“不等式的性质”一节真的很难上吗(李祖兴)

“不等式的性质”一节真的很难上吗？
南宁二中数学组 李祖兴
【摘要】“不等式的性质”一节，其内容并不是表面形式那么简单，而是蕴含着不等式证明的各种重要思想方法，也蕴含着各种变形的变换技巧，只要把这些隐含在背后的内容挖出来，这应该是一节很好上的课。

“不等式的性质”一节不好上，太简单了，学生一看都明白，没有什么好讲的。

这是许多老师甚至是有了多年教学经历的老师常见的一个感叹。

那么，实际情况是不是这样呢？
我们不妨先看看课本中所列的前四个性质：
性质1 如果b a >，那么b a <；如果a b <，那么b a >.
性质2 如果b a >， 且c b >，那么c a >.
性质3 如果b a >，那么c b c a +>+.
性质4 如果b a >，0>c ，那么bc ac >；如果b a >，0<c ，那么bc ac <. 这些性质的证明的主要依据是实数大小比较法则，即：
0>-⇔>b a b a ；
0=-⇔=b a b a ；
0<-⇔<b a b a .
从形式来看，这些性质确实简单明了，性质的证明所用的实数大小比较法则也是显而易见的。

也许，显而易见，简单明了，学生一看就懂，这是使许多老师觉得没有什么讲而不好上的主要原因。

那么，内容真的简单到没有什么好讲了吗？
一、简单的背后隐藏的是什么？
从学生的学习心理来说，如此简单明了的内容会在心理上造成一定的错觉，这些内容浅显到不需要老师讲解了，在此心理下，学生会觉得老师的讲解有故弄玄虚、顾作严密的嫌疑；而从逻辑上来说，学生有了这样的心理，其学习也只能停留在内容的表面形式上，进入不了深层的学习，领会不到简单形式背后所蕴含的思想方法。

这是学生在学习这个内容时，在心理和逻辑上的纠结所在，如果看不到这点，而只停留在形式上，当然就会觉得没有什么好讲的。

那么，简单的背后隐藏的是什么呢？
我们不妨先从下面的例子开始：
为了便于说明，我们把用比较a b -与0的大小来比较a 与b 的大小的方法称为比差法。

例1 若1<x <2，试比较122-+x x 与342-+x x 的大小.
先看下面的解法。

解 ∵)12(2-+x x –)34(2-+x x =232+-x x
=)2)(1(--x x
又∵1<x <2 ∴x –1>0，x –2<0 即)2)(1(--x x <0
∴122-+x x <342-+x x
每次讲授不等式的性质前，我都是先安排这样的例子。

而事实证明，每次这样的安排，看似不难的问题，能解答出来的学生却没有几个，这是因为，就学生现有的基础，还没有掌握实数大小比较的法则核心思想，且运算方面也还存在问题，学生的难点在于：
⑴ 解决问题的方向不明。

即不知道先比较差22(21)(43)x x x x +--+-与0的大小，也就是不知道要用比差法来解决这个问题；
⑵ 变形方向不明。

即不知道作差后要分解因式，即)12(2-+x x –)34(2-+x x =)2)(1(--x x
由于这两个难点，学生就不会把例1看成是简单的问题。

此时再指出，本例中的122-+x x 和342-+x x 分别相当于性质中的a 和b ，这样，学生就会明白：
⑴看似简单的a 和b 并不仅仅是两个简单的数字，而是可能代表着两个复杂的表达式。

⑵a b -与0的大小比较，也并不仅仅是两个简单数字的差与0的大小比较，而是蕴涵着大小比较的解题思想方法，即比差法。

原来，简单形式的背后有着复杂的表达式，有着复杂的运算，有着解决问题的思想方法。

另外，了解了比差法，还不一定就能顺利地进行比较大小，在例1的基础上，再引导学生解答类似例2的例题，既能拓宽学生的视野，又能为学生打开又一个知识的空间，激起学生学习的欲望。

例2 试比较13)(2+-=x x x f 与12)(2-+=x x x g 的大小.
解 ∵)(x f –)(x g =)13(2+-x x –)12(2-+x x
=222+-x x
=2)1(-x +1>0
∴)(x f >)(x g
对例1和例2的解法进行比较可以看出，虽然用的都是比差法，但例1是通过分解因式来达到目的的，而例2则是把差变形为一个非负实数和一个正数之和来达到目的的。

由此可见，两个实数的大小比较，并不像0>-⇔>b a b a 等在形式上理解的那么简单，而是既蕴含着比差法的思想，又包含了不同的恒等变形的方法。

因此，知道了掌握了比差法，还不一定能顺利地进行比较大小，还须要
掌握相关的变形技巧。

二、实数大小的比较法则是不等式性质证明的基础
在课本中，对于各个不等式性质的证明，除了性质1和性质2用了比差法外，其他性质的证明都没有用比差法。

实际上，除了乘方法则和开方法则不便于用比差法外，其余性质都可以用比差法来证明。

下面以性质3的推论和性质5的证明来说明。

例3 性质3的推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d.
课本给出的证明是：
∵a>b ∴a+c>b+c ①
∵c>d ∴b+c>b+d ②
由①②得a+c>b+d
这个证明方法的着眼点主要是利用不等式的传递性。

用比差法证明如下： ∵a>b ，且c>d ∴a –b>0，且c –d>0
∴(a+c)–(b+d)＝(a –b)+(c –d)>0
∴a+c>b+d.
例4 性质5：已知a>b>0，c<0，求证：a c >b
c . 课本的证明是：
∵a>b>0，两边同乘以正数ab 1得，b 1>a 1 即a 1<b
1 又∵c<0， ∴a c >b
c 这个证明方法的着眼点主要是利用不等式的乘数法则。

用比差法证明如下： ∵a>b>0，c<0 ∴0b a -<从而()0c b a ->且0ab > ∴()0c c c b a a b ab
--=> ∴a c >b c
从上面的证明可以看出，用比差法来证明例3和例4也是很简便的，并且，在思维方法上与定理1和定理2的证明思想是一致的。

其实，除了不便于用比差法证明的乘方法则和开方法则外，其他性质都可以用比差法来证明，如果这些性质的证明都用比差法，那么，在学生的印象中，比差法这一思想方法就会得到不断的强化，如此，最多给以两个或三个性质的证明示范，其余都可以由学生自行完成。

思维的这种前后连惯和不断地重复使用，既便于学生理解和掌握，又容易在学生的认知结构中得到强化和巩固，其知识的框架也就能较容易地搭建起来。

一种思想的形成，需要一个渐进的过程，只有反复的出现，多次强化，才能在学生的认知结构中，形成一种固定的模式，从而形成对解决同一类问题的较为固定的思想方法。

上面用比差法来证明例3和例4，与例1和例2的思维连惯起来，这样处理就能很好地达到这样的目的。

三、“不等式的性质”一节是内容丰富教师可以尽情发挥的一节课
从上面的分析可以看出：
⑴例1的安排，不仅使学生知道，要学习的内容并不只是形式上表示的那么简单，而是简单形式的背后隐含着重要的思想方法，隐含着复杂的运算技巧等等，
因此，这样的安排能很好地解开上面提到的学生学习的心理问题和逻辑问题。

⑵从性质的证明方法来看，例1到例4都用比差法来证明，这样，对于同一种方法就会得到不断的强化，就易于学生对这一方法的认识和掌握，易于强化学生对这种方法的印象，易于学生很快而又牢固法把这种掌握下来。

⑶课本对于例3和例4所提供的方法只是众多证明方法的其中一种，如上分析，如果先以比差法为主，在掌握了比差法的基础上，再引导学生使用课本提供的方法，既能使学生学到了不同的方法，又能打开学生的视野。

⑷由上面四个例子的证明可以看出，知道了比差法，还需要掌握一定的运算技巧才能很好地进行比较大小，因此，在比差法中，如何掌握各种运算技巧成了关键，这也是不等式性质证明的又一个重点，也是老师施展的所在。

由以上几点分析可以看出，“不等式的性质”这节课的内容并不简单，也并不是不好讲，只要挖掘出简单形式的背后蕴含的丰富的思想方法，以及各种恒等变形所需要的变换技巧，讲授的内容是十分丰富的，知识和方法拓展的空间是巨大的，因而，学生学习和思维训练的空间也是巨大的。

因此，“不等式的性质”这一节内容不是没有什么好讲，也不是难讲，而是老师有着广阔的施展空间、能充分地展示智慧的一节课，是一节很有讲头也很好讲的一节课。

2014年12月26日。