专题十二：圆锥曲线习题 - 副本
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。
答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。
答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。
答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。
答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。
答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。
答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。
答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。
答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。
答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。
13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。
答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。
答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。
(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).docx
圆锥曲线一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表示椭圆；2a | F1F2|表示线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离心率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2ec(0 e 1) （离心率越大，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |二、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表示双曲线的一支。
2a | F1 F2|表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准x2y21( a 0,b 0)y2x21(a 0, b 0) 22方程 a 2 b 2a bP y2 F图形P y B2x xF1 A 1O A 2F2O B1F1顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线A1 ( a,0), A2 ( a,0)B1(0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1 ( c,0), F2 ( c,0)F1 (0,c), F2 (0, c) | F1F2 | 2c(c 0) c 2 a 2b2ec(e 1)（离心率越大，开口越大）aybx y a xa b通径2b2a （3）双曲线的渐近线：①求双曲线 x 2y21的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得x2y 20 ，因式分解得到xy0。
(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中 欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3（C） I （D ） 2.设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 ky= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x(B )1 3 (C)—2(D )23•双曲线 2 x C ： Ta 2y_1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为'、3，贝U C的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4D.4•已知椭圆 C ：0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为丄3，过F 2的直线l3交C 与A 、B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则C 的方程为（）2 A. x_3 B. 2x 2彳 xr y 1C.2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2a 1(a 0,b 0）的一条渐近线平行于直线 I ：y 2x 10,双曲 2 B — 20 2为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 21 C.— 25 占 八、、的焦点， uu uuuOA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则-1^/2 87.抛物线 =X 2的准线方程是4(A) y (B)2(C)) D M 辽.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ）x 1(D)8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为A. 4B. 13C.D.9.设F为抛物线C A, B两点，贝S AB =(A)旦3 2 c:y =3x(B)10.已知抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于(C) 12 (D)7、、3x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲4X0，则X o ()A. 1B. 2C. 4x2 11.已知双曲线—a拆A. 2 B.- D. 82y3、5C. -D.121(a 0)的离心率为2，则a20)与C 交于点P , PF 丄x 轴，所以- 2，所以k=2 ,1选D.3.C4.A5.A••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a2 2A x- y_ 1.5206. B试卷答案 1.B试题分析：如图，在椭圆中， OF c, OB b, OD 2b -b2在 Rt OFB 中，| OF | |OB| |BF | |OD |，且 a 2 b 22c ，代入解得x2 2 a 4c ，所以椭圆的离心率为： e 1，故选B. k焦点F(1,0)，又因为曲线y (k xy2= x ••• F（］,0）,设人（％2,%）弋（『22°2）,%>0, y2<0, B=v OAOB>4OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • （y』2+ 2）（%丫2-1） = 0,即yy = -21 1 1 1 - •…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0cos0=驴！. 4 22 4 2= < 222|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥％+1）（y2 +1）1_______ = 1/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5i14 2 i14 2 2，— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —8 y1 8 y17. A8. C【答SIC【解析】试題分析；由已知得，抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳，且过点故一彳=一2,则左二4,2 2-r 3-0 3戸（2卫＞则直线AF的斜率肛=-- =—「选U-2-24【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率.9. C3设AF = 2m, BF = 2n, F（-,0）.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，43 3 3 32m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n，解得m= —（2+、3）,n 二（2八3）, • m+n =6.4 4 2 2AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.10. A根据抛物线的定义可知AF1 5X0 - - X0，解之得X0 1 .选A4 411.D 注？?：=3.选 BS AAOF2 3由双曲线的离心率可得7a------- 2，解得a 1，选D.a。
圆锥曲线复习题及答案
圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种形式。
在解题过程中，我们需要掌握它们的定义、性质和方程等知识点。
接下来，我将为大家整理一些圆锥曲线的复习题，并附上详细的解答，希望对大家的学习有所帮助。
题目一：已知椭圆的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，且F1F2 = 2c，求椭圆的方程。
解答一：根据椭圆的定义，椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于定值2a，即PF1 + PF2 = 2a。
根据题目中的已知条件，我们可以得到PF1 + PF2 = 2c。
由于F1F2 = 2c，所以PF1 + PF2 = F1F2。
因此，椭圆的方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1。
题目二：已知双曲线的焦点为F1和F2，长轴长度为2a，短轴长度为2b，且F1F2 = 2c，求双曲线的方程。
解答二：双曲线的定义是双曲线上的任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值等于定值2a，即|PF1 - PF2| = 2a。
根据题目中的已知条件，我们可以得到|PF1 - PF2| = 2c。
由于F1F2 = 2c，所以|PF1 - PF2| = F1F2。
因此，双曲线的方程为(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1。
题目三：已知抛物线的焦点为F，准线为l，焦距为p，求抛物线的方程。
解答三：抛物线的定义是抛物线上的任意一点P到焦点的距离等于焦距与准线之间的距离的二倍，即PF = p/2。
根据题目中的已知条件，我们可以得到PF = p。
因此，抛物线的方程为y^2 = 2px。
通过以上的例题，我们可以看到圆锥曲线的方程与其定义和性质密切相关。
在解题过程中，我们需要根据已知条件，运用定义和性质进行推导，最终得出方程的形式。
同时，我们还需要熟练掌握圆锥曲线的图形特征，以便更好地理解和应用。
除了方程的推导，我们还可以通过图形的变换来解题。
例如，通过平移、旋转和缩放等操作，我们可以改变圆锥曲线的位置和形状，从而得到更多的解题思路。
圆锥曲线复习题及答案
圆锥曲线复习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在本文中，我们将通过一些复习题和答案来帮助大家巩固对圆锥曲线的理解和运用。
1. 椭圆题目：（1）已知椭圆的焦点为F1(-3,0)，F2(3,0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。
解答：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为椭圆的长半轴长度。
根据题目中的信息，我们可以得到c=3，e=2/3。
由于椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的方程为(x+3)²/a²+y²/b²=1。
将离心率的定义代入方程中，得到(2/3)²=1-(3/a)²，整理后可得到a=9/2。
将a的值代入方程中，得到(x+3)²/(9/2)²+y²/b²=1。
化简后可得到椭圆的方程为4(x+3)²+9y²=81。
（2）已知椭圆的方程为16x²+9y²=144，求椭圆的离心率和焦点坐标。
解答：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为椭圆的长半轴长度。
根据题目中的方程，我们可以得到16x²/144+y²/16=1。
将椭圆的方程化简后，可以得到c²=a²-b²，其中a²=144/16=9，b²=16-9=7。
代入离心率的定义公式，可得到e=c/a=√(7/9)。
根据焦点的坐标公式，我们可以得到焦点的横坐标为±c=±√(9-7)=±√2，纵坐标为0。
所以椭圆的焦点坐标为F1(√2,0)和F2(-√2,0)。
2. 双曲线题目：（1）已知双曲线的焦点为F1(-4,0)，F2(4,0)，离心率为2，求双曲线的方程。
解答：双曲线的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为双曲线的长半轴长度。
圆锥曲线综合训练题(分专题-含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -=（2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 】解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程.解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-k y k x . ,由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为∴所求椭圆方程为1315422=+yx 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程． — 解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，<即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）， 又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ） e c a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即;则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] OP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. ,9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
圆锥曲线习题及答案
圆锥曲线习题及答案圆锥曲线习题及答案圆锥曲线是高中数学中的一个重要知识点，它是解析几何中的一个分支，涉及到椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
掌握圆锥曲线的性质和解题方法，不仅可以帮助我们解决几何问题，还能提高我们的逻辑思维和解题能力。
在这篇文章中，我将为大家提供一些圆锥曲线的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 椭圆习题习题1：已知椭圆的长轴长为8，短轴长为6，求其离心率和焦点坐标。
解答：椭圆的离心率定义为离心距与长轴的比值。
离心距可以通过勾股定理计算得到，即离心距的平方等于长轴的平方减去短轴的平方。
根据这一定义，我们可以计算出离心距为√(8^2-6^2)=√(64-36)=√28。
因此，离心率为√28/8=√7/2。
焦点坐标可以通过离心率和长轴的长度计算得到，即焦点坐标的x坐标为±(长轴/2)*离心率，y坐标为0。
所以焦点坐标为(±√7,0)。
习题2：已知椭圆的焦点坐标为(±3,0)，离心率为2/3，求其长轴和短轴的长度。
解答：根据椭圆的离心率定义，我们可以得到离心距为(长轴/2)*离心率。
由于离心率为2/3，离心距为(长轴/2)*(2/3)。
而离心距可以通过焦点坐标计算得到，即离心距的平方等于焦点坐标的x坐标的平方减去长轴的平方。
根据这一关系，我们可以得到(长轴/2)*(2/3)^2=(3/2)^2-长轴^2/4。
通过解这个方程，我们可以得到长轴的长度为8/5。
由于椭圆的长轴是短轴的两倍，所以短轴的长度为8/10=4/5。
2. 双曲线习题习题1：已知双曲线的离心率为2，焦点坐标为(±4,0)，求其长轴和短轴的长度。
解答：双曲线的离心率定义为离心距与焦点之间的距离的比值。
根据焦点坐标和离心率的定义，我们可以得到离心距为焦点坐标的x坐标的绝对值。
由于离心率为2，离心距为4，所以焦点坐标的绝对值为4。
而双曲线的长轴和短轴可以通过焦点坐标和离心率计算得到，即长轴的长度为2*离心距，短轴的长度为2*焦点坐标的绝对值。
高考数学-圆锥曲线(习题版)汇编
高中数学圆锥曲线经典题型椭圆 一、选择题：1.已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为D. 32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） AB ．2CD【答案】B【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a =，2:bl y x a=-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即1212OP F F c ==，即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得22200()b x x c a+=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。
所以1PF b k a c=+，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ⨯-=-+，即222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线的离心率2e =，所以选B.3．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A ．2B ．3C ．2D ．234.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 A.78B.1516C.34D.05.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为B. 【答案】D【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =，双曲线22193x y -=的两渐近线为y x =和y x =，令3x =，分别解得12y y =(=3，所以三角形的面积为132⨯=，选D. 6.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A ．5 B ．2C ．32D ．58.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）9.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 （ ）A ．2 B ．12D ．13二、填空题：10.若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 ；11.设F 是抛物线C 1：24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，因为AF x ⊥，所以1A x =，所以2A y =±，不妨取(1,2)A ，又因为点(1,2)A 也在b y x a =上，所以2ba=，即2b a =，所以22224b a c a ==-，即225c a =，所以25e =，即e =。
圆锥曲线练习试题及详细答案
圆锥曲线归纳总结——for Yuri第22sin cos θθ+部分：知识储备1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d =③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质(1) 椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2) 双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：2a = (3) 三种圆锥曲线的通径椭圆：22b a ；双曲线：22b a；抛物线：2p(4) 圆锥曲线的定义黄楚雅，分别回忆第一定义和第二定义！ (5) 焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，122tan 2F PF b θ∆=SP 在双曲线上时，122cot 2F PF b θ∆=S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠===⋅）(6) 记住焦半径公式：①椭圆焦点在时为0a ex ±，焦点在y 轴上时为0a ey ± ②双曲线焦点在x 轴上时为0||e x a ± ③抛物线焦点在x 轴上时为0||2p x +，焦点在y 轴上时0||2p y + 3333333333333333333333333333333333333333333333333华丽的分割线3333333333333333333333333333333333333333333333333333333第0sin xdx π⎰部分：三道核心例题例1．椭圆长轴端点为,A B ,O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =。
圆锥曲线练习题(附答案)
圆锥曲线一、填空题x2 1、对于曲线C∶4 ky2=1 ，给出下面四个命题：k 1①由线 C 不可能表示椭圆；②当1＜k＜4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则k＜1 或k＞4;④若曲线 C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则 1 ＜k＜52 其中所有正确命题的序号为.x2 2、已知椭圆2a y1(a bb 20) 的两个焦点分别为F1 , F2 ，点P 在椭圆上，且满足PF1 PF20 ，tan PF1 F252 ，则该椭圆的离心率为x 2 y23. 若m0 ，点P m, 在双曲线 1 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离2 4 5为.4、已知圆 C : x2y2 6x 4 y 8 0 ．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．5、已知点P 是抛物线y2 4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M，点A 的坐标是（4 ，a），则当| a | 4 时，| PA | | PM | 的最小值是．76.在ABC 中, AB BC ,cos B ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离18心率e ．7.已知ABC 的顶点B -3, 0 、C 3, 0 ，E 、F 分别为AB、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且| GF |+| GE |= 5 ，则点G 的轨迹方程为8.离心率e5，一条准线为x＝3 的椭圆的标准方程是. 329. 抛物线 y4ax ( a 0) 的焦点坐标是;10 将抛物线 x 4a ( y 3) 2(a 0) 按向量 v =（ 4 ，－ 3 ）平移后所得抛物线的焦点坐标为.1211 、抛物线yx (m m0) 的焦点坐标是 .x2 12. 已知 F 1、F 2 是椭圆2a(10 y2a)2=1(5 ＜a ＜ 10 ＝的两个焦点， B 是短轴的一个端点，则△ F 1BF 2 的面积的最大值是13. 设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y 22 px ( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x轴正向的夹角为 60 °，则| OA |为 .714. 在 △ABC 中， ABBC ， cosB．若以 A ，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆18的离心率 e．二.解答题15 、已知动点 P 与平面上两定点（Ⅰ）试求动点 P 的轨迹方程 C.A(2,0),B( 2,0)1 连线的斜率的积为定值.2（Ⅱ）设直线 l : ykx 1 与曲线 C 交于 M 、N 两点，当 |MN |= 4 2 3时，求直线 l 的方程 . 21 2 1 2 1 216 、已知三点 P （ 5 ，2）、 F 1 （－ 6 ， 0 ）、 F 2 （ 6， 0）。
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)
专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 核心考点二：蒙日圆 核心考点三：阿基米德三角形 核心考点四：仿射变换问题 核心考点五：圆锥曲线第二定义 核心考点六：焦半径问题 核心考点七：圆锥曲线第三定义 核心考点八：定比点差法与点差法 核心考点九：切线问题 核心考点十：焦点三角形问题 核心考点十一：焦点弦问题 核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________． 例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆 【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形 【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（ ）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=； （2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+； （4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题 【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义 【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题 【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（ ）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（ ） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义 【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法 【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题 【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（ ）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题 【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（ ）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题 【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题 【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题 【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（ ） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题 【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______． 例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题 【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（ ）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（ ） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题 【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（ ）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（ ）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（ ）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（ ） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（ ）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（ ） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（ ）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（ ）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（ ）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。
圆锥曲线练习题含答案很基础很好的题
7B.— 46.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ 1 72 1 721 721 72(4-^) B.(8-7)C . (4,丁)D .(8,7)2 2—=1上一点P 与椭圆的两个焦点 F 1、F 2的连线互相垂直，则^ PF 1F 2的面积为49 2420 B . 22 C . 28 D . 24C .(1,72)D . (2,2)29.与椭圆 一+ y 2=1共焦点且过点Q （2,1）的双曲线方程是（）4圆锥曲线练习题21抛物线y= 10x 的焦点到准线的距离是（ 5 A.— 2 2.若抛物线 B . 5 C . 15D . 10 2 y 2 =8x 上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ A . (7, ±774) B . (14,±714) C . (7,±2714) D . (-7,±2714) 3-以椭圆25 2 2 —+ =1的顶点为顶点，离心率为 16 2的双曲线方程（ 2 x A . 一 16 2 —1 48 B . 2 厶=1 27 2 x 16 2 2 丄=1或三 48 9 227 D .以上都不对2x 4. F 1,F 2是椭圆一 9 =1的两个焦点, A 为椭圆上一点，且/ AF 1F 2 =45° ,则△ AF 1F 2 的面积(5.以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x 2 + y 2 -2x + 6y + 9 = 0的圆心的抛物线的方程是2 2A . y = 3x 或 y = -3x 2B . y = 3x 2C . y = -9x 或 y = 3xD . y = -3x 2或2 y =9x7^5 27.椭圆 8 .若点 A 的坐标为（3,2）, 2F 是抛物线y =2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使 MF + M A 取得最小值的 M 的坐标为（22 2 2 2x 2 」 x 2 」 x y A. ——-y =1 B. ——-y =1 C . ——=12 43 3310.若椭圆宀吋2/的离心率为一，则它的长半轴长为11.双曲线的渐近线方程为 x±2y =0，焦距为10，这双曲线的方程为 12.抛物线y 2 =6x 的准线方程为. 13•椭圆5x 2+ ky2=5的一个焦点是（0,2），那么k = _____ 。
圆锥曲线专题复习与训练金典大题训练带答案56页
圆锥曲线专题复习与训练常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练 【高考命题特点】圆锥曲线是历年高考的重点内容，常作为高考数学卷的压轴题。
1. 从命题形式上看，以解答题为主，难度较大。
2. 从命题内容上看，主要考查求圆锥曲线的标准方程、求动点的轨迹方程、根据方程求最值、求参数的取值范围、证明定点、定值、探索存在性等。
3. 从能力要求上看，主要考查数学思想方法（如数形结合、分类讨论等）的运用能力。
分析问题和解决问题的能力及运算能力。
一、圆锥曲线的常用性质1.椭圆知识盘点一．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（ 12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。
这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。
注：当2a=12||F F 时，点的轨迹是线段12F F ；当2a<12||F F 时，点无轨迹. 椭圆定义到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹图 形焦点在x 轴上焦点在y 轴上方 程标准 方 程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数 方 程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x范围─a≤x≤a，─b≤y ≤b ─a≤x≤a，─b≤y≤b中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0,─b)，B2(0,b)A1（0，－a），A2(0，a)B1(─b，0)，B2(b，0)对称轴关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称关于x,y轴成轴对称关于原点成中心对称焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(0,c), F2(0，─c)焦距2c （其中c=22ba-）2c （其中c=22ba-）长轴短轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b离心率)10(<<=eace)10(<<=eace通径ab22ab22三．椭圆的性质：椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a(第一定义)，（2）椭圆上的点到左焦点的距离最小值:，椭圆上的点到左焦点的距离最大值:；（3）椭圆上过焦点的弦长中长轴最长，通经最短；（4）斜率为定值的动直线与椭圆所截的弦中过椭圆中心的弦长最长；（对称性）（5）在焦点三角形PF1F2中，①顶角∠PF1F2的大小当点P与短轴顶点重合时最大；②12PF F pS c y=⨯，当py越大S越大，所以当点P与短轴顶点重合时焦点三角形PF1F2的面积最大；③设顶角∠PF1F2=θ，则122tan2PF FS bθ=（椭圆的定义及余弦定理推导）④椭圆的离心率与焦点三角形PF1F2的内角的关系：121221sinsin sinF PFePF F PF F∠=∠+∠（正弦定理推导）（6）离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1) ，e确定椭圆的形状：e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆.θ（7）点(),o oP x y在椭圆内，则22221x ya b+<，点(),o oP x y在椭圆外，则22221x ya b+>；［特别提醒］1．涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，要注意判别式∆及韦达定理的运用。