4抛物线(二次函数)中的四边形问题

抛物线中的四边形问题

例1.【湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．

例2.【福建南平】已知抛物线：x x y 22

12

1+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标.

（2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式.

（3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.

x

y

y 1

2

3

4

5

6

7

8

9

54321

-1-2-3-4

1

y 2

-1

A C B

例3．【辽宁抚顺】已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点

(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；

（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

例4、【临沂市】如图：二次函数y =﹣x 2

+ ax + b 的图象与x 轴交于A （-

2

1

，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

B

A O C

y

x

练习题：

练 1.（浙江湖州）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

2

y x a =

-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

练2.(浙江义乌市) 如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

A x

y B

C O

D A M N N ′

练 3.（四川省德阳市）如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为

(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．

（1）求抛物线2l 的函数关系式；

（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30

的直角三角形？若

存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

练4、如图，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=

，点O 为坐标原点，点A 在

x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =．

（1）线段OB 的长为 ，点C 的坐标为 ； （2）求△OCM 的面积；

（3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； （4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该 抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点F 的坐标．

5-

4- 3- 2-

1-

1 2 3 4

5

5 4 3 2 1 A E

B

C '

1- O

2l 1l

x y

y

x

M

C

B

O

A