高三数学数形结合思想
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用一、数形结合思想方法的概念数形结合思想方法是指将数学中的抽象概念与具体图形相结合，使抽象概念更加形象化和具体化，从而帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这种方法通过将数学问题转化为几何问题，突出了问题的形象性和直观性，使学生更容易理解和掌握数学内容。
二、数形结合思想方法的运用1. 代数表达与几何图形在代数学习中，常常涉及到各种方程、函数及其图像。
教师可以引导学生通过绘制函数图像的方法，帮助学生更好地理解代数表达式的意义。
对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，教师可以通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到a、b、c对函数图像的影响，从而加深对函数的理解和运用。
2. 数列与平面几何在数列的学习中，常常涉及到数列的通项公式和求和公式。
通过将数列的通项公式和求和公式与平面几何结合起来，可以帮助学生更好地理解数列的规律和性质。
教师可以通过绘制数列的图形，让学生直观地感受到数列的增减规律及其和的变化规律，从而加深对数列的理解和掌握。
3. 解析几何与代数方程在解析几何的学习中，常常涉及到直线、圆、抛物线等几何图形的方程式。
教师可以通过将几何图形的方程式与代数方程结合起来，帮助学生更直观地理解几何图形的性质和方程的意义。
教师可以通过分析直线方程和圆的方程的关系，让学生理解方程式与几何图形的联系，从而加深对解析几何的理解和运用。
2. 培养学生的几何直观能力学生在数学学习中往往更倾向于代数计算，而对几何图形的理解和运用能力相对较弱。
数形结合思想方法可以帮助学生培养几何直观能力，提高他们对几何图形的理解和运用水平。
3. 提高学生的数学思维能力数形结合思想方法可以激发学生的求知欲，培养他们的数学思维能力。
通过将数学问题转化为几何问题，学生能够更主动地思考和解决问题，提高他们的数学思维能力。
2. 拓展教学手段和方法数形结合思想方法为教师提供了新的教学手段和方法，丰富了教学内容和形式，提高了教学的多样性和趣味性，能够激发学生的学习兴趣。
高中数学 数形结合思想
第二讲 数形结合思想知识整合数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．1.数形结合思想在方程的根或函数零点中的应用典题例析例1 若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( D )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12][解析] 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， ∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1．而由f (x )＋1＝1f (x ＋1)，可得f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1(x ∈(－1,0])．如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图象，而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图象交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图象为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－(－1)＝12，直线PO 的斜率为k 2＝0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图象有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2<m ≤k 1，即m ∈(0，12]．规律总结利用数形结合求方程解应注意两点1．讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2．正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为__1__.[解析] 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1．又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1．2．(2019·辽宁模拟)f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7[解析] 令2sinπx －x ＋1＝0，则2sinπx ＝x －1，令h (x )＝2sinπx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数问题就转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sinπx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h (52)>g (52)，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.故选B.2.数形结合化解不等式问题典题例析例2 (1)(2019·四川模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] 方法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <(12)x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝(12)x 的图象，如图，由题意，知在(0，＋∞)上，直线y ＝x －a 有一部分在曲线y ＝(12)x 的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，故选D.方法二：不等式2x (x －a )<1可变形为a >x －(12)x .记g (x )＝x －(12)x (x >0)，易知g (x )为增函数，又g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞)．故a >－1．故选D.(2)已知关于x 的不等式x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，则ab ＝ 92 .[解析] 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x >ax ＋32的解集为{x |4<x <b }，所以两函数图象在4<x <b 上有f (x )>g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎨⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92. 规律总结1．数形结合思想解决参数问题的思路(1)分析条件所给曲线．(2)画出图象．(3)根据图象求解． 2．常见的数与形的转化(1)集合的运算及韦恩图．(2)函数及其图象．(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象．(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线．1．(2019·太原模拟)不等式2x －x 2≤x ＋b 恒成立，则实数b 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－2－1] B ．(－∞，2－1] C ．[2－1，＋∞)D ．[－2－1，2－1][解析] 设y ＝2x －x 2＝1－(x －1)2，整理得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，表示以A (1,0)为圆心，半径为1的上半圆；而y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上的截距为b 的直线．如图所示，要使不等式恒成立，则直线y ＝x ＋b 在半圆的上方，即圆心到直线的距离不小于圆的半径，故|1＋b |2≥1，解得b ≥2－1或b ≤－2－1．而当b ≤－2－1时，直线y＝x ＋b 在半圆的下方，所以不满足条件．所以实数b 的取值范围是[2－1，＋∞)．故选C.2．对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是 13≤a <1 .[解析] 当0<x <13时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．∵对∀x ∈(0，13)，8x <log a x ＋1恒成立，∴当x ∈(0，13)时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x －1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log a x 的图象与y ＝8x －1的图象交于点(13，1)时，a ＝13，∴13≤a <1．3.利用数形结合思想解决不等式、参数问题 典题例析例3 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1[解析] 方法1：(解析法)建立坐标系如图所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋(y －32)2－34]≥2×(－34)＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法2：(几何法)如图所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤(|P A →|＋|PD →|2)2＝(32)2＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝2(P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵ 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为__2__.[解析] 如题图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，解得⎩⎨⎧x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)．又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.规律总结建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·福建模拟)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( A )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (1t ，0)(t >0)，C (0，t )，P (1,4)，PB →·PC →＝(1t －1，－4)(－1，t －4)＝17－(4t ＋1t )≤17－2×2＝13.当且仅当t ＝12时，PB →·PC →最大为13，故选A ．2．(2019·西安高新模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC→＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝__12__.[解析] 方法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →， 所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →， 所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m >0，n >0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.4.数形结合化解圆锥曲线问题典题例析例4 (1)(2019·武汉模拟)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( A )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)[解析] 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x ，得x 0＝14，故点P 的坐标为(14，－1)，故选A ．(2)已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|P A |的最大值和最小值．[解析] 由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，知|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|， ∴|PF 1|＋|P A |＝6－|PF 2|＋|P A |＝6＋|P A |－|PF 2|.如图，由||P A |－|PF 2||≤|AF 2|＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|P A |－|PF 2|≤ 2.当点P 在AF 2的延长线上的点P 2处时，取右“＝”， 当点P 在AF 2的反向延长线上的点P 1处时，取左“＝”， 即|P A |－|PF 2|的最大、最小值分别为2，－ 2. 于是|PF 1|＋|P A |的最大值是6＋2，最小值是6－ 2. 规律总结(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．1．(2019·南宁模拟)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( C )A ．55B ．655C ．855D ．455[解析]如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·广西模拟)设P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m －n|＝(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x －4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－y215＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.。
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用
数形结合思想方法在高中数学教学中的运用随着教育教学理念的不断发展，越来越多的教学方法被引入到高中数学教学中，以提高学生的数学素养。
数形结合思想方法是一种非常重要的教学方法，它突破了传统的数学教学模式，使学生能够更加直观地理解抽象的数学概念。
本文将探讨数形结合思想方法在高中数学教学中的运用，以及如何有效地将其融入到教学实践中。
一、数形结合思想方法概述数形结合思想方法是指在数学教学中，通过数学概念与几何图形进行联系，使数学概念更加具体、形象化，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这种教学方法充分利用了几何图形的直观性和形象化特点，可以让学生通过观察、感知、思考来理解、掌握和运用数学知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
具体来说，数形结合思想方法可以通过以下几个方面来运用：1.数学概念与几何图形的联系：通过引导学生观察几何图形的特点，对应的数学概念可以更加形象具体地表现出来，比如直观地理解平方数的含义、观察正比例函数的图像等。
2.数学问题的几何化解决：将数学问题转化为几何问题，通过几何图形的性质和特点来解决数学问题，能够帮助学生更快速地找到解题方法和答案。
3.数形结合的教学示例：通过一些具体的数学概念与几何图形的关联示例，让学生从具体的案例中感知数学知识，提高他们的兴趣和学习效果。
在高中数学教学中，数形结合思想方法可以运用到各个知识点和教学环节中，以下是一些具体的应用方式：1.函数的图像与性质：在高中数学的函数教学中，通过绘制函数的图像，让学生直观地感受函数的性质，比如了解一次函数、二次函数的图像特点，并通过几何图形来解释函数的性质和变化规律，这样可以让学生更好地理解函数的抽象定义和具体应用。
2.几何证明与数学定理：在几何证明中，可以通过绘制几何图形、运用几何性质来推导数学定理，让学生在几何图形中找到数学规律和定理证明的方法，提高他们的证明能力和逻辑推理能力。
4.数形结合的教学示例：在教学中，可以通过一些具体的数学概念与几何图形的关联示例来引发学生的兴趣，比如通过正比例函数的图形来理解函数的性质、通过等腰三角形的性质来推导三角函数的定义等。
高三数学专题复习11：数形结合思想
专题十一 数形结合思想一、考点回顾1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
二、经典例题剖析1．选择题（1）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞解析：因为()g x 是二次函数，值域不会是A 、B ，画出函数()y f x =的图像（图1）易知，当()g x 值域是[)0+，∞时，(())f g x 的仁政域是[)0+，∞，答案：C 。
高中数学四大数学思想
高中数学四大数学思想1.数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.2.分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.3.函数与方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.4.转化与化归思想化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.。
高考数学解题思想-数形结合的思想
要点分析什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．（2009·山东）若函数f(x)=a x-x-a (a>0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是.解析：令g(x)=a x (a>0，且a≠1)，h(x)=x+a,分0<a<1,a>1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若函数f(x)=a x-x-a有两个不同的零点，则函数g(x),h(x)的图象有两个不同的交点，根据画出的图象知只有当a>1时符合题目要求.2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二（采用图象法）设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图）解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．。
高中数学数形结合思想
高中数学·数形结合思想所谓数形结合的思想方法，其实质就是将形象的数学语言与直观的图形有机结合起来。
使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体抽象、表象的联系与转化，化难为易、化抽象为直观。
1．遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞． 首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围，如【1】. 【1】．解不等式x -3>x －1.分析：令x -3＝y ，则y 2＝－(x －3) (y ≥0), 它表示抛物线的上半支．令y ＝x －1表示一条直线．作出图象求解．解：作出抛物线y 2＝－(x －3) (y ≥0),以及直线y ＝x －1． 解方程组⎩⎨⎧--=-=)3(12x y x y 得x =2或x =－1（舍去）,由右图可知：当x ＜2时不等式x -3>x －1成立，所以原不等式的解集为{x | x <2}.点拨解疑：一般地，形如n mx c bx ax +>++2(亦可＜)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜x1＜2等． 其次，由于草图的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．比如，在同一坐标系画几个函数图像要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”，见【2】【3】，【2】.判断命题：“当a > 1时，关于x 的方程x a a x log =无实数解。
”正确与否。
错解：在同一坐标系中，分别画出函数xa y = (a > 1)及 x y a log =(a > 1)的图像，如图2-1所示，可见它们没有公共点，所以方程确无实数解，故命题正确。
评析：实际上对不同的实数a ，xa y =及x y a log =的图像的延伸趋势不同，例如当a = 2时，原方程无实数解；而当a =2 时 ，x = 2 便是原方程的解。
高中数学二轮专题复习——数形结合思想
思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理
高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。
高考数学专题复习一数形结合思想
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4 真题感悟
当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时， y＝x2＋3x， 有两组不同解 x3，x4. y＝ax－1 消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0， 且x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，联立可得a>9，
真题与押题
真题感悟 押题精练
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4 真题感悟
1.(2013· 重庆)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2： (x－3) ＋(y－4) ＝9， M， N 分别是圆 C1， C2 上的动点，
2 2
P 为 x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A.5 2－4 C.6－2 2 B. 17－1 D. 17
x－ 2y＋1≥0， (2)已知点 P(x，y)的坐标 x，y 满足 ห้องสมุดไป่ตู้|x|－ y－ 1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是( A.[2,4] C.[4,10] B.[2,16] D.[4,16]
)
解析 画出可行域如图，所求的x2＋y2－
6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上
)
1
2
3
4 真题感悟
解析
设 P(x,0) ， 设 C1(2,3) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为
C1′(2，－3)，
那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2| ＝ 2－3 ＋－3－4 ＝5 2.
而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4.
2 2
x－y＋1＝0， 联立 得 A(1,2)， y＝2，
2－ 0 y 所以 kOA＝ ＝2.所以 的最小值为 2. x 1－ 0
浅谈数形结合思想在高中数学学习中的体现
浅谈数形结合思想在高中数学学习中的体现数形结合思想是指在数学学习中将数学与几何、图形联系起来，通过形象的图形展示和抽象的数学思维相结合，从而更深入地理解数学知识。
在高中数学学习过程中，数形结合思想的体现可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学学习的效果和深度。
本文将从数形结合思想在高中数学学习中的体现以及具体的实例展开说明。
一、数形结合思想在平面几何中的体现在高中数学学习中，几何部分是一个重要的组成部分，数形结合思想在平面几何中具有重要的作用。
学生在学习平面几何的过程中，经常会遇到一些几何图形的性质、定理和推理问题，通过数形结合思想能够更好地理解和应用这些知识。
举例来说，当学习平面图形的面积和周长时，我们可以通过构造图形、求解面积和周长的数值来探究各种图形之间的关系。
可以通过构造一个正方形、长方形、三角形和圆形，然后分别求解它们的面积和周长，并比较它们之间的关系。
通过这种数形结合的方法，可以帮助学生更直观地理解各种图形之间的性质，提高他们的数学理解和应用能力。
对于平面几何中的证明问题，数形结合思想也可以发挥重要作用。
在证明一个几何性质或者定理时，我们可以通过构造图形来理解问题的本质，然后再运用数学推理的方法进行证明。
证明一个三角形的三条中线交于一点，我们可以先通过数形结合的方式构造出一个三角形，并通过画出中线的位置来观察并猜想这个性质，然后再通过推理和证明方法来确认这个性质。
这样不仅能够提高学生的证明能力，还能够让他们更好地理解和记忆这些定理和性质。
在学习立体几何中的立体图形的旋转体和投影问题时，数形结合思想也能够起到重要作用。
通过构造立体图形、展示其旋转和投影过程，可以让学生更好地理解和应用相关的几何知识，提高他们的几何想象和视觉能力。
举例来说，在解决一些数学问题时，我们可以通过构造图形来理解问题的本质，然后再通过建立方程、求解方程来解决问题。
在解决一个关于三角函数的方程问题时，我们可以通过构造三角形图形，并利用三角函数的定义和性质来建立方程，然后再通过求解方程来得到问题的解。
高考数学 数形结合的思想
高考数学 数形结合的思想数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。
数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。
考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主。
”【分析及解】如果采用代数运算，则无所适从，如果画出单调函数()x f y =的示意图象，由()()()()βαf f x f x f -<-21可断定横坐标为βα,的点，至少有一个在横坐标为21,x x 的点的外部，因而0<λ，应选（A ）.【分析及解】这是一道函数,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质（A ） (B) (C) (D)研究函数图象的特征.实际上,只要设y a x a n n ==+1,,则有)(x f y =且x y >,并对所有*∈N n 都成立,因此选(A).【分析及解】本题大部分考生都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA 到D ,使ABAD =,则 AC AB CD +=,,6CBD B π∠=∠+,6π=∠D由正弦定理⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin sin πB AC AB D BC ,即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6sin 6πB AC AB ,由此,选(C).【分析及解】画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 0<b 且0=c ,故选(C).【例3】 (2005年，江苏卷，5)△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为( ).（A ）43sin()33B π++ （B ）43sin()36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++ 【例4】(2005年，上海卷)设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）(A) 0<b 且0>c ( B)0>b 且0<c(C)0<b 且0=c (D)0≥b 且0=c【分析及解】本题给出了y ＝sin nx 在[0，nπ]上的面积为n 2,需要由此类比y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积及y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积,这需要寻求相似性,,其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是3=n 时一个周期的面积=34,第(2)问又是y ＝sin3x 经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出y ＝sin （3 x －π）＋1在[3π，34π]上图像,就可以容易地得出答案32+π.【例5】(2005年，湖南卷，理15)设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在[0，n π]上的面积为n2（n ∈N *）， （i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ； （ii ）y ＝sin （3 x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .。
精品高中数学专题：数形结合思想
第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1． (2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为() A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.2．(2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1 B．2 C. 2 D.2 2答案 C解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3． (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln (x ＋1)， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.5． (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________． 答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．题型一 数形结合解决方程的根的个数问题例1 (2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．审题破题 本题以新定义为背景，要先写出f (x )的解析式，然后将方程f (x )＝m 根的个数转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝m 的交点个数． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等 的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0.反思归纳 研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般 地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二 数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点． 解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)， 则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎨⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0， 解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则b a ＋1的取值范围为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－2,1]D ．(－2,1)审题破题 先根据图象确定a ，b 满足的条件，然后利用ba ＋1的几何意义——两点(a ，b )，(－1,0)连线斜率求范围． 答案 D解析 因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子b a ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的 斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－(－1)＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D. 反思归纳 如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －n a －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)(a －m )2＋(b －n )2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离；(3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边；(4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是 ( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析 画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16.∵d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3－0－1|12＋(－1)22＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]． 题型四 数形结合解几何问题例4 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)审题破题 本题可以结合图形将抛物线上的点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值． 答案 A解析 定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 的距离和点P 到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14，－1)．反思归纳 在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．变式训练4 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值． 解 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.典例 (12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 规范解答解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)； 单调减区间为(－a ，a )．[4分](2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1.[6分]∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知： m 的取值范围是(－3,1)．[12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分，不写出单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象； (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m 的取值范围．1． 设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3． 若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析 令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与 上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.4． 设a ，b ，c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2答案 D解析 由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2. 5． 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析 由0<x ≤12，且log a x >4x >0，可得0<a <1，由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ， 若4x <log a x ，则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，12此时需a >22. 综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.6． 已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是________． 答案5－1解析 如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知， |PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|PA |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋12＝ 5.所以(|P A |＋|PM |)min ＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.专题限时规范训练一、选择题1． 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cosx <0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 B.⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 答案 B解析 根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 2． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b .则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．3． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x } (x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x ，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.4． 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 函数f (x )＝(12)x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y ＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵渐近线y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有一个交点，∴ba ≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.6． 设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π7 ＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .7． 不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤116答案 B解析 不等式x 2－loga x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且 (12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫116，1. 8． 函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t 和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8 ＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.二、填空题9． 若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________． 答案 2解析 可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x 的最小值为2.10．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________． 答案 m ≥2－1解析 集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.11．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 a ＞1解析 设函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x (a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析 依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②. 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6.即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．14．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a的取值范围；(2)求α＋β的值．解方法一(1)设x＝cos θ，y＝sin θ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1有两个不同的交点A(cos α，sin α)和B(cos β，sin β)．所以原点O到直线l的距离小于半径1，即d＝||0＋0＋a(3)2＋12＝|a|2＜1，∴－2＜a＜2.又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0.∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为 H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH ⊥AB ，∴k AB ·k OH ＝－1. ∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin (x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1＜－a2＜1－a 2≠32，即－2＜a ＜－3或－3＜a ＜2.(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3.当－2＜a ＜－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。
高考数学第 2 讲 数形结合思想
{x|－1＜x≤1} ________________.
解析 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.
x＋y＝2， 由 y＝log2x＋1， x＝1， 得 y＝1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为 {x|－1<x≤1}.
解析答案
程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其 代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的 直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思 路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其 实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与
若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不
(0,1) 等的实根，则实数 k 的取值范围是________.
点评
解析
答案
变式训练2
(－1，＋∞) ___________.
若 存 在 正 数 x 使 2x(x － a)<1 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是
解析
1 －x 因为 2 >0，所以由 2 (x－a)<1 得 x－a<2x＝2 ，
确确定参数的取值范围.
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数 的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直 角坐标系或单位圆来定义的.
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1.(2015· 北京改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB， 则 不 等 式 f(x)≥log2(x ＋ 1) 的 解 集 是
浅谈高中数学教学中的数形结合思想
浅谈高中数学教学中的数形结合思想“数形结合”是高中数学教学中应用最广泛的思想方法之一。
“数形结合”思想在培养高中学生发散性思维能力、创造性思维能力以及直觉思维能力等方面都具有十分重要的价值优势。
尽管“数形结合” 在高中数学教育中发择着重要的作用，但从当前数学教学应用现状来看，仍然需要不断改进。
一、对“数形结合”思想的基本认知众所周知.高中数学具有极强的逻辑性和抽象性，而数学理论通常也都是用非常抽象的数学语言来表达和個释的。
抽象的数学语言也为数学学习者带来了很大的难度。
为了更好地学习和理解抽象的数学理论知识.确保学习者能更简单容易地学习数学理论，将代数与几何充分融合并利用两者可以相互转化的关系，让原本抽象、晦涩、难懂的数学知识变得形象、清晰、易学，“数形结合”思想由此应运而生。
“数形结合”思想可分为“以图形辅助代数”和“以代数辅助图形”两个方面的内容，两者在一定条件下可以实现相互转化。
二、高中数学教育应用“数形结合”存在的不足高中数学教育应用“数形结合”思想存在的主要问题梳理如下：一是“数形结合”思想的应用广度不够。
“数形结合”思想可以渗透、应用于大部分的数学理论知识教学，但当前很多高中数学教师对“数形结合••思想认识不深刻，导致其应用范围不够广泛。
据实际调研，大部分高中数学老师对“数形结合”思想的应用主要集中在“函数”和“立体几何”的有关知识，对其他数学知识涉及应用较少。
二是“数形结合”思想应用过程中，对学生思维能力培养的关注度不足。
新课程标准以及新高考综合改革背景下，高中数学教育人才培养目标将数学核心素养的“数学思维能力”放到了突出位置。
换句话说，高中数学教育的核心目标重在“育人”，其目的是培养学生的数学思维以及解决实际问题的能力，而不是只教会学生“答题”。
显然，将“解题能力”等同于数学思维能力是十分荒谬的。
把学生解题能力当做数学教学的核心目标，也将严重影响对学生思维能力的培养。
三、高中数学教育中“数形结合”思想的应用原则“数形结合”思想在函数、向量、线性规划、集合、数列以及几何等基础性知识中，都具有广泛的实际应用价值。
高三数学知识点：数形结合思想
高三数学知识点：数形结合思想数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，专门多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，确实是依照数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过"以形助数，以数解形"，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的成效，数形结合的重点是研究"以形助数"。
一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能幸免复杂的运算与推理，大大简化了解题过程。
高中数学中的数形结合思想方法详解
高中数学中的数形结合思想方法详解在高中数学中，数形结合思想方法被广泛应用于各类数学问题的解决过程中。
数形结合思想方法是将数学问题与几何形状相结合，通过观察、分析和推理，找到问题的解决路径的一种思维方式。
本文将详细介绍数形结合思想方法在高中数学中的应用。
一、图形与代数的结合图形与代数的结合是数形结合思想方法中的一种常见形式。
通过将代数式与几何图形相对应，可以更加直观地理解代数表达式的含义，从而更好地解决问题。
以一元二次方程为例，我们可以通过绘制抛物线图像来帮助理解方程的根的个数和特点。
当抛物线与 x 轴相交于两个点时，方程有两个实数根；当抛物线与 x 轴相切于一个点时，方程有一个实数根；当抛物线不与 x 轴相交时，方程没有实数根。
借助图形，我们可以更加准确地判断方程的解的情况。
同样，在平面几何的问题中，我们可以通过引入代数的思想，使用变量和代数式来表示未知量和条件。
将几何问题转化为代数问题后，可以通过代数运算和推导来解决问题，再将结果转化回几何语言，从而得到问题的几何意义。
图形与代数的结合使得数学问题更加具体化，同时也拓宽了解题思路，提高了问题解决的灵活性和多样性。
二、图形与函数的结合在高中数学中，图形与函数的结合也是数形结合思想方法的一种重要应用。
通过绘制函数图像，可以更好地理解函数的性质和变化规律，从而解决与函数相关的问题。
以一元函数为例，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的单调性、极值点、零点等特征。
通过分析函数图像的变化，可以得到函数在特定区间上的性质，并进一步解决与函数相关的问题。
在解析几何中，图形与函数的结合也发挥着重要的作用。
通过使用函数的定义式，我们可以得到相应函数的方程，并进一步利用函数的性质来解决几何问题。
例如，通过绘制两点之间的直线与圆的图像，我们可以发现直线与圆的交点可能有 0 个、1 个或 2 个，从而解决与直线和圆相关的问题。
图形与函数的结合使得数学问题更加具象化和形象化，使抽象的函数概念更加有实际意义，有助于学生更好地理解和掌握相关知识。
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是指通过数学运算和几何形状的结合，来解决问题和推导结论的思维方式。
它将抽象的数学概念与具象的几何图形相结合，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
在高中数学教学中，数形结合思想的有效运用可以提高学生的学习兴趣，加深对数学概念
的理解，提升问题解决能力。
第一，数形结合思想可以帮助学生形成直观的数学感知。
数学在很大程度上是抽象的，许多概念和定理难以通过纯数学的形式直观地理解。
而通过将数学知识与几何图形相结合，可以将抽象的数学概念转化为具体的形象，使学生更易于理解和记忆。
在学习平面直角坐
标系时，通过绘制坐标轴和点，可以直观地展示坐标的含义和关系，使学生更好地理解平
面几何和代数之间的联系。
第二，数形结合思想可以提高学生的问题解决能力。
在数学学习中，有很多问题是需
要通过推理和推导来解决的。
通过将问题转化为几何形状，再运用数学知识进行分析，可
以更直观地看出问题的本质和解决思路。
在解决二次函数的最值问题时，可以通过绘制抛
物线和分析抛物线的形状，来确定最值点的位置和取值范围。
这种数形结合的思考方式，
有助于学生培养综合运用知识解决问题的能力。
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4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法 与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特 功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训 练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意 以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域； (2)用图象法讨论方程 (特别是含参数的方程)的解的 个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有 时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个 函数的图象，由图求解．
的函数． 又 f(x)＝lg x，则 x∈(0,10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数． 又∵lg 10＝1， 故当 x>10 时， 无交点．∴由图象可知共 9 个交点．
(2)∵f(x)为奇函数， ∴f(x)－f(－x)＝2f(x) 画出 y＝2f(x)的大致图象． 如图，则 f(x)与 x 异号的区间 如图阴影所示， ∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选 D.
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
探究提高
解决函数的零点问题， 通常是转化为方程的
根，进而转化为函数的图象的交点问题．在解决函数图 象的点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”， 直观简洁．
变式训练 2
(2009· 江西)若不等式 9－x2≤k(x＋2)－
2 2的解集为区间[a，b]，且 b－a＝2，则 k＝____.
解析 作出 f(x)的大致图象．
由图象知，要使 f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设 a<b<c，则 1 －lg a＝lg b＝－ c＋6. 2 ∴lg a＋lg b＝0， ∴ab＝1，∴abc＝c. 由图知 10<c<12，∴abc∈(10,12)．
答案 C
考题分析 本小题考查了分段函数的特征及性质． 考查 了对数函数及其运算． 重点考查了解决问题的方法即数 形结合的思想方法．体现了对知识和能力的双重考查． 易错提醒 (1)找不到问题解决的突破口．即想不到用数
题型二 例2
数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、 最值问题中的应用 已知 a 是实数， 函数 f(x)＝2a|x|＋2x－a， 若函数
y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是 __________________． 思维启迪
形结合．
解析 易知 a≠0，f(x)＝0，即 2a|x|＋2x－a＝0， 1 1 变形得|x|－ ＝－ x， 2 a
5．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做 到以下四点： (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线 的代数特征； (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； (3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； (4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代 数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解． 很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这 些几何意义，往往能收到事半功倍的效果．
答案 (1)C
(2)D
探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指 数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重 要的思想方法， 其基本思想是先把方程两边的代数式看作 是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转 化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． (2)解不等式问题经常联系函数的图象， 根据不等式中量的 特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象 的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问 题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答． (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、 降； 奇偶性经常 联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的 最高、最低点的纵坐标．
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原 则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性 质的转换必须是等价的， 否则解题将会出现漏洞． 有 时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般 性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明， 要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行 相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析 容易出错． (3) 简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结 合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、 做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的 取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直 线与定二次曲线．
3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的 大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最 值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究 最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
变式训练 1 已知 f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当 0<x<3 时，f(x)的图象如图所示，那么不等式 f(x)cos x<0 的解集是 ( B ) π π A．(－3，－ )∪(0,1)∪( ，3) 2 2 π π B．(－ ，－1)∪(0,1)∪( ，3) 2 2 C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) π D．(－3，－ )∪(0,1)∪(1,3) 2 解析 不等式 f(x)cos x<0 等价于 f(x)>0， f(x)<0， 或 cos x>0. cos x<0， 画出 f(x)在(－3,3)上的图象，cos x 的图象又熟知，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象 π 分别在 x 轴上、下部分的对应“数”的区间为(－ ，－1)∪(0,1) 2 π ∪( ，3)． 2
变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上，那么点 P 到点 Q(2，－1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和 取得最小值时， 点 P 的坐标为 1 1 A．( ，－1) B．( ，1) 4 4 C．(1,2) D．(1，－2) ( A )
解析 定点 Q(2，－1)在抛物线内部， 由抛物线的定义知，动点 P 到抛物线 焦点的距离等于它到准线的距离，问 题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的 准线距离之和最小时，求点 P 的坐标， 显然点 P 是直线 y＝－1 和抛物线 y2＝4x 的交点，解得 1 这个点的坐标是( ，－1)． 4
形结合． (2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特 殊点的分析． (3)不会借助图形进行分析．
思想方法概述
1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数 辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联 系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数 的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数 作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质．
热点分类突破
题型一 数形结合思想在解决方程的根的个数、 不等式 解集的问题中的应用 例 1 (1)已知：函数 f(x)满足下面关系． ①f(x＋1)＝f(x－1)； ②当 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2. 则方程 f(x)＝lg x 解的个数是 ( ) A．5 B．7 C．9 D．10 (2)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0， f(x)－f(－x) 则不等式 <0 的解集为 ( ) x A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
方法二 利用等价转化的思想，设点 P 坐标为(x，y)，则 |PC|＝ (x－1)2＋(y－1)2，由勾股定理及|AC|＝1，得 |PA|＝ |PC|2－|AC|2＝ (x－1)2＋(y－1)2－1，从而 1 S 四边形 PACB＝2S△PAC＝2·|PA|· |AC|＝|PA|＝ (x－1)2＋(y－1)2－1， 2 从而欲求 S 四边形 PACB 的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求 |PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2 的最小值， 即定点 C(1,1)与直线上动点 P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点 C(1,1)到直线 3x＋ |3×1＋4×1＋8| 2 2 4y＋8＝0 的距离的平方，这个最小值 d ＝( ) 32＋42 ＝9， ∴(S 四边形 PACB)min＝ 9－1＝2 2.
方法三
利用函数思想，将方法二中 S
四边形
PACB ＝
(x－1)2＋(y－1)2－1中的 y 由 3x＋4y＋8＝0 中解出， 代入化为关于 x 的一元函数，进而用配方法求最值，也 可得(S 四边形 PACB)min＝2 2.
数形 探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法： 结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方 法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解 决．
解 方法一 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x＋4y＋8＝0 向左上方或向右下方无穷远处运动时， 直 1 1 角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝ |PA|· |AC|＝ |PA|越来越 2 2 大，从而 S 四边形 PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下 两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线时，S 四边形 PACB |3×1＋4×1＋8| 应有唯一的最小值，此时|PC|＝ ＝3， 2 2 3 ＋4 从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. 1 ∴(S 四边形 PACB)min＝2× ×|PA|×|AC|＝2 2. 2 这是运动变化的思想帮助我们打开了解题的思路．
是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，A、B 是切 点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值． 思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆．