《一元二次方程》(第1课时)教案
一元二次方程(第一课时)教学设计
第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程教学目标1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．2．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．预习反馈1．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．如：下列方程：①1－x2＝0；②2(x2－1)＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．3．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．如：下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.新授内容一、一元二次方程的一般形式例1(教材P3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．【解答】去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.【方法归纳】 1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．2．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．【跟踪训练1】方程x2－2(3x－2)＋(x＋1)＝0的一般形式是(A)A．x2－5x＋5＝0 B．x2＋5x＋5＝0C．x2＋5x－5＝0 D．x2＋5＝0【跟踪训练2】(《名校课堂》21.1习题)一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．二、一元二次方程的解的意义例2(教材补充例题)关于x的一元二次方程(a＋1)x2－ax＋||a－1＝0的一个根为0，则a＝1．【思路点拨】将x＝0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可．注意二次项系数a＋1≠0.【跟踪训练3】已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是x＝－a(a≠0)，则a－b的值为(A) A．－1 B．0 C．1 D．2三、巩固训练1．若(p－2)x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则(D)A．p＝2 B．p≠0 C．p＞2 D．p≠2 2．把方程(x－2)(x＋2)＋(2x－1)2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(D)A．5、－4、6 B．1、－5、0 C．5、－2、1 D．5、－4、－3 3．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．4．根据题意，列出方程(不必解答)：(1)两个连续整数的积是210，求这两个数；(2)在一块长250 m、宽150 m的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1 191 m2，求这条路的宽度．解：(1)设其中一个整数为x，则另一个整数为(x＋1)，依题意，得x(x＋1)＝210.(2)设这条路的宽为x m，则(250－2x)(150－2x)＝250×150－1 191.四、课堂小结五、巩固训练1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 2．若(x＋1)2－1＝0，则x的值为(D)A．±1 B．±2 C．0或2 D．0或－2 3．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(B)A．m≥－34B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．方程4x2＋4x＋1＝0的解是(D)A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝x2＝12D．x1＝x2＝－125．解下列方程：(1)16x2－49＝0； (2)64(1＋x)2＝100；(3)(x－3)2－9＝0； (4)(3x－1)2＝(3－2x)2.解：(1)x1＝74，x2＝－74. (2)x1＝14，x2＝－94. (3)x1＝0，x2＝6. (4)x1＝45，x2＝－2.六、课堂小结(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说．。
《一元二次方程》数学教案8篇
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标：知识与技能目标：经历探索一元二次方程概念的过程，理解一元二次方程中的二次项、一次项、常数项；了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。
一元二次方程(第1课时) 教案 说课稿 课件 教学反思
22.1 一元二次方程（第1课时）保太中学高勇【教学任务分析】【教学环节安排】自主探究合作交流【问题3】综合以上两个方程思考:(1)方程两边是否都是整式．(2)方程中有几个未知数？(3)未知数的最高次数是几次？【问题4】总结一元二次方程的概念.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．【问题５】指出下列一元二次方程中的各项并说出一次项和二次项的系数.1.3t2+12t-2=02.-2y2-y-2=03.7x-3x2-2=0学生认真观察方程①②看有何特点.讨论交流并得出结论.教师指导学生总结一元二次方程的概念.（概念的几个要点：1、是整式方程2、只含有一个未知数3、未知数的最高次数是一次）学生看课本弄清一元二次方程的一般形式并思考：为什么规定a≠０？学生可适当讨论，交流.学生练习，教师指名回答.尝试应用例1．将方程3(1)5(2)x x x-=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.【分析】把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，经常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数．例２．若关于ｘ的方程2(3)10k x kx+-+=是一元二次方程，求ｋ的取值范围．练习1.下列方程是一元二次方程的是：（只填序号）2(1)481x=(6)40xy+=2(7)0ax bx c++=让学生尝试着利用去括号、移项、合并同类项等步骤完成例1．一名学生到黑板板书过程．在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会．学生回答并说出不是的理由，可适当让学生讨论.【当堂达标自测题】一、填空题1．一元二次方程x x 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．2．已知关于x 的一元二次方程012)1(2=-++x x m ，则m 应满足 ．3．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．二、选择题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A 13722+=-y x B 02652=--y xC x x x +=-25372 D 05)3(2=++-+c x b ax 2．把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A 10,3,1- B 10,7,1- C 12,5,1- D 2,3,1三、解答题1．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）x 2+5x+7=3x+11 （2）x(2x-5)=4x-10（3）(2x-1)2=(3-x)2（4）12)3)(31(2+=-+x x x2．根据下列问题列方程，并将它化成一元二次方程的一般形式．（1）一张桌子的桌面长为6米，宽为4米．台布面积是桌面面积的2倍．如果将台布铺在桌子上各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．（2）足协组织部分足球队比赛，按照比赛规则，要求每两个队都要在自己的主场踢一场，最后按积分排名次，结果本次比赛共踢了30场，问有几个队参加了比赛？。
8.1 一元二次方程 第一课时 教学设计-2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册
一元二次方程（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效地数学模型。
随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要，它既与现实生活密切联系,又贯穿于整个初中阶段数学的学习。
在初中数学中占有重要地位。
本节课选自鲁教版八年级数学下册第八章第一节《一元二次方程》的第1课时，本章内容共需要14个课时完成。
在前几册中，学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感知了方程的模型作用，积累了利用方程解决实际问题的经验，并能解决相关的实际问题。
本节课的一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程组及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。
这节课是一元二次方程的概念课，通过丰富的实例，抽象出一元二次方程的概念。
本节课的教学不仅使学生进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，而且提高了学生分析、比较、抽象和概括的能力。
为接下来的学习起到很好的铺垫作用。
2、教学目标及确立目标的依据:九年义务教育大纲对这部分的要求是：“使学生了解一元二次方程的概念”，依据教学大纲的要求及教材的内容，针对学生的理解和接受知识的实际情况，以提高学生的素质为主要目的而制定如下教学目标。
知识技能目标：1）理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式。
正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.2）会根据题意列一元二次方程，体会方程的模型思想。
过程性目标：经历“观察--尝试--解决--归纳”的全过程，体会一元二次方程在实际问题中的应用.情感态度目标：1）通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心.2）体会一元二次方程在实际生活中的应用.体会特殊与一般的关系，渗透方程的思想.德育目标：培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
核心素养目标：培养学生勤于思考、勇于探索、钻研创新的品质。
一元二次方程的教案(必备3篇)
一元二次方程的教案（必备3篇）1.一元二次方程的教案第1篇一、教学目标知识与技能（1）理解一元二次方程的意义。
（2）能熟练地把一元二次方程整理成一般形式并能指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。
过程与方法在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
情感、态度与价值观通过探索建立一元二次方程模型的过程，使学生积极参与数学学习活动，增进对方程的认识，发展分析问题、解决问题的能力。
二、教材分析：教学重点难点重点：经历建立一元二次方程模型的过程，掌握一元二次方程的一般形式。
难点：准确理解一元二次方程的意义。
三、教学方法创设情境——主体探究——合作交流——应用提高四、学案（1）预学检测3x-5=0是什么方程？一元一次方程的定义是怎样的？其一般形式是怎样的？五、教学过程（一）创设情境、导入新（1）自学本P2—P3并完成书本（2）请学生分别回答书本内容再（二）主体探究、合作交流（1）观察下列方程：（35-2x）2=9004x2-9=03y2-5y=7它们有什么共同点？它们分别含有几个未知数？它们的左边分别是未知数的几次几项式？（2）一元二次方程的概念与一般形式？如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数a≠0），其中，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项，如x2-x=56(三)应用迁移、巩固提高例1：根据一元二次方程定义，判断下列方程是否为一元二次方程？为什么？x2-x=13x(x-1)=5(x+2)x2=(x-1)2例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号得3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.学生练习：书本P4练习（四）总结反思拓展升华总结1.一元二次方程的定义是怎样的？2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
一元二次方程教学设计(第1课时)
17.1 一元二次方程一、教学目标（一）知识目标1、理解一元二次方程的概念.2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. （二）能力目标在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. ﹙三﹚情感与价值观1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.二、教学重点难点（一）重点一元二次方程的概念及一般形式.（二）难点1、由实际问题向数学问题的转化过程.2、正确识别一般式中的“项”及“系数”.三、教学流程：创设情境引入新课启发探究获得新知运用新知体验成功归纳小结拓展提高布置作业分层落实6、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
7、组织学生讨论一元二次方程的一般式：ax*2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，其中ax2叫做二次项， a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数； c叫做常数项。
例1:将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. (1)4x-3=5x2；(2)2(x+2)+8=3x(x-1).例2、当m取何值时，方程是关于x的一元二次方程五、练习巩固1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- =0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数六、板书设计。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
一元二次方程----公式法(第一课时) 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
课题：22.2一元二次方程----公式法（第1课时）教案一、教学目标知识与技能:1、了解一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况过程与方法:经历推导求根公式的过程,不但培养了学生推理的严谨性,而且发展学生的逻辑思维能力.情感态度与价值观:通过运用公式法解一元一次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习中获得成功的体验,与此同时,感受到公式的对称美,简洁美,最终对数学产生热爱的美好情感.二、教学的重、难点(1)教学重点:1.掌握用公式法解一元一次方程的一般步骤2.会用公式法解简单系数的一元二次方程(2)教学难点:推导一元一次方程求根公式的过程温故而知新1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(1)二次项系数化为1 (2)移项 (3)配方 (4)变形 (5)开方(6)求解 (7)定解2、用配方法解下列方程：3x²+ 6x -4= 0课题：22.2一元二次方程-----公式法（第1课时）一、学习目标1、了解一元二次方程求根公式的推导过程2、会运用公式法解简单系数的一元二次方程3、会用根的判别式来判定一元二次方程根的情况。
二、自学指导一请认真看课本P9页“探究”--P11页“例2”之前的所有内容,思考：1、理解记忆“归纳”中的重要结论：在方程20()++=≠0中ax bx c a①24->0 时，此方程有两个不相等的实数根；b ac② 24b ac - <0 时，此方程有 两个相等 实数根； ③ 24b ac - =0 时，此方程 没有 实数根.2、了解公式法的推导过程并熟记一元二次方程的求根公式. 6分钟后比比谁又快又准完成以上问题！公式法的产生你能用配方法解方程20()ax bx c a ++=≠0吗?1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半 的平方;4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.自学指导二请认真看课本P11页“例2”的所有内容：要求：1、结合求根公式看例题；2、利用公式法解一元二次方程的步骤：①把此方程化成一般形式，找出 a 、b 、c 的值；②求出 △ 的值，判断根的情况；③把a 、b 和 △的值代入公式中求解.6分钟后比谁又快又准完成自学检测内容！.2422a ac b a b x -±=+,042时当≥-ac b .442222a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+.2a c x ab x -=+.22222a c a b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.0:2=++a c x a b x 解自学检测1、用公式法解方程：22530x x +-=解: ∵a=2 b=5 c= -3∴24b ac - =52-4×2×(-3)=49＞125572224132b x a x x -±-±-±∴===⨯∴=-;= ∴24b ac ->0 时，此方程有两个不相等的实数根2、用公式法解方程：23x +=22121 34(4130(221a b c b ac b x a x x ∴==-=∴-=--⨯⨯=-±--±===⨯∴== ∴24b ac -=0 时，此方程有两个相等的实数根3、用公式法解方程：224x x -+=解：移项，得2240x x -+-=∵a=-1 b=2 c= -4∴24b ac - =22-4×(-1)×(-2)=-4<0∴方程没有实根∴24b ac -<0 时，此方程没有实数根我的收获 2≠0用公式法解一元一次方程ax +bx+c=0(a )的一般步骤：1..将方程化为一般形式，并写出a,b,c 的值22.4b ac ∆=-求出的值.123 x=2;b a -±.∆>0=⎽⎽⎽=⎽⎽⎽.（a ）当时，代入求根公式：求出一元二次方程的根：xx 230x -+=解：移项，得当堂训练必做题:1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：(1)x 2+x-6=0解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________， 1x =_________，1x =__________.(2)2x 2解：a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .=_________， 12x =x =_________(3) x 2-5x-7=0解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＜0. 方程 实数根.2.利用求根公式解下列方程：(1)3x 2-4x+2=0 (2)4x 2x +5 =0提高题:利用求根公式解下列方程：(x-1)(2x+3)=x 12 x=2b a -±∆=0==⎽⎽⎽.（b ）当时，代入求根公式：求出一元二次方程的根：x x ∆<0.（c ）当时，此方程无实数根。
人教版九上数学 21.2解一元二次方程(第1课时) 教案
21.1 解一元二次方程（1）【教学目标】知识与技能：1.会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．过程与方法：在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法．【教学重难点】重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n 0)的形式.【教学过程】一、复习引入【问题】1.求出下列各式中x的值，并说说你的理由．（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a>0）．说明：复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．2.什么是完全平方式？3. 填上适当的数，使下列各式成立.（1）x2+ 6x+ =(x+3)2(2) x2+8x+ =(x+ )2（3）a2+2ab+ =(a+ )2 (4)a2-2ab+=(a- )2二、探索新知【问题】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为6x 2 dm 2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程：10×6x 2=1500整理，得x 2=25x=±5x 1=5,x 2=-5棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5 dm说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．归纳：一般地，对于方程2x p =（1）当P ＞0时，方程有两个不等的实数根（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根（3）当P ＜0时，方程没有实数根【探究】你认为怎样解方程2(3)5x +=？学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到35x +=±，于是得到13x =-23x =-归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 说明：在学生讨论方程的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．【探究】怎样解方程2640x x ++=？归纳：1.通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；2.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程说明：引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．【例题讲解】例：解下列方程（1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x +=； （3）23640x x -+=．学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析得到（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=； （3）按照（2）的方式进行处理．总结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式20ax bx c ++=； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．说明：在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理等），通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．归纳：一般地，对于方程2()x n p +=（1）当P ＞0时，方程有两个不等的实数根，1x n =-+2x n =-（2）当P=0时，方程有两个相等的实数根12x x n ==-（3）当P ＜0时，方程没有实数根三、巩固练习教材9页第1、2题．说明：检查学生对基础知识的掌握情况，进一步掌握配方法四、小结作业小结：1. 要熟练直接开平方法和配方法的技巧，来解一元二次方程，2.掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。
17.1一元二次方程(第一课时)教学设计
《17.1一元二次方程》教学设计蚌埠六中王薇一、教材分析：一元二次方程的学习，是对已学过的实数、一元一次方程等知识的巩固，同时又是对今后学习的可化为一元二次方程的其它高次方程、二次函数等知识的基础。
本节课内容是八年级下册第17章《17.1一元二次方程》的第一节课，包括一元二次方程的概念及一般形式，是一元二次方程学习的重中之重。
由于学生们已经学习过一元一次方程的基本概念，有了用方程思想解决实际问题的经验，所以本节课也从实际问题出发，让学生认识一元二次方程，在建立一元二次方程的基础上，通过观察归纳出一元二次方程的概念。
二、学情分析：八年级学生经过以前的学习，已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的观察归纳能力，具有强烈的求知欲，课堂上独立思考、合作交流都是他们可以胜任的。
但部分学生在课堂上只停留在认真、专心听讲，缺少主动参与的意识；还有部分同学背概念背得很熟，但实际运用上有所欠缺。
所以在本节课的教学中，要继续培养学生观察归纳、合作交流的能力，同时，要积极培养他们学习数学的兴趣，调动他们学习的积极性，帮助他们在学习中建立成就感，养成良好的学习习惯。
三、教学目标：根据大纲的要求，本节教材的内容特点，学生的情况等，确定以下教学目标：知识与技能目标：了解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
过程与方法目标：对实际问题进行分析、观察，经历归纳出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型。
情感态度与价值观：利用旧知识学习新知识的教学方式可以培养学生的学习能力及合作交流能力，进一步渗透方程思想，帮助学生体会到数学与实际生活的紧密联系。
四、教学重点与难点：要运用一元二次方程解决问题，必须要先理解一元二次方程的概念，所以本节课的重点是一元二次方程的概念及一般形式；难点是理解一元二次方程的概念及一般形式，并且会把一元二次方程化为一般形式。
五、教学方法：类比教学、自主探究、讲练结合六、教学准备：多媒体课件。
211《一元二次方程教案》(第1课时).doc
22. 1 一元二次方程第一课时一、 教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 二、 教学目标了解一元二次方程的概念；一般式a/+bx+c 二0 （aHO ）及其派生的概念；应用一元二 次方程概念解决一些简单题H .1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3. 解决一些概念性的题目.4. 通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题來激发学生的学习热情. 三、 重难点关键1. 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概 念解决问题.2. 难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概 念迁移到一元二次方程的概念.四、 教学过程 （一、）复习引入 学牛活动：列方程.问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺•八寸，两隅相去适一 丈，问户高、广各儿何？ ”人意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽 各是多少? 如果假设门的高为x 尺，那么，这个门的宽为 _________ 尺，根据题意，得 __________ 整理、化简，得： __________ ・问题（2）如图，一块四周镶冇宽度相等的花边的地毯, 毯中央的长方形图案的面积为18m2,求花边有多宽？设花边的宽为“ in ，那么地毯屮央长方形图案的 长为 m, 宽 为 _____________ m,根据题意， 得方程： ____________________________________ . 问题（3）观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个 数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 设五个连续整数中第一个为x,那么后四个___________________________________ ，根据题意, 得方程： ___________________________________________________________________ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理. （二、）探索新知学生活动：请口答下面问题.（1）上面三个方程整理后含有儿个未知数？数为 __________ 它的长为8m,宽为5m,如果地(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是儿次？(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：(1)都只含一个未知数x； (2)它们的最高次数都是2次的；(3)都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程.-般地，任何一个关于x的一元•二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (aHO).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (aHO)后，其屮ax'是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.(阅读练习册P1例题)巩固练习1、下列方程中，一元二次方程冇( )个(1)/ = 3 (2)5酹=3(/・ 1) ⑶丄二/ (+)yz・ A2 =5 (5)5/ ・2x = 5(/ +2)(/ ・ 1)x 4A. 2B. 3 C・ 4 D. 5例1.将方程(8-2x) (5-2x)二18化成一元二次方程的一般形式，并写出其屮的二次项系数、一次项系数及常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(8工0).因此，方程(8~2x) ( 5~2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去•括号、移项等.解：去扭号，得:40-16x-l 0X+4X2= 18移项，得：4x-26x+22=0其中二次项系数为4, 一次项系数为-26,常数项为22.(三、)巩固练习教材匕练习1、(四、)应用拓展例2.求证:关于x的方程(m2-8m+17) x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论m収何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 H0即可. 证明:m2-8m+17= (m-4) 2+1•・• (m-4)空0・・・(m-4) 2+1>0, B|J (m-4) 2+1^0・・・不论m取何值，该方程都是一元二次方程.五、归纳小结(学生总结，老师点评)本节课要掌握：(1) 一元二次方程的概念；(2) 一元二次方程的一般形式ax'+bx+c二0 CaHO)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业1.练习册P H提升:(A组)2.选用作业设计.作业设计一、选择题1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().①3x'+7二0 ②ax"+bx+c二0 ③(x-2) (x+5) =x2-l ④3x2-— =0XA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().A. p=lB. p>0C. pHOD. p 为任意实数二、填空题1.____________________________________ 方程3x「3二2x+l的二次项系数为, 一次项系数为 ______________________________________________ ,常数项为2.一元二次方程的一般形式是__________ .3.关于x的方程(旷1) X2+3X=0是一元二次方程，则a的取值范围是 __________ .三、综合提高题1. a满足什么条件时，关于x的方程a (x2+x) =>/3x- (x+1)是一元二次方程?2.关于x的方程(2m2+m) x,,M+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？反思提高：。
《一元二次方程》第一课时(说课稿)
《一元二次方程》第一课时（说课稿）新蔡县孙召镇初级中学周长伟各位领导、老师大家好：很荣幸参加这次活动，并希望得到您的指导。
我说课的题目是：华师大版教材九年级上册第23章第一节《一元二次方程》。
我要说的内容有以下五点：1、说教材，2、说目标，3、说教学方法；4、说教学程序；5、说评价。
下面分别谈一谈：一、说教材。
1、教材分析：本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察、类比、归纳出一元二次方程的概念，是学习一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。
本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及应用起到铺垫作用。
2、教学重点：一元二次方程的概念及一般形式。
3、教学难点：通过实例建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念类比、迁移得到一元二次方程的概念。
二、说目标。
1、知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。
2、能力目标：经历抽象一元二次方程的过程，使学生体会出方程是刻画现实生活中数量关系的一个有效数学模型。
3、情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、合作交流的精神；激发学生的学习热情。
三、说教学方法1教法分析本节课主要采用类比发现法为主，以讨论、合作、探索、练习为辅的教学方法。
2．学法指导本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、合作交流、类比归纳，最后抽象所学知识。
3教学手段采用电脑多媒体辅助教学，利用投影展示交流。
四、说教学程序1创设情境导入新课问题(1)：是考查巩固长方形面积计算的一个实际问题；问题(2):是考查黄金分割点的问题；问题(3):是考查增长率的问题。
通过三个实际问题进一步让学生明确列方程解实际问题的思路和方法，把实际问题转化成数学问题，让学生合作交流、归纳总结得出方程:(1)x(x+10)=900 (2)x2=1·(1-x)(3)5(1+x)2=7.2此方程的建立为下环节的教学作好铺垫。
九年级数学：21.1一元二次方程教案(第一课时)
2.一元二次方程的一般形式：
我们把一元二次方程按未知数的降幂排列有：20(0)
ax bx c a
++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.
想一想：为什么要限制a≠0 ？ b、c可以为零吗？强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
一元二次方程教案1
第1课时22．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．，那么点C叫做线段AB的黄金问题（2）如图，如果 EMBED Equation.DSMT4分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x ；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1．将方程3x （x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0）．因此，方程3x （x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材P 32 练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2- EMBED Equation.DSMT4 =0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0四、应用拓展例3．求证：关于x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8m+17•≠0即可． 证明：m 2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．• 练习:1.方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 2.当m 为何值时,方程(m+1)x ／4m ／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P 34 习题22．1 1(2)(4)(6)、2．2．选用作业设计．补充:若x 2-2x m-1+3=0是关于x 的一元二次方程,求m 的值作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- EMBED Equation.DSMT4=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= EMBED Equation.DSMT4 x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________x2-3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________-3 -3 所以，________<x<__________-3 所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.3 3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________3.4 x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________x2-3x-1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________-0.96 -0.36 所以，________<x<__________-0.36 所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．课后反思教学内容1．一元二次方程根的概念；2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重难点关键1．重点：判定一个数是否是方程的根；2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=441 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=442 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=443 4 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=444 5 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=445 6 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=446 7 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=447 8 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=448 9 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=449 10 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=4410 11 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=4411 … x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44… x2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44x 2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44x 2-8x+20 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44… 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 … 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44 问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x 2+7x-44=0即x 2+7x=44x 2+7x … 列表：x 1 2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：1 2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：2 3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：3 4 5 6 … x 2+7x … 列表：4 5 6 … x 2+7x … 列表：5 6 … x 2+7x … 列表：6 … x 2+7x … 列表：… x 2+7x … 列表：x 2+7x … 列表： … 列表：… 列表：… 列表： … 列表： … 列表： … 列表： … 列表：列表：列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材P33思考题练习1、2．四、应用拓展例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？设长为xcm，则宽为（x-5）cm列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．（2）完成下表：x 10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？10 11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x 是多少吗？11 12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？12 13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？13 14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？14 15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？15 16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？16 17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？17 … x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？… x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？x2-5x-150 （3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？（3）你知道铁片的长x是多少吗？分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，•但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm10 11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm11 12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm12 13 14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm13 14 15 16 17 ...... x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 (3)铁片长x=15cm14 15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm15 16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm16 17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm17 …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm …… x2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cmx2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cmx2-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm-24 0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm0 26 54 …… （3）铁片长x=15cm26 54 …… （3）铁片长x=15cm54 …… （3）铁片长x=15cm…… （3）铁片长x=15cm（3）铁片长x=15cm（3）铁片长x=15cm五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材P 34 复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．作业设计一、选择题1．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．A ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=22．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．A ．x 1=b ，x 2=aB ．x 1=b ，x 2= EMBED Equation.DSMT4C ．x 1=a ，x 2=EMBED Equation.DSMT4 D ．x 1=a 2，x 2=b 23．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则 EMBED Equation.DSMT4=（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．2二、填空题1．如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________．2．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．3．方程（x+1）2+ EMBED Equation.DSMT4 x （x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．三、综合提高题1．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．2．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ EMBED Equation.DSMT4 ）2-2x EMBED Equation.DSMT4 +1=0，•令 EMBEDEquation.DSMT4 =y ，则有y 2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x 2-1）2+（x 2-1）=0中，求出（x 2-1）2+（x 2-1）=0的根．课后反思第3课时 22.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ EMBED Equation.DSMT4 ）2 EMBED Equation.DSMT4．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x 换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t 1=1，t 2=--2例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=± EMBED Equation.DSMT4即x+3= EMBED Equation.DSMT4 ，x+3=- EMBED Equation.DSMT4 所以，方程的两根x 1=-3+ EMBED Equation.DSMT4 ，x 2=-3- EMBED Equation.DSMT4例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2 解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材P 36 练习．补充题：如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s •的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？老师点评：问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2x依题意，得： EMBED Equation.DSMT4 x ²2x=8x 2=8根据平方根的意义，得x=±2 EMBED Equation.DSMT4即x 1=2 EMBED Equation.DSMT4 ，x 2=-2 EMBED Equation.DSMT4可以验证，2 EMBED Equation.DSMT4 和-2 EMBED Equation.DSMT4 都是方程 EMBED Equation.DSMT4x ²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2 EMBED Equation.DSMT4 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+ EMBED Equation.DSMT4 ）2=2.56，即（x+ EMBED Equation.DSMT4）2=2．56x+ EMBED Equation.DSMT4=±1.6，即x+ EMBED Equation.DSMT4=1.6，x+ EMBED Equation.DSMT4=-1.6方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=± EMBEDEquation.DSMT4转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0），那么mx+n=± EMBED Equation.DSMT4，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-22．方程3x 2+9=0的根为（ ）．A ．3B ．-3C ．±3D ．无实数根3．用配方法解方程x 2- EMBED Equation.DSMT4 x+1=0正确的解法是（ ）．A ．（x- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4，x=EMBED Equation.DSMT4 ± EMBED Equation.DSMT4 B ．（x-EMBED Equation.DSMT4 ）2=- EMBED Equation.DSMT4 ，原方程无解C ．（x- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4，x 1=EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4，x 2= EMBEDEquation.DSMT4 D ．（x- EMBED Equation.DSMT4）2=1，x 1= EMBEDEquation.DSMT4 ，x 2=- EMBED Equation.DSMT4二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 为实数，满足 EMBED Equation.DSMT4 +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？课后反思第4课时 22.2.2 配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得或mx+n=± EMBED x=± EMBED Equation.DSMT4Equation.DSMT4（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程=0（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x- EMBED Equation.DSMT4分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P39练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．根据题意，得： EMBED Equation.DSMT4（8-x ）（6-x ）= EMBED Equation.DSMT4³ EMBED Equation.DSMT4 ³8³6整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．3(1)(2)2．选用作业设计．一、选择题1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-113．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）．A ．1B ．-1C ．1或9D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式 EMBED Equation.DSMT4的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．三、综合提高题1．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x 2-4x+y 2+6y+ EMBED Equation.DSMT4 +13=0，求（xy ）z 的值．3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？课后反思第5课时 22.2.2 配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x 2-4x+7=0 （2）2x 2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． 例1．解下列方程（1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方．解：略三、巩固练习教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y ，那么（6x+7）2=y 2，其它的3x+4= EMBED Equation.DSMT4（6x+7）+ EMBEDEquation.DSMT4 ，x+1= EMBED Equation.DSMT4（6x+7）- EMBEDEquation.DSMT4，因此，方程就转化为y •的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4= EMBED Equation.DSMT4 y+ EMBED Equation.DSMT4，x+1= EMBED Equation.DSMT4 y- EMBED Equation.DSMT4依题意，得：y 2（ EMBED Equation.DSMT4y+ EMBED Equation.DSMT4）（ EMBED Equation.DSMT4 y- EMBED Equation.DSMT4 ）=6去分母，得：y 2（y+1）（y-1）=72y 2（y 2-1）=72， y 4-y 2=72（y 2- EMBED Equation.DSMT4 ）2= EMBED Equation.DSMT4y 2- EMBED Equation.DSMT4 =± EMBED Equation.DSMT4y 2=9或y 2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=- EMBED Equation.DSMT4当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- EMBED Equation.DSMT4所以，原方程的根为x 1=- EMBED Equation.DSMT4，x 2=- EMBEDEquation.DSMT4例3求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0.五、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
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整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方பைடு நூலகம்整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果 ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那 么BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（ a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教 材P34习题22． 1 1、2．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
第一步：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3
所以，________<x<__________
第二步：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36
所以，________<x<__________
（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
（2）通过以上 探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．
教学过程
一、复习引入学生活动：列方程．
问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺 八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得___ _____．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．态度、情感、价值观
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念 并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．3，-2，-4
2．ax+bx+c=0（a≠0）
3．a≠1
三、1．化为：ax2+（a- +1）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．
2．可能，因为当 ，
∴当m=1时，该方程是一元二次方程．
3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4（2）3，3
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2- =0
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．
A．2，3，-6 B．2， -3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
三、巩固练习
教材P32练习1、2
四、应用拓展
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的 最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元 二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去 括号、移项等．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数
二、填空题
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则a的取值范围是________．
三、综合提高题
1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
22．1一元二次方程
课题：
设计人：
授课人：
设计时间：
授课时间：
教学设计
授课备注
22．1一元二次方程
第一课时
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 ．教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．