平行垂直的判定性质定理

E C A B

D P

平行垂直的判定性质定理

一、线面平行

1、直线和平面平行的判定定理：

⑴平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

即 ,////a b a a b ααα⊄⊂⎫⇒⎬⎭ 1、已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．求证：PC ∥平面BDE ；

2、直线和平面平行的性质定理:

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

即 //l l m m β

αβ⊂⎫⇒⎬=⎭

二、两平面平行———没有公共点

1、两个平面平行的判定定理:

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

即

////a b a b P a b αββααα⊂,⊂,=⎫⇒//⎬,⎭

1、 如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证： 平面MNP ∥平面A 1BD .

2、两个平面平行的性质定理：

如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行。 即

//,a b a b αβαγβγ//⎫⇒⎬==⎭

推论： ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 即

,,,,//,//a b a b A m n m n B a m b n ααββαβ⊂,⊂=⊂⊂=⎫⇒//⎬⎭

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

即 ,l l αβαβ⊥⊥⇒//；

③平行于同一平面的两个平面平行。

//αγβγαβ//,⇒//

三、线面垂直 1、线面垂直判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面垂直。

即

,,,m n m n A l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭

1、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC

上，且//DE BC .求证：BC ⊥平面PAC ；

．

2、线面性质定理：垂直于一个平面的两条直线平行。

即 a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭

四、面面垂直

1、面面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直。

即

a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭

1、如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.求证：平面AEC PDB ⊥平面；

.

2、面面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

即 ,,l a a a l αβαββα⊥=⎫⇒⊥⎬⊂⊥⎭