2011年数学第一轮复习专题(理)第二章 第一单元1 推理与证明
2011届高考数学第一轮总复习知识点课件6
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a,b,c,
2 2 a b sin (A - B) 求证： c2 sin C
.
证明： 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A, 2 2 2 a b c - 2bcos A c 2bcos A 则 . 2 2 c c c 又由正弦定理,得 c 2bcos A sin C - 2sin Bcos A c sin C sin C -[sin(B A) sin(B - A)] sin C sin C -[sin C sin(B - A)] sin (A - B) , sin C sin C
个是正确的，不可能有第三种情况出现.
举一反三
3. 已知a,b,c是一组勾股数，且 a 2 b2 c2 . 求证：a,b,c不可能都是奇数.
2 2 2 证明： 假设a,b,c都是奇数,且a,b,c是一组勾股数,∴ a b c
又∵a,b,c都是奇数,∴a 2 , b2 , 2 也都是奇数, c ∴ a 2 b 2 是偶数， a 2 b2 c 2 ,
考点演练
10. 完成反证法证题的全过程. 已知：a1,a2,…，a7是1，2，…，7的一个排列. 求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数. 证明：假设p为奇数，则均为奇数.① 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数= = =0. 但奇数≠0，这一矛盾说明p为偶数. 答案: ① a1 1, a2 1,...a7 7 ② a1 1 a2 1 ... a7 7 ③ a1 a2 ... a7 1 2 ... 7 ② ③
b d b
a,b,c,d∈R+且bc>ad, ∴
bc ad 0 b d b
2011届高考数学第一轮复习精品课件12.ppt
│要点探究
【解答】算法设计如下： 第一步，r1＝1，r2＝4，h＝4； 第二步，l＝ (r2－r1)2＋h2； 第三步，S1＝πr21，S2＝πr22，S3＝π(r1＋r2)l； 第四步，S＝S1＋S2＋S3，V＝13(S1＋ S1S2＋S2)h； 第五步，输出 S 和 V. 程序框图如下：
│要点探究
│要点探究
变式题 有 9 个外形完全相同的小球，其中 8 个的 质量一样，有一个质量稍微轻一些，给你一个天平，你能 把那个质量稍轻的小球找出来吗？写出寻找较轻小球的 算法．
【思路】利用天平平衡原理，较高的托盘里面的小 球就是要找的，通过适当的方法，尽快找出较轻的小 球．
│要点探究
【解答】算法1： 第一步：任取两个小球分别放到天平的两个托盘 中，如果天平不平衡，则较高的托盘中的小球就是要 找的小球；如果天平是平衡的，则执行下一步； 第二步：取出左边托盘的一个球，然后把剩下的7 个小球依次放到左边托盘中，直到天平不平衡，找出 较轻的小球； 第三步：结束． 算法2： 第一步：把9个小球平均分成三组，每组3个； 第二步：把其中的两组放到天平的两个托盘中，
│知识梳理
明，也可以用框图直观地显示算法的全貌． 3．算法的要求 (1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使
用． (2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必
须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果． 4．程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线
及文字说明来准确、直观地表示算法的图形． 通常，程序框图由 程序框 和 流程线 组成，一个或
理科
│知识框架 知识框架
│知识框架
│考试说明
考试说明
1．算法初步 (1)了解算法的含义，了解算法的思想． (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条 件结构和循环结构． 2．复数 (1)理解复数的基本概念． (2)理解复数相等的充要条件． (3)了解复数的代数表示法及其几何意义．
高考数学一轮复习 11.3 推理与证明精品课件 理 新人教A版
AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.
∴
1 AD2
=
1 =
BD·DC
BC2 BD·BC·DC·BC
=
BC2 AB2 ·AC2
.
又BC2=AB2+AC2,
∴
1 AD 2
=
AB2 + AC2 AB2 ·AC2
11 = AB2 + AC2 .
∴
1 AD2
=
1 AB 2
+
1 AC2
.
猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，
≥(a + 1 + a
2)2 .
即
a2
+
1 a2
+4
a2
+
1 a2
+4
≥a 2
+2+
1 a2
+2
1 2(a + ) + 2
a
从而只要证 2
a2
+
1 a2
≥
1 2(a + )
a
只要证
4(a 2
+
1 a2
)
≥2(a 2
+2+
1 a2
)
即
a2
+
1 a2
≥2,而上述不等式显然成立,
故原不等式成立.
【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论 到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明 的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分 条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、 定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题 得证.
高中语文创新设计2011届高考数学一轮复习(课件+随堂演练)：第十一单元 数系的扩充推理与证明 人教版1最新
设点O是EFGH的对称中心，∵P—EFGH是正四棱锥， ∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH， ∴PO⊥FH.∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O， PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG， ∴FH⊥平面PEG.而BD∥FH， 故BD⊥平面PEG.
【分析点评】
1. 这道题是比较简单的，只要连结图上的EG、HF及BD，找出EG与HF的交点O， 连结PO，由正四棱锥的性质经几个简单的步骤就可以推证出来． 广东文科试题近三年对推理论证能力的考查一直停留在比较初级的阶段，主要以 立体几何中的一些位置关系证明与判断的形式出现．难度不大，非常符合广东文 科考生数学认知特点与水平．所以文科考生不必对推理与证明产生畏惧，掌握论 证问题(线面关系)的一些简单、基本思路，这个分数是很容易得到．
∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜0， ＜1，∴1－
＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
于是，根据“三段论”可知，f(x)＝x＋ 在(1，＋∞)上是增函数．
证法二：∵f′(x)＝1－ ，又x∈(1，＋∞)， ∴ ＜1，∴f′(x)＝1－ ＞0， ∴f(x)＝x＋ 在(1，＋∞)上是增函数．
(1)归纳推理：由某类事物的部分 对象具有某些特征，推出该类事物的全部 对 象都具有这些特征的推理，或者个由别事实工科 概括出一般结论 的推理，称为 归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分 到整体 、个由别 到
一般 的推理．
归纳推理的基本模式： a、b、c∈M且a、b、c具有某属性 ；
结论：∀d∈M，d也具有某属性． (2)类比推理：由 两类对象 具有某些类似特征和其中一类对象
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，
2011届高考数学第一轮知识点复习16
第二节推理与证明【高考目标定位】一、合情推理与演绎推理1、考纲点击（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2、热点提示（1）以选择题、填空题的形式考查合情推理；（2）以选择题或解答题的形式考查演绎推理（3）题目难度不大，多以中低档题为主。
二、直接证明与间接证明1、考纲点击（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点；2、热点提示（1）本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主；（2）反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。
三、数学归纳法1、考纲点击（1）了解数学归纳法的原理；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、热点提示（1）归纳——猜想——证明仍是高考重点；（2）与函数、数列、不等式等知识结合，在知识的交汇处命题是热点。
【考纲知识梳理】一、合情推理与演绎推理注：归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的。
归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。
二、直接证明与间接证明1、直接证明注：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。
分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种。
2、间接证明反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法。
三、数学归纳法 数学归纳证题的步骤：（1）证明当n 取第一值00()n n N *∈时命题成立：（2）假设n=k(k ≥0n ,k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明
高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二 直接证明与间接证明 命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立， 即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立， 即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立， 即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0， 所以原不等式成立． 命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根． 证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾． 因此，所给三个方程不可能都只有一个实根． 教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确 答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m， 等式两边平方得3＋n m ＝9nm， 即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ， 所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9， 只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α， 因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9， 即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
高考数学一轮单元复习 推理与证明课件
பைடு நூலகம்
第十三单元│使用(SHǏYÒ NG)建议
使用建议
1．在复习本单元时，要重视对合情推理的训练，加强 合情推理与演绎推理的综合应用．本单元是培养学生良好思 维习惯，学习和运用数学思想方法，形成数学能力的重要一 环．要站在思想方法的高度，对多年以来所学习的数学知识 和数学方法做较为系统的梳理和提升．务必使学生对数学发 现与数学证明方法有一个较为全面的认识．
第五页，共10页。
第十三单元(DĀNYUÁ N)│命题趋势
解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才 能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想 等，是对思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可 以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强 (zēngqiáng)选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题 中，推理与证明问题正在成为一个热点题型．近几年新课标地 区的高考对这部分知识的命题有如下特点：
基于以上认识，本单元在题目的配置上加强了合情推 理(以小题为主)，注重了对数学结论的分析和对探究性问题 的研究．
本单元共4讲，每讲建议1课时完成，45分钟单元能力 训练卷建议1课时完成，共约需5课时．
第十页，共10页。
1．降低了对数学归纳法的要求，加强了对合情推理的考 查，尤其是加强了对合情推理下的类比推理的考查．
第六页，共10页。
第十三单元│命题(MÌNG TÍ)趋势
2．以小题为主，一般以选择题、填空题的形式出现，多数为 基础题，难度属中档偏下．主要考查学生的观察、归纳、类比以及 逻辑推理能力．
3．演绎推理在高考(ɡāo kǎo)中虽然很少刻意去考查，但实际 上对推理的考查可以说是无处不在，特别是综合应用各种证明方法 对各种数学问题进行的分析、判断遍布在试卷的始终．
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第二章 推理与证明
第一节 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．(2009年河池模拟)在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,
10,15,21,28，……这些数叫做三角形数，因为这些数对
应
的点可以排成一个正三角形(如下图所示)则第n 个三角形
数为( )
A ．n B.12
n(n ＋1) C ．n 2－1 D.12
n(n －1) 2. 凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形有f(n ＋1)条对角线数为( )
A ．f(n)＋n －1
B ．f(n)＋n
C ．f(n)＋n ＋1
D ．f(n)＋n －2
3．设f 0(x)＝cos x,f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N*，则f 2011(x) ＝( )
A ．－sin x
B ．－cos x
C ．sin x
D ．cos x
4．(2010年福建三明期末)给出下面类比推理命题(其中R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；
②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈C ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d ”；
③“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b ” 类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b ”；
④“若a ，b ∈R ，则a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0”．类比推出“若a ，b ∈C ，则a ·b ＝0⇒a ＝0 或b ＝0”．
其中类比结论正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．(2009年广州一模)如下图所示，面积为S 的平面凸四边形的
第i 条边的边长记为a i （i=1,2,3,4），此四边形内任一点P
到第i 边的距离记为h i ()i ＝1，2，3，4，若
43214321a a a a ===＝
k ，则∑i ＝1
4 (ih i )＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱 锥的第i 个面的面积记为S i ()i ＝1，2，3，4， 此三棱锥内任一点
Q 到第i 个面的距离记为H i ()i ＝1，2，3，4，若
43214321a a a a === ＝k ，则∑i ＝1
4
(iH i )＝( )
A.4V k
B. 3V k
C. 2V k
D. V k
二、填空题
6．有穷数列{a n }，S n 为其前n 项和，定义n
S S S S T n n ++++= 321为数列{a n }的“凯森和”， 如果有99项的数列a 1、a 2、a 3、…a 99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a 1、a 2、 a 3、a 4、…a 99的“凯森和”T 100＝________.
7．在等比数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N*) 成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则等式 成立．
8．(2008年汕头一模)设P 是△ABC 内一点，△ABC 三边上的高分别为h A 、h B 、h C ，P 到三边的
距离依次为l a 、l b 、l c ，则有C
c B b A a h l h l h l ++＝______；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是h A 、h B 、h C 、h D ，P 到这四个面的距离依次是l a 、l b 、 l c 、l
d ，则有________．
三、解答题
9．由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋……＋115
>2，你能得 出怎样的结论，并进行证明．
10.(2009年湖南卷)将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别
给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行 于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3) 和f(n)．
参考答案
1．B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.991
7．解析：由题设可知，如果a m ＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2m －1－n (n<2m －1，n ∈N
＋)成立，如果m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q 是正整数，对于等差数列，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；而对于等比数列，则b m b n ＝b p b q ，所以可以得结论：若b m ＝1，则有等式b 1b 2…b n ＝b 1b 2…
b 2m －1－n (n<2m －1，n ∈N ＋)成立．在本题中m ＝9.答案： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n<17，n ∈N ＋)
8．1 1=+++D
d C c B b A a h l h l h l h l 9．提示：可得到如下结论1＋12＋13＋…＋121-n >n 2
，证明略． 10．解析：当n ＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ，z 1＋z 2＝c ＋a.
x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2，
2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2.
6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c)＝2.
即g ＝13而f(3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋13＝103
. 进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相 加，f(4)中有15个数相加…，若f(n －1)中有a n －1(n ＞1)个数相加，可得f(n)中有(a n －1
＋n ＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝33，f(2)＝63＝3＋33＝f(1)＋33，f(3)＝103＝f(2)＋43
， f(4)＝5＝f(3)＋53
，… 可得f(n)＝f(n －1)＋n ＋13
， 所以f(n)＝f(n －1)＋n ＋13
＝f(n －2)＋n ＋13＋n 3
＝…＝n ＋13＋n 3＋n －13＋33
＋f(1) ＝n ＋13＋n 3＋n －13＋33＋23＋13
1 6(n＋1)(n＋2)．
＝。