一元二次方程教学案例及反思

一元二次方程教学案例及反思

一、案例背景

1、教材分析：

一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时，主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定义。

2、学生分析

在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。教师要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。

3、教学目标：

（1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。

（2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。

（3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

4、教学重点：

一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。

5、教学难点：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

6、教学思路：

以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。

二、课堂实录：

（一）复习引入

师：我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。

师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？

生1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。

生2：不是“式子”应该是整式方程。

师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。

（二）探究新知

师：请同学们阅读课本问题1、问题2，你们发现了什么？

生1：用方程解实际问题。

生2：列出的两个方程是一个未知数，不过未知数的指数是2

师：很好，我们看下列的方程，它们都有什么共同点？分组讨论下？ 0422=-+x x ；0350752=+-x x ； 562=-x x

小组1：它们都有一个未知数，而且是个等式。

小组2：它们的未知数的最大次数都是2。

小组3：和一元一次方程类似，我们可以把它叫做一元二次方程。

师：大家都讲得很好，特别是小组3，通过和以前学过的知识比较，总结出一个新的知识来，这个做法很好，在数学上叫做类比思想，我们要好好利用这种方法。

师：那么什么是一元二次方程？

（受到老师的激励，学生纷纷举手）

生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

师：我们知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a ≠0）,那么一元二次方程的一般形式是怎样的呢？

生：02

=++c bx a x

师：那个同学还有什么意见？可以讨论一下。

学生在讨论，老师提示：a 、b 、c 表示常数，这些字母可以取任意数的，在这里可以吗？

小组1：a 、b 不能等于0，等于0，未知数就没了，不是方程了。

小组2：我们组认为，a ≠0，b 、c 可以等于0，这样方程还是一元二次方程，只不过缺项了。

师：小组2的总结比较精确，在一般形式02=++c bx a x 中，a ≠0。如果b=0或c=0的话，一元二次方程还有哪些特殊的形式？

生1：()002≠=+a bx ax

生2：()002≠=+a c ax 生3：()002

≠=a ax 师：很好，还有三种特殊的形式，最难得的是大家都明白a ≠0

师：一般形式02

=++c bx a x （a ≠0）其中2ax 是二次项，a 是二次项的系数；bx 是一次项，b 是一次项的系数；c 是常数项。

教师讲解课本26页例题，类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号。

（三）学生练习

老师出示题目

（1）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2- x

5 =0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

（2）关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________

（3）写出下列方程的二次项系数、一次项系数及常数项

老师叫两个学生到黑板上写

① 5x x 412=- ②()2524=+x x

生1： 解：（1）选C （2）a ≠1

(3) 5x x 412=-二次项系数是5，一次项系数是-4，常数项是-1

生2： 解：（1）选B （2）a ≠1

(3)：5x x 412=-二次项系数是5，一次项系数是4，常数项是-1

()2524=+x x 二次项系数是4，一次项系数是1，常数项是25 师：同学们对两位同学在黑板上的解答有什么意见？

生3：第（1）题我选A ，第（2）题是a ≠1，第（3）题5x x 412=-二次项系数是5，一次项系数是-4，常数项是-1、()2524=+x x 二次项系数是4，一次项系数是8，常数项是-25

师：请你说说一下你的理由。

生3：第（1）题的理由是：②ax 2+bx+c=0一元二次方程的二次项系数不能是0，当a=0时，不合题意，③（x-2）（x+5）=x 2-1要把它变为一元二次方程的

标准形式，化简后是3x-9=0不是一元二次方程，④3x 2- x

5 =0分母有未知数，而一元二次方程是整式方程，所以它也不是一元二次方程，所以只有一个是一元二次方程，选A ；第（2）题的理由是：一元二次方程的系数不能为0即a-1≠0解得a ≠1；第（3）题的理由是：要把这2道题变成标准形式才能找出它们的系数和常数项。

师：说得非常棒，你把老师想说的都说出来了，同学们要记住，一元二次方程是个整式方程，分母不能有未知数，二次项系数不能是0，要找它们的系数和常数项时先要化成标准形式。

（四）探究新知

师：那个同学知道什么是方程的解？

生：使方程左右两边相等的数是方程的解

师：对了，问题2我们列出方程562=-x x ，那么它的解是多少？各小组讨论一下。

老师提问每个小组的代表，答案都是x=8

师：我们可不可以从负数考虑下？