2018届江苏高考数学二轮专题复习课件 专题三第1课时解析几何中的基本问题
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：专题二 立体几何 Word版含答案
江苏 新高考高考对本专题内容的考查一般是“一小一大”，小题主要考查体积和表面积的计算问题，而大题主要证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，其考查形式单一，难度一般.第1课时立体几何中的计算(基础课) [常考题型突破]空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．(2)柱体、锥体、台体的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．(3)球的表面积和体积公式： ①S 球＝4πR 2(R 为球的半径)； ②V 球＝43πR 3(R 为球的半径)．[题组练透]1．现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.解析：因为圆锥底面半径为3 cm ，母线长为5 cm ，所以圆锥的高为52－32＝4 cm ，其体积为13π×32×4＝12π cm 3，设铁球的半径为r ，则43πr 3＝12π，所以该铁球的半径是39cm.答案：392．(2017·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________．解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为(23)2－22＝22，所以该直四棱柱的侧面积为S ＝cl ＝4×2×22＝16 2.答案：16 23．(2017·南通、泰州一调)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为_______cm 3.解析：三棱锥D 1-A 1BD 的体积等于三棱锥B -A 1D 1D 的体积，因为三棱锥B -A 1D 1D 的高等于AB ，△A 1D 1D 的面积为矩形AA 1D 1D 的面积的12，所以三棱锥B -A 1D 1D 的体积是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积的16，所以三棱锥D 1-A 1BD 的体积等于16×32×1＝32.答案：324.如图所示是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一个平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝1，∠A 1B 1C 1＝90°，A 1A ＝4，B 1B ＝2，C 1C ＝3，则此几何体的体积为________．解析：在A 1A 上取点A 2，在C 1C 上取点C 2，使A 1A 2＝C 1C 2＝BB 1，连结A 2B ，BC 2，A 2C 2，∴V ＝VA B C A BC 11122-＋VB A ACC 22-＝12×1×1×2＋13×(1＋2)2×2×22＝32. 答案：325．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是________．解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝⎝⎛⎭⎫r 1r 22＝94.答案：94[方法归纳]解决球与其他几何体的切、接问题(1)解题的关键：仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系．(2)选准最佳角度作出截面：要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的．(3)认识球与正方体组合的3种特殊截面：(4)熟记2个结论：①设小圆O 1半径为r ，OO 1＝d ，则d 2＋r 2＝R 2；②若A ，B 是圆O 1上两点，则AB ＝2r sin ∠AO 1B 2＝2R sin ∠AOB 2.[题组练透]1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.答案：322．(2017·全国卷Ⅲ改编)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．解析：设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34×π×1＝3π4.答案：3π43．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝3，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E-ABCD的体积为________．解析：如图所示，BE过球心O，∴DE＝42－32－(3)2＝2，∴V E -ABCD＝13×3×3×2＝2 3.答案：2 34．(2017·南京、盐城一模)将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG 体积的最大值是________．解析：因为将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB＝3，BC＝2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为AB，所以当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，(S△EFG)max＝12×4×2＝4,所以三棱锥O-EFG体积的最大值(V O-EFG)max＝13×(S△EFG)max×AB＝13×4×3＝4.答案：4[方法归纳]多面体与球的切接问题的解题技巧[必备知识]将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法．[题组练透]1．(2017·南通三模)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为________．解析：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，所以圆锥的母线长l ＝3，设圆锥的底面半径为r ，则底面周长2πr ＝3×2π3，所以r ＝1，所以圆锥的高为32－12＝2 2. 答案：2 22．(2017·南京考前模拟)如图，正△ABC 的边长为2，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为边AC 与BC 的中点，现将△ABC 沿CD 翻折，使平面ADC ⊥平面DCB ，则棱锥E -DFC 的体积为________．解析：S △DFC ＝14S △ABC ＝14×⎝⎛⎭⎫34×22＝34，E 到平面DFC 的距离h 等于12AD ＝12. V E -DFC ＝13×S △DFC×h ＝324. 答案：3243.(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时， 设△ABC 的边长为a (a >0)cm ， 则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ， 则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0， ∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312× 25a 4－533a 5. 令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4， 由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG＝36BC ， 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，故所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52， 则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2， 则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80， ∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415. 答案：415 [方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1-ADE 的体积为________．解析：VB 1-ADE ＝VD -AEB 1＝13S △AEB 1·DA ＝13×12×12×1×1＝112.答案：1122．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________．解析：设两球半径分别为r 1，r 2，因为4πr 21∶4πr 22＝4∶9，所以r 1∶r 2＝2∶3，所以两球体积之比为43πr 31∶43πr 32＝⎝⎛⎭⎫r 1r 23＝⎝⎛⎭⎫233＝8∶27.答案：8∶273．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，得a ＝3，设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3a ＝3，得R ＝32，所以该球的体积为43πR 3＝4π3×278＝92π.答案：92π4．已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 解析：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则侧面积为πrl ＝10πr ＝60π，解得r ＝6，则圆锥的高h ＝l 2－r 2＝8，则此圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×36×8＝96π.答案：96π5．(2017·扬州期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm)，侧面积为8(单位：cm 2)，则它的体积为________(单位：cm 3)．解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c ＝8，12ch ′＝8，所以斜高h ′＝2，正四棱锥的高为h ＝3，所以正四棱锥的体积为13×22×3＝433.答案：4336．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________． 解析：由题意知，V 1＝a 3，S 1＝6a 2，V 2＝13πr 3，S 2＝2πr 2，由V 1V 2＝3π得，a 313πr 3＝3π，得a＝r ，从而S 1S 2＝62π＝32π.答案：32π7.(2017·苏北三市三模)如图，在正三棱柱ABC -A1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P -ABA 1的体积为________．解析：三棱锥的底面积S △ABA 1＝12×3×3＝92，点P 到底面的距离为△ABC 的高h ＝32－⎝⎛⎭⎫322＝332，故三棱锥的体积VP -ABA 1＝13S △ABA 1×h ＝934. 答案：9348．(2017·无锡期末)已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为2π3，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________．解析：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ， 因为3π＝13πl 2，所以l ＝3，所以πr ×3＝3π，所以r ＝1，所以圆锥的高是32－12＝22，所以圆锥的体积是13×π×12×22＝22π3.答案：22π39．(2017·徐州古邳中学摸底)表面积为24π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．解析：设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝24π， 即r 2＋rh ＝12，得rh ＝12－r 2， ∴V ＝πr 2h ＝πr (12－r 2)＝π(12r －r 3)， 令V ′＝π(12－3r 2)＝0，得r ＝2，∴函数V ＝πr 2h 在区间(0,2]上单调递增，在区间[2，＋∞)上单调递减，∴r ＝2时，V 最大，此时2h ＝12－4＝8，即h ＝4，r h ＝12.答案：1210．三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，PA ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为________．解析：把三棱锥P -ABC 看作由平面截一个长、宽、高分别为1、1、3的长方体所得的一部分(如图).易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球．又长方体的体对角线长为12＋12＋(3)2＝5，故外接球半径为52，表面积为4π×⎝⎛⎭⎫522＝5π. 答案：5π11．已知正三棱锥P -ABC 的体积为223，底面边长为2，则侧棱PA 的长为________．解析：设底面正三角形ABC 的中心为O ，又底面边长为2，故OA ＝233，由V P -ABC ＝13PO ·S △ABC ，得223＝13PO ×34×22，PO ＝263，所以PA ＝PO 2＋AO 2＝2. 答案：212．(2017·苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为________．解析：圆柱两底面积等于圆柱的侧面积．孔的打法有三种，所以有三种情况：①孔高为3，则2πr 2＝2πr ×3，解得r ＝3；②孔高为8，则r ＝8；③孔高为9，则r ＝9.而实际情况是，当r ＝8，r ＝9时，因为长方体有个棱长为3，所以受限制不能打，所以只有①符合．答案：313.如图所示，在体积为9的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于点E ，则四棱锥E -A 1B 1C 1D 1的体积V ＝________.解析：连结B 1D 1交A 1C 1于点F ，连结BD ，BF ，则平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF .因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线，又B 1F 綊12BD ，所以FE EB ＝12，故点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以四棱锥E -A 1B 1C 1D 1的体积V ＝13×S 四边形A 1B 1C 1D 1×13BB 1＝19V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝1.答案：114．半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．答案：16(π－2)[B 组——力争难度小题]1．已知三棱锥S -ABC 所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若SC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，则球O 的表面积为________．解析：∵AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°， ∴BC ＝12＋12－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， ∴三角形ABC 的外接圆直径2r ＝3sin 120°＝2，∴r ＝1.∵SC ⊥平面ABC ，SC ＝1， ∴该三棱锥的外接球半径R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫SC 22＝52，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝5π. 答案：5π2.(2017·南京三模)如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D -ABC 1的体积为________．解析：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，所以BB 1⊥AB ，又因为∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB ，又BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C, 因为AB ＝1，BC ＝2，点D 为侧棱BB 1上的动点，所以侧面展开，当AD ＋DC 1最小时，BD ＝1，所以S △BDC 1＝12×BD ×B 1C 1＝1，所以三棱锥D -ABC 1的体积为13×S △BDC 1×AB ＝13.答案：133．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．解析：如图所示，AB ＝2，CD ＝a ，设点E 为AB 的中点，则ED ⊥AB，EC⊥AB，则ED＝AD2－AE2＝22，同理EC＝22.由构成三角形的条件知0＜a＜ED＋EC＝2，所以0＜a＜ 2.答案：(0，2)4.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在的平面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥P-AEF的体积最大时，tan∠BAC＝________.解析：∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB.又AC⊥BC，AP⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°.设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，AF＝AP·ACPC＝2×2cos θ21＋cos2θ＝2cos θ1＋cos2θ，在Rt△PAB中，AE＝PE＝2，∴EF＝AE2－AF2，∴V P-AEF＝16AF·EF·PE＝16AF·2－AF2·2＝26·2AF2－AF4＝26·－(AF2－1)2＋1≤26，∴当AF＝1时，V P-AEF取得最大值26，此时AF＝2cos θ1＋cos2θ＝1，∴cos θ＝13，sin θ＝23，∴tan θ＝ 2.答案： 2第2课时平行与垂直(能力课) [常考题型突破][例1](2017·江苏高考)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .[方法归纳]1．(2017·苏锡常镇一模)如图，在斜三棱柱ABC -A1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面BCC 1B 1.(1)求证：E 是AB 的中点；(2)若AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC .证明：(1)连结BC1，因为OE ∥平面BCC 1B 1，OE ⊂平面ABC 1，平面BCC 1B 1∩平面ABC 1＝BC 1，所以OE ∥BC 1 .因为侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1∩A 1C ＝O ，所以O 是AC 1中点，所以AE EB ＝AO OC 1＝1，E 是AB 的中点. (2)因为侧面AA 1C 1C 是菱形，所以AC 1⊥A 1C,又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC,因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.2．(2017·苏州模拟)在如图所示的空间几何体ABCDPE中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝4，EB＝2.(1)若点Q是PD的中点，求证：AQ⊥平面PCD；(2)证明：BD∥平面PEC.证明：(1)因为PA＝AD，Q是PD的中点，所以AQ⊥PD.又PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.又CD⊥DA，PA∩DA＝A，所以CD⊥平面ADP.又因为AQ⊂平面ADP，所以CD⊥AQ，又PD∩CD＝D，所以AQ⊥平面PCD.(2)取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME，在△PAC中，易知MN＝12PA，MN∥PA，又PA∥EB，EB＝12PA，所以MN＝EB，MN∥EB，所以四边形BEMN是平行四边形，所以EM∥BN.又EM⊂平面PEC，BN⊄平面PEC，所以BN∥平面PEC，即BD∥平面PEC.[例2]ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，M为线段PB的中点，N为线段BC的中点．求证：(1)平面MON∥平面PAC；(2)平面PBC⊥平面MON.[证明](1)因为M，O，N分别是PB，AB，BC的中点，所以MO∥PA，NO∥AC，又MO∩NO＝O，PA∩AC＝A，所以平面MON∥平面PAC.(2)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.由(1)知，MO∥PA，所以MO⊥BC.连结OC，则OC＝OB，因为N为BC的中点，所以ON⊥BC.又MO∩ON＝O，MO⊂平面MON，ON⊂平面MON，所以BC⊥平面MON.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面MON.[方法归纳]1．(2017·无锡期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：(1)平面PAD⊥平面ABCD；(2)EF∥平面PAD.证明：(1)因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD，因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD,又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)连结AC，BD交于点O，连结OE，OF，因为四边形ABCD为矩形，所以O点为AC的中点，因为E为PC的中点，所以OE∥PA，因为OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OE∥平面PAD,同理可得：OF∥平面PAD，又因为OE∩OF＝O，所以平面OEF∥平面PAD,因为EF⊂平面OEF，所以EF∥平面PAD.2.(2016·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D ⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.[例3]圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．(1)求证：平面AFC⊥平面CBF.(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF？并说明理由．[解](1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .又AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF .又BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面CBF .(2)当M 为CF 的中点时，OM ∥平面ADF .证明如下：取CF 中点M ，设DF 的中点为N ，连结AN ，MN ，则MN 綊12CD ，又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ， ∴四边形MNAO 为平行四边形，∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF .[方法归纳]与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤[变式训练]1.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BF BE的值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC ，∵平面ABCD ⊥平面BCE ，∴AB ⊥平面BCE ，∴CE ⊥AB .又∵CE ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CE ⊥平面ABE ，又∵CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE .(2)连结BD 交AC 于点O ，连结OF .∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF .∴DE ∥OF ，又在矩形ABCD 中，O 为BD 中点，∴F 为BE 中点，即BF BE ＝12. 2．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DA 的中点．将矩形ABCD 沿线段EF 折起，使得∠DFA ＝60°.设G 为AF 上的点．(1)试确定点G 的位置，使得CF ∥平面BDG ；(2)在(1)的条件下，证明：DG ⊥AE .解：(1)当点G 为AF 的中点时，CF ∥平面BDG .证明如下：因为E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ∥AB ∥CD .连结AC 交BD 于点O ，连结OG ，则AO ＝CO .又G 为AF 的中点，所以CF ∥OG .因为CF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG .所以CF ∥平面BDG .(2)因为E ，F 分别为BC ，DA 的中点，所以EF ⊥FD ，EF ⊥FA .又FD ∩FA ＝F ，所以EF ⊥平面ADF ，因为DG ⊂平面ADF ，所以EF ⊥DG .因为FD ＝FA ，∠DFA ＝60°，所以△ADF 是等边三角形，DG ⊥AF ，又AF ∩EF ＝F ，所以DG ⊥平面ABEF .因为AE ⊂平面ABEF ，所以DG ⊥AE .[课时达标训练]1.如图，在三棱锥V -ABC 中，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC .(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求线段VC的长．解：(1)证明：因为点O，M分别为AB，VA的中点，所以MO∥VB.又MO⊂平面MOC，VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)因为AC＝BC，O为AB的中点，AC⊥BC，AB＝2，所以OC⊥AB，且CO＝1.连结VO，因为△VAB是边长为2的等边三角形，所以VO＝ 3.又平面VAB⊥平面ABC，OC⊥AB，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以OC⊥VO，所以VC＝OC2＋VO2＝2.B1C1中，AC⊥BC，A1B2.(2017·南通二调)如图，在直三棱柱ABC-A与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E.求证：(1)DE∥平面B1BCC1；(2)平面A1BC⊥平面A1ACC1.证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ACC1为平行四边形．又E为A1C与AC1的交点，所以E为A1C的中点.同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC.又BC⊂平面B1BCC1，DE⊄平面B1BCC1，所以DE∥平面B1BCC1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又AC⊥BC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面A1ACC1，AA1⊂平面A1ACC1，所以BC⊥平面A1ACC1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1ACC1.3.(2017·南京三模)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF.(1)求证：EF∥平面ABD；(2)若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD.证明：(1)因为BD∥平面AEF，BD⊂平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，所以BD∥EF.因为BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.(2)因为AE⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，又AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF.又CD⊂平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD.4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，DC＝2，点E在PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PAD；(2)当PD∥平面AEC时，求PE∶EB的值．解：(1)证明：在平面ABCD中，过A作AF⊥DC于F，则CF＝DF＝AF＝1，∴∠DAC＝∠DAF＋∠FAC＝45°＋45°＝90°，即AC⊥DA.又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA.∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD.又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PAD.(2)连结BD交AC于O，连结EO.∵PD∥平面AEC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AEC＝EO，∴PD∥EO，则PE∶EB＝DO∶OB.又△DOC∽△BOA，∴DO∶OB＝DC∶AB＝2∶1，∴PE∶EB的值为2.5.(2017·扬州考前调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB＝2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ＝2QC.求证：(1)PA∥平面QBD；(2)BD⊥AD.证明：(1)连结OQ,因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AO ＝2OC ，又PQ ＝2QC ，所以PA ∥OQ ，因为OQ ⊂平面QBD ，PA ⊄平面QBD ，所以PA ∥平面QBD .(2)在平面PAD 内过P 作PH ⊥AD 于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面PAD ， 所以PH ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD .又PA ⊥BD ，且PA ∩PH ＝P ，PA ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥AD .6.如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且AB ∥EF ，AF ＝2，EF ＝2AB ＝42，平面ABCD ⊥平面ABEF .(1)求证：BE ⊥DF ；(2)若P 为BD 的中点，试问：在线段AE 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面BCE ？若存在，找出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，取EF 的中点G ，连结AG ，因为EF ＝2AB ，所以AB ＝EG ，又AB ∥EG ，所以四边形ABEG 为平行四边形，所以AG ∥BE ，且AG ＝BE ＝AF ＝2.在△AGF 中，GF ＝12EF ＝22，AG ＝AF ＝2， 所以AG 2＋AF 2＝GF 2，所以AG ⊥AF .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以AD ⊥平面ABEF ，又AG ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AG .因为AD ∩AF ＝A ，所以AG ⊥平面ADF .因为AG ∥BE ，所以BE ⊥平面ADF .因为DF ⊂平面ADF ，所以BE ⊥DF .(2)存在点Q ，且点Q 为AE 的中点，使得PQ ∥平面BCE .证明如下：连结AC ，因为四边形ABCD 为矩形，所以P 为AC 的中点．在△ACE中，因为点P，Q分别为AC，AE的中点，所以PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE，CE⊂平面BCE，所以PQ∥平面BCE.。
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习课件：专题三 解析几何 第1课时 解析几何中的基本问题(基础课)
3．(2017·苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点 P(0,1)， Q(3,6)，在直线 y＝x 上取两点 M，N，使得 MN＝ 2a(其中 a>0 为定值)，则当 PM＋NQ 取得最小值时，点 N 的坐标为________． 解析：(1)设点 A(1,0)，B(1＋a，a)，则 AB∥MN，且 AB＝MN， 所以四边形 ABNM 为平行四边形，所以 AM＝BN，又因为点 P 与 A 关于直线 y＝x 对称，所以 PM＝AM，所以 PM＋NQ＝AM ＋NQ＝BN＋NQ，所以当 B，N，Q 三点共线时，PM＋NQ 取 最小值为 BQ＝ a－22＋a－62.此时 BQ 方程为(a－6)x－(a －2)y＋3a＋6＝0，与直线 y＝x 联立解得 N3a＋4 6，3a＋4 6.
[题组练透] 1．(2017·南通一模)已知圆 C 过点(2， 3)，且与直线 x－ 3y＋3
＝0 相切于点(0， 3)，则圆 C 的方程为_______________． 解析：设圆心为(a，b)，
b－ 则 a
3·33＝－1，
a－22＋b－ 32＝a2＋b－ 32，
[题组练透] 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为___．
解析：由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－k1PQ＝1.又直 线 l 经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0
2.(2017·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知 A，B1，B2 分别为椭圆 C：xa22＋by22＝
1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右
焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是________． 解析：由题意得，A(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以―B2→F
2018届高考数学(文)二轮专题复习课件：第1部分 专题六 解析几何 1-6-1
解析几何
[高考领航]——————————————摸清规律
2014 全国卷 2015 2016 考情
预测考情
(Ⅰ卷) T4(双曲线) T10(抛物线) T20(圆、轨迹 方程) (Ⅱ卷) T10(抛物线) T20(直线斜 率) (大纲卷) T9(椭圆) T22(抛物线)
物 T16(双曲线) 线) T20(直线与 (Ⅱ卷) 圆) T5(抛物 (Ⅱ卷) 线) T7(两点间距 T21(椭圆) 离) (Ⅲ卷) T15(双曲线) T12(椭圆) T20(椭圆) T21(抛物 线)
解析：通解：∵直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 分别过定 点 A，B，∴A(0,0)，B(1,3)． 当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|· |PB|为零； 当点 P 与点 A，B 均不重合时， ∵P 为直线 x＋my＝0 与 mx－y－m＋3＝0 的交点，且易知此 两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10， |PA|2＋|PB|2 10 ∴|PA|· |PB|≤ ＝ 2 ＝5， 2 当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．
4．以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0. 5． 过圆 x2＋y2＝r2 上的点 P(x0， y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2. 6．过⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0 的交点的圆的方程可设为：(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，当 λ＝－1 时，表示两圆的公共弦所 在的直线方程． 7．过圆内一点的直线被圆截得的弦中，最长弦是直径，最短 的弦是以该点为中点的弦．
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-11平面解析几何 精品
(1)给定直线 l：Ax＋By＋C＝0，则 l1：Ax＋By＋C1＝0(C1 ≠C)与 l 平行，l2：Bx－Ay＋C2＝0 与 l 垂直．
(2)判定两直线平行的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1＝k2，且 b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判 定是否重合．
第 讲 平面解析几何
热点调研
调研一 直线与圆
考向一 直线方程 命题方向： 1．求直线的倾斜角与斜率； 2．求直线的方程； 3．两直线的位置关系．
[直线方程]
π (1)(2016·湖北四地七校联考)已知 f(x)＝asinx－bcosx，若 f( 4
π －x)＝f( 4 ＋x)，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为( )
【答案】 C
(4)(2016·芜湖模拟)点 P 是圆 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 上任一
点，则点 P 到直线 x－y－1＝0 距离的最大值为( )
A. 2
B．2 2
C．3 2
D．2＋2 2
【解析】 依题意，圆心(－1，2)到直线 x－y－1＝0 的距离 d＝|－1－1＋2－1 1|＝2 2，因为圆的半径为 2，故所求最大距离为 2 2＋ 2＝3 2.
【答案】 C
(5)(2016·长春质量监测)已知 AB 为圆 O：(x－1)2＋y2＝1 的
直径，点 P 为直线 x－y＋1＝0 上任意一点，则P→A·P→B的最小值
为( )
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
【解析】 由题意，设 A(1＋cosθ，sinθ)，P(x，x＋1)，则 B(1－cosθ，－sinθ)，∴P→A＝(1＋cosθ－x，sinθ－x－1)，P→B ＝(1－cosθ－x，－sinθ－x－1)，∴P→A·P→B＝(1＋cosθ－x)(1 －cosθ－x)＋(sinθ－x－1)(－sinθ－x－1)＝(1－x)2－cos2θ＋ (－x－1)2－sin2θ＝2x2＋1≥1，当且仅当 x＝0 时，等号成立，故 选 A.
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题五 解析几何 第1讲 精品
解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a，0)，a＞－2， （a＋2）2＋（ 3）2＝r2，
半径为 r，得|2a4－＋45|＝r， 解得满足条件的一组解为ar＝＝2－，1， 所以圆 M 的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案 (x＋1)2＋y2＝4
T→A＋T→P＝T→Q，求实数 t 的取值范围.
解 (1)圆 M 的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝ 25，圆心 M(6，7)，半径 r＝5， 由题意，设圆 N 的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且 （6－6）2＋（b－7）2＝b＋5.解得 b＝1， ∴圆 N 的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a， b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二 次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件 B＝0， 是A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
(2)依题意得△OO1A 是直角三角形，
∴OO1＝ 5＋20＝5，
S△OO1A＝12·A2B·OO1＝12·OA·AO1，
因此 AB＝2·OOAO·1 AO1＝2×
5×2 5
5＝4.
答案 (1)45π (2)4
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与 过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于 半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方 程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外 点距离，利用勾股定理处理.
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第
1 234
4.(2016·江 苏 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 sin A ＝ 2sin Bsin C ， 则tan Atan Btan C的最小值是____8____.
解析
答案
考情考向分析
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1.边和角的计算； 2.三角形形状的判断； 3.面积的计算； 4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行 命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
解析
答案
(则2)若θ＝f_(x_－)_＝_π3__3_s_in. (x＋θ)－cos(x＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在 R 上的偶函数， 解析 f(x)＝2sin(x＋θ－π6)， 由题意得 θ－π6＝π2＋kπ(k∈Z)， 因为－π2≤θ≤π2，所以 k＝－1，θ＝－π3.
解析答案
热点二 正弦定理、余弦定理
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第2讲 三角变换与解三角形
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
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64 1.(2016·课标全国丙改编)若 tan α＝34，则 cos2α＋2sin 2α＝___2_5____.
解析 tan α＝34， 则 cos2α＋2sin 2α＝cocos2sα2α＋＋2ssiinn22αα＝11＋＋4tatann2αα＝6245.
解析答案
(2)求sin A＋sin C的取值范围. 解 由(1)知，C＝π－(A＋B) ＝π－(2A＋π2)＝π2－2A>0，∴A∈(0，π4)， 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin(π2－2A) ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2(sin A－14)2＋98， ∵0<A<π4，∴0<sin A< 22， 因此 22<－2(sin A－14)2＋98≤98，
2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习课件：专题一 三角 第1课时 三角函数(基础课)
[题组练透] 1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
则此三角形的最大内角的大小为________． 解析：由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7 知，a∶b∶ c＝3∶5∶7，可设 a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角 C 是最大内角， 由余弦定理知 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝9k22＋×235kk×2－54k9k2＝－12，因为 0°<C<180°，所以 C＝120°. 答案：120°
1－sin2θ＋π4＝45.
tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－csionsπ2π2－－θθ＋＋π4π4
＝－csionsθθ＋＋π4π4＝－45×53＝－43.
答案：－43
4．在△ABC 中，sin(C－A)＝1，sin B＝13，则 sin A＝________.
解析：∵sin(C－A)＝1，
∴C－A＝90°，即 C＝90°＋A，∵sin B＝13，
∴sin B＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2A)＝cos 2A＝13，
即 1－2sin2A＝13，∴sin A＝ 33.
答案：
3 3
[方法归纳]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
3.(2017·天津高考改编)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中
ω＞0，|φ|＜π.若 f58π＝2，f118π＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 ω＝________，φ＝________.
解析：∵f58π＝2，f118π＝0，∴118π－58π＝T4(2m＋1)，m∈N， ∴T＝2m3＋π 1，m∈N，∵f(x)的最小正周期大于 2π，∴T＝3π，
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题七 解析几何1-3
4.圆的方程:(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(2)一般方程:x2+y 2+Dx+Ey+F=0,圆心为 - ,半径为
������ 2 +������ 2 -4������ 2
,
(D2+E2-4F> 0).
核心知识
考点精题
-4-
(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)· (x-x2)+(y-y1)(yy2)=0. 5.圆锥曲线的定义与标准方程 (1)圆锥曲线的定义 ①椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); ②双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|); ③抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. (2)圆锥曲线的标准方程
2 2 2
������
������
1-
������ 2 ������
.
������ 2 ������
(2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为 e= =
2 2 2
������
为 y=± x 或 y=± x.
������ ������
������
������
������
1+
,渐近线方程
核心知识 一、选择题 二、填空题
(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上);
������ 2
������ 2
������ 2
������ 2
③抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
2018届高考数学文二轮复习全国通用课件：专题五 解析几何 第3讲 精品
从而|PQ|＝
k2＋1|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝
2 k2＋1.
所以△OPQ
的面积
S△OPQ＝12d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .因为 t＋4t ≥4，当且
解 (1)由题意知a32＋41b2＝1.又 a2a－b2＝ 23，解得 a2＝4，b2＝1. 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆 E 的方程为1x62 ＋y42＝1. (ⅰ)设 P(x0，y0)，||OOQP||＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0). 因为x420＋y20＝1，又（－1λ6x0）2＋（－λ4y0）2＝1，即λ42x420＋y02＝1， 所以 λ＝2，即||OOQP||＝2.
第3讲 圆锥曲线中的定点与定 值、最值与范围问题
高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高 考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷 的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大， 对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.
真题感悟 (2016·全国Ⅱ卷)已知 A 是椭圆 E：x42＋y32＝1 的左顶点，斜 率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积. (2)当 2|AM|＝|AN|时，证明： 3<k<2.
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中， 利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只 是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不 等关系. (3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以 考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系， 用函数方法求解.
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题七 解析几何3.1
证明平行,求轨迹 全国Ⅲ 方程
-4-
年份 卷别
设问特点
涉及知识点
曲线 解题思想 模型 方法
求椭圆方程,证明 全国Ⅰ 直线过定点 2017 全国Ⅱ 求轨迹方程,证明 直线过定点
证明点在圆上,求 全国Ⅲ 直线与圆的方程
椭圆、直线、斜 椭圆 方程思想 率 椭圆、直线、向 代入法,方 量相等及向量数 椭圆 程思想 量积 抛物 直线、抛物线、 线与 方程思想 斜率,圆 圆
3.在椭圆焦点三角形 PF1F2 中,∠F1PF2=α,则������△������������1 ������2 =b · tan .
2
������
2
-7-
������������ + ������������ + ������ = 0, 设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由 ������(������,������) = 0, 消去y(或消去x)得ax2+bx+c=0.若a≠0,Δ=b2-4ac,则Δ>0⇔相 交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切.若a=0,得到一个一次方程,则①C为双曲 线时,则l与双曲线的渐近线平行;②C为抛物线时,则l与抛物线的对 称轴平行. 5.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据根与系数的关系进行整体代入,即斜率为k的直线 与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,
������ 2 2 ������ 2
+ +
������ 2 2 ������2
∴
(������ 1 +������ 2 )(������ 1 -������ 2 ) ������1 -������2
1 -������ 2
2018年高考数学理二轮专题复习课件：第二部分 专题七
,x1x2=
4������ 2 -4
.
由题设 k1+k2=-1,故 (2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 (2k+1)· 解得 k=4������ 2 -4 4������ 2 +1 ������ +1 2
+(m-1)·
4������ 2 +1
=0.
������ +1 2
.
当且仅当 m>-1 时 ,Δ>0,于是 l:y=即 y+1=������ +1 2
������1 -1 ������ 1 8������������ 4
������ 2
+
4������ 2 +1 4������ 2 +1 ������2 -1 ������������ 1 +������ -1 ������ ������ 2 +������ -1 2������������ 1 ������ 2 +(������ -1)(������ 1 +������ 2 ) = + = . ������ 2 ������ 1 ������ 2 ������ 1 ������ 2 -8������������
+
3 4������ 2
知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上 .
������ 2 1 ������
������2 = 4, 解得 2 3 ������ = 1. + 2 = 1, 2
4������ ������ 2 4
= 1,
故 C 的方程为 +y2=1.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 第6讲 第1课时 利用导数研
处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
[解] (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax2＋bx，则g′(x)＝1x＋2ax＋b.
4分
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，
∴b＝－2a－1.
6分
(2)由(1)得g′(x)＝2ax2－2ax＋1x＋1＝2ax－1xx－1.7分
当a＝1时，g(x)＝x－bx－2ex.7分 因为g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，
所以b≤x2－2x－exx在x∈(0，＋∞)上恒成立.
8分
记h(x)＝x2－2x－exx(x>0)，则h′(x)＝x－1e2x ex＋1.9分
当0<x<1时，h′(x)<0，h(x)在(0,1)上是减函数； 当x>1时，h′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数. 所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1. 所以b的最大值为－1－e－1.11分
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－x－x 1.
8分
由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，
即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，令g′(x)＝0得x＝1或x＝21a，
10分
若
1 2a
＜1，即a＞
1 2
，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜
且PM＝x，所以点P坐标为x，x＋4x22，1分
直线OB的方程为x－y＝0，
2分
则点P到直线x－y＝0的距离为x－x＋24x22＝4x222＝x42， 又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米， 则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·x42＝5x＋3x22 (1≤x≤9).
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：3-5解析几何 精品
热点调研
解析几何解答题是整套试卷的把关题，也是同学们得分的冲 关题．通常涉及求曲线方程、最值及范围、定点、定值、定曲线 等一系列的问题．
解析几何型解答题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求解时除了运用设而不求，整体思维外，还要用到平面几何的基 本知识和向量的基本方法，解题过程始终围绕如何简化运算展 开．有些问题用常规方法解答，运算往往比较复杂，此时若能以 形助数，运用平面几何以及向量的方法，则会大大简化解题过程， 考生应逐渐掌握这一基本技能．
【回顾】 (1)本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的 位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力， 考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．
(2)求解此类问题的关键为：(ⅰ)运用椭圆的几何性质解决问 题，要充分挖掘题目中所隐含的条件，如①半焦距 c、长半轴长 a、短半轴长 b 之间的关系：c2＝a2－b2，②离心率 e＝ca∈(0，1)．③
设切点 Q(x0，y0)，由O→Q·P→Q＝0 得 x0(x0－t)＋y02＝0，即 x0＝1t ，
联立xy＝2＋k4（y2x＝－4t，），化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝ 0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝1＋8tk42k2. 因为线段 AB，PQ 中点重合，即有 x1＋x2＝t＋x0，因此1＋8tk42k2 ＝t＋1t .④ 联立③④化简得 k2＝21，将其代入③式，可得 t＝± 3.
②方法 1：由①知，k3k4＝k1k2＝－34，
故 y1y2＝－34x1x2.
∴196x12x22＝y12y22＝34(4－x12)·43(4－x22)， 即 x12x22＝16－4(x12＋x22)＋x12x22，∴x12＋x22＝4. 又 2＝(x412＋y312)＋(x422＋y322)＝x12＋4 x22＋y12＋3 y22，故 y12＋y22 ＝3. ∴|OB|2＋|OC|2＝x12＋y12＋x22＋y22＝7.(12 分)
江苏省高考数学二轮复习 专题三 解析几何 3.3 大题考法—椭圆讲义(含解析)-人教版高三全册数学学
第三讲 大题考法——椭圆题型(一) 直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法.[典例感悟][例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以23k 2＋1 1＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A (－2,0)．设M (x 0，y 0)(－2<x 0<0)，则B (2x 0＋2,2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89，①2x 0＋224＋2y 022＝1，②由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①得y 0＝±23，所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k x ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.所以x M ＝x B ＋－22＝－4k 21＋2k2， y M ＝k (x M ＋2)＝2k1＋2k2， 代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，化简得28k 4＋k 2－2＝0，即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右准线l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→|＝2|MN ―→|，求直线AM 的方程．解：(1)∵a 2c＝4，c ＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x M ＝－16k 24k 2＋3＋2＝6－8k24k 2＋3，y M ＝k (x M ＋2)＝12k4k 2＋3. 而k MN ＝－1k，又∵x N ＝4，∴MN ＝ 1＋1k2|x M －x N |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪24k 2＋64k 2＋3＝1＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3. 又∵AM ＝1＋k 2|x M －x A |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪124k 2＋3＝1＋k 2·124k 2＋3，∵5|AM ―→|＝2|MN ―→|，∴51＋k 2·124k 2＋3＝21＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3，∴k ＝1或14，∴AM 的方程为y ＝x ＋2或y ＝14x ＋12.题型(二) 椭圆与圆的综合问题主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题，主要求椭圆、圆的方程.[典例感悟][例2] (2018·无锡期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C ，记点P 的纵坐标为t .(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3)求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．[解] (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63， 解得b ＝1，a ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (2，t )，t >0，则直线PA 的方程为y ＝t22(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22x ＋2，整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得x C ＝42－2t 24＋t2，则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积， 所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积，S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t2， S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t 4＋t2，解得t ＝ 2. 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.(3)因为B (2，0)，P (2，t )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，所以BP 的垂直平分线为y ＝t2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋82t 2＋4，t 2， 则过B ，C ，P 三点的圆的方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －t 2＋82t 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t 42t 2＋42＋t 24，即所求圆的方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0. [方法技巧]椭圆与圆的综合问题的解题策略(1)在椭圆背景下，常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程，也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题．这里涉及到椭圆上动点如何求解，以及椭圆的弦的处理．(2)以两点为直径的圆，可以用直角三角形处理，也可以用向量数量积处理，这两种方法都是转化为点坐标来处理.(3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透，出现多个变量时，要有消元意识和主元思想；在代入运算过程中，不要忘掉整体思想．(4)在研究直线与椭圆相交的问题时，通常有两种方法来设参，一是设点坐标来作为参数，二是设直线的斜率作为参数．在学习中，要通过比较来看应用哪种方法较为简便，以免将问题复杂化．[演练冲关](2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点F (－2,0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程． 解：(1)因为e ＝ca ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2. 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ， 所以MA ―→·MB ―→＝0，又MA ―→＝(s ＋6，t ＋1)，MB ―→＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0.② 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t >0)，所以s 2＝709.又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB2＝|s |，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝709.题型(三)椭圆中的定点、定值问题主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.[典例感悟][例3] (2018·江苏六市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． [解] 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)．(1)在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋x ＋329＝1.所以x 0＝－6a29＋a 2.因为PB 1＝x 20＋y 0－32＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)法一：(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0， 由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 2－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.法二：(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3.由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0， 从而x 0＝－12k2k 2＋1.因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 2－9＝－x 202.所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k.由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，解得x 1＝6k2k 2＋1.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.[方法技巧]1．定点问题的两种求解方法(1)引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2．定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．[演练冲关]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得a ＝2b ， 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2) 由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x －2，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0. 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝42k ＋12－81＋4k2， 即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． [课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)． ∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52，∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1x 2－4＝k x 1－1x 2－4＋k x 2－1x 1－4x 1－4x 2－4.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2k 2－8k 2＋2－10k2k 2＋2＋8＝0，∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0. 3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP2＋1OQ 2＝1.4．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B .(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③ 将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22，则x 20＋y 0－22x 0＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－322＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤ 又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0，解得x 0＝－1或x 0＝－913，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程； (2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋24－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52. 法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b1＋2k 2，则y 0＝22bk 1＋2k 2. 直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12kx ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2， 解得x 1＝－2bk1＋2k 2，则y 1＝b 1＋2k 2 .又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2， 则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk 1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52. 4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 又点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， 所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0， 即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0消去y ，得 (4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.所以点P 的坐标为(2，1)．②因为△OAB 的面积为267， 所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。
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3a＋6 3a＋6 的坐标为 ， 4 . 4
[方法归纳]
求直线方程的两种方法
圆的方程
[必备知识] 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以
答案：(x＋2)2＋(y－4)2＝20
[方法归纳]
圆的方程的两种求法 (1)几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而 求得圆的基本量和方程． (2)代数法 用待定系数法先设出圆的方程， 再由条件求得各系数， 从 而求得圆的方程．
直线与圆、圆与圆的位置关系
[必备知识] 1．过圆 O∶x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2. 2．过圆 O∶x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切 点为 A，B，则 O，P，A，B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x ＋y0y＝r2.
2．(2016· 天津高考)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 ，则圆 C 5 的方程为________________．
解析： 因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)， 且 a＞0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ ，解得 a＝2， 5 5 所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
D E － ，－ 为圆心， 2 2
D2＋E2－4F 为半径的圆． 2
[题组练透] 1．(2017· 南通一模)已知圆 C 过点(2， 3)，且与直线 x－ 3y＋3 ＝0 相切于点(0， 3)，则圆 C 的方程为_______________．
解析：设圆心为(a，b)， b－ 3 3 · ＝－1， a 3 则 a－22＋b－ 32＝a2＋b－ 32， 解得 a＝1，b＝0，r＝2. 即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案：(x－1)2＋y2＝4
第1课时解析几何中的基本问题
江苏 新 高 考
高考对本章内容的考查多以 “两小一大 ”的形式出 现，小题多考查双曲线、抛物线、圆的方程与性质，而大 题主要考查直线与圆如 2013 年、2016 年、直线与椭圆 如 2014 年、2015 年、2017 年的位置关系、弦长问题及 范围问题等.
[常ห้องสมุดไป่ตู้题型突破]
2．(2017· 南京、盐城二模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：kx －y＋2＝0 与直线 l2：x＋ky－2＝0 相交于点 P，则当实数 k 变 化时，点 P 到直线 x－y－4＝0 的距离的最大值为______． 1 1 － ＝－1(k＝0 解析：由题意，kl1＝k，kl2＝－k，则 kl1· kl2＝k· k
[题组练透] 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为___． 1 解析：由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直，所以 kl＝－k ＝1.又直 PQ
线 l 经过 PQ 的中点(2,3)，所以直线 l 的方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
时， 两条直线也相互垂直)， 并且两条直线分别经过定点： M(0,2)， N(2,0)． ∴两条直线的交点在以 MN 为直径的圆上．并且 kMN＝－1，可 得 MN 与直线 x－y－4＝0 垂直． |0－2－4| ∴点 M 到直线 x－y－4＝0 的距离 d＝ ＝3 2为最大值． 2 答案：3 2
3．(2017· 苏州考前模拟)在平面直角坐标系中，已知两点 P(0,1)， Q(3,6)，在直线 y＝x 上取两点 M，N，使得 MN＝ 2a(其中 a>0 为定值)， 则当 PM＋NQ 取得最小值时， 点 N 的坐标为________．
3a＋6 3a＋6 N . ， 4 4
(2)若设 A(1,0)， B(1－a ，－ a)，同理可得 PM ＋ NQ 最小值为 a＋22＋a＋62 ， 因 为 a>0 ， 所 以 a＋22＋a＋62
> a－22＋a－62，不合题意． 综上，PM＋NQ 取得最小值时点 N
答案：(x－2)2＋y2＝9
3．与圆 C：x2＋y2－2x＋4y＝0 外切于原点，且半径为 2 5的圆 的标准方程为_______．
解析：由题意，所求圆的圆心在直线 y＝－2x 上，所以可设所 求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆 C：x2＋y2－ 2x＋4y＝0 外切于原点，且半径为 2 5，所以 a2＋－2a2＝ 2 5，可得 a2＝4，解得 a＝－2 或 a＝2(舍去)．所以所求圆的 标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
直线方程及两直线位置关系
[必备知识] 1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔k1 ＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则 要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式 (1) 点 (x0 ， y0) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离公式 d ＝ |Ax0＋By0＋C| . A2＋B2 (2)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， |C1－C2| l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ 2 2. A ＋B
解析：(1)设点 A(1,0)，B(1＋a，a)，则 AB∥MN，且 AB＝MN， 所以四边形 ABNM 为平行四边形，所以 AM＝BN，又因为点 P 与 A 关于直线 y＝x 对称， 所以 PM＝AM， 所以 PM＋NQ＝AM ＋NQ＝BN＋NQ，所以当 B，N，Q 三点共线时，PM＋NQ 取 最小值为 BQ＝ a－22＋a－62.此时 BQ 方程为(a－6)x－(a －2)y＋3a＋6＝0，与直线 y＝x 联立解得