2020年新高考数学二轮复习练习：小题强化练 小题强化练(八)

小题强化练(八)一、选择题1．已知集合M ＝{1，a 2}，P ＝{－1，－a }，若M ∪P 有三个元素，则M ∩P ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0} C ．{0}D ．{－1}2．若复数z ＝a ＋i1－i ，且z ·i 3>0，则实数a 的值等于( )A ．1B ．－1 C.12D ．－123．已知条件甲：a >0，条件乙：a >b 且1a >1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＝9·3a n (n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 1＋a 9＋a 11)＝( )A ．－13B ．3C ．－3D.135．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2，|a |＝1，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π66．函数f (x )＝sin(πx )e －⎪⎪⎪⎪x 2的图象可能是( )7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R )，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数8．某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处于A ，B ，C ，D ，E 五个层次，根据抽样结果得到如图所示的统计图，则从图中不能得出的信息是( )A ．样本中男生人数少于女生人数B ．样本中B 层次身高的人数最多C ．样本中D 层次身高的男生多于女生 D ．样本中E 层次身高的女生有3人9．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M ，N 分别是棱AA 1，BC 上的动点，若MN ＝2，则线段MN 的中点P 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．一个球面区域D ．两条平行线段10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的右支交于P 点，且以线段OF 2为直径的圆与直线PF 1相切，若|PF 1|＝8，则双曲线的焦距等于( )A ．6 2B ．6C ．3 2D ．311．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则角C ＝π3B ．若2cosC (a cos B ＋b cos A )＝c ，则角C ＝π6C ．若边BC 上的高为36a ，则当c b ＋bc 取得最大值时，角A ＝π3 D ．若边BC 上的高为36a ，则当c b ＋bc 取得最大值时，角A ＝π612．(多选)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论正确的是( )A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值 13．(多选)某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )A ．等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立B ．函数f (x )的值域为(－1，1)C ．若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)D ．函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点 二、填空题14．设a ∈{1，3，5，7}，b ∈{2，4，6}，则函数f (x )＝log a bx 是增函数的概率为________．15．已知正实数a ，b 满足ab －b ＋1＝0，则1a＋4b 的最小值是________．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫a n ＋1－a n －cos n π2为奇函数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019的值为________．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若B 为短轴的一个端点，且∠F 1BF 2＝90°，则椭圆C 的离心率为________；若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆C 的离心率的取值范围为________．小题强化练(八)1．解析：选C.要使M ∪P 有三个元素，则a 2＝－a ，即a ＝0或a ＝－1，若a ＝－1，则有a 2＝1不合题意，所以a ＝0，则M ∩P ＝{0}．2．解析：选A.z ·i 3＝z ·(－i)＝（a ＋i ）（－i ）1－i ＝1－a i 1－i＝（1＋a ）＋（1－a ）i2，因为z ·i 3>0，所以z ·i 3为正实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝0，1＋a >0，所以a ＝1.3．解析：选B.若1a >1b ，则b －a ab >0.又a >b ，所以ab <0，即a >0>b ，故甲是乙的必要不充分条件．4．解析：选C.由题意得3a n ＋1＝3a n＋2即，a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是公差为2的等差数列．由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝9得a 4＝3，所以a n ＝3＋(n －4)×2＝2n －5，所以log 13(a 1＋a 9＋a 11)＝log 13(－3＋13＋17)＝log 1327＝－3.5．解析：选C.法一：由|a ＋b |＝|a －b |＝2可得a ·b ＝0，则有|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝4，所以|b |2＝4－|a |2＝3.因为|a －b |＝2，所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝1－34＝－12.因为〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，所以〈a ＋b ，a －b 〉＝2π3.法二：由题设|a ＋b |＝|a －b |＝2及向量的加减运算的几何意义可知以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形，即a ⊥b ，如图．由于|a ＋b |＝|a －b |＝2，|a |＝1，则OA ＝OC ＝AC ＝1，则∠ACO ＝π3，则向量a ＋b 与a －b 的夹角∠ACD ＝2π3. 6．解析：选A.因为f (－x )＝sin(－πx )e －⎪⎪⎪⎪－x 2＝－sin(πx )e －⎪⎪⎪⎪x 2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除C ；令0<x <12，则有0<πx <π2，此时f (x )>0，故排除D ；因为|sin(πx )|≤1，e－⎪⎪⎪⎪x 2≤1，故|f (x )|≤1，故排除B ，故选A.7．解析：选D.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R )的最小正周期为2π2＝π，故A 正确；由于f (x )＝cos 2x ，故函数f (x )是偶函数，故B 正确；令x ＝π4，求得f (x )＝cos π2＝0，故函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，函数f (x )＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，故D 错误，故选D.8．解析：选C.由男生身高情况统计图知100名学生中，男生有4＋12＋10＋8＋6＝40(人)，女生有100－40＝60(人)，所以选项A 正确；因为身高处于B 层次的男生人数最多，有12人，在扇形统计图中，B 层次身高的女生占的比例为40%，也最多，所以样本中B 层次身高的人数最多，选项B 正确；身高处于D 层次的男生有8人，女生有(100－40)×15%＝9(人)，8<9，所以选项C 不正确；身高处于E 层次的女生有(100－40)×(1－40%－15%－25%－15%)＝3(人)，所以选项D 正确．故选C.9．解析：选B.连接AN ，AP ，易知△MAN 为直角三角形．因为MN ＝2，P 为线段MN 的中点，所以AP ＝22，因此点P 到A 的距离为定值，所以点P 在以点A 为球心，22为半径的球面上运动，记此球为球O ，分别取A 1B 1，D 1C 1，DC ，AB 的中点E ，F ，G ，H ，并顺次连接，则MA ∥平面EFGH .记AN ∩HG ＝Q ，则易知HQ 为△ABN 的中位线，故Q 为AN 的中点．连接PQ ，则PQ 为△AMN 的中位线，得MA ∥PQ ，又点Q 在平面EFGH 内，MA ∥平面EFGH ，所以点P 在平面EFGH 内运动，故点P 的轨迹为平面EFGH 与球O 的球面的交线，所以点P 的轨迹是一段圆弧．故选B.10．解析：选A.如图，连接PF 2，依题意知PF 1⊥PF 2，设以线段OF 2为直径的圆与直线PF 1相切于点N ，圆心为M ，连接MN ，则NM ⊥PF 1，因此Rt △PF 1F 2∽Rt △NF 1M ，所以|NM ||PF 2|＝|F 1M ||F 1F 2|，若设双曲线的焦距为2c ，则c 2|PF 2|＝3c 22c ，解得|PF 2|＝2c3，由勾股定理可得|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝（2c ）2－⎝⎛⎭⎫2c 32＝42c 3，于是42c3＝8，则c ＝32，故焦距2c ＝6 2.11．解析：选AC.因为在△ABC 中，0<C <π，所以sin C ≠0.对于A ，已知等式利用正弦定理化简得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，整理得2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C ·sin[π－(A ＋B )]＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.故A 正确，同理B 错误．由等面积法得12×36a 2＝12bc sin A ，所以a 2＝23bc sin A ，又b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝23bc sin A ＋2bc cos A ，则c b ＋b c ＝b 2＋c2bc ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤4，当且仅当A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即A ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，c b ＋bc 取得最大值4，又0<A <π，所以A ＝π3.故C 正确，D 错误．12．解析：选ACD.对于A ，如图1，AB 1∥DC 1，易证AB 1∥平面C 1BD ，同理AD 1∥平面C 1BD ，且AB 1∩AD 1＝A ，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，又AE ⊂平面AB 1D 1，所以AE ∥平面C 1BD ，A 正确；对于B ，如图2，S △AEF ＝12EF ·h 1＝12×1×（32）2－⎝⎛⎭⎫3222＝364，点C 到平面AEF的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 为定值，所以V A ­CEF ＝V C ­AEF ＝13×364×d ＝64d 为定值，所以B 错误；对于C ，如图3，S △ BEF ＝12×1×3＝32，点A 到平面BEF 的距离为点A 到平面BB 1D 1D 的距离d 为定值，所以V A ­BEF ＝13×32×d ＝12d 为定值，C 正确；对于D ，如图4，四面体ACDF 的体积为V A ­CDF ＝V F ­ACD ＝13×12×3×3×3＝92为定值，D正确．13.解析：选ABC.易知函数的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；当x >0时，f (x )＝x 1＋x＝11＋1x ，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，f (x )→1.结合奇偶性，作出f (x )的图象如图所示：易知函数的值域是(－1，1)，故B 正确；结合函数f (x )为定义域内的增函数，所以C 正确；当x ≥0时，g (x )＝f (x )－x ＝x1＋x －x ＝－x 21＋x ，令g (x )＝0得x ＝0，故此时g (x )只有一个零点0，g (x )显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D 错误．14．解析：由题知a b 所有可能取值有12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，共12个．当a b >1时，f (x )为增函数，此时a b 的可能取值有32，52，72，54，74，76，共6个．故所求概率P ＝612＝12. 答案：1215．解析：由ab －b ＋1＝0可得a ＝b －1b ，由a ＝b －1b >0得b >1，所以1a ＋4b ＝bb －1＋4b＝1b －1＋4(b －1)＋5.因为1b －1＋4(b －1)≥4，所以1a ＋4b ≥9，当且仅当a ＝13，b ＝32时等号成立．答案：916．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则根据函数f (x )的表达式易知必有a n＋1－a n －cos n π2＝0，即a n ＋1＝a n ＋cos n π2.于是由a 1＝1，得a 2＝a 1＋cos π2＝1，a 3＝a 2＋cos2π2＝0，a 4＝a 3＋cos 3π2＝0，a 5＝a 4＋cos 4π2＝1，…如此继续下去，知a n ＋4＝a n .所以数列{a n }是周期数列，其周期为4，所以S 2 019＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＋a 3＝504×2＋1＋1＋0＝1 010.答案：1 01017．解析：由题知b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以a ＝2c ，所以e ＝c a ＝c 2c ＝22.由题知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2，设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x －c ，y )·(x ＋c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22，又0＜e ＜1，所以22≤e ＜1. 答案：22 ⎣⎡⎭⎫22，1。