函数的定义及表示方法

合集下载

函数的概念及表示

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法：（1）观察法（2）判别式法（3）配方法（4）换元法（5）不等式法（6）图像法（7）分离常数法考点1：用观察法求值域例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

人教版数学必修一函数的含义及表达形式

二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。

其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域就不是函①A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，例如，y=x−1x+1数②集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即{f(x)|x∈A}⊆B③符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”④f(a)，a∈A与f(x)的区别⑤函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M={x|0≦x≦2}，N={y|0≦y≦2},给出的下列四个图形中，其能够表示集合M 到集合N的函数关系的是（）2.函数的构成要素与函数相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等①函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域②满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x−1，x≧1 1−x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(33)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：①如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R②如果f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合③如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合④如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12−x（2）f(x)=x−2+233x+7（3）f(x)=4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式∆≥0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数的值域如：求y=x+1x²+2x+2（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13−4x的值域的函数的值域，舱采用分离常数法（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b的值域如：求y=3x−2x−1（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：①区间的左端点必小于右端点②用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示③无穷大∞是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则④以“+∞”或“- ∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号⑤单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]的定义域可用区间表示为__________例4：函数y=1−1−x例5：已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，求A∩B，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x 3+2x,求f(f(1))的值2.已知f(x)=1-2x ，则f(12)=______3.已知f(x)=11+x （x ∈R ，且x ≠-1），g(x)=x ²+2（x ∈R ）（1）求f （2），g （2）的值（2）求f(g(2)) 的值考点2：求函数定义域1.求已知解析式的函数定义域1.求下列函数的定义域（1）y= −x 2x²−3x −2（2）y=4x+83 3x −2（3）y= x ²−3· 5−x ²（4）y= x +2+13−x。

函数的概念及其表示

一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。

函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。

事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。

为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。

一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作().,A x x f y ∈=其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。

我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。

对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。

当A>0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2。

对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。

两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。

函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

函数的概念与表示方法

函数的概念与函数收敛的定义1、在同一个自然现象和技术过程中，往往有几个同时变化的变量，而这几个变量并不是孤立的存在，而是相互联系并遵循一定的变化规律。

定义：设x 和 y 是两个变量，D 是给定的一个数集，如果对每个数 x∈D,变量y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y 为x 的函数,记作：Y=f(x)数集D 称为函数y 的定义域。

当∈D 时，与对应的y 的数值称为函数y=f(x)在的函数值。

当x 取遍x∈D 的各个数值时，对应的函数值全体组成的集合0x0x 0x W={y/y=f(x),x∈D}称为函数y 的值域。

2、定义1-1：数列收敛的定义：若A xn n =∞→lim {亦称极限n x存在；收敛；否则，称发散}：n x n x ∀ε（无论其多么小）>0,∃正整数N，当n>N 时，有 ε<−A x n定义1-2：函数当x→∞时候收敛的定义：若A x f x =∞→)(lim ： ∀ε（无论其多么小）>0,∃正数X,当x>X 时， ε<−A x f )(类似可以定义x→+∞,x→-∞时候极限的定义定义1-3：函数当x→时收敛的定义：0x 若A x f x x =→)(lim 0∀ε(无论其多么小)>0，∃正数δ>0,当δ<−<00x x 时，有ε<−A x f )(类似可以定义x→+,x→-时，函数极限的定义0x 0x 3 函数的基本性质：（1）有界性（2）单调性（3）奇偶性图形关于Y 轴对称： )()(x f x f =− ……偶函数曲线关于原点轴对称：)()(x f x f −=− ……奇函数。

函数的概念及其表示方法

教学内容知识梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做叫做自变量自变量，x 的取值范围A 叫做函数的叫做函数的定义域定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的致，而与表示自变量和函数值的字母字母无关. 3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间的数轴表示．区间表示：区间表示：{x|a≤x≤b}=[a ，b]；；；. 知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学解析法：用数学表达式表达式表示两个变量之间的对应关系．表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出列表法：列出表格表格来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的分段函数的解析式不能写成几个不同的方程方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A 、B 是两个非是两个非空集空集合，如果按照某个对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的映射；记为f ：A→B.象与原象：象与原象：如果给定一个从集合如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，的映射，那么那么A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a). 2.函数：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意：注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；函数三要素：定义域、值域、对应法则(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 原象集合例题讲解类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)】判断下列命题的真假真假【变式1】判断下列命题的(1)y=x-1与是同一函数；是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；是同一函数；(3)是同一函数；是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 2.求下列函数的定义域(用区间表示). 求下列函数的定义(1)；(2)；(3). 】求下列函数的定义域：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3). 3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1). 【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；域；(2)求f(-3)，的值；的值；f(a-1)的值. (3)(3)当a＞0时，求f(a)×f(a)×f(a-1)【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：，求： (1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4；. 类型二、映射与函数5. 下列下列对应关系对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射? (1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；：取倒数；(2)A={平面内的平面内的三角形三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的：作三角形的外接圆外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f ：作圆的：作圆的内接内接三角形．三角形．【变式1】判断下列两个对应是否是】判断下列两个对应是否是集合集合A 到集合B 的映射？的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N *，B={0，1}，对应法则f:x→x 除以2得的得的余数余数； ③A=N ，B={0，1，2}，f ：x→x 被3除所得的余数；除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，【变式2】已知映射f ：A→B ，在f 的作用下，判断下列说法是否正确？的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x ∈A ，都有唯一的y ∈B 与x 对应；对应；(2)A 中的某个元素在B 中可以没有象；中可以没有象；(3)A 中的某个元素在B 中可以有两个以上的象；中可以有两个以上的象；(4)A 中的不同的元素在B 中有不同的象；中有不同的象；(5)B 中的元素在A 中都有原象；中都有原象； (6)B 中的元素在A 中可以有两个或两个以上的原象. 【变式3】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x→y=(x→y=(-1)-1)x ； (2)A=N ，B=N +，f ：x→y=|x x→y=|x-3|-3|；(3)A=R ，B=R ，(4)A=Z ，B=N ，f ：x→y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x→y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x→y=|x→y=|x|. x|. 6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素是从集合的象，B中元素的原象. 的映射，其中【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？的原象分别为什么？y)→(x-y-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x么？么？类型三、函数的表示方法7. 求函数的求函数的解析式解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 8.作出下列函数的作出下列函数的图象图象. (1)；(2)；类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值. 【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约解析式，并画出个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数函数的图象. 【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，之间的函数关系式？Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？元，应选择哪种通讯方式？话费200元，应选择哪种通讯方式？若某人预计一个月内使用话费Ⅲ. 若某人预计一个月内使用一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵．⑴、⑵ B．⑵、⑶．⑶、⑸．⑷ D．⑶、⑸．⑵、⑶ C．⑷2．函数y=的定义域是() 0≤x≤1 1 D．{-1，1} x≤-1-1或x≥1 C．0≤x≤A．-1≤x≤1B．x≤3．函数的值域是( ) A．(-(-∞∞，)∪(，+∞)B．(-(-∞∞，)∪(，+∞)C．R D．(-(-∞∞，)∪(，+∞) 4．下列从．下列从集合的对应中：集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x 2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从其中，不是从集合集合A 到集合B 的映射的个数是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．已知映射f:A→B ，在f 的作用下，下列说法中不正确的是( ) A ． A 中每个元素必有象，但B 中元素不一定有原象中元素不一定有原象 B ． B 中元素可以有两个原象中元素可以有两个原象 C ． A 中的任何元素有且只能有唯一的象中的任何元素有且只能有唯一的象 D ． A 与B 必须是非空的必须是非空的数集数集 6．点(x ，y)在映射f 下的象是(2x-y ，2x+y)，求点(4，6)在f 下的原象( ) A ．(，1)B ．(1，3) C ．(2，6)D ．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}， Q={y|0≤y≤2}，下列各，下列各表达式表达式中不表示从P 到Q 的映射的是( ) A ．y=B ．y=C ．y=x D ．y=x 28．下列．下列图象图象能够成为某个函数图象的是( ) 9．函数的图象与的图象与直线直线的公共点数目是( ) A ．B ．C ．或D ．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( ) A ． B ．C ．D ． 11．已知，若，则的值是( ) A ．B ．或C ．，或D ．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) 的图象适当平移A．沿轴向右平移个单位个单位 B．沿轴向右平移个单位个单位C．沿轴向左平移个单位个单位个单位 D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．上的值域4．若最大值为，则这个二次函数的表，且函数的最大值．若二次函数二次函数的图象与x轴交于，且函数的达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．的定义域．2．求函数的值域．的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：．根据下列条件，求函数的解析式(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x 2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知； (5)已知f(x)的定义域为R ，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x). 课后作业一．选择题一．选择题1．下列四种说法正确的一个是．下列四种说法正确的一个是（） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的．函数的值域也就是其定义中的数集数集B C ．函数是一种特殊的映射．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于等于（） A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．xx y y ==,1 B ．1,112-=+´-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为的定义域为（） A ．]1,(-¥ B ．]2,(-¥C ．]1,21()21,(-Ç--¥D ． ]1,21()21,(-È--¥ 5．设ïîïíì<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f p ，则=-)]}1([{f f f （）A ．1+pB ．0 C ．pD ．1- 6．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．xx +-11 D ．12+x x 7．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为的定义域为（） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-8．设îíì<+³-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（的值为（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题9．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 10．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个”的运算对于任意三个实数实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 . 11．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成可构成个不同的映射. 12．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x x x x f >ïïîïïíì<³-=若则实数a 的取值范围是的取值范围是。

函数的概念与表示法课件(共19张PPT)

( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域：在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的值域。（3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.

初中数学函数

初中数学函数
初中数学中，函数是一个重要的概念。

函数描述了一个输入值（自变量）通过某种对应关系得到一个输出值（因变量）的过程。

函数是数学中研究数量关系的一种基本工具，其本质是研究变量之间的对应关系。

在函数的学习中，学生需要理解函数的定义、表示方法、性质以及不同类型的函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）。

1. 函数的定义：在某个集合中，对于每一个确定的x值，都有唯一确定的y 值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2. 函数的表示方法：可以用解析式、表格和图象来表示函数。

解析式是最常用的表示方法，它可以用数学公式来表示函数关系。

表格表示法是将自变量的值和对应的函数值列成表格来描述函数。

图象表示法则用图形的方式表示函数关系。

3. 函数的性质：包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性等。

这些性质有助于更好地理解函数的本质和特性。

4. 不同类型的函数：一次函数、二次函数、反比例函数等都是常见的函数类型。

每种类型的函数都有其特定的形式和性质，学生需要掌握它们的表示方法和基本性质。

在学习函数的过程中，学生需要通过大量的练习来加深对函数的理解和掌握。

同时，学生还需要培养自己的逻辑思维和数学分析能力，以便更好地应用函数来解决实际问题。

函数的概念.

函数的概念函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的依赖关系，帮助我们更好地理解数学中的各种关系。

本文将从函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面进行介绍。

1.函数的定义函数是一个数学表达式，它表示了一个或多个自变量的输入值与对应因变量的输出值之间的关系。

在数学中，用符号“f”表示函数，其中f后面的括号内是自变量的取值范围，而f右侧的表达式则是因变量的取值范围。

例如，一个简单的函数可以定义为y=x+2，其中x 是自变量，y是因变量。

2.函数的表示函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法等。

解析法是用数学符号和公式来表示函数关系的一种方法，如y=x+2。

表格法是用表格形式表示函数关系的一种方法，它适用于离散变量函数，如阶跃函数等。

图象法则是用函数图象表示函数关系的一种方法，适用于连续变量函数。

3.函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某一区间内随着自变量的增加，因变量的值也相应增加，反之亦然。

奇偶性是指函数在原点对称或旋转对称时具有的性质。

周期性是指函数按照一定的周期重复出现的现象。

4.函数的运算函数的运算包括函数的加、减、乘、除等基本运算以及复合运算等。

函数的加、减、乘、除等基本运算可以类比于代数中的运算，而复合运算则是将两个或多个基本函数组合成一个新函数的过程。

5.函数的实际应用函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有函数的身影。

例如，在物理学中，牛顿第二定律F=ma就描述了力与加速度之间的关系；在经济学中，成本函数、收益函数等都是描述经济变量的重要工具；在工程学中，各种系统模型也都是用函数来描述的。

此外，函数还在计算机科学、统计学等领域中有着广泛的应用。

总之，函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了变量之间的依赖关系，并为我们提供了分析问题、解决问题的重要工具。

通过深入理解函数的定义、表示、性质、运算以及实际应用等方面，我们可以更好地掌握函数这一重要概念，并为解决实际问题提供有力的支持。

函数的定义及其表示法

f(3)=6 f(-3)=18 f(a)=a2-2a+3 说明：f(0)=3的含义就是当自变量x=0时，函数的值y＝3。
练习：设f(x)=2x2-1,求f(1),f(-1),f(0),f(b)
分段函数的定义: 函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，即用多个解析式表示一个函
解：y=5x
x∈{1，2，3，4}
y=5x
20
图像为
15
说明：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等
10
等．
5
1234
课堂小结 1、(1)函数的定义 (2)函数的三要素 (3)两函数相同的条件（4）函数定义域及函值的求法
2.函数的三种表示方法及各自的优点
列表法、图象法、解析法； 3.三种函数表示方法的相互转换；
3. 图象法：
用函数图象来表示两个变量之间的关系.
如：一次函数的图象是一条直线；如函数 y＝kx＋b (k＜0、b＞0)
y
优点：直观形象．
O
x
例5.某种笔记本每个5元，买 x(x∈{1，2，3，4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象。
例3:求函数 y = x -1+ 1- x 的定义域。解：因为x-1≥0且1-x≥0,所以x=1
则函数的定义域为：{x|x=1}
例3：求函数y= 3+x + 3- x 的定义域
解：因为3+x≥0且3-x≥o，即-3≤x≤3 所以函数的定义域为：[-3,3]
例4 求函数f (x) x2 3x 5在x 3，x x0 1， x x0 h各点的函数值. 解 f (3) 32 3 3 5 5,

高中数学：函数的概念、区间表示法、函数的表示法、函数的单调性

7.设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性。
【试题答案】
1. B
解：的定义域为［0，2］
2.
解：
3. -4
解：由题设条件中，得：
4.，
解：
5. D
解：
6. C
解：（1）
（2）上既不是增函数，也不是减函数。
图像法：就是用图像表示两个变量之间的关系。
6.函数的单调性：
设函数的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则称当f(x)在这个区间上是增函数。如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数。
2.关于区间：
设a、b是两个实数，而且a＜b，规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，记为［a，b］。
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，记为（a，b）。
（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记为［a，b）和（a，b］。
（4）实数集R用区间表示（－∞，＋∞），“∞”读无穷大，“－∞”读“负无穷大”，“＋∞”读“正无穷大”。
一一映射：一般地，对于两个集合A、B，f：A→B是集合A到集合B的映射。如果在这个映射下对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每个元素都有原象，则这个映射叫做一一映射。
5.函数的表示法：
解析法：就是把两个变量的函数关系式，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式，简称解析式。
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
例2.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示），若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域。

函数的概念及表示方法

函数及其表示方法1.函数的概念：一般的，设A ，B 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个实数，在集合B 中都有唯一确定的实数)(x f y =和x 对应，那么就称 f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y = ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集。

注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2.构成函数的三要素：值域 , 定义域 , 对应关系 .3. 函数相等:若两个函数的定义域相同,且对应关系在本质上也是相同的,则称两个函数相等。

4、函数的三种表示方法（1）解析法:_用解析式把把x 与y 的对应关系表述出来，最常见的一种表示函数关系的方法。

举例：如222321,,2,6y x x S r C r S t ππ=++===等。

优点：⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（2）列表法：用表格的方式把x 与y 的对应关系一一列举出来.比较少用.举例：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

（3）图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质.优点：直观形象地表示自变量的变化。

5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。

拓展一判断相同函数例1、下列函数f （x ）与g （x ）是表示同一个函数的是？（）A. f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ;B. f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x C ．f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 、D. f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 拓展二函数的判断例2、下列函数图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是（）拓展三求函数的定义域函数定义域的一般求法（开偶次方根，分式，零次幂）例3、（1） ()x x f 2=+()01+x （2）1()(12)(1)f x x x =-+；(3)()4f x x =-复合函数求定义域若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

函数的定义及表示

函数的定义及表示一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]yf x 称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是y f x()x称为y的原象，映射f也可记为：:f A Bx f x()f x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域．对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c d ac=+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆一．选择题（共12小题）1．（2018春•东安区校级期末）集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．f：x→y=12x B．f：x→y=2﹣xC．f：x→y=23x D．f：x→y=√x2．（2018春•青山区校级期末）已知函数y=√(a−1)x2+ax+1的值域为[0，+∞），求a的取值范围为（）A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜13．（2016秋•芗城区校级期末）下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A．B．C．D．4．（2016秋•宁城县期末）下列函数与函数y=x 相等的是（） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 2C ．y =(√x 3)3D ．y =x 2x5．（2016秋•湖北期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个6．（2016秋•天门期末）已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y=f （x ）的图象与直线x=1的交点个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．0个或者2个7．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A ={x|x(x +1)≥0}，B ={y|y =√x −1}，则（） A ．A=B B ．A ⊆B C ．A ∪B=RD ．B ⊆A8．（2018•乌鲁木齐二模）若集合A={x |x （x ﹣1）＜0}，B={y |y=x 2}，则（）A ．A=B B ．A ⊆BC．A∪B=R D．B⊆A9．（2018•河南模拟）已知函数f（x）=5﹣1og3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（）A．（2，4]B．[2，4）C．[﹣4，4）D．（6，9]10．（2018•济宁一模）已知函数f(x)={lnxx，x＞1e x+1，x≤1，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．(0，1e]∪(1，e+1)D．(0，1e]∪(1，e+1]11．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x12．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32二．填空题（共4小题）13．（2017秋•杨浦区校级期末）设f(x)=x2√x−1，g(x)=√x−1x，则f（x）•g（x）=．14．（2018春•海安县校级月考）若f（2x）=3x2+1，则函数f（x）的解析式是．15．（2018•徐汇区二模）函数f（x）=lg（3x﹣2x）的定义域为．16．（2017秋•海陵区校级期中）若g（x）=x2+x，x∈{﹣1，1}的值域为．三．解答题（共2小题）17．求函数y=e x+1e x+2值域．18．求下列函数的值域．（1）y=√x−4；√x+3（2）y=2x﹣3+√13−4x；（3）y=√1+x+√1−x．。

函数的概念及其表示法

时，有x=f^(-1)(y)，则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析的基础，通过拟合数据点，可以预测因变量的变化趋势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系，它使得集合A中的每一个元素都能通过某种法则对应到集合B中的唯一一个元素。
02
函数通常用大写字母表示，如f(x)， g(x)等，其中x是自变量，f(x)是因变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数，如正弦函数、余弦函数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函数，如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数，如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法精确地描述了函数与自变量之间的数学关系，适用于需要精确计算的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值，以表格的形式表示函数。适用于已知部分函数值的情况，可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函数值。
优点
简单、直观，能够提供一定程度的近似值。

函数的概念及表示方法

特级教师王新敞
特级教师王新敞
3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则 f. 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数 .
由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、B非空且皆为数集 .
特级教师王新敞
特级教师王新敞
5.映射的概念中象、原象的理解： (1) A中每
一个元素都有象 ;(2)B中每一个元素不一定都有原
象，不一定只一个原象； (3)A中每一个元素的象
唯一. 6．分段函数：如
? x2 f (x) ? ?
特级教师王新敞
练习
1.购买某种饮料 x听，所需钱数为 y元. 若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y表示成x （x∈{1,2,3,4}）的函数，并y指出该函数的值域 . 解：（1）解析法：
y=2x, x∈{1,2,3,4}. 8
（2）列表法：
6
X/听 1 2 3 4
4
Y/元 2 4 6 8
特级教师王新敞特级教师王新敞
特级教师王新敞
特级教师
王新敞
例 1 已知函数 f (x) =
3 3x ? 1
的定义域
ax 2 ? ax ? 3
是 R，则实数 a 的取值范围是 ( B )
A. a ? 1 3
B. ? 12 ? a ? 0
C. ? 12 ? a ? 0
D. a ? 1 3
剖析：由 a
2
（3）图象法（如图）
函数的值域是 {2,4,6,8}

函数的概念与表示方法

函数的概念与表示方法在数学的广阔天地中，函数是一个极其重要的概念，它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。

那么，究竟什么是函数？又有哪些表示方法呢？让我们一起来探索。

函数，简单来说，就是一种对应关系。

想象一下，有两个集合，一个集合中的每个元素，按照某种规则，都能在另一个集合中找到唯一对应的元素，这种规则就是函数。

比如说，我们考虑一个简单的例子：在一个班级中，每个学生都有一个唯一的学号。

那么，我们可以把学生看作一个集合，学号看作另一个集合，学生和学号之间的对应关系就是一个函数。

每个学生对应着唯一的一个学号，不会出现一个学生有多个学号的情况。

函数的定义中有几个关键的点。

首先，函数的定义域，也就是输入值的集合，必须是明确的。

其次，对于定义域中的每一个值，通过函数的规则，在值域（输出值的集合）中都有唯一确定的值与之对应。

为了更清晰地理解函数，让我们来看一个具体的数学表达式：f(x)＝ 2x ＋ 1。

在这个式子中，x 是自变量，f(x) 是因变量。

对于任意给定的 x 的值，按照 2x ＋ 1 的计算规则，都能得到唯一的 f(x) 的值。

那么函数有哪些表示方法呢？常见的有三种：解析法、列表法和图像法。

解析法，就是用数学式子来表示函数。

比如前面提到的 f(x) ＝ 2x＋ 1，这种方法能够清晰地展现自变量和因变量之间的关系，通过式子可以方便地进行计算和推理。

列表法呢，则是将自变量和对应的因变量的值列成表格。

比如，当x 分别取 1、2、3 时，f(x) 分别为 3、5、7，我们可以把这些值列成一个表格。

这种方法简单直观，尤其适用于自变量取值较少的情况。

图像法是通过图形来表示函数。

以 f(x) ＝ 2x ＋ 1 为例，我们可以在平面直角坐标系中画出它的图像。

先分别取一些 x 的值，计算出对应的 f(x) 的值，然后将这些点连接起来，就得到了一条直线。

图像能够让我们更直观地感受到函数的变化趋势和性质。

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法一、知识梳理1、函数：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=，)(2、对于函数A x x f y ∈=，)(，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域。

3、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。

4、表示函数常用的三种方法是解析法、图像法和列表法5、在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数6、分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集二、典例精析例1、下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222=+y x （2）111=-+-y x （3）x x y -+-=12例2、下列各题中的两个函数相等吗？请说明理由。

（1）()2)()(x x g x x f ==，（2）3)(39)(2+=--=x x g x x x f ，例3、已知集合{}{}54321，，，，==B A ，则从A 到B 的函数)(x f 有个例3、求下列函数的定义域（1）21)(-=x x f （2）241)(+-∙-=x x x f （3）()x x x y -+=01 （4）213)(+++=x x x f例4、（1）若函数)(x f 的定义域为[]41，，求)2(+x f 的定义域（2）已知)1(+x f 的定义域为[]30，，求)(x f 的定义域例4、已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 取值范围变式：已知函数862++-=k kx kx y 的定义域是R ，求实数k 的取值范围例5、求下列函数的值域：（1）{}5432112，，，，，∈+=x x y （2）1+=x y （3）1+=x x y （4）2211xx y +-= （5）245x x y -+= （6）12--=x x y （7）152222++++=x x x x y例6、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=222112)(2x x x x x x x f ，，，中，若3)(=x f ，则x 的值为例7、作出下列函数的图像：（1）112-+=x x y （2）122+-=x x y变式：讨论关于x 的方程)(342R a a x x ∈=+=的实数解的个数例8、求下列函数的解析式（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(2)0(-=-+=x x f x f f ，，求)(x f（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f（3）已知函数x x x x x f 11)1(22++=+，求)(x f （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f三、过关精炼1、下列说法中，不正确的是（）A 、函数的值域中每一个数在定义域中都有数与之对应B 、函数的定义域和值域一定是不含0的集合C 、定义域和对应法则完全相同的函数表示同一个函数D 、若函数的定义域中只有一个元素，则值域也只含有一个元素2、函数x x y 22-=的定义域为{}3210，，，，那么其值域为（） A 、{}301-，，B 、{}3210，，，C 、{}31≤≤-y yD 、{}30≤≤y y 3、与x y =为同一个函数的是（）A 、()2x y =B 、2x y =C 、()⎩⎨⎧<->=)0(0x x x x y D 、x y = 4、若)()2(32)(x f x g x x f =++=，，则)(x g 等于（）A 、12+xB 、12-xC 、32-xD 、72+x5、一个面积为2100cm 等腰梯形，上底长为xcm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为（）A 、)0(50>=x x yB 、)0(100>=x x yC 、)0(50>=x x yD 、)0(100>=x x y6、已知a a f x x f ，则，16)(13)(=+==7、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域8、求下列函数的值域（1）x x y 422+--= （2）3222-+=x x y（3）{})3210(16322，，，∈-++-=x x x x x y。

函数的概念及表示法

描述电磁波
函数可以用来描述电磁波的振幅、频率和相位等特性随时间和空间的变化。
描述热传导
函数可以用来描述温度随时间和空间的变化，以及热量在物体内部的传导规律。
在经济中的应用
描述市场需求
函数可以用来描述商品价格与市场需求量之间的关系，以及市场供求关系的变化。
描述生产成本
函数可以用来描述生产成本与产量之间的关系，以及生产效率的变化。
函数可以用来描述数据结构（如数组、链表、树等）的基本操作和性能特点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
描述
表格表示法通常将输入值和输出值按照一定的顺序排列成表格，以便查看和比较。
缺点
对于连续的函数关系，表格表示法可能无法完全准确地表达，且需要大量的数据和时间来整理。
图象表示法
定义
描述
图象表示法是通过绘制函数图像来表示函数关系的一种
方法。
图象表示法通过在平面坐标系中绘制曲线或曲面来表示函数关系，能够直观地展示
函数图像的变换
平移变换
伸缩变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。
将函数图像沿x轴或y轴方向进行伸缩，即扩大或缩小图像。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转一定的角度。
翻折变换
将函数图像沿某条直线翻折，实现左右对称或上下对称。
函数图像的应用
分析函数性质
通过观察函数图像，可以分析函数的单调性、周期性、极值等性质。
性质
图像是周期函数，具有特定的对称性。
举例
$y = sin(x)$，$y = cos(3x)$。
指数函数和对数函数
定义
形式分别为 $y = a^x$ 和 $y = log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。

函数的概念及其表示

1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( ) (A)π2 (B)π (C) π (D)不确定
1．如图，可表示函数 y＝f(x)的图象的只可能是( )
2.设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( )
2.已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x)
3.若
f
(x)
满足
f
(x)

2
f
(1) x

ax,
求
f
(x)
4.已知函数 f(x2－3)＝lgx2x－2 3，求 f(x)的解析式．
1.设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合：在定义域内存在 x0，使得 f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合 M 的函数是________．
第1节函数的基本概念(一)
1．函数的基本概念
(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域．
f(x)≤1 的解集为( )
(A)(－∞，－3]∪[－1，＋∞) (B)[－3，－1]
(C)[－3，－1]∪(0，＋∞) (D)[－3，＋∞)
.求函数的解析式
变【式例、5】根1据. 已条知件f求( 下x列 1各) ＝函x数＋的2，解求析f(x式)的：解析式．

函数的定义及其表示法

定义: 设x与y是两个变量，D是实数集R的某个子集.
如果对任何的x D，变量y按照一定的规律，有确定
的数值与之对应，则称y是x的函数，记作
y=f (x) 称D为该函数的定义域.称x为自变量，称y为因变量.
当自变量x取数值 x0 D 时，与 x0对应的因变量y 的值称为函数y=f (x)在点x0 处的函数值，记为f (x0 ) 或y |xx0 .当x取遍D的各个数值时，对应的变量y取值的全体组成数集称做这个函数的值域.
函数的记号f :表示自变量x与因变量y的对应规则，
也可用
F,, f1等, f.2
函数的定义域:使函数表达式有意义的自变量的
一切实数值所组成的数集.
实际问题中，函数的定义域由实际意义确定.
函数的值域:全体函数值的集合.
两个函数相同:(1)定义域相同 (2)对应规则相同
例1：设f(x)=x2-2x+3,求f(0),f(3),f(-3),f(a) 解：f(0)=3
2x+1 (x≥0) f(x)=
-2x (x<0) 就是一个分段函数。这里f(1)=3,f(-1)=2。
分段函数的表达式虽然不止一个，但它不是几个函数，而是一个函数.
例2 求函数y x 1的定义域 . x3
解当分母x 3 0时,此函数式都有意义. 因此函数的定义域为 (,3)和(3,).
以确定相应的s值.
复利问题 :存入银行元ko本金,月利率为2%,
那么在第t个月后的存款余额(本利和) 与at t的关系:
at ko 1.02t
两个变量按一定的规律相联系,其中一个变量的变化将会引起另一个变量的变化,当前者(自变量) 的值确定后,后者(因变量)的值按照一定的关系相应被确定.

3.1-函数的概念及表示方法

函数常用的表示法有三种:解析法、列表法、图象法.
(1)当两个变量之间的函数关系能用一个等式来表示时,
这个等式叫做函数解析式.求函数的解析式,一般要求出函数
的定义域;
(2)求函数解析式的常用方法有:待定系数法、换元法等;
(3)常见函数图象举例(见下面图组).
【小结】在解决问题时,数形结合,常见函数图象是有
(2)已知 f(2x)=(2x)2-2,则 f(a)= a2-2
.
5.(1)函数

f(x)=+的定义域是 {x|x≠-1,x∈R}
.
(2)函数 f(x)=x0 的定义域是 {x|x≠0,x∈R}.
(3)函数 f(x)= 的定义域是 {x|x≥0}
.
(4)函数 f(x)= 的定义域是 R
.
.

−>
(2)依题意
,解得-<x<1,∴函数的定义域是(-,1).
+ >
【小结】根据函数的解析式求定义域,先要找出自变量的所有限制条
件,再求相应解集的交集,最后结果一般用区间表示.
【例 7】
求函数 f(x)=
+ , < ≤
的定义域.

, < ≤
∵-(x-1)2≤0
∴y≤-1
所以函数的值域为:(-∞,-1].
二、探究提高
【例1】已知f(x)=2x2+3x+4,g(x)=x+4,且F(x)=f(x)-3g(x).
(1) 求F(x); (2)求F(2)的值.
【解】 (1)F(x)=f(x)-3g(x)=2x2+3x+4-3(x+4)=2x2-8;

函数的定义及表示方法

函数的概念及表示

人教版数学必修一函数的含义及表达形式

函数的概念及其表示

函数的概念与表示方法

函数的概念及其表示方法

函数的概念与表示法课件(共19张PPT)

初中数学 函数

函数的概念.

函数的定义及其表示法

高中数学：函数的概念、区间表示法、函数的表示法、函数的单调性

函数的概念及表示方法

函数的定义及表示

函数的概念及其表示法

函数的概念及表示方法

函数的概念与表示方法

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示法

函数的概念及其表示

函数的定义及其表示法

3.1-函数的概念及表示方法

初中数学函数