3磁场对运动电荷的作用

粒子(不计 粒子重力),由静止开始经加速电压为
U=1 205 V的电场(图中未画出)加速后,从坐标点M (-4, 2 )处平行于x轴向右运动,并先后通过匀强磁场 区域.
图15
(1)请你求出 粒子在磁场中的运动半径. (2)请你在图中画出 粒子从直线x=-4到直线x=4之间的
运动轨迹,并在图中标明轨迹与直线x=4交点的坐标.
入射方向与CD边界间夹角为θ .
已知电子的质量为m,电荷量为e, 为使电子能从磁场的另一侧EF射 出,求电子的速率v0至少多大?
图7
思维导图
规律总结
1.解决此类问题的关键是:找准临界点. 2.找临界点的方法是: 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词 语为突破口,借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约 束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关 系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论 如下: （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运 动的轨迹与边界相切. （2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越 大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. （3）当速率v变化时,圆周角大的,运动时间越长.
题型2
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运
动的多解问题
【例2】 如图6甲所示,MN为竖直放置彼此平行的 两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔 O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,
磁感应强度随时间的变化如图乙所示.有一群正
离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场.已知 正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中 做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周 期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的 影响,不计离子所受重力.求:
的洛伦兹力的宏观表现.
2.洛伦兹力方向的特点 （1）洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场 方向都垂直,即洛伦兹力的方向总是垂直于运动 电荷速度方向和磁场方向确定的平面.
（2）当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的
方向也随之变化. （3）用左手定则判定负电荷在磁场中运动所受 的洛伦兹力时,要注意将四指指向电荷运动的反 方向.
（
）
C.电子将向左偏转,速率不变
D.电子将向右偏转,速率改变 图10
2.如图11所示, 在第一象限内 有垂直纸面向里的匀强磁场 （磁场足够大）,一对正、 负电子分别以相同速度沿与
x轴成30°角的方向从原点
垂直射入磁场,则负电子与 图11 正电子在磁场中运动时间之比为（不计正、负
电子间的相互作用力）
图9 （1）磁感应强度的大小和方向（提示:可考虑沿 CM方向运动的离子为研究对象）. （2）离子沿与CM成θ 角的直线CN进入磁场,求 其轨道半径和在磁场中的运动时间.
素能提升
1. 初速度为v0的电子,沿平行于通电长直导线的方 向射出,直导线中电流方向与电子的初始运动方
向如图10所示.则
A.电子将向右偏转,速率不变 B.电子将向左偏转,速率改变
大小
力方向与 场方向的
关系
做功 情况
不做功
力F为零时
场的情况
F为零,B不 一定为零
F为零,E 一定为零 既可以改变电 荷运动的速度 大小,也可以改 变电荷运动的
只改变电荷 作用效果
运动的速度
方向,不改 变速度大小
方向
特别提示
（1）洛伦兹力方向与速度方向一定垂直,而电
场力的方向与速度方向无必然联系. （2）安培力是洛伦兹力的宏观表现,但各自的 表现形式不同,洛伦兹力对运动电荷永远不做 功,而安培力对通电导线可做正功,可做负功, 也可不做功.
粒子从磁场边界与x轴的交
点A处以速度v沿-x方向射入 磁场,它恰好从磁场边界与y
轴的交点C处沿+y方向飞出.
图4
（1）请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷 q . m （2）若磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应 强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射 入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改 变了60°角,求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁 场中运动所用时间t是多少？
（3）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的 圆弧所对应的圆心角为α 时,其运动时间可表示为 t= T或t = T. 2π 360 2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序 解题法——三步法 （1）画轨迹:即确定圆心,几何方法求半径并画
出轨迹.
（2）找联系:轨道半径与磁感应强度、运动速 度相联系,偏转角度与圆心角、运动时间相联系, 在磁场中运动的时间与周期相联系.
磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力的大小和方向 1.洛伦兹力的大小 F=qvBsinθ,θ为v与B的夹角,如图1所示.
图1
（1）v∥B时,θ =0°或180°,洛伦兹力F= 0 . （2）v⊥B时,θ =90°,洛伦兹力F= qvB .
（3）v =0时,洛伦兹力F= 0 . 2.洛伦兹力的方向 （1）判定方法:应用左手定则,注意四指应指向
A.1∶ 3 B.2∶1 C. 3∶1
（
）
D.1∶2
3.如图12所示, 在屏MN的右方有磁
感应强度为B的匀强磁场,磁场方 向垂直纸面向里.P为屏上的一小 孔.PC与MN垂直,一群质量为m、 带电荷量为-q的粒子（不计重力）, 以相同的速率v从P处沿垂直于磁场 的方向射入磁场区域.粒子入射方 图12 向在与磁场B垂直的平面内,且散开在与PC夹角
变式练习1
圆心为O、半径为r的圆形区域中有一
个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁
场,与区域边缘的最短距离为L的O′处有一竖直放 置的荧屏MN,今有一质量为m的
电子以速率v从左侧沿OO′方向
垂直射入磁场,越出磁场后打在 荧光屏上的P点,如图5所示,电子 的重力不计.求O′P的长度和电 子通过磁场所用的时间. 图5
特别提醒
（1）T、f 的大小与轨道半径R和运行速率v无关, q 只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷 有关. m （2）比荷 q 相同的带电粒子,在同样的匀强磁 m 场中,T、f 相同.
洛伦兹力的理解 1.洛伦兹力和安培力的关系 洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力,而 安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到
（3）用规律:即牛顿第二定律和圆周运动的规
律,特别是周期公式、半径公式. 特别提示 ①解题时做图尽量准确,以利于几何关系的确定. ②特别关注几何图形中边角关系,勾股定理与三 角函数是常用的数学方法.
题型探究
题型1 带电粒子在有界磁场中的运动
【例1】 在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形 区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于 纸面向里的匀强磁场,如图 4所示.一个不计重力的带电
电流的方向即正电荷 运动的方向或负电荷 运动
的反方向 . （2）方向特点:F⊥B,F⊥v.即F垂直于 B和v 决 定的平面.（注意B和v可以有任意夹角）. 由于洛伦兹力始终与速度垂直,因此它永不做功.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做 匀速直线 运动. 2.若v⊥B,带电粒子仅受洛伦兹力作用,在垂直于磁 感线的平面内以入射速度v做 匀速圆周 运动.
图14
(1)从A射出的粒子第一次到达C点所用时间为多少?
(2)带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期.
6.如图15所示,在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中
的直角三角形区域内,分布着磁感应强度均为B=5.0× 10-2 T的匀强磁场,方向分别垂直纸面向外和向里.质 量为m=6.64×10-27 kg、电荷量为q=+3.2×10-19 C的
出射点分别作垂直于入射速度方向和出射速度
方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆 心（如图2甲所示,P点为入射点,M为出射点）.
图2 ②已知入射点和出射点的位置时,可以通过入射 点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作 其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆 心（如图2乙所示,P为入射点,M为出射点）.
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析方法 1.分析方法:定圆心、定半径、定转过的圆心角是 解决这类问题的前提,确定轨道半径和给定的几
何量之间的关系是解题的基础,有时需要建立运
动时间t和转过的圆心角α 之间的关系作为辅助. （1）圆心的确定
基本思路:即圆心一定在与速度方向垂直的直线
上.有两种方法: ①已知入射方向和出射方向时,可通过入射点和
题型4 质谱仪的工作原理 【例4】 （16分）如图9为一种质百度文库仪工作原理示 意图.在以O为圆心,OH为对称轴,夹角为2α 的 扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.
对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集
点.CM垂直磁场左边界于M,且OM=d,现有一正 离子束以小发射角（纸面内）从C射出,这些离 子在CM方向上的分速度均为v0,若该离子束中 q 比荷为 的离子都能汇聚到D,试求: m
为θ 的范围内,则在屏MN上被粒子打中的区域
的长度为 A. 2mv cos qB C. 2mv(1 sin ) qB （ B.
2mv qB qB
）
D. 2mv(1 cos )
4.如图13所示, ABC为与匀强磁场 垂直的边长为a的等边三角形,磁 场垂直纸面向外,比荷为e/m的电 子以速度v0从A点沿AB边入射,欲 使电子经过BC边,磁感应强度B的 取值为
图6 （1）磁感应强度B0的大小. （2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正
离子射入磁场时的速度v0的可能值.
磁感应强度
的变化规律
画出正离子一个 周期的运动轨迹
d mv0 根据R= 4n qB 求v0的多解
题型3 【例3】
带电粒子在磁场中运动的极值问题 如图7所示, 匀强磁场
的磁感应强度为B,宽度为d,边界 为CD和EF.一电子从CD边界外 侧以速率v0垂直匀强磁场射入,
变式练习2
电子质量为m, 电荷
量为e,从坐标原点O处沿xOy平面
射入第一象限,射入时速度方向不
同,速度大小均为v0,如图8所示.
图8 现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀 强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都 能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求: （1）荧光屏上光斑的长度. （2）所加磁场范围的最小面积.
3mv0 A.B > ae C.B < 3mv0 ae
图13
（ 2mv0 B.B< ae 2mv0 D.B> ae
）
5.如图14所示,边长为L的等边三角形ABC为两个
有界匀强磁场的理想边界,三角形内的磁场方向
垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,三角形外的 磁场(足够大)方向垂直纸面向里,磁感应强度大 小也为B.把粒子源放在顶点A处,它将沿∠A的 角平分线发射质量为m、电荷量为q、初速度为 qBL v= 的负电粒子(粒子重力不计).求: m
(3)求出 粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间.
反思总结
3.洛伦兹力与电场力的比较
对应力 内 容 项 目 性质
洛伦兹力
电场力
磁场对在其中运 动电荷的作用力
电场对放入其中 电荷的作用力
产生 条件
v≠0且v
不与B平行 F = q vB （ v⊥ B ） 一定是 F⊥B,F⊥v与 电荷电性无关 任何情况下 都不做功
电场中的电荷
一定受到电场
力作用 F=qE 正电荷与电场 方向相同,负电 荷与电场方向 相反 可能做正功、 负功,也可能
（2）半径的确定和计算
利用平面几何关系,求出该圆的可能半径（或圆心
角）,并注意以下两个重要的几何特点: ①粒子速度的偏向角等于圆心角 （α ）,并等于AB弦与切线的夹 角（弦切角θ ）的2倍（如图3所 示）. 即φ =α =2θ =ω t ②相对的弦切角（θ ）相等,与 图3
相邻的弦切角（θ ′）互补,即θ +θ ′=180°.