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北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题Word版含解析

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北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

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北京市东城区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知集合，那么下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．【详解】解：由，解得，或．．可得0，1，，故选：D．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选：A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3.下列结论成立的是A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】对赋值来排除。

【详解】当，时，A结论不成立。

当时，B结论不成立。

当时，C结论不成立。

故选：D【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。

4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式，，代入计算即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．5.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，且，，，，则函数的零点所在区间是；故选：C．【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．6.，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．【详解】解：由，，，在第一象限为增函数，．故得故选：D．【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．7.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由得，由得，得．则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.8.若实数x，y满足，则的最大值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，即可求出最大值．【详解】解：实数x，y满足，，，当，时取等号，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．9.已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，当时，，即，即，则函数为周期为1的周期函数；则，当时，，则有，又由，则；故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.10.已知非空集合A，B满足以下两个条件2，3，4，5，，；若，则．则有序集合对的个数为A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A【解析】【分析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则3，5，；若，则3，4，；若，则2，4，；若3，，则4，．综上可得：有序集合对的个数为12．故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.______．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可. 【详解】解：故答案为【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.12.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】且解不等式即可。

北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

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2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

北京市东城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设P={x|x<4}，Q={x|－2<x<2}，则A. P ⊆QB. Q ⊆PC. P ⊆R QD. Q ⊆RP2. 下列函数在区间[0，π]上是减函数的是A. y=sin xB. y=cos xC. y=tan xD. y=23. 已知a=log3+log 3，b=21log9，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系是 A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a4. 已知α为第二象限角，sin α=53，则cos α= A. －43 B. －54 C. 54 D. 435. 要得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向左平移21个单位D. 向右平移21个单位 6. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f （x ）=2x －x ，则f （1）=A. －3B. －1C. 1D. 37. 函数f （x ）=xcosx 在区间[0，2π]上的零点个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 函数y=a －a （a>0，a ≠1）的图象可能是9. 如图所示，单位圆中弧的长为x ，f （x ）表示孤与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x ）的图象是10. 定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）－f （－x ）=0，且对任意x ，x ∈[0，+∞）（x ≠x ），都有0)()(1212<--x x x f x f ，则A. f （3）<f （－2）<f （1）B. f （1）<f （－2）<f （3）C. f （－2）<f （1）<f （3）D. f （3）<f （1）<f （－2）二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

2019-2020学年北京市东城区七年级第二学期期末考试数学试题(含答案)

2019-2020学年北京市东城区七年级第二学期期末考试数学试题(含答案)

东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测初一数学 2020.7一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．4的算术平方根是（）A.-2B.2C.±2D.22. 如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A B C D3.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A．垂线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是A．调查某中学七年级三班学生视力情况B．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．了解一批手机电池的使用寿命∥，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1=40°，则∠2的度数是5. 如图，直线a b（）A.30°B.40°C. 45°D.50°6.如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（ ）A ．（3，2） B ．（﹣3，2） C ．（3，﹣2）D ．（﹣3，﹣2）7.如果关于x 的不等式31x a -≤-的解集如图所示，则a 的值是（ ）A ．a ＝﹣1B ．a ＝﹣2C ． a ≤﹣1D ．a ≤﹣29. 我们定义一个关于实数,a b 的新运算，规定：43.a b a b *=-例如：56=45-36*⨯⨯若m 满足20m *＜，则m 的取值范围是（ ） A ．32m ＜ B ．32m ＞C ．23m ＜D ． 23m ＞234x x ->-342x x -+>-22x ->1x <-移项合并同类项系数化为110.党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图分别反映了20122019-年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率=贫困人数（人）÷统计人数（人）100%⨯）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确．．．的是A ．20122019-年，全国农村贫困人口逐年递减B ．20132019-年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．20122019-年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6% 二、填空题(本题共18分，11-17题每题2分，18题4分) 11.请写出一个大于2的无理数_______ 12.右边的框图表示解不等式234x x ->- 的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据 是 .13.在平面直角坐标系中，已知点(1,2)M a a -+在第二象限，则a 的取值范围是__________.14. 如果22x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程mx -y =4的解，那么m 的值________. 15．已知一个正数x 的两个平方根分别是127a a +-和，则a=________.16. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD ＝4：5，OA 平分∠EOC ，则∠BOE＝ ． OE D CBA17.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其 中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的23， 那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组为 ．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，，则a=________，m=________， n=________.若正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，则点F 的坐标为________________.三、解答题（本题共33分，19-22题每题5分，23题6分，24题7分） 19.（本题5分） 计算3492712-2+-+-20.（本题5分）解方程组 4352 2.x y x y -=⎧⎨-=⎩，21. （本题5分）解不等式组：()41710,75.3x xxx+≤+⎧⎪⎨--<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来.22．（本题5分）如图，已知点A(-3,3)，点B(-4,1)，点C(-2,2) .（1）求△ABC的面积.（2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标.23．(本题6分)完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD.证明：∵AF⊥CE∴∠CGF＝90°（）∵∠1＝∠D（已知）∴_______∥_______（）∴∠4＝∠CGF＝90°（）∵∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠2＋∠3＝90°.∵∠2与∠C互余(已知)，∴∠2＋∠C＝90°（互余的定义）∴∠C＝∠3（同角的余角相等）∴AB∥CD（）.24. （本题7分）在防控新冠病毒疫情期间，某校对初中六、七、八、九四个年级，围绕着“你最喜欢的居家体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对该校学生进行了随机抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据A.平板支撑B.跳绳C.仰卧起坐D开合跳 E.其他，通过调查得到的一组数据如下：D C C A D A B A D B BE D D E D B C C E其他开合跳仰卧起坐跳绳最喜欢体育活动项目的人数104平板支撑育活动项目E C B D E E D D E D B B C C D C E D D A B D D C D D E D C E 整理、描述数据抽样调查50名初中学生最喜欢的居家体育活动项目人数统计表 活动项目 划记频数 A.平板支撑4 B.跳绳 C.仰卧起坐 正正 10D.开合跳E.其他 正正 10 总计50（1）补全统计表和条形统计图.（2）计算:本次抽样调查中，最喜欢开合跳．．．活动的人占被调查总人数的百分比. （3）下图是根据该校初中各年级学生人数占初中学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，若该校九年级共有200名学生，请你估计该校初中学生中最喜欢跳绳．．活动的人数约为多少？ 各年级学生人数占初中学生 总人数的百分比六年级30%七年级24%八年级26%九年级四、解答题（本题共19分，25题6分，26题7分，27题6分） 25.(本题6分)阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图，AB ∥CD ，E 为AB, CD 之间一点，连接BE,DE,得到∠BED. 求证：∠BED=∠B+∠D. 彤彤是这样做的： 过点E 作EF//AB, 则有∠BEF=∠B. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠FED=∠D.∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D. 即∠BED=∠B+∠.FEDCBA请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图，已知：直线a b ∥，点A,B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上,连接AD,BC, BE 平分∠ABC, DE 平分∠ADC ，Q 且BE ，DE 所在的直线交于点E.(1)如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； (2)如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC=β，直接写出∠BED 的度数（用含有αβ，的式子表示）.26. （本题7分）列方程（组）或不等式解决问题每年的4月23日是世界读书日。

北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)

北京市东城区2021-2022高二数学下学期期末考试试题(含解析)重点中学试卷可修改，欢迎下载2021-2022学年东城区高二数学期末考试本试卷共4页，共100分，考试时间120分钟。

请考生将答案填写在答题卡上，试卷上的答案无效。

考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

第一部分选择题（共32分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 $M=\{0.1.2\}$，$N=\{x|0\leq x<2\}$，则$M\cap N$ 等于A。

$\{0\}$。

B。

$\{0.1\}$。

C。

$\{1.2\}$。

D。

$\emptyset$解析】直接进行交集的运算即可得到$M\cap N=\{0.1\}$，故选 B。

2.已知曲线 $y=\dfrac{1}{x}$，$x\neq 0$，那么集合$\{x|y=f(x)\}$ 在点 $(5.0.2)$ 处的切线方程是A。

$y=5x-24$。

B。

$y=5x-25$。

C。

$y=4x-19$。

D。

$y=4x-21$解析】求出切线的斜率即可。

由导数的几何意义，切线的斜率等于函数在该点的导数值，即 $f'(5)=-\dfrac{1}{25}$，带入点斜式即可得到切线方程 $y=5x-25$，故选 B。

3.已知 $x>0$，$y>0$，那么“$x\cdot y>0$”是“$x>0$且$y>0$”的A。

充分而不必要条件。

B。

充要条件。

C。

必要而不充分条件。

D。

既不充分也不必要条件解析】先利用取特殊值法判断 $x\cdot y>0$ 时，$x>0$ 且$y>0$ 不成立，再说明 $x>0$ 且 $y>0$ 时，$x\cdot y>0$ 一定成立，即可得到结论。

故“$x\cdot y>0$”是“$x>0$且$y>0$”的必要不充分条件，故选 C。

北京市东城区景山学校2019-2020学年七年级(下)期末数学试卷(含解析)

北京市东城区景山学校2019-2020学年七年级(下)期末数学试卷(含解析)

2019-2020学年北京市东城区景山学校七年级（下）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列各组二次根式中，同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝（）A．2B．C．D．1.53．能使有意义的实数x的值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（）A．2cm B．8cmC．2cm或8cm D．以上答案都不对5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°6．若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6B．36C．64D．87．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（）A．B．C．D．8．化简二次根式的结果是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）9．在实数范围内分解因式：3a2﹣9＝．10．若等腰三角形的两条边分别长2，5，则此三角形的周长是．11．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝cm．12．已知直角三角形的两条直角边的长度分别是6cm和8cm，则第三边上的高为．13．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝cm．15．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为尺．16．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是．17．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝，∠ECD＝．18．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使项点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是．三.解答题19.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）（）；（7）（2﹣）（2+）；（8）（）2．20.解方程：21.解方程：+1＝22.下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何，为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）23.已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．24.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．25.“五•一”假期的某天，小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园，已知小明家到公园的路程为15km，小东家到公园的路程为12km，小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h，结果两人同时到达公园．求小东从家骑车到公园的平均速度．26.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京市东城区景山学校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列各组二次根式中，同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可得出答案．【解答】解：A、与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；B、3与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；C、＝，＝，被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；D、＝2，＝，被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝（）A．2B．C．D．1.5【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB＝2BC，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵BC＝1，∴AB＝2，故选：A．3．能使有意义的实数x的值有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：∵二次根式有意义，∴﹣x2≥0，解得：x＝0，即符合题意的只有一个值．故选：B．4．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（）A．2cm B．8cmC．2cm或8cm D．以上答案都不对【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，求出x 后根据三角形三边关系进行验证即可．【解答】解：设腰长为2x，一腰的中线为y，则（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，解得：x＝4，x＝1，∴2x＝8或2，①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；故选：B．5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故选：D．6．若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6B．36C．64D．8【分析】根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形A 的边长，求出正方形A的面积．【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，∴正方形A的面积为36，故选：B．7．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（）A．B．C．D．【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可．【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，由题意得，＝．故选：D．8．化简二次根式的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式找出隐含条件a+2≤0，即a≤﹣2，再化简．【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0，﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，∴原式＝＝．故选：B．二．填空题（共10小题）9．在实数范围内分解因式：3a2﹣9＝3（a+）（a﹣）．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：3a2﹣9＝3（a2﹣3）＝3（a+）（a﹣）．故答案为：3（a+）（a﹣）．10．若等腰三角形的两条边分别长2，5，则此三角形的周长是10+2．【分析】分类讨论即可解决问题．【解答】解：当等腰三角形腰为2，底为5时，等腰三角形周长为：2+2＜5，不能构成三角形；当等腰三角形腰为5，底为2时，等腰三角形周长为：5+5+2＝10+2，故答案为：10+2．11．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝12cm．【分析】由CD是角平分线，可得∠ACD＝∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD＝∠EDC，于是∠ACD＝∠EDC，再利用等角对等边可求出DE＝CE，从而求出AC的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，又∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC．∴∠ACD＝∠EDC．∴DE＝CE．∴AC＝AE+CE＝5+7＝12．故填12．12．已知直角三角形的两条直角边的长度分别是6cm和8cm，则第三边上的高为 4.8cm．【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为＝10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8＝×10h，h＝4.8cm，∴直角三角形斜边上的高为4.8cm．故答案为4.8cm．13．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是m＞2且m≠3．【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．【解答】解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵分式方程的解为正数，∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，∴m＞2且m≠3，故答案为m＞2且m≠3．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝12cm．【分析】首先连接AD，由DE垂直平分AC，可得AD＝CD，由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，可求得∠B＝∠C＝∠DAC＝30°，继而求得AD与CD的长，则可求得BD 的长，继而求得答案．【解答】解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8（cm），∴BC＝BD+CD＝12（cm）．故答案为：12．15．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为13尺．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故答案为：1316．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是10．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN+MN＝BN+MN连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN+MN＝BP+PM＝BM，BN+MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN+MN的最小值是10．故答案为：10．17．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝9cm，∠ECD＝60°．【分析】根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC和∠ECD即可．【解答】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，∴BC＝BD﹣CD＝15cm﹣6cm＝9cm，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝9cm，∵∠B+∠BAC＝∠ACD＝120°，∠ACE＝∠B＝60°，∴∠ECD＝60°，故答案为：9cm，60°18．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使项点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是﹣2或或2或2．【分析】如图，在数轴上取点B1，B2，B3，B4，使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，进而可得数轴上点B所表示的数．【解答】解：如图，在数轴上取点B1，B2，B3，B4，使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，根据题意可知：OA＝2，∠AOB2＝45°，作AB2⊥x轴于点B2，则OB2＝AB2＝，∴OB4＝2，∴数轴上点B所表示的数是：﹣2，，2，2．故答案为：﹣2或或2或2．三.解答题19.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（）（）；（7）（2﹣）（2+）；（8）（）2．【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；76：分母有理化；79：二次根式的混合运算．【专题】514：二次根式；66：运算能力．【分析】（1）根据二次根式的除法可以解答本题；（2）根据二次根式的加减法可以解答本题；（3）根据二次根式的的乘法和减法可以解答本题；（4）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；（5）根据负整数指数幂、零指数幂和分母有理化可以解答本题；（6）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；（7）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；（8）根据完全平方公式可以解答本题．【解答】解：（1）＝2×÷＝2×＝；（2）＝4﹣+＝4﹣+3﹣2＝+1；（3）＝﹣3﹣＝﹣；（4）＝＝﹣；（5）＝+1+﹣1＝+1+﹣1＝2；（6）（）（）＝2﹣4﹣3+＝3﹣7；（7）（2﹣）（2+）＝[2﹣（）][2+（）]＝4﹣（）2＝4﹣（3﹣2+5）＝4﹣8+2＝﹣4+2；（8）（）2＝2+﹣2+2﹣＝2+﹣2+2﹣＝2．20.解方程：【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】观察可得方程最简公分母为x﹣2，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：原方程即．方程两边都乘以（x﹣2），得x﹣1﹣1＝3（x﹣2）．解得x＝2．经检验x＝2是原方程的增根，∴原方程无解．21.解方程：+1＝【考点】B3：解分式方程．【专题】11：计算题．【分析】本题考查解分式方程的能力，因为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可得最简公分母为（x+1）（x﹣1）．去分母后解整式方程即可，注意检验．【解答】解：方程两边同乘以（x2﹣1），得x2﹣4x+x2﹣1＝2x（x﹣1），2x2﹣4x﹣1＝2x2﹣2x，﹣2x＝1，∴x＝﹣．经检验：x＝﹣是原方程的解，∴原方程的解为x＝﹣．22.下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何，为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）【考点】KH：等腰三角形的性质．【专题】21：阅读型；32：分类讨论．【分析】乍一看两个同学说的都对，但是细分析我们就能看出两个人的回答都不全面，而正确的应该是两者的结合，即结果有两种情况．通过此题教我们养成考虑问题要全面考虑的好习惯．【解答】答：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：①当∠A是顶角时，设底角是α．∴30°+α+α＝180°，α＝75°．∴其余两角是75°和75°．②当∠A是底角时，设顶角是β，∴30°+30°+β＝180°，β＝120°．∴其余两角分别是30°和120°．（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．23.已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【考点】KI：等腰三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．24.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．【考点】KF：角平分线的性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．【分析】延长AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，易证得∠DFE ＝∠DAE，可得AE＝FE，又由ED⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得ED平分∠AEB．【解答】证明：延长AD交BC于F，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，∵∠B＝∠EAC，∴∠FDE＝∠DAE，∴AE＝FE，∵ED⊥AD，∴ED平分∠AEB．25.“五•一”假期的某天，小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园，已知小明家到公园的路程为15km，小东家到公园的路程为12km，小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h，结果两人同时到达公园．求小东从家骑车到公园的平均速度．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设小东从家骑车到公园的平均速度为xkm/h，，解得，x＝14，经检验x＝14是原分式方程的解，答：小东从家骑车到公园的平均速度14km/h．26.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K 是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题；67：推理能力．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠P AC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，∵∠MFN＝∠BFC，∴∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，∴∠MFN＝∠FMN，∴NM＝NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC＝CQ，∴AP＝AQ，∴∠P AC＝∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q＝90°，∵∠Q+∠CAQ＝90°，∴∠CAQ＝∠QBD，∴∠P AC＝∠FBC，∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP＝CF，∵AM＝CP，∴AM＝CF，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE，∵AC＝BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB＝∠ECA＝45°，∴∠GAM＝∠ECF＝45°，∵∠AMG＝∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM＝EF，∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，∴BN＝AE+GN．。

北京市东城区2019-2020学年度第一学期期末统一检测九年级数学试题及参考答案

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东城区2019-2020学年度第一学期期末统一检测初三数学参考答案及评分标准2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案B A C A B B D C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.22y x =-+（答案不唯一）10.0.9211.12.231y y y ＞＞13.4514.PC=1或PA= 或PO=215.23π-16.2+14三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）17.解：（1）如图所示，∠ADE 为所作.…………………………………2分（2）∵∠ADE =∠B ，∴DE ∥BC.∴AE EC =AD DB.∵AD DB=2，AC =6，∴AE =4.………………………5分18．解：连接OC ，………………………1分则OA =OC .∴∠A =∠ACO =30°.………………………2分∴∠COH =60°.∵OB ⊥CD ，CD =23，∴CH =3.………………………3分∴OH =1.………………………4分∴OC =2.………………………5分19.解：（1）c =-2，对称轴为直线12x =............................2分（2）由对称性可知，-2,3是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =t 的根. (4)分（3）由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）.∴-1=2,2 2.a b a b --⎧⎨-=+-⎩解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为211 2.22y x x =--………………………6分20.解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同.∴在四条路线中，小美选择路线“园艺小清新之旅”的概率是14.…………………………………2分（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，小美和小红恰好选择同一条路线的结果有4种，∴小美和小红恰好选择同一条路线的概率为41164=．…………………………………5分21.解：(1)…………………………………3分(2)90.…………………………………4分22.解：（1）52AB AC ==，4BC =，点(3,5)A ，7(1,)2B ∴，7(5,2C .∵反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点B ，∴此反比例函数的解析式为7(0)2y x x =>.………………………………3分(2)将ABC ∆向下平移m 个单位长度，设A ，C 的对应点分别为A '，C '.∴A '(3,5-m)，C '(5, -m).∵A '，C '两点同时落在反比例函数图象上，73(5)5()2m m ∴-=-，54m ∴=.……………………………………………6分23.解：（1）设销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式为y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入，得100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得2160k b =-⎧⎨=⎩.∴函数的关系式为：2160y x =-+.……………………………………………3分（2）由题意得2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+.…………………………4分20-<，且30≤x ≤60.∴当55x =时，w 取得最大值，此时1250w =.…………………………6分∴销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.24.解：（1）依题意画出⊙O ，如图所示.在Rt △ACB 中，∵AC =3，BC =4，∠ACB =90°，∴AB=5.连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB.∴.∴.…………………………3分（2）当点E是AC的中点时，ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴ED⊥OD.∴ED与⊙O相切.∴直线ED与图形G(⊙O)有且只有一个交点.…………………………6分25.解：(1)AP，BC，OD或BC，AP，OD；…………………………3分(2)如图1或图2所示：…………………………5分图1图2(3)线段AP 的长度约为4.67．…………………………6分图3图426.解：(1)令y =0，则a -4ax =0.解得120, 4.x x ==∴A (0,0)，B (4,0).…………………………2分(2)①设直线PC 的解析式为.y kx b =+将点P (1,- a )，C (2,1)代入上式，解得31,13.2k a b a =+=--∴y=(1+ a)x-1-3a.∵点Q 在直线PC 上，且Q 点的横坐标为4，∴Q 点的纵坐标为3+3a .…………………………4分②当a ＞0时，如图1，不合题意；当a ＜0时，由图2，图3可知，3+3a≥0.∴a≥-1．∴符合题意的a 的取值范围是-1≤a ＜0．…………………………6分图1图2图327．解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示.猜想：∠BAE =∠BCD.理由如下：∵CD ⊥AB ,AE ⊥BC ，∴∠BAE ﹢∠B =90°,∠BCD ﹢∠B =90°.∴∠BAE =∠BCD.…………………………2分图1②证明：如图2，在AE 上截取AF =CE .连接DF .∵∠BAC =45°,CD ⊥AB,∴△ACD 是等腰直角三角形.∴AD =CD .又∠BAE =∠BCD,∴△ADF ≌△CDE （SAS ）.∴DF =DE ,∠ADF =∠CDE.∵AB ⊥CD,图2∴∠ADF ﹢∠FDC =90°.∴∠CDE ﹢∠FDC =∠EDF=90°.∴△EDF 是等腰直角三角形.∴EF =DE 2.∵AF +EF =AE ,∴CE+ DE=AE .…………………………5分（3）依题意补全图形，如图3所示.线段AE ，CE ，DE 的数量关系：CE- DE=AE.……………………………7分28.解：（1）①23，P P .…………………………2分②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ；当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为521≤<b ；②当点B 在y 轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b 的取值范围为152-<≤-b .综上，b 的取值范围为521≤<b 或152-<≤-b .………………………5分（3）42≤<-t .………………………7分。

八年级数学东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测 (含答案)

八年级数学东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测 (含答案)

东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1.在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一.数字0.0009用科学记数法表示应为A.4910-⨯B. 3910-⨯C. 30.910-⨯D. 40.910-⨯ 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A ．()m a b ma mb +=+B ．23313(1)1x x x x -+=-+ C ．()()23212x x x x ++=++ D ．22(2)+4+4a a a +=3.如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是A.①B.②C.③D.④4. 下列各式计算正确的是 A.2133a aa -⋅= B.236()ab ab = C.22(2)4x x -=- D.824623x x x ÷=5. 对于任意的实数x ，总有意义的分式是A.152--x x B.231x x -+ C.x x 812+ D.21x -6.如图，△ABC 中，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ，则∠BEC 的大小为A.40°B.50°C.80°D.100°7.若分式2213x x -+的值为正数，则x 需满足的条件是 A. x 为任意实数 B. 12x ＜ C. 12x ＞D. 12x ＞- 8. 已知△ABC ,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB ,AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，点M 一定在A.∠A 的平分线上B.AC 边的高上C.BC 边的垂直平分线上D.AB 边的中线上9.如图，已知∠MON 及其边上一点A .以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交OM ，ON于点B 和C .再以点C 为圆心，AC 长为半径画弧，恰好经过点B .错误的结论是 A. AOC ABC S S =△△ B. ∠OCB ＝90° C. ∠MON ＝30° D. OC ＝2BC10. 已知OP 平分∠AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ,M 均不与点O 重合.在OB 上确定点N ，使QN =QM ，则满足条件的点N 的个数为A.1 个B.2个C.1或2个D.无数个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 因式分解：39a a -＝ _ . 12. 已知 -2是关于x 的分式方程23x kx x -=+的根，则实数k 的值为________ . 13. 如图，BE 与CD 交于点A ,且∠C ＝∠D .添加一个条件： ，使得△ABC ≌△AED .BA CM第8题图 第9题图14. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使顶点A ，C 重合，折痕为EF .若∠BAE =28°，则∠AEF 的大小为 °.15. 如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ＝4，E ，P 分别是AC ，AD 上的动点，则C P +EP 的最小值等于 .16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角” (如图)就是一例. 这个三角形给出了()na b +（n =1，2，3，4，5，6）的展开式（按a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数.（1）()5a b +展开式中4a b 的系数为 ；（2）()7a b +展开式中各项系数的和为 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3+23x x x +-. 18.下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段m ，n 及∠O .求作：△ABC ，使得线段m ，n 及∠O 分别是它的两边和一角. 作法：如图,① 以点O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点M ,N ； ② 画一条射线AP ，以点A 为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点B ； ③ 以点B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ； ④ 画射线AD ；⑤ 以点A 为圆心，n 长为半径画弧，交AD 于点C ； ⑥ 连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形. 请回答:（1）步骤③得到两条线段相等，即 = ； （2）∠A ＝∠O 的作图依据是 ； （3）小红说小明的作图不全面，原因是 .19.计算：()201π533-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20.如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ，AD ＝AE .连接BD ,CE,∠ABD ＝∠ACE . 求证：AB ＝AC .21. 计算：2()()()4()2m n m n m n m m n m ⎡⎤+-+---÷⎣⎦.B22. 解方程：2151=24xx x +--- . 23.在三角形纸片ABC 中,∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4，点E 在AC 上，AE ＝3.将三角形纸片按图1方式折叠,使点A 的对应点A '落在AB 的延长线上，折痕为ED ,A E '交BC 于点F .（1）求∠CFE 的度数；（2）如图2，,继续将纸片沿BF 折叠，点A '的对应点为A ''，A F ''交DE 于点G .求线段DG 的长.图1 图224. 如图，△ABC .（1）尺规作图：过点C 作AB 的垂线交AB 于点O .不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB ，OC 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，使点B ，C 均在正半轴上.若AB=7.5，OC =4.5，∠A =45°，写出点B 关于y 轴的对称点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△ACD 的面积.25. 先化简，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 是满足|3|3a a -=-的最大整数.26. 列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积. （1） 在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.A'F E C A GA'F E C设首届进博会企业平均展览面积为x 平方米，把下表补充完整： 届别总面积（平方米）企业平均展览面积（平方米）首 届 270 000x第二届 330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）.27. 在ABC 中，AB ＞BC ,直线l 垂直平分AC .（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD . ①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2） 如图2，直线l 与ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD . 求证：∠BAD =∠BCD .28.对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在 △ABC 的边上，且 123n PM PM PM PM ====L L ，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距lE D A C B lA B 图1 图2点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C . 若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）图1 图2东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测初二数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（本题共20分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDABCCADC二、填空题（本题共16分，每小题2分）11.()()33a a a +- 12. 2 13.答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC ＝AD 14. 59 15. 4 16. 5 ；128三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17. 解： 原式()()()()332=223x x x x x -+++-L L L L 分()()2336423x x x x x -++=+-L L L L 分 ()()26523x x x +=+-L L L L 分 18.（1）BD ,MN ;……………………1分（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；……………………3分 （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. ……………………5分19.解：()-201π53⎛⎫- ⎪⎝⎭94=-+……………………4分=……………………5分20.证明：∵∠BAC ＝∠DAE,∴∠BAC －∠CAD ＝∠DAE －∠CAD.即∠BAD ＝∠CAE. ……………………2分 在△BAD 和△CAE 中,,BAD CAE ABD ACE AD AE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝∴△BAD ≌△CAE （AAS ）. …………………… 4分 ∴ AB ＝AC. …………………… 5分2222222()()()4()2(243454)2m (22)2m n m n m n m m n mm n m mn n m mn m mn m m n ⎡⎤+-+---÷⎣⎦=-+-+-+÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯÷=-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21.解：分分分B()()()222124532453112343x x x x x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++--=++-+==-=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22.解：分分分经检验：13x =-是原方程的解. ∴13x =-.……………………5分23.解：（1）∵∠A ＝30°,∴∠A '＝30°. ……………………1分 ∵∠A BF '＝90°, ∴∠A FB '＝60°. ……………………2分∵∠CFE ＝∠A FB '，∴∠CFE ＝60°. ……………………3分（2）∵点A 与点A '关于直线DE 对称，∴DE ⊥AA '.∵∠A =30°，AE =3, ∴1322DE AE == . ……………………4分 由（1）知，∠CFE =60°，∠C =60°，∴△CFE 是等边三角形.∴EF =CE =AC -AE =1. ……………………5分 同理，△EFG 也是等边三角形， ∴12DG DE EG =-=DG =DE -EG =.……………………6分 24.解：（1）……………………………………………………………………………………2分GA''DA'FECAB图2A'FECA图1（2）D (-3,0)； ……………………4分 （3）13927==2228ACD S ⨯⨯△.……………………6分22222221225.[](2)(2)44(1)2[](2)(2)442(2124)4231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⋅++---+=-⋅++--+=⋅+-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+解：原式分分分分∵a 是满足|3|3a a -=-的最大整数， ∴30a -≥. ∴3a ≤.∴=3a . ……………………5分 ∴1=15原式.……………………6分……………………………………………………………………………………4分（2）270 000330000+300=(1+12.8%)x x.……………………6分 27. 解：（1）①补全图形;……………………1分② 结论：∠BAD +∠BCD =180°. ……………………2分证明：过点D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ， 则∠AED =∠CFD =90°.∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF . ∵直线l 垂直平分AC ，∴DA =DC. ……………………3分在Rt ADE 和Rt CDF 中， DA DC DE DF =⎧⎨=⎩，，∴Rt ADE ≌Rt CDF . ∴∠BAD =∠FCD.∵∠FCD +∠BCD =180°，∴Rt ADN ≌Rt CDM.∴∠BAD =∠BCD. ……………………7分28.解：（1）①是，不是；……………………2分②……………………3分（2）如图，DC ＝2，或DC ＝1； ……………………5分B（3）32a a PC ＜＜.……………………7分。

北京市东城区2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析

北京市东城区2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题及参考答案解析

2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x33.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是.12.(5分)sin的值为.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为.(写出符合条件的一个函数即可)14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有.(注：请写出所有正确结论的序号)四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).2019～2020学年度北京市东城区高一第一学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)设集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},那么下列结论正确的是()A.M＝∅B.M∈NC.M⫋ND.N⫋M利用集合与集合的关系直接求解.【试题答案】解：∵集合M＝{0},N＝{﹣1,0,1},∴M⫋N.故选：C.【点评】本题考查集合的关系的判断,考查交集、并集、子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.(5分)下列函数为偶函数的是()A.y＝|x|B.y＝lnxC.y＝e xD.y＝x3根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案.【试题答案】解：根据题意,依次分析选项：对于A,y＝|x|,是偶函数,符合题意；对于B,y＝lnx,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C,y＝e x,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D,y＝x3,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A.【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题.3.(5分)已知函数y＝sin x在区间M上单调递增,那么区间M可以是()A.(0,2π)B.(0,π)C.D.直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果.【试题答案】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[](k∈Z),当k＝0时,单调增区间为[],由于为[]的子区间,故选：D.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.4.(5分)命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为()A.∃x∈A,2x∉BB.∃x∉A,2x∈BC.∀x∈A,2x∉BD.∀x∉A,2x∈B根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【试题答案】解：命题为全称命题,则命题”∀x∈A,2x∈B”的否定为∃x∈A,2x∉B,故选：A.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.5.(5分)若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.a2＞b2B.2a＞2bC.aD.直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：由于a＞b,且a和b的正负号不确定,所以选项ACD都不正确.对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数,且a＞b,故正确故选：B.【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.6.(5分)下列各式正确的是()A. B.C. D.利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解.【试题答案】解：在A中,sin＞0＞sin＝﹣sin,故A错误；在B中,＜cos,故B正确；在C中,＞,故C错误；在D中,＞cos＝sin,故D错误.故选：B.【点评】本题考查命题真假的判断,考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.(5分)“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件可以取特殊值讨论充要性.【试题答案】解：若a,b为正实数,取a＝1,b＝1,则a＋b＝2,则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的不充分条件；若a＋b＞2,取a＝1,b＝0,则b不是正实数,则“a＋b＞2”是“a,b为正实数''的不必要条件；则“a,b为正实数”是“a＋b＞2”的既不充分也不必要条件,故选：D.【点评】本题考查命题充要性,以及不等式,属于基础题.8.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝,其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为()A.8100B.900C.81D.9由题意令V＝2m/s,0m/s,则可求出耗氧量,求出之比.【试题答案】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝,即,即,即o＝8100,鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝,即,即o'＝100,故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为,故选：C.【点评】本题考查对数求值,属于中档题.二、多项选择题：本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.(5分)关于函数f(x)＝1＋cos x,x∈(,2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是()A.当t＜0或t≥2时,有0个交点B.当t＝0或时,有1个交点C.当时,有2个交点D.当0＜t＜2时,有2个交点直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果.【试题答案】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时,有0个交点,故正确.②对于选项B：当t＝0或时,有1个交点,故正确.③对于选项C：当t＝时,只有一个交点,故错误.④对于选项D：当,只有一个交点,故错误.故选：AB.【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.(5分)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,下列命题正确的有()A.对于任意实数a,f(x)为偶函数B.对于任意实数a,f(x)＞0C.存在实数a,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减D.存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果.【试题答案】解：函数f(x)＝4|x|＋x2＋a,①对于选项A：由于x∈R,且f(﹣x)＝f(x),故函数f(x)为偶函数.故选项A正确.②对于选项B：由于x2≥0,所以,故4|x|＋x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时,f(x)＜0,故选项B错误.③对于选项C：由于函数f(x)的图象关于y轴对称,在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,故选项C正确.④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称,且在x＞0时,函数为单调递增函数,在x＜0时,函数为单调递减函数,故存在实数a＝0时,当x∈(﹣∞,﹣1]∪[1,＋∞)时,不等式成立,故选项D正确.故选：ACD.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.三、填空题：共6小题,每小题5分,共30分.11.(5分)函数f(x)＝ln(1﹣x2)的定义域是(﹣1,1).解不等式1﹣x2＞0即可.【试题答案】解：令1﹣x2＞0,解得﹣1＜x＜1,即函数的定义域为(﹣1,1).故答案为：(﹣1,1).【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题.12.(5分)sin的值为﹣.原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果.【试题答案】解：sin＝sin(2π﹣)＝﹣sin＝﹣.故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.13.(5分)函数f(x)的值域为(0,＋∞),且在定义域内单调递减,则符合要求的函数f(x)可以为f(x)＝.(写出符合条件的一个函数即可)由函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,即是符合要求的一个函数.【试题答案】解：∵函数f(x)＝()x的值域为(0,＋∞),且在定义域R内单调递减,∴函数f(x)＝()x即是符合要求的一个函数,故答案为：f(x)＝()x.【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题.14.(5分)在国庆70周年庆典活动中,东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务.设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.①利用交集定义直接求解.②利用并集定义直接求解.【试题答案】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校},B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校},C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}.既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B.故答案为：A∩B.②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C.故答案为：A∪C.【点评】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.(5分)已知函数f(x)＝则f(﹣2)＝；若f(t)＝1,则实数t＝0或1.结合已知函数解析式,把x＝﹣2代入即可求解f(﹣2),结合已知函数解析式及f(t)＝1,对t进行分类讨论分别求解.【试题答案】解：f(x)＝则f(﹣2)＝2﹣2＝,∵f(t)＝1,①当t≥1时,可得＝1,即t＝1,②当t＜1时,可得2t＝1,即t＝0,综上可得t＝0或t＝1.故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.16.(5分)某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),它的图象如图所示,给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2＞t1＋t3.其中正确命题的序号有①②④.(注：请写出所有正确结论的序号)直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果.【试题答案】解：浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝a t﹣1(a＞0且a≠1),函数的图象经过(2,2)所以2＝a2﹣1,解得a＝2.①当x＝0时y＝,故选项A正确.②当第8个月时,y＝28﹣1＝27＝128＞60,故②正确.③当t＝1时,y＝1,增加0.5,当t＝2时,y＝2,增加1,故每月的增加不相等,故③错误.④根据函数的解析式,解得t1＝log210＋1,同理t2＝log220＋1,t3＝log230＋1,所以2t2＝2log220＋2＝log2400＋2＞t1＋t2＝log2300＋2,所以则2t2＞t1＋t3.故④正确.故答案为：①②④.【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.四、解答题：共5小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17.(12分)已知集合A＝{x|x2＋3x＋2＜0},全集U＝R.(1)求∁U A；(2)设B＝{x|m﹣1≤x≤m},若B⊆∁U A,求m的取值范围.(1)根据题意,求出集合A,进而由补集的性质分析可得答案；(2)根据题意,结合集合间的关系分析可得答案.【试题答案】解：(1)根据题意,因为A＝{x|x2＋3x＋2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}.因为全集U＝R,所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},(2)根据题意,∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1},若B⊆∁U A,当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2,即m≥0或m≤﹣2,所以m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[0,＋∞).【点评】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题.18.(13分)已知函数,f(0)＝.(1)求f(x)的解析式和最小正周期；(2)求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值.(1)利用函数值,转化求解函数的解析式,推出函数的周期；(2)利用函数的自变量的范围,求出相位的范围,然后求解正弦函数的最值.【试题答案】解：(1)因为,所以.又因为φ∈,所以φ＝.所以.所以f(x)最的小正周期.(2)因为x∈[0,2π],所以.当,即时,f(x)有最大值2,当,即x＝2π时,f(x)有最小值.【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.19.(14分)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点O重合,始边为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于A,B两点,A,B两点的纵坐标分别为.(1)求tanβ的值；(2)求的值.(1)由题意利用任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,求得tanβ的值.(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【试题答案】解：(1)因为β的终边与单位圆交于点B,B点的纵坐标为,所以.因为,所以.所以.(2)因为α的终边与单位圆交于点A,A点的纵坐标为,所以.因为,所以,故＝＝＝.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、诱导公式,属于基础题. 20.(16分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)的单调性并说明理由；(3)若f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,求x的取值范围.(1)定义域为R,然后求出f(﹣x),得f(﹣x)＝﹣f(x),所以为奇函数；(2)直接由指数函数的单调性可判断函数f(x)的单调性；(3)不等式变形,由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立,令关于a的函数g(a)＝xa＋1﹣x＞0在(﹣∞,2]上恒成立,g(a)一定单调递减,所以满足则只需解出x的范围.【试题答案】解：(1)f(x)为奇函数.因为f(x)定义域为R,,所以f(﹣x)＝﹣f(x).所以f(x)为奇函数；(2)在(﹣∞,＋∞)是增函数.因为y＝3x在(﹣∞,＋∞)是增函数,且y＝3﹣x在(﹣∞,＋∞)是减函数,所以在(﹣∞,＋∞)是增函数,(3)由(1)(2)知f(x)为奇函数且f(x)(﹣∞,＋∞)是增函数.又因为f(ax﹣1)＋f(2﹣x)＞0,所以f(ax﹣1)＞﹣f(2﹣x)＝f(x﹣2).所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈(﹣∞,2]恒成立.令g(a)＝xa＋(1﹣x),a∈(﹣∞,2].则只需,解得所以﹣1＜x≤0.所以x的取值范围为(﹣1,0].【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性,使用中档题.21.(15分)对于集合A,定义函数f A(x)＝对于两个集合A,B,定义运算A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1}.(1)若A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},写出f A(1)与f B(1)的值,并求出A*B；(2)证明：f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)证明：*运算具有交换律和结合律,即A*B＝B*A,(A*B)*C＝A*(B*C).(1)由新定义的元素即可求出f A(1)与f B(1)的值,再分情况求出A*B；(2)对x是否属于集合A,B分情况讨论,即可证明出f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)利用(2)的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律.【试题答案】解：(1)∵A＝{1,2,3},B＝{2,3,4,5},∴f A(1)＝﹣1,f B(1)＝1,∴A*B＝{1,4,5}；(2)①当x∈A且x∈B时,f A(x)＝f B(x)＝﹣1,所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),②当x∈A且x∉B时,f A(x)＝﹣1,f B(x)＝1,所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1,所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x),③当x∉A且x∈B时,f A(x)＝1,f B(x)＝﹣1.所以x∈A*B.所以f A*B(x)＝﹣1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).④当x∉A且x∉B时,f A(x)＝f B(x)＝1.所以x∉A*B.所以f A*B(x)＝1.所以f A*B(x)＝f A(x)•f B(x).综上,f A*B(x)＝f A(x)•f B(x)；(3)因为A*B＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},B*A＝{x|f B(x)•f A(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)＝﹣1},所以A*B＝B*A.因为(A*B)*C＝{x|f A*B(x)•f C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},A*(B*C)＝{x|f A(x)•f B*C(x)＝﹣1}＝{x|f A(x)•f B(x)•f C(x)＝﹣1},所以(A*B)*C＝A*(B*C).【点评】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是中档题.。

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测生物试题含答案

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测生物试题含答案

东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测高二生物2020.7本试卷共10页，100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共30分）本部分共15题，每题2分，共30分。

在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1.下列关于细胞内蛋白质和核酸的叙述，不正确的是A.核酸和蛋白质的组成元素中均有C、H、O、NB.核酸和蛋白质都是由单体组成的生物大分子C.核酸的合成过程中需要多种蛋白质的参与D.高温加热会破坏蛋白质和核酸分子中的肽键2.烟草花叶病毒、乳酸菌和酵母菌都具有的特点是A.以细胞膜作为系统边界B.以DNA作为遗传物质C.可以进行无氧呼吸D.都属于异养型生物3.下列有关核糖体、线粒体和叶绿体的叙述，正确的是A.三者的结构中都含有核酸B.三者都存在于所有真核细胞中C.三者都是A TP合成的场所D.三者的膜结构中都含有蛋白质4.在紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞的失水和吸水实验中，可依次观察到甲、乙、丙三种细胞状态。

下列叙述不正确的是A.实验所用的洋葱鳞片叶外表皮细胞为活细胞B.甲、乙、丙可在同一个细胞内依次发生C.与甲相比，乙所示细胞的细胞液浓度较低D.由乙转变为丙的过程中，有水分子进出细胞5.科学家从菠菜叶绿体中提取了可以捕获太阳能的膜状结构，将其与酶等其他物质放入具有多腔室结构的反应器中，结果发现这些反应器能像叶绿体那样工作，创造出了“人工叶绿体”。

下列有关叙述不正确的是A.“人工叶绿体”可以利用光能，将二氧化碳转化为有机物B.“人工叶绿体”具有的多腔室结构可以提高光合作用的效率C.从菠菜叶绿体中提取的膜状结构最可能来自叶绿体内膜D.放入生物反应器中的酶可以降低光反应和暗反应的活化能6.为了研究某种树木树冠上下层叶片光合作用的特性，某同学选取来自树冠不同层的A、B两种叶片，在离体情况下分别测定其净光合速率，结果如图所示，有关叙述不正确的是A.A叶片的呼吸作用速率大于B叶片的呼吸作用速率B.光照强度达到一定数值时，A叶片的净光合速率开始下降C.A叶片是树冠下层叶片，B叶片是树冠上层叶片D.若要比较两种叶片叶绿素的含量可用无水乙醇提取色素7.下列关于格里菲斯和艾弗里肺炎双球菌转化实验的叙述，正确的是A.格里菲斯实验中加热杀死的S型菌不能使R型细菌发生转化B.艾弗里实验中DNA酶将S型菌DNA分解会导致R型细菌不发生转化C.格里菲斯和艾弗里的实验均以小鼠的生存状况作为实验结论的依据D.格里菲斯和艾弗里的实验思路都是将各种物质分开单独研究其作用8.下图表示一个DNA分子的片段，下列有关叙述正确的是A.②和③交替排列构成DNA的基本骨架B.④所示的结构中贮存了遗传信息C.DNA分子复制时⑤所示化学键断开D.转录时该片段的两条链都可作为模板9.1966年克里克提出摆动学说，即有的tRNA反密码子的第3位碱基在与密码子的第3位碱基进行互补配对时是不严格的，有一定的自由度可以摆动，同时解释了次黄嘌呤（I）的配对方式。

北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷Word版含解析

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北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。

2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市东城区七年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．4的算术平方根为（）A．﹣2B．2C．±2D．2．如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．3．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A．垂线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（）A．调查某中学七年级三班学生视力情况B．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．了解一批手机电池的使用寿命5．如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）7．如果关于x的不等式3x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的值是（）A．a＝﹣1B．a＝﹣2C．a≤﹣1D．a≤﹣28．用加减法解方程组时，（1）×2﹣（2）得（）A．3x＝﹣1B．﹣2x＝13C．17x＝﹣1D．3x＝179．我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*2＜0，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜D．m＞10．党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图分别反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（）A．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%二、填空题（本题共18分，11-17题每题2分，18题4分）11．写出一个大于2的无理数．12．如图的框图表示解不等式2﹣3x＞4﹣x的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是．13．在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是．14．如果是二元一次方程mx﹣y＝4的解，那么m的值．15．若一个正数的平方根分别是a+1和2a﹣7，则a的值是．16．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE ＝．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的橫、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，则a＝，m＝，n＝．若正方形ABCD 内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，则点F的坐标为．三、解答题（本题共33分，19-22题每题5分，23题6分，24题7分）19．计算：++|1﹣|﹣．20．解方程组：．21．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．22．如图，已知点A（﹣3，3），点B（﹣4，1），点C（﹣2，2）．（1）求△ABC的面积．（2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标．23．完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE∴∠CGF＝90°（）∵∠1＝∠D（已知）∴∥（）∴∠4＝∠CGF＝90°（）∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）∴∠2+∠3＝90°．∵∠2与∠C互余（已知），∴∠2+∠C＝90°（互余的定义）∴∠C＝∠3（同角的余角相等）∴AB∥CD（）24．在防控新冠病毒疫情期间，某校对初中六、七、八、九四个年级，围绕着“你最喜欢的居家体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对该校学生进行了随机抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据A．平板支撑B．跳绳C．仰卧起坐D．开合跳E．其他通过调查得到的一组数据如下：DCCADABADBBEDDEDBCCEECBDEEDDEDBBCCDCEDDABDDCDDEDCE整理、描述数据抽样调查50名初中学生最喜欢的居家体育活动项目人数统计表活动项目划记频数A．平板支撑4B．跳绳C．仰卧起坐正正10D．开合跳E．其他正正10总计50根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计表和条形统计图（图1）．（2）计算：本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比．（3）如图2是根据该校初中各年级学生人数占初中学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，若该校九年级共有200名学生，请你估计该校初中学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？四、解答题（本题共19分，25题6分，26题7分，27题6分）25．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．彤彤是这样做的：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，Q且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．26．列方程（组）或不等式解决问题每年的4月23日是世界读书日．某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元．（1）A、B两种规格书柜的单价分别是多少？（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多有4350元的资金，问B种书柜最多可以买多少个？27．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P 进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t 型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”．已知点A（2，1）和点B（4，1）．（1）将点A（2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为．（2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是．②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是．（3）已知点C（6，1），D（8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是时，B'M的最小值保持不变．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．4的算术平方根为（）A．﹣2B．2C．±2D．【分析】依据算术平方根的定义求解即可．解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2，故选：B．2．如图所示的图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选：B．3．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A．垂线段最短B．点到直线的距离C．两点确定一条直线D．两点之间线段最短【分析】根据垂线段最短得出即可．解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B（AB⊥CD于点B）处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，故选：A．4．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（）A．调查某中学七年级三班学生视力情况B．调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度C．调查某批次汽车的抗撞击能力D．了解一批手机电池的使用寿命【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解：A、调查某中学七年级三班学生视力情况，人数不多，应采用全面调查，故此选项符合题意；B、调查我市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，人数中众多，应采用抽样调查，故此选项不合题意；C、调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；D、了解一批手机电池的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查，故此选项不合题意；故选：A．5．如图，直线a∥b，将三角板的直角顶点放在直线b上，如果∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．解：∵直线a∥b，∴∠1＝∠3，∵∠1＝40°，∴∠3＝40°，∵三角板的直角顶点放在直线b上，∴∠3+∠2＝90°，∴∠2＝50°，故选：D．6．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，﹣1），棋子“马”的坐标为（1，﹣1），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】先根据棋子“车”的坐标画出直角坐标系，然后写出棋子“炮”的坐标．解：如图，棋子“炮”的坐标为（3，﹣2）．故选：C．7．如果关于x的不等式3x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的值是（）A．a＝﹣1B．a＝﹣2C．a≤﹣1D．a≤﹣2【分析】解不等式得出x≤，结合数轴知x≤﹣1，据此得出＝﹣1，解之可得答案．解：∵3x﹣a≤﹣1，∴3x≤a﹣1，则x≤，由数轴知x≤﹣1，∴＝﹣1，解得a＝﹣2，故选：B．8．用加减法解方程组时，（1）×2﹣（2）得（）A．3x＝﹣1B．﹣2x＝13C．17x＝﹣1D．3x＝17【分析】此题考查的是加减消元法，消元时两方程相减，要注意是方程的左边减去左边、方程的右边减去右边．解：（1）×2﹣（2），得2（5x+y）﹣（7x+2y）＝2×4﹣（﹣9），去括号，得10x+2y﹣7x﹣2y＝2×4+9，化简，得3x＝17．故选：D．9．我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*2＜0，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜D．m＞【分析】根据新运算列出关于m的不等式，解之可得．解：∵m*2＜0，∴4m﹣3×2＜0，则4m＜6，∴m＜，故选：A．10．党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图分别反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（）A．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%【分析】观察统计图可得，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，可判断A；2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，可判断B；2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9899﹣551＝9348万，可判断C；2019年，全国各省份的农村贫困发生率都可能超过0.6%，可判断D．解：观察统计图可知：A.2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，正确；B.2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，正确；C.2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9899﹣551＝9348万，正确；D.2019年，全国各省份的农村贫困发生率都可能超过0.6%，错误．故选：D．二、填空题（本题共18分，11-17题每题2分，18题4分）11．写出一个大于2的无理数如（答案不唯一）．【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．解：大于2的无理数有：须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．12．如图的框图表示解不等式2﹣3x＞4﹣x的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．【分析】根据不等式的基本性质3求解可得．解：“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故答案为：不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．13．在平面直角坐标系中，已知点M（1﹣a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是a＞1．【分析】点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0．解：∵点M（1﹣a，a+2）在第二象限，∴，解得：a＞1，故答案为a＞1．14．如果是二元一次方程mx﹣y＝4的解，那么m的值3．【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．解：把代入方程mx﹣y＝4得：2m﹣2＝4，移项合并得：2m＝6，解得：m＝3，则m的值为3．故答案为：3．15．若一个正数的平方根分别是a+1和2a﹣7，则a的值是2．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得a+1和2a﹣7的关系，根据互为相反数的和为0，可得a的值．解：根据题意知a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2，故答案为：2．16．如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC：∠EOD＝4：5，OA平分∠EOC，则∠BOE ＝140°．【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC＝∠BOD，进而得出答案．解：∵∠EOC：∠EOD＝4：5，∴设∠EOC＝4x，∠EOD＝5x，故4x+5x＝180°，解得：x＝20°，可得：∠COE＝80°，∠EOD＝100°，∵OA平分∠EOC，∴∠COA＝∠AOE＝40°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝140°．故答案为：140°17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为．【分析】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的＝48文钱，据此列方程组可得．解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据题意，得：，故答案为：．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的橫、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′，则a＝，m＝，n＝2．若正方形ABCD 内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，则点F的坐标为（1，4）．【分析】首先根据点A到A′，B到B′的点的坐标可得方程组；，解可得a、m、n的值，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．解：由点A到A′，可得方程组；由B到B′，可得方程组，解得，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组，解得，即F（1，4），故答案为，，2，（1，4）．三、解答题（本题共33分，19-22题每题5分，23题6分，24题7分）19．计算：++|1﹣|﹣．【分析】原式利用平方根、立方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．解：原式＝7﹣3+﹣1﹣＝3．20．解方程组：．【分析】此题用代入法较简单．解：，由②，得y＝3x﹣2，代入①，得4x﹣3（3x﹣2）＝5，x＝．代入②，得y＝﹣1．所以方程组的解为．21．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜4，在数轴上表示为：．22．如图，已知点A（﹣3，3），点B（﹣4，1），点C（﹣2，2）．（1）求△ABC的面积．（2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标．【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．解：（1）△ABC的面积为：2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2＝4﹣1﹣﹣1＝1.5；（2）如图所示：△DEF即为所求，E（1，2），F（3，3）．23．完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G．求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE∴∠CGF＝90°（垂直定义）∵∠1＝∠D（已知）∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行）∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等）∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）∴∠2+∠3＝90°．∵∠2与∠C互余（已知），∴∠2+∠C＝90°（互余的定义）∴∠C＝∠3（同角的余角相等）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【分析】根据平行线的判定与性质即可完成推理填空．【解答】证明：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°（垂直定义），∵∠1＝∠D（已知），∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义），∴∠2+∠3＝90°．∵∠2与∠C互余（已知），∴∠2+∠C＝90°（互余的定义），∴∠C＝∠3（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直定义；AF，DE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．24．在防控新冠病毒疫情期间，某校对初中六、七、八、九四个年级，围绕着“你最喜欢的居家体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对该校学生进行了随机抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据A．平板支撑B．跳绳C．仰卧起坐D．开合跳E．其他通过调查得到的一组数据如下：DCCADABADBBEDDEDBCCEECBDEEDDEDBBCCDCEDDABDDCDDEDCE整理、描述数据抽样调查50名初中学生最喜欢的居家体育活动项目人数统计表活动项目划记频数A．平板支撑4B．跳绳8C．仰卧起坐正正10D．开合跳18E．其他正正10总计50根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计表和条形统计图（图1）．（2）计算：本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比．（3）如图2是根据该校初中各年级学生人数占初中学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，若该校九年级共有200名学生，请你估计该校初中学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？【分析】（1）根据题目中调查得到的数据，可以将B．跳绳和D．开合跳对应的划记和频数写出来，然后即可将统计表和条形统计图补充完整；（2）根据统计表中的数据，可以计算出本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比；（3）根据题目中的数据，可以计算出该校初中学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人．解：（1）由调查得到的数据可得，B．跳绳对应的划记是，频数是8，D．开合跳对应的划记是，频数是18，补全的统计表和条形统计图如下图所示：活动项目划记频数A．平板支撑4B．跳绳8C．仰卧起坐正正10D．开合跳18E．其他正正10总计50（2）18÷50×100%＝36%，即本次抽样调查中，最喜欢开合跳活动的人占被调查总人数的百分比是36%；（3）200÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）×＝320（人），即该校初中学生中最喜欢跳绳活动的人数约为320人．四、解答题（本题共19分，25题6分，26题7分，27题6分）25．阅读下面材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．彤彤是这样做的：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D．请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，Q且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．【分析】（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣+．26．列方程（组）或不等式解决问题每年的4月23日是世界读书日．某校为响应“全民阅读”的号召，计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元．（1）A、B两种规格书柜的单价分别是多少？（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多有4350元的资金，问B种书柜最多可以买多少个？【分析】（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，根据“购买A种书柜3个、B种书柜2个，共需资金1020元；购买A种书柜5个、B种书柜3个，共需资金1620元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，根据学校至多有4350元的资金，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解．解：（1）设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得，解得．答：A种书柜的单价熟练掌握180元，B种书柜的单价是240元．（2）设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得180m+240（20﹣m）≤4350，解得：m≥7.5，则20﹣m≤12.5．∵m为整数，∴B种书柜最多可以买12个．27．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P'（x+t，y﹣t）称为将点P进行“t型平移”，点P'称为将点P 进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t 型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P'（x+1，y﹣1）称为将点P进行“l型平移”，将点P（x，y）平移到P'（x﹣1，y+1）称为将点P进行“﹣l型平移”．已知点A（2，1）和点B（4，1）．（1）将点A（2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为（3，0）．（2）①将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是P1．．②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣4≤t≤﹣2或t＝1．（3）已知点C（6，1），D（8，﹣1），点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为B'，当t的取值范围是1≤t≤1时，B'M的最小值保持不变．【分析】（1）根据“l型平移”的定义解决问题即可．（2）①画出线段A1B1即可判断．②根据定义求出t最大值，最小值即可判断．（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为．解：（1）将点A（2，1）进行“l型平移”后的对应点A'的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．（2）①如图1中，观察图象可知，将线段AB进行“﹣l型平移”后得到线段A'B'，点P1（1.5，2），P2（2，3），P3（3，0）中，在线段A′B′上的点是P1．故答案为P1．②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是﹣4≤t≤﹣2或t＝1．故答案为﹣4≤t≤﹣2或t＝1．（3）如图2中，观察图象可知，当B′在线段B′B″上时，B'M的最小值保持不变，最小值为，此时1≤t≤3．故答案为1≤t≤3。

2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末考试数学试卷及答案解析

2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末考试数学试卷及答案解析

2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．如果a ＞b ，下列不等式一定成立的是（ ） A ．﹣3a ＞﹣3bB ．5﹣a ＞5﹣bC ．|a |＞|b |D ．a3+c ＞b 3+c2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 0076克，用科学记数法表示是（ ） A ．7.6×108克B ．7.6×10﹣7克 C ．7.6×10﹣8克 D ．7.6×10﹣9克3．下列运算中，正确的是（ ） A ．6a ﹣5a ＝1B ．a 2•a 3＝a 5C ．a 6÷a 3＝a 2D ．（a 2）3＝a 54．在新冠肺炎防控期间，要了解某学校以下情况，其中适合用普查的有（ ） ①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况； ②了解全体师生在寒假期间的离锡情况； ③了解全体师生入校时的体温情况；④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况． A ．1个B ．2个C ．3个D ．45．已知x ﹣5是多项式2x 2+8x +a 的一个因式，则a 可为（ ） A ．65B ．﹣65C ．90D ．﹣906．某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫39号，40号，41号，42号，43号的销售情况如下表所示． 男衬衫号码 39号 40号 41号 42号 43号 销售数量/件3122195他决定进货时，增加41号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差7．下列命题中：①若√a 3=−√b 3，则√a =−√b ；②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；③若ab ＝0，则P （a ，b ）表示原点；④√81的算术平方根是9．是真命题的有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个8．二元一次方程2x +5y ＝25的正整数解个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．分解因式：n2﹣4m2＝．10．如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是．11．已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．13．某中学为了了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了如表：类别频数（人数）频率文学m0.42艺术220.11科普66n其他合计1（1）上表中m＝．n＝．（2）在这次抽样调查中，哪类读物最受学生欢迎？哪类读物受欢迎程度最少？（3）若学校计划购买3000册图书，你对购书计划能提出什么好的建议吗？14．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为．15．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本：如果每人分5本，那么恰有一人分不到3本，则这些书有本，学生有人．16．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两四人船（限乘四六人船（限乘六八人船（限乘八人）人） 人） 人） 每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元．三．解答题（共9小题，满分52分） 17．（5分）（π﹣3.14）0+（12）﹣1﹣|√8−3|18．（5分）解不等式组：{3(x −2)≤8−(x +6)x+12＜2x−13+1，并把解集在数轴上表示出来．19．（5分）解方程组：{3x −y =3①x 2+y 3=2②20．（5分）化简：2x 2+（﹣2x +3y ）（﹣2x ﹣3y ）﹣（x ﹣3y ）2，其中x ＝﹣2，y ＝﹣1． 21．（5分）（1）如图1，AB ∥CD ，∠A ＝33°，∠C ＝40°，求∠APC 的度数．（提示：作PE ∥AB ）．（2）如图2，AB ∥DC ，当点P 在线段BD 上运动时，∠BAP ＝∠α，∠DCP ＝∠β，求∠CP A 与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P 在射线DM 上运动，请你直接写出∠CP A 与∠α、∠β之间的数量关系．22．（5分）已知关于x 的二元一次方程组{2x −y =3k −22x +y =1−k （k 为常数）．（1）求这个二元一次方程组的解（用k 的代数式表示）． （2）若方程组的解满足x +y ＞5，求k 的取值范围．23．（6分）学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生话．为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了名学生；（2）请把折线统计图补充完整；（3）在统计图②中，求出“体育”部分所对应的圆心角的度数；（4）若该校有学生2400人，估计喜欢“科普”书籍的有多少人？24．（8分）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．（1）小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形，请你用等式表示m，P之间的关系：；（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形，且没有木棍剩余．已知他摆出的正方形比六边形多4个，请你求出摆放的正方形和六边形各多少个？（3）小红重新用50根小木棍，摆出了s排，一共t个小正方形．其中每排至少含有1个小正方形，每排含有的小正方形的个数可以不同．请你用等式表示s，t之间的关系，并写出所有s，t可能的取值．25．（8分）在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝；若∠B＝40°，则∠AFD＝；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．2019-2020学年北京市东城区七年级下学期期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．如果a ＞b ，下列不等式一定成立的是（ ） A ．﹣3a ＞﹣3bB ．5﹣a ＞5﹣bC ．|a |＞|b |D ．a3+c ＞b3+c【解答】解：A 、∵a ＞b ，∴﹣3a ＜﹣3b ，故本选项不符合题意； B 、∵a ＞b ， ∴﹣a ＜﹣b ，∴5﹣a ＜5﹣b ，故本选项不符合题意； C 、a ＞b ，假如a 1，b ＝﹣3， 但是|a |＜|b |，故本选项不符合题意； D 、∵a ＞b ， ∴a 3＞b3，∴a3+c ＞b 3+c ，故本选项符合题意； 故选：D ．2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 0076克，用科学记数法表示是（ ） A ．7.6×108克B ．7.6×10﹣7克C ．7.6×10﹣8克 D ．7.6×10﹣9克【解答】解：0.00 000 0076克＝7.6×10﹣8克，故选：C ．3．下列运算中，正确的是（ ） A ．6a ﹣5a ＝1B ．a 2•a 3＝a 5C ．a 6÷a 3＝a 2D ．（a 2）3＝a 5【解答】解：A 、6a ﹣5a ＝a ，故此选项错误； B 、a 2•a 3＝a 5，正确；C 、a 6÷a 3＝a 3，故此选项错误；D 、（a 2）3＝a 6，故此选项错误； 故选：B ．4．在新冠肺炎防控期间，要了解某学校以下情况，其中适合用普查的有（ ） ①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况； ②了解全体师生在寒假期间的离锡情况； ③了解全体师生入校时的体温情况；④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【解答】解：①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况适合普查； ②了解全体师生在寒假期间的离锡情况适合普查； ③了解全体师生入校时的体温情况适合普查；④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况适合抽样调查． 故选：C ．5．已知x ﹣5是多项式2x 2+8x +a 的一个因式，则a 可为（ ） A ．65B ．﹣65C ．90D ．﹣90【解答】解：设多项式的另一个因式为2x +b ． 则（x ﹣5）（2x +b ）＝2x 2+（b ﹣10）x ﹣5b ＝2x 2+8x +a ． 所以b ﹣10＝8，解得b ＝18． 所以a ＝﹣5b ＝﹣5×18＝﹣90． 故选：D ．6．某服装店店主统计一段时间内某品牌男衬衫39号，40号，41号，42号，43号的销售情况如下表所示． 男衬衫号码 39号 40号 41号 42号 43号 销售数量/件3122195他决定进货时，增加41号衬衫的进货数量，影响该店主决策的统计量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：C ．7．下列命题中：①若√a 3=−√b 3，则√a =−√b ；②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；③若ab ＝0，则P （a ，b ）表示原点；④√81的算术平方根是9．是真命题的有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】解：①若√a 3=−√b 3，但不能得出√a =−√b ，错误； ②在同一平面内，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ，正确； ③若ab ＝0，则P （a ，b ）表示原点或坐标轴，错误； ④√81的算术平方根是3，错误； 故选：A ．8．二元一次方程2x +5y ＝25的正整数解个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：∵2x +5y ＝25， ∴y =25−2x5， 当x ＝5时，y ＝3； 当x ＝10时，y ＝1； 故选：B ．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．分解因式：n 2﹣4m 2＝ （n ﹣2m ）（n +2m ） ．【解答】解：n 2﹣4m 2＝n 2﹣（2m ）2＝（n ﹣2m ）（n +2m ）． 故答案为：（n ﹣2m ）（n +2m ）．10．如图，写出一个能判定EC ∥AB 的条件是 ∠A ＝∠ACE （答案不唯一） ．【解答】解：∵∠A ＝∠ACE ，∴EC ∥AB （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠A ＝∠ACE （答案不唯一）． 11．已知m ﹣n ＝1，则m 2﹣n 2﹣2n 的值为 1 ． 【解答】解：∵m ﹣n ＝1， ∴m 2﹣n 2﹣2n＝（m +n ）（m ﹣n ）﹣2n ＝（m +n ）﹣2n ＝m +n ﹣2n＝m﹣n＝1．故答案为：1．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．13．某中学为了了解学生的课外阅读情况，就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学仅选一项），并根据调查结果制作了如表：类别频数（人数）频率文学m0.42艺术220.11科普66n其他合计1（1）上表中m＝84．n＝0.33．（2）在这次抽样调查中，哪类读物最受学生欢迎？哪类读物受欢迎程度最少？（3）若学校计划购买3000册图书，你对购书计划能提出什么好的建议吗？【解答】解：（1）22÷0.11＝200人，m＝200×0.42＝84（人），n＝66÷200＝0.33，故答案为：84，0.33；（2）“其它”的频数为：200﹣84﹣22﹣66＝28（人），频率为：28÷200＝0.14，因为“文学”占比最高，因此“文学”读物最受学生欢迎，“艺术”读物占比最小，仅为11%，因此“艺术”读物受欢迎程度最小，（3）“文学”读物：3000×0.42＝1260本，“艺术”读物：3000×0.11＝330本，“科普”读物：3000×0.33＝990本，“其它”读物：3000×0.14＝280本，因此，在购书时，“文学”类的读物购买1260本，“艺术”类的读物购买330本，“科普”类的读物购买990本，“其它”类读物购买280本．14．如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，如果a +b ＝7，ab ＝10，则阴影部分的面积为 9.5 ．【解答】解：根据题意得：当a +b ＝7，ab ＝10时，S 阴影=12a 2−12b （a ﹣b ）=12a 2−12ab +12b 2=12[（a +b ）2﹣2ab ]−12ab ＝9.5． 故答案为：9.515．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本：如果每人分5本，那么恰有一人分不到3本，则这些书有 26 本，学生有 6 人． 【解答】解：设学生有x 人，则这些书有（3x +8）本， 依题意，得：{3x +8≥5(x −1)3x +8＜5(x −1)+3，解得：5＜x ≤132． 又∵x 为正整数， ∴x ＝6， ∴3x +8＝26． 故答案为：26；6．16．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人） 每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 380 元．【解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时90元，∴租船费用为90×9＝810元，当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90＝490元，当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时130元，∴租船费用为130×3＝390元， 当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90＝390元当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+130+150＝380元而810＞490＞390＞380，∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，故答案为：380．三．解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）（π﹣3.14）0+（12）﹣1﹣|√8−3| 【解答】解：（π﹣3.14）0+（12）﹣1﹣|√8−3| ＝1+2﹣3+2√2＝2√218．（5分）解不等式组：{3(x −2)≤8−(x +6)x+12＜2x−13+1，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：{3(x −2)≤8−(x +6)①x+12＜2x−13+1②， 解不等式①，得：x ≤2，解不等式②，得：x ＞﹣1，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为﹣1＜x ≤2．19．（5分）解方程组：{3x −y =3①x 2+y 3=2②【解答】解：由②得3x +2y ＝12 ③由③﹣①得，3y ＝9，解得：y ＝3，把y ＝3代入①得，x ＝2．所以这个方程组的解是{x =2y =3． 20．（5分）化简：2x 2+（﹣2x +3y ）（﹣2x ﹣3y ）﹣（x ﹣3y ）2，其中x ＝﹣2，y ＝﹣1．【解答】解：原式＝2x 2+4x 2﹣9y 2﹣x 2+6xy ﹣9y 2＝5x 2+6xy ﹣18y 2当x ＝﹣2，y ＝﹣1时，原式＝5×4+6×2﹣18×1＝14．21．（5分）（1）如图1，AB ∥CD ，∠A ＝33°，∠C ＝40°，求∠APC 的度数．（提示：作PE ∥AB ）．（2）如图2，AB ∥DC ，当点P 在线段BD 上运动时，∠BAP ＝∠α，∠DCP ＝∠β，求∠CP A 与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，如果点P 在射线DM 上运动，请你直接写出∠CP A 与∠α、∠β之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1，过P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE ，∵∠A ＝33°，∠C ＝40°，∴∠APE ＝33°，∠CPE ＝40°，∴∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝33°+40°＝73°；（2）∠APC ＝∠α+∠β，理由是：如图2，过P 作PE ∥AB ，交AC 于E ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PE ∥CD ，∴∠APE ＝∠P AB ＝∠α，∠CPE ＝∠PCD ＝∠β，∴∠APC ＝∠APE +∠CPE ＝∠α+∠β；（3）如图3，过P 作PE ∥AB ，交AC 于E ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PE ∥CD ，∴∠P AB ＝∠APE ＝∠α，∠PCD ＝∠CPE ＝∠β，∵∠APC ＝∠APE ﹣∠CPE ，∴∠APC ＝∠α﹣∠β．22．（5分）已知关于x 的二元一次方程组{2x −y =3k −22x +y =1−k（k 为常数）． （1）求这个二元一次方程组的解（用k 的代数式表示）．（2）若方程组的解满足x +y ＞5，求k 的取值范围．【解答】解：（1）①+②得4x ＝2k ﹣1，∴x =2k−14， 代入①得y =3−4k 2，所以方程组的解为{x =2k−14y =3−4k 2； （2）方程组的解满足x +y ＞5，所以2k−14+3−2k 2＞5， ∴k ＜−52．23．（6分）学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生话．为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了 300 名学生；（2）请把折线统计图补充完整；（3）在统计图②中，求出“体育”部分所对应的圆心角的度数；（4）若该校有学生2400人，估计喜欢“科普”书籍的有多少人？【解答】解：（1）这次调查一共调查学生90÷30%＝300（名），故答案为：300；（2）喜欢“艺术”书籍的人数为300×20%＝60（名），其它人数为300×10%＝30（名）， 补全图形如下：（3）喜欢“体育”书籍部分所对应的圆心角的度数为360°×40300=48°；（4）估计喜欢“科普”书籍的有2400×80300=640（人）．24．（8分）小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式，连续摆正方形或六边形，要求相邻的图形只有一条公共边．（1）小红首先用m根小木棍摆出了p个小正方形，请你用等式表示m，P之间的关系：3p+1＝m；（2）小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形，且没有木棍剩余．已知他摆出的正方形比六边形多4个，请你求出摆放的正方形和六边形各多少个？（3）小红重新用50根小木棍，摆出了s排，一共t个小正方形．其中每排至少含有1个小正方形，每排含有的小正方形的个数可以不同．请你用等式表示s，t之间的关系，并写出所有s，t可能的取值．【解答】解：（1）用等式表示m，P之间的关系为：3p+1＝m；（2）设六边形有x个，则正方形有（x+4）个，依题意有5x+1+3（x+4）+1＝110，解得x＝12．故正方形有16个，六边形有12个；（3）根据题意得3t+s＝50，根据题意得t≥s，且s，t均为整数，因此s＝2，t＝16；s＝5，t＝15；s＝8，t＝14；s＝11，t＝13．故答案为：3p+1＝m．25．（8分）在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝115°；若∠B＝40°，则∠AFD＝110°；②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝30°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC＝50°，∠FDG=12∠EDB＝15°，∴∠DGF＝∠B+∠BAG＝50°+50°＝100°，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝100°+15°＝115°；若∠B＝40°，则∠BAC+∠C＝180°﹣40°＝140°，∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF＝∠B+∠BAG，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+12（∠BAC+∠C）＝40°+12×140°＝40°+70°＝110°；故答案为：115°；110°；②∠AFD＝90°+12∠B；理由如下：由①得：∠EDB＝∠C，∠BAG=12∠BAC，∠FDG=12∠EDB，∵∠DGF＝∠B+∠BAG，∴∠AFD＝∠DGF+∠FDG＝∠B+∠BAG+∠FDG＝∠B+12（∠BAC+∠C）＝∠B+12（180°﹣∠B）＝90°+12∠B；（2）如图2所示：∠AFD＝90°−12∠B；理由如下：由（1）得：∠EDB＝∠C，∠BAG=12∠BAC，∠BDH=12∠EDB=12∠C，∵∠AHF＝∠B+∠BDH，∴∠AFD＝180°﹣∠BAG﹣∠AHF＝180°−12∠BAC﹣∠B﹣∠BDH＝180°−12∠BAC﹣∠B−12∠C＝180°﹣∠B−12（∠BAC+∠C）＝180°﹣∠B−12（180°﹣∠B）＝180°﹣∠B﹣90°+12∠B＝90°−12∠B．。

北京市西城区2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

北京市西城区2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析

北京市西城区2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．9的展开式中有理项的项数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数. 【详解】192(x 的展开式通项为2751962199()C (1)(1)C x r r r r r rr T x x --+=⋅-=⋅⋅⋅⋅-，当3r =或9r =时，为有理项，所以有理项共有2项. 故选：B 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.2．下列关于曲线24:14x y Γ+=的结论正确的是（ ）A ．曲线Γ是椭圆B ．关于直线y x =成轴对称C ．关于原点成中心对称D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4【答案】C 【解析】 【分析】A 根据椭圆的方程判断曲线24:14x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14xy Γ+=所围成的封闭面积是否小于1．【详解】曲线24:14x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414yx +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；||2x ，||1y ，∴曲线24:14x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=，令x y =∴=所以曲线Γ上的四点,,（,（围成的矩形面积为4>， 所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．3．利用数学归纳法证明不等式*n 1111...(n)(n 2,)2321f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项【答案】D 【解析】 【分析】分别计算n k =和+1n k =时不等式左边的项数，相减得到答案. 【详解】n k =时，不等式左边：1111 (2)321k++++-共有21k - +1n k =时，：1111111 (2321221)k k k ++++++++--共有121k +- 增加了1(21)(21)2k k k +---=故答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.4．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，f （－2）＝－3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）＋f （a 2）＋f （a 3）＋…＋f （a 2018）＝（ ） A ．－2B ．－3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可． 详解：定义在R 上的奇函数()f x 满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故周期T 3=,()()()()()()213,300,523f f f f f f -==-==== 数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =,故21n a n =-，所以：()()()()()()1231350f f f f a f a f a ++=++=，()()()()()()1232018133f a f a f a f a f f +++⋯+=+=-点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知()y f x =奇函数，关于轴x a =对称，则()()()()f x f x 1f 2a x f x 2-=-+=-，，令x x 2a =-代入2式，得出()()f x f x 2a =--，由奇偶性()()()()()f 2a x f x f x f x 2a f x 2a ⎡⎤+=-=-=---=-⎣⎦，故周期T 4a =. 5．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．16【答案】C 【解析】 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S=正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x =-=-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ） A ．8 B ．-8C ．4D ．-4【答案】A 【解析】分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案. 详解：如图所示，在圆C 中，过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，在Rt ACD ∆中，122AD AB ==，可得2cos AD A AC AC ==， 所以2cos 48AB AC AB AC A AC AC⋅=⋅=⨯⨯=，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 7．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.8．在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A ．y a bx =+B ．y c x =+C ．2y m nx =+D ．x y p qc =+（0q >）【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项. 【详解】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ． 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.9．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ） A ．30个 B ．42个C ．36个D ．35个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵a ，b 互不相等且为虚数，∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种， a 从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）． 故选C10．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元 B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元【答案】C 【解析】 【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可 【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++=()19289898793905y =⨯++++=代入到回归方程为7.5ˆy x a =+，解得20.25a = 7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

高二下学期期末考试数学试题(图片版)

高二下学期期末考试数学试题(图片版)
（2） ，则 或 ；………………………………8分
，则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得 ＝1或 ＝－5.………………4分
所以 ， 在 上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 ＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当 ＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分

2019-2020学年北京市东城区景山学校八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市东城区景山学校八年级下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市东城区景山学校八年级第二学期期末数学试卷一、选择题1．反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限C．第一、二象限D．第二、四象限2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．3．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍4．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（）A．4：9B．2：3C．9：4D．3：25．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点O B．点P C．点M D．点N6．一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜0或x＞37．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．128．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如果，那么锐角α＝°．10．已知反比例函数的表达式为y＝，它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是．11．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是．12．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为．14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是．三、解答题17．计算3tan30°+4cos45°﹣2sin60°．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．20．如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）只有一个公共点A（1，﹣2）．（1）求k与a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）有两个公共点，直接写出b的取值范围．21．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，，1.732，结果精确到0.1）22．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是．（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．24．阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞4时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞4．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为；（2）构造函数，画出图象设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为．25．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），正方形OABC的顶点B在函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，直线l：y＝﹣x+b与函数y＝（k≠0，x＜0）的图象交于点D，与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．（1）①依题意补全图形．②若α＝60°，则∠CAF＝°；＝；（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．28．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sin A＝，cos A＝，tan A＝，cot A＝为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是；（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，则sinα+cosα＝；（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝，则tanα；（4）若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是．参考答案一、选择题1．反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限C．第一、二象限D．第二、四象限【分析】由反比例函数k＞0，函数经过一三象限即可求解；解：∵k＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限；故选：A．2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，∴AB＝＝＝5，AH＝3，∴cos∠BAC＝＝，故选：C．3．把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍【分析】根据相似三角形的性质解答．解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．4．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG等于（）A．4：9B．2：3C．9：4D．3：2【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．解：设DE＝x，AD＝3x，在▱ABCD中，∴AD＝BC＝3x，∵点F为BC的中点，∴CF＝，∵DE∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：A．5．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点O B．点P C．点M D．点N【分析】直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可．解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点P．故选：B．6．一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．x＜﹣1或0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜0或x＞3【分析】根据一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k≠0）的交点坐标即可得到结论．解：由图象得，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故选：B．7．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．12【分析】先证明△EPQ∽△GKM∽△BNC，再证明△AEQ∽△AGM得到＝＝，＝，所以S1＝S2，同理得到S3＝S2，所以S2+S2＝30，从而得到S2的值．解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成，∴△ADE≌△EFG≌△GHB，∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，∵FE∥HG∥BC，∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，∵QE∥MG，∴△AEQ∽△AGM，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S1＝S2，∵MG∥CB，∴△AGM∽△ABC，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S3＝S2，∵S1+S3＝30，∴S2+S2＝30，∴S2＝12．故选：D．8．在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：当x≥0时，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．二、填空题9．如果，那么锐角α＝30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵tanα＝，∴锐角α＝30°．故答案为：30．10．已知反比例函数的表达式为y＝，它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是k＜﹣2．【分析】由于反比例函数y＝图象在每个象限内y的值随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可．解：∵反比例函数y＝图象在每个象限内y的值随x的值增大而大，∴k+2＜0，解得k＜﹣2．故答案为k＜﹣2．11．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是∠AED＝∠B（答案不唯一）．【分析】由相似三角形的判定方法即可得出答案．解：添加条件为∠AED＝∠B，理由如下：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB；故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y3＜y2．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，然后求出y1，y2，y3的值，从而得到它们的大小关系．解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴﹣1×y1＝k，2y2＝k，3y3＝k，∴y1＝﹣k，y2＝k，y3＝k，而k＞0，∴y1＜y3＜y2．故答案为y1＜y3＜y2．13．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为四丈五尺．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45（尺），45尺＝四丈五尺．故答案为：四丈五尺．14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝45°．【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠DAC＝∠ACD＝45°，最后根据平行线的性质可得结论．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为2．【分析】直接利用反比例函数的性质结合矩形的性质得出矩形BEOM面积为：1，矩形MOFA面积为：3，则矩形BEFA的面积为4，进而得出答案．解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，由题意可得，四边形BEFA是矩形，∵函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），∴矩形BEOM面积为：1，矩形MOFA面积为：3，则矩形BEFA的面积为4，则△ABN的面积为：S矩形BEFA＝2．故答案为：2．16．如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D．下面三个结论，①存在无数个点P使S△AOC＝S△BOD；②存在无数个点P使S△POA＝S△POB；③存在无数个点P使S四边形OAPB＝S△ACD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），利用反比例函数k的几何意义得到S△AOC＝3，S△BOD＝3，则可对①进行判断；根据三角形面积公式可对②进行判断；通过计算S四边形OAPB和S△ACD得到m与n的关系可对对③进行判断．解：如图，设C（m，），D（n，），则P（n，），∵S△AOC＝3，S△BOD＝3，∴S△AOC＝S△BOD；所以①正确；∵S△POA＝﹣n×＝﹣，S△POB＝﹣n×＝﹣，∴S△POA＝S△POB；所以②正确；∵S四边形OAPB＝﹣n×＝﹣，S△ACD＝×m×（﹣）＝3﹣，∴当﹣＝3﹣，即m2﹣mn﹣2n2＝0，所以m＝2n（舍去）或m＝﹣n，此时P点为无数个，所以③正确．故答案为①②③．三、解答题17．计算3tan30°+4cos45°﹣2sin60°．【分析】代入特殊角的三角函数值计算．解：3tan 30°+4 cos45°﹣2 sin 60°＝3×+4×﹣2×＝2．18．如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tan C＝，可以求得CD的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，∴AD＝4，BD＝，∵在Rt△ADC中，tan C＝，AD＝4，∴，∴CD＝3．∴BC＝BD+CD＝．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE．∴∠AEB＝∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴．∵BE＝BD＝1，CD＝2，∴．20．如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）只有一个公共点A（1，﹣2）．（1）求k与a的值；（2）在（1）的条件下，如果直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）有两个公共点，直接写出b的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线y＝ax﹣4与双曲线y＝，求出k和a的值即可；（2）将直线y＝ax+b代入y＝，整理得出关于x的一元二次方程，根据根的判别式△＞0即可得出结果．解：（1）∵直线y＝ax﹣4与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2），∴，解得：，故k＝﹣2，a＝2；（2）若直线y＝2x+b（a≠0）与双曲线y＝﹣有两个公共点，则方程组有两个不同的解，即2x+b＝﹣有两个不相等的解，整理得：2x2+bx+2＝0，△＝b2﹣16＞0，解得：b＜﹣4，或b＞4．21．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，，1.732，结果精确到0.1）【分析】根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离，从而可以解答本题．解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，设CD＝x米，则BD＝，AD＝，∵AB＝2米，AD＝AB+BD，∴AD＝2+BD，∴2+＝，解得，x≈1.7即生命所在点C的深度是1.7米．22．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：（1）观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是③④．（2）如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动；图②已知三个角，则三个边可以任意变动；图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长；（2）过点C作CD⊥AB于点D，CD＝AC•sin A＝6，AD＝AC•cos A＝8，BD＝AB﹣AD＝4，由勾股定理得出BC＝＝2．解：（1）∵图①已知一个角与这个角所对的边，则另两个角可以任意变动，∴图①不能求出其余未知元素；∵图②已知三个角，则三个边可以任意变动，∴图②求出其余未知元素；∵图③、图④已知两个角，则第三个角是固定的，并已知一个边，过第三个角的顶点向已知两个角的公共边作垂线即可求出其余未知两个边的长，∴图③、图④可以求出其余未知元素；故答案为：③④；（2）过点C作CD⊥AB于点D，如图⑤所示：在Rt△ADC中，∠A＝37°，∴CD＝AC•sin A＝10×sin37°≈10×0.60＝6，AD＝AC•cos A＝10×cos37°≈10×0.80＝8，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∴在Rt△CDB中，BC＝＝＝2，即BC的长度为2．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．（1）若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值．【分析】（1）根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．解：（1）∵AB＝AC＝，BC＝4，点A（3，5）．∴B（1，），C（5，），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则＝，解得，k＝，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵点A（3，5）．C（5，），将△ABC向下平移m个单位长度，∴A（3，5﹣m），C（5，﹣m），∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，∴3（5﹣m）＝5（﹣m），∴m＝．24．阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣4），B（4，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞4时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞4．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＜；（2）构造函数，画出图象设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为﹣3＜x＜﹣1或x＞1．【分析】（1）由题意得：x2+3x﹣1＜，即可求解；（2）画出y3＝x2+3x﹣1与y4＝的图象如图所示；（3）由图象可得：﹣3＜x＜﹣1或x＞1．解：（1）由题意得：x2+3x﹣1＜，故答案为：x2+3x﹣1＜；（2）画出y3＝x2+3x﹣1与y4＝的图象如图所示：（3）由图象可得：﹣3＜x＜﹣1或x＞1；故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞1．25．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求BP的长．小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得BP的长．请回答：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴＝．∵AP＝1，∴PC＝．∴PB＝2．参考小军的思路，解决问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30°，求的值；【分析】阅读材料：证明△ACP∽△CBP．得出．由等腰直角三角形的性质得出CB＝AC得出＝．PC＝AP＝．得出PB＝PC＝2．解决问题：证明△ACP∽△CBP．得出＝，设AP＝a，则PC＝，得出PB＝3a．即可得出．【解答】阅读材料：解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴．∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°．∴CB＝AC，∴＝．∵AP＝1，∴PC＝AP＝．∴PB＝PC＝2．故答案为：∠PBC；；2；解决问题：解：作AD⊥BC于D，如图2所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°．BD＝CD＝BC，∴AD＝AC，CD＝AD，∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2AD，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠PCA＝∠PBC．∵∠PAC＝∠PCB，∴△ACP∽△CBP．∴＝＝，设AP＝a，则PC＝，∴PB＝3a．∴．26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），正方形OABC的顶点B在函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上，直线l：y＝﹣x+b与函数y＝（k≠0，x＜0）的图象交于点D，与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A时，直接写出△DCE内的整点的坐标；②若△DCE内的整点个数恰有6个，结合图象，求b的取值范围．【分析】（1）依题意得到B（﹣2，2），于是得到结论；（2）①根据题意求得一次函数的解析式为y＝﹣x+2，得到D（1﹣，1+），E（2，0），于是得到结论；②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，即可得到b的取值范围是2＜b≤3．解：（1）依题意知：B（﹣2，2），∴反比例函数解析式为y＝﹣．∴k的值为﹣4；（2）①∵一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，解得，，，∴D（1﹣，1+），E（2，0），∴△DCE内的整点的坐标为（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1）；②当b＝2时，△DCE内有3个整点，当b＝3时，△DCE内有6个整点，∴b的取值范围是2＜b≤3．27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是线段AB上一点（0＜AD＜AB）．过点B作BE⊥CD，垂足为E．将线段CE绕点C逆时针旋转90°，得到线段CF，连接AF，EF．设∠BCE的度数为α．（1）①依题意补全图形．②若α＝60°，则∠CAF＝30°；＝；（2）用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①利用旋转直接画出图形，②先求出∠CBE＝30°，再判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝30°，再利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；（2）先判断出△ACF≌△BCE，得出∠CAF＝α，再同（1）②的方法即可得出结论．解：（1）①依题意补全图1；②∵BE⊥CD，∠CEB＝90°，∵α＝60°，∴∠CBE＝30°，在Rt△ABC中，AC＝BC，∴AC＝AB，∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．在△ACF和△BCE中，AC＝BC，∠FCA＝∠ECB，FC＝EC，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∠CAF＝∠CBE＝30°，∴CF＝AC，由旋转知，CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF＝CF＝AC＝×AB＝AB，∴＝，故答案为30，；（2）EF＝AB cosα．证明：∵∠FCA＝90°﹣∠ACE，∠ECB＝90°﹣∠ACE，∴∠FCA＝∠ECB＝α．同（1）②的方法知，△ACF≌△BCE，∴∠AFC＝∠BEC＝90°，∴在Rt△AFC中，cos∠FCA＝．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°．∵∠ECF＝90°，CE＝CF，∴∠CFE＝∠CEF＝45°．在△FCE和△ACB中，∠FCE＝∠ACB＝90°，∠CFE＝∠CAB＝45°，∴△FCE∽△ACB，∴＝cos∠FCA＝cosα，即EF＝AB cosα．28．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sin A＝，cos A＝，tan A＝，cot A＝为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα；（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，则sinα+cosα＝；（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝，则tanα﹣；（4）若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是[1，]．【分析】根据题中所给的第二种定义计算各题即可．解：（1）∵270°＜α＜360°，∴x＞0，y＜0，∴角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα．（2）∵角α的终边与直线y＝2x重合，∴sinα＝，cosα＝或sinα＝﹣，cosα＝﹣．∴sinα+cosα＝或sinα+cosα＝﹣．（3）cosα＝＝，则r＝2，∴x＝，∴tanα＝＝﹣＝﹣．（4）若0°≤α≤90°，设OP＝1，则sinα+cosα＝x+y，∵当α＝0°时，x+y＝x＝OP＝1，当α≠0时，根据三角形的两边之和大于第三边，则x+y＞1，因而sinα+cosα≥1，∵x2+y2＝1，∴（x+y）2﹣2xy＝1，∴（x+y）2＝1+2xy≤1+（x2+y2），∵当x＝y时，（x+y）2的值最大，当x＝y时，x＝y＝，∴（x+y）2≤2．∴x+y≤故其取值范围为：[1，]故答案为：cosα，，﹣，[1，]．。

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北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题本试卷共4页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，见本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共32分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2M =，{}02N x x =≤<，那么集合M N ⋂= A. {}0 B. {}0,1C. {}1,2D. {}0,2【答案】B 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】∵M ＝{0，1，2}，N ＝{x |0≤x ＜2}； ∴M ∩N ＝{0，1}． 故选：B ．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题．2.已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A. 3B. 1C. 8-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x +y ﹣8＝0， 即y ＝8﹣x ，f '（5）就是切线的斜率，f ′（5）＝﹣1，故选：D ．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．3.已知,x y R ∈，那么“0xy >”是“0x >且0y >”的 A. 充分而不必要条件 B. 充要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先利用取特殊值法判断x •y ＞0时，x ＞0且y ＞0不成立，再说明x ＞0且y ＞0时，x •y ＞0成立，即可得到结论．【详解】若x ＝﹣1，y ＝﹣1， 则x •y ＞0，但x ＞0且y ＞0不成立， 若x ＞0且y ＞0，则x •y ＞0一定成立，故“x •y ＞0”是“x ＞0且y ＞0”的必要不充分条件 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.已知随机变量X 满足条件X ～(),B n p ，且()()12125E X ,D X ==，那么n 与p 的值分别为 A. 4165, B. 2205,C. 4155,D. 3125,【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出n 与p 的值． 【详解】∵X ～B （n ，p ）且()()12125E X D X ==，， ∴()121215np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得n ＝15，p 45= 故选：C ．【点睛】本题考查了二项分布的均值与方差公式的应用，考查了运算能力，属于基础题．5.已知mnkx y （k 是实常数）是二项式()52x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为A. 40B. 40-C. 20D. 20-【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值． 【详解】展开式的通项公式为T t +1＝5t C x 5﹣t （2y ）t ＝2t 5tC x 5﹣t y t ， ∵kx m y n（k 是实常数）是二项式（x ﹣2y ）5的展开式中的一项， ∴m +n ＝5， 又m ＝n +1， ∴得m ＝3，n ＝2， 则t ＝n ＝2，则k ＝2t 5t C =2225C =4×10＝40，故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键．6.函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A.6π B.1,04π- C.164ππ-- D. 1122,-【答案】A 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【详解】函数()12f x x sinx =-，()f x '12=-cos x ， 令()f x '＞0，解得：2π≥x 3＞π，令()f x '＜0，解得：0≤x 3π＜，∴f （x ）[0，3π）递减，在（3π，2π]递增，∴f （x ）min ＝f （3π）62π=-，而f （0）＝0，f （2π）4π=-1，故f （x ）在区间[0，2π]上的最小值和最大值分别是：6π0． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．7.从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A. 80种 B. 100种 C. 120种 D. 240种【答案】B 【解析】【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生． 当选到的是两个男生，两个女生时共有C 52C 42=60种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有C 53C 41=40种结果， 根据分类计数原理知共有60+40=100种结果， 故选B ．8.在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．【详解】依题意，从10个小球中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821， 所以1310410821n nC C C -⨯=， 所以n （10﹣n ）（9﹣n ）（8﹣n ）＝480，（n ∈N *） 解得n ＝4． 故选：C ．【点睛】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题．第二部分(非选择题共68分)二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分9.命题“0x ∃∈R 2000,x x +>”，此命题的否定是___．(用符号表示) 【答案】∀x ∈R ，x 2+x ≤0． 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+1＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2+x ≤0． 故答案为：∀x ∈R ，x 2+x ≤0．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系及否定形式，属于基本知识的考查．10.已知集合{}210M x x =-=，集合{}2320N x x x =-+=，那么集合M N ⋃的子集．．个数为___个． 【答案】8． 【解析】 【分析】可以求出集合M ，N ，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数． 【详解】∵M ＝{﹣1，1}，N ＝{1，2}； ∴M ∪N ＝{﹣1，1，2}； ∴M ∪N 的子集个数为23＝8个． 故答案为：8．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法．11.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）= 【答案】0.1587 【解析】【详解】1(34)(24)0.34132P X P X ≤≤=≤≤=, 观察如图可得,(4)0.5(34)0.50.3413P X P X ∴>=-≤≤=-0.1587=.故答案为0.1587. 考点：正态分布点评：随机变量～2(,)N μδ中，x μ=表示正态曲线的对称轴.12.吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表男 女 总计 喜欢吃零食51217根据下面2K 的计算结果，试回答，有_____的把握认为“吃零食与性别有关”． 参考数据与参考公式：222()85(140480)9826000== 4.722()()()()176845402080800n ad bc K a b c d a c b d --=≈++++⨯⨯⨯【答案】95%． 【解析】 【分析】根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论． 【详解】根据题意知K 2≈4.722＞3.841， 所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”． 故答案为：95%．【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．13.已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____． 【答案】（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 【解析】 【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f ′（x ）≥0不恒成立，即可得到结论． 【详解】∵函数y 13=x 3+mx 2+（m +2）x +3，∴f ′（x ）＝x 2+2mx +m +2， ∵函数y 13=x 3+mx 2+（m +2）x +3在R 上不是增函数， ∴f ′（x ）＝x 2+2mx +m +2≥0不恒成立， ∴判别式△＝4m 2﹣4（m +2）＞0， ∴m 2﹣m ﹣2＞0， 即m ＜﹣1或m ＞2，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．14.已知函数()28f x x x =-+，()6ln g x x m =+，当78m <<时，这两个函数图象的交点个数为____个．（参考数值：2069331099ln .,ln .≈≈） 【答案】3． 【解析】 【分析】原问题等价于函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ，m ∈（7，8）的交点个数，作出函数图象观察即可得出答案．【详解】函数f （x ）与函数g （x ）的交点个数，即为﹣x 2+8x ＝6lnx +m 的解的个数，亦即函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ，m ∈（7，8）的交点个数，()22436'28x x y x x x--+=-+-=，令y ′＝0，解得x ＝1或x ＝3，故当x ∈（0，1）时，y ′＜0，此时函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 单调递减， 当x ∈（1，3）时，y ′＞0，此时函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 单调递增， 当x ∈（3，+∞）时，y ′＜0，此时函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 单调递减， 且y |x ＝1＝7，y |x ＝3＝15﹣6ln 3＞8， 作出函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 的草图如下，由图可知，函数y ＝﹣x 2+8x ﹣6lnx 与函数y ＝m ，m ∈（7，8）有3个交点． 故答案为：3．【点睛】本题考查函数图象的运用，考查函数交点个数的判断，考查了运算能力及数形结合思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合{}61,01A y y x x ==-≤≤，{}220B x x x m =--<． (Ⅰ)当3m =时，求A ∩(∁R B )；(Ⅱ)当{}25A B x x ⋃=-<≤时，求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）{x |3≤x ≤5，或x ＝﹣1}（Ⅱ）m ＝8 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出A ＝{y |﹣1≤y ≤5}，m ＝3时，求出B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，然后进行补集、交集的运算即可； （Ⅱ）根据A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}即可得出，x ＝﹣2是方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的实数根，带入方程即可求出m ． 【详解】（Ⅰ）A ＝{}61,01=y y x x =-≤≤{y |﹣1≤y ≤5}，m ＝3时，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}； ∴∁R B ＝{x |x ≤﹣1，或x ≥3}；∴A ∩（∁R B ）＝{x |3≤x ≤5，或x ＝﹣1}； （Ⅱ）∵A ∪B ＝{x |﹣2＜x ≤5}；∴x ＝﹣2是方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的一个实根；∴4+4﹣m ＝0；∴m ＝8．经检验满足题意【点睛】本题考查交集、补集的运算，涉及不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法的知识方法，属于基础题．16.一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球．如果不放回的依次取出2个球．回答下列问题：(Ⅰ)第一次取出的是黑球的概率；(Ⅱ)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率； (Ⅲ)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率． 【答案】（Ⅰ）35（Ⅱ）310（Ⅲ）12【解析】 【分析】（Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个，代入概率公式即可； （Ⅱ）利用独立事件的概率公式直接求解即可； （Ⅲ）直接用条件概率公式求解．【详解】依题意，设事件A 表示“第一次取出的是黑球”，设事件B 表示“第二次取出的是白球” （Ⅰ）黑球有3个，球的总数为5个， 所以P （A ）35=； （Ⅱ）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为P （AB ）3235410=⨯=； （Ⅲ）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为P （B |A ）()()3110325P AB P A ===． 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了事件的相互独立性及条件概率，属于基础题．17.已知函数()32f x x ax bx =++的图象与直线15280x y --=相切于点()2,2．(Ⅰ)求,a b 的值；(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间．【答案】（Ⅰ）a ＝3，b ＝﹣9（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）【解析】【分析】（Ⅰ）求导函数，利用f （x ）的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a ，b 的值；（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f （x ）的单调递减区间．【详解】（I ）求导函数可得f ′（x ）＝3x 2+2ax +b ，∵f （x ）的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点（2，2），∴f （2）＝2，f ′（2）＝﹣15， ∴842212415a b a b ++=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝3，b ＝﹣9．（II ）由（I ）得f ′（x ）＝3x 2+6x ﹣9，令f ′（x ）＜0，可得3x 2+6x ﹣9＜0，∴﹣3＜x ＜1，函数f （x ）的单调递减区间是（﹣3，1）．令f ′（x ）＞0，可得3x 2+6x ﹣9＞0，单调增区间：（∞，﹣3），（1，+∞）． 综上：函数f （x ）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题．18.把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答） (Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．【答案】（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；【详解】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，有C 62＝15种选法，②，将剩下的4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，则甲得2本分法有15×16＝240种；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析： ①，将6本书平均分成3组，有22264233C C C A =15种分组方法， ②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A 33＝6种情况，则有15×6＝90种分法；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C 64×C 31＝45种分法，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A 22＝2种情况，则有45×2＝90种分法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．19.甲，乙二人进行乒乓球比赛，已知每一局比赛甲胜乙的概率是23，假设每局比赛结果相互独立. (Ⅰ)比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利的一方为获胜方，这时比赛结束．求在一场比赛中甲获得比赛胜利的概率；(Ⅱ)比赛采用三局两胜制，设随机变量X 为甲在一场比赛中获胜的局数，求X 的分布列和均值；(Ⅲ)有以下两种比赛方案：方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制.问哪个方案对甲更有利.（只要求直接写出结果）【答案】（Ⅰ）2027（Ⅱ）分布列见解析，E （X ）4427=（Ⅲ）方案二对甲更有利【解析】【分析】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）方案二对甲更有利．【详解】（Ⅰ）甲获得比赛胜利包含二种情况：①甲连胜二局；②前二局甲一胜一负，第三局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率为：P＝（23）2122133C⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（23）2027=．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝（13）219=，P（X＝1）122114 33327C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，P（X＝2）＝（23）2122133C⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（23）2027=．∴随机变量X的分布列为：∴数学期望E（X）142044 0129272727 =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）方案一，比赛采用五局三胜制；方案二，比赛采用七局四胜制．方案二对甲更有利．【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题．20.已知函数()f x =e x ，()ln g x x =．(Ⅰ)当0x >时，证明：()()g x x f x <<；(Ⅱ)()f x 的图象与()g x 的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2条，证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）当x ＞0时，设h （x ）＝g （x ）﹣x ＝lnx ﹣x ，设l （x ）＝f （x ）﹣x ＝e x ﹣x ，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；（Ⅱ）先确定曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm ﹣121m =-．分别作出y ＝lnx ﹣1和y 21x =-的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论．【详解】（Ⅰ）当x ＞0时，设h （x ）＝g （x ）﹣x ＝lnx ﹣x ，h ′（x ）1x =-11x x-=，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减；0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增； 可得h （x ）在x ＝1处取得最大值﹣1，可得h （x ）≤﹣1＜0；设l （x ）＝f （x ）﹣x ＝e x ﹣x ，l ′（x ）＝e x ﹣1，当x ＞0时，l ′（x ）＞0，l （x ）递增；可得l （x ）＞l （0）＝1＞0，综上可得当x ＞0时，g （x ）＜x ＜f （x ）；（Ⅱ）曲线y ＝f （x ），y ＝g （x ）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与g （x ）＝lnx ，f （x ）＝e x 的切点分别为（m ，lnm ），（n ，e n ），m ≠n ，∵g ′（x ）1x=，f ′（x ）＝e x ， 可得11n n e m lnm e m nm ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，化简得（m ﹣1）lnm ＝m +1， 当m ＝1时，（m ﹣1）lnm ＝m +1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm＝m+1化为lnm11 mm+=-，由lnx11xx+==-121x+-，即lnx﹣121x=-．分别作出y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象，由图象可知：y＝lnx﹣1和y21x=-的函数图象有两个交点，可得方程lnm11mm+=-有两个实根，则曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程与构造函数法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于较难题．。

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