2014长沙中考数学卷

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2014长沙市中考数学试卷及详细答案

2014年长沙市中考数学试卷1．21的倒数是( ) A ．2B ．-2C ．21 D ．-21 2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A ．圆锥B ．六棱柱C ．球D ．四棱锥3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )A ． 3和3B ． 3和4C ． 4和3D ． 4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A ．相等B ．互相平分C ．互相垂直D ．互相垂直且相等 5 ．下列计算正确的是( )A ．752=+ B ．422)(ab ab = C ．a a a 632=+ D ．43a a a =⋅6 ．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD 的长等于( )A ． 2 cmB ． 3 cmC ． 4 cmD ． 6 cm7 ．一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )A ． x >1B ．x ≥1C ．x >3D ．x ≥38．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB=60°, 则对角线BD 的长为 ( )A ． 1 BC ． 2D ．9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为120°后能与原图形完全重合的是( )10．函数ay x=与函数2y ax =（0a ≠）在同一坐标系中的图像可能是( )二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．如图，直线a ∥b,直线c 与a,b 相交，∠1=70°，则∠2= 度； 12．抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标为；13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度；14．已知关于x 的一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k= ．15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为．A B D C A DCB16．如图，△ABC 中，DE ∥BC,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为；17.如图，BE 、C 、F 在同一直线上，AB ∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ； 18.如图，在平面直角坐标系中，，1),在x 轴上存在点P ，使P 到A,B 两点的距离之和最小，则P 的坐标为；三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分) 19．计算：201411(1)()453--+︒20．先化简，再求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中，x =3；四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人；（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D ，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A ”的概率；22.如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O, (1) 求证：△AEO ≌△CDO ；（2）若∠OCD=30°，,求△ACO 的面积；五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分) 23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。

2014年湖南省长沙市中考数学试卷解析

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•长沙）的倒数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】M112 倒数【分析】根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．所以的倒数是2【难度】容易题【解答】A．【点评】本题主要考查了倒数的定义，比较简单，熟记定义是解题关键．2．（3分）（2014•长沙）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥【考点】M414 简单组合体的三视图．【分析】A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查简单组合体的三视图知识，较为简单，理解三视图的概念是解题关键，有一定的生活经验也有助于解答本题．3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4【考点】M214 中位数、众数；M212 平均数、方差和标准差．【分析】将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数==4．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了中位数以及平均数的概念，比较简单，须知道中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．4．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等【考点】M332 平行四边形的性质与判定．【分析】依据平行四边形的对角线互相平分即可得到答案．【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了平行四边形的性质，解题关键是牢牢掌握平行四边形的性质．5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）A．+=B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6a D．a•a3=a4【考点】M11Q 幂的乘方；M11R 积的乘方；M11U 合并同类项；M11S 同底数幂的乘法．【分析】A、被开方数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、底数不变指数相加，故D正确；【难度】容易题【解答】D．【点评】本题重点考查同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方以及合并同类项等知识的运用，比较简单，记准运算法则是解题关键．6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【考点】M139 两点之间的距离．【分析】∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=3cm，【难度】容易题【解答】B．【点评】本题重点考查了两点之间的距离这一知识点，比较简单，是一道基础题，解题的关键是掌握中点性质．7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3【考点】M12M 在数轴上表示不等式（组）的解集．【分析】：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集这一知识点，比较简单，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】M334 菱形的性质与判定M328 等边三角形性质与判定．【分析】∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．【难度】容易题【解答】C．【点评】本题重点考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，较为简单，解题关键是证出△DAB是等边三角形．9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．【考点】M411 中心对称图形及轴对称图形M413 图形的平移与旋转．【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．【难度】中等题【解答】A．【点评】本题重点考查了旋转对称图形，难度适中，解题关键是要求出各图形的最小旋转角度．10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】M162 二次函数的的图象、性质；M152 反比例函数的的图象、性质．【分析】分a＞0和a＜0两种情况，：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．【难度】中等题【解答】D．【点评】本题重点考查了二次函数图象以及反比例函数图象，难度中等，解题难点在于分情况讨论，解题关键是要熟悉二次函数图象的性质与反比例函数图象性质．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=度．【考点】M31C 平行线的判定及性质；M31B 相交线（对顶角、邻补角、同位角、同旁内角、内错角、）．【分析】∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．【难度】容易题【解答】110．【点评】本题重点考查了平行线的判定及性质，同时也考查了对顶角，熟知两直线平行，同旁内角互补这一知识点是解题关键．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是．【考点】M162 二次函数的的图象、性质．【分析】∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．【难度】容易题【解答】（2，5）．【点评】本题重点考查了二次函数的性质，比较简单，属于基础题型，掌握抛物线的顶点式以及顶点坐标是解题关键．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB =度．【考点】M344 圆心角与圆周角．【分析】根据圆周角定理即可直接求解．∠ACB=∠AOB=×100°=50°．【难度】容易题【解答】50．【点评】本题重点考查了圆周角定理这一知识点，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，本题比较简单，熟记定理是解题关键．14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=．【考点】M126 解一元二次方程．【分析】依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．【难度】容易题【解答】2．【点评】本题重点考查了解一元二次方程，较为简单．解题关键是通过代入法列出关于k的新方程从而解方程求得k的值．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．【考点】M222 概率的计算M224 概率的意义、应用．【分析】∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=．【难度】容易题【解答】．【点评】本题重点考查了概率的计算，较为简单，掌握概率=所求情况数与总情况数之比这一公式是解题关键．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．【考点】M32H 相似三角形性质与判定．【分析】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，【难度】中等题【解答】18．【点评】本题重点考查了相似三角形性质与判定，难度适中，解题关键在于理解相似三角形的面积比等于对应边长之比的平方．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=．【考点】M32A 全等三角形性质与判定．【分析】∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．【难度】容易题【解答】6．【点评】本题重点考查了全等三角形性质与判定，较为简单，解题关键是要懂得选择恰当的判定条件．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B （﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．【考点】M13B 坐标与图形变化；M143 求一次函数的关系式M12G 二元一次方程组的应用M134 用待定系数法求函数关系式．【分析】作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：解得．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．【难度】中等题【解答】（﹣1，0）．【点评】本题重点考查了坐标与图形变化，同时也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用等，难度适中，解题关键是学会运用数形结合思想．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．【考点】M11A 实数的混合运算；M11O 指数幂；M32D 特殊角三角函数的值M11E 二次根式的化简．【分析】先将每一项的值求出来，然后进行实数的运算即可得出答案．【难度】容易题【解答】解：原式=1+2﹣3+1 （4分）=1．（6分）【点评】本题是一道计算题，考查了考生的计算功底，做计算类题型时一定要细心运算，防止粗心大意，解决本题的关键是熟练掌握指数幂、特殊角三角函数的值以及二次根式的化简等考点的运算．20．（6分）（2014•长沙）先化简，再求值：（1+）÷，其中x=3．【考点】M11N 分式运算；M11L 完全平方公式和平方差公式；M11K 因式分解．【分析】首先去括号，将括号里的通分，用同分母分式的加法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【难度】容易题【解答】解：原式=•=•=，（4分）当x=3时，原式==．（6分）【点评】本题主要考查了分式运算，同时也涉及到了因式分解以及完全平方公式和平方差公式的运用，熟记运算法则是解题关键．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．【考点】M216 统计图（扇形、条形、折线）；M211 总体、个体、样本、容量；M222 概率的计算;M223 列表法与树状图法．【分析】（1）已知共有50名同学参与调查，由总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；（2）首先求出50名同学中喜欢“臭豆腐”的百分比，再乘以2000即可得到结果；（3）要求恰好两次都摸到“A”的概率，首先列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，根据概率的求法求出即可．【难度】中等题【解答】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：（2分）（2）根据题意得：2000××100%=560（人），(5分)则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；则P=．(8分)【点评】本题重点考查了条形统计图的应用以及概率的计算，同时也考查了列表法与树状图法，难度适中，需要考生有一定的读图能力，解题关键是能从图表中获取必要的解题信息．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．【考点】M333 矩形的性质与判定M412 图形的折叠、镶嵌M32A 全等三角形性质与判定M325 三角形的面积、周长．【分析】（1）要证△AOE≌△COD，首先根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；（2）由△AOE≌△COD可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【难度】中等题【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，（2分）在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS）；（4分）（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，（6分）∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．（8分）【点评】本题重点考查了图形折叠的性质、矩形的性质、三角形的面积以及全等三角形性质与判定，难度适中，属于中考常考题型，解题关键是灵活运用全等三角形对应边相等的性质．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？【考点】M12J 解一元一次不等式（组）；M12K 一元一次不等式（组）的应用；M123 解一元一次方程；M124 一元一次方程的应用．【分析】（1）要求需购买甲、乙两种树苗的棵树，首先设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）此问不难，设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可．【难度】中等题【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，(2分)∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（4分）（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．（8分）答：至少应购买甲种树苗240棵．（9分）【点评】本题是一道应用题，主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，难度适中，解答此类题型的关键是要学会在题目中找到合适的等量关系并列出方程解答，须注意的是应用题一定要作答．24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC 边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．【考点】M348 切线的性质与判定M32H 相似三角形性质与判定M32C 锐角三角函数M126 解一元二次方程M344 圆心角与圆周角M32B 勾股定理．【分析】（1）要证DE⊥AC，首先连接OD，可以证得DE⊥OD，再证得OD∥AC 即可证明DE⊥AC；（2）要求tan∠ACB的值，最好是将∠ACB放在直角三角形中来求，可以找到RT△CDE，从而可以证明△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．【难度】中等题【解答】（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，(2分)∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（4分）（2）解法1：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△DAE，∴，（7分）设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=或．（9分）（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）解法2：连OD，过点O作AC的垂线，垂足为F，∴OF2+AF2=OA2，∵AC=AF+FE+CE，且AC=AB=3DE，OB=OD=EF，∴，（7分）∴=或，∴tan∠ACB=或．（9分）【点评】本题重点考查了切线的性质与判定、相似三角形性质与判定、锐角三角函数以及勾股定理，难度适中，三角形与圆的综合题属于中考常考知识点，需要考生牢牢掌握相关性质来解题，本题的解题关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．【考点】M162 二次函数的的图象、性质M153 求反比例函数的关系式M137 不同位置的点的坐标的特征M127 一元二次方程根与系数的关系M12H 不等式的相关概念及基本性质M113 绝对值M134 用待定系数法求函数关系式．【分析】（1）此问简单，根据“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）此问有一定难度，设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；（3）此问比较复杂，将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．【难度】较难题【解答】解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；（3分）（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，（4分）当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（6分）（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，∴x1+x2=，x1•x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4•==4，（8分）∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1•x2＜8，∴﹣8＜＜8，∵a＞0，∴a＞∴（2a+1）2+＞+=，∴t＞．（10分）【点评】本题重点考查了二次函数的的图象、性质、求反比例函数的关系式、不同位置的点的坐标的特征、一元二次方程根与系数的关系、不等式的相关概念及基本性质以及绝对值等相关知识，综合性较强，有一定难度，读懂题意、牢牢掌握反比例函数以及二次函数的性质是解题关键．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．【考点】M162 二次函数的的图象、性质M135 动点问题的函数图像M327 等腰三角形性质与判定M139 两点之间的距离M126 解一元二次方程M34D 直线与圆的位置关系M13B 坐标与图形变化．【分析】（1）因为抛物线的对称轴为y轴，所以抛物线的一般式为：y=ax2 ，可知b=c=0，再将已知的点代入即可求出a的值；（2）设P（x，y），用x表示出⊙P的半径r，将半径r与P点纵坐标值比较得出答案即可；（3）此问较为复杂，分三种情况进行讨论，先分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．【难度】较难题【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（3分）（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，（5分）∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（6分）（3）方法一：设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，（7分）当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2，则a2=4±2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2，则a2=4±2；综上所述，P的纵坐标为：0或4+2或4﹣2．（10分）方法二：（3）设P（t，t2），∵r2﹣y2=4，∴MH=NH=2，∴M（t﹣2，0），N（t+2，0），A（0，2），∵△AMN为等腰三角形，∴AM=AN，AM=MN，AN=MN，（t﹣2）2+（2﹣0）2=（t+2）2+（2﹣0）2，∴t=0，（t﹣2）2+（2﹣0）2=42，∴t=2±2，（t+2）2+（2﹣0）2=42，∴t=﹣2±2，（7分）①当t=0时，P的纵坐标为0，②当t=2±2时，P Y=（2±2）2=4±2，∴P的纵坐标为4±2，③当t=﹣2±2时，P Y=（2±2）2=4±2，∴P的纵坐标为4±2，综上所述，P的纵坐标为：0或4+2或4﹣2．（10分）【点评】本题综合性较强，主要考查了二次函数的的图象、性质、动点问题的函数图像、等腰三角形性质、两点之间的距离公式、直线与圆的位置关系以及坐标与图形变化等众多知识点，难度较大，解题关键是学会运用数形结合的思想以及分类讨论思想．。

(整理)湖南省长沙市中考数学试卷解析版

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）=4+=6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）．9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转．．==90=180=7210．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．．y=y=二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．=（=17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．××．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=××=五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x=ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．y=，，则（=42b+=．＜，进而求出（y=≠x=，，时，，）k=，，（===．＜＞=，＞26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，进而与，±，x，，x r=r=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4a；=4（负数舍去）a2或2。

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2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）=44．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）+=6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）C9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）C D==90°=180°=72°10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax 2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）C Dy=y=的函数图象位于第二四象限，二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．=（=17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．2000××．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=×2×．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x=ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．（y=k≠时，解得；，k=k≠的坐标为（，，，，）4•=4==．＜+＞=，＞26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，a=±，x，，xr=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4（负数舍去）a；=4（负数舍去），则2或2。

2014年湖南省长沙市中考数学试卷解析版

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）=44．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）+=B6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）=90°=180°=72°10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）y=的函数图象位于第一三象限，y=的函数图象位于第二四象限，二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．==17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．2000××．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD 相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=AO•CD=2×．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x=ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．（y=k≠时，解得；，k=k≠的坐标为（，，，，）4•=4==．＜+＞=，＞26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，a=±，x，，xr=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4（负数舍去）a；=4（负数舍去），则2或2。

湖南省长沙市2014年中考数学试题及答案

2014年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A．2 B．－2 C．12D．－122．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014·长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和44．（3分）（2014·长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等5．（3分）（2014·长沙）下列计算正确的是（）AB．()224ab ab=C．236a a a+=D．34a a a⋅=6．（3分）（2014·长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若10cmAB=，4cmBC=，则AD的长为（）D C BAA．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．（3分）（2014·长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．1x>B．1x≥C．3x>D．3x≥8．（3分）（2014·长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，60DAB∠=︒，则对角线BD的长是（）60°D CBAA．1B C．2D．9．（3分）（2014·长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）D.C.B.A.10．（3分）（2014·长沙）函数ayx=与()20y ax a=≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014·长沙）如图，直线a b∥，直线c分别与a b，相交，若170∠=︒，则2∠=__________度．bac21312cab12．（3分）（201·长沙）抛物线()2325y x=-+的顶点坐标是__________．13．（3分）（2014·长沙）如图，A、B、C是O上的三点，100A B∠⋅=︒，则ACB∠=__________度．14．（3分）（2014·长沙）已知关于x的一元二次方程22340x kx-+=的一个根是1，则k=__________．15．（3分）（2014·长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是__________．16．（3分）（2014·长沙）如图，在ABC△中，DE BC∥，23DEBC=，ADE△的面积是8，则ABC△面积为__________．ED CBA17．（3分）（2014·长沙）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DF ∥，AB DE =，BE CF =，6AC =，则DF =__________．FEDCB A18．（3分）（2014·长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点()23A ，，点()21B -，，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是__________．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014·长沙）计算：()1201411453-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭．20．（6分）（2014·长沙）先简化，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫++ ⎪--⎝⎭，其中3x =．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分） 21．（8分）（2014·长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙－我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：在下面四种长沙小吃中,你最喜欢的是( )(单选)D.糖油粑粑C.唆螺B.口味虾A.臭豆腐调查问卷人数种类（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A 、B 、C 、D ，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A ”的概率． 22．（8分）（2014·长沙）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O ．OEDCB A（1）求证：AOE COD △≌△；（2）若30OCD ∠=︒，AB AOC △的面积．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 23．（9分）（2014·长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 24．（9分）（2014·长沙）如图，以ABC △的一边AB 为直径作O ，O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若3AB DE =，求tan ACB ∠的值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 25．（10分）（2014·长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（－1，－1），（0，0），，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点()2P m ，是反比例函数ny x=（n 为常数，0n ≠）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a >）的图象上存在两个不同的“梦之点”()11A x x ，，()22B x x ，，且满足122x -<<，122x x -=，令2157248t b b =-+，试求出t 的取值范围． 26．（10分）（2014·长沙）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和116⎫⎪⎭，两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的P 总经过定点()02A ，．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与x 轴相交；（3）设P 与x 轴相交于()10M x ，，()20N x ，()12x x <两点，当AMN △为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．A考点：倒数．分析：根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：12的倒数是2，故选：A ．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2．C考点：简单几何体的三视图．分析：找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．解答：解：A．圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B．六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D．四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．点评：考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．B考点：中位数；算术平均数．分析：根据中位数及平均数的定义求解即可．解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数2334845++++==．故选B．点评：本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．4．B考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．解答：解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．D考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据二次根式的加减，可判断A，根据积的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据同底数幂的乘法，可判断D．解答：解：A．被开方数不能相加，故A错误；B．积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；C．系数相加字母部分不变，故C错误；D．底数不变指数相加，故D正确；故选：D．点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．6．B考点：两点间的距离．分析：由10cmAB=，4cmBC=，可求出6cmAC AB BC=-=，再由点D是AC的中点，则可求得AD 的长．解答：解：∵10cmAB=，4cmBC=，∴6cmAC AB BC=-=，又点D是AC的中点，∴143m2AD AC==，答：AD的长为3cm．故选：B．点评：本题考查了两点间的距离，利用线段差及中点性质是解题的关键．7．C考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是3x>．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．8．C考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出DAB△是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴2AD AB==，又∵60DAB∠=︒，∴DAB△是等边三角形，∴2AD BD AB===，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出DAB△是等边三角形是解题关键．9．A考点：旋转对称图形．分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．解答：解：A．最小旋转角度3601203==︒；B．最小旋转角度360904==︒；C．最小旋转角度3601802==︒；D．最小旋转角度360725==︒；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．10．D考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分0a>和0a<两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．解答：解：0a>时，ayx=的函数图象位于第一三象限，2y ax=的函数图象位于第一二象限且经过原点，a<时，ayx=的函数图象位于第二四象限，2y ax=的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．点评：本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．110考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：直线a b∥，直线c分别与a，b相交，根据平行线的性质，以及对顶角的定义可求出．解答：解：∵170∠=︒，∴3170∠=∠=︒，∵a b∥，∴23180∠+∠=︒，∴218070110∠=︒-︒=︒．故填110．点评：本题考查两直线平行，同位角相等及邻补角互补．12．（2，5）考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线()2y a x h k=-+的顶点坐标为()h k，，由此即可求解．解答：解：∵抛物线()2325y x=-+，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为：（2，5）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线()2y a x h k=-+的顶点坐标为()h k，．13．50考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可直接求解．解答：解：111005022ACB A B∠=∠⋅=⨯︒=︒．故答案是：50．点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．2考点：一元二次方程的解．分析：把1x=代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．解答：解：依题意，得2213140k⨯-⨯+=，即2340k-+=，解得，2k=．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．15．1 20考点：概率公式．分析：由100件外观相同的产品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：5110020=．故答案为：120．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．18考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定，可得ADE ABC △∽△，根据相似三角形的性质，可得答案．解答：解；∵在ABC △中，DE BC ∥， ∴ADE ABC △∽△． ∵23DE BC =， ∴222439ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， 849ABCS =△， ∴18ABC S =△，故答案为：18．点评：本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质． 17．6考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据题中条件由SAS 可得ABC DEF △≌△，根据全等三角形的性质可得6AC DF ==．解答：证明：∵AB DE ∥， ∴B DEF ∠=∠ ∵BE CF =， ∴BC EF =，在ABC △和DEF △中， AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DEF △≌△()SAS ，∴6AC DF ==．故答案是：6．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 18．（－1，0）考点：轴对称－最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，求出C 的坐标，设直线BC 的解析式是y kx b =+，把B 、C 的坐标代入求出k 、b ，得出直线BC 的解析式，求出直线与x 轴的交点坐标即可．解答：解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小， ∵A 点的坐标为（2，3），B 点的坐标为（－2，1）， ∴C （2，－3），设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x ---=，解得：1x =-，∴P 点的坐标是（－1，0）．故答案为：（－1，0）．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称－最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1+2－3+1=1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式()()()2222121x x x x x +--+=⋅-- ()()()222121x x x x x +--=⋅--21x x +=-，当3x =时，原式325312+==-．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．考点：条形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；（2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A ”的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50－（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：种类人数（2）根据题意得：2000×1450×100%=560（人），则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；（3所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A ”的情况有1种，则116P =．点评：此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键． 22．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB CD =，90B D ∠=∠=︒，再根据翻折的性质可得AB AE =，B E ∠=∠，然后求出AE CD =，D E ∠=∠，再利用“角角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AO CO =，解直角三角形求出CO ，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB CD =，90B D ∠=∠=︒，∵矩形ABCD 沿对角线AC 折叠点B 落在点E 处， ∴AB AE =，B E ∠=∠， ∴AE CD =，D E ∠=∠，在AOE △和COD △中， D E AOE COD AE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AOE COD △≌△()AAS ；（2）解：∵AOE COD △≌△， ∴AO CO =，∵30OCD ∠=︒，AB =，∴cos302CO CD =÷︒==， ∴AOC △的面积11222AO CD =⋅=⨯点评：本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗（400－x ）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设至少应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗（400－a ）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设购买甲种树苗x 棵，则购买乙种树苗（400－x ）棵，由题意，得()20030040090000x x +-=，解得：300x =，∴购买乙种树苗400－300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设至少应购买甲种树苗a 棵，则购买乙种树苗（400－a ）棵，由题意，得 ()200300400a a -≥，解得：240a ≥．答：至少应购买甲种树苗240棵．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键． 24．考点：切线的性质．分析：（1）连接OD ，可以证得DE OD ⊥，然后证明OD AC ∥即可证明DE AC ⊥；（2）利用ADE CDE △∽△，求出DE 与CE 的比值即可．解答：（1）证明：连接OD ， ∵D 是BC 的中点，OA OB =， ∴OD 是ABC △的中位线，∴OD AC ∥，∵DE 是O 的切线， ∴OD DE ⊥， ∴DE AC ⊥；（2）解：连接AD ， ∵AB 是O 的直径， ∴90ADB ∠=︒， ∵DE AC ⊥，∴90ADC DEC AED ∠=∠=∠=︒， ∴ADE DCE ∠=∠ 在ADE DCE =∠△， AED DECADE DCE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴CDE ADE △∽△，∴DE CEAE DE=，设tan ACB x ∠=，CE a =，则DE ax =，3AC ax =，3AE ax a =-，∴3ax a ax a ax =-，整理得：2310x x -+=，解得：x ，∴tan ACB ∠=．点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE 与CE 的比值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分） 25．考点：二次函数综合题．分析：（1）先由“梦之点”的定义得出2m =，再将点P 坐标代入ny x=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（x ，x ），则有31x kx s =+-，整理得()311k x s -=-，再分三种情况进行讨论即可；（3）先将()11A x x ，，()22B x x ，代入21y ax bx =++，得到()211110ax b x +-+=，()222110ax b x +-+=，根据方程的解的定义可知1x ，2x 是一元二次方程()2110ax b x +-+=的两个根，由根与系数的关系可得121b x x a -+=，121x x a⋅=，则()()222121212221444b b a x x x x x x a -+--=+-⋅==，整理得出()222212b b a -=+-，则()22157612214848t b b a =-+=++．再由122x -<<，122x x -=，得出244x -<<，1288x x -<⋅<，即188a -<<，又0a >，解不等式组得出18a >，进而求出t 的取值范围．解答：解：（1）∵点()2P m ，是“梦之点”，∴2m =，∵点()22P ，在反比例函数ny x=（n 为常数，0n ≠）的图象上， ∴224n =⨯=，∴反比例函数的解析式为4y x=；（2）假设函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”（x ，x ），则有31x kx s =+-，整理，得()311k x s -=-，当310k -≠，即13k ≠时，解得131s x k -=-；当310k -=，10s -=，即13k =，1s =时，x 有无穷多解；当310k -=，10s -≠，即13k =，1s ≠时，x 无解；综上所述，当13k ≠时，“梦之点”的坐标为113131s s k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，；当13k =，1s =时，“梦之点”有无数个；当13k =，1s ≠时，不存在“梦之点”；（3）∵二次函数21u ax bx =++（a ，b 是常数，0a >）的图象上存在两个不同的“梦之点”()11A x x ，，()22B x x ，，∴2211122211x ax bx x ax bx =++=++，， ∴()211110ax b x +-+=，()222110ax b x +-+=， ∴1x ，2x 是一元二次方程()2110ax b x +-+=的两个不等实根， ∴121b x x a -+=，121x x a⋅=，∴()()222212121221121444b b b x x x x x x a a a --+⎛⎫-=+-⋅=-⋅== ⎪⎝⎭， ∴()2222441212b b a a a -=+-=+-， ∴()()22215715761221221484848t b b a a =-+=+-+=++． ∵122x -<<，122x x -=， ∴240x -<<或204x <<， ∴244x -<<， ∴1288x x -<⋅<，∴188a-<<， ∵0a >， ∴18a >∴()261256117214816486a ++>+=， ∴176t >．点评：本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax b =的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度． 26．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a ，b ，c 的值即可；（2）设()P x y ，，表示出P 的半径r ，进而与214x 比较得出答案即可；（3）分别表示出AM ，AN 的长，进而分别利用当AM AN =时，当AM MN =时，当AN MN =时，求出a 的值，进而得出圆心P 的纵坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和116⎫⎪⎭，两点，∴抛物线的一般式为：2y ax =，∴2116a =，解得：14a =±，∵图象开口向上，∴14a =， ∴抛物线解析式为：214y x =，故14a =，0b c ==；（2）设()P x y ，，P 的半径r ，又∵214y x =-，则r =化简得：214r x >， ∴点P 在运动过程中，P 始终与x 轴相交；（3）设214P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵PA =，作PH MN ⊥于H ，则PM PN =，又∵214PH a =，则2MH NH ==，故4MN =，∴()20M a -，，()20N a +，，又∵()02A ，，∴AM =AN =当AM AN =解得：0a =，当AM MN =4，解得：2a =±，则2144a =+；当AN MN =4，解得：2a =-±，则2144a =-；综上所述，P 的纵坐标为0或4+4-点评：此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据题意利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．。

【精校】2014年湖南省长沙市中考真题数学

2014年湖南省长沙市中考真题数学一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1.(3分)的倒数是( )A.2B.-2C.D.-解析：的倒数是2，答案：A.2.(3分)下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A. 圆锥B. 六棱柱C. 球D. 四棱锥解析：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；答案：C.3.(3分)一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是( )A. 3和3B. 3和4D. 4和4解析：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数==4. 答案：B.4.(3分)平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A.相等B.互相平分C.互相垂直D.互相垂直且相等解析：平行四边形的对角线互相平分，答案：B.5.(3分)下列计算正确的是( )A. +=B. (ab2)2=ab4C. 2a+3a=6aD. a·a3=a4解析：A、被开方数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、底数不变指数相加，故D正确；答案：D.6.(3分)如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为( )A. 2cmB. 3cmD. 6cm解析：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB-BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=3m，答案：B.7.(3分)一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是( )A. x＞1B. x≥1C. x＞3D. x≥3解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3.答案：C.8.(3分)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是( )A. 1B.C. 2D. 2解析：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2.答案：C.9.(3分)下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是( )A.B.C.D.解析：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A.答案：A.10.(3分)函数y=与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.解析：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合.答案：D.二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)11.(3分)如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=度.解析：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-70°=110°.答案：110.12.(3分)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.解析：∵抛物线y=3(x-2)2+5，∴顶点坐标为：(2，5).答案：(2，5).13.(3分)如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度.解析：∠ACB=∠AOB=×100°=50°.答案：50.14.(3分)已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1，则k= .解析：依题意，得2×12-3k×1+4=0，即2-3k+4=0，解得，k=2.答案：2.15.(3分)100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是.解析：∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=.答案：.16.(3分)如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18 .解析：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵=，∴=()2=，，∴S△ABC=18，答案：18.17.(3分)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .解析：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC=DF=6.答案：6.18.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 .解析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为(2，3)，B点的坐标为(-2，1)，∴C(2，-3)，设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：，解得.即直线BC的解析式是y=-x-1，当y=0时，-x--1=0，解得：x=-1，∴P点的坐标是(-1，0).答案：(-1，0).三、解答题(共2小题，每小题6分，共12分)19.(6分)计算：(-1)2014+-()-1+sin45°.解析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.答案：原式=1+2-3+1=1.20.(6分)先简化，再求值：(1+)÷，其中x=3.解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值.答案：原式=•=·=，当x=3时，原式==.四、解答题(共2小题，每小题8分，共16分)21.(8分)某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙-我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：(1)请补全条形统计图；(2)若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？(3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率.解析：(1)总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；(2)求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；(3)列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率.答案：(1)根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50-(14+21+5)=10(人)，补全统计图，如图所示：(2)根据题意得：2000××100%=560(人)，则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；(3)列表如下：所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=.22.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积.解析：(1)根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.答案：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD(AAS)；(2)∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，∴△AOC的面积=AO·CD=×2×=.五、解答题(共2小题，每小题9分，共18分)23.(9分)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元.(1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？解析：(1)设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(400-x)棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；(2)设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(400-a)棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可.答案：(1)设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(400-x)棵，由题意，得200x+300(400-x)=90000，解得：x=300，∴购买乙种树苗400-300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；(2)设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗(400-a)棵，由题意，得200a≥300(400-a)，解得：a≥240.答：至少应购买甲种树苗240棵.24.(9分)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB=3DE，求tan∠ACB的值.解析：(1)连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；(2)利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可.答案：(1)连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；(2)连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，，∴△CDE∽△DAE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax-a，∴，整理得：x2-3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=.六、解答题(共2小题，每小题10分，共20分)25.(10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(-1，-1)，(0，0)，(，)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2，m)是反比例函数y=(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足-2＜x1＜2，|x1-x2|=2，令t=b2-2b+，试求出t的取值范围. 解析：(1)先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；(2)假设函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”(x，x)，则有x=3kx+s-1，整理得(3k-1)x=1-s，再分三种情况进行讨论即可；(3)先将A(x1，x1)，B(x2，x2)代入y=ax2+bx+1，得到ax12+(b-1)x1+1=0，ax22+(b-1)x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+(b-1)x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1·x2=，则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2==4，整理得出b2-2b=(2a+1)2-2，则t=b2-2b+=(2a+1)2+.再由-2＜x1＜2，|x1-x2|=2，得出-4＜x2＜4，-8＜x1·x2＜8，即-8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围.答案：(1)∵点P(2，m)是“梦之点”，∴m=2，∵点P(2，2)在反比例函数y=(n为常数，n≠0)的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=.(2)假设函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”(x，x)，则有x=3kx+s-1，整理，得(3k-1)x=1-s，当3k-1≠0，即k≠时，解得x=；当3k-1=0，1-s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k-1=0，1-s≠0，即k=，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为(，)；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；(3)∵二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+(b-1)x1+1=0，ax22+(b-1)x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+(b-1)x+1=0的两个不等实根，∴x1+x2=，x1·x2=，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=()2-4·==4，∴b2-2b=4a2+4a-1=(2a+1)2-2，∴t=b2-2b+=(2a+1)2-2+=(2a+1)2+.∵-2＜x1＜2，|x1-x2|=2，∴-4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴-4＜x2＜4，∴-8＜x1·x2＜8，∴-8＜＜8，∵a＞0，∴a＞∴(2a+1)2+＞+=，∴t＞.26.(10分)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(，)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2).(1)求a，b，c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；(3)设⊙P与x轴相交于M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标.解析：(1)根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；(2)设P(x，y)，表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；(3)分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可.答案：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(，)两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a()2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；(2)设P(x，y)，⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；(3)设P(a，a2)，∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M(a-2，0)，N(a+2，0)，又∵A(0，2)，∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2，则a2=4±2；当AN=MN时，=4，解得：a=-2±2，则a2=4±2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4-2.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

湖南省长沙市中考数学试卷解析版

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）=44．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）+=6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）．9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）．．==90°=180°=72°10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．．y=y=二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．=（=17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．2000××．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=×2×．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x= ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．（y=k≠时，解得；，k=k≠的坐标为（，，，，）4•=4==．＜+＞=，＞26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，a=±，x，，xr=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4（负数舍去）a；=4（负数舍去），则2或2。

湖南省长沙市2014年中考数学真题试题(含答案)

2014年长沙市中考数学试卷(本卷共26个小题，满分120分，考试时间120分钟)一、选择题：(本大题10个小题，每小题3分，共30分)在每个小题的下面，都给出了A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的题号内． 1．21的倒数是( ) A ．2B ．-2C ．21 D ．-21 2．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A ．圆锥B ．六棱柱C ．球D ．四棱锥3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )A ． 3和3B ． 3和4C ． 4和3D ． 4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A ．相等B ．互相平分C ．互相垂直D ．互相垂直且相等 5 ．下列计算正确的是( )A ．752=+ B ．422)(ab ab = C ．a a a 632=+ D ．43a a a =⋅6 ．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD 的长等于( )A ． 2 cmB ． 3 cmC ． 4 cmD ． 6 cm 7 ．一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )A ． x >1B ．x ≥1C ．x >3D ．x ≥3 8．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB=60°, 则对角线BD 的长为 ( )A ． 1 BC ． 2D ．9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )10．函数a y x=与函数2y ax =（0a ≠）在同一坐标系中的图像可能是( ) A B DCA D B二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．如图，直线a ∥b,直线c 与a,b 相交，∠1=70°，则∠2= 度； 12．抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标为；13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠A OB=100°，则∠ACB= 度；14．已知关于x 的一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k= ． 15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为． 16．如图，△ABC 中，DE ∥BC,23DE BC =,△AD E 的面积为8，则△ABC 的面积为；17.如图，B 、E 、C、F 在同一直线上，AB ∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ；18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在x 轴上存在点P ，使P 到A,B 两点的距离之和最小，则P 的坐标为；三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分) 19．计算：201411(1)()453--+︒20．先化简，再求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中，x =3；四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘成如图所示的不完整条形统计图.a bc 12 第11题图第13题图 AEDC第16题图 C AF DE 第17题图小吃类别口味人数臭豆唆螺糖油粑请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人；（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D ，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A ”的概率；22.如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O, (1) 求证：△AEO ≌△CDO ；（2）若∠OCD=30°，求△ACO 的面积；五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。

2014年湖南省长沙市中考数学试卷(含解析版)

2014年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．的倒数是（）A、2B、－2C、D、－2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和44．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）A．+= B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6a D．a•a3=a46．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1C．x＞3 D．x≥38．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2 D．29．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度．14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= ．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= ．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B （﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．的倒数是（）A、2B、－2C、D、－倒数．考点：分根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．析：解：的倒数是2，解答：故选：A．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．点评：2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥简单几何体的三视图．考点：分析：找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．解答：解：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．点评：考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4考点：中位数；算术平均数．分析：根据中位数及平均数的定义求解即可．解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数==4．故选B．点评：本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．4．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．解答：解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．。

2014长沙中考数学试题(解析版)

湖南省长沙市2014年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－1=4．+=AC=43m=120°；=90°；=180°；=72°；10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）的函数图象位于第一三象限，y=解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18 ．∵=∴（，的坐标代入得：解得19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．====．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸×100%=560（人）．于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；AB=∴CO=CD÷cos30°==2AO•CD=×2×=五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；∴∴x=∴tan∠ACB=25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．，运用待定系数法即可求出反比例函数的，==2b+=．再由﹣＜，进而求出y=（y=k≠x=k=k=k≠（，，，s≠1，=（﹣4•=4=2+．＜∴a＞＞+=∴t＞．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；，进而与）和（，）∴（解得：a=±∵图象开口向上，∴a=，x，，又∵y=xr=＞xa，∵PA=PM=PN=，又∵PH=aMH=NH=，∴AM=，，时，=，时，=4解得：a=2±2a；时，=4﹣2±2（负数舍去），则；4+2或．。

湖南省长沙市中考数学试卷解析版

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、12D、－12考点：倒数．分析：根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．解答：解：12的倒数是2，故选：A．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥考点：简单几何体的三视图．分析：找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．解答：解：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A 选项不符合题意；B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．点评：考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．（3分）（2014•长沙）一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4考点：中位数；算术平均数．分析：根据中位数及平均数的定义求解即可．解答：解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数==4．故选B．点评：本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．4．（3分）（2014•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．解答：解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．（3分）（2014•长沙）下列计算正确的是（）A．+=B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6a D．a•a3=a4考点：幂的乘方与积的乘方；实数的运算；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据二次根式的加减，可判断A，根据积的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据同底数幂的乘法，可判断D．解答：解：A、被开方数不能相加，故A错误；B、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故B错误；C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、底数不变指数相加，故D正确；故选：D．点评：本题考查了积的乘方，积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm考点：两点间的距离．分析：由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD 的长．解答：解：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=AC=43m，答：AD的长为3cm．故选：B．点评：本题考查了两点间的距离，利用线段差及中点性质是解题的关键．7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据不等式组的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞3．故选：C．点评：本题考查了不等式组的解集，不等式组的解集是大于大的．8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1B．C．2D．2考点：菱形的性质．分析：利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解答：解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．考点：旋转对称图形．分析：求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．解答：解：A、最小旋转角度==120°；B、最小旋转角度==90°；C、最小旋转角度==180°；D、最小旋转角度==72°；综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．故选A．点评：本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数图象和反比例函数图象作出判断即可得解．解答：解：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点，a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点，纵观各选项，只有D选项图形符合．故选D．点评：本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，熟记反比例函数图象与二次函数图象的性质是解题的关键，难点在于分情况讨论．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）110度．11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：直线a∥b，直线c分别与a，b相交，根据平行线的性质，以及对顶角的定义可求出．解答：解：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．故填110．点评：本题考查两直线平行，同位角相等及邻补角互补．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解答：解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为：（2，5）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．考点：圆周角定理．分析：根据圆周角定理即可直接求解．解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．考点：一元二次方程的解．分析：把x=1代入已知方程列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值．解答：解：依题意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．故答案是：2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．此题是通过代入法列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．考点：概率公式．分析：由100件外观相同的产品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案．解答：解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案为：18．点评：本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．解答：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．故答案是：6．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．解答：解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐标代入得：解得．即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是能找出P点，题目具有一定的代表性，难度适中．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=1+2﹣3+1=1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当x=3时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．考点：条形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可；（2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：2000××100%=560（人），则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；（3）列表如下：A B C DA （A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B （A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C （A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D （A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，则P=．点评：此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS）；（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．点评：本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；（2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；（2）设至少应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．答：至少应购买甲种树苗240棵．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．考点：切线的性质．分析：（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；（2）利用△ADE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．解答：（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△ADE，∴，设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=．点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可；（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b ﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．解答：解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”，∴m=2，∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上，∴n=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；（2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=；当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解；当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解；综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根，∴x1+x2=，x1•x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4•==4，∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，∴﹣4＜x2＜4，∴﹣8＜x1•x2＜8，∴﹣8＜＜8，∵a＞0，∴a＞∴（2a+1）2+＞+=，∴t＞．点评：本题是二次函数的综合题，考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，形如ax=b的方程的解的情况，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等知识，综合性较强，有一定难度．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=，解得：a=0，当AM=MN时，=4，解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2；当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2；综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．点评：此题主要考查了二次函数综合以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据题意利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．。

年湖南长沙中考数学试卷

湖南省长沙市2014年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、12D、－122．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥+=BC=4cm，则AD的长为（）组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）．．．10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a ∥b ，直线c 分别与a ，b 相交，若∠1=70°，则∠2= 度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是．13．（3分）（2014•长沙）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度． 14．（3分）（2014•长沙）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k= ．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，=，△ADE 的面积是8，则△ABC 的面积为．17．（3分）（2014•长沙）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF= ．18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，进而与，±，x，，x r=r=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4a；=4（负数舍去）a2或2。

湖南省长沙市中考数学试卷(解析版)

湖南省长沙市2014年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）=+=B6．（3分）（2014•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AD=7．（3分）（2014•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2014•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）9．（3分）（2014•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原B=120===10．（3分）（2014•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）By=的函数图象位于第二四象限，二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2014•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2014•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=AOB=×14．（3分）（2014•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2014•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．=．故答案为：．16．（3分）（2014•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．=，=），17．（3分）（2014•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．，18．（3分）（2014•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．解得三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2014•长沙）计算：（﹣1）2014+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2014•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••，=四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2014•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．××P=22．（8分）（2014•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷AO CD=×．五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2014•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2014•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．y====．再由﹣＜，进而求出y=；时，解得；k=k=，时，的坐标为（，），k=，，）•=2b+=+＜＞＞+=．26．（10分）（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，进而与x）和（，=a）±，，y=，，y=x r=r=＞x，PA=，，PH=MH=NH=AM=，，时，=，=4（负数舍去），则=4+2时，=42，则a；4+2．。

2014wudaan年湖南省长沙市中考数学试卷解析版

2014年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）A 、2B、一21C、-2D、- 122. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A . 圆锥B .六棱柱C .球D .1四棱锥3 . （3分）（2014?长沙）一组数据3, 3, 4, 2, 8的中位数和平均数分别是()A . 3和3B . 3 和4C . 4 和3D .4和44 . （3分）（2014 ?长沙）平行四边形的对角线•定具有的性质是（)A相等B.互相平分C.互相垂直 D .互相垂直且相等5. ( 3分)(2014?长沙)下列计算正确的是( )A ..【+讶产Ti B. (ab2) 2=ab4C. 2a+3a=6a D. a?a3=a°6. （3分）（2014?长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm , BC=4cm，贝U AD的长为（）A D C BA . 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm7. （3分）（2014?长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（厂) A.0 12 3 4’A . x > 1B . x》C . x > 3D . x為& （ 3分）（2014?长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2, / DAB=60 °则对角线BD的长是（）A . 1 B.C. 2 D . 2 '；9. （ 3分）（2014?长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 120。

后，能与原图形完全重合的是（）A .二、填空题（共 8小题，每小题3分，共24分）11. （3分）（2014?长沙）如图，直线a // b ,直线c 分别与a , b 相交，若/仁70 °则/2=110 度.212. （3分）（2014?长沙）抛物线 y=3 （x -2） +5的顶点坐标是（2, 5）D .C .o B_ 210. （3分）（2014?长沙）函数y=与y=ax （a 旳）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（13. （3分）（2014?长沙）如图,A、B、C 是O O 上的三点，/ AOB=100 ° 则/ ACB= 50 度.214. （3分）（2014?长沙）已知关于x的一元二次方程2x2-3kx+4=0的一个根是1,贝V k= 215. （3分）（2014?长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测, 抽到不合格产品的概率是—一2厂16. （3分）（2014?长沙）如图，在△ ABC中, 面积为18 .DE 〃BC /! = ■, △ADE的面积是8，则△ ABC的17. （3分）（2014?长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上, 则DF= 6 .AB // DE , AB=DE , BE=CF , AC=6 ,18. （3分）（2014?长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点上存在点P到A，B两点的距离之和最小，贝U P点的坐标是A (2, 3)，点B (- 2, 1)，在x 轴(—1 ,0) .2*- *J4—B * 111-3 -2 -1 O 1 23；-1-2一四、解答题（共 2小题，每小题8分，共16分）21. （8分）（2014?长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了 50名同学进行我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图:调亘问卷在下面四种长沙小吃中f 你最喜爰的是（）（单选）X 、臭豆窝 B 、□味虾U 唆螺 D 、糖浊耙耙请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱臭豆腐”的同学有多少人?三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分） 19. （6 分）（2014?长沙）计算：（-1） 2014++ '：sin45 °20. （6分）（2014?长沙）先简化，再求值:（匕］J——，其中 x=3 .i 2 -4舌尖上的长沙-人数(3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号 A 、B 、C 、D ，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到A ”的概率.22. (8分)(2014?长沙)如图，四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿对角线 AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O .(1) 求证：△ AOE ◎△ COD ;(2) 若/ OCD=30 ° AB=J^，求△ AOC 的面积.9分，共18分)秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某 400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵五、解答题(共 2小题，每小题 23. (9分)(2014?长沙)为建设施工队计划购买甲、乙两种树苗共 200元，乙种树苗每棵 300元. (1)若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵?(2 )若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵?24. ( 9分)(2014?长沙)如图，以△ ABC的一边AB为直径作O 0,0 O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作O 0的切线交AC于点E .(1)求证：DE丄AC ;(2)若AB=3DE，求tan/ACB 的值.六、解答题(共2小题，每小题10分，共20分)25. (10 分) (2014?长沙)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点”,例如点(-1, - 1), (0, 0), ^2^2), ••都是梦之点”，显然，这样的梦之点”有无数个.(1)若点P (2, m)是反比例函数y=：i (n为常数，n旳)的图象上的梦之点”，求这个反比例函x数的解析式；(2)函数y=3kx+s - 1 ( k, s是常数)的图象上存在梦之点”吗？若存在，请求出梦之点"的坐标；若不存在，请说明理由；一2(3)若二次函数y=ax+bx+1 (a, b是常数，a>0)的图象上存在两个不同的梦之点”A (x1, X1),2i wB (x2, X2),且满足-2v X1V 2, |X1 - X2|=2，令t=b - 2b+------------- ，试求出t 的取值范围.48226. (10分)(2014?长沙)如图，抛物线y=ax +bx+c (a, b, c是常数，a崔))的对称轴为y轴，且经过(0, 0)和(：，•)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的O P总经过定点 A ( 0,162).(1 )求a, b, c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，O P始终与x轴相交；(3)设0 P与x轴相交于M ( x i, 0) , N (X2, 0) (x i< X2)两点，当△ AMN为等腰三角形时，求。