江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期第二次质量检测数学(理)试题 Word版含答案
江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试 数学(理)
1 nx ，且 n 4m(m 0) ，求证：当 x 0 时， r ( x) 1 . f ( x) g ( x)
江苏省启东中学 2014-2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷Ⅱ附加题(理科)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 4． 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 5． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在
江苏省启东中学 2014-2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷Ⅰ(理科)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考试时间 为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 命题人:黄群力 2015.5
x＝2＋2t y＝1－t
(t 为参数)，椭圆 C 的方程
为 ＋y ＝1，试在椭圆 C 上求一点 P，使得 P 到直线 l 的距离最小． 4
x2
2
3.（本小题满分 10 分，空间立体几何） 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝ 2，BB1＝3，D 为 A1C1 的中点，F 在线段 AA1 上． （1）AF 为何值时，CF⊥平面 B1DF？ （2）设 AF＝1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.
江苏省启东中学高二下学期期中考试物理试卷 Word版含答案.pdf
A相同的物体B，从高h处由静止开始沿光滑曲面滑下，与A相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B与A分开且沿
原曲面上升．下列说法正确的是（ ）
A．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh
B．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为
C．B能达到的最大高度为
D．B能达到的最大高度为
17．如图所示，一定质量的空气被水银封闭在静置于竖直平面的U形玻璃管内，右管上端开口且足够长，右管内水
，待水面稳定后，将玻璃板放在浅盘上，用笔在玻璃板上描绘出油酸膜的轮廓形状再把玻璃板放在坐标纸上，其形状和
尺寸如图所示，坐标纸中正方形方的边长为1cm，试求：
(1)油酸膜的面积是cm2；
(2)每滴油酸酒精溶液中含有纯油酸的体积
是mL；
(3)按以上实验数据估测出油酸分子的
直径m． （答案保留一位有效数字） 22．如图所示“为探究碰撞中的不变量”的实验装置示意图．(1)因为下落高度相同的平抛小球(不计空气阻力)的 飞行时间相同，所以我们在实验中可以用． (2)本实验中，实验必须要求的条件是( ) A．斜槽轨道必须是光滑的 B．斜槽轨道末端点的切线是水平的 C．入射小球每次都从斜槽上的同一位置无初速释放 D．入射球与被碰球满足mamb，ra＝rb (3)图中M、P、N分别为入射球与被碰球对应的落点的平均位置，则实验中要验证的关系是( ) A．ma·ON＝ma·OP＋mb·OMB．ma·OP＝ma·ON＋mb·OM C．ma·OP＝ma·OM＋mb·OND．ma·OM＝ma·OP＋mb·ON在一个大气压下，1g水在沸腾时吸收了2260J的热量后变 成同温度的水蒸汽，对外做了170J的功，阿伏伽德罗常数NA=6.0×1023mol1，水的摩尔质量M=18g/mol水的分子总势能 变化1g水所含的分子数 （结果保留两位有效数字）． 如图所示，在水平固定的筒形绝热气缸中，用绝热的活塞封闭一部分气体．活塞的横截面积为0.2m2，外界大气压 强为105Pa，气体温度为27℃．活塞与气缸之间无摩擦且不漏气．用一个电阻丝R给气体加热，活塞将会缓慢移动．已知 被封闭气体的温度每升高1℃，其内能增加74.8J，27 ℃升高到77℃，电阻丝对气体提供的热量． 高二物理期中试卷参考答案 一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．D ；2．A；3．D ；4．D；5．B；6．CA；8．B；9．C；10．A 二、多项选择题（每小题3分，漏选得1分，错选或不选得零分，共30分） 11．AD；12．BD；13．AD；14．AD；15．AC；16．BD；17．ACD；18．ACD；19．BC 20．CD 三、填空题（每空2分，共12分） 21．(1)110 (2)8×10－6 (3)7×10－10(1)水平位移 (2)BCD (3)C2090J （3分）；② 3.3×1022 （5分） 24．（1）0.6J （3分）；（2）0.2J （3分）； （3）1×10—4（9×10—5~2×10—4都算正确）（4分） 25．（1）7.5cm （5分）；（2）5240J（5分） 26．（10分） 27．（1）（3分）；（2）（3分）；（3）（4分） v0 C A B m O M R C B A R A h B c b a O
2015-2016年江苏省南通市启东中学高二(下)第二次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次月考数学试卷一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，则A∩B等于．2．（5分）命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是命题（填真假）．3．（5分）已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）4．（5分）函数f（x）＝sin x+3x的导函数f′（x）＝．5．（5分）函数y＝的定义域是（用区间表示）．6．（5分）已知函数y＝xlnx，则其在点x＝e处的切线方程．7．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为．8．（5分）已知函数f（x）＝且f（a）＞1．则实数a的取值范围是．9．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1），则f（）+f（）+…+f（）＝．10．（5分）函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1．f （4）＝5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为11．（5分）已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（1）＝lg3﹣lg2，f （2）＝lg3+lg5，则f（2009）＝．12．（5分）定义在[﹣3，3]的偶函数f（x）且满足f（x+1）＝f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f （x）＝cos x，则y＝f（x）与y＝lgx的图象的交点个数为．13．（5分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5个不同的实数解，则b+c＝．14．（5分）设函数f（x）＝x2+4x﹣5，g（x）＝ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．二.解答题（共90分）15．（14分）已知a＞0且a≠1，命题p：函数y＝log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．17．（15分）已知条件p：A＝{x|x2+ax+1≤0}，条件q：B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（15分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）＝1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．加试21．（10分）已知矩阵A＝，B＝．（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；（Ⅱ）求直线x+y﹣1＝0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．22．（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．23．（10分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如表：（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．24．（10分）某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，则A∩B等于{1，4，7，10}．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣12）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜12，即A＝{x|﹣1＜x＜12}，∵B＝{x|x＝3n+1，n∈Z}，∴A∩B＝{1，4，7，10}，故答案为：{1，4，7，10}．2．（5分）命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是真命题（填真假）．【解答】解：∵命题：若x2＜1，则﹣1＜x＜1是真命题，∴它的逆否命题也是真命题．故答案为：真3．（5分）已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的必要不充分条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）【解答】解：已知p：x≠1，推不出q：x≥2，不是充分条件，q：x≥2能推出p：x≠1，是必要条件，故答案为：必要不充分．4．（5分）函数f（x）＝sin x+3x的导函数f′（x）＝cos x+3x ln3．【解答】解：函数f（x）＝sin x+3x的导函数f′（x）＝cos x+3x ln3，故答案为：cos x+3x ln3．5．（5分）函数y＝的定义域是（用区间表示）．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：≥可得0＜x2﹣1≤1解得：x∈故答案为：6．（5分）已知函数y＝xlnx，则其在点x＝e处的切线方程y＝2x﹣e．【解答】解：∵y＝xlnx，∴y′＝lnx+1，∴x＝e时，y′＝lne+1＝2，又当x＝e时y＝e，即切点为（e，e），∴切线方程为y﹣e＝2（x﹣e）即y＝2x﹣e．故答案为：y＝2x﹣e．7．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的最小距离为．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣2平行时，点P到直线y＝x﹣2的距离最小．直线y＝x﹣2的斜率等于1，令y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣＝1，x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣2的距离等于，故点P到直线y＝x﹣2的最小距离为，故答案为．8．（5分）已知函数f（x）＝且f（a）＞1．则实数a的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．【解答】解：当a≤0时，（）a﹣1＞1，即为（）a＞2，解得a＜﹣1；当a＞0，＞1，解得a＞1．即有a＞1或a＜﹣1，则实数a的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．9．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0，a≠1），则f（）+f（）+…+f（）＝．【解答】解：数f（x）＝（a＞0，a≠1），∴f（x）+f（1﹣x）＝+，＝，＝，＝1，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…，∴令M＝f（）+f（）+…+f（），则M＝f（）+f（）+…f（）+f（），∴2M＝2015，∴M＝，故答案为：．10．（5分）函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1．f（4）＝5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为【解答】解：∵对任意的实数都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1∴f（2+2）＝f（2）+f（2）﹣1＝5即f（2）＝3∵f（2）＝3，f（4）＝5，函数f（x）是R上的单调函数∴函数f（x）是R上的单调增函数∴f（3m2﹣m﹣2）＜3＝f（2）即3m2﹣m﹣2＜2解得m∈故答案为11．（5分）已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（1）＝lg3﹣lg2，f （2）＝lg3+lg5，则f（2009）＝﹣lg15．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（1）＝lg3﹣lg2，f（2）＝lg3+lg5，∴f（3）＝f（2）﹣f（1）＝lg5+lg2＝1，∴f（4）＝f（3）﹣f（2）＝lg2﹣lg3，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝﹣lg15．f（6）＝f（5）﹣f（4）＝﹣1，f（7）＝f（6）﹣f（5）＝lg3﹣lg2＝f（1），f（8）＝f（7）﹣f（6）＝lg3+lg5＝f（2），∴f（n+6）＝f（n），∴f（2009）＝f（5+334×6）═f（5）＝﹣lg15．故答案为：﹣lg15．12．（5分）定义在[﹣3，3]的偶函数f（x）且满足f（x+1）＝f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f （x）＝cos x，则y＝f（x）与y＝lgx的图象的交点个数为0．【解答】解：∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）＝cos x，cos1＝cos3＞lg3．∴函数f（x）的图象和y＝lgx的图象如图：由图数形结合可得函数y＝f（x）与函数y＝lgx的图象的交点个数为0个故答案为：0．13．（5分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5个不同的实数解，则b+c＝﹣1．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）＝t，则当t＝1时，f（x）＝t有三解，当t≠1时，f（x）＝t有两解．∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0有5个不同的实数解，∴关于t的方程t2+bt+c＝0有两解，且t＝1是其中一解，∴1+b+c＝0，即b+c＝﹣1．故答案为﹣1．14．（5分）设函数f（x）＝x2+4x﹣5，g（x）＝ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是[﹣3，]．【解答】解：由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝﹣2，且f（1）＝0，f（﹣5）＝0，故若存在x0∈R，使得f（x0）＜0，必有﹣5＜x0＜1又由g（x）＝ax+3中恒过（0，3），故由函数的图象知：①若a＝0时，g（x）＝3恒大于0，显然不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，故a＝0．②若a＞0时，g（x0）＜0⇔x0＜﹣若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，解得，故．③若a＜0时，g（x0）＜0⇔x0＞﹣若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，解得a≥﹣3，故﹣3≤a＜0．综上可知，实数a的取值范围是：故答案为：[﹣3，]二.解答题（共90分）15．（14分）已知a＞0且a≠1，命题p：函数y＝log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．【解答】解：若命题p：函数y＝log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数为真命题，则0＜a＜1，若命题q：曲线y＝x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点为真命题，则△＝（2a﹣3）2﹣4＞0解得：，故p∨q为真时．16．（14分）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．【解答】解：（Ⅰ）设函数y＝f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P （x，y），则P在g（x）的图象上，且，即∵点Q（x0，y0）在函数y＝f（x）的图象上，∴﹣y＝x2﹣2x，即y＝﹣x2+2x，故，g（x）＝﹣x2+2x．（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x≤．因此，原不等式的解集为[﹣1，]．17．（15分）已知条件p：A＝{x|x2+ax+1≤0}，条件q：B＝{x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：解不等式可得B＝{x∈R|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，p不能推出q，即B是A的真子集，可知方程x2+ax+1＝0的两根在区间[1，2]外，解方程得：x1＝，x2＝，∴，解得：a＜﹣，a＝﹣时，也符合题意，故．18．（15分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）＝1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）＝3ax2+2bx+c，∵函数f（x）＝ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c＝0的两个根分别是1和2，且a＞0从f（0）＝a2＝1且a＞0可得a＝1又得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝3x2﹣9x+6＝3（x﹣1）（x﹣2），∴x∈（﹣∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1]上是增函数对x∈（﹣∞，1]，当x＝1时，要使在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即，即对任意m∈（0，2]恒成立，即对任意m∈（0，2]恒成立，设，则t＜h（m）min，令h′（m）＝0，得m＝1或m＝﹣1在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：∴m＝1时，，∴19．（16分）已知函数（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）＝f（b）时，求的值；（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a＜b，且f（a）＝f（b），可得0＜a＜1＜b且．所以．（II）不存在满足条件的实数a，b．若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b当a，b∈（0，1）时，在（0，1）上为减函数．故即解得a＝b．故此时不存在适合条件的实数a，b．当a，b∈[1，+∞）时，在（1，+∞）上是增函数．故即此时a，b是方程x2﹣x+1＝0的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）＝0∉[a，b]，故此时不存在适合条件的实数a，b．综上可知，不存在适合条件的实数a，b．20．（16分）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．【解答】解：（1），∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．（2）∵，∴，∴，设h（x）＝g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．当1≤x≤2时，，，令h′（x）≤0，得：对x∈[1，2]恒成立，设，则，∵1≤x≤2，∴，∴m（x）在[1，2]上递增，则当x＝2时，m（x）有最大值为，∴当0＜x＜1时，，，令h′（x）≤0，得：，设，则，∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）＝0，∴a≥0．综上所述，．加试21．（10分）已知矩阵A＝，B＝．（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；（Ⅱ）求直线x+y﹣1＝0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A﹣1＝，∵A•A﹣1＝•＝，解得：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）且A﹣1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）∵A﹣1B＝•＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）设直线x+y﹣1＝0上任意一点P（x，y）在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），则•＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）即：，从而﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入x+y﹣1＝0得x′﹣2y′﹣1＝0即x﹣2y﹣1＝0为所求的曲线方程．7分）22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．【解答】解：⊙C的方程化为ρ＝4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2+y2﹣4x﹣4y＝0…（5分）其圆心C坐标为（2，2），半径，又直线l的普通方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心C到直线l 的距离，∴弦长…（10分）23．（10分）某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如表：（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；（2）若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值．【解答】解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，∴“创新性4分且实用性3分”的概率．（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件．∴“实用性”得y的分布列为：又∵“实用性”得分的数学期望，∴+．∵作品数量共50件，a+b＝3解a＝1，b＝2．24．（10分）某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意得，解得（2）该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，ξ的值分别为：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列为：Eξ＝+3×+4×＝7．。
启东中学高三数学第二次质量检测
i ←1While i < 6 i ←i + 2 S ←2i + 3End While（第3题）启东中学高三数学第二次质量检测 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ． 【答案】{}03，2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．【答案】174． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ．【答案】1805． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ． 【答案】4（或0.16）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是 ▲ ．【答案】2（第4题）7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ．8． 函数()f x =的定义域是 ▲ ．【答案】[]22-，9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ． 【答案】5-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ． 【答案】2281x y +=11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若·=-7， 则·的值是 ▲ ．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(01)，14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最小值时，a 的值是 ▲ ． 【答案】45- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）(第11题)已知()πsin α+=，()ππα∈，．求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．解：（1）法一：因为()ππ2α∈，，所以()π3π5π444α+∈，，又()πsin 4α+，所以()πcos 4α+=． (3)分所以()ππcos cos αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++=35=-． …… 6分法二：由()πsin 4α+得，ππsin cos cos sin 44αα+， 即1sin cos 5αα+=． ① (3)分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45． 因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． (6)分（2）因为()ππ2α∈，，3cos 5α=-，所以4sin 5α． …… 8分所以()4324sin22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-， ()2237cos22cos 12525αα=-=⨯-=-． (12)分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin ααα-=-()()2472525=--=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． (7)分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分又AC BC ⊥，1AC AA A = ，1AC AA ⊂，平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分C 1ACA 1B 1 D(第16题)E因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且=12，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，23=，即2259b a =．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以2242519a b +=． ② …… 3分由①②解得2295a b ==，． 因为0a b >>，所以3a b =， …… 5分（2）法一：由①知，2259b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=． 设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=， 所以222559a y m =+．因为20y >，所以2y ． …… 8分因为=12，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x m y a =-．(第17题)由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． (11)分因为=12，所以()()11221122x a y x y +=，，，于是212y y =，22059am m =+()0m >，所以m =． 所以直线AB的斜率为1m =． (14)分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，． 设11()B x y ，，22()C x y ，．由=12，得()()112211x a y x y +=，，，所以121x x a =-，121y y =． …… 8分因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上， 所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得24a x =，2y =， (12)分所以直线AB的斜率22y k x == …… 14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC BAC ABC AC ∠=∠sin1203==因为sin17°17BAC ∠=°． 从而缉私艇应向北偏东47 方向追击． …… 5分在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC AC BC+-= ，解得BC = 1.68615≈． 又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-= ．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=3=．整理得，()(229944x y -+=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆． 因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船． (14)A BC图甲北(第18题)分答：（1）缉私艇应向北偏东47 方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分19．（本小题满分16分）已知函数1()ef x =，()lng x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． (2)分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln e p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e x xx p x x λ-'=． …… 4分假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数；当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分（3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=．① 当1e a ≤时，因为211e exx ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1e a >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x-'-=()≤， 当()1e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1ea ≤． (16)分20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠．（1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列． 解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分（2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） (4)分当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） (6)分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯--=……()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--， 所以11121121n n a a a a a a n n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则1n a a d -=(2)n ≥． (14)分所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． (16)分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD⋅=⋅．证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠．3分因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为12OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． (10)分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (10)分法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， （第21—A 题）1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． (6)分解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． (3)分将直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）代入28y x =得，2240l -+=， (6)分解得1l =2l =则12l l -=所以线段AB的长为 …… 10分法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， (3)分将直线32x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）化为普通方程为302x y -+=， (6)分由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB (10)分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． 证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以122xy yz x y +=≥，122yz xz y z +=≥，3122xz xy z z x +=≥． …… 8分所以111xy yz zx x y y z z x ++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． (4)分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则458C 1(8)(0)C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为： (8)分所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=． (10)分23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n bb b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．）解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，， 经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，， 所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． （i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立； （ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kji jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 5分则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理
江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 理注 意 事 项1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1．已知集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ． 2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝ ▲ ．3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 5．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ▲ .6．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ．7． 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ .8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆ 的形状是 ▲ ．9．设y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方 体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．11．已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y ab (0)>>a b 12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ▲ ．12．若函数)1ln(2ln )(+-=x kxx f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．函数xe x xf 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分为14分）已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．16．（本小题满分为14分）已知函数)50)(36cos(2)(≤≤+=x x f ππ，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．17．（本小题满分为14分）如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．(1)求证：DE ⊥平面BCD ；(2)在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．18．（本小题满分为16分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021)144,120[50408031223x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19．（本小题满分为16分）设A ，B 分别为椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．20．（本小题满分为16分）已知函数x a x x f ln 21)(2+=．（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方．2015届高三第二学期期初调研测试数学（Ⅱ）加试题22．（本小题满分为10分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t=<<，连接A1B，A1C，A1D．（1）当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说23．（本小题满分为10分）设数列}{na的前n项和为nS，已知λ+=+nnSS12（*N∈n，λ为常数），21=a，12=a．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求所有满足等式111+=--+mnnamSmS成立的正整数m，n．C1AB CDA1B1D12015届高三寒假作业测试答案 数学（Ⅰ）试题1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，则a>4，即c ＝4；2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈ R ，x2＋2x ＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.3. 答案：33；由条件得斜高为32)33(12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3 (m2)．4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.5. 答案：4+；BC AB BC AB S ⨯=⨯=424sin 21π，BC AB BC AB ⨯-+=2164cos 22π，得BC AB BC AB BC AB ⨯≥+=⨯+221622，)22(8+≤⨯BC AB ，6. 答案：37π；ax x x x x =+=+=+)3sin(2)cos 23sin 21(2cos 3sin π，直线与三角函数图象的交点，在]2,0[π上，当3=a 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令32323)3sin(ππππ+=+⇒=+k x x 或)(3223Z k k x ∈+=+πππ，即πk x 2=或)(32Z k k x ∈+=ππ，∴此时ππ2,3,0321===x x x ，37321π=++∴x x x ．7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象 可以看出，若f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；ACAB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，由()()20AB AC AD BD CD -⋅--= ，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的是等腰三角形．9.答案：16；法一；由33122x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故4≥xy ；法二：由于33122x y+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝211. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为122⋅p y c，11(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴4511332p y a c r =-=-=，∴椭圆的离心率为35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=>+>)1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k由于,21-<+x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421≥++x x ， 要使函数)1ln(2ln )(+-=x kx x f 不存在零点，只需k 取21++x x 取值集合的补集，即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为)2(22+=+='x xe e x xe y xx x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故2ln 1)(,log 4)(2x x f x x f ='+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数2ln 1log 4)()()(2x x x f x f x F -=-'-=的零点，分析易得04ln 112ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故1=a ，故答案为：1二、解答题：15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2----6分经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13---------------------------------------------------14分17. 解：(1)证明：在题图1中，因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°， 所以∠ACB ＝60°.因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.------------------------==--------------------------------------------------2分 又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD.-------------=-----------------------------------------5分在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD.--------------------------------======----------------------------------7分 (2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ，所以EF ∥BG.--------------10分 因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点， 所以AE ＝EG ＝CG ＝2.过点B 作BH ⊥CD 交于点H.因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD.-------------------------==-------------------------------------12分 由条件得BH ＝32.又S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3，所以三棱锥B-DEG 的体积为V ＝13S △DEG·BH ＝13×3×32＝32.-------=------14分 18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎪⎭⎫ ⎝⎛+-80000200212x x ＝－12x2＋400x －80 000＝－12(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为⎪⎩⎪⎨⎧∈-+∈+-=]500,144[2008000021)144,120[504080312x x x x x x x y -------------------------------------------9分①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分19．解析：（1）由题意：24=a ，所以2=a ．所求椭圆方程为22214+=x y b ．又点在椭圆上，可得21=b ．所求椭圆方程为2214+=x y ．-----------5分 （2）证明：由（1）知：(2,0),(2,0)-A B ．设(4,)P t ，(,)M M M x y ． 则直线PA 的方程为：(2)6=+ty x ．--------------------------------------------------7分由22(2),644,⎧=+⎪⎨⎪+=⎩t y x x y 得2222(9)44360+++-=t x t x t ．----------------------------------8分 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429--+=+M t x t ，所以222189-+=+M t x t ．----------------------------------------10分 由(2)6=+M M t y x ，得269=+M ty t ．所以2222186(,)99-+++t t M t t ．从而22246(,)99=-++ t t BM t t ，(2,)= BP t ．------------------------------------------12分所以22228699⋅=-+++ t t BM BP t t 22209=-<+t t ．------------------------------------14分 又,,M B P 三点不共线，所以∠MBP 为钝角．-------------------------------------15分 所以△MBP 为钝角三角形．----------------------------------------------------------16分20. 解：（1）)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增， )(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．------------------------------------------4分（2）01)(ln 21)(2>+='⇒+=x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立，)(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(xx g =的图象下方--------------16分数学（Ⅱ）加试题21.（本小题共2小题，满分20分）．B ．解：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，------------------5分同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ---------------------10分 C ．解：（1）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=- --------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ.（ 也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ） ----------------5分（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ得0332=--ρρ -----------------------------7分 设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ， 则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB . ------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 22．解：根据题意可知，AA1, AB,AD 两两垂直， 以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA1为z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系：（1）长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 -----------------------1分 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩，取1x z ==，得：()1,0,1m = ， 同理可得平面A1CD 的法向量()0,1,1n =所以，1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅-----------------------------4分又二面角B-A1C-D 为钝角，故值是120︒ ---------------------------5分 （也可以通过证明B1A ⊥平面A1BC 写出平面A1BC 的法向量） （2）根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ-- ()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP A C BD A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩解得：21,3t λ==------------------------------------------------------------------9分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ， 位置是线段A1C 上1:2:1A P PC =处. ---------------------------------------------10分当2=m 时，由（*）得622=⨯n，所以无正整数解； 当3=m 时，由（*）得82=n，所以3=n ．综上可知，存在符合条件的正整数3==n m ． ---------------------------10分。
江苏省启东中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(理) Word版含答案
命题人：顾晏辉（考试时间120分钟，满分160分）一：填空题（本大题共14大题，每小题5分，共70分）1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12i，i 2，|5i 2|，(1＋i )2i ，－i 22，则集合A ∩R ＋（R +表示大于0的实数）的子集个数为____________．2．高二某班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量 为4的样本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为__________． 3．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz＝－35＋45i ，则a ＝________________.4．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sinA ＋sinC sinB ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题_________________．5．已知12,z z 是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：z 12z ⊗=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>)()(21212121z z z z z z z z ，若12i =+z 且1234i ⊗=+z z ，则复数2=z 6. 已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝________.7．设复数z 满足：(2－3＋i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且 |z －1|是|z |和|z －2|的等比中项，求|z |= .8. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长定值为________． 9．阅读第9题的程序框图，输出结果s 的值为 .10．阅读第10题的程序框图，设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S ，T ，设z 1＝S －Ti ，z 2＝1＋i ，z ＝z 1·z 2，则|z|= .江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理）11．已知n nn ii i i 21)1(1)1(22=+-+-+，则最小正整数n= .12．正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如右图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是__________．13.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项，如下表所示．按如此规律下去，请归纳，则a 2013＋a 2014＋a 2015等于.14．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．二：解答题（本大题共6大题，共90分）15：.已知复数z 满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积.16：已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：2x－4y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．17：已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0.18：先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；②输出S的结果是什么？写出求S的过程．19：对于任意的复数z＝x＋yi(x、y∈R)，定义运算P(z)＝x2[cos(yπ)＋isin(yπ)]．(1)集合A＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x、y均为整数}，试用列举法写出集合A；(2)若z＝2＋yi(y∈R)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l：y＝x－9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数z＝x＋yi经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．20：在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立，(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)归纳猜想a n 与1n的大小，并证明你的结论．江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试数学（理）答案一：填空题1． 8 2．17 3．－24．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e.5．13i + 6. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4 7．|z |＝2－1或2＋1. 8. 内角平分线 a 9．116 10．38611． 312．1 0232 048a 2 13. 100714．7二：解答题（本大题共6大题，共90分） 15：.已知复数z满足||=z ，2z 的虚部为2.（1）求z ；（2）设22,,-z z z z 在复平面对应的点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 解答：（1）设i(,)x y x y =+∈R z . 由题意得2222i x y xy =-+z∴(1)22(2)xy ==⎪⎩化简得()20,x y x y -=∴= 将其代入（2）得222x =，∴1x =±. 故11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩故1i =+z 或1i =--z . （2）当1i =+z 时，22i =z ，21i -=-z z . 所以(1,1),(0,2),(1,1)A B C - ∴1||2,1212ABC AC S ∆==⨯⨯=. 当1i =--z 时，22i =z ，213i -=--z z .(1,1),(0,2),(1,3)A B C ---. ∴ 1||4,1422ABC AC S ∆==⨯⨯=.16：已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：2x －4y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.17：已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0.解：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b )， 又a ＋b <0，∴ c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b ),ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab , 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2.∵ a 2>0，ab >0，b 2>0，∴ －a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．18：先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？(2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之；②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．[解析] (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)(方法一)当输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则 a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1.(方法二)由a 1＝13＝14×12－1，a 2＝115＝14×22－1，a 3＝135＝14×32－1，猜想a n ＝14n 2－1. 证明：(1)当n ＝1时，结论成立，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2(k ＋1)－32(k ＋1)＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝1(2k ＋3)(2k ＋1)＝14(k ＋1)2－1.所以当n ＝k ＋1时，结论成立，故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立． 因为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1.19：对于任意的复数z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，定义运算P(z)＝x 2[cos(y π)＋isin(y π)]．(1)集合A ＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x 、y 均为整数}，试用列举法写出集合A ； (2)若z ＝2＋yi(y ∈R )，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l ：y ＝x －9上是否存在整点(x ，y)(坐标x 、y 均为整数的点)，使复数z ＝x ＋yi 经运算P 后，P(z)对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x ＋y i ，|z |≤1⇒x 2＋y 2≤1，由于x ，y ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0. ∴P (±1)＝1，P (±i)＝0，P (0)＝0， ∴A ＝{0,1}．(2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，则P (z )＝4[cos(y π)＋isin(y π)]．若P (z )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧cos y π＝0，sin y π≠0，∴y ＝k ＋12，k ∈Z ， ∴|z |＝22＋y 2＝(k ＋12)2＋4，k ∈Z ，当k ＝0或－1时，|z |min ＝172.(3)P (z )对应点坐标为(x 2cos(y π)，x 2sin(y π))，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －9，x 2sin (y π)＝x 2cos (y π)－9，x 、y ∈Z ，∴x 2sin(x π－9π)＝x 2cos(x π－9π)－9，∴x 2sin x π＝x 2cos x π＋9. ∵x ∈Z ，∴①当x ＝2k ，k ∈Z 时，得x 2＋9＝0不成立； ②当x ＝2k ＋1，k ∈Z 时，得x 2－9＝0，∴x ＝±3成立．此时⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－12，即z ＝3－6i 或z ＝－3－12i.20：在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立， (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)归纳猜想a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n∵在数列{a n }中a n ＞0，∴a n ＋1＞0，∴a n －a 2n ＞0，∴0＜a n ＜1 故数列{a n }中的任意一项都小于1.(2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N *)时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。
江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试 数学(理)
2014-2015学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科）试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2015．6注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知集合{0}A x x =≤，{1012}B =-，，，，则A B = ▲ ． 2．命题：“x R ∀∈，30x>”的否定是 ▲ ．3．已知复数(1)z i i =-（i 为虚数单位），则||z = ▲ ． 4．“4πα=”是“tan 1α=”的 ▲ 条件．（从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中，选出适当的一种填空）5．正弦曲线sin y x =在6x π=处的切线的斜率为 ▲ ． 6．方程241111x x C C -=的解为 ▲ ．7．四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有 ▲ 种不同的安排方案（用数字作答）． 8．若函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，且在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(ln )(1)f x f <的解集为 ▲ ．9．设数列{}n a 满足13a =，2122n n n a a na +=-+，1,2,3,n = ，通过计算2a ，3a ，4a ，试归纳出这个数列的通项公式n a = ▲ ． 10．将函数x y 2sin =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；②该函数图象关于点(,0)3π对称；③该函数在]6,0[π上是增函数；④若函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a ．其中，正确判断的序号是 ▲ ．（写出所有正确判断的序号）11．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足关系1()()()3x f x g x -=，则(1)f ▲ (0)g ．（从“>”，“<”，“=” 中，选出适当的一种填空） 12．已知()cos cos()sin(2)2f x x x x x ππ=+--，若()f x =，0x π≤≤，则x 的值为 ▲ ．13．已知函数213,[1,)22()321,[,3)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩．若存在1x ，2x ，当1213x x ≤<<时，12()()f x f x =，则21()f x x 的取值范围是 ▲ ． 14．若实数x ，y 满足2321log [2cos ()]ln ln 08cos ()33y exy y xy +-+-=，其中e 为自然对数的底数，则(cos6)y x 的值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知：sin α=sin()αβ-=02πβα<<<． 求： （1）tan 2α的值；（2）角β的大小． 16．（本小题满分14分）设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N ．当M N M = 时，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =-+． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当511[,]2424x ππ∈时，求函数()f x 的值域；（3）当97(,)88x ππ∈--时，设经过函数()f x 图象上任意不同两点的直线的斜率为k ，试判断k 值的符号，并证明你的结论． 18．（本小题满分15分）如图，折叠矩形纸片ABCD ，使A 点落在边BC 上的E 处，折痕的两端点M 、N 分别在线段AB 和AD 上（不与端点重合）．已知2AB =，BC =，设AMN θ∠=． （1） 用θ表示线段AM 的长度，并求出θ的取值范围；（2）试问折痕MN 的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cos θ的值；若不存在，请说明理由．θE B C DM N A （第18题图）19．（本小题满分16分） 已知函数3()log f x x =．（1）若(21)()g x f x +=，求函数()g x 的解析式，并写出()g x 的定义域； （2）记()()h x f x a =-．①若|()|y h x =在3[1,]2上的最小值为1，求实数a 的值；②若1(,)A x a y +，2(,)B x y ，3(3,)C a y +为()y h x =图象上的三点，且满足1y ，2y ，3y 成等差数列的实数x 有且只有两个不同的值，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知函数2()51f x x x =-+，()x g x e =．2014-2015学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科）试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）2015．621．（本小题满分10分）已知n 展开式中各项的二项式系数和为64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项． 22．（本小题满分10分）我市某商场为庆祝“城庆2500周年”进行抽奖活动．已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X ．（1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =． （1）点P 为棱1CC 上一动点，求证：11AP B D ⊥； （2）求1AD 与平面1A CD 所成角的正弦值． 24．（本小题满分10分）设n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4． （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对∀*n N ∈，试探究222n n a a +⋅与212n a +的大小关系，并加以证明．PD 1C 1B 1A 1D CBA（第23题图）2015年6月高二期末调研测试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题：1．{1,0}- 2．x R ∃∈，30x ≤ 3 4．充分不必要 56．4或5 7．48 8． (,)e +∞ 9．21n + 10．②④11．< 12．712π13．4(3 14．18- 二、解答题：15．解：（1）∵sin α=02πα<< ∴1cos 7α=，tan α= …………3分∴tan 2α= …………7分（2）∵sin()αβ-=且02πβα<<< ∴02παβ<-< 且 13cos()14αβ-= ……9分∴1131cos cos[()]7142βααβ=--=⨯=（求出sin β=也可）…………12分 ∵02πβ<< ∴3πβ=． …………14分16．解：（1）若p 真：即函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R∴210x ax ++>对x R ∀∈恒成立 ∴240a ∆=-<，解得：22a -<<； …………2分若q 真，则1a ≥- …………2分 ∵命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假 ∴p 真q 假或p 假q 真∵221a a -<<⎧⎨<-⎩或221a a a ≤-≥⎧⎨≥-⎩或，解得：21a -<<-或2a ≥． …………7分（2）∵M N M = ∴N M ⊆ …………9分 ∵(5,),(2,2)M m m N =-=- ∴522m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得：23m ≤≤． …………14分17．解：22()sin 2sin cos 3cos cos2sin 22)24f x x x x x x x x π=-+=-+=-+（或())24f x x π=++） …………4分（1）T π=； …………6分 （2）∵511[,]2424x ππ∈时，∴22643x πππ≤-≤，则1sin(2)[,1]42x π-∈∴()f x的值域为[22 …………10分 （3）k 值的符号为负号；∵97(,)88x ππ∈--，∴52224x πππ-<-<-，∴()f x 在97(,)88ππ--上是减函数． …………12分∴当1297,(,)88x x ππ∈--，且12x x <时，都有12()()f x f x >，从而经过任意两点11(,())x f x 和22(,())x f x 的直线的斜率1212()()0f x f x k x x -=<-． …………15分18．解：（1）设AM x =，由图形的对称性可知：AM ME x ==，2BME πθ∠=-， ∵2BM x =- ∴2cos(2)x x πθ--=，整理得：2211cos2sin x θθ==- …………3分 ∵(0,)2πθ∈ 又∵AM AB AN AD <⎧⎨<⎩，即2212sin 1tan sin θθθ⎧<⎪⎪⎨⎪⋅<⎪⎩，∴sin 2sin 2θθ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，422233ππθππθ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：(,)43ππθ∈ …………6分 （2）在Rt AMN ∆中， 2311cos sin cos cos cos x MN θθθθθ===-，(,)43ππθ∈…………8分令1cos ,(2t t θ=∈，∴311,(2MN t t t =∈-，设31(),(2h t t t t =-∈…………10分∴2'()133(h t t t t =-=--，令'()0h t =，则t =或t =（舍）， 列表得：∴max ()h t =（直接对θ求导或直接研究函数311,(2MN t t t =∈-皆可） 答：当cos θ=时，MN ． …………15分19．解：（1）令21t x =+，0x >，则1t >且12t x -= ∵(21)()g x f x += ∴31()log ()2t g t -= ∴31()log ()2x g x -=，定义域为(1,)+∞；…………4分 （2）3()log ()h x x a =- ()x a > ①在333log ()(1)|log ()|log ()(1)x a x a y x a x a a x a -≥+⎧=-=⎨--<<+⎩∴函数在(,1)a a +上单调减，在(1,)a ++∞上单调增； …………6分 （Ⅰ）当3112a a <<≤+，即112a ≤<时，当32x =时，min 33log ()12y a =--=，∴716a =>（舍） （Ⅱ）当3112a <+<，即102a <<时，当1x a =+时，min 0y =（舍） （Ⅲ）当11a +≤，即0a ≤时，当1x =时，min 3log (1)1y a =-= ∴2a =- ∴综上：2a =-；（76a =不舍扣2分） …………10分 ②∵1y ，2y ，3y 成等差数列 ∴2132y y y =+，即3332log ()log log 3x a x -=+ 化简得：22(23)0x a x a -++= （*） …………13分 ∵满足条件的实数x 有且只有两个不同的值∴（*）在(,)a +∞上有两个不等实根，设22()(23)H x x a x a =-++∴2222(23)40232()(23)0a a a a H a a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪>⎨⎪=-++>⎪⎩，解得：304a -<<． …………16分20（2）'()()250x y f x a g x x a e =+⋅=-+⋅=，分为1个；个；…………8分（3）∵0x e > ，存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式[()]()xf x t g x x +⋅≤恒成立，分 ∴'()25x H x e x -=--+，设()'()25x F x H x e x -==--+，∴'()20x F x e -=-<在[1,)+∞上恒成立 ∴()'()25x F x H x e x -==--+在[1,)+∞上单调减∴0(2,3)x ∃∈，使得0'()0H x =，当01x x <<时，'()0H x >，当0x x >时，'()0H x < ∴()H x 在0(1,)x 上单调增，在0(,)x +∞上单调减∵1(1)30H e -=+>，2(2)50H e -=+>，3(3)50H e -=+>，4(4)30H e -=+>， 5(5)10H e -=-<且5x >，()(5)0H x H <<（若不交代函数()H x 的单调性，扣4分）∴正整数m 的最大值为4． …………16分 解法（二）：即对任意的[1,]x m ∈，不等式2(51)1x x x e -+≤恒成立． 设2()(51)x G x x x e =-+，[1,)x ∈+∞，∴22'()(25)(51)(34)(4)(1)x x x x G x x e x x e x x e x x e =-+-+=--=-+，可求得()G x 在(,1)-∞-上单调增，在(1,4)-上单调减，在(4,)+∞上单调增， 则2()(51)x G x x x e =-+[1,4)上单调减，在(4,)+∞上单调增 当4m ≤时， ()max (1)31G x G e ==-≤恒成立；当4m >时， ()max max{(1),()}G x G G m =，(1)31G e =-≤， 4(4)31G e =-≤，而5(5)1G e =>； ∴正整数m 的最大值为4． …………16分21．解：（1）01264n n n n n C C C +++== ∴6n =； …………4分（2）3364166r rrrr r T C C x --+==， …………7分当3304r -=，即4r =时，45615T C ==为常数项． …………10分 22．（1）21533815(2)28C C P X C ===； …………4分 （2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,33353()()(),0,1,2,388k k kP X k C k -===∴…………8分2713522512515()01235125125125128E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为158． …………10分 23．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AB =，则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D 1（0，0，2），A 1（1，0，2），B 1（1，1，2），C 1（0，1，2）．（1）设(0,1,)P m ，则(1,1,)AP m =- ，11(1,1,0)D B =则110AP D B ⋅=∴11AP B D ⊥ …………4分（2）11(1,1,2),(1,0,2)AC DA =--=设平面1A CD 的一个法向量(,,)n x y z =（第23题图）∴112020n AC x y z n DA x z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1z =，则20x y =-⎧⎨=⎩∴(2,0,1)n =-，||n = …………7分 设1AD 与面1A CD 所成角的大小为θ，1(1,0,2)AD =-，1||AD∴14sin |cos ,|5AD n θ=<>== ，所以1AD 与平面1A CD 所成角的正弦值为45． …………10分 24．解：（1）1n =，则1N =，∴11a =；2n =，则11N =，∴21a =；3n =，则111N =或3N =，∴32a =；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N =，∴44a =； 综上：11a =，21a =，32a =，44a = …………2分（2）由（1）猜想：212222n n n a a a ++=； …………3分 记12k N x x x = ，其中1x ，2x ，…，{1,3,4}k x ∈且12k x x x n +++=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1，3，4时，23k x x x +++ 分别等于1n -，3n -，4n -．故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++． …………5分先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立；②假设n k =时，21221k k k a a a +-=+；当1n k =+时，23222212222122221()k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ++-++++=++=++-=+ ∴1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈． …………8分再用数学数学归纳法证明下式成立：212222n n n a a a ++= ①1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立；②假设n k =时，212222k k k a a a ++=；当1n k =+时，2122224222321222232221222321222122223212323222123()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++++++++++=++=++=++=+=+= ∴1n k =+时，结论成立；综合①②，212222n n n a a a ++=，*n N ∈． …………10分。
学年下学期高二期中考试数学(理)(附答案)
江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间120分钟,满分160分)一､填空题:本大题共14小题.每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.不等式021≤+-x x 的解集为 ▲ . 2.下列命题中,正确的命题个数是 ▲ .①;22bc ac b a >⇒>②;22bc ac b a ≥⇒≥③;bc ac cb c a >⇒> ④;bc ac c b c a ≥⇒≥⑤⎩⎨⎧>>bc ac b a 0>⇒c ;⑥⎩⎨⎧≥≥bcac b a 0≥⇒c 3.在ABC ∆中,3,3,2π=∠==B b a ,那么=∠A ▲ .4.直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行,则=a ▲ .5.已知直线)0(02>=-+a a y a x ,则当此直线在两坐标轴上的截距和最小时,a 的值是 ▲ .6.点),(y x P 在直线04=-+y x 上,则22y x +的最小值为 ▲ .7.已知数列}{n a 中,,11=a 对所有的*,2N n n ∈≥都有2321n a a a a n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则数列}{n a 的通项公式为=n a ▲ .8.在ABC ∆中,已知A c b B c a cos cos -=-,则ABC ∆的形状是 ▲ . 9.如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ,那么y x )21(4的最大值为 ▲ . 10.经过点)1,2(P 的直线l 到)1,1(A ､)5,3(B 的距离相等,则直线l 的方程是 ▲ .11.已知c b a ,,是ABC ∆的三条边,c b a ,,成等差数列,c b a ,,也成等差数列,则ABC ∆的形状是 ▲ .12.直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,则实数k 的取值范围是▲ .13.已知数列}{n a 的通项公式为12112--=n n a n ,则此数列的前n 项和取最小时,n =▲ .14.若关于x 的不等式(组)92)12(297022<+-+≤n n x x 对任意*N n ∈恒成立,则所有这样的解x 的集合是 ▲ .二､解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式:01522>-+-a x ax .16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S .17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围; (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值; (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+.(1)求2a 的值;(2)证明:数列}{n a n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a .江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一数学答案1. ]1,2(-;2. 4 ;3. 4π; 4. -1 ; 5. 1; 6.8; 7. ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)2()1()1(122n n n n a n ;8.等腰三角形或直角三角形;9.2;10.032=--y x 或2=x ;11.等边三角形;12.01<≤-k 或10≤<k ;13.11或12;14. }92,1{-15.(本小题满分14分)若不等式0252>-+x ax 的解集是}221|{<<x x , (1)求a 的值;(2)解不等式01522>-+-a x ax . 解:(1)由题意得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-+=-<221222150a a a …………… 4分解得2-=a …………… 7分(2)由(1)得2-=a ,故原不等式化为03522>+--x x …………… 10分21303522<<-⇒<-+⇒x x x …………… 14分 所以不等式的解集为)21,3(-.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,c b a ,,分别是内角C B A ,,的对边,已知ba c B C A -=-2c o s c o s 2c o s (1)求AC sin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S . (1)解:由正弦定理得:BA C b a c sin sin sin 22-=- …………… 3分 由已知ba c B C A -=-2cos cos 2cos故A B C B C B A B BA CBC A sin cos sin cos 2cos sin 2cos sin sin sin sin 2cos cos 2cos -=-⇒-=-C B C B A B A B sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin +=+⇒)sin(2)sin(C B B A +=+⇒ …………… 5分 在ABC ∆中A C B C B A sin )sin(,sin )sin(=+=+2sin sin sin 2sin =⇒=∴AC A C …………… 7分 (2)解:在ABC ∆中,由415sin 41cos =⇒=B B , …………… 9分 由(1)得a c AC 22sin sin =⇒= 由余弦定理得:412244cos 222222⋅⋅-+=⇒-+=a a a a B ac c a b …………… 12分 解得:41541521212,1=⨯⨯⨯=∴==∆ABC S b a …………… 14分17.(本小题满分15分)(1)若实数y x ,满足:⎩⎨⎧>≤+-001x y x ,求x y 的范围;),1(+∞ (2)设正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值;223+ (3)已知45<x ,求25414--+=x x y 的最大值.1 18.(本小题满分15分)已知两直线,0)1(:,04:21=++-=+-b y x a l by ax l 求分别满足下列条件的b a , 的值.(1)直线1l 过点),1,3(--并且直线1l 与直线2l 垂直;(2)直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到这两直线的距离相等.解:(1)由题意得:⎩⎨⎧=--=++-0)1(043b a a b a …………… 4分解得:⎩⎨⎧==22b a …………… 6分 (2)由直线1l 与直线2l 平行得:)1,0,0(1≠≠≠-=a b a a ba aa b -=⇒1 ① …………… 8分 041:1=+--∴y a a ax l 即0)1(4)1(=-++-aa y x a 由坐标原点到两直线的距离相等得:原点在直线02)1(4)1(=-+++-a a b y x a 可得: 0)1(4=-+a a b ② …………… 12分 解①②得:⎩⎨⎧-==22b a 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==232b a …………… 15分 19.(本小题满分16分)设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=,已知无论βα,是何实数,恒有0)(sin ≥αf 和0)cos 2(≤+βf .(1)求c b +的值;(2)求证:3≥c ;(3)若)(sin αf 的最大值为8,求c b ,的值.（1） 解:因为3c o s 21,1s i n1≤+≤≤≤-βα,所以由题意得:当11≤≤-x 时,0)(≥x f 恒成立;当31≤≤x 时,0)(≤x f 恒成立;所以有0)1(=f …………… 4分101-=+⇒=++⇒c b c b …………… 5分(2)证明:由(1)得:(*)0390)3(≤++⇒≤c b f ……………8分又因为c b c b --=⇒-=+11代入(*)式得:30)1(39≥⇒≤+--+c c c ……… 10分(3)因为)(sin αf 的最大值为8,可得8)1(=-f 所以81=+-c b …………… 14分 解⎩⎨⎧-=+=+-181c b c b 得⎩⎨⎧=-=34c b . …………… 16分20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项的和n S ,已知,11=a *231,32312N n n n n na S n n ∈---=+. (1)求2a 的值;(2)证明:数列}{na n 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有471111321<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n a a a a . (1)解:依题意:当1=n 时1,32131121121==---⨯=a S a S ,解得:42=a … 3分 (2) 证明:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-------=---=-+)2)(1(32)1()1(31)1(232312231231n n n n a n S n n n na S n n n n …………… 5分两式相减得:)2(32)12()133(31)1(221≥---+----=+n n n n a n na a n n n 整理得: )2(1111)2)(1()1(111≥=-+⇒-+=⇒≥+-=++++n na n a n a n a n n n na a n n n n n n n ……6分 又∴=-11212a a 对任意*N n ∈都有111=-++na n a n n …………… 7分 故数列}{na n 是以1为首项1为公差的等差数列, …………… 8分 所以2,1)1(1n a n n n a n n =∴=⨯-+= …………… 10分 (3)证明:由(2)得:2n a n =22222221543211)1(151413121111111111n n a a a a a a a n n +-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++∴-4714712145111112151414131312145)1(1)1)(2(1541431321411<-=-+=--+---+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+=-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯++≤n n n n n n n n n n …………… 16分 所以得证.。
江苏省启东中学2013-2014学年高二下学期第二次月考数学(理)试题
江苏省启东中学2013-2014学年度第二学期第二次月考高二数学（理科）试卷（满分160分 时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上. 1. 如图所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______．2. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．3. 阅读右边的流程图,则输出S =_______．（第2题图）（ 第3题图）4. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有_______种(用数字作答)．5. 从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数为a ，从{}3,2,1中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是_______．6. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________．7. 一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,则能构成三角形的概率是_______．8. 某算法的伪代码如右图所示,该算法输出的结果是______. 9.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是______.(用数字作答)10. 已知函数3221()(1)3f x x a x b x=--+，其中,a b 为常数．若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率是_______．11. 若(x ＋1)4(x ＋4)8＝a0(x ＋3)12＋a1(x ＋3)11＋a2(x ＋3)10＋…＋a11(x ＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝________.12. 已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中任取一项，所取项为有理项的概率P ＝________.13. 把10个运动员分成三组，每组人数是3、3、4，再把4个教练分成二组，每组人数是2、2，一组教练指导一组运动员（有一组运动员没有教练），有几种训练方法 . (用数字作答)14.由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．16．设关于x 的一元二次方程0222=++b ax x . （1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若a 是从区间[]3,0任取的一个数，b 是从区间[]2,0任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.17. 6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？(用数字作答) (1)甲不站排头，乙不能站排尾； (2)甲、乙都不站排头和排尾；(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻； (4)甲、乙都不与丙相邻．18.已知(12＋2x)n，(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．19. 已知z 是复数，i zi z -+22、均为实数（i 为虚数单位），（1）若复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围。
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二下学期第二次质检数学(理)试卷 Word版含解析
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 ． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 ． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 ． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 ． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 ． 10．已知﹣=，则C8m=． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 ． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 ． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3} ． 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可． 解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1， ∴B={x|x≥1或x≤﹣1}， ∵A={﹣1，0，，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19号 ． 考点：系统抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可． 解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号， 则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列， ∴6+45=x+32， x=6+45﹣32=19 因此，另一学生编号为19． 故答案为：19号． 点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法． 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案． 解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数， 则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3） （2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种， 则事件A包括： （1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种， 即P（A）=， 故答案为：． 点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏． 4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ． 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出． 解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件， k=2，S=2，不满足退出循环的条件， k=3，S=6，不满足退出循环的条件， k=4，S=15，满足退出循环的条件， 故输出的k的值为4． 故答案为：4 点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题． 5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为 ． 考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率． 解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b， 对应的面积是2×1=2， 满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径， 即， ∴4a≥3b， 在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分， ∴要求的概率是=， 故答案为： 点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理． 6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 2 ． 考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模． 专题：计算题． 分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值． 解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹． 所以|z|最大值为2； 故答案为：2 点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型． 7．已知数据x1，x2，…，xn的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3xn+5的标准差为 6 ． 考点：极差、方差与标准差． 专题：概率与统计． 分析：根据平均数和方差的公式的性质求解． 解答：解：设样本x1，x2，…，xn的平均数为，即=（x1+x2+…+xn ） 则样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3xn+5 ）=×3（x1+x2+…+xn ）+5=3 +5； 由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2] 可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的方差为样本x1，x2，…，xn的方差的32=9倍， 即9×4=36， 则3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的标准差为=6． 故答案为：6． 点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键． 8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 2k ． 考点：数学归纳法． 专题：计算题． 分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可． 解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为； 由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k． 故答案为2k． 点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键． 9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为 55 ． 考点：二项式定理的应用． 专题：计算题． 分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10，运算求得结果． 解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果， 故x的一次项系数为 1+2+3+4+…+10==55， 故答案为：55． 点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 10．已知﹣=，则C8m=28 ． 考点：组合及组合数公式． 专题：计算题． 分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m 的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案． 解答：解：根据组合数公式， 原方程可化为：﹣=×， 即1﹣=×； 化简可得m2﹣23m+42=0， 解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去） 则m=2； ∴C8m=C82=28； 故答案为28． 点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式． 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 11 ． 考点：计数原理的应用． 专题：应用题；排列组合． 分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加． 解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个） 第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个， 第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1， 由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个， 故答案为：11． 点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果． 12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 3 ． 考点：二项式系数的性质． 专题：计算题；二项式定理． 分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么． 解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64， 即=2n=64， 解得n=6； ∴二项式的展开式通项为 Tr+1=?x6﹣r?=3r； 当r=0时，6﹣r=6，是有理项， 当r=3时，6﹣r=2，是有理项， 当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项； ∴展开式中所有的有理项的项数为3． 故答案为：3． 点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目． 13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为 ． 考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式． 专题：概率与统计． 分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A）， 解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可． 解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1， 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋， 所以有P（B）=（）3+（）3=， ∴P（A）=1﹣P（B）=； 解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋． ∴P（A）=C31（）3+C32（）3=； 故答案为： 点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型． 14．已知等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设Bn={，，，…，}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 45 ． 考点：等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：求出等比数列{an}的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数． 解答：解：∵等比数列{an}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S， ∴S=1﹣， 当n=2时，Bn的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==； 当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4； 当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集， S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，… ∴T=S1+S2+S3+…+Sn=++…++2++=∵S+2T≥2014， ∴1﹣+n2﹣1≥2014 ∴n≥45． 故答案为：45． 点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用． 二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值． （2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标． 考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可． （2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出． 解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6． ∴M=， 设矩阵M的特征值为λ， 则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0， 化为λ2﹣3λ﹣16=0， 解得λ=． （2）直线化为直角坐标方程：， 曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0， 把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）． ∴x1+x2=， ∴x0==，y0==． ∴线段AB中点的直角坐标， ∴=，tanθ=，可得θ=， 因此极坐标为． 点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 专题：综合题． 分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围． （2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数． （3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值． 解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则 ∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1 此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分） （2）． ∵a2+b2=1 ∴u=又故u是纯虚数．…（8分） （3）=由知， 故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）． 点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错． 17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}． （1）若A∩B=?，求a的取值范围； （2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（?RA）∩B． 考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算． 专题：集合． 分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B 没有共同的元素，从而求出实数a的范围； （2）由条件判断a=﹣2，求出CRA，即可求得（CRA）∩B． 解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2， ∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增， 当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4， ∴2≤y≤4， ∴B=[2，4]， ∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a ∴A={y＞a2+1或y＜a}， ∵A∩B=?， ∴a2+1≥4或a≤2， ∴≤a≤2或a≤﹣， （2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2， 故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2． 由（1）可得CRA={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}． （CRA）∩B=B=[2，4]． 点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题 18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X． （1）求X=6的概率； （2）求X的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率； （2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望． 解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为， 则P（X=6）=2×=． （2）X的分布列为： X 4 5 6 7 P 所以，EX=4×+5×+6×+7×=． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键． 19．已知数列{bn}满足，． （1）求b2，b3，猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设，，比较xx与yy的大小． 考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理． 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法． 分析：（1）由b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{bn}的通项公式，用数学归纳法证明即可； （2）利用指数幂的运算性质可求得xx与yy，比较可知，二者相等． 解答：解：（1）∵b1=，+bn﹣1=2（n≥2，n∈N*）， ∴=2﹣b1=2﹣=， ∴b2=； 同理可求，b3=，于是猜想：bn=． 下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，b1=，结论成立； ②假设n=k时，bk=， 则n=k+1时，∵+bk=2， ∴=2﹣=， ∴bk+1=， 即n=k+1时结论也成立； 综上所述，对任意n∈N*，bn=均成立． （2）∵x==，y==， ∴xx==， yy==， ∴xx=yy． 点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较xx与yy 的大小是难点，属于难题． 20．设函数， （1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项； ②若，且a1=﹣12，求； （2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）． 考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质． 专题：综合题；二项式定理． 分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可； ②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值； （2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数， 两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果． 解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中 共有5项，二项式系数最大的项为第三项， ∴T3=?12?=； ②f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r?=（﹣1）r26﹣r?m2r﹣6?， 且f（6，y）=a0++…+， ∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12， 解得m=2； ∴f（6，y）=的通项公式为 Tr+1=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6?， ∴ar=（﹣1）r26﹣r?22r﹣6=2r， ∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127； （2）∵=﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2? ∴设f（x）=（1﹣x）n=Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣Cn3x3+…+（﹣1）n?Cnnxn…①， ①式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣Cn1+2Cn2x﹣3Cn3x2+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2+n?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…② ②的两边同乘x得： ﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xCn1+2Cn2x2﹣3Cn3x3+…+（n﹣1）?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣1+n?（﹣1）n?Cnnxn，…③， ③式两边求导得： ﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣Cn1+22Cn2x﹣32Cn3x2+…+（n﹣1）2?（﹣1）n﹣1?Cnn﹣1xn﹣2 +n2?（﹣1）n?Cnnxn﹣1，…④， ④中令x=1，得﹣+22?﹣32?+42?+…+（﹣1）n?n2?=0． 点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
2014-2015年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为个．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝．14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．【解答】解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max＝f（1）＝1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心为C（2，﹣1），半径r＝2，∵点C到直线直线x+2y﹣3＝0的距离d＝＝，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为2＝2＝故答案为：．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为（0，）．【解答】解：y′＝1+lnx，令，又因为函数y＝xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y＝xlnx的单调减区间为故答案为：6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是﹣1．【解答】解：设切点为（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∵直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，∴＝1，即x0＝1，∴lnx0＝ln1＝0，把切点（1，0）代入y＝x+b，得0＝1+b，即b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是＝1．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，∴，解得a＝9，b＝16，∴双曲线C的方程为：＝1．故答案为：＝1．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为0个．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝；故x∈（0，）时，f′（x）＜0；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）≥f（）＝﹣ln＞0；故函数f（x）＝x2﹣lnx没有零点；故答案为：0．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故答案为：．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝﹣1．【解答】解：由题意，x1x2+y1y2＝∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB＝120°，∴＝＝＝﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为[e﹣2，+∞）．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max＝g（e）＝e﹣1，令f'（x）＝0，∵a＞0，x＝±当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min＝f（1）＝1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，∴f（x）min＝f（）＝≥e﹣1 恒成立；当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）min＝f（e）＝e+≥e﹣1 恒成立综上a≥e﹣2故答案为：[e﹣2，+∞）12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围≤a≤4+．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣1，2）为圆心、半径等于的圆．设M（x0，y0），则由MA＝MO，A（0，a），O（0，0），可得（x0﹣0）2+（y0﹣a）2＝2（x02+y02），即3x02+3y02+2ay0﹣a2＝0，即x02+（y0+a）2 ＝2a2．则M在以（0，﹣a）为圆心，r＝a为半径的圆上．又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r﹣|≤d ≤r+，即|a﹣|≤≤a+，即，求得≤a≤4+，故答案为：．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝1或2．【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则，此时当x＝时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|；此时当x＝3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜≤4，则，此时当x＝6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，∴解得c＝1或2．故答案：1或214．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．【解答】解：由焦距为2，则c＝1，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1，则6（a﹣c）＝a+，代入c＝1，解得，a＝2或3，由于离心率e＜，则a＞2c＝2，则a＝3．则l：x＝﹣9，设P（﹣9，y），（y＞0），则MF1|＝8，|MF2|＝10，则tan∠F1PF2＝tan（∠F2PM﹣∠F1PM）＝＝＝≤＝．当且仅当y＝即y＝4时，取得最大值．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；当a＝1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1≤a≤2；∴实数a的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．【解答】解：（1）由题意得，y＝1•x+1•sin（﹣x）×2＝x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；函数的定义域为{x|0＜x＜}；（2）y′＝1﹣2cos（﹣x），令y′＝0解得，x＝，故当x＝时，观光路线总长最大，最大值为+2×＝+（km）．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．【解答】解：（1）由题意可得点C和点M（﹣2，﹣2）关于直线x+y+2＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由•（﹣1）＝﹣1，且++2＝0，求得，故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r＝，故圆的方程为x2+y2＝2．（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣1＝k（x﹣1），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣1）．由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2＝0，因为P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x A＝．同理，所以x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，f′（x）＝﹣2x+1＝，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，等价为a≥在x＞0恒成立．令g（x）＝，只需a≥g（x）max，g′（x）＝，令g′（x）＝0，可得﹣x﹣lnx＝0，设h（x）＝﹣x﹣lnx，h′（x）＝﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）＝0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，即有g（x）max＝g（x0）＝＝＝，由h（）＝ln2﹣＞0，h（1）＝﹣＜0，则＜x0＜1，此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），即a≥2，则有整数a的最小值为2．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．【解答】（1）解：由已知可得，解得．∴b2＝a2﹣c2＝2，则椭圆方程为；（2）①解：由•＝0，得MB⊥AB，可设M（2，t），P（x0，y0）．直线MA：，代入，得．由，得，从而，∴•＝；②证明：依题意，，由MQ⊥PB，得，则MQ的方程为：y﹣t＝（x﹣2），即y＝，∴直线MQ过原点O（0，0）．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），由＝，＝得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．【解答】解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y＝4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d＝＝≥＝，当且仅当sin（θ+）＝1，即θ＝2kπ+时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝，∴P（，）．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，所以，设AF＝x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得令z＝1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y＝kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。
江苏省南通市启东中学高二数学下学期第二次质检试卷理(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为．10．已知﹣=，则C8m= ．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3} ．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45=x+32，x=6+45﹣32=19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为 2 ．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：计算题．分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为 6 ．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的公式的性质求解．解答：解：设样本x1，x2，…，x n的平均数为，即=（x1+x2+…+x n ）则样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3x n+5 ）=×3（x1+x2+…+x n ）+5=3 +5；由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差为样本x1，x2，…，x n的方差的32=9倍，即9×4=36，则3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的标准差为=6．故答案为：6．点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为55 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x 的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．已知﹣=，则C8m= 28 ．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．解答：解：根据组合数公式，原方程可化为：﹣=×，即1﹣=×；化简可得m2﹣23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为11 ．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故答案为：11．点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 3 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么．解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，即=2n=64，解得n=6；∴二项式的展开式通项为T r+1=•x6﹣r•=3r••；当r=0时，6﹣r=6，是有理项，当r=3时，6﹣r=2，是有理项，当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项；∴展开式中所有的有理项的项数为3．故答案为：3．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B 袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45 ．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，∴S=1﹣，当n=2时，B n的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M 的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可．（2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0，化为λ2﹣3λ﹣16=0，解得λ=．（2）直线化为直角坐标方程：，曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．∴x1+x2=，∴x 0==，y0==．∴线段AB中点的直角坐标，∴=，tanθ=，可得θ=，因此极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：综合题．分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．（3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值．解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分）（2）．∵a2+b2=1∴u=又故u是纯虚数．…（8分）（3）=由知，故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）．点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=∅，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率；（2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望．解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为，则P（X=6）=2×=．（2）X的分布列为：X 4 5 6 7P所以，EX=4×+5×+6×+7×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{b n}的通项公式，用数学归纳法证明即可；（2）利用指数幂的运算性质可求得x x与y y，比较可知，二者相等．解答：解：（1）∵b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*），∴=2﹣b1=2﹣=，∴b2=；同理可求，b3=，于是猜想：b n=．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，b1=，结论成立；②假设n=k时，b k=，则n=k+1时，∵+b k=2，∴=2﹣=，∴b k+1=，即n=k+1时结论也成立；综上所述，对任意n∈N*，b n=均成立．（2）∵x==，y==，∴x x==，y y==，∴x x=y y．点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较x x与y y的大小是难点，属于难题．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果．解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）=的通项公式为T r+1=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6•，∴a r=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6 =2r，∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…②②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n，…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n﹣1•C n n ﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0．点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
江苏省南通市启东中学高二数学下学期第二次质检试卷 文(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= ．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= ．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= ．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= ．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为 4 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= 3 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin（ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= 338 ．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．。
江苏省启东中学高二数学下学期第二次月考试题理
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考高二理科数学试卷数学I 2018.06(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 是 ▲ . 2.函数)2lg(1x y -=的定义域是 ▲ .3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是 ▲ .4.曲线y ＝sin xsin x ＋cos x +1在点)3,π(M 处的切线的斜率是 ▲ .5.已知命题p ：若函数2()||f x x x a =+-是偶函数,则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.下列命题为真命题的是 ▲ .(填序号）①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝6.若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝ ▲ .7.已知x x g 21)(-=,)0(1)]([22≠-=x xx x g f ,则)21(f = ▲ . 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示是 ▲ .9.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 ▲ .10.“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x -=在区间(0,)+∞内单调递增”的 ▲ 条件。
（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 11.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当02≤<-x 时，a x f x +=2)(，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-213f ▲ . 12.已知函数f (x )＝x 2(x －a )．若若存在(2,3),∈t s ， 且t s ≠，使得)()(t f s f ≠成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-， 若ef 1)2018(-=，则不等式1)(+<x e x f 的解集是 ▲ .14. 定义域为R 的函数f (x )满足f (x+2)=3f (x )，当[0,2]x ∈时，x x x f 2)(2-=，若[4,2]x ∈--时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥t t x f 3181)(恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数x a x f )62()(-=在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围．16．（本小题满分14分）已知函数,R (1lg )(∈-=k kx x f 且k >0)． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 若函数)(x f 在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(31)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x ，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（本小题满分16分）已知函数().ln xxxf=（1）求函数()x f的极值点；（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线()x fy=相切，求直线l的方程；（3）设函数()()()1--=xaxfxg，其中Ra∈，求函数()x g在[]e,1上的最小值.（其中e为自然对数的底数）数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y＝ln xx2＋1； (2)y＝ln(2x－5)．2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值．4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值．江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期月考理数学I一、填空题：1.{0,2,4}；2.)2,1()1,(⋃-∞；3. (0,1]；4. 21；5.①④；6. ±1；7. 15；8.()()5,05,-+∞；9. (－∞，2]；10.充分必要；11. 424-；12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 ； 13.),2(+∞- ；14.10t -≤<或3t ≥二、解答题： 15．（本小题满分14分）已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围． 解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a <72； ……………4分由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a >52；……………8分若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为∅； ……………10分若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，解得52<a ≤3或a ≥72. ……12分综上所述52<a ≤3或a ≥72. ……………14分16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R ，且k >0)．(1) 求函数f (x )的定义域；(2) 若函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围． 解：(1) 由kx －1x －1>0，k >0，得x －1k x －1>0，当0<k <1时，得x <1或x >1k；当k ＝1时，得x ∈R 且x ≠1；当k >1时，得x <1k或x >1.综上，当0<k <1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k ≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1. …………… 7分(2) 由函数f (x )在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k >110.又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1，得k －1x 1－1<k －1x 2－1(k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k <1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. ……………14分 17．（本小题满分15分）函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. ……………5分(2)f (x )为偶函数． ……………7分 证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． ……………10分 (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. ……………15分 18．（本小题满分15分）已知函数)0(32ln )(≠+-=a ax x a x f . (1)设1-=a ，求函数)(x f 的极值；(2)在(1)的条件下，若函数m x f x x x g +'+=)(1)(23(其中)(x f '为)(x f 的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．解：（1）当1-=a ，32ln )(++-=x x x f )0(>x ，'1()2f x x -=+， …2分∴ ()f x 的单调递减区间为（0，21）,单调递增区间为（21,)∞+ ………4分111() ln 23ln 2 4.222f x f =-+⨯+=+的极小值是（）. …………7分（2）23)21(31)(x m x x x g ++-+=,1)24()(2'-++=∴x m x x g , 1)0(31)('-=g x g ）上不是单调函数，且，在区间（ , ………………9分⎪⎩⎪⎨⎧><∴0)3(0)1(''g g ⎩⎨⎧>+<+∴0620024m m 即：2310-<<-m . …………………12分m 的取值范围10(,2)3-- . ………14分19．（本小题满分16分）已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. ……………8分(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104； ……………10分 ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，……12分所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万元．…………16分 20．（本小题满分16分） 已知函数().ln x x x f = （1）求函数()x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线()x f y =相切，求直线l 的方程；（3）设函数()()()1--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数()x g 在[]e ,1上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0. 而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e上单调递增. 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.…………………5分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………7分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x 所以直线l 的方程为.1-=x y …………………10分（3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e上单调递减，在()+∞-,1a e上单调递增.①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g ……12分②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e上单调递减，在(]e ea ,1-上单调递增.()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g ……14分 ③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a ea ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.aee a -+ ………………16分数学Ⅱ（附加题）1.（本小题满分10分）求下列函数的导数：(1)y ＝ln xx 2＋1； (2)y ＝ln(2x －5)．解 (1)y ′＝xx 2＋－ln x x 2＋x 2＋2＝1xx 2＋－2x ln xx 2＋2＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋2.(2)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.2.（本小题满分10分）为了做好阅兵人员的运输，从某运输公司抽调车辆支援，该运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种抽调方法.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84种抽调方法.3.（本小题满分10分）在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、期望；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，V (Y )＝11，试求a ，b 的值． 解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为所以E (X )＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，(2)由V (Y )＝a 2V (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2，又E (Y )＝aE (X )＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.4.（本小题满分10分）设(1+x )n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1)若n ＝11，求a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值；- 11 -(2)设b k ＝2k a k (k ∈N ，k ≤n )，S n ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n 的值． 解：(1)因为a k ＝C kn ，当n ＝11时，a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111 ＝12(C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1 024. (2)左边=21111111111111[(1)]n nnnnk k k k k nn n n n k k k k k k C knCn kCn Ck C --------========+-∑∑∑∑∑． 1212122222[2(1)][2(1)]2(1)2nnn k n k n n n n k k n n Cn n C n n n --------===+-=+-=+-∑∑2(1)2n n n -=+证法二求导积分赋值法：1121(1)2n n n n n n n x C C x nC x --+=++⋅⋅⋅+ 两边同时乘以x 1122(1)2n n n n n n nx x C x C x nC x -+=++⋅⋅⋅+两边再对x 求导可得2112221(1)(1)(1)2n n n n n n n n n x n x C C x n C x ----+++=++⋅⋅⋅+令1x =可得 22212223212()2123(1)n n n n n n n nn n C C C n C n C --+=++++-+L。
江苏省启东中学数学高二下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3) 2．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+ 3．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．23D ．564．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13B 2C ．22D ．05．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=6．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-B ．23C ．43D ．637．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 8．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )A ．(22)，-B ．(0,+)∞C ．(0,2)(2+)⋃∞，D ．[22]-，9．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 310．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-11．(0分)[ID ：13617]已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．7913．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±14．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ） A ．2B ．1C ．25D ．515．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题16．(0分)[ID ：13727]已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则对应的函数解析式为_______.17．(0分)[ID ：13721]已知10cos ,0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 18．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．19．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________.20．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.21．(0分)[ID ：13676]已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅=_______．(结果用数值表示)22．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.23．(0分)[ID ：13643]如图，在OAB 中,OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．24．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ . 25．(0分)[ID ：13636]若tanα＝2，则sinα·cosα的值为 ．三、解答题26．(0分)[ID ：13814]已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],t t -上单调递增，求t 的最大值. 27．(0分)[ID ：13759]如图，扇形OAB 的圆心角为3π，半径为1，圆心为原点O ，点A 在x 轴正半轴上.（1）求点B 的坐标；（2）已知1(0,)3M -，直线:3kl y kx =+，点P 在直线l 上，点Q 在弧AB 上，且2+0MP MQ =，求k 的取值范围.28．(0分)[ID ：13756]已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （λ,μ∈R ）.（1）若P 是BC 的中点，求λ+μ的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：λ+μ=1.29．(0分)[ID ：13808]已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示.(1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，()2f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f a f b ⊥. 30．(0分)[ID ：13782]已知动点M 到点()A 1,0-与点()B2,0的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点()P 6,2作曲线C 的切线，求切线方程．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．C4．A5．A6．B7．A8．C9．D10．A11．B12．A13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与18．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应19．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力21．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-622．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角23．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)， 故选D.2．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础4．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．6．B解析：B 【解析】∵向量()2,a x =-，()1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即310x -⨯+-=∴x =故选B7．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()6sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα+-=-=⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.8．C解析：C 【解析】【分析】由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠，即可求解. 【详解】由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ． 11．B解析：B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果. 【详解】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.12．A解析：A 【解析】 【分析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴237sin cos (sin cos )12sin cos 1282αααααα+=+=+=+⨯=． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．14．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．B解析：B【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题16．【解析】分析：根据题中所给的函数的图像可以求得的值利用周期公式求出利用当时函数取得最大值1求出得到函数的解析式即可得结果详解：由题意可知所以当时取得最大值1所以结合解得所以函数的解析式是点睛：该题考解析：sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得,A T 的值，利用周期公式求出ω，利用当6x π=时函数取得最大值1，求出ϕ，得到函数的解析式，即可得结果.详解：由题意可知，111261,34A T πππ-===，所以2ω=，当6x π=时取得最大值1，所以sin(2)16πϕ⨯+=，结合2πϕ<，解得6π=ϕ，所以函数()f x 的解析式是()sin(2)6f x x π=+. 点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数,A ω由最值和周期所决定，ϕ由特殊点所确定，最后求得结果.17．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与【解析】 【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭410-=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应 解析：2:3【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.19．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴=故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.21．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-6 解析：6-【解析】由题向量a 在向量b 方向上的投影为2-，即cos ,2,3, 6.a b a ba ab ab a b a b b⋅⋅===-=∴⋅=-⋅即答案为-6.22．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4【解析】 【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.23．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM 三点共线所以……①又BPN 三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向解析：33105a b + 【解析】 【分析】 运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP ，即可求得,λμ的值，得到答案． 【详解】根据题意得，O ，P ，M 三点共线， 所以112()333OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭……① 又B ，P ，N 三点共线，所以33()44BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭则3(1)4OP OA OB μμ=+-……..② 由①②得132,1343λμλμ==-，所以29,510μλ==， 所以33105OP a b =+． 故答案为：33105a b + 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．24．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示， 因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．25．【解析】试题分析：答案为考点：同角三角函数的平方关系与商数关系 解析：【解析】 试题分析：，答案为．考点：同角三角函数的平方关系与商数关系三、解答题 26．（1）2π；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4x π=对称，由此求得ω的值，可得它的最小正周期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得42t ππ-+≥-，且42t ππ+≤，由此解得t的最大值． 【详解】（1）因为()2f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，所以()442k k Z πππωπ⨯+=+∈，解得()14k k Z ω=+∈，又因为02ω<<，所以1ω=， 则()f x 的最小正周期22T ππω==.（2）因为()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩，解得04t π<≤.故t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．27．（1）1(2；（2）(,6[3,)-∞--+∞ 【解析】 【分析】（1）先由题意得到3AOB π∠=，在单位圆内，即可取出坐标；（2）先设00(,)P x y ，(,)Q x y ，根据题意，得到00212x x y y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，推出003(1)3123231123-++===+-+-y y y k x x x ，表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，结合图像，即可得出结果. 【详解】（1）因为扇形OAB 的圆心角为3π，所以3AOB π∠=，又扇形所在圆的半径为1， 所以：11cos 2=⨯∠=B x AOB ，1sin =⨯∠B y AOB ，即点B 的坐标为13(,)22； （2）设00(,)P x y ，(,)Q x y ，因为1(0,)3M -，所以001,3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭MP x y ，1,3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭MQ x y ， 由2+0MP MQ =得0020212033x x y y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，所以00212x x y y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 又点P 在直线:3k l y kx =+上， 所以003=+k y kx ，即003(1)3123231123-++===+-+-y y y k x x x ， 又点(,)Q x y 在弧AB 上，所以123+=-y k x 表示弧AB 上的点与定点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭N 连线的斜率，由图像可得：013213+≥==-AN k k ，或3126331223≤==---BN k k ； 故k 的取值范围为(,633][3,)-∞--+∞.【点睛】本题主要考查直线与圆的综合应用，根据三角函数定义，以及平面向量坐标运算处理，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.28．（1）12 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,再结合BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可求出λ,μ; （2）设AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ),可得OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,结合AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可得到OP⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,从而可证明λ+μ=1. 【详解】 （1）由题意,OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −12OA ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=−12,μ=1,即λ+μ=12. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ), 则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +t (AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−t )OA⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=1−t,μ=t ,即λ+μ=1. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题. 29．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析【解析】【分析】(1)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，然后利用题中关系式即可推导出所证恒等式； (2)设向量11(,)ax y ，则利用题中关系以及向量模的求解即可证明等式； (3)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，由a b ⊥可得出12120x x y y +=,然后利用题中关系式可推导出()()0f a f b ⋅=，即可证明()()f a f b ⊥成立.【详解】证：(1)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++由题中关系式可得：12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++， 11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+1122112212121212(,)(,)mx my nx ny mx my nx ny mx nx my ny mx nx my ny =-+-+++=+--+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+，对于任意向量a 、b 及常数,m n 恒成立；(2)设向量11(,)ax y ，则由题中关系可得1111()(,)f a x y x y =-+， 则2222221111111111()|(,)|()()2()f a x y x y x y x y x y =-+=-++=+， 即得()2f a x =，因为21a x y =+∴()2f a a =成立，命题得证；(3)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ， 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即得12120x x y y += 由题中关系式可得：1111()(,)f a x y x y =-+，2222()(,)f b x y x y =-+则由()()()()1111111222222212()()(,)(,)f a f b x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=-+⋅-+=--+++ ()121220x x y y =+=，即()()0f a f b ⋅=，所以()()f a f b ⊥成立.【点睛】本题着重考查了对题意的理解，利用题中关系式结合向量的坐标运算、向量模的表达式以及向量垂直的性质来推导所证命题结果，属于一般难度的题.30．(1)()2234x y -+=；(2) 125620x y --=或2y =．【解析】【分析】(1)根据题意设出M 点的坐标，然后根据距离之比等于2，化简出x ，y 的关系式，求出M 的轨迹方程.(2)由第一问的结论可判断点()P 6,2在圆外，可知切线方程有两条，设出切线方程，根据圆心到直线的距离公式可求出斜率k 的值，从而求出切线方程.【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ， 则MA MB ==2=，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y-+=；（2）∵圆心(3,0)到点(6,2)3，∴点(-2,4)在已知圆外,过该点的圆的切线有两条不妨设过该点的切线斜率为k ，则切线方程为()26y k x -=-，即620kx yk --+=，2=，解得0k =或125k =． 所以，切线方程为125620x y --=或2y =．【点睛】本题考查直接法求点的轨迹方程，考查圆的切线问题，同时考查了学生的计算能力，属于基础题.。
启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)
江苏省启东中学2014-2015学年高二下学期期中考试（文）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1. 55log 10log 2.5+= ．2．已知全集}3,2,1,0{=U ，集合}1,0{=A ，{}3,2,1=B ，则=B A C U )( . 3．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ．4．若关于x 的函数a x y -=在区间),1(+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 . 5．若方程3log 3=+x x 的解所在的区间是(), 1k k +,则整数k = ．6．某班委会3名男生与2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是 ．7．某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)50,40,[)60,50，…，[)100,90后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[)80,70内的人数是 .8．执行如下图所示的程序框图,若输入10=n ,则输出的S 为 .9．函数)32(log 221-+=x x y 的单调递减区间是_ .10．已知样本3，4，5，x ，y 的平均数是3xy 的值为 ．11．已知5sin sin )(357++++=dx x c bx x a x f ，其中a 、b 、c 、d 为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f ．12．定义R 上的奇函数()f x 满足51()2()f x f x +=-，若3(1)1,(2014)3t f f t +≥=-，则实数t 的取值范围为 .13. 已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=的值域为),0[+∞，若关于x 的不等式c x f <)(的解集为)8,(+m m ，则实数c 的值为 . 14．已知x x f 13)(-=，若存在区间),21(],[+∞⊆b a ，使得]},[),(|{b a x x f y y ∈=＝],[mb ma ，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知集合}187{2--==x x y x A ，集合)}34ln({2x x y x B --==，集合}322{-<<+=m x m x C ．（1）设全集R U =，求B A C U ； （2）若C C A = ，求实数m 的取值范围． 16.（本题满分14分）据《南通日报》报道，2015年1月1日至1月31日，市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(酒精含量≥ 80mg/100ml 为醉酒驾车)(1)根据频率分布直方图完成下表：(2)根据上述数据，求此次抽查的1000人中属于醉酒驾车的概率；(3)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．17．已知定义域为]2,2[-的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．（1）求实数b a ,的值；（2）解关于m 的不等式)0()1()(f m f m f >-+．18. （本题满分16分） 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员)0(>x x 户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高x 2℅，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50xa -（0a >）万元. （1）在动员)0(>x x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值.19．（本小题满分16分）已知函数()11()212x f x x =+- （1）判定并证明函数的奇偶性；（2）试证明()0f x >在定义域内恒成立；（3）当[]1,3x ∈时，12()()02mf x x -⋅<恒成立，求m 的取值范围.20．（本题满分16分）已知函数()2x f x =，x R ∈． (1)解方程：(2)(1)8f x f x -+=；(2)设a R ∈，求函数x a x f x g 4)()(⋅+=在区间[]0,1上的最大值()M a 的表达式； (3)若1212()()()()f x f x f x f x +=()()()()()123123()f x f x f x f x f x f x ++=，求3x 的最大值．参考答案一、填空题（本题包括14小题，每小题5分，共70分）1.22.{}3,23.(]6,0 4.1≤a 5.2 6. 0.7 7.30 8. 54 9. ),1(+∞ 10.2 11.17 12. [)0,3 13.16 14.92.4m << 二、解答题（本题包括6小题，共90分）15解：(1)),9[]2,(+∞--∞= A ，)1,4(-=B ，)9,2(-=A C U ，)1,2(-=B A C U ． ……6分(2)∵C C A = ，∴A C ⊆，当∅=C 时，5322≤⇒-≥+m m m ， ……8分当∅≠C 时，⎩⎨⎧-≤--<+232322m m m 或⎩⎨⎧≥+-<+92322m m m ，解得：7≥m ， ……12分综上：实数m 的取值范围是5≤m 或7≥m ． ……14分 16. 解 (1) ……4分(3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ，[80,90)范围内应抽2人，记为d ，e ，则从总体中任取2人的所有情况为(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，e)，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d)，(a ，e)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P(A)＝610＝35. ……14分17．解：(1)由0)()(=-+x f x f 得：0)2(2)42()2()2(2=-+⋅-+⋅-a b ab a b x x ， 所以⎩⎨⎧=-=-04202ab a b ，解得：⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=12b a （舍去），因此⎩⎨⎧==12b a ． ……5分(2)∵)221(212212)(11+++-=++-=x x x x f ， ∴函数)(x f 在]2,2[-上单调递减，由)0()1()(f m f m f >-+得：)1()(m f m f ->，所以⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-≤-≤≤-mm m m 121222，解得：211<≤-m ，所以原不等式的解集为)21,1[-．……14分18. 解（1）由题意得 3(100)(12%)3100x x -+≥⨯，即2500x x -≤，解得050x ≤≤，又因为0x >，所以050x <≤； ……6分 （2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为33()50xa x -万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100)(12%)x x -+万元，根据题意得，33()50x a x -≤3(100)(12x x -+恒成立， ……10分即210025x ax x ≤++恒成立．又0x >，所以100125xa x ≤++恒成立， 而100125xx ++≥5（当且仅当50x =时取得等号）， 所以a 的最大值为5． ……16分 19. 解：（1）()11()212x f x x =+-为偶函数，证明如下： ()11()212xf x x =+-定义域为}{|0x x ≠关于原点对称， ……2分 对于任意}{|0x x x ∈≠有()11212111()()()212212212x x xx x f x x x x --+-=-+=-=---- 1111(1)()()212212x xx x f x =+-=+=--成立 所以()11()212x f x x =+-为偶函数 ……5分 （2）因为()11()212xf x x =+-定义域为：}{|0x x ≠，当0x >时，0221,210x x >=∴->110212x ∴+>-，0x >，11()()0212xf x x ∴=+>-恒成立， ……7分 当0x <时，所以0x ->，由（1）可知：()()0f x f x =-> ……9分 综上所述，()0f x >在定义域内恒成立 ……10分 （3）12()()02mf x x -⋅<恒成立对[]1,3x ∈恒成立，∴1112()()02122mxx x +-⋅<- ，∴111()2()2212m x >+- ， 令()112()212xg x =+- 证明()112()212x g x =+-在[1,3]上为减函数, ∴()()112()13212xg x g =+≤=-对[]1,3x ∈恒成立 ∴1()32m > 所以m 的取值范围是12log 3m < …………16分20解：（1）0822)2(2=-⋅-x x ，42=x 或22-=x （舍去），所以2=x ． ……2分 （2）x x a x g 42)(⋅+=，]1,0[∈x ， 令xt 2=，则]2,1[∈t ， ①当0=a 时，2)(=a M ，②当0≠a 时，aa t a t at t h 41)21()(22-+=+=， 若0>a ，则24)2()(+==a h a M ，若0<a ，当1210<-<a ，即21-<a 时，1)1()(+==a h a M ， 当221>-a ，即041<<-a 时，24)2()(+==a h a M ， 当2211≤-≤a ，即4121-≤≤-a 时，aa h a M 41)21()(-=-=， 综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤≤---<+->+=4121,4121,141,24)(a a a a a a a M ． ……8分（3）由题意知：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++32132121212222222x x x x x x x x x x ⇒3213212222x x x x x x ⋅=+++， 所以1122221213-=-=++t t x x x x x ，其中t t x x x x x x 222222212121=≥+==++，所以4≥t ，由tt t x 111123-=-=知32x的最大值是34，又x y 2=单调递增， 所以3log 234log 223-==x ． ……16分。
江苏省启东中学高二数学下学期第二次月考试题(实验班)(无答案)苏教版
高二下学期第二次月考数学（实验班）试题一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4MN =，则=M N ▲ ． 2．已知复数3i 1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 3．一个正方体玩具的6个面分别标有数字1， 2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．4．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．5．执行如图所示算法的伪代码，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ▲ ．7．已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．9．已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤ 则1()2x y -的最大值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin (010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．11．已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3sin()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．（第5题图）a （第4题图）13．如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD =，3AE ED =BE = 14．已知函数f (x )＝1e －a x(x ＞0)．若存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，AD =ABC 的面积．16．如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，2AB =，1DE EF ==． （1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF -的体积．17．根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式*2*219,,1560 1020,540x x x p x x x ⎧∈⎪⎪-=⎨+⎪∈⎪⎩N N , ≤≤, ≤≤(日产品废品率＝日废品量日产量 ×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ．（i ）求11GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．已知数列{}n a ，{}n b 满足13a =，2n n a b =，12()1n n n nb a b a +=-+，*n ∈N ． （1）求证：数列1{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-，对于任意给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p q r <<)，使得1pc ，1q c ，1rc 成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，说明理由．20．已知函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．。
江苏省南通市启东中学2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x)的图象在M（1,f（1）)处的切线方程是+2，f（1)+f′（1）=．2．函数y=sinx•cosx的导函数为．3．函数y=xlnx的单调减区间为．4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值，则实数t的值为．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增,则实数a的取值范围是．6．函数y=3x3﹣9x+5在区间[﹣2,2］上的最大值与最小值之和是．7．若函数f（x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1,k+1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是．8．已知函数f（x），g(x）满足f(5）=5，f′(5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为．9．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈［1，e]，总存在x2∈［1，e]，使得f(x1）+f（x2）=4，则实数a=．10．水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是．11．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f(x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30。
3），b=（logπ3）•f（logπ3）,．则a，b，c的大小关系是．12．对于三次函数f(x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）,定义:设f″（x）是函数y=f（x）的导数f′(x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件，求若函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣+，则g（）+g（）+g（)+…+g（）=．13．已知函数f（x）=｜xe x｜,方程f2(x)+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根,则t的取值范围．14．设函数f(x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B,使得曲线y=f （x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．二、解答题:本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知矩阵A=（k≠0）的一个特征向量为α=，A的逆矩阵A﹣1对应的变换将点(3，1)变为点（1，1)．求实数a，k的值．16．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球,取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X)．17．已知二阶矩阵A=．（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）设向量=，求A2016．18．全美职业篮球联赛(NBA)某年度总决赛在雷霆队与迈阿密热火队之间角逐，比赛采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜,比赛就此结束．因两队实力相当,故每场比赛获胜的可能性相等．据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入2000万美元，以后每场比赛门票收入比上场增加100万美元,当两队决出胜负后,问：（1）组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于13500万元的概率为多少？（2）某队在比赛过程中曾一度比分落后2分以上，最后取得全场胜利称为“逆袭”，求雷霆队“逆袭”获胜的概率；（3）求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望．19．已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R)，f′（x）是f(x)的导函数．（1)若x∈[﹣2,﹣1]，不等式f（x)≤f′(x）恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程f(x)=｜f′（x）｜；（3）设函数，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．20．已知函数f（x）=lnx，g（x)=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1)确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g(x）的单调性；（3)设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B(x2，y2）,（x1＜x2）,证明：．2015—2016学年江苏省南通市启东中学高二(下）期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1)）处的切线方程是+2，f（1)+f′(1)=3．【考点】导数的运算．【分析】先将x=1代入切线方程可求出f(1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f’（1)的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上,所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：32．函数y=sinx•cosx的导函数为cos2x．【考点】导数的运算．【分析】利用导数的乘法与除法法则求出它的导数【解答】解:∵y=sinx•cosx，∴y′=（sinx）′cosx+sinx（cosx)′=cos2x﹣sin2x=cos2x故答案为cos2x．3．函数y=xlnx的单调减区间为（0，)．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用积的导数运算法则求出导函数，令导函数小于0求出x的范围与定义域的公共范围是函数的单调递减区间．【解答】解：y′=1+lnx，令,又因为函数y=xlnx的定义域为（0，+∞)所以函数y=xlnx的单调减区间为故答案为：4．已知函数f（x）=x3﹣2tx2+t2x在x=2处有极小值,则实数t的值为2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出t的值，检验即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2tx2+t2x,f′（x）=3x2﹣4tx+t2，∵函数f（x）在x=2处有极小值，∴f′（2）=0，解得：t=2或t=6，经检验，t=2符合题意，故答案为：2．5．函数y=x3+x2+ax在x∈R上单调递增，则实数a的取值范围是[1,+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数单调递增，则等价为f′（x)≥0恒成立，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解:若函数y=x3+x2+ax在R上单调递增，则y′≥0恒成立，即y′=x2+2x+a≥0恒成立,则判别式△=4﹣4a≤0，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．函数y=3x3﹣9x+5在区间［﹣2，2]上的最大值与最小值之和是10．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值,求和即可．【解答】解：∵y=3x3﹣9x+5,∴y'=9x2﹣9=0,解得：x1=1，x2=﹣1，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′（x）＜0，解得:﹣1＜x＜1，∴函数在[﹣2，﹣1）递增,在（﹣1,1）递减，在(1，2]递增，∴x=﹣1时,y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是﹣1,而x=﹣2时，y=﹣1,x=2时，y=11，故函数的最小值和最大值的和是10，故答案为:10．7．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解:因为f（x）定义域为（0，+∞）,又f’（x)=4x﹣，由f’(x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：［1,）8．已知函数f（x），g（x）满足f（5)=5，f′（5）=3，g(5)=4,g′(5）=1，则函数y=的图象在x=5处的切线方程为5x﹣16y+3=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y′，因为函数在x=5处的切线斜率等于y′｜x=5，把x=5代入y′中即可求出切线的斜率,然后把x=5代入y中求出切点的纵坐标，得到切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程．【解答】解：函数y=的导数y′=，函数y=在x=5处的切线斜率k=y′|x=5===，且x=5时，y===,所以切点坐标为(5,),则切线方程为：y﹣=（x﹣5)，化简得5x﹣16y+3=0．故答案为：5x﹣16y+3=0．9．已知函数f（x）=alnx﹣x+2，其中a≠0．若对于任意的x1∈［1,e］,总存在x2∈[1，e］，使得f（x1）+f（x2)=4,则实数a=e+1．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过讨论a的范围，结合函数的单调性找到函数的最值，从而求出a的值．【解答】解：用f（x)max，f(x）min分别表示函数f（x）在[1,e］上的最大值,最小值,当a≤1且a≠0时,由(Ⅰ）知:在[1，e]上，f（x）是减函数，所以f（x)max=f（1）=1;因为对任意的x1∈［1，e],x2∈［1，e］，f（x1)+f（x2)≤2f(1）=2＜4,所以对任意的x1∈［1，e］，不存在x2∈［1,e]，使得f（x1)+f（x2）=4；当1＜a＜e时，由(Ⅰ)知：在［1,a]上，f（x）是增函数，在[a，e]上，f(x)是减函数,所以f（x）max=f（a）=alna﹣a+2；因为对x1=1，∀x2∈［1,e］，f（1）+f（x2)≤f（1）+f（a）=1+alna﹣a+2=a（lna﹣1）+3＜3, 所以对x1=1∈［1，e]，不存在x2∈［1，e]，使得f（x1)+f（x2）=4；当a≥e时，令g（x）=4﹣f（x）（x∈［1,e]），由（Ⅰ）知:在[1，e］上，f（x）是增函数，进而知g（x）是减函数，所以f（x)min=f（1）=1，f(x）max=f（e)=a﹣e+2,g（x)max=g(1）=4﹣f（1），g（x）min=g（e）=4﹣f（e)；因为对任意的x1∈［1,e］，总存在x2∈［1，e]，使得f（x1）+f(x2)=4，即f(x1）=g（x2），所以，即，所以f（1）+f（e）=a﹣e+3=4，解得a=e+1，综上所述,实数a的值为e+1．故答案为：e+1．10．水波的半径以50cm/s的速度向外扩张,当半径为250cm时,水波面的圆面积的膨胀率是25000πcm2/s．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数,做出水波半径是5时的时间，求出导数就可以．【解答】解：∵水波的半径以v=50cm/s 的速度向外扩张水波面积s=πr2=π(vt）2=2500πt2∴水波面积的膨胀率s'=5000πt当半径为250cm时t=5s∴s’=5000π×5=25000π即时间为5s时，这水波面积的膨胀率是25000πcm2/s，故答案为：25000πcm2/s11．已知函数y=f（x)是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞,0）时不等式f(x)+xf′(x）＜0成立，若a=30.3•f（30。
江苏启东中学2024年高二年级下学期数学第二次月考试题含参考答案
江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考高二数学试题命题人：张水菊 审题人：陈琦 供卷人：福佑崇文阁一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1．【导数第3课时改编】设函数()y f x =在0x x =处可导，且000(2)()lim13x f x x f x x∆→+∆−=∆，则0()f x ′=( ) A.23B ．32 C ．1 D ．－12．【书本P112例3改编】已知随机变量X 服从两点分布，()0.6E X =，则其成功概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.63．【书本P15(6)改编】已知点M 在平面ABC 内，并且对于空间任意一点O ，都有1163OM xOA OB OC =−+，则x 的值是( )A ．13B ．12C ．23D ．564．【书本P96例3改编】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A ．4951000B ．9951000C ．1011D ．21225．【概率第10课时改编】某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X （满分 150分）服从正态分布(100,100)N ，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ）附: ()0.6826,(220.9544,(33)0.9974.P X P X P X ）µσµσµσµσµσµσ+<<+=+<<+=+<<+= A ．3413 B ．1587C ．8413D ．68266.【计数原理第8课时改编】()()52x y x y −−的展开式中33x y 的系数为（ ） A ．200−B ．120−C ．120D ．200ξ1− 0 17．【概率第6课时改编】已知随机变量ξ的分布列如右图：若()519D ξ+=，则()1E ξ+=（ ） A ．23 B ．43C ．23或43 D ．23−或43 8．【导数第7课时反馈4】已知22e e x y x y −−<− ，则（ ） A ．()ln 10x y ++< B ．2()1e x y x y +++< C ．sin sin x y x y +<−−D ．22cos cos x y y x −>−二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分)9．【统计、概率讲义改编】下列说法正确的是（ ） A ．若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.7P X ≤=，则()340.2P X <<= B ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C ．若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关性越强D ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，且线性回归方程为 0.3y x m =−，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4−10．【计数原理第9课时改编】已知()()()*23nf x x n =−∈N 展开式的二项式系数和为512，()()20121(1)(1)n n f x a a x a x a x =+−+−++− ，下列选项正确的是（ ）A ．121n a a a +++=B ．1232318n a a a na ++++=C ．2144a =D ．9013n a a a +++=11．【周测11改编】正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 为底面正方形ABCD 上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ）A ．直线1AB 与平面1ACDB ．若点F 为1BC 中点，点M 为1AD 中点，则直线CM 和AF 夹角的余弦值为23C ．若130PD D ∠=°，则1PB PC ⋅D ．若点E 在BD 上，点F 在1CB 上，则EF三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.【书本P129(6)原题】某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在1h 内平均占线20min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X 的方差为__________． 13．【周测4原题】已知可导函数()f x 的定义域为()0,∞+，满足()()20xf x f x ′−>，且()24f =，则不等式()24x xf >的解集是 .14．【原创】如图，经过边长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．四、解答题(本大题共6小题，共77分) 15．【书本P97(15)】(本小题13分)在()*3,nn n N ≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．16．【周练11改编】(本小题15分)某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：(1)根据表中数据，现决定使用2y bx a =+模型拟合y 与x 之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过计算残差平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.参考数据及公式：()()()121nii i nii xx y ybxx==−−=−∑∑ ，a y bx =− .设2t x =，则()()1217ni i i t t y y =−−=∑，()21374ni i t t =−=∑. 17．【周练13原题】(本小题15分)如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，△P AC 是边长为2的正三角形. (1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若点E ，F 分别是PC ，PB 的中点，且异面直线AF 与BC 记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围.18.【周练12原题】(本小题17分)已知函数1()ln x f x e x −=，2().g x x x =− (1)讨论()f x 的单调性;(2)证明：当(0,2)x ∈时，()().f x g x19．【周练11原题】(本小题17分)现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行。
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江苏省启东中学2014～2015学年度第二学期第二次月考
高二（理科）数学试卷
命题：高二数学组
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设集合{}
11 0 3 2
A =-，，，，{}
2 1B x x =≥，则A
B = ．
2．某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是_____. 3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ．
4．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 .
5．若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直 线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ． 6．若||1z i -=，则||z 最大值为__________．
7．已知数据x 1，x 2，······，x n 的方差s 2＝4，则数据－3x 1＋5， －3x 2 ＋5，······，－3x n ＋5的标准差为 ． 8．用数学归纳法证明“1
2131211-++++
n ＜n *(N n ∈，n ＞1)”时，由k n =k (＞1)不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是 ．
9．)110()13)(12)(1(++++x x x x 展开式中x 的一次项系数为 ． 10．已知
m
m m C C C 7
6510711=-，则m
C 8= . 11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列
表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 . 12
．已知(n
x +
的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为 .
13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下
(第4题图)
落。
小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已 知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1
2，则小球落入
A 袋中的概率为________． 14．已知等比数列{}n a 的首项为
43，公比为1
3
-，其前n 项和记为S ，又设13521,,,,248
2n n n B -⎧⎫=⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭(,2)n N n *∈≥
，n B 的所有非空子集中的最小元素的和为T ，则22014S T +≥的最小正整数n 为 ．
二、计算题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．(1)已知矩阵21a M b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.
(2)在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB
中点的极坐标．
16．设z 是虚数，1
z z
ω=+
是实数，且21<ω<-. （1）求|z|的值及z 的实部的取值范围； （2）设11z
z
μ-=
+，求证：μ为纯虚数； （3）求2
ωμ-的最小值。
17．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋5
2，0≤x ≤3}．
（1）若A ∩B ＝φ，求a 的取值范围；
（2）当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .
18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，
丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；
（2）求X 的分布列和数学期望．
19．已知数列{}n b 满足112b =
，112n n
b b -+=(2,)n n N *
∈≥. （1）求23,b b 的值，猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明； （2）设1,n n n n x b y b +==，比较x
x 与y
y 的大小．
20．设函数()()2,0,0x
m f x y m y m y ⎛⎫
=->> ⎪⎝⎭
，
（1）①当2m =时，求()4,f y 的展开式中二项式系数最大的项；
②若()61066,a a
f y a y
y =++
+，且41
18112p p a C A -=-，求6
1
i i a =∑； （2）利用二项式定理求21
(1)
n
k
k
n
k k C =-∑的值()*1,n n N ≥∈．。