垂直定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：babaaa////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==NnmMbaambn2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：dldl////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线线垂直的判定定理
线线垂直的判定定理在几何学中，线垂直是一个重要的概念，我们常常需要判断两条线是否垂直。
在这篇文章中，我们将介绍线线垂直的判定定理，这个定理可以帮助我们更快地判断两条线是否垂直。
一、线线垂直的定义两条线段或直线相互垂直，就是它们的夹角为90度。
如果两条线段或直线的夹角不是90度，它们就不垂直。
二、线线垂直的判定定理线线垂直的判定定理有以下几种情况：1.两条直线的斜率乘积为-1，即k1*k2=-1，则它们垂直。
证明：假设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，L1与L2的夹角为α，则：tanα=k2-k1/1+k1*k2因为L1与L2垂直，所以α=90度，即：tan90°=k2-k1/1+k1*k2由于tan90°不存在，所以k1*k2=-1，即两条直线的斜率乘积为-1时，它们垂直。
2.两条直线的方向角之和为90度，则它们垂直。
证明：假设直线L1的方向角为α，直线L2的方向角为β，则：α+β=90°因为L1与L2垂直，所以α和β的和为90度。
3.一条直线的斜率为k，另一条直线与它的斜率为-k的倒数相等，则它们垂直。
证明：假设直线L1的斜率为k，直线L2与它的斜率为-k的倒数相等，则：k1=k2=-1/k由于L1与L2垂直，所以它们的斜率乘积为-1，即：k1*k2=-1代入k1=k2=-1/k，得：(-1/k)*(-1/k)=-1即k*k=-1，因为k不等于0，所以k不可能等于根号-1，所以k*k不可能等于-1，因此假设不成立，所以L1与L2垂直。
三、线线垂直的应用线线垂直的判定定理在几何学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用。
1.判断两条直线是否垂直我们可以使用定理1或定理3来判断两条直线是否垂直。
如果两条直线的斜率乘积为-1，或者一条直线的斜率为k，另一条直线与它的斜率为-k的倒数相等，则它们垂直。
2.求垂线的长度如果我们知道一条线段的长度和它与另一条线段的夹角为90度，我们可以使用三角函数求出垂线的长度。
垂直的性质定理
1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2.直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
b a b A l la l b
a b
α
总结提练
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
a a / /b b
α
作用：证两条直线平行
a
b
性质定理的应用
判断下列命题的正误。 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行（
√
）
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行（×） （3）平行于同一平面的两条直线互相平行（×） （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行（
已知:平面α⊥平面β,α∩β＝l,则
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（ ）
√
例1.如图，长方体ABCD A ' B ' C ' D '中，MN 在平面BCC ' B '内， MN BC于点M .判断MN 与AB的位置关系，并说明理由。
面面关系 面面平行 线面关系 线面平行 线线关系 线线平行
注意辅助线的作用
空间问题平面化
面面垂直
线面垂直 线线垂直
a
l
a
A
b
线线垂直
面面垂直的判定定理公式
面面垂直的判定定理公式定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a⊂α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵b⊂β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β扩展资料：性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊂α求证：OP⊥β。
证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，OQ⊂β∴OP⊥β定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。
求证：AB⊂α证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。
（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）当A在α和β的交线外时，则B是垂足∵AB⊥β于B∴B∈β设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α连接AC∵AC⊂α∴AC⊥BC但AB⊥β，BC⊂β∴AB⊥BC即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。
当A在α和β的交线上时，A是垂足。
设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾∴假设不成立，AB⊂α定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。
高中线线垂直的判定定理
高中线线垂直的判定定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线线垂直的判定定理是指当两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线是垂直的。
这个定理在几何中起着非常重要的作用，可以帮助我们判断任意两条直线是否垂直，从而解决一些几何问题。
下面我们就来详细讨论一下关于高中线线垂直的判定定理。
我们来看两条直线的斜率k1 和k2，斜率的定义是：直线上的两个不同点的纵坐标差除以横坐标差。
即：k1 = (y2-y1)/(x2-x1)k2 = (y4-y3)/(x4-x3)如果两条直线垂直，那么它们的斜率k1 和k2 的乘积应该等于-1，即：k1 * k2 = -1所以，我们可以用这个式子来判断两条直线是否垂直。
如果两条直线的斜率乘积等于-1，那么这两条直线是垂直的。
举个例子，假设有两条直线L1 和L2，它们的斜率分别为k1 = 1/2 和k2 = -2。
我们可以计算它们的乘积：如果我们已知两条直线的方程，也可以直接通过斜率来判断它们是否垂直。
假设直线L1 的方程为y = mx + c1，直线L2 的方程为y = nx + c2，其中m 和n 分别为斜率，c1 和c2 分别为截距。
m * n = 2 * (-1/2) = -1因为m * n = -1，所以直线L1 和L2 是垂直的。
第二篇示例：线垂直的判定定理是高中数学中的一个基础知识点，也是几何学中的一个重要定理。
在解决几何问题时，经常会涉及到线的垂直关系，因此了解线垂直的判定定理对于提高我们的解题能力和几何推理能力是非常重要的。
我们来看一下什么是线垂直。
在线性代数和几何学中，两条直线的垂直关系是指这两条直线的夹角为90度。
这意味着这两条直线在相交的点上互相垂直，即它们是相互正交的。
线垂直的判定定理就是用来判断两条线是否垂直的方法。
在高中数学中，线垂直的判定定理主要有以下几种形式：1. 垂直线段定理：如果两条直线段相交，并且它们的斜率的乘积为-1，则这两条直线段垂直。
直线平面垂直判定定理向量法证明
直线平面垂直判定定理向量法证明直线平面垂直判定定理是解决几何问题中常用的一个定理，它判断了一条直线和一个平面是否垂直。
本文将使用向量法来证明这个定理。
我们需要了解一些基本概念和性质。
1. 向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
两个向量可以相加、相减，并且可以与实数相乘。
向量的长度称为模，方向由箭头指示。
2. 内积的定义和性质两个向量u和v的内积定义为：u·v = |u||v|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。
内积满足交换律：u·v = v·u，并且对于任意实数k，有(ku)·v = u·(kv) = k(u·v)。
3. 垂直的定义和性质两个向量u和v垂直（或正交）当且仅当它们的内积为零：u·v = 0。
如果两个非零向量垂直，则它们互为对方在另一个方向上的单位向量。
4. 平行线与平面一条直线与一个平面垂直当且仅当该线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该直线的方向向量垂直。
根据以上基本概念和性质，我们可以证明直线平面垂直判定定理。
证明如下：【第一部分：平行线与平面的垂直性质】假设有一条直线L和一个平面P，我们需要证明L与P垂直的条件。
1. 设L上有一点A，P上有一点B，并且从A到B的向量为u。
2. 设L的方向向量为v。
3. 设P上任意一点C，并且从A到C的向量为w。
根据定义，我们知道u·v = 0。
现在我们需要证明u·w = 0。
由于P是一个平面，所以AC在该平面上。
w是该平面上任意一点到A的向量。
根据定义，我们知道v与w垂直。
根据内积的性质（交换律），我们可以得到：(u + v)·w = u·w + v·w = 0由于v与w垂直，所以v·w = 0。
(u + v)·w = u·w + 0 = u·w = 0u与w也是垂直的。
线线垂直的判定定理公式
线线垂直的判定定理公式
线线垂直的判定定理公式是在几何学中常见的判定方法，用于判断两条线是否垂直于彼此。
在平面几何中，垂直是指两条直线或线段在其交点处所成的角度为90度，也就是直角的情况。
垂直的判定定理公式可以帮助我们快速判断两条线段是否垂直，而不必通过测量角度的方式来确定。
在几何学中，线线垂直的判定定理公式有多种形式，其中最常见的是垂直线性定理和垂直的判定定理。
1. 垂直线性定理：如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线是垂直的。
具体而言，如果直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，且m1 × m2 = -1，则直线L1与直线L2是垂直的。
这个定理的证明思路是：两条直线的斜率之积为-1，意味着这两条直线的斜率互为倒数，即相互垂直。
这个定理常用于判断直线方程的垂直关系。
2. 垂直的判定定理：如果两条直线的直线方程中的斜率的乘积为-1，或者其中一条直线的直线方程为垂直线（斜率不存在的直线），则这两条直线是垂直的。
这个定理的思路是：直线的斜率为存在的直线，如果两条直线的斜率的乘积为-1，或者一条直线的斜率不存在，那么这两条直线是垂直的。
这个定理更为直观，直接从直线的斜率出发判断垂直关系。
垂直线性定理和垂直的判定定理是线线垂直的判定定理公式的两种常见形式，它们为我们判断线段的垂直关系提供了简便的方法。
在实际的几何问题中，我们可以根据直线的斜率或直线的方程来快速判断线段的垂直性，而无需通过角度的测量来确定。
这些定理的理解和应用，有助于我们更好地理解几何学中的垂直关系，提高问题的解决效率。
垂直判定定理
垂直判定定理垂直判定定理垂直是几何学中非常重要的一个概念，在很多问题中都需要用到垂直的知识。
那么，如何判断两条线段是否垂直呢？这就需要用到垂直判定定理。
一、定义在平面几何中，两条线段相互垂直，当且仅当它们的乘积为零。
二、证明1. 假设有两条线段AB和CD，它们相互垂直，即AB⊥CD。
2. 我们可以将AB和CD分别表示为向量a和b，即a=AB，b=CD。
3. 根据向量的点乘公式，我们可以得到a·b=|a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
4. 因为AB⊥CD，所以θ=90°。
此时cosθ=0。
5. 由于a·b=|a||b|cosθ=0，所以|a||b|=0。
6. 因为向量的模长是非负数，所以只有当|a|=0或者|b|=0时才有可能使得乘积为零。
但是一条非零线段的模长不可能为零，因此只能是其中一条线段长度为零。
也就是说，在平面几何中，两条线段相互垂直，当且仅当其中一条线段长度为零。
7. 综上所述，得证。
三、应用垂直判定定理可以应用于很多几何问题中，例如：1. 判断两条线段是否垂直。
2. 判断一个点是否在一条直线的垂线上。
3. 求解两条线段的交点。
4. 求解一个点到一条直线的距离等。
四、注意事项在使用垂直判定定理时，需要注意以下几点：1. 两条线段相互垂直并不意味着它们必须相交。
例如，一条水平线段和一条竖直线段就相互垂直，但是它们不一定相交。
2. 垂直判定定理只适用于平面几何中的情况，对于空间几何来说，并没有类似的定理。
3. 在实际问题中，由于误差等因素的存在，有时候两条看起来很接近的线段可能并不完全垂直。
因此，在使用垂直判定定理时需要注意精度问题。
五、总结垂直判定定理是平面几何中非常重要的一个概念。
通过本文对该定理的详细介绍和证明，相信读者已经对该定理有了更深入的理解。
在实际问题中，我们可以根据垂直判定定理来判断两条线段是否垂直，并进一步解决各种几何问题。
垂直的定理
垂直的定理垂直的定理是几何学中的一条重要定理，也是解决几何问题的基础。
它是指在一个平面内，如果两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。
这个定理在解决垂直关系问题时非常有用，可以帮助我们判断两条直线是否垂直，或者通过已知条件求解未知量。
我们来看一下垂直的定理的表达方式。
假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
如果L1和L2互相垂直，则有k1 * k2 = -1。
这个等式说明了两条直线互相垂直的条件。
根据垂直的定理，我们可以解决一些常见的几何问题。
例如，已知一条直线L1上的两个点A和B，以及另一条直线L2上的一个点C，我们需要确定L2在哪个位置与L1垂直相交。
首先，我们可以计算L1的斜率k1，然后根据垂直的定理，可以得到L2的斜率k2 = -1 / k1。
接下来，我们可以利用已知点C和斜率k2，求解L2的方程。
通过求解L1和L2的交点，我们可以确定L2与L1的垂直相交点。
除了解决垂直关系问题外，垂直的定理还可以帮助我们证明一些几何定理。
例如，我们可以利用垂直的定理证明两条平行线的斜率相等。
假设有两条平行线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2。
由于L1和L2平行，它们与一条垂直于它们的直线L3的斜率相等。
根据垂直的定理，我们可以得到k1 * k3 = -1和k2 * k3 = -1。
由于k3相等，我们可以得到k1 = k2，从而证明了两条平行线的斜率相等。
垂直的定理还可以应用于三角形的垂心、高线和垂直平分线等相关问题。
例如，已知一个三角形ABC，我们需要确定三条高线的交点H，可以利用垂直的定理来解决。
首先，我们可以找到三条高线所在的直线L1、L2和L3，它们分别通过顶点A、B和C，并且与对边BC、AC和AB垂直相交。
然后，根据垂直的定理，我们可以计算出L1、L2和L3的斜率。
通过求解这三条直线的交点，我们可以确定高线的交点H，即三角形的垂心。
在实际应用中，垂直的定理也可以用于解决一些实际问题。
两个平面垂直的性质定理
定理应用
该定理在三维几何、计算机图形 学等领域有广泛应用，例如在计 算两个平面的夹角、判断两个平 面是否垂直等问题中可以使用该
定理。
对未来研究的展望和建议
深入研究垂直性质
虽然两个平面垂直的性质定理已经得到了广泛应用，但是对于更复杂的几何形状，如曲面 、高维空间中的超平面等，其垂直性质的研究仍然不够深入。因此，未来可以进一步探索 这些复杂形状的垂直性质，并尝试将它们应用到实际问题中。
判定两平面垂直
如果一个平面经过另一个 平面的垂线，则这两个平 面垂直。
求解空间角
利用两个平面垂直的性质 定理，可以求解一些与空 间角相关的问题。
在物理中的应用
力的分解
在物理学中，经常需要将一个力分解 为两个互相垂直的分力，这时可以利 用两个平面垂直的性质定理来求解。
光的反射和折射
当光从一个介质射入另一个介质时， 其反射光线和折射光线分别与入射光 线和法线所在的平面垂直，这也涉及 到了两个平面垂直的性质定理。
两个平面垂直的性质 定理
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 两个平面垂直的定义和性质 • 定理的证明和推导 • 定理的应用举例 • 定理的拓展和延伸 • 总结和展望
01
引言
定理的背景和意义
垂直关系的重要性
在几何学中，垂直是一种特殊而重要的位置关系。当两个平面垂直时，它们的交 线具有独特的性质，这些性质在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域有广 泛应用。
在工程中的应用
建筑设计中
在建筑设计中，为了保证建筑物的稳 定性和安全性，经常需要利用两个平 面垂直的性质定理来设计建筑物的结 构和支撑系统。
机械制造中
航空航天工程中
线面垂直的判定定理 PPT
一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
l
即：m α
n α
m∩n=B l⊥m l⊥n
B
m
l ⊥α
nA
简记：线线垂直，则线面垂直
关键：线不在多，相交则行
巩固练习
判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√”错 的打“×”
（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则
巩固练习
1、如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
.
o
巩固练习
2. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中
(1).求证: A1C 平面DBC1
(2).在三棱锥C1-BDC中有
几个直角三角形？
D1
(3).在四面体中能否存在
四个直角三角形?
A1
D
A
C1 B1
C B
这条直线垂直于三角形所在的平面。( )√
（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，
则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（×）
（3）若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则
这条直线垂直于梯形所在的平面。（ ）√
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面
P
PA=PB=10 m，OA=OB=6 m.
因为 A，O，B 三点不共线，
所以 A，O，B 三点确定平面 ． A
O B
又因为PO2 OA2 PA2, PO2 OB 2 PB2
所以 OP OA,OP OB. 又因为: OA OB O,OA ,OB 所以: OP .
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。
（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
有关垂直的定理和公式
1、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短3、直角三角形的两个锐角互余4、斜边、直角边公理(H L) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等5、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等6、到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上7、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边8、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半10、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半11、线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等12、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上13、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合14、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线15、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称16、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^217、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形18、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角19、矩形性质定理2矩形的对角线相等20、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形21、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形22、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角23、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷224、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形25、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等26、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角27、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似28、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似29、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线30、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线31、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧32、推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧33、②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧34、③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧35、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径36、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形37、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线38、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径39、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点40、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心41、如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项42、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦43、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
刚体垂直轴定理
刚体垂直轴定理是刚体力学中的一个重要定理，用于描述刚体绕垂直轴的运动情况。
该定理陈述如下：
当一个刚体绕垂直轴转动时，刚体上任意一点的线速度与该点与垂直轴的距离的乘积保持不变。
简言之，刚体上的任意一点与垂直轴的距离与该点的线速度成正比。
换句话说，如果一个刚体绕垂直轴加速旋转，那么离轴越远的点的线速度将比离轴近的点的线速度更大。
这个定理可以用数学方式表示为：
v = ω*r
其中，
v 是刚体上某点的线速度（即速度大小）；
ω是刚体绕垂直轴的角速度（即单位时间内转过的角度）；
r 是该点到垂直轴的距离（即该点对应的半径）。
刚体垂直轴定理可以帮助我们理解刚体的轴对称性质和运动规律。
在旋转运动的分析中，它经常用于计算刚体上各个点的线速度或角速度，以及刚体的转动惯量等相关物理量。
立体几何平面垂直的判定定理
立体几何平面垂直的判定定理一、定义在立体几何中，平面垂直的判定定理是指：如果两个平面的法线向量互相垂直，则这两个平面是垂直的。
二、判定方法根据平面的法线向量的定义，我们知道平面的法线向量是与该平面垂直的向量。
因此，要判断两个平面是否垂直，只需判断它们的法线向量是否互相垂直即可。
具体而言，设平面P1的法线向量为n1，平面P2的法线向量为n2，如果n1·n2 = 0，其中"·"表示向量的点积运算，那么平面P1与平面P2垂直；反之，如果n1·n2 ≠ 0，则两个平面不垂直。
三、相关应用平面垂直的判定定理在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑工程中的搭建在建筑工程中，平面垂直的判定定理被广泛应用于搭建建筑物的过程中。
例如，当建筑物的墙壁需要与地面垂直时，可以利用该定理判断墙壁的法线向量与地面的法线向量是否垂直，从而保证墙壁的竖直性。
2. 三维模型的设计在三维模型的设计过程中，平面垂直的判定定理常用于判断不同部位的平面是否垂直。
例如，当设计一个立方体时，可以利用该定理判断立方体的各个面是否相互垂直，从而确保模型的准确性。
3. 几何证明中的推理在几何证明中，平面垂直的判定定理是一种常用的推理方法。
通过运用该定理，可以推导出两个平面垂直的结论，然后应用于其他几何证明中。
四、总结立体几何平面垂直的判定定理是立体几何中的重要概念，能够帮助我们判断平面是否垂直。
通过判断两个平面的法线向量是否互相垂直，可以准确地判定平面的垂直性。
该定理在建筑工程、三维模型设计以及几何证明等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握平面垂直的判定定理对于学习和应用立体几何都具有重要意义。
垂直轴定理公式
垂直轴定理公式
垂直轴定理公式（也称为托克定理）是力学中的一个基本定理，用于计算物体绕垂直轴旋转时的角动量。
它的公式如下：
L = Iω
其中，L表示物体的角动量，单位是牛顿·米·秒（N·m·s）；I表示物体的转动惯量，单位是千克·米平方（kg·m²）；ω表示物体的角速度，单位是弧度每秒（rad/s）。
这个公式解释了一个物体绕垂直轴旋转时，角动量的大小与物体的转动惯量和角速度有关。
转动惯量描述了物体对旋转的惯性，它越大，物体越难以改变旋转状态。
角速度则描述了物体绕轴旋转的快慢程度。
利用垂直轴定理公式，我们可以计算物体的角动量大小，进而对旋转的物体进行分析和计算。
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2016年07月26日赵志刚的初中数学组卷一．选择题（共13小题）1．（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C． D．2．（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9 cm C．cm D．cm4．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm 5．（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．=D．△OCE≌△ODE6．（2015•台湾）如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6 B．12C．15 D．307．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2014•毕节市）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（2015•甘南州）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A． B．2C． D．311．（2015•武汉模拟）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm12．（2015•湖州模拟）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5 B．7 C．9 D．1113．（2015•宜州市二模）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON ⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．二．填空题（共13小题）14．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．15．（2015•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．17．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．18．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．19．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于度．20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．21．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．22．（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2．23．（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为．24．（2015•南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=cm．25．（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．26．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC=．三．解答题（共4小题）27．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．28．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．29．（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．30．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．2016年07月26日赵志刚的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C． D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．2．（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．【解答】解：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．【点评】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．3．（2015•大庆模拟）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A．cm B．9 cm C．cm D．cm【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD= a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．【解答】解：连接OA、OB、OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt△ADO和Rt△BCO中∵，∴Rt△ADO≌Rt△BCO，∴OD=OC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm，在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm，∵小正方形EFCG的面积为16cm2，∴EF=FC=4cm，在△OFE中，由勾股定理得：=42+，解得：a=﹣4（舍去），a=8，a=4（cm），故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．4．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2015•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．=D．△OCE≌△ODE【分析】根据垂径定理得出CE=DE，弧CB=弧BD，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明△OCE≌△ODE．【解答】解：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，∴CE=DE，弧CB=弧BD，在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE，故选B【点评】本题考查了圆周角定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．6．（2015•台湾）如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（）A．6 B．12C．15 D．30【分析】根据垂径定理，由OD⊥BC得到BD=CD=BC=6，再在Rt△BOD中利用勾股定理计算出OD=2，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=×12=6，在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6，∴OD==2，∴S△OBD=OD•BD=×2×6=6．故选A．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．8．（2014•毕节市）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．9．（2015•大庆）在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】利用等腰直角三角形的性质以及垂径定理得出∠BOC的度数进而求出．【解答】解：如图所示：连接BO，AO，∵圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，∴DO=DB，DO⊥AB，∴∠BOC=∠BOC=45°，则∠A=∠AOC=45°，∴∠AOB=90°．故选：D．【点评】此题主要考查了垂径定理以及等腰直角三角形的性质，得出∠BOC=∠BOC=45°是解题关键．10．（2015•甘南州）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A． B．2C． D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：若过A作BC的垂线，设垂足为D，则AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．【解答】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD﹣OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．11．（2015•武汉模拟）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【分析】延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt △ODE中，根据∠ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=x；∵OA=4cm，BC=10cm，∴BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD，∴x﹣5=（x﹣4），解得：x=6．故选B．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．12．（2015•湖州模拟）如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5 B．7 C．9 D．11【分析】由题意知，OM的最大值是10，弦AB的弦心距是OM的最小值，利用垂径定理和勾股定理，可求出OM的最小值为8，因而答案中只有9符合条件．【解答】解：过点O作OM⊥AB，垂足为M∵OM⊥AB，AB=12∴AM=BM=6在Rt△OAM中，OM=所以8≤OM≤10故应选C．【点评】本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，一般是构造直角三角形，利用勾股定理解题．13．（2015•宜州市二模）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON ⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．【分析】先根据OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，可知MN是△ABC的中位线，再根据MN=1可求出BC的长，再由等边三角形的性质即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AC、AB的中点，∴MN是等边△ABC的中位线，∵MN=1，∴AB=AC=BC=2MN=2，∴S△ABC=×2×2×sin60°=2×=．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的性质及三角形中位线定理，根据题意判断出MN是等边△ABC的中位线是解答此题的关键．二．填空题（共13小题）14．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．15．（2015•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．16．（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是6．【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．【解答】解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．18．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．（2015•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度．【分析】求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案．【解答】解：∵A（0，1），B（0，﹣1），∴AB=2，OA=1，∴AC=2，在Rt△AOC中，cos∠BAC==，∴∠BAC=60°，故答案为60．【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．20．（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，或．【分析】①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE ∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD ∽△CPA，代入数据得出结果；③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．【解答】解：①当BA=BP时，易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，∴BD=DP，在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，∴OE=3，易得△AOE∽△ABD，∴，∴，∴，即PB=，∵AB=AP=8，∴∠ABD=∠P，∵∠PAC=∠ADB=90°，∴△ABD∽△CPA，∴，∴CP=，∴BC=CP﹣BP==；③当PA=PB时如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，∴AF=FB=4，在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，∴OF=3，∴FP=8，易得△PFB∽△CGB，∴，设BG=t，则CG=2t，易得∠PAF=∠ACG，∵∠AFP=∠AGC=90°，∴△APF∽△CAG，∴，∴，解得t=，在Rt△BCG中，BC=t=，综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，故答案为：8，，．【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．21．（2013•扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=．【分析】延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=6，∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，OM=×6=3，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=1×=，在Rt△MOH中，MH===，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN=．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．22．（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．【分析】作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGC，三角形AGC的面积就是阴影部分的面积．【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，∵△DBF的轴对称图形△CAG，由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合∴△ACG≌△BDF，∴∠ACG=∠BDF=60°，∵∠ECB=60°，∴G、C、E三点共线，∵AM⊥CG，ON⊥CE，∴AM∥ON，∴=，在Rt△ONC中，∠OCN=60°，∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，∵OC=OA=2，∴ON=×2=，∴AM=2，∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE，连接OE，在Rt△ONE中，NE===，∴GE=2NE=2，∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6，∴图中两个阴影部分的面积为6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用．23．（2013•广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P 与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（3，2）．【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=OA=3，在Rt△OPD中，∵OP=，OD=3，∴PD===2，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24．（2015•南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD=8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC=AB=12cm．由半径相等，得OA=OD=13cm．由勾股定理，得OC===5．由线段的和差，得CD=OD﹣OC=13﹣5=8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm．【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA=2OD=2cm，∴AD===cm，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=cm．故答案为：2．【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．26．（2015•黔东南州）如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB=BC=12，则OC= 4．【分析】如图，作辅助线；首先运用勾股定理求出AE的长度，然后运用射影定理求出AD 的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD；∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC=6；由勾股定理得：AE==6；∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD=90°；由射影定理得：AB2=AE•AD∴AD==8，∴OC=AD=4，故答案为4．【点评】该题主要考查了垂径定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是牢固掌握垂径定理、射影定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．三．解答题（共4小题）27．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F 是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．28．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE 的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．29．（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．30．（2015•绵阳模拟）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可．（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．第31页（共31页）。