中W i ＝lg I i ，W ＝110∑i ＝110W i(1)根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D ^＝a ^＋b ^lg I ； (2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染．城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋4I 2＝1010.已知点P 的声音能量等于声音能量I 1与I 2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P 是否受到噪声污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u2，α^＝v －β^u .解 (1)根据散点图，D ＝a ＋b lg I 适合作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程． 令W i ＝lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程，由于b ^＝∑i ＝110W i －WD i －D∑i ＝110W i －W2＝5.10.51＝10， ∴a ^＝D －b ^W ＝160.7，∴D 关于W 的线性回归方程是D ^＝10W ＋160.7，∴D 关于I 的线性回归方程是D ^＝10lg I ＋160.7. (2)点P 的声音能量I ＝I 1＋I 2，∵1I 1＋4I 2＝1010，∴I ＝I 1＋I 2＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2)＝10－10⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10，当且仅当I 2＝2I 1，即I 1＝3×10－10时等号成立． 根据(1)中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值D ^＝10lg (9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60，∴点P 会受到噪声污染的干扰．。

精编2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计60和答案

精编2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计60和答案

考点测试60 古典概型一、基础小题1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23答案 C解析甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为1 3 .2．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59答案 A解析一共有3×3＝9个基本事件，只有k＝－1，b＝1,2，直线才不经过第三象限．所以概率为2 9 .3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( ) A．360人B．240人C．144人D．120人答案 D解析设男教师有x人，则女教师有(x＋12)人，因为选中男教师的概率为9 20，所以xx＋x＋12＝920，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12答案 C解析基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为4＝2.5．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15答案 A解析已知2位女同学和2位男同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝36＝12.6．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A.13B.23C.14D.34答案 B解析 由题意知此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23. 7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．答案 29解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为627＝29. 8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________． 答案 712解析 ∵m 、n 均为不大于6的正整数，∴当点A (m ，n )位于直线y ＝x 上及其下方第一象限的部分时，满足 θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A (m ，n )的基本事件总数为36，故所求概率为2136＝712. 二、高考小题9．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 答案 B解析 从15个球中任取2个球，取法共有C 215种，其中恰有1个白球，1个红球的取法有C 110×C 15种，所以所求概率为P ＝C 110×C 15C 215＝1021，故选B. 10．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.112答案 B解析 掷两颗均匀的骰子，得到的点数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种结果，点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种情况，所以所求事件的概率P ＝436＝19，故选B. 11．10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析 从10件产品中任取4件有C 410种取法，取出的4件产品中恰有1件次品有C 37C 13种取法，则所求的概率P ＝C 37C 13C 410＝12. 12．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案 56解析 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，…(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个，其中点数之和不小于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6个，从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P ＝3036＝56. 三、模拟小题13．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的概率是( )A.3B.3C.2D.1 答案 B解析 依题意，要使3位女生中有且只有2位女生相邻，需先将2位女生“捆绑”，然后排2位男生，最后将“捆绑”的2位女生与剩下的一位女生去插空，共有(C 23A 22)·A 22·A 23种排法，所以所求概率 P ＝23A 2222·A 23A 55＝35，故选B. 14．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.115B.15C.14D.12答案 B解析 由题意分析可得甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种，∴所求概率P ＝4·A 33C 36·A 33＝15. 15．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为( )A.C 112·C 16·C 120C 322－C 310B.C 112·C 14＋C 112·C 26C 310C.C 11216·C 14＋C 26＋C 212·C 16C 322－C 310D.C 322－C 310－C 316C 322－C 310答案 C解析 任取3道，取到选择题共有m 1＝(C 322－C 310)种，任取3道取到选择题也取到解答题共有m 2＝C 112·(C 16·C 14＋C 26)＋C 212·C 16，易知所求概率P ＝m 2m 1，故选C.16．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35答案 B解析 将数列1,3,5,7,9…记为{a n }，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a 46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P ＝310. 17．甲、乙两位同学各拿出4本书，用作投骰子的奖品．两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积3分者获胜，将获得所有8本书，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这8本书分配合理的是( )A ．甲得6本，乙得2本B ．甲得5本，乙得3本C ．甲得4本，乙得4本D ．甲得7本，乙得1本答案 A解析 由题意知为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)，其中甲获胜有3种，而乙获胜只有1种，所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14，甲得到的书的本数为8×34＝6，乙得到的书的本数为8×14＝2.故选A. 18．某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A ，B 两场国际学术交流会的服务工作，这5名大学生中有2名被分配到A 场交流会，另外3名被分配到B 场交流会，如果分配方式是随机的，则甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为________．答案 25解析 将5名大学生随机分配到A ，B 两场交流会的所有可能事件有C 25＝10个，甲、乙两人被分配到同一场交流会的事件包含的基本事件的个数为1＋C 13＝4，故所求概率为410＝25.一、高考大题1．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解(1)由题意知(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种，设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9 .(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9 .2．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1)由已知，有P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3 .(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为：随机变量X的数学期望E(X)＝0×15＋1×15＋2×15＝1.二、模拟大题3．已知A，B，C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x，y，z)中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解(1)数组(x，y，z)的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)摸出的三个球号码的和可能为3,4,5,6，故记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai(i＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，∴P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18. 故所摸出的三个球号码之和为4或5的概率相等且最大．即猜4或5获奖的可能性最大．4．甲、乙两袋中各装有大小相同的9个小球，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左、右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左、右手各取一球，求两只手中所取球的颜色不同的概率；(2)若左、右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A 为“两手所取球的颜色不同”，则P (A )＝1－2×3＋3×3＋4×39×9＝23. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为C 22＋C 23＋C 24C 29＝518， 右手所取的两球颜色相同的概率为C 23＋C 23＋C 23C 29＝14， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1318×34＝1324， P (X ＝1)＝518×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－518×14＝718， P (X ＝2)＝518×14＝572， 所以X 的分布列为：故E (X )＝0×1324＋1×18＋2×72＝36.。

2018概率统计专题(理科)(2018高考真题)

2018概率统计专题(理科)(2018高考真题)

2018概率统计专题（理）1．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．1183.的展开式中的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．804．已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时，( )A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ⊄⊂C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则( ) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.37．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）C.D.8．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p，2p，3p，则（）A．12p p=B．13p p=C．23p p=D．123p p p=+9.在5(x的展开式中，2x的系数为.10.二项式的展开式的常数项是___________．11.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)12．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）13.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加，则恰好有2名女生的概率为_______14.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 60 Word版含答案

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 60 Word版含答案

考点测试古典概型一、基础小题．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )答案解析甲、乙、丙三名同学站成一排共有种站法，甲在中间共有种站法，故甲站在中间的概率为.．从集合＝{－}中随机选取一个数记为，从集合＝{－}中随机选取一个数记为，则直线＝＋不经过第三象限的概率为( )答案解析一共有×＝个基本事件，只有＝－，＝，直线才不经过第三象限．所以概率为.．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有( )．人．人．人．人答案解析设男教师有人，则女教师有(＋)人，因为选中男教师的概率为，所以＝，解得＝，所以男教师为人，女教师为人，故参加这次联欢会的教师共有人．．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黑球与个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )答案解析基本事件有(黑，黑)，(黑，黑)，(黑，黑)，(红，红)，(黑，红)，(黑，红)，(黑，红)，(黑，红)，(黑，红)，(黑，红)，共个，其中为同色球的有个，故所求概率为＝.．某天下课以后，教室里还剩下位男同学和位女同学．如果他们依次走出教室，则第位走出的是男同学的概率为( )答案解析已知位女同学和位男同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第位走出的是男同学的概率＝＝.．某城市有连接个小区、、、、、、、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为( )答案解析由题意知此人从小区前往小区的所有最短路径为：→→→→，→→→→，→→→→，→→→→，→→→→，→→→→，共条．记“此人经过市中心”为事件，则包含的基本事件为：→→→→，→→→→，→→→→，→→→→，共个，所以()＝＝，即他经过市中心的概率为.．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是．答案解析研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红。

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第八章 概

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第八章 概

考点测试62 离散型随机变量及其分布列一、基础小题1．已知离散型随机变量X 的分布列为：则k A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由分布列的性质知k ＝1.2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23答案 C解析 设失败率为p ，则成功率为2p . ∴X 的分布列为：则“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功， ∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，即P (X ＝0)＝13.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22答案 C解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22，故选C. 4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2) C．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 答案 C解析 X 服从超几何分布，故P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，k ＝4.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220 B.2755 C.27220 D.2155答案 C解析 用完后放回盒中，旧球为4个，说明取出来的三个球中有一个是新球，所以P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220，故选C.6．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316 B.14 C.116 D.516答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582答案 D解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582.8．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 答案 23解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.9．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1，甲抢到1题但答错了；X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错； X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对； X ＝2时，甲抢到2题均答对； X ＝3时，甲抢到3题均答对．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________ .答案 45解析 女生人数服从超几何分布． 设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝3， 则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.二、高考小题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 三、模拟小题11．若随机变量η的分布列为A ．x ≤2B ．1≤x ≤2C ．1<x ≤2D ．1<x <2答案 C解析 由随机变量η的分布列知：P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.12．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝an n ＋(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a20＝1， ∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56. 13．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.答案 45解析 解法一：由已知得ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为：∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝10＋5＋10＝5.解法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.一、高考大题1．某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为：2购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X 的分布列为：(2)由(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n ＝19时，E (Y )＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．当n ＝20时，E (Y )＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．可知当n ＝19时所需费用的期望值小于n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19. 二、模拟大题3．某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲，乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．E (ξ)＝2.乙的分布列：E (η(2)因为P (ξ≥2)＝0.8，P (η≥2)＝2027，期望相等，说明水平相当，至少完成两题的概率是甲大，所以甲通过的可能性较大，即可以认为甲的实验操作能力较强．4．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解 (1)由题意可知所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝n －nn －，则n －n n －≥12， 化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16，故n 的最大值为16. (2)由题意得X 的可能取值为0,1,2， 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为：5们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在随机将1,2，…，6，这6个连续正整数分成A，B两组，每组3个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2. 记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)求ξ的分布列；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)．解(1)ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C36＝20(种)，所以ξ的分布列为：(2)ξ和η又ξ和η恰好相等且等于2时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于3时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于4时，不同的分组方法有4种．所以P(C)＝820＝25.7．某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．(1)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；(2)若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列．解 (1)根据茎叶图可知甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×25＝4人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则 P (A )＝1－C 34C 38＝1314，故至少有一人来自甲部门的概率为1314.(2)由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.∴X 的分布列为：8．以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列．解 (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)，故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P (X ＝k )＝n k N，得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15，故所求Y 的分布列为：。

精编2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计56和答案

精编2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计56和答案

考点测试56 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、基础小题1．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过三次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )A．5种B．4种C．3种D．2种答案 D解析传递方式有：甲→乙→丙→甲，甲→丙→乙→甲．2．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A．18 B．14 C．16 D．10答案 B解析从M中取一个数作横坐标，从N中取一个数作纵坐标，可得2×2＋1×2＝6(个)；从N中取一个数作为横坐标，从M中取一个数作为纵坐标，可得2×2＋2×2＝8(个)，共有6＋8＝14(个)，选B.3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65 C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2答案 A 解析 6名同学中的每一名同学都可以从5个课外知识讲座中任选一种，由乘法原理可知不同的选法种数是56.故选A.4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!答案 C解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．5．如图所示的电路图中，从A 到B 不同的线路中可通电的条数有 ( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．10条答案 C解析 按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1条，下线路中有2×2＝4(条)，根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8(条)．6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6答案 B解析由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2＝12(种)；如果是第二种偶奇奇的情况，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1＝6(种)，因此总共12＋6＝18(种)情况，选B.7．某彩票公司每天开奖一次，从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有( )A．14种B．21种C．24种D．35种答案 B解析第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3＋3×2×2＝21(种)．8．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有( )A．48种B．72种C．96种D．108种答案 B解析如图所示，若点B与D处所染颜色相同，则不同的染色方法有4×3×2×2＝48(种)；若点B与D处所染颜色不相同，则不同的染色方法有4×3×2×1×1＝24(种)，由分类加法计数原理可知不同的染色方法有48＋24＝72(种)．9．一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．答案20解析先选男队员，有5种选法，再选女队员有4种选法，由分步乘法计数原理知共有5×4＝20(种)不同的选法．10．椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．答案20解析焦点在y轴上的椭圆满足m<n，因此将m分类计数，以m的值为标准分类，分为五类，第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有20个．11. 如图，在由若干个同样的小平行四边形组成的大平行四边形内有一个★，则含有★的平行四边形有________个．(用数字作答)答案 48解析 含有★的平行四边形的左上角顶点有4种可能，右下角顶点有12种可能，根据分步乘法原理一共有48个含有★的平行四边形．12．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．答案 240解析 共有4×5×4×3＝240(种)．二、高考小题13．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个答案 B解析 当首位数字为4，个位数字为0或2时，满足条件的五位数有C 12A 34个；当首位数字为5，个位数字为0或2或4时，满足条件的五位数有C 13A 34个．故满足条件的五位数共有C 12A 34＋C 13A 34＝(2＋3)A 34＝5×4×3×2＝120(个)．故选B.14．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．9答案 B解析分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18(条)可以选择的最短路径．故选B.15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．答案1和3解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.16．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案1560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，∴全班共写了40×39＝1560(条)毕业留言．17．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案60解析不同的获奖情况可分为以下两类：(1)有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有C 23A 24＝36(种)获奖情况；(2)有三个人各获得一张有奖奖券，有A 34＝24(种)获奖情况．故不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．三、模拟小题18．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( )A ．16种B ．18种C ．22种D ．37种答案 A解析 可分为两类，第一类：甲、乙两个盒子恰有一个被选中，有C 12C 24＝12(种)；第二类：甲、乙两个盒子都被选中，有C 22C 14＝4(种)，所以共有12＋4＝16(种)不同的情况，故选A.19．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分．已知甲球队已赛4场，积4分．在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( )A ．7种B ．13种C ．18种D ．19种答案 D解析 由题意，甲队积4分分三类情况：①2胜2负，有C 24C 22＝6(种)；②1胜2平1负，有C 14C 23＝12(种)；③0胜4平0负，有C 44＝1(种)，综上可知共有6＋12＋1＝19(种)情况．20．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A ，B 必须放入相邻的抽屉内，文件C ，D 也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )A ．192种B ．144种C ．288种D ．240种答案 D解析 可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A 22A 22A 35＝240种排法，所以选D.21．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种答案 A解析 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6,7,8任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.22．对甲、乙、丙、丁四人进行编号，甲不编“1”号、乙不编“2”号、丙不编“3”号、丁不编“4”号的不同编号方法有( )A ．8种B ．9种C ．10种D ．11种答案 B解析 依题意符合要求的编号方法为“1”号是乙、丙、丁三人中的某一个，(1)当乙的编号为“1”时，其他人的编号如下：显然，此时有3(2)当丙的编号为“1”时，其他人的编号如下：显然，此时有3(3)当丁的编号为“1”时，其他人的编号如下：显然，此时有3由分类加法计数原理，得不同的编号方法有3＋3＋3＝9(种)．23．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．则安排这6项工程的不同方法总数为( )A．10 B．20 C．30 D．40答案 B解析解法一：因为工程丙完成后立即进行工程丁，若不考虑与其他工程的顺序，则安排这6项工程的不同方法数为A55，对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求，因此，符合条件的安排方法总数为A5 5 A3 3＝5×4＝20.解法二：可以利用插空的方法，按甲、乙、丙、丁的顺序排好后有4个空，余下2项工程进行插空，故有4×5＝20(种)安排方法．24．有一个圆被两条相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有( ) A．180种B．240种C．260种D．320种答案 C解析如图，分别用A，B，C，D记这四个部分，A与C，B与D不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色．首先分两类，即A，C涂相同颜色和A，C涂不同颜色．类型一，分三步：第一步，给A，C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4种涂法；第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法．由分步乘法计数原理知，共有5×4×4＝80种不同的涂法．类型二，分四步：第一步，给A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法；第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法．由分步乘法计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可知共有80＋180＝260(种)不同的涂法．故选C.25．设集合I＝{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )A．50种B．49种C．48种D．47种答案 B解析分四类：(1)A中仅含有1时，B可以是{2,3,4,5}的任意一个非空子集，共15个；(2)A中最大的数为2时，集合A的可能有2个，此时，集合B可以是{3,4,5}的任意一个非空子集，共7个，此时符合要求的选择方法共有2×7＝14(种)；(3)A中最大的数为3时，集合A的可能有4个，此时，集合B可以是{4,5}的任意一个非空子集，共3个，此时符合要求的选择方法共有4×3＝12(种)；(4)A中最大的数为4时，集合A的可能有8个，此时，集合B只能是{5}，此时符合要求的选择方法共有8×1＝8(种)．故不同的选择方法共有15＋14＋12＋8＝49(种)，选B.26．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有的可能的结果有________种．答案64解析该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．27．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有的报名方法有________种．答案81解析该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．28．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．答案8解析甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，只有1种．然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(1＋2＋1)A2＝8(种)．229．用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________(用数字作答)．答案48解析根据题意，可以分为两步：第一步将1,3,5分为两组且同一组的两个数排序，共有6种方法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与2,4排列，其中2不在两边且第一步两组(记为a，b)之间必有元素，即4，a,2，b；a,2,4，b；a,4,2，b；a,2，b,4，其中a，b可以互换位置，所以共有8种．根据分步乘法计数原理知满足题意的五位数共有6×8＝48(个)．30．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．答案 72解析 先从“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“神舟十一号”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法，在调查时，“量子卫星”安排的顺序有A 13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A 33种可能情况，故有C 34A 13A 33＝72(种)．本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章 概率与统计62含答案

2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章 概率与统计62含答案

考点测试62 离散型随机变量及其分布列一、基础小题1．已知离散型随机变量X 的分布列为:X 1 2 3 … n P错误!k n错误!…k n则k 的值为（ A.错误! B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由分布列的性质知k ＝1.2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P （X ＝0）等于( ) A ．0 B.错误! C.错误! D 。

错误! 答案 C解析 设失败率为p ，则成功率为2p . ∴X 的分布列为：X 0 1 Pp2p则“X ＝0"表示试验失败，“X ∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，即P （X ＝0)＝错误!。

3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于( ）A．1 B．1±错误! C．1－错误! D．1＋错误!答案 C解析由分布列的性质知错误!∴q＝1－错误!，故选C。

4．在15个村庄有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于错误!的是( ）A．P(X＝2） B．P（X≤2) C．P(X＝4) D．P（X≤4）答案 C解析X服从超几何分布，故P（X＝k)＝错误!，k＝4.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）的值为( )A。

错误! B。

错误! C.错误! D。

错误!答案 C解析用完后放回盒中，旧球为4个，说明取出来的三个球中有一个是新球,所以P（X＝4)＝错误!＝错误!，故选C。

6．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝错误!，k＝1，2，…，则P（2〈X≤4）等于（）A.错误! B。

错误! C.错误! D。

错误!答案 A解析P(2〈X≤4)＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝错误!＋错误!＝错误!。

7．一袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球,则P(X＝12)等于( ）A．C1012错误!10错误!2B．C错误!错误!9错误!2错误!C．C错误!错误!9错误!2D．C错误!错误!10错误!2答案 D解析“X＝12”表示第12次取到红球,前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12）＝错误!C错误!错误!9·错误!2＝C错误!错误!10错误!2.8．随机变量X的分布列如下:其中a，b，c成等差数列答案错误!解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝错误!，∴P(|X|＝1）＝a＋c＝错误!。

高考数学 考点通关练 第八章 概率与统计 61 几何概型试题 理

高考数学 考点通关练 第八章 概率与统计 61 几何概型试题 理

考点测试61 几何概型一、基础小题1．设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 答案 C解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12 答案 B解析 由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×62＝19.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14 答案 C解析 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.7．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( ) A.22 B ．1－22 C.π8 D.π4答案 D解析 以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACDS △ABC＝18π·AC 212AC 2＝π4. 8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案 B解析 不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43×π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )A ．1－π12B ．1－π10 C.π6 D.π24答案 A解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于24－2π24＝1－π12.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )A.12B.13C.14D.23 答案 B解析 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x ，y,3－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3－x －y >0，而恰有两条线段的长度大于1，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，0<3－x －y <1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，0<y <1，3－x －y >1或⎩⎪⎨⎪⎧y >1，0<x <1，3－x －y >1.作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P＝12×1×1×312×3×3＝13.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.二、高考小题13．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B. 解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.14．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.15．[2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析 ∵|z |≤1， ∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作出如右图．∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.16．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 依题意知点(x ，y )形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78；满足|x －y |≤12的区域如图2中的阴影部分，其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34；满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，其面积为S 3＝12×1＋12xd x ＝12＋12ln x ⎪⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e316，而e 3>16，∴p 1－p 3>0，即p 1>p 3. 而p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e4<0，∴p 2<p 3，∴p 1>p 3>p 2.17．[2016·山东高考]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2<3，解之得－34<k<34，故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.18. [2015·福建高考]如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S 矩形ABCD －⎠⎛12x 2d x ＝1×4－x 33⎪⎪⎪21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53， 则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.三、模拟小题19．[2016·咸宁模拟]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22 B .13 C .12 D .23答案 D解析 如图，∵阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 12 d x ＝23x 32 ⎪⎪⎪10＝23，∴所求概率P ＝S 1×1＝23. 20．[2017·安庆质检]在区间[0,1]上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为( )A .18 B .17 C .16 D .15答案 A解析 ∵方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m≥0，如图，易知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18. 21．[2017·银川一中月考]甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A .16B .14C .13D .12答案 C解析 由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13.22．[2016·福建莆田模拟]任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是()A .24 B .14 C .18 D .116答案 C解析 依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C .23．[2017·鞍山模拟]设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现将直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案 14解析 如图所示，记事件A 为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm ，则小等边三角形的边长为43－23＝23(cm )，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝34323432＝14.24．[2016·正定月考]如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析 当AM ＝AC 时，△ACM为以∠A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC ， 所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2016·宝鸡月考]如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；(2)乙、丙二人各射击一次，记U ，V 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ，V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U<V)的概率．解 (1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y ，Z ，则Y 的所有可能取值为5,3,2，Z 的所有可能取值为5,3,2，P(Y ＝5)＝π42π＝116， P(Y ＝3)＝32π－π42π＝816，P(Y ＝2)＝42π－32π42π＝716， P(Z ＝5)＝π52π＝125， P(Z ＝3)＝32π－π52π＝825，P(Z ＝2)＝52π－32π52π＝1625. 故所求概率P 1＝116×825＋116×1625＋816×1625＝1950.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，U<V所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P 2＝12＋4×5＝35. 2．[2017·湖北荆州模拟]甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x≥1或x －y≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y)|y －x≥1或x －y≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝10131152. 3．[2016·山东临沂一模]设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax ，g(x)＝b x. (1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， 则|f(x)＋g(x)|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a>0，b>0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f(x)＋g (x)|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立， 需f(1)＋g(1)＝a ＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P(B)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。

[精品]2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计61和答案

[精品]2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计61和答案

考点测试61 几何概型一、基础小题1．设x ∈，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎦⎥⎤5π6，π， ∴P ＝π6×2π－0＝13.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 答案 C解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12 答案 B解析 由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×62＝19. 4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3. 6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14 答案 C解析 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.7．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( )A.22 B ．1－22 C.π8 D.π4 答案 D解析 以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACD S △ABC ＝18π·AC 212AC 2＝π4.8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案 B解析 不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23. 9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43×π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )A ．1－π12 B ．1－π10 C.π6 D.π24答案 A解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于24－2π24＝1－π12.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )A.12B.13C.14D.23 答案 B解析 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x ，y,3－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3－x －y >0，而恰有两条线段的长度大于1，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，0<3－x －y <1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，0<y <1，3－x －y >1或⎩⎪⎨⎪⎧y >1，0<x <1，3－x －y >1.作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P ＝12×1×1×312×3×3＝13.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.二、高考小题13．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12. 14．从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.15．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析 ∵|z |≤1， ∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作出如右图．∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.16．在区间上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 依题意知点(x ，y )形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78；满足|x －y |≤12的区域如图2中的阴影部分，其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34；满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，其面积为S 3＝12×1＋12xd x ＝12＋12ln x ⎪⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e 316，而e 3>16，∴p 1－p 3>0，即p 1>p 3. 而p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e4<0，∴p 2<p 3，∴p 1>p 3>p 2.17．在上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k2<3，解之得－34<k<34，故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34. 18. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 512解析 由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S矩形ABCD－⎠⎜⎛12x 2d x ＝1×4－x 33⎪⎪⎪⎪21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.三、模拟小题19．若任取x ，y∈，则点P(x ，y)满足y≤x12 的概率为( ) A .22 B .13 C .12 D .23答案 D解析 如图，∵阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛01x 12 d x ＝23x 32 ⎪⎪⎪⎪10＝23，∴所求概率P ＝S 1×1＝23.20．在区间上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为( )A .18B .17C .16D .15答案 A解析 ∵方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m≥0，如图，易知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18.21．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A .16B .14C .13D .12答案 C解析 由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13.22．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是()A .24B .14C .18D .116答案 C解析 依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C .23．设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现将直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案 14解析 如图所示，记事件A 为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm ，则小等边三角形的边长为43－23＝23(cm )，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝34323432＝14.24．如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析 当AM ＝AC 时，△ACM 为以∠A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；(2)乙、丙二人各射击一次，记U，V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U，V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U<V)的概率．解(1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y，Z，则Y的所有可能取值为5,3,2，Z的所有可能取值为5,3,2，P(Y＝5)＝π42π＝116，P(Y＝3)＝32π－π42π＝816，P(Y＝2)＝42π－32π42π＝716，P(Z＝5)＝π52π＝125，P(Z＝3)＝32π－π52π＝825，P(Z＝2)＝52π－32π52π＝1625.故所求概率P 1＝116×825＋116×1625＋816×1625＝1950.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，U<V所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P 2＝12＋4×5＝35. 2．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x≥1或x －y≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y)|y －x≥1或x －y≥2，x ∈，y ∈}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝10131152. 3．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax ，g(x)＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a ∈，b ∈，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， 则|f(x)＋g(x)|(x ∈)所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a>0，b>0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， ∵a 是从区间中任取的数，b 是从区间中任取的数， ∴点(a ，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a ＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P(B)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。

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考点测试61 几何概型一、基础小题1．设x ∈[0，π]，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 答案 C解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12 答案 B解析 由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×62＝19.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14 答案 C解析 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.7．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( ) A.22 B ．1－22 C.π8 D.π4答案 D解析 以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACDS △ABC＝18π·AC 212AC 2＝π4. 8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案 B解析 不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43×π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )A ．1－π12B ．1－π10 C.π6 D.π24答案 A解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于24－2π24＝1－π12.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )A.12B.13C.14D.23 答案 B解析 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x ，y,3－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3－x －y >0，而恰有两条线段的长度大于1，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，0<3－x －y <1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，0<y <1，3－x －y >1或⎩⎪⎨⎪⎧y >1，0<x <1，3－x －y >1.作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P＝12×1×1×312×3×3＝13.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.二、高考小题13．[2016·全国卷Ⅰ]某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B. 解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.14．[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.15．[2015·陕西高考]设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.14－12πC.12－1πD.12＋1π 答案 B解析 ∵|z |≤1， ∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作出如右图．∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.16．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 依题意知点(x ，y )形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78；满足|x －y |≤12的区域如图2中的阴影部分，其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34；满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，其面积为S 3＝12×1＋12xd x ＝12＋12ln x ⎪⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e316，而e 3>16，∴p 1－p 3>0，即p 1>p 3. 而p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e4<0，∴p 2<p 3，∴p 1>p 3>p 2.17．[2016·山东高考]在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2<3，解之得－34<k<34，故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.18. [2015·福建高考]如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S 矩形ABCD －⎠⎛12x 2d x ＝1×4－x 33⎪⎪⎪21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53， 则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.三、模拟小题19．[2016·咸宁模拟]若任取x ，y∈[0,1]，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22 B .13 C .12 D .23答案 D解析 如图，∵阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 12 d x ＝23x 32 ⎪⎪⎪10＝23，∴所求概率P ＝S 1×1＝23. 20．[2017·安庆质检]在区间[0,1]上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为( )A .18 B .17 C .16 D .15答案 A解析 ∵方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m≥0，如图，易知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18. 21．[2017·银川一中月考]甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A .16B .14C .13D .12答案 C解析 由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13.22．[2016·福建莆田模拟]任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是()A .24 B .14 C .18 D .116答案 C解析 依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C .23．[2017·鞍山模拟]设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现将直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案 14解析 如图所示，记事件A 为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm ，则小等边三角形的边长为43－23＝23(cm )，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝34323432＝14.24．[2016·正定月考]如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析 当AM ＝AC 时，△ACM为以∠A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC ， 所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2016·宝鸡月考]如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；(2)乙、丙二人各射击一次，记U ，V 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ，V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U<V)的概率．解 (1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y ，Z ，则Y 的所有可能取值为5,3,2，Z 的所有可能取值为5,3,2，P(Y ＝5)＝π42π＝116， P(Y ＝3)＝32π－π42π＝816，P(Y ＝2)＝42π－32π42π＝716， P(Z ＝5)＝π52π＝125， P(Z ＝3)＝32π－π52π＝825，P(Z ＝2)＝52π－32π52π＝1625. 故所求概率P 1＝116×825＋116×1625＋816×1625＝1950.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，U<V所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P 2＝12＋4×5＝35. 2．[2017·湖北荆州模拟]甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x≥1或x －y≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y)|y －x≥1或x －y≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝10131152. 3．[2016·山东临沂一模]设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax ，g(x)＝b x. (1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率； (2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， 则|f(x)＋g(x)|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a>0，b>0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立， 需f(1)＋g(1)＝a ＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P(B)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。

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