(推荐)高二下学期期末考试数学试卷
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
大连育明高级中学2023~2024学年（下）期末考试高二 数学试卷满分150分 时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.非选择题，用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效.4.画图清晰，并用2B 铅笔加深.第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，则（ ）A B. C D. 2. 有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④3. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中正确的是（ ）A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3B. 对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检...的{}2A y y x =={B x y ==A B = [)0,∞+[)1,-+∞[]1,0-()1,0-a b >33a b >1a b >>log 2log 2a b >0a b <<0c d <<ac bd >12a <<03b <<22a b -<-<{}n a {}n b n n S n T 335n n S n T n +=+526a b b =+141741731315e kx y c =ln z y =0.34z x =+c k x y 10.8995r =u v验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强C. 根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05D. 某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是5. 若，则（ ）A. B. C. D. 6. 设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）A. 或B.C. D. 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）A.B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）A. 81B. ﹣81C. ﹣9D. 9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，且，则（ ）A. 的最小值是 B. 最小值为C.D.的最小值是10. 下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ）20.9568r =-x y u v x y X Y 2 4.712=χ0.05α=()0.05 3.841x =X Y 94011221ln ,ln ,4433ea b c ===-c b a <<b c a <<c a b<<b a c<<{}n a 3a 7a ()3223733f x x a x a x a =+++=1x -05a ±±()221ln 2f x x x ax x =--()f x 11a -<<104a -<<102a -<<102a <<()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-1x 2x 3x 1231x x x <<<2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝0,0a b >>1a b +=ab 14222a b +23+12a a b+1+{}n a n n SA. 若，则B. 若，则C. 若是等比数列，，则D. 若，则数列单调递增11. 下列说法正确的是（ ）．A. 函数在区间的最小值为B. 函数的图象关于点中心对称C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为D. 若恒成立，则实数的取值范围为第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 计算：______.13. 已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.14. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知数列的首项为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报111,11n n a a a +==--202412a =112,2n n S S a +==12n n a -={}n a 241,4S S ==864S =12311n a a a a n =+ {}n a ()2sin f x x x =-[]0,ππ3-()321313f x x x x =--+81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()12ln f x ax x x=--212x x >≥()()2121121f x f x x x x x ->-a ()1,+∞e ln ax a x >a 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10421116log 74⎛⎫++=⎪⎝⎭{}n a 14a =()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈()2235n nn a λ--<-*n ∈N λ()(),f x g x (),g x 'R ()g x ()()10f x g x '+-=()()2410f x g x ---'-=()g x 20241()n f n ==∑{}n a 112a =131n n na a a +=+{}n a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T名，本周随机选取2人参加．（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X ，求X 的分布列及期望；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y ，求Y 的期望．17. 已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．18. 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴.现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数.（1）若所有参赛者年龄服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数（计算结果四舍五入取整数）；（2）若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为类，的概率评为类，每位参赛者作品的评级结果相互独立.记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份类作品的概率为，求的极大值点；（3）以（2）中确定的作为的值，记上述幸运嘉宾的作品中的类作品数为，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：类作品参赛者获得1000元现金，类作品参赛者获得100元现金；乙：类作品参赛者获得3000元现金，类作品参赛者不获得现金奖励.根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低.附：若，则，，.19 已知函数（）．.()E X 1212()E Y ()()323,f x ax bx x a b R =+-∈()()1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m 45.75μ=X ()2,15.75N μ%(0100)a a <<A ()1%a -B A ()p a ()p a 0a 0a a A Y A B A B ()2~,X N μσ{}0.6827P X μσ-<={2}0.9545P X μσ-<={3}0.9973P X μσ-<=1()2ln f x m x x x=-+0m >（1）求函数的单调区间；（2）证明：（，）；（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．()f x 2322221111(1)(1)(1e 234n+++⋅⋅⋅+<*n ∈N 2n ≥221()ln 2g x m x x x=--+m大连育明高级中学2023~2024学年（下）期末考试高二数学试卷答案第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】2024四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）; （2）.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列及期望略. （3）【17题答案】【答案】（1）；（2）4；（3）.【18题答案】【答案】（1） （2）（3）选择甲方式成本更低【19题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略；（3）.37(,)8-∞131n a n =-()18342n n T n +=+-⨯89()13E Y =()33f x x x =-62m -<<16835(1,)+∞。
四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知函数12()f x x =，则(4)f '=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．22．已知数列13，…，按此规律， ） A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项3．对变量x ，y 由观测数据()()*,i i x y i ∈N 得散点图1；对变量u ，v 由观测数据()()*,i i u v i ∈N 得散点图2．1r 表示变量x ，y 之间的线性相关系数，2r 表示变量u ，v 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）A ．变量x 与y 呈现正相关，且12r r >B ．变量x 与y 呈现负相关，且12r r <C ．变量u 与v 呈现正相关，且12r r >D ．变量u 与v 呈现负相关，且12r r <4．某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ） A ．35种B ．30种C ．25种D ．20种5．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设r 是()()2100f x x x x =+-=>的根，选取01x =作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 做曲线()y f x =的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为1x ，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 做曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值．则2x =（ ）A ．23B ．1120C ．1321D ．17276．某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ） A ．240种B ．150种C ．120种D ．60种7．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布()2~,X N μσ（其中μ和σ分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是（ ）名．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9937P X μσμσ-<≤+≈．A ．456B ．1587C ．3174D ．84138．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2024T =（ ）A ．40474048B ．20234048C ．40484049D ．20244049二、多选题9．设离散型随机变量X 满足()()5521C 0,1,2,3,4,533iii P X i i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()803243P X == B ．10()3E X =C ．5()3D X =D ．()3111E X +=10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若258a a +=-，1412a a +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．2d =-B ．211n a n =-C ．100S =D ．n S 最小值为25-11．若20242024240480124048(1())1x x a a x a x a x +-=++++L ，则（ ）A ．00a =B ．101220242024C a =C ．2024200i i a ==∑D ．4048120231(24)0483i i i ia -==⨯⋅∑12．在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-三、填空题13．由数字2，3，4，5可组成个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．14．一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是．15．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，满足1212118a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，345345111256a a a a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，则数列的通项n a =．16．已知函数11e 1()ex xf x a x a x--=-+-，若()0f x ≥有解，则a 的取值范围是．四、解答题17．某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的45，女生中有5人对游泳没有兴趣．(1)完成下面2×2列联表：(2)依据0.05a =的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知函数2()()f x x x c =-．(1)若2c =，求函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)讨论函数()y f x =的单调性．19．2020年至2023年全国粮食年产量y （单位：万万吨）的数据如下表：(1)请用相关系数判断y 关于x 的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若0.75r >，则线性相关程度较高，若0.30.75r <<，则线性相关程度一般）； (2)求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，截距a y bx =-$$．参考数据：4168.71i i i x y ==∑0.19 2.24．20．设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，328a b +=，2323a b -=-． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n b 单调递增，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：13n T ≤<． 21．某校篮球队举行投篮与传球训练：(1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为12；投进一个花球得2分，花球投进的概率为14．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为X ，求X 的分布列和期望()E X ;(2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了n 次球后，球在甲手上的概率n P ．22．已知函数()()e ,()()ln xf x a xg x x a x =+=+．(1)当0a =时，求函数()y f x =的极值； (2)当21e a ≥时，若()()12(0)f xg x t t ==>，求证：()1211ln ex x t +≥-．。
云南省曲靖市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(一)
云南省曲靖市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某高中为了调查本校学生一个月内在学习用品方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A．估计众数为45C．估计平均数为43 10．已知函数()2cos(f x w=2π，且5π是()f x的最小正零点，则（四、解答题15．已知ABCV的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()cos cos tan2sin+=.b Cc B B a B(1)求；B(2)若2V的周长.2,sin6sin sin==，求ABCb B A C16．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA^底面ABCD，四边形ABCD为正方形，M，N 分别为AB，PD的中点.(1)求证：//MN平面PBC；(2)若PA AD=，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.17．某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：的斜率之和为0，试证明：对于任意非零实数k，直线l必过定点.19．已知函数()(1)ln=+-+.f x x x ax a(1)当1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；a=时，求函数()f x在点(1,(1))(2)若关于x的不等式()0+¥上恒成立，求实数a的取值范围.f x>在(1,)17．(1)ˆ0.95 5.41=+y x(2)分布列见解析；期望为1.8∵()~3,0.6X B ，∴()00300.60.40.064P X C 3==´´=()12310.60.40.288P X C ==´´=()22320.60.40.432P X C ==´´=()330330.60.40.216P X C ==´´=∴X 的分布列为答案第151页，共22页。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。
东北师大附中2024年高二下学期期末考试数学试卷(含答案解析)
东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}52. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48B. 24C. 12D. 83. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ） A. 12−B. 13−C 12−或13−D. 1−或13−4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤D. {2λλ≤−或}2λ≥5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−6. 已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =.的（ ） A. 511B. 61C. 41D. 97. 已知函数(1)y f x =+是定义在R 上偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）的A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−..的19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2mB x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}5【答案】C 【解析】【分析】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，再运用集合的交集即可. 【详解】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，则集合{|2x x >或0}x <， 又{}0,1,2,3,5A =， ∴ {}3,5A B = . 故选：C.2. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48 B. 24C. 12D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理确定258a a +=，根据等差数列性质有25168a a a a +=+=，在应用等差数列前n 项和公式即可求解..【详解】因为2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，所以258a a +=， 又因为{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质有：25168a a a a +=+=， 设{}n a 的前6项和为6S ，则()166638242a a S +×==×=.故选：B3. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ）A. 12−B. 13−C. 12−或13−D. 1−或13−【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可.【详解】()2213y x a x =+−−，则图像开口向上，对称轴为直线122ax −=. 当1212a −≤时，即12a ≥−，3x =时有最大值1,即9(21)331a +−×−=，解得13a =−； 当1212a−≥时，即12a ≤−，=1x −时有最大值1,即1(21)(1)31a +−×−−=，得1a =−； 故1a =−或13a =−.故选：D ．4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤ D. {2λλ≤−或}2λ≥【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得p ¬为真命题，再参变分离求解即可．【详解】由题意，p 为假命题，故p ¬为真命题，故()20,,10x x x λ∀∈+∞−+≥﹐故()10,,x x xλ∀∈+∞≤+，又当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 所以λ的取值范围是{}2|λλ≤ 故选：A ．5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−【答案】C 【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x=≥， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ， 当0a =时，集合{}100B xx x x=≥=>，满足题意；当>0a 时，集合110Bx a x x x a=≥=<≤ ，此时需满足11a ≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ∞∞ =≥=−∪+，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1−∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.6. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算法则可求得12nn n a a +=，即可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由1lg lg lg 2n n n a a ++=可得1lg lg 2nn n a a +=， 即12nn n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=； 即356413242a a a a a a a a =⋅==⋅⋅==， 由11a =可得22a =，因此数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以()()91239139248S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()54112212611212×−×−=+=−−.故选：B7. 已知函数(1)y f x =+R 上的偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =【答案】D 【解析】【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，可知()f x 对称轴为1x =，又2()31)(f x f x ++−=可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()f x 关于1x =对称，则(1)(1)f x f x −=+，又2()31)(f x f x ++−=，所以2(1)3)(f f x x +++=，即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=−++=−++=， 函数()f x 的周期为4，取0x =，则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===， 所以()()401f f ==，则D 选项正确，B 、C 选项错误；由已知条件不能确定()1f 的值，A 选项错误； 故选：D. 8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e【答案】A 【解析】【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到1a =，再代入得12ln x x =，化简得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数()21ln (0)th t t t+=>，利用导数求解其最大值即可. 【详解】依题意，()()2e x f x x ′=+，可知<2x −时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；2x >−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则2x =−时，()f x 取得极小值()212ef −=−，也即为最小值； 又()1ln 1,0ea g x x a x −−′=++<<时，()0g x ′<，此时()f x 单调递减；1e a x −−>时，()0g x ′>，此时()f x 单调递增；则1e a x −−=时，()g x 取得极小值()11e ea a g −−−−=−，也即为()g x 最小值.由121e ea −−−=−，解得1a =. 因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >−>，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1t t tt x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln t h t t −−=′，当()120e ,0t h t −<′<>，此时()f x 单调递增； 当()12e ,0t h t −>′<，此时()f x 单调递减；故12e t −=时，()h t 取极大值12ee 2h − = ，也即为最大值.故选：A .【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出1a =，再代入减少变量得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上单调递增函数 【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =即可判断B 错误，对选项C ，令()0xxf x a a−==−求解即可判断C 正确，对选项D ，根据指数函数单调性即可判断D 正确.【详解】函数()1xx x x f x a a a a − =−=−， 对选项A ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，()()xxf x a a f x −−=−=−， 所以函数()f x 是奇函数，故A 正确. 对选项B ，()000f a a ==−，故B 错误.对选项C ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，令()0xxf x a a−==−，解得0x =，为故C 正确.对选项D ，当1a >时，101a <<，所以x y a =和1xy a=−在R 上为增函数，所以函数()1xxf x a a=−在R 上为单调递增函数，故D 正确.故选：ACD10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，结合已知可得()0g x ′>，即可判断A ；将已知条件化为2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，再令()e ()x h x xf x =−并应用导数研究单调性得()(1)e (1)h x h f ≥=−，进而判断B 、C 、D.【详解】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，则e ()()()0xg x f x xf x x′′=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则(π)(e)π(π)e π((e π)(e))e f g f f g f >>⇒>⇒，A 对； 由题设2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞， 令()e ()x h x xf x =−，则1()e ()()e (1)x xh x f x xf x x′′=−−=−， 当01x <<时()0h x ′<，即()h x 递减；当1x >时()0h x ′>，即()h x 递增；所以()(1)e (1)h x h f ≥=−， 若2e (2)2f =，则2(2)e 2(2)0(1)h f h =−=>，所以(1,2)上2()()0h x f x x′=<，()f x 递减；(2,)+∞上2()()0h x f x x ′=>，()f x 递增； 故2x =为()f x 的极值点，B 对；若(1)e f =，则()0h x ≥，即()0f x ′≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，故1x =不是()f x 的极值点，C 错； 若(1)e f <，则()0h x >，即()0f x ′>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 对. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B 、C 、D ，由2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，并构造()e ()x h x xf x =−且应用导数研究其单调性和极值为关键.11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C. ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得到n a ，1n a +的关系式，选项A ，将式子变形，可判断数列{}n a 的增减性；选项B ，利用递推关系式得到1n a −与11n a +−同号，结合112a =即可判断；选项C ，将式子变形，利用B 中的结论即可判断；选项D ，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和，然后结合递推关系式即可求解． 【详解】由题意知211n n n a a a +=−+， 选项A ：所以()2110n n n a a a +−=−≥，故1n n a a +≥，若存在1n n a a +=，则有()2110n n n a a a +−=−=，即存在1n a =，当1n =时，11a =，与112a =矛盾， 当2n ≥时，由211n n n a a a +=−+得2111n n n a a a −−=−+，若1n a =，有2110n n a a −−−=，则10n a −=或11n a −=，若10n a −=与112a =且1n n a a +≥矛盾；若1n a =时有11n a −=，递推可得11a =，与112a =矛盾， 综上，不存在1n n a a +=，所以1n n a a +>，故数列{}n a 递增，故A 正确． 选项B ：数列{}n a 递增，112a =，故12n a ≥，故()2111n n n n n a a a a a +=−−=−，所以1n a −与11n a +−同号， 因11102a −=−<，所以10n a −<，即1n a <． 综上，112n a ≤<，故B 正确． 选项C ：由选项B 知112n a ≤<，所以()()2211212112312102n n n n n n n n n a a a a a a a a a +−−=−+−−=−+=−−≤ ，即()1112n n a a +≤+，故C 错误．选项D ：由题意，2n n S T −可视为数列{}22n n a a −的前n 项和，因为2121n n n n a a a a +−=+−， 所以()()()12231112111n n n n n S T a a a a a a n a a ++−=+−++−+++−=+− ， 又{}n a 递增，所以110n a a +−<，故112n n n S T n a a n +−=+−<，即()12n n S T n <+，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】思路点睛：选项中的不等式，要通过已知条件进行构造，如C 选项需要构造121n n a a +−−的形式，并判断121n n a a +−−的符号；D 选项则需构造2n n S T −，比较2n n S T −与n 的大小关系，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和是解题关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 【答案】1200 【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解.【详解】因为n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且30S ≠，为可知3S ，63S S −，96S S −，129S S −也成等比数列， 又因为330S =,6120S =，则6333S S S −=， 可得296303270S S −=×=，3129303810S S −=×=，所以96270390S S =+=，1298101200S S =+=. 故答案为：1200.13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式21m m −<，解出即可.【详解】因为0,0x y >>且3x y +=，则()14x y ++= 则()11111111214141y x x y x y x y x y+ +=+++=++ +++1214≥×+= ， 当且仅当11y x x y+=+，即1,2x y ==时，等号成立， 因为不等式2111m m x y +>−+恒成立，则21m m −<m <<， 所以实数m的取值范围为.故答案为：.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】()(),42e,−∞−+∞ 【解析】【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m−<<，解得答案. 【详解】当0x ≥时，()exx f x =，()1e x xf x =′−， 当[)0,1x ∈时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x ′≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =， 当0x <时， ()11e 2x f x +=−−，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位， 再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到， 画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =−，当0m =时，()2g x =−，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =−=，即()2f x m =， 函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m−<<，解得2e m >或4m <− 故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞−−∪+. 故答案为：()(),42e,∞∞−−∪+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想.需要熟练掌握.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30e e x y −−=（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为()()1e x f x x =+，则()()()1e e 2e x x x f x x x =++=+′，可得()12e f =，()13e f ′=，即切点坐标为()1,2e ，斜率3e k =，所以切线方程为()2e3e 1y x −=−，即30e e x y −−=. 【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ， 由（1）可知：()()2e xf x x +′=，令()0f x ′>，解得2x >−；令()0f x ′<，解得<2x −；所以函数()f x 的单调递减区间为(),2∞−−，单调递增区间为()2,∞−+，且函数()f x 的极小值为()212e f −=−，无极大值. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 【答案】（1）213na n =−（2）111−【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】因为212nn S n =−， 当1n =时，1111a S ==−； 当2n ≥时，()()()122111221321n nn n n a S S n n n − ==−−−−=−−−；经检验：111a =−满足213n a n =−，所以213na n =−. 【小问2详解】由（1）得：()()1111112132112213211n n n b a a n n n n +===×− −−−−， 所以11111111111112119979112111111T =−+−++−=−−=−−−−− . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21na n =− （2）()1133n n S n +=−⋅+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式列式解出1,a d ，即可得到答案； （2）由条件可得()()11233n n n n n b +−⋅−−⋅=，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，的则()1214561243427a a a d a a a a d +=+= ++=+= ，解得112a d = = ，所以()12121n a n n =+−=−. 【小问2详解】由（1）可知：()()()121333123nn n n nn n n b n a +=−⋅=−⋅−−⋅=⋅，则()()()()343110313023133331213n n n n n n S n ++=−−+×−+×−×+⋅⋅⋅−⋅−−⋅=−⋅++，所以()1133n n S n +=−⋅+.18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−.【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数求原函数的单调性；（2）根据题意利用导数分析原函数单调性和最值可得ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，()()12ln 21g x g ≤=−，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e ′=−x f x a ， 若0a ≤，则()e 0x f x a ′=−>对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，令()0f x ′>，解得ln x a >；令()0f x ′<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增； 综上所述：若0a ≤，()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增. 【小问2详解】若e a =，则()e e xf x x =−，由（1）可知：()f x 在(),1∞−内单调递减，在()1,∞+内单调递增，所以()()10f x f ≥=，即e e 0x x −≥当且仅当1x =时，等号成立， 因为()()0,e ,0,a x ∞∈∈+，则ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，即()0f x >；因为()2ln(1)g x x x =+−，则()21111xg x x x −=−=′++， 且0x >，令()0g x ′>，解得01x <<；令()0g x ′<，解得1x >； 可知()f x 在()1,∞+内单调递减，在()0,1内单调递增， 可得()()12ln 21g x g ≤=−，即()12ln 2g x −≥−； 所以FF (xx )=ff (xx )−gg (xx )>1−2ln 2. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos ,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）证明见详解 （2）(]0,2 （3）m b m =【解析】【分析】（1）令()()()π,0,4F x f x g x x=−∈，求导，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0F x >； （3）利用（1）中结论，cosπ2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =−<<+∑，可得m b m =.【小问1详解】令()()()2πsin 2sin,0,24ax F x f x g x ax x x =−=−∈， 若2a =，则()()22sin 2sin 2sin sin F x x x x x x x =−=−， 又因为π04x <<，2sin 0x >． 设()sin h x x x =−，π04x <<， 则ℎ′(xx )=1−cos xx >0，可知()h 在π0,4上单调递增， 可得()()00h x h >=， 即()0F x >，所以()()f x g x >. 【小问2详解】 因为()22sin1cos 22axg x ax ==−， 由（1）可知：()sin cos 1F x ax x ax +−，π04x <<， 原题意等价于()0F x >对任意π0,4x∈恒成立， 则()()sin cos sin Fx a x x x ax −′=+， 当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，则sin sin2ax x ≤， 可得()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos F x a x x x x a x x x x x ′ ≥+−=−+− ，由（1）得sin 0x x −>，则()0F x ′>，可知()F x 在π0,4上单调递增，则()()00F x F >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin x F x a x x x ax ϕ==+−′，π04x <<， 则()()()222cos sin cos 2cos cos x a x x x a ax a a ax a ax a ϕ =−−<−=−′， 因为201a <<，可知存在0,2a πθ ∈ ，使得2cos a a θ=， 当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220x a a a ϕ < ′−=， 可知()x ϕ在()0,θ上单调递减，则()()00x ϕϕ<=， 即()0F x ′<在()0,θ上恒成立，可知()F x 在()0,θ上单调递减，则()()00F F θ<=，不合题意； 综上所述：a 的取值范围为(]0,2．所以a 的取值范围为(]0,2.【小问3详解】由（1）可知2a =时，cos212sin 12x x x x >−>−，则cos π2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)=π�1kk −1kk+1�， 1n =时，()1πcos21n kk k ==+∑； 2n =时，()1πcos21n k k k =+∑ 3n ≥时，∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)≥√22+√6+√24+nn −2−π2�13−1nn+1�>nn −2+3√2+√6π， √2√6�2−202√12184>0，则√2√6�2>202，即200−>，π411066−>−−=>π16>， 得∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)>nn −2+3√2+√64−π6>nn −1，又()1πcos21n k n k k =<+∑， 1n =时，01<<，2n =时，12<<， 所以N n ∗∈时，都有()1π1cos 21n k n n k k =−<<+∑， ()*1πcos ,21n n n k A a a n k k = ==∈ +∑N ，则N n ∗∈时，集合A 在每个区间()1,n n −都有且只有一个元素， 对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b， 由2m m m −=，所以m b m =.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
浙江省台州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案
台州市2023学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学（答案在最后）2024.6一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}3x x ≤ B.{}2,3 C.{}2,3,4,5 D.{}345x x x x ≤==或或【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解.【详解】因为集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B.2.复数z 及其共轭复数z 满足232i z z +=+（其中i 是虚数单位），则z =（）A.23i 3-+B.23i 3--C.12i+ D.12i-【答案】D 【解析】【分析】设出复数z 的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出z 即可.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，由232i z z +=+，得i 2(i)32i a b a b ++-=+，即3i 32i a b -=+，因此1,2a b ==-，所以12z i =-.故选：D3.已知向量()1,a x = ，(),4b x = ，x ∈R ．若()//a b b +，则x =（）A.2B.2或2-C.4- D.4-或1-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示式列出方程，求解即得.【详解】因()1,a x =，(),4b x = ，则(1,4)a b x x +=++ ，由()//a b b +可得，(4)4(1)x x x +=+，解得，2x =或2-.故选：B.4.已知a ，b 为正实数，22411a b +=，则（）A.ab 的最小值为4B.ab 的最大值为4C.ab 的最小值为2D.ab 的最大值为2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得.【详解】因a ，b 为正实数，由22411a b +=可得22412412a b ab ab =+≥⨯=，即得4ab ≥，当且仅当21a b=时取等号，即a b ==时，ab 的最小值为4.故选：A.5.设定义在R 上的函数()sin2f x x =．记()()1f x f x =，对任意的*n ∈N ，()()1n n f x f x +'⎡⎤=⎣⎦，则()2024f x =（）A.sin2xB.cos2x- C.20232cos2x- D.20242sin2x【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的求导法则可得对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-，代入计算，即可求解.【详解】由题意可得，()1sin2f x x =，()()2sin 22cos 2f x x x '==，()()232cos 22sin 2f x x x '==-，()()2342sin 22cos 2f x x x =-=-，()()3452cos 22sin 2f x x x '=-=，通过以上可以看出()n f x 满足以下规律：①对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-；②对于*n ∈N ，若n 除4余1，则()12sin 2n n f x x -=，③对于*n ∈N ，若n 除4余2，则()12cos 2n n f x x -=，④对于*n ∈N ，若n 除4余3，则()12sin 2n n f x x -=-，则()()2023202450642cos 2f x f x x⨯==-.故选：C6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C 【解析】【分析】分两种情况，甲、乙两人站前排和甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分类加法原理可求解.【详解】分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有2323A A 12⋅=种排法，当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有2122322A A A 24⋅⋅=种排法，综上，共有122436+=种排法.故选：C7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5．他对题目若有思路，做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25．在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为（）A.716B.12C.916D.58【答案】D 【解析】【分析】首先利用全概率公式求做1题且作对的概率，再结合二项分布概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 为张君对1题有思路，A 表示张君对1题没有思路，事件B 表示做对，则()()()()()0.50.750.50.250.5P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=，所以2题恰有1题作对的概率为12C 0.50.50.5⨯⨯=，则2题中作对1题，且只有1题有思路的概率()12C 0.50.750.50.750.50.250.50.250.3125P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为0.312550.6250.58==.故选：D8.设323210()f x a x a x a x a =+++（1023,,,a a a a ∈R 且30a ≠），方程()0f x =在复数集C 内的三个根为123,,x x x ，可以将上述方程变形为3123()()()0a x x x x x x ---=，展开得到2312331223333131230()()x x x x x a x a x x x a x a x x x x x -+-+++=+，比较该方程与方程()0f x =，可以得到011223311233321233,,a x a ax x x x x a x x x x x x a a ++=+=--+=．已知(i)1i f =+（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan αβγ是()0f x =的三个实根，则tan()αβγ++=（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由(i)1i f =+结合复数相等得02131,1a a a a -=-=，再借助复数根的定义，结合和角的正切公式计算即得.【详解】依题意，3232101i i i i a a a a ++=++，即0213()i 1(i )a a a a --=++，而0123,,,a a a a ∈R 且30a ≠，则02131,1a a a a -=-=，23tan tan tan a a αβγ++=-，13tan tan tan tan tan tan a a αββγγα++=，03tan tan tan a a αβγ=-，所以tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()tan tan 1tan()tan 1tan 1tan tan αβγαβγαβαβγαβαβγγαβ++++-++==+-+⋅-⋅-0233021313tan tan tan tan tan tan tan tan tan t 1an tan t )1(a 1n a a a a a a a a a a αβγαβγαββγγα-+-=+===---++-+-.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知结合复数相等求得02131,1a a a a -=-=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()29D X =B.若随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则()()731P X P X >+≥=C.当事件A ，B ，C 两两独立时，()()()()P ABC P A P B P C =D.当事件A ，B ，C 两两互斥时，()()()()P A B C P A P B P C ++=++【答案】BD 【解析】【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A ；根据正态分布得对称性，从而可判断B ；根据独立事件乘积公式结合具体事件说明即可判断C ；根据互斥事件和概率公式计算，即可判断D ．【详解】对于A ，由随机变量X 服从二项分布1(5,)3B ，得1110()51339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则对称轴为5X =，()()73P X P X >=<，所以()()731P X P X >+≥=，故B 正确；对于C ，三个事件A ，B ，C 两两独立能推出()()()P AB P A P B =，且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，比如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2．事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以()()()()()()()11,24P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======，满足()()()P AB P A P B =．且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，故选项C 错误；当事件A ，B ，C 两两互斥时，则,A B C +互斥则()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ++=++=++,D 选项正确；故选：BD.10.关于函数()3f x x =的图象的切线，下列说法正确的是（）A.在点()1,1A 处的切线方程为32y x =-B.经过点()1,1A 的切线方程为32y x =-C.切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点D.在点()311,P x x 处的切线过点()()30001,Q x x xx ≠，则012x x =-【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A 、C 、D ，设切点为()322,x x ，表示出切线方程，求出2x ，即可判断B.【详解】由()3f x x =得()23f x x '=，对于A ：由()13f '=，所以函数在点()1,1A 处的切线方程为()131y x -=-，即32y x =-，故A 正确；对于B ：设切点为()322,x x ，所以()2223f x x '=，所以切线方程为()322223y x x x x -=-，又切线过点()1,1A ，所以()32222131x x x -=-，解得21x =或212x =-，所以过点()1,1A 的切线方程为32y x =-或3410x y -+=，故B 错误；对于C 、D ：()2113f x x ='，则在点()311,P x x 的切线方程为()321113y x x x x -=-，则()013203113x x x x x -=-，即()()()1222001100113x xx x x x x x x -++=-，因为10x x ≠，则122200113x x x x x ++=，即12201020x x x x +-=，即()()101020x x xx +-=，所以012x x =-，又()00f '=，当0x ≠时()230f x x '=>，又点()()3001,Q x x xx ≠在函数()3f x x =上，且与点()311,P x x 相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），对于切线():0l y kx b k =+≠，则切点不是坐标原点，所以切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点，故C 、D 正确.故选：ACD11.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为定值．若ABC △的面积212S a =，则（）A.tan A 的最大值为43B.22b c +的最小值为22aC.ABC △周长的最小值为)1a+D.b c的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得到sin a b C =，2sin a bc A =，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 利用利用余弦定理、同角三角函数关系式和基本不等式计算判断各个选项；【详解】211sin ,sin ,22S a ab C a b C ==∴= 211sin 22S a bc A == ，2sin a bc A ∴=，∴2sin sin sin sin ,sin sin sin A B A C A B C ==，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 对于A ，根据余弦定理2222222cos ,2cos a b c bc A b c a bc A =+-∴+=+，2sin a bc A = ，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，22sin 2cos bc A bc A b c bc bc++∴=，22sin 2cos 2b c b cA A bc c b ++==+≥，当b c c b =时，即b c =时，等号成立，2cos 2sin ,sin (0,1],cos 0A A A A ≥-∈∴>所以两边平方可得()222224cos 2sin 44sin sin ,sin cos 1,A A A A A A ≥-=-++= 2244sin 44sin sin ,A A A -≥-+244sin 5sin 0,sin 0,sin ,5A A A A ∴-+≤≠∴≤ 3sin cos [,1),tan 5cos AA A A ∴∈=,所以tan A 的最大值为43，故A 正确.对于B ，22222sin a b c bc A+≥=,当b c =时，等号成立，由A 可知4sin ,5A ≤，所以222225sin 2a abc A +≥=，则22b c +的最小值为252a ，故B 错误；对于C ，ABC △周长为,2a b c b c +++≥== ，当b c =时，等号成立，4sin ,5A ≤ ，b c ∴+≥所以ABC △周长的最小值为)1a +，故C 正确；对于D ，22525sin 2cos (sin 2cos ))(cos ,sin 55b c bc A bc A bc A A bc A ∴+=+=+≤+ϕϕ=ϕ=sin()(1,1)A +ϕ∈- 22b c ∴+两边同时除以2c ，2222110b b c c +≤∴≤，计算可得bc 的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.【点睛】解三角形中求最值方法1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解；2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值；3.角的范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解；4.面积的范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x y +的展开式中32x y 的系数是______（用数字作答）·【答案】40【解析】【分析】二项式定理展开式中的特定项的系数问题，只需按照二项式定理展开即可.【详解】根据二项式定理，含有32x y 的项为2323235C (2)40T x y x y ==.故答案为：40.13.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 3αβ-=，1cos cos 4αβ=，则()tan αβ-=______，()cos αβ+=______．【答案】①.②.16【解析】【分析】利用题设等式先求出tan tan 3αβ-=，再由()sin αβ-求出cos()αβ-，继而求得sin sin αβ和tan tan αβ⋅，最后分别代入和角公式与差角公式计算即得.【详解】由()sin 3αβ-=可得，sin cos cos sin 3αβαβ-=两边分别除以1cos cos 4αβ=的左式和右式，tan tan 3αβ-=.因π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故1cos()3αβ-==，展开得，1cos cos sin sin 3αβαβ+=，因1cos cos 4αβ=，代入得，1sin sin 12αβ=，两式相除得，1tan tan 3αβ⋅=，于是，()tan tan 3tan 11tan tan 13αβαβαβ--===+⋅+，()111cos cos cos sin sin 4126αβαβαβ+=-=-=.故答案为：16.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形11ADD A 的中心，直线l ⊂底面ABCD ，则二面角1A l P --的平面角的正弦值的最大值是______．【答案】22【解析】【分析】利用空间向量方法计算该二面角的余弦值的平方，然后相应证明21cos 2θ≥，即可得到sin 2θ≤，最后给出取到等号的例子即可.【详解】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，以A 为原点，1,,AB AD AA分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则平面ABCD 即为由x 轴和y 轴确定的平面，()10,0,2A ，()0,1,1P .设与l 同向的一个非零向量是(),,0u v α=，()00,,0M x y 是原点A 在l 上的投影，则由于向量(),,0v u β=- 与α垂直且可落入平面ABCD 内，故存在实数t 使得AM t β= ，即()()00,,0,,0x y vt ut =-.设()1,,n a b c = 和()2,,n p q r =分别是l 与()10,0,2A 确定的平面和l 与()0,1,1P 确定的平面的一个法向量.则1112200n n A M n n PM αα⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，故()00002010ua vb x a y b c up vq x p y q r +=+-=⎧⎨+=+--=⎩.解得12,n n的一个可能的取值是()1002,2,n v u x v y u =-- ，()()200,,1n v u x v y u =--- .由于()()00,,0,,0x y vt ut =-，故()()2212,2,n v u u v t =--+ ，()()222,,n v u u u v t =--+ .记二面角1A l P --的值为θ，则()()()()()()()()()222222222212222222222222222221222cos 4422u v u v t u u v t n n n n u v u v t u v u v t u u v tθ+++-+⋅==⋅+++⋅+++-+ .一方面，由于()()()()()()()()222222222222222222222222224422u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t+++-+-+++⋅+++-+()()()()()()()422222422222222222222222222422422u v t u u v t u v u v u v t u v u u v t=++++++++-++()()()()()()222222222222224442442u v t u u v t u v uv u v u u v t-+⋅+-++++⋅+()()()()()()223422222222222232242442u v u v t u v u v t u u v t u v t -++-++++-+()()()()()()()432222422322222222222243842u v t u u v t u v u v t u v u v uv =+-++++++-++()()()()()2232222222222234u v t uuvtu vtv u v =+-+++++0≥，故()()()()()()()()2222222222222222222222222244220u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t +++-+-+++⋅+++-+≥，从而()()()()()()()()222222222222222222222222221cos 24422u v u v t u u v t u v u v t u v u v t u u v t θ+++-+=≥+++⋅+++-+.故2211sin 1cos 122θθ=-≤-=，从而sin 2θ≤.另一方面，当l 为直线AB 时，由于AB 垂直于平面11ADD A ，1,AA AP 在平面11ADD A 内，故1AB AA ⊥，AB AP ⊥.所以二面角1A l P --的大小等于1A AP ∠，即1sin sin sin 452A AP θ=∠=︒=.综上，二面角1A l P --的正弦值的最大值是2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用空间向量方法计算二面角的余弦值，再用代数变形求正弦值的最大值.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭，x ∈R ．给出如下三组条件：①函数()f x 的最小正周期为π，且当5π12x =时，()f x 取到最大值；②函数()f x 的单调递减区间是()7ππ,π1212πk k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；③1x ，2x 是方程()1f x =的两个根，12x x -的最小值为π3，且6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0π2263x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求05π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）149.【解析】【分析】(1)利用周期计算ω，利用代点法计算ϕ即可;(2)代入找到角的关系即可.【小问1详解】若选择①：由题知2ππT ω==，故2ω=．当5π12x =时，5ππ22π122k ϕ⨯-=+，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若选择②：由单调区间可知周期为π，故2ππT ω==，故2ω=．由题意知当π12x =-时，()f x 取最小值，即ππ22π122k ϕ⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若选择③：令()1f x =，即()2sin 1x ωϕ-=，易知，()()12π5π2π2π2π663x x k k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫---≥+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()21min2π3x x ω-=，又12x x -的最小值为π3，故2ω=．由6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，则π2π6k ϕ⨯-=，k ∈Z ，故ππ3k ϕ=-，又0πϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由00π22sin 263x f x ⎛⎫+==⎪⎝⎭，得01sin 3x =．故()200005ππ142sin 22cos2212sin 1229f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16.已知函数()1f x x a x a=-+-为偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式()f x bx ≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）0a =．（2）[]1,1-．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义域关于原点对称即可求得a 的值；（2）根据函数定义域分段讨论，化简不等式，利用不等式恒成立即得参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}x x a ≠，由()f x 是偶函数，知其定义域关于原点对称，故0a =；当0a =时，()1f x x x=+为偶函数.所以0a =．【小问2详解】由（1）知，()1f x x x=+，则()f x bx ≥恒成立即1x bx x+≥（*）恒成立．①当0x >时，（*）式恒成立等价于1x bx x+≥恒成立，即211b x≤+恒成立，因210x >，故1b ≤；②当0x <时，（*）式恒成立等价于1x bx x--≥恒成立，即211b x ≥--恒成立，因210x-<，故1b ≥-．综上可得，b 的取值范围是[]1,1-．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BB ==，BC =．D ，E 分别是棱1AC CC 、的中点，点F 在线段1A E 上．（1）若12A F FE =，求证：//AF 平面BDE ；（2）若三棱锥F ABD -的体积为32，求直线BF 与平面11AA C C 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）13．【解析】【分析】（1）先证明11AA F C EF ∽△△得A ，F ，1C 三点共线，再证AF DE ∥即得；（2）过点B 作BH AC ⊥,证BH ⊥平面11AA C C ，可得BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角，利用体积求出点F 到平面ABC 的距离h ，证32DF h ==，继而求出,BH HF 即得.【小问1详解】连接1C F ,在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ∥，所以11AA F C EF ∠=∠．又因为112AA C E =，12A F FE =，所以11AA F C EF ∽△△，故11AFA C FE ∠=∠，即A ，F ，1C 三点共线．因点D ，E 分别是棱AC 、1CC 的中点，故AF DE ∥，又DE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE ．【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥，垂足为点H ，连接FH ，FB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BH ⊂平面，所以1AA BH ⊥，又BH AC ⊥，1AA AC A = ，所以BH ⊥平面11AA C C ．故FH 是斜线FB 在平面11AA C C 上的射影，所以BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角．记点F到平面ABC的距离为h，11112332232F ABD ABDV S h-==⨯⨯⨯⨯==△，得32h=．因1322AA CE h+==,故得F为1A E的中点，即32DF h==．在Rt ABC中，因2,AB BC==,则60BAC∠= ,于是，sin60BH AB=︒=，cos601AH AB=︒=，1HD AD AH=-=．求得2HF==，故239tan13BHBFHHF∠==．所以直线BF与平面11AA C C．18.已知函数()()()Rlnxf x ax a=∈+．（1）当0a=时，求函数()f x的单调区间；（2）当1a=时，证明：()112f x x<+；（3）若()f x既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是()e,+∞，函数()f x的单调递减区间是()0,1，()1,e．（2）证明见解析（3）01a<<【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；（2）不等式转化为()11ln12x xx<++，构造函数()()2ln12xh x xx=+-+，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论；（3）设t x a=+，令()lnt ag tt-=，则转化为()g t既有极大值又有极小值，则()2lnlnt attg tt-'-=，令()ln ln1t a as t t tt t-=-=+-，然后对函数求导后，分0a≤，1a=，1a>，01a<<四种情况讨论即可得答案.【小问1详解】当0a=时，()lnxf xx=，函数()f x的定义域为()()0,11,+∞，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得e x >；令()0f x '<，解得01x <<或1e x <<，故函数()f x 的单调递增区间是()e,+∞，函数()f x 的单调递减区间是()0,1，()1,e ．【小问2详解】当1a =时，()()ln 1xf x x =+，函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，不等式()112f x x <+就是不等式()11ln 12x x x <++（*），当10x -<<时，（*）式等价于()2ln 12xx x +<+；当0x >时，（*）式等价于()2ln 12xx x +>+．设()()2ln 12x h x x x =+-+，()()()()2221401212x h x x x x x =-=++'>++，故()h x 在()1,-+∞上单调递增，故当10x -<<时，()()00h x h <=，即()2ln 12xx x +<+，当0x >时，()()00h x h >=，即()2ln 12xx x +>+．所以原式成立．【小问3详解】设t x a =+，令()ln t ag t t-=，()f x 既有极大值又有极小值等价于()g t 既有极大值又有极小值．()2ln ln t at t g t t-'-=，记()ln ln 1t a as t t t t t-=-=+-．()221a t a s t t t t='-=-，①当0a ≤时，有()0s t ¢³，则()s t 在()()0,11,+∞ 上单调递增，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上至多有1个零点，不合题意；②当1a =时，()s t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()10s =，故()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；③当1a >时，()s t 在()()0,11,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，又()110s a =->，()ln 0s a a =>，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；④当01a <<时，()s t 在()0,a 上单调递减，在[)(),11,a +∞ 上单调递增，且有()e lne 10e ea as =+-=>，()110s a =-<，()ln 0s a a =<，2221122122e e 1112a as a a a a a a--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-≥+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦（这里用不等式：当0x ≥时，2e 12xx x ≥++）244221022a aa a a ⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭．下面证明当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，令2()e 1(0)2xx x x x ϕ=---≥，则()e 1x x x ϕ'=--，令()()e 1x t x x x ϕ'==--，则()e 10(0)x t x x '=-≥≥，所以()()e 1x t x x x ϕ'==--在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0''≥=x ϕϕ，所以()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)x ϕϕ≥，所以当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，所以()()e 10s s ⋅<，()21e 0a s a s -⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又因为函数()s t 的图象分别在区间()0,1，()1,+∞上连续，所以函数()s t 在21e ,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内各有1个零点，分别记为1t 和2t ，故1t 、2t 分别为函数()g t 的极大值点、极小值点．即()f x 既有极大值又有极小值．综上，当01a <<时，()f x 既有极大值又有极小值．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数极值问题，第（3）问解题的关键是换元后将问题转化为()ln t ag t t-=既有极大值又有极小值，然后两次求导后分情况讨论，考查计算能力和数学转化的思想及分类讨论思想，属于难题.19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1，反面朝上记作0，记录结果得到一串由0和1构成的序列.在序列中规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1相连的排列称为由1构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13个游程，其中由0构成的游程有7个，分别是000，0，0000，0，00，00，000；由1构成的游程有6个，分别是11111，1，11，111，1，11.（1）由2个0和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；（2）由m 个0和n 个1随机构成的序列，记作123m n a a a a +⋅⋅⋅.记事件{}111A a ==，{}10,1k k k A a a -===，2k =，3，…，m n +.（i ）求()1P A ，()2P A ；（ii ）求游程个数的期望.【答案】（1）分布列见解析，175（2）（i ）()1n P A m n =+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）21mn m n++．【解析】【分析】（1）由已知{}2,3,4,5X ∈，分别求出()2P X =，()3P X =，()4P X =，()5P X =，即可列出分布列，求出期望；（2）（i ）由古典概型可得()1n P A m n=+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）由（i ）可知()()()12C C 1n m n k n m n mn P A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，设设1游程个数为Y ，设0游程个数为Z ，则由期望的性质可得()()1m n k k E Y P A +==∑，进而可得()n mn E Y m n +=+，类似可得()m mnE Z m n+=+，则得两类游程数目的数学期望为()21mnE Y Z m n+=++.【小问1详解】设X 表示游程的个数，则{}2,3,4,5X ∈，由2个0和3个1在排列时，共有25C 10=种排列，当2X =时，有2种排列：11100、00111，所以()212105P X ===；当3X =时，有3种排列：10011、11001、01110，所以()3310P X ==；当4X =时，有4种排列：10110、11010、01011、01101，所以()424105P X ===；当5X =时，只有一种排列：10101，所以()215105P X ===.故X 的分布列为：X 2345P1531025110期望为()13211723455105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）()111C C n m n n m n n P A m n -+-+==+，()()()122C C 1n m n n m n mn P A m n m n -+-+==++-.（ii ）可知当随机事件k A 发生时，k a 就是一个1游程的开始，此时令1,0,k k A k A I A ⎧=⎨⎩发生不发生，设1游程个数为Y ，则1km n A k Y I+==∑，由（i ）可知()111C C n m n n m n n P A m n-+-+==+，()()()12C C 1n m n k n m n mnP A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，由期望的性质可知，()()()111kk m nm nm nA A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()()21m nk n mn n mn m n m n m n m n+=+=+=+++-+∑，设0游程个数为Z ，类似可得()m mnE Z m n+=+，因此两类游程数目的数学期望为()221m n mn mnE Y Z m n m n+++==+++.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是（2）（ii ）先令1,0,kk A kA I A ⎧=⎨⎩发生不发生，则1游程个数为1k m nA k Y I +==∑，再利用期望的性质，()()()111k k m nm n m n A A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，进而求得游程个数的期望.。
高二下学期期末考试数学试卷与答案解析(共四套)
高二下学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种B．12种C．24种D．64种3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．14.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A．B．C．3 D．46.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．7.已知x与y之间的几组数据如表：x 1 2 3 4y 1 m n 4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省邯郸市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学含答案
邯郸市2024高二第二学期期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列复数的实部大于虚部的是（）A.33i +B.35i +C.()i 35i + D.()i 35i -2.已知()f x 为奇函数，当3x >时，()273f x x x =--，则()4f -=（）A.-9 B.9C.-17D.173.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲､乙､丙3人站在一起的概率为（）A.118B.115C.130 D.1904.一质点沿着正东方向从点A 到达点,10cm B AB =，在点A 处测得点P 在其东北方向，在点B 处测得点P 在其北偏西15 方向，则PB =（）A. B.cm 3C.10cmD.5.若正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，且112,6AB A B ==，则该正六棱台的体积为（）A .B. C. D.6.已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆22:(4)1C x y -+=的切线，若切线长为则点P 到M 的准线的距离为（）A.7B.6C.5D.7.在边长为2的正ABC 中，()(),0,1,,0,1AE AB AF AC λλμμ=∈=∈，点D 在线段BC 上，0,//DE AB DF AB ⋅=，则2||BE DF + 的最小值为（）A.1516B.1916C.2516D.55168.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用m x 表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m a b -，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．已知916161521431341215161616161616C 5C 5C 5C 5C 5C 52a =⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯- ，则（）A.()2024mod7a ≡B.()2025mod7a ≡C.()2026mod7a ≡D.()2027mod7a ≡二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos 2f x x x =-+，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 的最大值为3C.()f x 的图象关于点π,24⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 的图象关于直线π4x =-对称10.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<的离心率为2，焦点为12,F F ，则（）A.C 的短轴长为4B.C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥C.C 上存在点P ，使得12PF PF ⋅=D.C +=重合11.若函数()()()2log 1log 1(01)a a f x x x a +=-++<<在()1,+∞上单调递减，则a 的取值可以是（）A.0.39B.1- C.0.42 D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2{10},5140A x x B x x x =∈<=--<N∣∣，则A B ⋂中元素的个数为__________.13.已知一组数据1,2,2,5,5,6的第60百分位数为m ，随机变量X 的分布列为X2m14P0.30.60.1()D X =__________.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,4,ABCD AB PD ==，点E 在线段PD 上，PB //平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且1214a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列的前n 项和nS .16.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.（1）完成以下22⨯列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生女生合计（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为1：1），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.α0.050.010.001x α3.8416.63510.82817.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，且2, 4.PA AB BC AC Q ====为棱BP 上一点，且AQ BP ⊥.（1）求CQ 的长；（2）求二面角Q AC B --的余弦值.18.已知双曲线22Ω:1mx ny -=经过点((),4,1A B -.（1）求Ω的方程；（2）设直线():0l y kx b k =+≠经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点,M N ，点N 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PM 过定点.19.已知函数()44ln 8f x x x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()4ln g x f x x =-的图象在点()(),t g t 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值；（3）设()f x 的零点为12,x x ，比较12x x +与2的大小，并说明理由.邯郸市2024高二第二学期期末考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列复数的实部大于虚部的是（）A.33i +B.35i +C.()i 35i +D.()i 35i -【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法化简，根据虚部、实部概念得解.【详解】因为()()i 35i 53i,i 35i 53i +=-+-=+，所以这4个复数中只有()i 35i -的实部大于虚部.故选：D2.已知()f x 为奇函数，当3x >时，()273f x x x =--，则()4f -=（）A.-9 B.9C.-17D.17【答案】A 【解析】【分析】利用奇函数求解函数值即可.【详解】()()()441679f f -=-=--=-.故选：A.3.10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲､乙､丙3人站在一起的概率为（）A.118B.115C.130D.190【答案】B 【解析】【分析】先求出样本空间总数，再求出该事件所包含的基本事件数，根据古典概率模型求解即可.【详解】根据已知得样本空间总数为：1010A 种甲、乙、丙三人站在一起共有：3838A A ⋅种所以甲､乙､丙站在一起的概率为：3833831010A A A 1A 10915==⨯.故选：B.4.一质点沿着正东方向从点A 到达点,10cm B AB =，在点A 处测得点P 在其东北方向，在点B 处测得点P 在其北偏西15 方向，则PB =（）A.102cmB.106cm 3C.10cmD.56cm【答案】B 【解析】【分析】结合题意求出45,60PAB APB ∠=∠= ，然后利用正弦定理求解即可.【详解】如图，由题可知45,15,90451560PAB PBC APB ∠∠∠===-+= ，在ABP 中，由正弦定理可得sin sin AB PBAPB PAB∠∠=，则sin 106cmsin 3AB PAB PB APB ∠∠==.故选：B5.若正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，且112,6AB A B ==，则该正六棱台的体积为（）A.3B.843C.3D.1043【答案】D 【解析】【分析】根据棱台的体积公式计算可得答案.【详解】因为正六边形的中心到每个顶点的距离等于该正六边形的边长，且正六棱台111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱与底面所成的角为π4，所以该正六棱台的高()62tan454h =-=.依题意可得底面ABCDEF 的面积2126S =⨯=，底面111111A B C D E F 的面积22664S =⨯⨯=，所以该正六棱台的体积(143V =⨯⨯+=.故选：D.6.已知点P 在抛物线2:8M y x =上，过点P 作圆22:(4)1C x y -+=的切线，若切线长为则点P 到M 的准线的距离为（）A.7 B.6C.5D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合PQ 与圆相切，用勾股定理求出PC ，再用两点间距离公式，求出P 坐标，即可求出点P 到M 的准线的距离.【详解】如图所示，设切点为Q ,则||1,||26CQ PQ ==则2222||1(26)5PC CQ PQ =+=+=，设(),P x y 2222(4)(4)8165x y x x x -+=-+=+=，解得3x =±，因为280y x =≥，所以3x =.因为M 的准线方程为2x =-，所以点P 到M 的准线的距离PE 为()325--=.故选：C.7.在边长为2的正ABC 中，()(),0,1,,0,1AE AB AF AC λλμμ=∈=∈，点D 在线段BC 上，0,//DE AB DF AB ⋅=，则2||BE DF + 的最小值为（）A.1516B.1916C.2516D.5516【答案】A 【解析】【分析】设(02)BD x x =<<，根据条件得到2DF x =-，12BE x =，从而得到22715||416BE DF x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ ，即可求出结果.【详解】如图，依题意可得点E 在线段AB （不含端点）上，点F 在线段AC （不含端点）上，设(02)BD x x =<<，因为DE AB ⊥，则1cos ,22BE BD ABC x CD x ∠===-，因为//DF AB ，ABC 为正三角形，所以CDF 为正三角形，所以2DF CD x ==-，所以222217715||(2)422416BE DF x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，因为02x <<，所以当74x =时，2||BE DF + 取得最小值，且最小值为1516.故选：A.8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用m x 表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ∈∈Z N 且1m >，若()m a b -，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．已知916161521431341215161616161616C 5C 5C 5C 5C 5C 52a =⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯- ，则（）A.()2024mod7a ≡B.()2025mod7a ≡C.()2026mod7a ≡D.()2027mod7a ≡【答案】A 【解析】【分析】由二项式定理得到80801717178088888(142)3C 142C 142C 142C 1423a =+-=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ，得到()1mod7a ≡，结合2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，从而得到答案.【详解】由二项式定理，得0160115115151601616161616C 5(1)C 5(1)C 5(1)C 5(1)3a =⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯-- 161688(51)343163(142)3=--=-=-=+-0801717178088888C 142C 142C 142C 1423=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯- ,因为080171717888C 142C 142C 142⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ 能够被7整除，8088C 1423253⨯⨯-=被7除余1，所以()1mod7a ≡．因为2024除以7余1，2025除以7余2，2026除以7余3，2027除以7余4，所以()2024mod7a ≡．故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos 2f x x x =-+，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.()f x 的最大值为3C.()f x 的图象关于点π,24⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 的图象关于直线π4x =-对称【答案】ACD 【解析】【分析】利用辅助角公式结合三角函数的性质，逐项求解即可.【详解】()π24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为()2π,f x 的最大值为2+A 正确，B 错误；令π,4x =则()022,f x =+=则()f x 的图象关于点π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确；令π4x =-，则πsin 1,4x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()2,f x =+()f x 的图象关于直线π4x =-对称.，D 正确，故选：ACD.10.已知椭圆22:1(08)8x y C m m +=<<的离心率为2，焦点为12,F F ，则（）A.C 的短轴长为4B.C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥C.C 上存在点P ，使得12PF PF ⋅=D.C +=重合【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程及离心率求出m 判断A ，根据椭圆的对称性求出P 在短轴端点时12F PF ∠判断B ，计算数量积12PF PF ⋅的范围判断C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】依题意可得2=2m =，则C 的短轴长为=，A 错误；若P 为短轴上的端点，O为坐标原点，则1112π2ππtan ,332F PO F PO F PF ∠∠∠====>，所以C 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，B 正确；设()(()1,,P x y x F -≤≤，)2F ，则())[]22222123,,66244,2,C 44x x PF PF x y x y x y x ⋅=-⋅-=-+=-+-=-∈-正确；设(),P x y 为椭圆C上任意一点，因为122PF PF a +===，D 正确.故选：BCD11.若函数()()()2log 1log 1(01)a a f x x x a +=-++<<在()1,+∞上单调递减，则a 的取值可以是（）A.0.39B.1- C.0.42D.【答案】BC 【解析】【分析】求导()()()()()2ln ln 2ln 2ln 1ln ln 2x a a a a f x x a a ⎡⎤++++--⋅'⎣⎦=+，当01,1a x <<>时，()()21ln ln 20xa a -⋅+<，()f x 在()1,∞+上单调递减，只需要研究分子()()ln ln 2ln 2ln 0x a a a a ⎡⎤++++-≥⎣⎦对()1,x ∞∈+恒成立即可．令()()()ln ln 2ln 2ln g x x a a a a ⎡⎤=++++-⎣⎦，看作一次函数来解即可．【详解】()()()()()()()()2ln ln 2ln 2ln 111ln 1ln 21ln ln 2x a a a a f x x a x a x a a ⎡⎤++++-⎣⎦=+--⋅'=+++.当01,1a x <<>时，则()()21ln ln 20x a a -⋅+<，()f x 在()1,∞+上单调递减，所以()()ln ln 2ln 2ln 0x a a a a ⎡⎤++++-≥⎣⎦对()1,x ∞∈+恒成立．设()()()ln ln 2ln 2ln g x x a a a a ⎡⎤=++++-⎣⎦，则满足()()2ln ln 2ln 20a a a a ++=+≥且()()12ln 20g a =+≥即可，则2211201a a a a ⎧+≥⎪≤+⎨⎪<<⎩，即11101a a a a ⎧≥-≤⎪-≤⎨⎪<<⎩或即)1,1a ∈，结合选项BC 符合，故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2{10},5140A x x B x x x =∈<=--<N∣∣，则A B ⋂中元素的个数为__________.【答案】7【解析】【分析】先求出集合,A B ，再求A B ⋂，从而可得答案.【详解】因为{}{10}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x =∈<=N∣，{}{}{}25140(2)(7)027B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<∣所以{}0,1,2,3,4,5,6A B ⋂=，故A B ⋂中元素的个数为7.故答案为：713.已知一组数据1,2,2,5,5,6的第60百分位数为m ，随机变量X 的分布列为X2m14P0.30.60.1()D X =__________.【答案】10.8【解析】【分析】利用百分位数的定义求得m ，再利用期望与方差公式，结合X 的分布列即可得解.【详解】()660% 3.6,5,20.350.6140.15,m E X ⨯=∴=∴=⨯+⨯+⨯= ()222(25)0.3(55)0.6(145)0.110.8D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故答案为：10.8.14.在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面,4,ABCD AB PD ==，点E 在线段PD 上，PB //平面EAC ，则四面体ABCE 外接球的表面积为__________.【答案】34π【解析】【分析】先由线面平行推出线线平行，得到E 为PD 的中点，再由四面体的外接球的特征，通过Rt QOC 与直角梯形ODEQ 建立方程，求出OQ 长，继而求得外接球半径，代入公式即得.【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则平面PBD 平面ACE OE =，因PB //平面EAC ，故PB //OE ，易知O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点.设四面体ABCE 外接球的球心为Q ，则OQ ⊥平面ABC ，设OQ h =，则222OQ OC QE +=，所以2222(h h +=-+，解得22h =，故四面体ABCE 外接球半径为2==，故其表面积为24π)34π2⨯=.故答案为：34π.【点睛】思路点睛：本题解题思路是，先确定底面多边形的外接圆圆心，作出外接球球心的大致位置，利用球的截面性质建立直角三角形或直角梯形，列出方程即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且1214a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列的前n 项和nS .【答案】（1）24n nn a =（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用已知2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列可得答案；（2）利用错位相减可得答案.【小问1详解】设2n n a b n =，则12122211,14216a ab b ====，则2114b b =，所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为14，公比也为14的等比数列，所以214nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则24n n n a =；【小问2详解】2n n=，则212222n n nS =+++ ，则2311122222n n n S +=+++ ，所以两式相减可得23111111221111121,12222222212nn n n n n n n n n S S +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦-=++++-=-=-- 故222n n n S +=-.16.民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向.（1）完成以下22⨯列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生女生合计（2）若每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这600名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这400名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率.从甲地任选一名高三学生（男､女学生的比例为1：1），求这名学生对民航招飞有意向且通过前3项流程的概率.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.α0.050.010.001x α3.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，有关（2）5144【解析】【分析】（1）写出列联表，根据独立性检验即可求解；（2）求出每名报名学生通过前3项流程的概率，甲地高三男生对招飞有意向的概率，甲地高三女生对招飞有意向的概率，结合全概率公式即可求解.【小问1详解】列联表如下：对民航招飞有意向对民航招飞没有意向合计男生100500600女生100300400合计2008001000零假设为0H ：该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别无关联，因为21000200002000012510.417 6.63520080060040012χ⨯⨯==≈>⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关；【小问2详解】因为每名报名学生通过前3项流程的概率依次为321,,433，所以每名报名学生通过前3项流程的概率为032114336P =⨯⨯=，依题意得甲地高三男生对招飞有意向的概率为110016006P ==，甲地高三女生对招飞有意向的概率为210014004P ==，由全概率公式得所求概率为102011522144P PP P P =+=.17.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，且2, 4.PA AB BC AC Q ====为棱BP 上一点，且AQ BP ⊥.（1）求CQ 的长；（2）求二面角Q AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直结合等面积法求解，（2）利用空间向量求解二面角的余弦值.【小问1详解】因为4AB BC AC ===，所以222AB BC AC +=，则AB BC ⊥.因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥.又,AB BC AB PA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面ABP .因为AQ ⊂平面ABP ，所以AQ BC ⊥.又,AQ BP PB BC B ⊥⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .由CQ ⊂平面PBC ，得AQ CQ ⊥.又PA ⊥底面ABC ，所以PA AB ⊥，所以BP ==，由等面积法得3AP AB AQ BP ⋅==，故3CQ ==.【小问2详解】以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,4,0),A C 设000(,,)Q x y z则A Q,3CQ ==000(,,),AQ x y z =uuur 000(,4,),CQ x y z =-uu u r 000000(,,)(,4,)0AQ CQ x y z x y z ⋅=⋅-=uuu r uu u r解得224,,333Q ⎛⎫⎪⎝⎭则()2240,4,0,,,333AC AQ ⎛⎫== ⎪⎝⎭.设平面ACQ 的法向量为()1,,n x y z = ，则110,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()220,340,x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令2x =，得()12,0,1n =-.由PA ⊥底面ABC ，得()20,0,1n =为平面ABC 的一个法向量，则121212cos<,5n n n n n n ⋅>==-.由图可知，二面角Q AC B --为锐角，所以二面角Q AC B --的余弦值为18.已知双曲线22Ω:1mx ny -=经过点((),4,1A B -.（1）求Ω的方程；（2）设直线():0l y kx b k =+≠经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点,M N ，点N 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PM 过定点.【答案】（1）2218x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据曲线经过的点坐标代入方程得方程组，解之即得；（2）将直线方程与双曲线方程联立，得出韦达定理，求出PM 的方程，由对称性得PM 经过的定点必在x 轴上，令0y =代入PM 方程，经消元化简，并代入韦达定理计算即得定点.【小问1详解】依题意可得6471161m n m n -=⎧⎨-=⎩，解得181m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以Ω的方程为2218x y -=.【小问2详解】如图，由（1）知Ω的右焦点为()3,0，则:(3)l y k x =-，联立()223,1,8y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得，()222218487280k x k x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2180k -≠，0∆>，即218k ≠，故2212122248728,8181k k x x x x k k ++==--，因为点N 关于x 轴的对称点为P ，所以()22,P x y -，则直线PM 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，根据对称性可知，直线PM 经过的定点必在x 轴上，令0y =，得121212111212x x y x x yx y x y y y y -+=-+=++()()()()()()22221212121221212272848233323818148336681k k k k k x x x k x kx x k x x k k k k x k x k x x kk k k +--+--+--===-+-+---.当0k ≠且218k ≠时，()22222222227284823144161448818148348486681k k k k k k x k k k k +⨯-⨯+---===----，所以直线PM 过定点8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0k =时，显然直线PM 过定点8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，直线PM 过定点8,03⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于通过作图动态观察，先要发现经过的定点应具备的特征，如本题中结合对称性判断定点在x 轴上，然后明确方向，证明定点横坐标为常数即得.19.已知函数()44ln 8f x x x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数()()4ln g x f x x =-的图象在点()(),t g t 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值；（3）设()f x 的零点为12,x x ，比较12x x +与2的大小，并说明理由.【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增；()f x 在()1,+∞上单调递减.（2）64100025（3）122x x +<，理由见解析【解析】【分析】（1）按照求单调区间的步骤求解即可；（2）求导后将切线方程用t 表示出来，坐标轴上的截距也用t 表示，面积看作t 的一个函数，后用导数知识来求最值即可；（3）构造函数()()()2h x f x f x =--，利用导数与换元法研究()h t 函数的单调性，再用复合函数单调性得到()h x 的单调性，从而得解.【小问1详解】()f x 的定义域()0,∞+，()()()4234141(1)(1)44x x x x f x x x x x'---++-=-+==，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞上单调递减.【小问2详解】()()438(0),4g x x x g x x =>'-+=-.切线l 的方程为()4384(0)y t tx t t +-=-->.令0x =，得4380y t =+>；令0y =，得433804t x t+=>.所以l 与坐标轴围成的三角形面积()()2444333813838248t t S t tt++=⨯+⨯=，()()444338588t t S t +-='.当t ⎛∈ ⎝时，0,S S '<单调递减；当t ⎫∈+∞⎪⎭时，0,S S '>单调递增.故当ι=时，S 取得最小值，且最小值为25.【小问3详解】不妨设12x x <，由（1）可知1201x x <<<，则121x ->.令()()()2h x f x f x =--，则()33444(2)42h x x x x x=--+--'()()33224484(2)48(2)222x x x x x x x x x x⎛⎫⎡⎤=-+-+=---+- ⎪⎣⎦--⎝⎭()()2883642x x x x =-+--.当()0,1x ∈时，设()()20,1t x x =-∈，则()()()288()836424(2)3222h x x x x x x x x x '=-+-=---+--，换元写成8()2432h t t t'=--+，()0,1t ∈，当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h t h t '<单调递减；当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h t h t '>单调递增.因为()2t x x =-在()0,1上是增函数，所以()h x 在()0,1上先减后增.因为()41114ln 884ln842ln80888f ⎛⎫⎛⎫=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,18x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()()224441151151111124ln 24ln 4ln15888888h -⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭124ln15<-+()4ln1530=-<.又因为()10h =，所以()10h x <，即()()()1122f x f x f x -<=，所以122x x ->，即122x x +<.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
高二下学期期末考试数学试题(图片版)
，则 .………………………………………10分
故函数在 和 上单调递增…………………………………………11分
在 上单调递减.………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由A∩B＝{3,7}得 2＋4 ＋2＝7，解得 ＝1或 ＝－5.………………4分
所以 ， 在 上单调递减，……………………………………10分
.………………………………………………………………………11分
所以 最小值为 .…………………………………………………………………12分
所以至少一种产品研发成功的概率为 .………………………………………5分
(2)依题意, ,……………………6分
由独立试验同时发生的பைடு நூலகம்率计算公式可得:
;………………………………………………7分
;…………………………………………………8分
;……………………………………………………9分
;…………………………………………………………10分
所以 的分布列如下:
………………………………………………………………………………………11分
则数学期望 .
…………………………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 …………………………………………………1分
所以 ………………………………………………………………3分
当 ＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；……………………………………………………5分
当 ＝－5时，因为2- =7，集合B中元素重复．…………………………………6分
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)
辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ）A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.483．已知为等差数列的前n 项和，，则（ ）A ．B ．85C ．170D ．3404．已知命题p ：，，则命题p 的真假以及否定分别为（ ）A ．真，：，B ．真，：，或C ．假，：，D ．假，：，或5．已知随机变量，，，，且，若，则实数（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．26．集合的子集个数为（ ）（其中e 为自然对数的底数）A ．2B ．4C ．8D ．167．设数列满足，,，若对一切，，则实数m 的取值范围是（）()2f x x =+()()11lim2x f x f x∆→+∆-=⋅∆32345254n S {}n a 2818220a a a ++=17S =852π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x <<p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x x ≥≥p ⌝π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭2sin πx x ≥sin x x ≥ξη1~9,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭()2~,N ημσ()()E D ξη=()21P a η≤++()21P a η≤-=a ={}e 1e xx x ∈+≤+Z {}n a 11a =()1ln 1n n a a m +=-+*n ∈N *n ∈N 2n a ≤A ．B ．C ．D ．8．已知定义在R 上的单调递增的函数满足：任意，有，，则下列结论错误的是（ ）A ．当时，B ．任意，C ．存在非零实数T ，使得任意，D ．存在非零实数k ，使得任意，二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等比数列的公比为q ，则下列说法正确的是（ ）A ．为等差数列B ．若且，则递增C ．为等比数列D ．为等比数列10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记为“甲累计总分为i 时，甲最终获胜”的概率，则（）A ．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B ．，C ．D ．为等差数列11．已知函数，，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．，使得在上单调递增C ．若为的极值点，则D ．，坐标平面上存在点P ，使得有三条过点P 的直线与的图象相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X 为所抽取的次品，则______．2m ≥12m ≤≤3m ≥23m ≤≤()f x x ∈R ()()112f x f x -++=()()224f x f x ++-=x ∈Z ()f x x =x ∈R ()()f x f x -=-x ∈R ()()f x T f x +=x ∈R ()1f x kx -≤{}n a {}ln n a 21a a >54a a >{}n a {}12n n a a ++22n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭()0,1,2,3,4i P i =()00P =()41P =110.20.30.5i i i i P P P P +-=++{}()10,1,2,3i i P P i +-=()()2e xf x x a =-a ∈R 0a =()f x x≥a ∃∈R ()f x (),-∞+∞1x =()f x ea =a ∀∈R ()f x ()E X =13．已知实数x ，y 满足，则的最小值为______．14．设高斯函数表示不超过x 的最大整数（如，，），已知，,,则______；______．四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为，每局比赛没有平局．（1）若赛制为3局2胜，，求最终甲获胜的概率；（2）若赛制为5局3胜，记为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求的最大值及此时p 的值．16．（15分）已知数列满足，，数列的前n 项和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n 项和为．18．（15分）目前AI 技术蓬勃发展，某市投放了一批AI 无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．（1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．好评差评合计青年20中老年10合计40100（2）设消费者的年龄为x ，对无人驾驶出租车的体验评分为y ．若根据统计数据，用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为，且年龄x 的方差为，评分y 的方差为．求y 与x 的相关系数r ，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．附：，210x xy +-=22x y +[]x []2.12=[]33=[]1.72-=-3107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦11b a =()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N 4a =2024b =()01p p <<23p =()f p ()f p {}n a 11n n n a a a +=+112a ={}n a n S 1233n n S +=-{}n a {}n b 1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T ˆ 1.515y x =+29x s =225y s =0.75r ≥()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =独立性检验中的，其中．临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（17分）已知函数，．（1）求证：时，；（2）讨论的单调性；（3）求证：，恰有一个零点．19．（17分）已知函数，定义：对给定的常数a ，数列满足，，则称数列为函数的“—数列”．（为的导函数）（1）若函数，数列为函数的“—数列”，且，求的通项公式；（2）若函数，数列为函数的“—数列”，求证：；（3）若函数，正项数列为函数的“—数列”，已知,．记数列的前n 项和为．求证：当时，．辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学科试卷参考答案1234567891011D ABBCCACABDBCABD12．13． 14．4285；2四、解答题：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k ()()()2ln 1ln a x f x x x+=+0a >0x >2e x x >()f x 0a ∀>()f x ()f x {}n a q a >()()()1n n n f a f a f a a a+-'=-{}n a ()f x ()L a ()f x '()f x ()2f x x ={}n a ()f x ()1L -11a ={}n a ()lng x x ={}n a ()g x ()1L 11n n a a +<<()36sin h x x x =+{}n b ()h x ()L b ()1,n n b b b +∈*n ∈N {}n b n S 0b ≥()112n n S b n b b +≥-+652-15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A ，∴设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B ，∴甲胜的概率为（2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢∴，∴当，，∴在上为增函数当，，∴在上为减函数∴，此时．16．【解】（1）∵，∴，∴是以为首项，以1为公差的等差数列∴，∴∵，∴∴当，，符合上式．∴，（2）由（1）得∴∴()22439P A ⎛⎫==⎪⎝⎭()122128C 33327P B =⋅⋅=()()2027P A P B +=()()22343C 133f p p p p p p =-=-()()232912334f p p p pp '=-=-()304f p p '=⇒=30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f p '>()f p 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0f p '<()f p 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭()max 3814256f p f ⎛⎫==⎪⎝⎭34p =11n n n a a a +=+1111n n a a +=+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112a =()1111211n n d n n a a =+-=+-=+11n a n =+1233n n S +=-()12332nn S n -=-≥()11333,22n nn n n n b S S n +--=-==≥1n =2113332b S -===3n n b =*n ∈N 113nn n n a b +=()23111112131133333n n n n n T --+++++=+++⋅⋅⋅++()2311111121133333n n n n n T +-++++=++⋅⋅⋅++作差：∴17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下：好评差评合计青年203050中老年401050合计6040100因为，所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以相关系数，因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强．18．【解】（1）设，，则，易知在上递增，在上递减，所以，即．（2）定义域为，,,①时，可知恒有，此时在上递增；12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+- ⎪⎝⎭-151114346n n n T -+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()221002010304016.66710.82850506040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯()10022119100xi i s x x ==-=∑()10021900ii x x =-=∑()100221125100yi i s y y ==-=∑()100212500i i y y =-=∑()()()100110021ˆ 1.5iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑()()()1001002111.5 1.59001350i i i i i x x y y x x ==--=⨯-=⨯=∑∑13500.93050r ====⨯()2e xg x x -=0x >()()2exg x x x -'=-0x >()g x (]0,2[)2,+∞()()2421eg x g ≤=<22e 1e x x x x -<⇒>()f x ()0,+∞()()222ln 2ln ln x a x a x f x x x x x--'=+=0x >0a >2a =()0f x '≥()f x ()0,+∞②时，可知时，；时，，所以此时在和上递增，在上递减；③时，同理可得在和上递增，在上递减．（3）由（2）：①时，在上递增，因为，，所以此时恰有一个零点；②时，因为的极小值为，又由（1）知，结合的单调性，可知此时也恰有一个零点；③时，的极小值为，又，结合的单调性，同样也恰有一个零点．综上，，恰有一个零点．【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分．19．【解】（1），由题意，有，则，又，所以是以2为首项、以为公比的等比数列，所以，从而．（2）由题可得，①设，，可知当时，，递减，；当时，，递增，即时，有．因为，所以，即，以此类推，可得；02a <<()0,1,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞,12a ⎛⎫⎪⎝⎭2a >()f x ()0,1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2a =()f x ()0,+∞()120f =>()22e 42e 0f -=-<()f x 02a <<()f x ()10f a =>211111e 1e 0a a f a --+⎛⎫⎛⎫=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x 2a >()f x 22ln 2ln 1ln 1102222a a a a f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22e 42e 0f -=-<()f x ()f x 0a ∀>()f x ()()22f x x f x x '=⇒=211211n n n n a a a a +-==-+()11112n n a a ++=+112a +={}1n a +122112n n a -+=2112n n a -=-1ln 11n n n a a a +=-()ln 1x x x ϕ=-+()11x xϕ'=-1x >()0x ϕ'<()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <<()0x ϕ'>()x ϕ()()10x ϕϕ<=01x <≠ln 1x x <-11a >1111ln 10111a a a a -<<=--221011a a <<⇒>1n a >②由时：从而，即．综上：．（3）先证的唯一性．令，则∵，∴．∵，∴时，递增，递增，所以这样的是唯一的，且当时，，递减；时，，递增．下证：．令，，则，，∵，∴，∴，递减，递增∴即．取，得，即．累加可得．01x <≠111ln 1ln1ln 1x x x x x x<-⇒<-⇔>-111ln 1111n n n n n n a a a a a a +-=>=--1111n n n na a a a ++>⇒<11n n a a +<<1nb +()()()()()0n n h b h b H x h x x x b b-=-≥-()()n H b H b =()()()1n n n h b h b h b b b+-'=-()10n H b +'=()()()61cos 0H x h x x ''''''==-≥[)0,x ∈+∞()()()6sin H x h x x x ''''==-()0H x ''≥()H x '⇒1n b +[)10,n x b +∈()0H x '<()H x ()1,n x b +∈+∞()0H x '>()H x 12n n b b b ++<()()()12n x H x H b x ϕ+=--[)10,n x b +∈()()()12n x H x H b x ϕ+'''=+-()()()12n x H x H b x ϕ+''''''=--[)10,n x b +∈12n b x x +->()0x ϕ''<()x ϕ'()()()10n x b x ϕϕϕ+''>=⇒()()10x bn ϕϕ<+=()()12n H x H b x +<-[)10,n x b b +=∈()()()()111222n n n n n H b H b b H b H b b b b b +++<-⇒<-⇒<-12n n b b b ++<()112n n S b n b b +≥-+。
安徽省亳州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学含解析
高二数学（人教版）本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若X 是离散型随机变量，则()E X E X -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. ()E X B.()2E X C. 0D.()2[]E X 2. 函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x 千万元），得到各旅游景区收益的增加值（y 万元），对应数据如下表所示：投人的治理经费x （单位：千万元）1234567收益的增加值y （单位：万元）2325779若x 与y 的回归直线方程为$$1.214y ax =+，则相应于点()7,9的残差是（ ）A. 0.358- B. 0.358C. 8.642- D. 8.6424. 函数()sin24cos 3f x x x x =+-在R 上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定5. 某班新年联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A. 42 B. 30C. 20D. 126. 已知函数()21ln e ,,,e x f x a x bx a b -=+∈R 是自然对数的底数．若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，则b 的值是（ ）A.2ln24- B.2ln24+ C.()2ln2e4- D.()2ln2e4+7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则n P 与1n P -之间的关系是（ ）A ()1123n n P P n -=≥ B. ()()12123n n P P n -=-≥C. ()112233n n P P n -=-+≥ D. ()121233n n P P n -=-+≥8. 设12,F F的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆C于,A B 两点，且113AF F B =，则2cos AF B ∠=（ ）A.15B.C.25D.35二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中正确的是（ ）A. 曲线b 仍然是正态曲线B. 曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望小2D. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大210. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且()1212n n S S n n -=+-≥，则下列结论中正确的是（ ）A.()12n n a S n ->≥ B. {}1n a +是等比数列的.C. 2n nS a < D. 2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点()()1122,,P x y Q x y 、的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y =-+-．若点()1,2P ，点Q 为圆22:4C x y +=上一动点，则（ ）A. 点()1,2P 和点()1,3A -的曼哈顿距离为3B. 设()2cos ,2sin Q θθ，则11,cos 4213,cos 42PQL πθθπθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩C. PQ L的最大值为1+D. PQ L的最大值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量()2024,0.5B ξ~，则()21D ξ+的值是___________13.在二项式n⎛⎝的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．14. 若不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 对任意2x >恒成立，则整数k 的最大值是___________．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()e 1x f x a x -=++，其中,e a ∈R 为自然对数底数．（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面矩形ABCD 垂直于侧面PAD ，且,PA AD E F ⊥、分别是棱、AD PC的中点，A D P B ==．的（1）证明：PC ⊥平面BEF ；（2）若AD =，求二面角F BE C --正弦值．17. 已知O 为坐标原点，A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上与点O 不重合任意一点．（1）设抛物线C 的焦点为F ，若以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交C 的准线l 于M N 、两点，且90,∠=o V MFN AMN的面积为，求圆F 的方程；（2）若B 是拋物线C 上的另外一点，非零向量OA OB u u u r u u u r、满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，证明：直线AB 必经过一个定点．18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．评估得分[)50,60[)60,70[)70,80[]80,90评定类型不合格合格良好优秀贷款金额（万元）200400800（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列{}n a 满足的的()*22112N ,0,40,,n n n a ba ca n bc b c a s a t ++=+∈≠+>==，则数列{}n a 的通项公式可以按以下步叕求解：①21n n n a ba ca ++=+对应的方程为2x bx c =+，该方程有两个不等的实数根,αβ；②令n n n a A B αβ=⋅+⋅，其中,A B 为常数，利用12,a s a t ==求出,A B ，可得{}n a 的通项公式．满足()*12211,N n n n F F F F F n ++===+∈的数列{}n F 称为斐波那契数列．（1）求数列{}n F 的通项公式；（2）若存在非零实数t ，使得{}()*1N n n F tF n ++∈为等比数列，求t 的值；（3）判定20242120251i i F F =⋅∑是数列{}n F 的第几项，写出推理过程．高二数学（人教版）本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若X 是离散型随机变量，则()E X E X -=⎡⎤⎣⎦（ ）A. ()E X B.()2E X C. 0D.()2[]E X 【答案】C 【解析】【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.【详解】()()0E X E X E X EX ⎡⎤-=-=⎣⎦.故选：C.2. 函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】【分析】由导函数的图象可知()f x '在开区间(),a b 内有4个零点1234,,,x x x x ，()12340x x x x <<=<，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.【详解】从图形中可以看出，()f x '在开区间(),a b 内有4个零点1234,,,x x x x ，()12340x x x x <<=<，在1x 处的两边()f x '左正、右负，取得极大值；在2x 处的两边()f x '左负、右正，取值极小值；在3x 处的两边()f x '都为正，没有极值；在4x 处的两边()f x '左正、右负，取值极大值．因此函数()f x 在开区间(),a b 内的极小值点只有一个．故选：A ．3. 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x 千万元），得到各旅游景区收益的增加值（y 万元），对应数据如下表所示：投人的治理经费x （单位：千万元）1234567收益的增加值y （单位：万元）2325779若x 与y 的回归直线方程为$$1.214y ax =+，则相应于点()7,9的残差是（ ）A. 0.358- B. 0.358C. 8.642- D. 8.642【答案】B 【解析】【分析】先算出,x y ，代入回归直线方程为$$1.214y ax =+，可得$a ，进而得到回归直线方程，当7x =时，求出$y ，算出残差即可.【详解】123456723257794,577x y ++++++++++++====，所以$$5 1.21440.144, 1.2140.144x a y y b x =-=-⨯==+$，当7x =时，$1.21470.1448.642y =⨯+=，因此残差为98.6420.358-=．故选：B ．4. 函数()sin24cos 3f x x x x =+-在R 上（ ）A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 无法判定【答案】B 【解析】【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.【详解】因为()()22cos24sin 3212sin 4sin 3f x x x x x =--=---'224sin 4sin 1(2sin 1)0x x x =---=-+≤，函数()f x 在R 上单调递减．故选：B ．5. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A. 42 B. 30 C. 20 D. 12【答案】A 【解析】【详解】原定的5个节目之间有6个位．当插入的这两个新节目在一起时，有1262C A 插法；当插入的这两个新节目不在一起时，有2262C A 插法，所以总的不同插法的种数为1222626242C A C A +=种．故选：A ．【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列．6. 已知函数()21ln e ,,,e x f x a x bx a b -=+∈R 是自然对数的底数．若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程是ln 2y x =+，则b 的值是（ ）A.2ln24- B.2ln24+ C.()2ln2e4- D.()2ln2e4+【答案】C 【解析】【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程可表示为：()()()22222a ay f x y x a f -=-⇒=-+，再由切线方程是ln 2y x =+，建立方程组求解.【详解】因为()()12e xa f x bx x x -'=+-，所以()22a f '=．()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程可表示为：()()()22222a ay f x y x a f -=-⇒=-+，又因为曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程是ln 2y x =+，所以12,4ln22ln2e a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得()2ln2e 2,4a b -==．故选：C.7. 甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则n P 与1n P -之间的关系是（ ）A. ()1123n n P P n -=≥ B. ()()12123n n P P n -=-≥C. ()112233n n P P n -=-+≥ D. ()121233n n P P n -=-+≥【答案】C 【解析】【分析】据题意列出第n 次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.【详解】第n 次由甲掷应该有两种情况：①第n 1-次由甲掷，第n 次继续由甲掷，此时概率为11121363n n P P --=；②第n 1-次由乙掷，第n 次由甲掷，此时概率为()()11122111363n n P P --⎛⎫--=- ⎪⎝⎭．由于这两种情况是互斥的，因此()11121,33n n n n P P P P --=+-与1n P -之间的关系式是11233n n P P -=-+，其中()2n ≥．故选：C ．8. 设12,F F的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆C于,A B 两点，且113AF F B =，则2cos AF B ∠=（ ）A.15B.C.25D.35【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到90A ∠=︒，从而得到结果.【详解】因为c a =，所以a =．设1(0)F B t t =>，则13,4AF t AB t ==．在12AF F △中，()()222222(3)(23)(2)9(23)2cos 23232323t a t c t a t a A t a t t a t +--+--==⨯⨯-⨯⨯-．在2ABF △中，()()222222(4)(23)(2)16(23)(2)cos 24232423t a t a t t a t a t A t a t t a t +---+---==⨯⨯-⨯⨯-，所以()()2222229(23)216(23)(2)23232423t a t a t a t a t t a t t a t +--+---=⨯⨯-⨯⨯-，整理得，23,3at a a t ==．于是212233,5,4,90,cos 5AF t AF BF t AB t A AF B ====∠=︒∠=．故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法中正确的是（ ）A. 曲线b 仍然是正态曲线B. 曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a 为概率密度曲线的总体的期望小2D. 以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2【答案】AB 【解析】【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.【详解】密度函数()()222x f x μσ--=，向右移动2个单位后，密度函数()()2222x g x μσ---=，曲线b 仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变,故AB 正确；以曲线b 为概率密度曲线的总体的期望值为2μ+，故C 错误；以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差不变．故D 错误；故选: AB ．10. 已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，且()1212n n S S n n -=+-≥，则下列结论中正确的是（ ）A.()12n n a S n ->≥ B. {}1n a +是等比数列C. 2n n S a < D. 2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】由题中条件可得11n n a S n -=+-，判断A ；通过两式相减的121n n a a +=+，变形可得出3,112,2n n n a n =⎧+=⎨≥⎩，判断B ；根据求和公式结合作差法比较大小判断C ，D ；【详解】对于A ，由()1212n n S S n n -=+-≥得，11n n a S n -=+-，所以1n n a S ->．A 正确；对于B ，将11n n a S n -=+-与1n n a S n +=+整体相减得，121n n a a +=+，所以()1121,2n n a a n ++=+≥，又12121a a a +=+，即23a =，所以3,112,2n n n a n =⎧+=⎨≥⎩．因此{}1n a +不是等比数列，B 错误；对于C ,因为2,121,2n nn a n =⎧=⎨-≥⎩，所以当2n ≥时，23122121···2121nn n S n +=+-+-++-=--．当1n =时，1122S a =<．当2n ≥时，112212210n n n n S a n n ++-=---+=-<，因此2n n S a <,C 正确；对于D ，因121n n S n +=--，所以1222n n n S n +=-，所以111121022222n n nn n n n S S n n n++++++-=-+=>，为因此2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列，D 正确；故选:ACD ．11. “曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点()()1122,,P x y Q x y 、的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y =-+-．若点()1,2P ，点Q 为圆22:4C x y +=上一动点，则（ ）A. 点()1,2P 和点()1,3A -的曼哈顿距离为3B. 设()2cos ,2sin Q θθ，则11,cos 4213,cos 42PQL πθθπθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩C. PQ L的最大值为1+D. PQ L的最大值为3+【答案】ABD 【解析】【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A ，根据()2cos ,2sin Q θθ，分类讨论去绝对值结合辅助角公式可求判断选项B ，C ，D.【详解】对A ，11233PA L =++-=，A 对；因为()2cos ,2sin Q θθ，所以π11,cos 422cos 12sin 22cos 122sin π13,cos 42PQL θθθθθθθθ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=-+-=-+-=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，B 对；当π3π2π,Z 42k k θ-=+∈，即7π2π4k θ=+时，π14θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最大值为1+满足1cos 2θ≥，当π3π2π,Z 42k k θ+=+∈，即5π2π4k θ=+时，π34θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为3+．满足1cos 2θ<，则C 错，D 对，故选ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量()2024,0.5B ξ~，则()21D ξ+的值是___________【答案】2024【解析】【分析】根据二项分布的方差公式求得()20240.5(10.5)506D =⨯⨯-=ξ，再结合方差的性质公式得出结果.【详解】因为()20240.5(10.5)506D =⨯⨯-=ξ，所以()()2142024DD ξξ+==．故答案为：2024.13.在二项式n⎛+ ⎝展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是___________．【答案】16【解析】【分析】令1x =，利用各项系数和求出n ，再利用二项式系数的性质即可求解.【详解】在二项式n⎛+ ⎝的展开式中，令1x =，得，(71)4096n +=，即，31222n =，解得，4n =，所以二项式系数和为4216=．故答案为：16.14. 若不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 对任意2x >恒成立，则整数k 的最大值是___________．【答案】3【解析】【分析】将不等式化为()ln 21,2x x kx k x ≥-+>，令()()()ln ,21g x x x h x kx k ==-+，将问题转化为直线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.的【详解】不等式()22ln 0k x k k x++-≥∈Z 就是()ln 21,2x x kx k x ≥-+>，令()()()ln ,21g x x x h x kx k ==-+，显然直线()h x 过定点()2,2-，因为()ln g x x x =的定义域为()0,∞+，则()ln 1g x x ='+，所以当10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，当1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增，可以画出曲线()y g x =的草图（如图），由图象可知，直线()()21h x kx k =-+的极限位置是与曲线()y g x =相切，设切点是()00,M x y ，则切线方程是()()0000ln 1ln y x x x x x -=+-，将点()2,2-代入得，()()00002ln 1ln 2x x x x --=+-，即002ln 40x x --=，则0021ln 2x k x -≤+=，令()2ln 4,2x x x x ϕ=-->，则()()210,x x xϕϕ>'=-在()2,∞+内单调递增，又因为()()()2842ln82lne ln80,954ln30ϕϕ=-=-=-，在002ln 40x x --=中()08,9x ∈，于是0273,22x k -⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭，故整数k 的最大值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和数形结合思想，是一道难题．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()e 1x f x a x -=++，其中,e a ∈R 为自然对数的底数．（1）求()f x 的极值；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）()20,e -．【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；（2）根据()f x 有两个零点转化为()1e xa x =-+，令()()1e ,R xg x x x =-+∈，利用函数求导判断函数()g x 单调性和在不同范围内函数的值域求得a 的取值范围.【小问1详解】()e e 1,R ex xxa f x a x --=-+=∈'．当0a ≤时，()()e 0,e x xaf x f x '-=>R 上单增，既没有极大值，也没有极小值．当0a >时，令()e 0ex xa f x -'==，则e 0,ln .xa x a -==当(),ln x a ∞∈-时，()0,()f x f x <'在(),ln a ∞-上单减，当()ln ,x a ∞∈+时，()0,()f x f x >'在()ln ,a ∞+上单增，所以()f x 的极小值为()ln ln e ln 12ln af a a a a -=++=+，没有极大值.【小问2详解】由()0f x =得，()1e xa x =-+．令()()1e ,R xg x x x =-+∈．则()()2e xg x x +'=-，当(),2x ∞∈--时，()()0,g x g x '>单增；当()2,x ∞∈-+时，()()0,g x g x '<单减．因此()()22e g x g -≤-=．显然当1x <-时，()0g x >；当1x >-时，()0g x <．当20e a -<<时，直线y a =与函数()g x 的图象有且仅有两个公共点，即函数()f x 有两个零点．故a 的取值范围是()20,e-．16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面矩形ABCD 垂直于侧面PAD ，且,PA AD E F ⊥、分别是棱、AD PC的中点，A D P B ==．在（1）证明：PC ⊥平面BEF ；（2）若AD =，求二面角F BE C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）由面面垂直可得BA ⊥平面PAD ，则BA PA ⊥，由几何知识可得EF PC ⊥，BF PC ⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）建系标点，可得平面BEF 、平面ABCD 的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为ABCD 为矩形，则BA AD ⊥，且平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面,PAD AD BA =⊂平面PAD ，则BA ⊥平面PAD ，且PA ⊂平面PAD ，所以BA PA ⊥．连接PE EC 、．在Rt PAE V 和Rt CDE △中，,PA AB CD AE DE ===，可知Rt PAE V 全等于Rt CDE △．则PE CE =，且F 是PC 中点，则EF PC ⊥．在Rt PAB V中，PB AD BC ===，而F 是PC 的中点，则BF PC ⊥．且⋂=BF EF F ，,BF EF ⊂平面BEF ，所以PC ⊥平面BEF．的小问2详解】以A 为坐标原点，,,AP AD AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()1,0,0,P C，可得()PC =-u u u r，由（1）知，()PC =-u u u r是平面BEF 的法向量，且平面ABCD 的法向量是()1,0,0AP =u u u r．可得1cos ,2PC AP PC AP PC AP⋅==-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ．所以二面角F BE C --=．17. 已知O 为坐标原点，A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上与点O 不重合的任意一点．（1）设抛物线C 的焦点为F ，若以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交C 的准线l 于M N 、两点，且90,∠=o V MFN AMN的面积为，求圆F 的方程；（2）若B 是拋物线C 上的另外一点，非零向量OA OB u u u r u u u r、满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，证明：直线AB 必经过一个定点．【答案】（1）22(1)8x y +-= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出MN ，点A 到准线l 的距离d FM =，利用△=AMN S 求出p 可得答案；（2）方法一，对OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边平方得12120x x y y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()21121y y y y x x x x --=--，结合抛物线方程得()21112x xy y x x p+-=-，再由12120x x y y +=可得答案；方法二，对OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r两边平方得12120x x y y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，设直【线AB 的方程为y kx b =+与抛物线方程联立，利用韦达定理结合12120x x y y +=可得答案.【小问1详解】准线l 为,0,22p p y F ⎛⎫=-⎪⎝⎭到l 的距离是p ．由对称性知，MFN △是等腰直角三角形，斜边2MN p =，点A 到准线l的距离d FA FM ===，12AMN S MN d =⨯⨯=V ，解得2p =，故圆F 的方程为22(1)8x y +-=；【小问2详解】方法一，因为OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅=-⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1212,0OA OB x x y y ⊥+=u u u r u u u r，设()()1122,,,A x y B x y A B 、、在抛物线2:2(0)C x py p =>上，则22112222x py x py ==、．显然直线AB 的斜率存在，则直线AB 的方程为()21121y y y y x x x x --=--，将22121222x xy y p p ==、代入得，()222112122x x p py y x x x x --=--，即()21112x x y y x x p+-=-，令0x =，得()211211,22x x x xy y x y p p+-=⋅-=-， ()*由12120x x y y +=得，221212204x x x x p +=，因为120x x ≠（否则，OA OB u u u r u u u r、有一个为零向量），所以2124x x p =-，代入()*式可得2y p =，故直线AB 经过定点()0,2p ．方法二，因为OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1212,0OA OB x x y y ⊥+=u u u r u u u r，设()()1122,,,A x y B x y A B 、、在拋物线2:2(0)C x py p =>上，则22112222x py x py ==、，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立22y kx b x py=+⎧⎨=⎩消去y 得到，21212220,2,2x pkx pb x x pk x x pb --=+==-，由12120x x y y +=得，221212204x x x x p+=，因为120x x ≠（否则，OA OB u u u r u u u r、有一个为零向量），所以2124x x p =-，即224,2pb pb p -=-=，因此y kx b =+就是2y kx p =+．故直线AB 经过定点()0,2p ．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.18. 某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持．银行制定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额．为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部分企业，得到以下两个图表数据．评估得分[)50,60[)60,70[)70,80[]80,90评定类型不合格合格良好优秀贷款金额（万元）200400800（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）；（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改．整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值．【答案】（1）0.45 （2）10%【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得, 抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或良好的概率；（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为,,a b c ，则,,a b c 也成等差数列，即2b a c =+，又0.251a b c +++=，可得0.25,0.5b a c =+=，列出分布列，可求得()450400E a ξ=-，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．【小问1详解】设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是1234,,,P P P P ，则根据频率分布直方图可知，12340.015100.15,0.04100.4,0.02100.2,0.025100.25P P P P =⨯==⨯==⨯==⨯=．故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为340.20.250.45P P +=+=．【小问2详解】设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为,,a b c ，因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以,,a b c 也成等差数列，即2b a c =+，又因为0.251a b c +++=，所以0.25,0.5b a c =+=，设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量ξ，则其分布列是ξ020*******pa 0.25c0.25于是()()02000.25400c 8000.25504000.5200450400E a a a ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=+-+=-，因为()410E ξ≥，所以450400410a -≥，解得10%a ≤，故整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是10%．19. 特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法．一般地，若数列{}n a 满足()*22112N ,0,40,,n n n a ba ca n bc b c a s a t ++=+∈≠+>==，则数列{}n a 的通项公式可以按以下步叕求解：①21n n n a ba ca ++=+对应的方程为2x bx c =+，该方程有两个不等的实数根,αβ；②令n n n a A B αβ=⋅+⋅，其中,A B 为常数，利用12,a s a t ==求出,A B ，可得{}n a 的通项公式．满足()*12211,N n n n F F F F F n ++===+∈的数列{}n F 称为斐波那契数列．（1）求数列{}n F 的通项公式；（2）若存在非零实数t ，使得{}()*1Nn n F tF n ++∈为等比数列，求t 的值；（3）判定20242120251i i F F =⋅∑是数列{}n F的第几项，写出推理过程．【答案】（1）*,N n n n F n=-∈（2）t =，或t =． （3）第2024项，答案见解析【解析】【分析】（1）应用待定系数法求参即可；（2）设数列为等比数列再应用待定系数法得出等式再求参；（3）化简再应用裂项相消求和即可得出数列中的项.【小问1详解】由题意知，21n n n F F F ++=+对应的特征方程是21x x =+，解得x =．于是n nn F A B =⋅+⋅，其中,A B 为常数．当121F F ==时，有2211A B A B ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅+⋅=⎪⎩，解得A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故*,N n nn F n =∈．【小问2详解】设()211n n n n F tF s F tF ++++=+，则()21n n n F s t F stF ++=-+，与21n n n F F F ++=+比较得到，1,1,,s t st s t -==-是方程210x x --=的根，所以s t ==或s t ==．故t =t =．【小问3详解】因为()21111n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F +-+-==-=-，所以()()()22222342024231234232024202520232024F F F F F F F F F F F F F F F F ++++=-+-++-L L 2024202512F F FF =-．于是2222212320242024202512120242025F F F F F F FF F F F ++++=-+=L ．因此222220242123202420242025202412025202520251i i F F F F F F F F F F F =++++⋅===∑L ．故20242120251iiFF=⋅∑是数列{}n F的第2024项．【点睛】方法点睛：应用已知递推数列求通项公式应用待定系数法解决列方程组求根.。
重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(康德卷)
重庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（康德卷）一、单选题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，则满足()()f x f x '=的函数()f x 是（ ）A ．()2f x x =B ．()e xf x =C ．()ln f x x =D ．()tan =f x x2．如图是学校高二1､2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）A ．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B ．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C ．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D ．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3．对于函数()32f x x bx cx d =+++，若系数,,b c d 可以发生改变，则改变后对函数()f x 的单调性没有影响的是（ ） A ．bB ．cC ．dD ．,b c4．某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高cm y 与其父亲身高cm x 的经验回归方程为14ˆ2917yx =+，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为（ ） A ．3cm -B ．2cm -C ．2cmD ．3cm5．若函数()()21e xf x x bx =++，在=1x -时有极大值16e -，则()f x 的极小值为（ ）A ．0B ．3e --C ．e -D ．32e -6．甲､乙､丙､丁､戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有（ ）A ．48种B ．96种C ．108种D ．120种7．若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品（单位：件）均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为（ ） A ．1.2B ．2.4C ．2.88D ．4.88．若样本空间Ω中的事件123,,A A A 满足()()()()()113223231221|,,|,|4356P A P A A P A P A A P A A =====，则()13P A A =（ ）A ．114 B ．17C ．27D ．528二、多选题9．若随机变量X 服从正态分布()21,2N ，已知(0)P X p <=，则（ ）A ．(0)1P X p >=-B ．(2)1P X p <=-C ．(02)1P X p<<=-D ．(12)12P X p <<=-10．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都是R ，若函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x '为偶函数，则（ ）A ．312f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝B ．()()12123f x f x -++=C ．()f x '的图象关于直线1x =对称D ．()f x '的最小周期是111．设,M N 都是不小于3的整数，当1,2,,1i M =⋯+时，{}1,2,,i x N ∈⋯，设集合(){}11,,1,2,,i i i i A x x x x i M ++=≠=L ∣，如果(),a b A ∈与(),b a A ∈不能同时成立，则（ ）A ．若13M N x ===，则()()(){}3,1,1,2,2,3A =或()()(){}3,2,2,1,1,3B ．若4N =，则M 的可能取值为3或4或5C ．若N 的值确定，则()112M N N =- D ．若N 为奇数，则M 的最大值为()112N N -三、填空题12．6(1)x -的展开式中5x 的系数为.13．已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为92%，那么在50次运行中，平均准点班次约为次.14．已知12,x x 是()4ln af x x x x=--的两个不同的极值点，且()()1144f x f x +--…，若()3f a b a >-恒成立，则实数b 的取值范围是.四、解答题15．在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈；抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈. (1)根据上述信息完成下列22⨯列联表；(2)依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果？并解释得到的结论.附：参考公式：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.16．口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”. (1)求第1次至少抽到一个红球的概率；(2)设“一次抽取”中抽到红球的个数为X ，求X 的分布列与数学期望.17．2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长57.9%.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量C （单位：KWh ）与速度v （单位：km /h ）在40100km /h ~的函数关系为()1012ln 0.540C v v v v=++-.假设电价是1元/KWh . (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？(2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资53.35105700v⨯+-，甲地到乙地的距离为100km ，最经济的车速是94km /h ，则司机每小时的工资为多少元？18．国家对化学元素镓（Ga ）相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设()1,2,,17i x i =L 表示一天的17次检测得到的镓含量（单位：%）的监测数据，并记监测数据的平均数171117i i x x ==∑，标准差s =设X 表示镓合金中镓含量（单位：%），且()2,X N μσ:，当k 为正整数时，令()k p P k X k μσμσ=-<<+，根据表中的k p 和17k p 值解答：(1)记Z 表示一天中抽取17次的镓含量()3,3X μσμσ∉-+的次数，求(0)P Z >及Z 的数学期望；(2)当一天中至少1次监测镓含量()3,3X μσμσ∉-+，就认为该天研制情况异常，须对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得20,0.82x s ==.若用该天监测数据得的x 和s 分别估计为μ和σ且()2,X N μσ:，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进？(3)若去掉一天中的监测结果1x ，设余下的数据标准差为σ'，请用数据1,,x s x 表示σ'.19．设e 为自然对数的底数，已知函数()2(ln 2)f x x =+.(1)当函数()f x 图象的切线经过原点时，求切线的方程；(2)当实数m 满足22eln 0,,,e m m m a b ∞⎛⎫+=∈+ ⎪⎝⎭且2a b +=，求()()f a f b +的最大值.。
2024年江西省赣州市高二下学期7月期末考数学试题及答案
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （ ）A. {}01x x << B. {}0x x < C. {1x x <或3}x > D. {}3x x <2. 已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（ ）A. 0,e 1x x x ∀≤<+ B. 0,e 1x x x ∀><+C. 0,e 1x x x ∃≤<+ D. 0,e 1x x x ∃><+3. 正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B. 函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C. 2x =-是函数的极大值点D. 2x =是函数的极大值点5. “1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xxxh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（ ）A. ()tanh 1x ≤-有解 B. ()tanh x 奇函数C. ()tan h x 不是周期函数D. ()tan h x 是单调递增函数7. 已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB 的最小值为（ ）AB. 4C.D.8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（ ）A. 45180a a a ++< B. 使得0n S <成立的最小自然数n 是20C.910910S S > D.21222122S S a a >二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9. 已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b< B. a c b c+>+C. 22a b c c> D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10. 已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最大值为1 B. 4a b +的最小值为4C. 2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为10911. 记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（ ）A. ln ΩΩ0+=B. 11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是.C. 2Ω2Ω10+->D. 函数()1ln e xxf x x+=-最小值为()Ωf 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0x f x x g x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.13. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.16. 已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .17. 已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.的18. 已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 取值范围；②求证：121x x a+>.19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N次得到的数列的所有项之和记为na，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< .的的赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试高二数学试卷一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,30A x xB x x x =<=-<，则A B = （ ）A. {}01x x << B. {}0x x < C. {1x x <或3}x > D. {}3x x <【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式，求解集合B ，再求交集即可.【详解】因为{}(){}{}2303003B x x x x x x x x =-<=-<=<<，又{}1,A x x =<所以AB = {}01x x <<.故选：A.2. 已知命题:0,e 1x p x x ∀>≥+，则p ⌝为（ ）A. 0,e 1x x x ∀≤<+ B. 0,e 1x x x ∀><+C. 0,e 1x x x ∃≤<+ D. 0,e 1x x x ∃><+【答案】D 【解析】【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】因为命题:0,e 1xp x x ∀>≥+是全称量词命题，则命题p ⌝为存在量词命题，由全称量词命题的否定得，命题p ⌝：0,e 1x x x ∃><+.故选：D.3. 正项等比数列{}n a 中，24627a a a =，则3137log log a a +=（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的性质求出4a 即可得解.【详解】由等比数列性质可知3246427a a a a ==，解得43a =，所以23137317343log log log log 2log 32a a a a a +====，故选：B4. 已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，函数()y xf x ='的图象如图，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的增区间是()()2,0,2,∞-+B. 函数()f x 的减区间是()(),2,2,∞∞--+C. 2x =-是函数的极大值点D. 2x =是函数的极大值点【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()y xf x '=的图象可知：当<2x -时，()0f x ¢>；20x -<<时，()0f x '<，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x ¢>.所以()f x 在()(),2,2,-∞-+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减.因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-取得极大值.故ABD 错误，C 正确.故选：C5. “1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】.【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增，需要21021110m m m ⎧≤⎪⇒≤⎨⎪-⨯-≥⎩，因为01<，所以“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的必要不充分条件．故选：B ．6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数tan h 是比较常用的一种，其解析式为()e e tan e ex xxxh x ---=+.关于函数()tan h x ，下列结论错误的是（ ）A. ()tanh 1x ≤-有解 B. ()tanh x 是奇函数C. ()tan h x 不是周期函数 D. ()tan h x 是单调递增函数【答案】A 【解析】【分析】考虑函数的值域可判断A ，根据函数的奇偶性定义判断B ，由复合函数的单调性分析可判断D ，由D 结合周期定义判断C.【详解】由2e e 2e 2tan ()11e e e e e 1x x x x x x x x h x -----==-=-+++，因2e 11x +>，则2221e 0x<<+，可得2111e 21x -<-<+ ，即tan ()(1,1)h x ∈-，故A 错误；因为tan ()h x 的定义域为R ，且e e e e tan ()tan ()e e e ex x x xx xx x h x h x -------==-=-++，所以tan ()h x 是奇函数，故B 正确；2e e 2tan ()1e e e 1x x x x x h x ---==-++，因2e x是增函数，2e 1x +是增函数且恒为正数，则21e 1x+是减函数，故tan ()h x 是增函数，故D 正确；由D 可知函数在R 上单调递增，所以当0T ≠时，()tan tan ()h x h x T +≠，所以函数不是周期函数，故C 正确.故选：A7. 已如A 是函数()2ln f x x x =-图像上的动点，B 是直线20x y ++=上的动点，则,A B 两点间距离AB 的最小值为（ ）A. B. 4C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求函数()f x 斜率为1-的切线，然后切线与直线20x y ++=的距离即为所求.【详解】因为()2ln f x x x =-，（0x >），所以()21f x x'=-，由()1f x '=-，得1x =，又()11f =，所以()f x 过()1,1点的切线为：()11y x -=--即20x y +-=.直线20x y +-=与20x y ++=的距离为：d ==.故选：C8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为10110,1a d a <<-，则下列结论正确的是（ ）A. 45180a a a ++< B. 使得0nS <成立的最小自然数n 是20C. 910910S S > D.21222122S S a a >【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知数列单调递减且101110110,0,0a a a a ><+>，由通项公式化简可判断A ，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B ，根据n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列即可判断C ，由,n n a S 的关系及20,22S S 的符号可判断D.【详解】由公差为10110,1a d a <<-可知，等差数列{}n a 为递减数列且101110110,0,0a a a a ><+>，对A ，45181932430a a a a a d =+++=>，故A 错误；对B ，因为10110a a +>，所以12010110a a a a +=+>，所以1202020()20a a S +>=，故B 错误；对C ，因为11(1)222n n n na dS d n a n n d -==+-+，且02d <，所以由一次函数单调性知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列，所以910910S S >，故C 正确；对D ，由B 知200S >，且2111210S a =<，所以2221220S S a =+<，因为2121212120S S a S S =-，1222222222S S a S S -=，若21222122S S a a >，则212221202221S S S S S S >--，且()()212022210S S S S -->，即()()212221222120S S S S S S ->-，即2212220S S S <，而200S >，220S <，显然矛盾，故21222122S S a a >不成立，故D 错误.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.9. 已知,a b ∈R ，且a b >，,,a b c 都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）A.11a b< B. a c b c+>+C. 22a b c c> D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.【详解】当0a b >>时，有11a b>，A 选项错误；a b >，则()()0a c b c a b +-+=->，得a c b c +>+，B 选项正确；a b >，2220a b a bc c c --=>，得22a b c c>，C 选项正确；函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误.故选：BC10. 已知正数,a b 满足45a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A. ab 的最大值为1B. 4a b +的最小值为4C. 2216a b +的最小值为9D.111a b++的最小值为109【答案】ABD 【解析】【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB ，先变形2216a b +为关于ab 的二次函数求最值判断C ，利用条件变形可得()1(4)9a b ++=，转化111a b++为关于b 的式子由均值不等式判断D.【详解】由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得45a b ab +=-≥，解得01<≤，即1ab ≤，当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故A 正确；由正数,a b 满足45a b ab ++=，可得2114454442a b a b ab +⎛⎫+-=-⨯≥-⨯ ⎪⎝⎭，解得44a b +≥或420a b +≤-（舍去），当且仅当4a b =，即1,22a b ==时等号成立，故B 正确；()()2222216(4)858956a b a b ab ab ab ab +=+-=--=--，由A 知1ab ≤，由二次函数的单调性知()22956(19)568ab --≥--=，即1ab =时，2216a b +的最小值为8，故C 错误；由45a b ab ++=可得449a b ab +++=，即()1(4)9a b ++=，所以1441999b b a +==++，所以144109999111b b a b +=+≥+=++，当且仅当19b b =，即3b =，27a =时等号成立，故D 正确.故选：ABD11. 记方程1x xe =的实数解为Ω（Ω是无理数），Ω被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（ ）A. ln ΩΩ0+=B. 11Ω,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C. 2Ω2Ω10+->D. 函数()1ln e xxf x x+=-的最小值为()Ωf 【答案】ACD【解析】【分析】构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B 选项，对于A ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：根据二次函数单调性判断；对于D ：结合不等式ln 10x x --≥分析可知()1f x ≥，当且仅当1x xe =时，等号成立.【详解】构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x ()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；对于选项A ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，ln ΩΩ0+=，故A 正确；对于选项B ：由上可知()Ω0.5,1∈，故B 不正确；对于选项C ：2Ω2Ω1y =+-对称轴为Ω1=-，而()Ω0.5,1∈，故2Ω2Ω1y =+-单调递增，当Ω0.5=，2Ω2Ω1y =+-最小值为0.25，所以2Ω2Ω10+->，故C 正确；对于选项D ：构建()ln 1,0h x x x x =-->，则()11h x x'=-，令()0h x '>，解得1x >；令()0h x '<，解得01x <<；可知()h x 在()0,1内单调递减，在()1,∞+内单调递增，则()()10h x h ≥=，可得ln 10x x --≥，当且仅当1x =时，等号成立，0t >可得ln 10t t --≥，令e x t x =，()()e ln e 10,e ln ln e 10,e ln 10,e ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x--≥-+-≥---≥--≥则()e -ln 11x x x xf x x x-=≥=，在当且仅当1x xe =，即1e xx=时，等号成立，所以()f x 的最小值为(Ω)f ，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，()()1,031,0xf x xg x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()()0g g =__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的定义得出(0)0f =，再由()g x 解析式得解.【详解】因为函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以()()()()001(1)312g g g f g =+==-=，故答案为：213. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1πsin 12n n a n n =++，则2024S =__________.【答案】20242025【解析】【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.【详解】由()1π11πsin sin 1212n n n a n n n n =+=-+++得：20241111111111101001223344520242025S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++--+-++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111112024101001122334452024202520252025⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-++-++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭，故答案为：20242025.14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x -=+，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，则()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为__________个.【答案】1350【解析】【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内[)0,3内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在[]1012,1012-上零点个数.【详解】由()()12f x f x -=+可得()(3)f x f x =+，所以周期3T =，当[)0,3x ∈时，()231exx x f x -+=，令()0f x =，解得()()210,1,2,3x x ==，即一个周期内有2个零点，因为(1012)(33731)f f =⨯+，所以()y f x =在[]1012,1012-上的零点个数为()2233711350⨯⨯+=.故答案为：1350四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()32f x ax bxx =+∈R 的图象过点()1,2P -，且在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,1-上的最大值和最小值.【答案】（1）()323f x x x =+（2）最大值为4；最小值为：16-的【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点P ，得到关于,a b 的一个关系式，再根据函数在=1x -处的导数为3-，又得到关于,a b 的一个关系式，可求,a b 的值.（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.【小问1详解】因为函数()32f x ax bx =+的图象过点()1,2P -，所以2a b -+=.又因为()232f x ax bx '=+，且()f x 在点P 处的切线恰好与直线340x y ++=平行，所以()1323f a b -=-=-'，由2323a b a b -+=⎧⎨-=-⎩得：13a b =⎧⎨=⎩，所以()323f x x x =+.【小问2详解】由（1）知：()()23632f x x x x x '=+=+，由()0f x '<⇒20x -<<，由()0f x ¢>⇒<2x -或0x >.所以()f x ()4,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，又()416f -=-，()24f -=，()00f =，()14f =，所以()f x 在[]4,1-上的最大值为4，最小值为16-.16. 已知等差数列{}n a 的公差41370,5,,,d a a a a >=成等比数列，数列{}n b 的前n 项和公式为()*22n n S b n =-∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式：（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+，2n n b =（2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前n 项和，求数列{}n b 的通项在公式.（2）利用错位相减求和法求数列的前n 项和.【小问1详解】由题意：14353a a d d =-=-，345a a d d =-=-，74353a a d d =+=+，因为137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅⇒()()()255353d d d -=-+⇒0d =或1d =，又0d >，所以1d =，所以1532a d =-=.所以1n a n =+.对数列{}n b ：当1n =时，1122b b =-⇒120b =≠，当2n ≥时，22=-n n S b ，1122--=-n n S b ，两式相减得：122n n n b b b -=-⇒12n n b b -=，所以{}n b 是以2为首项，2为公比得等比数列，所以2nn b =.【小问2详解】由（1）知：()12nn c n =+⋅，所以：()12322324212nn T n =⨯+⨯+⨯+++⋅ ，()23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⋅++⋅ ，两式相减得：()()231422212nn n T n +-=++++-+⋅ ()()21121241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.17. 已知函数()f x 为二次函数，有()()10,45f f -==，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②函数()1f x +为偶函数，③()23f =-（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()222log 3log 1g x x x =+-+，若对任意的[]11,2x ∈，总存在(]21,2x ∈-，使得()()211g x f x mx ≤+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）[)5,+∞【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.【小问1详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，由题意：01645a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，两式相减的：31a b +=若选①，则：抛物线的对称轴为：1x =，即12ba-=⇒20a b +=.所以123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--；若选②，则：抛物线的对称轴为：1x =，同上；若选③，则：423a b c -+=-，由01645423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以()223f x x x =--.综上：()223f x x x =--【小问2详解】对()g x ：()()()22l 1n 221ln 3x g x x x '=-++()()()()222213l 1n 3x x x x x +-+=++()()223ln 2231x x x x =+++-()()()()2ln 23131x x x x +-=++当(]1,2x ∈-时，由()0g x '>⇒12x <≤；由()0g x '<⇒11x -<<；所以()g x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以(]1,2x ∈-时，()()221log 4log 21g x g ≥=-=.当[]1,2x ∈时，()()2231f x mx x m x +=+--≥恒成立，所以2442x m x x x--≥=-在[]1,2上恒成立.观察可知，函数4y x x =-在[]1,2上单调递减，所以max4413x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，由23m -≥⇒5m ≥.所以实数m 的取值范围是：[)5,+∞18. 已知函数()()2ln ,f x x x ax f x ⋅'=-为()f x 的导函数，记()()g x f x '=，其中a 为常数.（1）讨论()g x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，①求a 的取值范围；②求证：121x x a+>.【答案】（1）见解析 （2）①10,2⎛⎫⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x '，分类讨论，利用()0g x '>，()0g x '<解不等式即可得解；（2）①先分析0a ≤不合题意，再求出0a >时函数()f x 在有两个极值点()1212,x x x x <的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证()1212122ln x x x x x x -<+，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.【小问1详解】定义域为(0,)+∞.()ln 12f x x ax '=+- ，()ln 12g x x ax =+-∴，()1122axg x a x x-=-=' ，当0a ≤时，g ′(x)>0恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，令()0g x '>，则120ax ->，解得12x a<，令()0g x '<，则120ax -<，解得12x a>，()g x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减.【小问2详解】由（1）知，0a ≤时，()0f x '= 最多一个根，不符合题意，故0a >，函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，()0g x ∴=在()0,∞+有两个不同零点的必要条件是=ln 12a >0，解得102a <<，当102a <<，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，=ln 12a >0,g =−2ae <0,x→+∞,g (x )→−∞，∴由零点存在性定理得：()f x 在11,e 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭各有1个零点，a ∴的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，11ln 120x ax ∴+-=①22ln 120x ax +-=②①-②得：()1212ln ln 2x x a x x -=-，要证121x x a +>，即证x 1+x 2>2(x 1−x 2)ln x 1−ln x 2，即证()1212122ln ln x x x x x x --<+，即证()1212122lnx x x x x x -<+，令()1201x t t x =<<，则()21ln 1t t t -<+，令()()21ln 1t R t t t -=-+，则R ′(t )=1t −4(t +1)2=(t−1)2t (t +1)2>0，()y R t ∴=在(0,1)上单调递增，()()10R t R ∴<=，∴()21ln 01t t t --<+在(0,1)上成立，121x x a∴+>，得证.【点睛】关键点点睛：要证明不等式121x x a+>，关键点之一在于消去a 后对结论进行恰当变形，转化为证明()1212122ln x x x x x x -<+成立，其次关键点在于令()1201x t t x =<<换元，转化为证明()21ln 1t t t -<+成立.19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列1,5,4,7,3：依次构造，第()*n n ∈N次得到的数列的所有项之和记为na，如11438a ++==.（1）求3a ；（2）求{}n a 的通项公式；（3）证明：1231111524n a a a a ++++< 【答案】（1）356a = （2）223nn a =+⨯ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；（2）设出第n 次构造后得到的数列求出n a ，则得到第1n +次构造后得到的数列求出1n a +，可得1n a +与n a 关系，再利用构造法求通项即可；（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.【小问1详解】因为第二次得到数列1,5,4,7,3，所以第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3所以31659411710356++++++++==a ；.【小问2详解】设第n 次构造后得的数列为121,,,,,3 k x x x ，则1213n k a x x x =+++++ ，则第1n +次构造后得到的数列为1112211,1,,,,,,,3,3-++++ k k k k x x x x x x x x x ，则11112211133+-=+++++++++++++ n k k k k a x x x x x x x x x ()12183131243k k n x x x x a -=+++++++-=-+ ，()1232n n a a +-=-，可得1322n n a a +-=-，126a -=，所以{}2n a -是以3为公比，6为首项的等比数列，所以1263n n a --=⨯，即223nn a =+⨯；【小问3详解】由（2）得111111163223123-==⨯<⨯⨯++n nn n a ，所以当1n =时，1115824=<a ，当2n ≥时，所以2312311111111182333n n a a a a ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭21111111511533182241232413n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-⋅<-，综上所述，1231111524n a a a a ++++< .【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.。
山东济宁2024年高二下学期期末考试数学试题+答案
2023-2024学年度第二学期质量检高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}220,2,1,0,1,2A xx x B =−−=−−∣ ，则A B ∩的元素个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.命题“230,x x x ∃>>”的否定是（ ） A.230,x x x ∀>> B.230,x x x ∀> C.230,x x x ∀ D.230,x x x ∃>3.已知随机变量()21,X N σ∼，若()20.8P X = ，则(01)P X <<=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）III IIIIVA.60种B.120种C.180种D.240种5.已知定义在R 上的偶函数()f x ，若对于任意不等实数[)12,0,x x ∞∈+都满足()()12120f x f x x x −>−，则不等式()()22f x f x >−的解集为（ ） A.(),2∞−− B.()2,∞−+ C.22,3− D.()2,2,3∞∞−−∪+6，已知两个变是x 和y 之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，斥利用最小二乘法求得的回归方程是0.280.16yx +，其相关系数是1r .由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m ，具体数据如下表所示：x1 2 3 4 5 y0.50.6m1.41.5若去掉数据()3,m 后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是2r ，则（ ） A.12r r = B.12r r >C.12r r <D.12,r r 的大小关系无法确定7.已知函数()22222,0e ,0xx ax a x f x ax x −+−= −> 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]0,1 B.[]1,e C.[]0,2e D.[]1,2e 8.若2023ln2ln32023,,232024ab c ==，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0,0a b >>，则下列结论正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若11a b>，则a b < C.若2a b +=，则14a b+的最小值为9D.若221a b +=，则a b + 10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()4,22f x f x f x f x =−+=−.当[]2,0x ∈−时，()243f x x x =++，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线2x =对称 B.()f x 是奇函数C.()f x 在[]4,6上单调递减D.20251()1012k f k ==∑11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位.设移动n 次后质点位于位置n X ，则下列结论正确的是（ ）A.()55116P X =−= B.()50E X = C.()63D X =D.移动6次后质点位于原点O 的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()2()1m f x mm x =−−为幂函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，则实数m =__________.113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.14.已知,P Q 分别是函数()e ln xf x x x x =+−和()23g x x =−图象上的动点，测PQ 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量X 为这3人中男生的人数，求X 的分行列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b a c c d b d χ−==+++++++. α0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 a x2.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）在(21)n x −的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等. （1）求12(21)nx x +−的展开式中的常数项； （2）若230123(21)n nn x a a x a x a x a x −=+++++ ，求012323n a a a a na +++++ .17.（15分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x +−=，且当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−.（1）求()f x 在R 上的解析式；（2）若()()2ln f x x f x a ++ 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（17分）已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是12，甲正确回答每道题的概率均为89，乙正确回答每道题的概率均为59，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量X 为比赛结束时两人的答题总个数，求X 的分布列和数学期望. 19.（17分）已知函数()()e 1xf x ax a =+−∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x 恒成立，求a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：()ln f x x >.2023—2024学年度第二学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准2024.07一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.A8.提示：设()ln ,0xf x x x=>，易知()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减， 因为()()ln2ln4ln34,3243a fb f =====，所以()()()43e f f f <<，即1e a b <<. 因为1ln 1x x− （当且仅当1x =时等号成立）（选择性必修二94页），所以202320241ln1202420232023>−=−，所以2023lnc 2023ln 12024=>−，所以1e c >. 所以1ea b c <<<.故选A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD 10.ACD 11.ABD10.提示：设随机变量ξ表示“移动n 次后质点向右移动的次数”，则1,2B n ξ∼， 由题意知()n X n ξξ=−−，即2nX n ξ=−. 对于A ：()()52551512C 216P X P ξ=−==== ，A 正确； 对于B ：()()()51252525502E X E E ξξ=−=−=××−=，B 正确； 对于C ：()()()61126446622D X D D ξξ=−==×××=，C 错误；对于D ：6626,X X ξ=−的所有可能取值有6,4,2,0,2,4,6−−−，当3i =时，661C 2i最大，()()603P X P ξ===最大，D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.1− 13.13四､解答题：本题共5小题，共77分.15.解：（1）零假设为0H ：该班学生的数学建模能力与性别无关因为2250(6121418)2254.327 6.6352426203052χ×−×==≈<×××，所以，依据小概率值0.01α=的独立性检验，没有充分证据证明推断0H 不成立， 因此可以认为0H 成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量X 服从超几何分布，X 可能取1,2,3.()123235C C 31C 10P X ===， ()213235C C 632C 105P X ====， ()303235C C 13C 10P X ===. 则X 的分布列为所以()39355E X =×=. 16.解：（1）因为29C C n n =， 所以11n =. 所以111111112(21)2(21)(21)x x x x x+−=×−+×−所以1112(21)x x +−的展开式中的常数项为 111101112(1)C 2(1)20x x×−+×××−=. （2）因为112311012311(21)x a a x a x a x a x −=+++++ 令0x =得01a =−.因为102101231111(21)22311x a a x a x a x ×−×=++++令1x =得12311231122a a a a ++++=. 所以01232312221n a a a a na +++++=−+= . 17.解：（1）当()1,x ∞∈+时，()2,1x ∞−∈−所以()()3332(21)(1)(1)f x f x x x x =−−=−−−=−−=− 所以当()1,x ∞∈+时，()3(1)f x x =−，又当(],1x ∞∈−时，()3(1)f x x =−，所以()3(1),f x x x =−∈R （2）因为()23(1)0f x x =−′ ，所以()3(1)f x x =−在R 上为增函数.又()()2ln f x x f x a ++ ，所以2ln x x x a ++ ，即2ln x x x a −+ .设()2ln ,0g x x x x x =−+>.则()212112x x g x x x x −++=−+=′ ()()211,0x x x x−+−>，令()0g x ′>得01x <<；令()0g x ′<得1x >.所以()g x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[)1,∞+故()max ()10g x g ==，所以0a ，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.18.解：（1）设i A =“第i 道题甲得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，i B =“第i 道题乙得1分”()1,2,3,4,5,6,7i =，C =“答完前两道题后两人各得1分”.则i A 与i B 独立，所以()181********i P A =×+×−= ， ()()211133i i P B P A =−=−=， ()()()()()()()()121212121212P C P A B B A P A B P B A P A P B P B P A =∪=+=+ 2112433339=×+×=. （2）随机变量X 的取值为3,5,7.()332113333P X ==+=()2222223321212125C C 3333339P X ==×××+×××= ()()()12471351399P X P X P X ==−=−==−−=所以随机变量X 的分布列为所以()124473573999E X =×+×+×=. 19.解：（1）()e xf x a ′=+①当0a 时，()()0,f x f x ′>在R 上单调递增.②当0a <时，令()0f x ′>得()ln x a >−；令()0f x ′<得()ln x a <−. 所以()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在()(),ln a ∞−−上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.（2）①当0a 时，()f x 在R 上单调递增，又()00f =， 所以当0x <时，()0f x <，所以()0f x 不恒成立.②当0a <时，()f x 在()(,ln a ∞−−）上单调递减，在()()ln ,a ∞−+上单调递增.所以()f x 的最小值为()()()ln ln 1f a a a a −=−+−−. 因为()0f x 恒成立，所以只要()()()ln ln 10f a a a a −=−+−− . 设()()ln 1(0)g a a a a a =−+−−<，则()()()1ln 1ln g a a a =−+−+=−′， 所以当1a <−时，()0g a ′>；当10a −<<时，()0g a ′<. 所以()g a 在(),1∞−−上单调递增，在()1,0−上单调递减.所以()()10g a g −=，即()()ln 10g a a a a =−+−− .（当且仅当1a =−时等号成立） 所以当且仅当1a =−时，()()()ln ln 10f a a a a −=−+−−=. 所以1a =−.（3）由（2）可知，()e 1xf x x =−−.设()()ln e 1ln (0)x h x f x x x x x =−=−−−>，下面证明()0h x >.所以()()211e 1(0),e 0xx h x x h x x x′=−−>=+′>′， 所以()h x ′在()0,∞+上单调递增. 又()11e 20,302h h=−>=−<′′， 所以01,12x ∃∈，使得()00h x ′=，即001e 1xx =+.所以当()00,x x ∈时，()()0,h x h x ′<在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x ′>在()0,x ∞+上单调递增.所以()()00000001e 1ln ln xh x h x x x x x x =−−−=−− .因为01,12x∈，所以00010,ln 0x x x −>−>，所以()()00001ln 0h x h x x x x =−−> ， 所以()ln f x x >成立.。
河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试 数学试题(含答案)
南阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x ，代替，分布列如下：则（ ）1234560.210.200.100.10A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652. 若等比数列各项均为正数，且成等差数列，则（ ）A. 3B. 6C. 9D. 183. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ）A. 异面 B.平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直4. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A. 120种 B. 180种 C. 240种 D. 300种5. 的展开式中的常数项为（ ）A. B. 240C. D. 1806. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ）A B. C. D. 7. 若双曲线C ：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C 的离心的.(),N y x y ∈()31123P X <<=X i=()P X i =0.5x 0.1y{}n a 5761322a a a ，，10482a a a a ++()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D AB CD 63112x x ⎛⎫⎛-+ ⎪ ⎝⎝⎭240-180-1e 2e 3e 4e 1243e e e e <<<2134e e e e <<<3412e e e e <<<4312e e e e <<<()222210,0x y a b a b-=>>()2223x y -+=率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8 设，，，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）A. B. C. D.10. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为11. 已知函数的定义域为，且是的一个极值点，则下列结论正确的是（ ）A. 方程的判别式B.C. 若，则在区间上单调递增D. 若且，则是的极小值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列满足．且，若，则________．13. 已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数取值范围是__________．14. 某校课外学习社对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中有的学生喜欢网络游戏，女生中有的学生喜欢网络游戏，若有超过的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有_____________人.附：，其中.0.050.013.8416.635四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..的∞⎫+⎪⎪⎭()2,+∞()1,2⎛ ⎝ln1.5a =0.5b =ππcos 0.522c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b c <<b a c <<c<a<b c b a<<A BCD -ABD BCD ()2,1,1n =-()1,1,2m = A BD C --π6π32π35π622:13x C y +=M :40l x y --=P MA B M 223x y +=PAMB PA PB ⋅12-P (1,3)-AB 340x y --=()()23023a b cf x a x x x=---≠()0,∞+x c =()f x 20ax bx c ++=Δ0>1ac b +=-a<0()f x (),c +∞0a >1ac >x c =()f x {}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-1232024b b b b ++++= ()24ln 2x f x x =-()1,4a a -+a 453595%99%()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0k15. 已知函数在处有极值36．（1）求实数a ，b 的值；（2）当时，求的单调递增区间．16. 在四棱锥中，底面是边长为6的菱形，，，.（1）证明：平面；（2）若，M 为棱上一点，满足，求点到平面的距离.17. 某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金.（1）求某顾客摸出红球的概率；（2）设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望.18. 已知椭圆经过点和．（1）求的方程；（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．19. 对于项数为有穷数列，设为中的最大值，称数列是的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的；（2）设是的控制数列，满足（为常数，）.证明：.（3）考虑正整数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.是否存在数列，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.的()322f x x ax bx a =+++3x =-0b >()f x P ABCD -ABCD 60ABC ∠=︒PB PD =PA AC ⊥BD ⊥PAC 3PA =PC 23CM CP =A MBD Y Y ()E Y 2222:1(0)x y E a b a b +=>>P ⎛ ⎝()2,0A -E ,M N A E 0AM AN ⋅=MN m {}n a n b ()12,,,1,2,,n a a a n m ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b {}n a {}n a {}n a {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1,2,,n m =⋅⋅⋅()1,2,,n n b a n m ==⋅⋅⋅1,2,,m ⋅⋅⋅{}n c {}n c {}n c参考答案1. B2. C.3. B4. C5. C6. A ．7. B ．8. A9. BC 10. BD 11. ABD 12. 202413. 14. 45，或50，或55，或60，或6515. （1）或 （2），16. （1）证明：在四棱锥中，连接交于，连接，如图，因为底面是菱形，则，又是的中点，，则，而平面，所以平面.（217. （1）（2）192（元）.18. （1）（2）（方法一）由 题意可知均有斜率且不为0，设直线的方程为，联立方程组消去得，可得，解得，所以点的坐标为．[)1,339a b =⎧⎨=-⎩69a b =⎧⎨=⎩(),3-∞-()1,-+∞P ABCD -BD AC O PO ABCD BD AC ⊥O BD PB PD =BD PO ⊥,,AC PO O AC PO =⊂ PAC BD ⊥PAC 22452214x y +=,AM AN AM ()2y k x =+()222,1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()222214161640k x k x k +++-=22164214M k x k--=+()222284,21414M M M k kx y k x k k -==+=++M 222284,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，所以直线的斜率为，同理可得点．当时，有，解得，直线的方程为．当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线过定点．又当时，直线也过点．综上，直线过定点．（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，联立方程组消去得，，即．设，则，．因为，所以，即，，，化简得，解得或，所以直线的方程为或（过点A ,不合题意，舍去），所以直线过定点．0AM AN ⋅= AN 1k -222284,44k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭M N x x =22222828144k k k k --=++21k =MN 65x =-M N x x ≠MN ()()22222422442011442828161144M N MN M N k k k k y y k k k k k x x k k k ++-++====-----++()2541k k -MN ()N MN N y y k x x -=-()()()2222222252845528444414141k k k k k k y x x k k k k k k⎛⎫--=--=-⋅- ⎪+++---⎝⎭()2245441k k x k k =-+-()()()22225624565415441k k k x k k k --⎛⎫⋅=+ ⎪-+-⎝⎭()256541k y x k ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭M N x x =65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN x MN y kx m =+22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222148440k x kmx m +++-=()()()222222Δ644144416140k m k m m k =-+-=--->2214m k <+()()1122,,,M x y N x y 2121222844,1414km m x x x x k k--+==++()22121212y y k x x km x x m =+++0AM AN ⋅=()()1212220x x y y +++=()()()2212121240kx x km x x m++++++=()()2222244812401414m km k km m k k --⎛⎫+++++= ⎪++⎝⎭()()()()()2222144824140k mkm km m k +--++++=22516120m km k -+=65m k =2m k =MN 65y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()2y k x =+MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线垂直于轴时，设它的方程为，因为，所以．又，解得或（过点A ,不合题意，舍去），所以此时直线的方程为，也过点．综上，直线过定点．19.（1）由题意，，，，，所以数列有六种可能：；；；；；．（2）证明：因为，，所以，所以控制数列是不减的数列，是的控制数列，满足，是常数，所以，即数列也是不减的数列，，那么若时都有，则，若，则，若，则，又，由数学归纳法思想可得对，都有；（3）因为控制数列为等差数列，故.设的控制数列是，由（2）知是不减的数列，必有一项等于，当是数列中间某项时，不可能是等差数列，所以或，若，则（），是等差数列，此时只要，是的任意排列均可．共个，，而时，数列中必有，否则不可能是等差数列，由此有，即就是，只有一种排列，综上，个数是．的MN x 1x x =0AM AN ⋅= ()221120x y +-=221114x y +=165x =-12x =-MN 65x =-6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭MN 6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭12a =23a =34a =46a =56a ≤{}n a 2,3,4,6,12,3,4,6,22,3,4,6,32,3,4,6,42,3,4,6,52,3,4,6,612max{,,,}n n b a a a = 1121max{,,,,}n n n b a a a a ++= 1n n b b +≥{}n b {}n b {}n a 1n m n a b C -++=C 1n n a a +≥{}n a 123m a a a a ≤≤≤≤ n k ≤n n b a =1121max{,,,,}k k k b a a a a ++= 1k k a a +>11k k b a ++=11k k a b ++=11k k k k b b a a ++===11b a =1,2,,n m = n n b a =3m ≥{}n c {}n b {}n b {}n b m m {}n b {}n b 1b m =m b m =1b m =n b m =1,2,,n m = {}n b 1c m =23,,,m c c c 1,2,3,,1m - (1)!m -m b m =1b m ≠{}n b n b n =n c n ={}n c 1,2,3,,m {}n c (1)!1m -+。
高二下学期期末考试数学试卷含答案(word版)
第二学期期末考试 高二数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确。
）1.设集合{|22}xA x =>，{|ln(2)}B y y x ==-，则A B ⋂=（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x >D ． {|2}x x <2．若()125i z i -=，则z 的值为（ ）A ．3B ．5C ．3D ．53. 在边长为3的等边三角形ABC ∆中，若M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AM AN u u u u r u u u rg 的值是（ ）A ．112 B ． 132C. 6 D ．7 4.已知24x y +=，其中0,0x y >>，则12x y+的最小值为（ ） A.32 B. 2 C. 94D. 22 5．函数2cos 32sinxx y +=的图像的一条对称轴方程是（ ） A ．311π=x B ．35π=x C ．35-π=x D ．3-π=x 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程$9.49.1y x =+，那么表中m 的值为（ ） A ．27．9B ．25．5C ．26．9D ．267.设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-2,2]D.(0,3]8.已知命题p ：x R ∀∈，22log (23)1x x ++>；命题q ：0x R ∃∈，0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧⌝B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧9.若实数,x y 满足1200y x x y y ≤+⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z =的最大值是 ( )AD10．在三棱锥S ABC -中，SB BC ⊥，SA AC ⊥， SB BC =，SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -，则该三棱锥的外接球半径是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．斜率为k 的直线l 过抛物线错误!未找到引用源。
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19.解：由题设条件知f(1)= , = ,
;
;
.………………………………3分
(2)猜想： （其中 ）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）当 时， ，
所以此时猜想成立。………………………………6分
（2）假设 时， 成立
那么 时，
……………9分
，
，
,
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
………………6分
(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，Байду номын сангаас
，
,
.
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
………………12分
18．解：（1） ，所以 ………………2分
………………4分
当 时有最小值 ；………………5分
（2）由（1） ，所以
从而 ，………………8分
，………………10分
（C）（ ， ）∪（ ， ）（D）（ ， ）∪（ ， ）
11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．16种B．18种C．24种D．32种
12. 设函数 是 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 在 处的切线的斜率为（ ）
已知 展开式中 的系数为11，求：（1） 的系数的最小值；（2）当 系数取最小值时，求 展开式中 的奇数次幂项的系数之和。
19．（本题共12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是 ；②输入整数 时，输出结果 是将前一结果 先乘以3n-5，再除以3n+1.
的停放方法共有
（A） 种 （B） 种 （C） 种（D） 种
8. 若幂函数 的图象经过点 ，则它在 点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象可能是（ ）
10.设 是定义在R上的奇函数， ,当 时，有 恒成立，则不等式
的解集是（ ）
（A）（ ， ）∪（ ， ）（B）（ ， ）∪（ ， ）
所以当汽车以 千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，
最少为 升。……………………………………………………………… 12分
22.解：（1）因为 ，所以 ．……………………………1分
因为函数 的图像在点 处的切线斜率为3，
所以 ，即 ．
22. （本题共14分）
已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数 的值；（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；
（3）当 时，证明 ．
参考答案(理)
一、选择题：CCAAD ACBAD CB
二、填空题：
13. 14. 15． (99.5% ) 16.
三解答题
17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
三、解答题：（本题共6个小题，共74分）
17. （本题共12分）
一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
18．（本题共12分）
4. 若 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.函数 在点 处的导数是（ ）
(A) (B) (C) ( D)
6. 已知随机变量 服从正态分布 ,则 ( )
(A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.84
7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）
需蚝油 （升）。
所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 升…4分.
（II）当汽车的行驶速度为 千米∕时时，从甲地到乙地需行驶 小时.设耗油量为 升，依题意，得
其中， .………………………………………………………… 7分
.
令 ，得 .
因为当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数，所以当 时， 取得最小值 .
所以 时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想： （其中 ）成立。
…………………………12分
20解：（1）求函数 的导数： 。曲线 在点 处的切线方程为： ，即 。……………4分
（2）如果有一条切线过点 ，则存在t，使 。
于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程 有三个相异的实数根。记 ，则 。当 变化时， 的变化情况如下表：
0
＋
0
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；
当 时，解方程 得 ， ，即方程 只有两个相异的实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根。
综上，如果过 可作曲线 的三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 。
…………………………12分
21.（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 （小时），
高二下学期期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）
1．设 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列等于1的积分是（）
A． B． C． D．
3.用数学归纳法证明：1+ + + 时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
（1）求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中 ）的表达式，并给出证明.
20. （本题共12分）
已知函数 。（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： 。
21.（本题共12分）
据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量 （升）与行驶速度 （千米∕时）之间有如下函数关系： 。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13.若 ，其中 、 ， 是 虚数单位，则 _________。
14. 函数 的单调增区间为_________________。
15. 定积分 的值等于_________________。
16. 若 内一点 满足 ，则 。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体 内一点 满足 ， 则 .