专题三第1讲课时训练提能

专题三 第1讲 等差数列、等比数列

课时训练提能

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．(2012·咸阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 3＝2，则此数列的前10项之和S 10等于 A ．55.5 B ．7.5 C ．75

D ．－15

解析 ∵a 1＝3，a 3＝2，∴公差d ＝－12，

∴S 10＝10×3＋12×10×9×⎝

⎛⎭⎪⎫

－12＝7.5. 答案 B

2．(2012·丰台二模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 5＝1

4，则S 4的值为

A.152

B.516

C ．－516

D ．－52

解析 ∵a 2＝2，a 5＝14，∴公比q ＝1

2，

∴a 1＝4，a 3＝1，a 4＝1

2

，

∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4＋2＋1＋12＝15

2.

答案 A

3．(2012·朝阳一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5＝ A ．－16 B ．16 C ．31

D ．32

解析 当n ＝1时，a 1＝1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，

∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为2的等比数列，∴a 5＝a 1q 4＝16. 答案 B

4．(2012·柳州模拟)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为 A ．－3 B ．±3 C ．－3 3

D ．±3 3

解析 ∵y ＝(－1)·q 2＜0，y 2＝(－1)·(－3)＝3， ∴y ＝－ 3.

∴xyz ＝(xz )·y ＝y 2·y ＝y 3＝－3 3. 答案 C

5．(2012·江西省十所重点中学第二次联考)设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝

A ．14

B ．21

C ．28

D ．35

解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28. 答案 C

6．(2012·山师附中模拟)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N ＋)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log

13(a 5＋a 7＋a 9)的值是

A ．－5

B ．－15

C ．5

D.15

解析 ∵log 3a n ＋1＝log 33a n ＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n ， ∴数列{a n }是公比为3的等比数列， ∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3＝9×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1

335＝－5.

答案 A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝6，S 4＝30，则S 6＝________. 解析 在等比数列{a n }中S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∵S 2＝6，S 4－S 2＝24，∴S 6－S 4＝242

6＝96，

∴S 6＝S 4＋96＝126. 答案 126

8．(2012·荆州二模)已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前

5项和为________．

解析 设数列{a n }的公比为q ， ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列， ∴4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，

∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项1a 1＝1，公比为1

2

的等比数列，

∴S 5＝1＋12＋14＋18＋116＝31

16.

答案

3116

9．(2012·盐城模拟)如图，将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a 1，a 2，a 5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a 4＝5，a 86＝518，则d ＝________.

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……

解析 ∵a 4＝5，∴a 2＝5－2d .

又∵第1行到第9行共有1＋3＋5＋…＋9＝81项， ∴第10行的第1项为a 82＝a 86－4d ＝518－4d ，

又表中的第1列a 1，a 2，a 5，…，a 82是公比为2的等比数列， ∴a 82＝a 2·28，即518－4d ＝(5－2d )·28，解得d ＝32.

答案

32

三、解答题(每小题12分，共36分) 10．已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；

(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧

a 1＋d ＝2

a 1

＋4d ＝8，

∴a 1＝0，d ＝2.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.

∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.

∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2

＝2n

－1.

11．已知以1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧

a n

＋1， (n 为奇数)，a n

2， (n 为偶数).

(1)写出a 2、a 3、a 4，并求{a n }的通项公式；

(2)设数列{a n }前n 项的和为S n ，求数列{S n }前n 项的和T n . 解析 (1)a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，a n ＝3＋(－1)n

2.

(2)由(1)知S n ＝3n 2＋12·(－1)[1－(－1)n ]

2

＝

3n 2－14＋1

4

(－1)n ， T n ＝32·n (n ＋1)2－14n ＋14·(－1)[1－(－1)n ]2

＝34n 2＋12n ＋18·(－1)n －18

. 12．(2012·日照模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n －n ＋1，n ∈N ＋. (1)证明：数列{a n －n }是等比数列；

(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，求使2S n ＞S n ＋1的最小n 值． 解析 (1)证明 由已知a 1－1＝1≠0，由a n ＋1＝2a n －n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )， ∴

a n －(n ＋1)

a n －n

2，

∴{a n －n }是等比数列． (2)由(1)知：a n －n ＝2n －1，

∴a n ＝2n －1＋n ，S n ＝2n －1＋n (n ＋1)

2

，