2018年高考数学大题狂练系列(第01期)综合模拟练01理

综合模拟练01
1．已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足112n n
a b n a +⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．
【答案】（Ⅰ）1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（Ⅱ）1．
试题解析：（Ⅰ）因为11S a +， 33S a +， 22S a +成等差数列， 所以()()()3311222S a S a S a +=+++， 所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+， 所以314a a =，
因为数列{}n a 是等比数列， 所以
2311
4
a q a ==， 又0q >，所以12
q =
， 所以数列{}n a 的通项公式1
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；
所以()
()()1121121120n n n
n n T T n n n ++⎡⎤-=⋅+--⋅+=+⋅>⎣⎦
所以1n n T T +> 所以{}n T 是递增数列 所以()1min 1n T T == 所以1m ≤
所以m 的最大值为1
考点：1．数列的通项公式；2．数列的求和；3．数列的最值．
【方法点睛】数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组
11{ n n n n a a a a +-≥≥ ()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组1
1
{ n n n n a a a a +-≤≤
()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；
2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过
1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．
2．在五面体ABCDEF 中， AB CD EF , 222CD EF CF AB AD =====,
60DCF ∠= ， AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD .
（1） 证明: 直线CE ⊥平面ADF ；
（2） 已知P 为棱BC 上的点，试确定P 点位置，使二面角P DF A --的大小为60 . 【答案】(1)见解析；(2) P 点靠近B 点的CB 的三等分点处.
（1）∵CD EF , ∴2CD EF CF === ∴四边形CDEF 为菱形,∴CE DF ⊥
∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ⋂平面ABCD CD =, ∵AD CD ⊥∴AD ⊥平面ACDEF ∴CE AD ⊥,又∵AD DF D ⋂= ∴直线CE ⊥平面ADF
（2）∵60DCF ∠=
,
∴DEF 为正三角形，取EF 的中点G ,连接GD ,则GD EF ⊥
∴GD CD ⊥,
∵平面CDEF ⊥平面ABCD , GD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ⋂平面ABCD CD =, ∴GD ⊥平面ABCD
设平面PDF 的法向量为(),,n x y z =
∵0,0n DF n DP ⋅=⋅=
,
∴()0{
20
y ax a y =+-=，
令y =
，则)2,x a z a =-=-
∴
))
2,n a a =
--
∵二面角P DF A --为60
,
∴cos ,n CE n CE n CE ⋅==
12
=，解得23a = ∴P 点靠近B 点的CB 的三等分点处
点睛：本题考查了线面垂直的证明方法．线面垂直可以转化成证明面面垂直，也可以证明直线垂直平面内的两条相交直线．同时考查了空间直角坐标系在立体几何中的运用能力和计算能力，属于难题。

3．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。

现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
(Ⅰ) 若x 与y 成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？
(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。

甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为1
3
，不获得奖学金的概率均为
4
15
. ⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；
⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。

附： ()()()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑， ˆˆa y bx
=-。

【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）
6
11
；（2）分布列见解析，期望为600.
试题解析：
7665665x ++++=
=， 165142148125150
1465
y ++++==
()()()
12
1190021020101ˆ00n
i i i n i i x x y y b x x ==--++++===++++-∑∑， 14620626ˆˆa y bx =-=-⨯=
…
当 8x = 时， 208ˆ26186y
=⨯+= 即某天售出8箱水的预计收益是186元。

即
的分布列为：
（元）
4．已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>
x 轴的直线1l 与椭圆C 交
于A ， B
两点，且AB =
2l ： ()y k x m =- 34m R m ⎛
⎫
∈> ⎪⎝⎭
，
与椭圆C 交于M ， N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点504R ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，若·
RM RN 是一个与k 无关的常数，求实数m 的值. 【答案】（1）2
212
x y +=；
（2）1 【解析】试题分析：（1）由题意，
22b a =
2c e a ==，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理2122412mk x x k +=+， 22122
22
12m k x x k
-=+，所以()
2212122
35225525441216m m k RM RN x x y y k ---⎛⎫⎛⎫
⋅=--+=+ ⎪⎪+⎝
⎭⎝⎭ ，所以23524m m --=-，解得1m =
.
（2）设()11M x y ，， ()22N x y ，，联立方程()2
21{ 2x y y k x m +==-，
，
消元得
()2
2
222124220k x
mk x k m +-+-=，
()()()
242
2
2
2221641222821m k k k m
k m k ∆=-+-=-+，
∴2122412mk x x k +=+， 22122
22
12m k x x k
-=+， ()()()2121212121255525
44416RM RN x x y y x x x x k x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+++-- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
()
()()
222
222
12122
35225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---⎛⎫=+-++++=+ ⎪+⎝⎭
又RM RN ⋅
是一个与k 无关的常数，∴23524m m --=-，即23520m m -+=，
∴11m =， 223m =
.∵3
4
m >，∴1m =. 当1m =时， 0∆>，直线2l 与椭圆C 交于两点，满足题意. 5．已知函数()ln a
f x x x
=+
（a R ∈）. （1）判断函数()f x 在区间)
2
,e -⎡+∞⎣上零点的个数；
（2）当1a =-时，若在[]
1,e （ 2.71828e =⋯）上存在一点0x ，使得()000
1
x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2) ()21,2,1e e ⎛⎫
+-∞-⋃+∞ ⎪-⎝⎭
.
解析：（1）令()ln 0a f x x x
=+
=， )2,x e -⎡∈+∞⎣，得ln a x x -=. 记()ln H x x x =， )
2
,x e -⎡∈+∞⎣，则()'1ln H x x =+， 当()
1
0x e -∈，时， ()'0H x <， 当()
1
x e -∈∞，时， ()'0H x >，
由此可知()H x 在区间21,e e --⎡⎤⎣⎦上单调递减，在区间()
1
,e -+∞上单调递增， 且()
2
220H e
e --=-<， ()
110H e e --=-<. 又()0H e e =>，
故当1a e
>
时， ()f x 在区间)2
,e -⎡+∞⎣上无零点. 当1a e =或22a e
<时， ()f x 在区间)2
,e -⎡+∞⎣上恰有一个零点. 当221a e e
≤<时， ()f x 在区间)2
,e -⎡+∞⎣上有两个零点. （2）在区间[]
1,e （ 2.71828e =⋯）上存在一点0x ，使得()000
1
x mf x x +
<成立等价于函数()()11ln m
h x x mf x x m x x x x
=+
-=+-+在区间[]1,e 上的最小值小于零. ()()()222221111'1x x m m m x mx m h x x x x x x
+-----=---==
.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决。

但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法。

6．选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；
(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【答案】(1)2(2)16
试题解析：
(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴
∴直线的参数方程为（为参数）
将代入得：
设两点所对应的参数为，则∴
(2) 设为内接矩形在第一象限的顶点，，
则矩形的周长
∴当即时周长最大，最大值为16．
11 7．已知函数()211f x x x =+--.
（1）求不等式()2f x <的解集；
（2）若关于x 的不等式()2
2
a f x a ≤-有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）24,3x ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）[]
1,3a ∈-
试题解析：解：（1）当1x ≥时，无解； 当112x -
<<时， 1223
x -<<； 当12x ≤-时， 142x -<≤-. 综上， 24,3x ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭
. （2）函数()f x 的最小值为32-， 2322
a a -≥-，所以[]1,3a ∈-.。