3.1.2 函数的表示法
教学设计4：3.1.2 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法教学设计一、教学目标1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.二、教学重难点1、教学重点会选择恰当的方法表示函数.2、教学难点函数的实际应用三、教学过程1、新课导入上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.2、探索新知我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.这三种方法是常用的函数表示法.下面我们通过例题来体会这三种方法的特点.例：某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})x x ∈个笔记本需要y 元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x =.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数()y f x =表示为5y x =，{1,2,3,4,5}x ∈.用列表法可将函数()y f x =表示为用图象法可将函数()y f x =表示为下图.思考：（1）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（2）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.下面我们通过例题来认识分段函数：例：画出函数||y x =的图象.解：由绝对值的概念，我们有00x x y x x -<⎧=⎨⎩，，.所以，函数||y x =的图象如图所示.像例题中00x x y x x -<⎧=⎨⎩，，这样的函数称为分段函数，生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题.如出租车的计费、个人所得税纳税额等.通过对课本例题的学习进一步掌握函数的实际应用.3、课堂练习1.设函数()221121x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，，，则()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=（ ）A. 1516B.4C.3D. -3答案：A解析：依题意知()222224f =+-=，则()211115124416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选 A. 2.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过310m 的，按t 元/3m 收费；用水量超过310m 的，超过部分按2t 元/3m 收费.某职工某月缴水费16t 元，则该职工这个月实际用水量为( )A.313mB.314mC.318mD.326m答案：A解析：该单位职工每月应缴水费y (元）与实际用水量()3m x 满足的关系式为01021010tx x y tx t x ≤≤⎧=⎨->⎩，，.由16y t =，可知10x >.令21016tx t t -=，解得13x =. 3.某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km ，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了()b km b a <，再折回匀速前进c km ，则此人距起点的距离s 与时间t 的关系示意图正确的是__________(填序号).答案：③解析：注意理解两坐标轴s ，t 的含义，这里s 是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合.4、小结作业小结：本节课学习了函数的表示方法、分段函数以及函数的实际应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计3.1.2 函数的表示法常用的函数表示法：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.。
第三章 3.1.2 第1课时 函数的表示法
3．1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答案 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁RQ .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝________.x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123答案 3解析 ∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是________．答案 [－2,3]解析 由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．3．已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________．答案 [－4,3]解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4,3]．4．若一次函数f (x )的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x ＋1解析 由题意设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋bx .当x＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象．解 (1)由题设条件知，当x ＝2时，t ＝100， 当x ＝14时，t ＝28，列出方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x .又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N }．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列， 如图所示．(学生)反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}， 试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )． 解 用图象法表示函数y ＝f (x )，如图所示．用列表法表示函数y ＝f (x )，如表所示．x 1 2 3 4 y－2－3－4－5二、函数的图象的画法 例2 作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分． 如图所示，(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．如图所示，(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．如图所示，(教师) 延伸探究根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]． (学生)反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练2 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．三、求函数的解析式例3 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)：令t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x， 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(学生)反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(2)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(3)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练3 (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )． 解 (1)方法一 (配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2 ＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.方法二 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.函数图象的应用典例已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)答案 C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案 A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．知识清单： (1)函数的表示法． (2)函数的图象． (3)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 答案 D解析 题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}． 2．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．4 B.14 C ．16 D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x2＝16.3．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案 A解析 方法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .方法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( )A ．－1B ．5C ．1D ．8答案 C解析 由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1.5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 7．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570， 若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)：令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1，∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.11．函数y ＝x 1＋x 的大致图象是( )答案 A解析 方法一 y ＝x 1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.13．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________． 答案 －1解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3] ＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.14．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0) 解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x. 由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)＝3，得b＝－3a－9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9.。
3.1.2函数的表示法-高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
= 0.8 × 189600 − 117360 = 34320.
将t的值代入(1)中，得y = 0.03 × 34320 = 1029.6.
所以，小王应缴纳得综合所得税税额为1029.6元.
练习巩固
2x + 1，x < 1，
练习1：已知函数f(x) =
则f(9) =( )
f(x − 3)，x ≥ 1，
(1)在同一直角坐标系中画出f(x)，g(x)的图象；
解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象.
练习巩固
例6：给定函数f(x) = x + 1，g(x) = (x + 1)2 ，x ∈ R，
(2)∀x ∈ R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x) = max{f(x)，g(x)}.
解：由2 (−) + () = ，①
可得2 + − = −.②
联立①②，得：f x = −x.
小结
解析法
常用表示法
列表法
图像法
函数的表示法
定义
分段函数
图像
函数的实际应用
练习巩固
例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国
个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年１月１日起，个税税
额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所
得额×税率－速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收
复习导入
新知探究
问题1：我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是三种
方法吗？
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
3.1.2函数的表示法
包括工
资、薪金，劳务报 酬，稿 酬，特许
权使用费
“基本减除费用” （免征额）为每年
60000元．
包括居民个人按
照国家规定的范围和标 准缴纳的基本养老保险、 基本医疗保险、失业保 险等社会保险费和住房
公积金等；
包括子女教育、 继续教育、 大病
医疗、住房贷款 利息或者住房租 金、赡养老人
等支出；
（１）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y， 求y＝f（t），并 画出图象；
【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}
y
25
20
【列表法】函数可以表示如下表：
15
10
笔记本数m 1 2 3 4 5
5
钱数y 5 10 15 20 25
0 1 2 34 5
m
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域 【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系 【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
（1）比较函数的三种表示法，它们各有什么特点？ （2）所有函数都能用解析法吗？列表法与图像法 呢？请你举出实例加以说明
解析法，对应关 系清楚、简明、 全面，通过解析 式可求出任意自 变量对应的函数 值，便于研究函 数性质.
列表法，不用计 算，看表就知道 函数值，但当自 变量较多时，列 表不易实现
图像法能形象、直观 地表示出函数的变化 情况，但求函数值比 较困难，只能求近似 值，且误差较大
y
y = (x + 1)2 3
2
1
-3 -2 -1 o
-1 -2
-3
y=x+1
1 2 3x
y
5 4 3 2 1
3.1.2函数的表示法+教案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学课题：3.1.2 函数的表示法课型：新授课课时：2课时课标要求：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
学习目标：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象和解析式之间相辅相成的关系；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；3、发展学生直观想象、逻辑推理核心素养。
重点：了解简单的分段函数，并能简单应用。
难点：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学方法：启发式、自主探究式相结合教学准备教师：多媒体课件学生：教学过程一、复习旧知、引入新课引入1：（师）你还记得初中我们学习过的函数的表示方法有哪些？（生）解析法、列表法和图像法引入2：（师）你能分辨下列函数是用什么方法表示的吗？（1）3.1.1的问题3：北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI) I和时间t的关系;（生）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.（2）3.1.1的问题4：恩格尔系数r与年份y的对应关系;年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（生）列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.（3）3.1.1的问题1：路程和时间的对应关系，s=350t，t{00.5}∈≤≤t t（生）解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.设计意图：学生对初中学过的三种函数表示方法已经比较熟悉了，但是接触的例子有所欠缺，所以教师应引导学生回顾具体的例子，为学生深入研究这3种方法打下基础。
二、创设情境、提出问题x x∈个笔记本需要y元，试用列表法和图情境1某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})像法表示函数y=f(x).解析：用列表法可将y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法发可将y=f(x)表示为追问1（师）你发现图象上这些点有什么特征？（生）这些点好像都经过一条直线。
课件3.1.2： 函数表示法
强
7
典型例题
解析法 y=5x x1,2,3,4,5
注：用解析法必须注明函数的定义域。
列表法
笔记本数x 1 2 3 4 5
钱数y
5 10 15Βιβλιοθήκη 20 25讲课人
：
邢
启 强
8
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
三种表示方法的特点
解析法的特点：全面.精确地概括了变量间的 关系；可以通过用解析式求出任意一个自变 量所对应的函数值。
解: 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20)
-3t+90,(20 ≤ t≤30)
讲
课
人 ： 邢 启
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
强
15
巩固练习
2x+3, x＜－1,
3. 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1, x－1, x≥1 .
(1)求f{f[f(－2)]} (2) 当f (x)=－7时,求x ;
即：判定两个函数是否相同，只需考 察对应关系（表达式）与定义域是否 相同即可。
讲
课
人
：
邢
启 强
5
复习练习
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0y 2
x
2
D
讲 课
0
2x
0
x
2
人
：
邢
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
3.1.2函数的表示法教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
重点题型整理
1. 题目：已知函数f(x) = 2x + 1，求f(3)。
答案：f(3) = 2*3 + 1 = 7。
说明：这是一个基础的函数值求解题型。首先，需要理解题目中给出的函数表达式，然后将给定的x值代入表达式中求解。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解函数的基本表示方法。函数是某个变量随着另一个变量的变化而变化的规律。它可以用电解析式、图像和表格等方式来表示。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了函数图像在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调电解析式和图像表示法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
说明：这个题目涉及到三次方的计算，需要注意三次方和二次方的运算。
4. 题目：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)。
答案：f(-1) = 2*(-1) + 3 = -2 + 3 = 1。
说明：这个题目是求负数作为x值的函数值。需要注意负数的运算。
5. 题目：已知函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求f(-2)。
教学内容与学生已有知识的联系主要在于初中数学中的函数概念和图像。学生在初中阶段已经学习了函数的基本概念和一些简单的函数图像，对本节课的内容有一定的了解。在此基础上，本节课将进一步深化学生对函数的理解，引导学生从不同的角度来观察和研究函数，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过学习函数的表示法，学生将能够抽象出函数的本质特征，运用逻辑推理能力理解不同的表示方法之间的联系，以及运用数学建模能力选择合适的表示方法来解决实际问题。同时，通过小组讨论和问题解答，学生还将提高合作交流和问题解决的能力，从而全面提升数学学科核心素养。
新课标数学预习讲义---3.1.2 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法【知识梳理】1．函数的三种表示方法：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. （3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【考点分类精讲】考点1 列表法【考点1】已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出：．不等式的解集是 ．【举一反三】已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出：的值相同的是 ．考点2 解析法类型1：待定系数法【考题2】设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．【举一反三】已知)(x f 是二次函数，若1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ，求)(x f 表达式．类型2：配凑法【考题3】已知函数)(x f 满足：221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求()f x 的解析式．【举一反三】已知函数)(x f 满足：x x x f 2)1(+=-，求()f x 的解析式．类型3：换元法【考题4】已知函数)(x f 满足：x x x f 2)1(+=+，求()f x 的解析式．【举一反三】已知函数)(x f 满足：2211)11(xx x x f +-=+-，求)(x f 的解析式．类型4：构造方程组法【考题5】已知函数)(x f 满足：x xf x f =-)1(2)(，求)(x f 的解析式．【举一反三】设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又，11)()(-=+x x g x f 求)()(x g x f 和的解析式． 附：若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-；若)(x f 是偶函数，则)()(x f x f =-类型5：赋值法【考题6】已知1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．考点3 图像法【考题7】作出下列函数的图象 （1）()1f x x =+（2）|2||1|)(-++=x x x f（3）|32|2--=x x y（4）x xx y +=【举一反三】1．试画出函数221|1|)(x x x x f --=的图像，并根据图像写出函数的值域．2．当m 为何值时，方程24||5,x x m -+=（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．考点4 分段函数【考题8】已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，解不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤．【举一反三】1．设函数()221, 1,2, 1,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+->⎪⎩则()12f f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的值是 ． 2．设函数()222200x x ,x ,f x x ,x .⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若()()2f f a =，则a = ．3．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若 则实数a 的取值范围 ． 4．作出函数8||2)(2--=x x x f 的图像，并将函数式写成分段函数的形式．【题型优化测训】1．设32)(+=x x f ，)()2(x f x g =+，则=)(x g （ ） A ．12+xB ．12-xC ．32-xD ．72+x2．设)(x f 是一次函数，且3)2(3)1(2=+f f ，1)0()1(2-=--f f ，则=)(x f （ ） A ．9194+x B ．9194-x C ．936-x D ．x 369-4．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．135．用min{a ，b }表示两个数中的较小值，要使=)(x f min{||x ，||t x +}的图像关于直线21-=x 对称，则t 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥)(,)(,b a a b a b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．7．若关于x 的方程0322=---a x x 有四个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 8．若记号[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]x y =的图像与直线1-=x y 的图像的交点个数是_________． 9．如果函数)(x f 满足ax xf x af =+)1()(，其中1±≠a ，求)(x f 的解析式．10．作出下列函数的图像． （1）|12|)(2--=x x x f（2）1||1)(-=x x f。
教学设计3：3.1.2 函数的表示法
20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。
3.1.2 函数的表示法(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
最新人教A版高中数学必修一课件：3.1.2 第一课时 函数的表示法
【对点练清】 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，
值域是________． 解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 答案：[－3,3] [－2,2]
2．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图2.
3．1.2 函数的表示法
明确目标
发展素养
1.掌握函数的三种表示方法：解 1.通过用图象法表示函数，培养直观想
析法、图象法、列表法． 象素养．
2.会根据不同的需要选择恰当的 2.通过求函数解析式及分段函数求值，
方法表示函数．理解函数图象 培养数学运算素养．
的作用． 3.利用分段函数解决实际问题，培养数
【学透用活】 [典例 3] 求下列函数的解析式： (1)已知函数 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知函数 f(x)是二次函数，且 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)； (3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求 f(x)．
题型三 函数解析式的求法 [探究发现] (1)什么是函数解析式？ (2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？ 提示：(1)用数学表达式表示两个变量 x，y 之间的对应关系． (2)一次函数的解析式是 y＝kx＋b(k≠0)，二次函数解析式是 y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)，反比例函数的解析式是 y＝kx(k≠0)．
()
高中数学第一册3.1.2函数的表示法课件
5．已知函数 f(x)＝xx＋2－42，x，x≤0<0x≤4 －x＋2，x>4.
(1)求 f{f[f(5)]}的值； (2)画出函数的图象．
【解】 (1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即 f{f[f(5)]}＝－1. (2)图象如图所示．
（2）x R, 用M(x)表示 f (x), g(x)中的较大者，记为
M(x) max{f (x), g(x)}
试分别用图象法和解析法表示函数M(x).
（2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的 定义，可得函数M(x)的图象，如图
由(x 1)2 x 1，可解得x 1，或x 0. 结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.2 函数的表示法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析 式表示函数关系的。
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3.
【答案】 C
x＋2，x≥0 1，x<0，
则 f[f(－1)]＝(
)
A．3 C．0
B．1 D．－1
【解析】 ∵f(x)＝x1＋，2x，<0x，≥0 ∴f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选 A.
【答案】 A
3．f(x)＝|x－1|的图象是( )
3.1.2 函数的表示法(课件)
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第三章 函数的概念与性质
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示． 由图可知 y＝2x(－2≤x≤1, 且 x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
数学 必修 第一册 A
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第三章 函数的概念与性质
[方法总结] 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等. 要分清这 些关键点是实心点还是空心圈． 提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
第三章 函数的概念与性质
方法二：换元法． 适用条件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式． 操作过程：
提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域．
数学 必修 第一册 A
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第三章 函数的概念与性质
探究二 函数图象的画法及应用 作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝2x(－2≤x≤1，且 x≠0)． 解 (1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示. 由图可知 y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为－14，2.
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
答案 C 解析 设 y＝kx(k≠0)，由题意知 1＝2k，∴k＝2，∴y＝2x.
数学 必修 第一册 A
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第三章 函数的概念与性质
知识点2 分段函数 (1)前提：在函数的定义域内． (2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着___不__同__的__对__应__关__系_____. (3)结论：这样的函数称为分段函数．
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册
3.1.2 函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一 函数的表示法状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x≤0，x ，0<x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P 68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点 缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13C ．1D ．2解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋4解析：方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2.∴f (x )＝3x ＋2.方法二 ∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x 12 3f(x)21 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1 1题型一函数的表示方法[经典例题]例 1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．x 12 3f(x)23 1【解析】(1)所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元 3 000 6 0009 00012000150001800021000240002700030000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2 根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，求f (x )；(2)f (x )是二次函数，且f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3，求f (x )．【解析】 (1)设t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1t 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＝t t 2－1， 故f (x )＝xx 2－1(x ≠0且x ≠±1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．因为f (2)＝－3，f (－2)＝－7，f (0)＝－3. 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.所以f (x )＝－12x 2＋x －3.(1)换元法：设1x＝t ，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax 2＋bx ＋c.跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________； (2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 解析：(1)因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4，令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)，所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)． (2)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：(1)f (x )＝x 2－4(x ≥2) (2)2x －13或－2x ＋1(1)换元法 设x 2＋2＝t. (2)待定系数法 设f(x)＝ax ＋b.题型三 求分段函数的函数值 [经典例题] 例3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2(|x |≤1)，11＋x 2(|x |>1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.12B.413 C ．－95 D.2541(2)已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f (f (n ＋5))，n <10，则f (8)＝________.【解析】 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解． (2)因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))中， 即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3中，得f (13)＝10， 故f (8)＝f (10)＝10－3＝7. 【答案】 (1)B (2)7 方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得． (2)像本题中含有多层“f ”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)，π (x ＝0)，0 (x <0)，求f (－1)，f (f (－1))，f (f (f (－1)))．解析：∵－1<0，∴f (－1)＝0，∴f (f (－1))＝f (0)＝π，∴f (f (f (－1)))＝f (π)＝π＋1. 根据不同的取值代入不同的解析式．题型四 函数图象[教材P 68例6]例4 给定函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝(x ＋1)2，x ∈R ， (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象；(2)∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )＝max{f (x )，g (x )}． 例如，当x ＝2时，M (2)＝max{f (2)，g (2)}＝max{3,9}＝9. 请分别用图象法和解析法表示函数M (x )．【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M (x )的定义，可得函数M (x )的图象(图2)． 由(x ＋1)2＝x ＋1，得x (x ＋1)＝0.解得x ＝－1，或x ＝0. 结合图2，得出函数M (x )的解析式为 M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，x ＋1，－1<x ≤0，(x ＋1)2，x >0.状元随笔 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)； 2．结合图象，图象在上方的为较大者； 3．写出M(x). 教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象时，先用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式⎝⎛⎭⎪⎫其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ，确定抛物线的开口方向(a >0开口向上，a <0开口向下)、对称轴(x ＝h )和顶点坐标(h ，k )，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4 作出下列函数的图象： (1)y ＝－x ＋1，x ∈Z ； (2)y ＝2x 2－4x －3,0≤x <3； (3)y ＝|1－x |.解析：(1)函数y ＝－x ＋1，x ∈Z 的图象是直线y ＝－x ＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x <3，故函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x <3之间的部分，如图(b)．(3)因为y ＝|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x 的取值(部分图象)．(3)关键是根据x 的取值去绝对值．解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值 例 求函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|的最小值． 【解析】 y ＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x ∈[－1,1]时，y min ＝2.【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /张 1 2 3 4 5y /元 20 40 60 80 100(2)(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )；(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9， ∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)；(2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧ …－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。
第三章 3.1.2 函数的表示法
3.1.2 函数的表示法课标要求素养要求1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4.会求函数的解析式. 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题提示解析法、图象法和列表法.1.函数的三种表示方法注意三种表示方法的优缺点2.分段函数 分段函数在书写时要用大括号，把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段的定义域.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.教材拓展补遗[微判断]1.任何一个函数都可以用列表法表示.(×)提示 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示. 2.任何一个函数都可以用图象法表示.(×) 提示 有些函数是不能画出图象的， 如f (x )＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁RQ .3.函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线.(×) 提示 反例：f (x )＝1x 的图象就不是连续的曲线. 4.分段函数是一个函数，且其图象一定是间断的.(×) 提示 图象可间断，也可连续.5.函数f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋1(x ∈N )的图象相同.(×) 提示 两函数的定义域不同，则图象不同.6.若f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )＝3x －1.(√) [微训练]1.函数f (x )＝3x －1，x ∈[1，5]的图象是( )A.直线B.射线C.线段D.离散的点解析 ∵f (x )＝3x －1为一次函数，图象为一条直线，而x ∈[1，5]，则此时图象为线段.故选C. 答案 C2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <1且x ≠－1，x －1，x >1，则f (2)＝________. 解析 f (2)＝2－1＝1. 答案 13.已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________.解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4，3]. 答案 [－4，3] [微思考]函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？提示 要检验一个图形是否为函数的图象，其法则为：在定义域内任取一个x 值作垂直于x 轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象.题型一 三种表示法的应用无论用哪种方式表示的函数，都必须满足函数的概念【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解 (1)列表法：x /台 1 2 3 4 5 y /元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x /台 6 7 8 9 10 y /元18 00021 00024 00027 00030 000(2)(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}. 规律方法 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.【训练1】 将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁丝长x (x ∈N *)的函数关系.解 这个函数的定义域为{x |1≤x <10，x ∈N *}. ①解析法：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫10－x 42. 将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋254，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}. ②列表法：一段铁丝长x(cm)123456789 两个正方形的面积之和S(cm2)418174298134258134298174418题型二求函数解析式已知f(x)与f⎝⎛⎭⎪⎫1x或f(－x)之间的关系式，常采用先换元，再消元求f(x)的解析式方向1换元法(配凑法)、方程组法求函数解析式【例2－1】求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).解(1)法一(换元法)：令t＝x＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).(2)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①－2×②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.规律方法 1.已知f (g (x ))＝h (x )求f (x )，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t ＝g (x )解出x ，代入h (x )中得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 方向2 用待定系数法求函数解析式【例2－2】 (1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝16x －25，求f (x )； (2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). 解 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝16x －25， ∴⎩⎨⎧k 2＝16，kb ＋b ＝－25，∴⎩⎨⎧k ＝4，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝253，∴f (x )＝4x －5或f (x )＝－4x ＋253. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ，∴⎩⎨⎧2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.规律方法 待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f (x )的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式. 方向3 根据函数图象求解析式【例2－3】 根据函数f (x )的图象写出它的解析式.解 当0≤x ≤1时，图象为经过原点的直线，设f (x )＝kx .将点(1，2)代入得k ＝2，所以此时解析式为y ＝2x . 当x ∈[1，2)时f (x )＝2， 当x ∈[2，＋∞)时f (x )＝3，∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.规律方法 解决此类问题的关键1.观察图象：(1)确定函数图象对应的函数类型；(2)确定图象上关键点的坐标.2.由函数类型设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【训练2】 (1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).解 (1)法一(换元法) 令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1. 法二(配凑法)f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1， ∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，用1x 代替x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ， 消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝23x －x3(x ≠0). 题型三 分段函数求值问题解决此问题的关键是抓住定义域，判断在哪一区间上求解.【例3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－2，3x ＋5，－2<x <2，2x －1，x ≥2，求f (－5)，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52.解 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (1)＝3×1＋5＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋5＝12.【迁移1】 (变换所求)例3条件不变，若f (a )＝3，求实数a 的值.解 当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝3a ＋5＝3，即a ＝－23∈(－2，2)，符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，即a ＝2∈[2，＋∞)，符合题意.综上可得，当f (a )＝3时，a 的值为－23或2.【迁移2】 (变换所求)例3的条件不变，若f (x )>2x ，求x 的取值范围. 解 当x ≤－2时，f (x )>2x 可化为x ＋1>2x ，即x <1，所以x ≤－2； 当－2<x <2时，f (x )>2x 可化为3x ＋5>2x ，即x >－5，所以－2<x <2； 当x ≥2时，f (x )>2x 可化为2x －1>2x ，则x ∈.综上可得，x 的取值范围是{x |x <2}. 规律方法 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.【训练3】 (1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >10，f （f （x ＋5）），x ≤10，则f (5)的值是( )A.24B.21C.18D.16(2)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2<x <4，3x ，x ≥4，若f (a )<－3，则a 的取值范围为()A.(－3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析 (1)f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，∴f (5)＝f (21)＝24.故选A. (2)当a ≤－2时，a <－3，∴a <－3；当－2<a <4时，a ＋1<－3，a <－4，此时不等式无解； 当a ≥4时，3a <－3，a <－1此时不等式无解，故选C. 答案 (1)A (2)C题型四 分段函数的图象与应用解决问题的关键是“分段归类”坚持定义域优先的原则，注意定义域的端点应不重不漏【例4】 (1)已知f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________.(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2). ①用分段函数的形式表示函数f (x )； ②画出函数f (x )的图象； ③写出函数f (x )的值域.(1)解析 当0≤x ≤1时，f (x )＝－1； 当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，2k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－2，此时f (x )＝x －2. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.答案 f (x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2(2)解 ①当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎨⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.②函数f (x )的图象如图所示.③由(2)知，f (x )在(－2，2]上的值域为[1，3).规律方法 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型. (2)设函数式：设出函数的解析式.(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式. (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点. 【训练4】 已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2 （－1≤x ≤1），1 （x >1或x <－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的值域.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示. (2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f(x)的值域为[0，1].一、素养落地1.通过本节课的学习，学会有逻辑地思考问题，并增强交流能力，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养.2.函数三种表示法的优缺点3.分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是对于x的不同取值区间，有着不同的对应关系.二、素养训练1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A.2C.4D.5解析由表可知f(11)＝4.答案 C2.已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A.f(x)＝x2＋6xB.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3D.f(x)＝x2＋6x－10解析法一设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.答案 A3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241解析 1. 答案 14.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________. 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b . ∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8. 答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 5.已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2). (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域. 解 (1)f (x )图象的简图如图所示.(2)观察f (x )的图象可知，f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f (x )的值域是[－1，3].基础达标一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3D.2x －3解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎨⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧k ＝3，b ＝－2， ∴f (x )＝3x －2. 答案 B2.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2 （x ≤1），x 2＋x －2 （x >1），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）的值为( )A.1516 B.－2716 C.89D.18解析 当x >1时，f (x )＝x 2＋x －2，则f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f （2）＝14，当x ≤1时，f (x )＝1－x 2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516.故选A.答案 A3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为( )A.4B.14C.16D.116解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16. 答案 C4.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝x 2＋2x ＋1 B.f (x )＝x 2－2x ＋1 C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案 A5.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )x 1 2 3 f (x )23A.3B.2C.1D.0解析 由题图知g (2)＝1，∴f (g (2))＝f (1)＝2.故选B. 答案 B 二、填空题6.若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1 （x >0），π （x ＝0），0 （x <0），则f (f (f (－2 019)))＝________.解析 f (－2 019)＝0，∴f (f (－2 019))＝f (0)＝π， ∴f (f (f (－2 019)))＝f (π)＝π2＋1. 答案 π2＋17.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝______.解析 x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6，∴x 0＝－6或x 0＝6(舍).当x 0>2时，f (x 0)＝2x 0＝8，∴x 0＝4. 综上，x 0＝－6或4. 答案 －6或48.已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为________________. 解析 由表中对应值，知f (g (1))＝f (3)＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不满足条件； 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，满足条件； 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不满足条件； 所以满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是2. 答案 1 2 三、解答题9.求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x )； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )；(4)若2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，求f (x )；(5)已知函数f (x )＝x 2－bx ＋c 且f (1)＝0，f (2)＝－3，求f (x ). 解 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2(x ≥1). (3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2.(4)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，① 用1x 代替x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x ＋12，②①×2－②得3f (x )＝4x －2x ＋12， ∴f (x )＝43x －23x ＋16(x ≠0).(5)由⎩⎨⎧f （1）＝1－b ＋c ＝0，f （2）＝4－2b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝6，c ＝5，故f (x )＝x 2－6x ＋5.10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ∈[－1，0]，－12x，x ∈（0，2），3，x ∈[2，＋∞）.(1)求f (－1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解 (1)易知f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32＝－34，f (4)＝3.(2)作出图象如图所示.利用数形结合易知f (x )的定义域为[－1，＋∞)，值域为(－1，2]∪{3}.能力提升11.某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计).(1)在平面直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t 分钟(t >0)，写出通话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数解析式(可用[t ]表示不小于t 的最小整数). 解 (1)函数图象如图所示.(2)由(1)知，话费y 与时间t 的关系是分段函数关系. 当0<t ≤3时，话费为0.2元； 当t >3时，话费为(0.2＋[t －3]×0.1)元.故y ＝⎩⎨⎧0.2，0<t ≤3，0.2＋[t －3]×0.1，t >3.12.给定函数f (x )＝4－x 2，g (x )＝3x ，x ∈R . (1)画出函数f (x )，g (x )的大致图象；(2)x ∈R ，用m (x )表示f (x )，g (x )中的较小者，记为m (x )＝min{f (x )，g (x )}，请分别用图象法和解析法表示函数m (x ).解 (1)在同一直角坐标系中画出函数f (x )，g (x )的大致图象，如图. (2)结合函数m (x )的定义，可得到m (x )的图象如图.由4－x 2＝3x ， 得x ＝－4或x ＝1， 结合m (x )的图象， 得m (x )的解析式为m (x )＝⎩⎨⎧4－x 2 （x <－4），3x （－4≤x ≤1），4－x 2 （x >1）.。
中职数学3.1.2函数的表示方法
中职数学3.1.2函数的表示方法函数的定义和表示在数学中，函数是一种关系，根据某个规则，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
常见的函数表示方法有四种，即文字描述法、映射图法、函数表法和算式表示法。
1. 文字描述法文字描述法是最基本和直观的函数表示方法。
通过用自然语言描述函数的功能和性质来表示函数。
例如，对于函数“将集合X的元素加上2后得到集合Y的元素”，这是一个用文字描述的函数表示方法。
2. 映射图法映射图法是用一个箭头从输入集合指向输出集合的图形来表示函数。
其中，输入集合的元素位于箭头的起点，输出集合的元素位于箭头的终点。
映射图法直观地展现了函数的输入和输出关系。
例如，对于函数f，输入集合为{1, 2, 3}，输出集合为{3, 4, 5}，可以用映射图法表示为：1 --> 32 --> 43 --> 53. 函数表法函数表法通过表格的形式列出函数输入和对应的输出值。
可以使用一对有序数对，或者用两个并列的集合表示。
例如，对于函数g，可以用函数表法表示为：输入输出1324354. 算式表示法算式表示法是将函数用公式或算式描述的方法。
常见的算式表示方法有多种，如函数解析式、函数关系式、函数定义式等。
例如，对于函数h，可以用算式表示法表示为：h(x) =x^2。
函数的性质和特点函数作为数学中的重要概念，具有一些特殊的性质和特点。
1. 定义域和值域函数的定义域是指所有可能输入的集合，通常用符号D表示；值域是函数映射到的所有可能输出的集合，通常用符号R 表示。
函数的性质要求每个输入只对应一个输出，所以函数的定义域与值域具有一定的关系。
2. 单调性和奇偶性函数的单调性指的是在定义域内，函数的取值随输入的增加或减少而单调变化。
函数可以是递增的、递减的或者不变的。
奇偶性是指函数的对称性，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
【最新】课件-3.1.2函数的表示PPT
1. 解析法：
把两个变量的关系, 用一个等式表示, 这 个等式就叫做函数的解析式.
如 : S 60t 2 , A r 2 , S 2 rl ,
y ax2 bx c(a 0)
优点:函数关系清楚, 便于研究函数性质.
2. 列表法：
列出表格来表示两个变量的关系. 如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里 程价目表、银行里的“利率表”等等． 优点: 易知自变量与函数的对应性.
法四：构造法 例 4(1)已知函数 f(x)满足条件：f(x)＋2f(1x)＝x，求 f(x)的表达式； (2)若函数 g(x)满足条件：g(x)＋2g(－x)＝x，求 g(x)表达式．
解：这个函数的定义域是数集｛1,2,3,4,5｝
用解析法表示为 y 5x,x 1,2,3,4,5
列表法表示如下：
x 1 2 3 45 y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数表示为右图：
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是
直线、折线、孤立的点等。4Fra bibliotek提升总结
作函数图象时应注意的事项:
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定 义域内作图;（定义域优先）
3. 图象法：
用函数图象来表示两个变量之间的关系.
如：
一次函数的图象是一条直线；
如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0)
优点：直观形象．
y
O
x
例1．某种笔记本每个5元，买 x (x∈{1, 2, 3, 4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变 量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象．
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用 虚线来衬托整个图象;
第3章-3.1.2-表示函数的方法-3.1.3-简单的分段函数高中数学必修第一册湘教版
≠ −1 ，得 =
≠ −1 ．故选C．
1−
1+
= ,则 =( C
1−
1+
C.
1−
，即
1+
≠ −1
=
1−
，
1+
)
2
+1
D.
≠ −1
例7 (2024·广东省佛山市月考)
（1）已知函数 满足 + 2
1
1
【解析】在已知等式中，将换成 ，得
第3章 函数的概念与性质
3.1 函数
3.1.2 表示函数的方法&3.1.3 简单的分段函数
教材帮丨必备知识解读
知识点1 函数的表示法
例1-1 ［情境题］某大学生应聘到一家企业工作，合同期限为一年，经协商该企业
给这名大学生支付工资的方式是：第一个月3 000 元，以后每个月比上一个月多100
元.若该大学生工作后的第个月的工资为元，则是的函数，分别用解析法、列表
2
2
1,1 ≤ < 2.
图3.1.2-7
【学会了吗丨变式题】
3.根据图3.1.2-8所示的函数 的图象，写出函数的解析式.
图3.1.2-8
【答案】当 ≤ 时，设 = + , ≠ , ≤ .
+ = ,
= −,
将 , , , 代入，得ቊ
法和图象法表示该函数.
【解析】依题意知，以后每个月比上一个月多100元，则可得第个月的工资比第一
个月多100 − 1 元，
又第一个月工资是3 000元，故用解析法表示该函数为
= 3 000 + 100 − 1 = 100 + 2 900， ∈ N+ ，且 < 13.（必须注明函数的定义
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例如：
国内生产总值 ：
单位：亿元
年份 生产 总值
1990 18598.4
1991 21662.5
1992 26651.9
1993 34560.5
列表法的优点： 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值。
2.公式法 一个函数的对应关系可以用自 变量的解析表达式（简称解析式） 表示出来，这种方法称为公式法。
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图象法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
注意：图象法是今后利用数形结合思想解题的基础。
注意：要检验一个图形是否为
函数图像，方法是看任意一个 自变量x是否对应唯一的一个函 数值y，如果对于定义域内的每 一个x都对应唯一的y，则图像 即为定义域内的函数的图像。
图像与坐标相对应,一X值对应一Y值
练习1、
（1）下列图形中，不可能是函数y = f （x）
y 图像的是 x (A) y x (C) y x (D) y
x (B)
D
如何画函数图像
提问：初中画函数图象主要用什么方法？ 利用此法画图的主要步骤如何？
初中画函数图象的主要方法是描点法。
按此法画图的主要步骤有： （1）确定自变量x的取值范围；* （2）列表；* （3）描点；* （4）连线。
3.1.2 函数的表示法
常用的函数表示法：
1.列表法 2.公式法 3.图象法
1（列表法：列出表格来表示两个
变量的函数关系。
某天昼夜温度变化情况列表
时刻 0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00 -5 4 9 8.5 3.5 -1
温度/（°C） -2
用表格的形式表示两个变量之间 函数关系的方法，称为列表法
例如： 1）y=kx (k≠0)； 2）y=ax2+bx+c (a≠0)； 3）A=πr2； 4）S=2πrl； 5) y= x 2 ( x 2)
函数的定义域——自变量x的取值范围
知解பைடு நூலகம்式求定义域 的方法
分母 根式(开偶次方) 复合问题的定义域
3 图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。