SPSS课程PPT( 置信区间估计)

若 X1 , X 2 ,, X n 为来自X 的样本，
假设总体X 的前k 阶矩存在 ,
且均为 1 , 2 ,, k 的函数 即 ,
8
l E ( X ) x f ( x;1 , 2 ,, k )dx (X为连续型)
l l

或 l E ( X l x 6 (0 75 1 90 2 54 3 22 250 nk 4 6 5 2 6 1) 1.22. k 0
knk k 0
6
故 E ( X ) 的估计为1.22 .
5
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已

ˆ 这样得到的 与样本值 x1 , x2 ,, xn有关, 记为 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ), 参数 的最大似然估计值 ,
ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数 的最大似然估计量.
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( 2) 设总体 X 属连续型
似然函数的定义
设概率密度为 f ( x; ), 为待估参数, , ( 其中 是 可能的取值范围 )
1 E ( X ) x

2

1

2
e ( x ) / dx ,
2 E( X ) x

1

e ( x ) / dx 2 2 ( ).
分别以一阶、二阶样本矩 A1 , A2
代替上两式中的 1 , 2 , 有
14
例4
设总体 X 在[0, ]上服从均匀分布, 其中
( 0) 未知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的样本, 求 的估计量.
解
因为 1 E ( X )

2
,
根据矩估计法, 令
ˆ 2
A1 X ,
ˆ 所以 2 X 为所求 的估计量.
6
2.估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故对不同的样本值, 得 到的参数值往往不同, 如何求估计量是关键问题. 常用构造估计量的方法: (两种) 矩估计法和最大似然估计法.
(1). 矩估计法 复习
设 X 和 Y 是随机变量若E ( X k ), k 1,2, 1. , 存在, 称它为X 的 k 阶原点矩简称 k 阶矩. ,
2
3 n ˆ A1 3( A2 A12 ) X ( X i X )2 . b n i 1
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例6
2
设总体 X 的均值 和方差 2 都存在, 且有
2
0, 但 和 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 1 E ( X ) , 解 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 2 , A1 , 令 2 2 A2 . ˆ 解方程组得到矩估计量分别为 A1 X ,
生物统计与实验设计
Biological Statistics And Experimental Designs
第二章 置信区间估计
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 参数的点估计 估计量的评选标准 参数的区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 两个正态总体均值及方差比的置信区间 单侧置信限
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为 .
次数 X 是一个随机变量 假设它服从以 0 为参 , 数的泊松分布, 参数 为未知, 设有以下的样本值 , 试估计参数 .
4
着火次数 k 发生 k 次着 火的天数nk
解
0
1
2
3
4 5 6
75 90 54 22 6 2 1 250
所以 E ( X ).
因为 X ~ π( ),
2
2.1
1. 点估计问题的提法 2. 估计量的求法 3. 小结 点
点估计
估 计 方 法
估
计
区间估计
矩估计法 最大似然法
3
1.点估计问题的提法
设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个 或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来 估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题. 例1 在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的
，
11
例3
设总体X的概率密度为
1 ( x ) / e , x , f ( x; , ) 0 , 其他，
其中 , ( 0) 为待估参数，设 X 1 , X 2 , X n 是来自X的一个样本，求 , 的矩估计量.
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解 总体X 的一阶、二阶矩分别为
A1 μ θ, A2 μ 2 2(μ θ).
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从中解得 , , 即得到 , 的矩估计量为
2 1 n 2 1 n ˆ ( X i n X ) ( X i X )2 n i 1 n i 1
1 n ˆ ˆ X X ( X i X )2 . n i 1
.
解 总体X 的一阶矩为 1 1 1 E( X ) x( 1) x dx 0 2 以一阶样本矩 A1 X 代替上式中的一阶总体矩 1 ， 1 有 A1 , 从中解出 ，得到 的矩估计量为 2 ˆ 1 2 A1 1 2 X . A1 1 X 1
n
L( )称为样本的似然函数 .
i 1
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最大似然估计法
得到样本值x1 , x2 ,, xn时, 选取使似然函数 ( ) L
ˆ 取得最大值的 作为未知参数 的估计值, ˆ 即 L( x1 , x2 ,, xn ; ) max L( x1 , x2 ,, xn ; ).
( 其中 是 可能的取值范围 )
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1 E ( X ) a b ,
a b 2 A1 , 即 2 b a 12( A2 A1 ) .
解方程组得到a, b的矩估计量分别为
3 n ( X i X )2 , ˆ a A1 3( A2 A1 ) X n i 1
i 1 n
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) f ( xi ; ),
n
L( )称为样本的似然函数 . ˆ 若 L( x1 , x2 , , xn ; ) max L( x1 , x2 , , xn ; ).
i 1
ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 参数 的最大似然估计值 , ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ) 参数 的最大似然估计量 .
估计量, 这个估计量称为矩估计 量.
矩估计量的观察值称为矩估计值.
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( 1) x , 0 x 1, 例2 设总体X的概率密度为 f ( x; ) 其他， 0 , 其中 ( 1) 为待估参数，设 X 1 , X 2 , X n
是来自X的一个样本，求 的矩估计量.
2. 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
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设 X 为连续型随机变量 概率密度为 ,其 f ( x; 1 , 2 , , k ), 或 X 为 离 散 型 随 机 变 量 , 其 分 布 律 为 { X x } p ( x; 1 , 2 , , k ), P 其 中 1 , 2 , , k 为 待 估 参 数 ,
X1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本,
则 X 1 , X 2 ,, X n 的联合密度为 f ( xi ; ).
i 1 n
又设 x1 , x2 ,, xn 为相应于样本 X 1 , X 2 ,, X n 的 一个样本值 .
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则随机点 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 落在点( x1 , x 2 ,, x n )的 邻域 (边长分别为dx1 , dx 2 ,, dx n的n维立方体)内 的 概率近似地为 f ( xi ; )dxi ,
X的方差的矩估计 .
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(2). 最大似然估计法
1) 设总体 X 属离散型
似然函数的定义
设分布律 P{ X k } p( x; ), 为待估参数, ,
(其中 是 可能的取值范围 ) X1 , X 2 ,, X n是来自总体X 的样本,
则 X 1 , X 2 ,, X n 的联合分布律为 p( xi ; ).
xRX
x l p( x;1 , 2 ,, k ), (X为离散型)
其中 RX 是 x 可能取值的范围, l 1,2,, k 1 n l 因为样本矩 Al X i 依概率收敛于相应的 n i 1
总体矩 l ( l 1, 2,, k ),
样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩 的连续函数.
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例5
设总体 X 在[a , b]上服从均匀分布 其中a , ,
b 未知, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体X的样本, 求a , b 的估计量.
解
2 a b2 a b2 , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4 n ab 1 令 A1 X i , 2 n i 1 2 2 1 n 2 (a b) (a b) Xi , A2 n i 1 12 4
i 1 n
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又设 x1 , x2 ,, xn 为相应于样本 X 1 , X 2 ,, X n 的 一个样本值.
则样本 X1 , X 2 ,, X n 取到观察值x1 , x2 ,, xn 的概率,
即事件 X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn 发生的概率为
L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) p( xi ; ), ,
1 n ˆ 2 A2 A12 1 X i 2 X 2 ( X i X )2 . n i 1 n i 1
n
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上例表明: 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不 同的总体分布而异. 例 X ~ N ( , 2 ), , 2 未知, 即得 , 2 的矩估计量 1 n 2 X, ˆ ( X i X )2 . ˆ n i 1 一般地, 1 n 用样本均值X X i作为总体X的均值的矩估计 , n i 1 1 n 用样本二阶中心矩B2 ( X i X )2 作为总体 n i 1
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矩估计法的定义
用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函 数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩 估计法. 矩估计法的具体做法: 令 l Al , l 1, 2,, k .
这是一个包含k 个未知参数1 , 2 ,, k 的方程组,
解出其中1 , 2 ,, k . ˆ ˆ ˆ 用方程组的解 1 , 2 ,, k 分别作为 1 , 2 ,, k 的
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最大似然估计法是由费舍尔引进的. 求最大似然估计量的步骤:
(一) 写出似然函数 L( ) L( x1 , x2 ,, xn ; ) p( xi ; )