结构力学 薄壁工程梁理论分解
薄壁箱梁扭转理论讲解
基于扭转理论的优化设计目标是寻找 最优的梁截面尺寸、材料分布和结构 布局，以实现最小的重量、最大的承 载能力和最佳的稳定性。
03
优化设计的方法
常用的优化设计方法包括有限元法、 有限差分法和离散元素法等。这些方 法可以通过迭代计算，不断调整设计 方案，以实现最优的设计结果。
优化设计的目标与方法
优化设计的目标
转动惯量
薄壁箱梁的转动惯量决定 了其抵抗扭矩变化的稳定 性。
提高抗扭性能的措施
优化截面尺寸
通过调整薄壁箱梁的截面尺寸，提高其抗扭刚 度。
选择高强度材料
使用高强度材料可以降低扭矩作用下梁的变形。
加强连接构造
通过增加连接构造，提高薄壁箱梁的整体稳定性，从而提高其抗扭性能。
抗扭性能的实验研究
实验设备
需要使用专门的实验设备来模拟薄壁箱梁在扭矩作用 下的表现。
02 薄壁箱梁的扭转理论
扭转理论的定义与原理
定义
薄壁箱梁的扭转理论是指研究薄壁箱梁 在扭矩作用下的变形和应力分布的理论 。
VS
原理
薄壁箱梁的扭转理论基于弹性力学的基本 原理，考虑了剪切变形和剪切力的影响， 采用适当的简化假设和数学模型来描述扭 矩作用下薄壁箱梁的力学行为。
扭转理论的计算方法
解析法
优化设计的实践案例
案例一
某大型桥梁的薄壁箱梁设计。通过基于扭转理论的优化设计，成功地减小了梁 的重量，提高了承载能力和稳定性。同时，也降低了材料的消耗和成本。
案例二
某高速列车的车体结构设计。采用薄壁箱梁作为主要承重结构，通过优化设计， 实现了车体的轻量化和高强度。这提高了列车运行的安全性和稳定性。
实验过程
通过观察和记录薄壁箱梁在扭矩作用下的变形情况， 分析其抗扭性能。
薄壁箱梁的扭转和畸变理论-文档资料
自由扭转 约束扭转增量
主广义扇性静矩
4、约束扭转扭角微分方程
根据截面上内外扭矩平衡
根据截面上纵向位移协调
翘曲系数 截面极惯矩
合并两微分方程后得到
约束扭转的弯 扭特性系数
常用边 界条件
箱梁的畸变应力
1、弹性地基梁比拟法基本原理
畸变角微分方程
弹性地基梁微分方程
弹性地基梁与受畸荷载箱梁各物理量 之间相似关系
的 主 弯扭刚度比
要 增大抗扭惯矩可以大大减小扭转变形
因
素 扇性惯矩
曲线桥
平 计算方法综述
面
–杆系结构力学+横向分布
弯
–有限元法
桥
• 梁格法
的
• 板壳单元
设
计
计
算
线桥
平 面 曲 梁 的 变 形 微 分 方 程
混凝土徐变
定义 混凝土在不变荷载长期作用下，其应
变随时间而继续增长的现象称为混凝土的 徐变。 特点
T形梁翼板有效分布宽度
T 梁 有 效 分 布 宽 度
无承托：B=δ+2λ 有承托： B=δ+2λ+承托宽度
曲线桥
漳 龙 高 速 公 路
曲线桥
弯 拱 桥
曲线桥
弯 连 续 刚 构
曲线桥
弯 立 交 桥
曲线桥
弯 立 交 桥
曲线桥
由于曲率的影响，梁截面在发生竖向弯 受 曲时，必然产生扭转，而这种扭转作用又 力 将导致梁的挠曲变形，称之为“弯—扭” 特 耦合作用 点
徐变的发展规律是先快后慢，通常在 最初六个月内可完成最终徐变量的70-80%， 第一年内可完成90%左右，其余部分在以后 几年内逐步完成，经过2-5年徐变基本结束。
西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第六章 薄壁工程梁理论
第六章 薄壁工程梁理论6-1 求如图所示剖面的弯曲正应力，设壁板不受正应力，缘条面积都是2200mm ，已知载荷.105,1056mm N M mm N M y x ⋅⨯=⋅=图中尺寸单位为mm.(a)（a ）解：确定形心坐标轴。
()()mm AAy mm AAx 50480120,804160160=+==+=则在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()50,80,50,80,30,80,70,80----确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
43442442102.31056.21008.1Amm y x A J Amm x A J Amm y A J i i i xy i i y i i x ∑∑∑⨯-==⨯==⨯==求当量弯矩。
()()()()()-19.230M P a508025.842MPa 5080216MPa103080856MPa 34708045072.004132.0,1021154.0110973560196296.014321662=---=-⋅=⋅=-+-=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⨯⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+==-=，，，，，，σσσσσy x y x J J M M k M J J M M k M J J J k x xy x y y y xy y x x yx xy(b)（b ）解：确定形心坐标轴。
()()mmAAy x 10042002000mm4AA100100=+==+-=在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()100,100,100,0,100,0,100,100---。
确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
224x i 224244100()2100()2100()i y i i xy i i i J A y A mm J A x A mm J A x y A mm ==⨯==⨯==-⨯∑∑∑求当量弯矩。
结构力学 薄壁工程梁理论
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
薄壁箱梁扭转理论
Mk GI d
曲率
１ M (形式类似弯曲： ＝ ) EI
Mｋ 代入 u ( z ) 表达式，则纵向位移： 将 t ， s ds s u( z) u0 ( z) ( z ) ( z ) ds
ds t
s 0
t
0
u 0 ( z ) ( z )[ ds
( s ) ds
0
s
s
ds
0
/
ds
薄壁箱梁的约束扭转
（1） 基本假定
众所周知，乌曼斯基闭口薄壁直杆约束扭转理论应用以下三个基 本假定： ①横截面的周边不变形； ②横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的； ③横截面上纵向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的
令纵向位移为 u ( z , s ) ， z 表示沿跨径， 当闭口截面只发生自由扭转时，有
E w ( Z S ) 2 1
Mk
E dz w E ( z) 2 1 ds u（z） M A u( z) vM u ( z ) ( z ) Z u0 y z s ( z ) ( z ) ] w E[u0 (3 24) ( z )是未定的，我们可以利用平衡条件来消去它，因为箱梁 上式中 u 0 截面上只有扭矩 M k ，其引起翘曲正应力 w 自相平衡，既正应力
s s
q
ds
（阴影部分 ，ds为三角形底边， 为高， 1 ds 为三角形面 2 积） Mk q （ 为周边所围面积的2倍）
qMk t
2. 扭矩M k 、扭率 和纵向位移 u 的关 Mk 系 我们假设 z 为梁 轴方向， u 为纵 向位移，v 为箱 dz 边 s 切线方向的 ds 位移：
飞行器结构力学电子教案6-3
q
Qy Jx
Sx
2、开剖面弯心的计算
现取任意点 A 为力矩中心，则剪 流对该点的力矩应等于其合力对同 一点的力矩，即
Байду номын сангаас
Q y x qds
s
式中，ρ 为微段ds 的剪流合力 ρds 到 力矩中心 A 的垂直距离， Qy x 绕 A
s
以逆时针方向为正， qds 绕 A 以顺 时针方向为正。 将剪流 q 计算公式代入，可得弯心坐标 x 为 同理，可得弯心坐标 y 为
2 3(b2 b12 ) x (b2 b1 ) h 6(b1 b2 )
（1）工字型剖面上、下对成，显 解： 然 x 轴为形心主惯轴，弯心就在 x 轴上。
th 2 Jx [h 6(b1 b2 )] 12
（2）剖面静矩Sx
如图所示。
（3）选取 A 点作为力矩中心，则
1 x Jx 1 S ds s x Jx th 2 2 2 (b1 b2 ) 4
所示的情形。
开剖面薄壁梁的承受扭矩能力 对于壁很薄的薄壁结构，由于壁的厚度与其它尺寸相差很大，实际计算时 忽略开剖面部分的承扭能力，对结构的承扭能力影响不大。
2、开剖面弯心的计算
根据以上的讨论可知，只需找到开剖面剪流的合力作用点，该点就是开剖 面弯心的位置。因为开剖面的剪流是弯曲剪流，只要开剖面的力矩平衡方程满 足，则剪力一定作用在弯心上。这也就是说，若剪力不作用在弯心上，那么， 开剖面的力矩平衡方程就无法满足。因此，可以利用力矩平衡方程求得开剖面 弯心的位置。 如图所示的开剖面。为简单起见， 这里假定 xoy 轴为剖面形心主惯轴。 Qy 将总剪力Q 分解为 和 Q 。 x 先考 Qy 虑只有 作用的情形。 此时，剖面上的剪流等于
薄壁箱梁扭转理论
u(z)u0(z)(z)
u0 (z) ——初始纵向位移，为一积分常数； (z) ——表示截面凹凸程度（翘曲程度）的某个函数
(z)(z)（扭率）为乌曼斯基第一理论（有些时候，误差较大）
(z)是一个待定函数，为乌曼斯基第二理论（按此计算）
二、约束扭转正应力
利用弹性力学中平面应力问题中应力与应变之间的关系式：
二、箱形截面的构造要点
（一）外形：由顶板、底板、腹板及梗胁组成
1、顶板：
除承受结构正负弯矩外，还承受车辆荷载的直接作用。在以负弯矩
为主的悬壁梁及T形刚构桥中，顶板中布置了数量众多的预应力钢束， 要求顶板面积心须满足布置钢束的需要，厚度一般取24—28cm。 2、底板
主要承受正负弯矩。当采用悬臂施工法时，梁下缘承受很大的压应 力，特别是靠近桥墩的截面，要求提供的承压面积更大；同时在施工时 还承受挂篮底模板的吊点反力。在T形刚构桥和连续梁桥中，底板厚度 随梁的负弯矩塔大而逐渐加厚。
因而，综合箱梁在偏心荷载作用下，四种基本变形与位移状态引起的 应力状态为：
在横截面上： 在纵截面上：
纵向正应力 剪应力 横向弯曲应力
(Z) M w dw
M k w dw
(S) c dt
承受偏心荷载的薄壁箱梁，将产生扭矩，此扭矩可分解为刚性扭 转和畸变力
薄壁箱梁的自由扭转简介
横向弯曲应力 c
（按超静定框架计算求得）
四、偏心荷载作用下的截面应力
2.纵向弯曲 纵向弯曲产生竖向变位 ，因而在横截面上引起纵向
正应力及剪应力，见图。图中虚线所示应力分布乃按初 等梁理论计算所得，这对于肋距不大的箱梁无疑是正确 的；但对于肋距较大的箱形梁，由于翼板中剪力滞后的 影响，其应力分布将是不均匀的，即近肋处翼板中产生 应力高峰，而远肋板处则产生应力低谷，如图中实线所 示应力图。这种现象称为“剪力滞效应”。对于肋距较 大的宽箱梁，这种应力高峰可达到相当大比例，必须引 起重视。
飞机结构力学课件6-2
q
Qy Jx
Sx
Qx Jy
Sy
q0
的开剖面剪流与切口处剪流之和， q q0
如图所示。
1、公式推导
为了求出切口处的剪流值q0，可利用对任意一极点O′的力矩 平衡方程，如图所示。设Mz为外力(包括剪力和扭矩)对极点 O′的矩，并规定Mz绕极点O′反时针方向为正，剖面上的剪流 q对极点O′的矩以顺时针方向为正。则有
飞机结构力学
第六章 薄壁工程梁理论
6.4 自由弯曲时单闭室剖面切应力的计算 6.5 开口弯心的计算
6.4 自由弯曲时单闭室剖面切应力的计算
1、公式推导
讨论图示的棱柱形单闭室剖面薄壁梁。在任意横向载荷作 用下，纵向任意剖面上的内力为Qx, Qy, Mx, My, Mz以及Nz。 假设整个剖面都能承受正应力。
q ds 1 Qy c c 2
s
3 5c 2 2
1 2
Qy 5c
Qy c
2c
c 2
2
Qy c
c 2
2 3
Qy 10c
c 2
3 2
c
2
17 6 Qyc
3、例题
s
q ds
17 6
Qyc
2(2c c) 4c2
q0
1
Mz
q ds
s
1
s
q
ds
1 17 4c2 6 Qyc
1、公式推导
现假想由a处沿纵向将剖面切开，在切口处沿纵向应有剪流 存在，该剪流值为q0，由剪应力成对作用定律，在横剖面 上也应有剪流存在，其值等于q0 。显然，q0沿剖面中的闭 合周边为一常数，如图所示。由于点a是任选的，故q0随点 a位置是变化的。
1、公式推导
结构力学(绪论)
第一章绪论1.1结构力学的研究内容一、结构的概念建筑物和工程设施中，起主要受力、传力及支承作用的骨架部分。
二、结构的分类1、按构件的几何特征分为：杆系结构(空间或平面)；板壳(薄壁:薄板、薄壳)结构；实体结构。
(1) 杆系结构：由杆件组成。
几何特征：横截面<<长度图1.1 杆系结构<2>、板壳（薄壁：薄板、薄壳）结构几何特征：厚度<<长度和宽度图1.2 板壳结构<3>、实体结构几何特征：任何一个方向的尺寸都不能被忽略掉图1.3 实体结构2、按结构型式划分为：砖混结构、框架结构、框架剪力墙结构、剪力墙结构、筒体结构等；3、从建筑材料划分：砖石结构、混凝土结构、钢筋混凝土结构、钢结构、木结构、组合结构等；4、从空间角度划分：平面结构、空间结构等；三、《结构力学》研究的对象理论力学：刚体材料力学：变形体(单个杆件：简支梁、悬臂梁、伸臂梁)结构力学：变形体(平面杆系结构：多跨梁、桁架、刚架、组合结构、拱)四、《结构力学》研究的内容<1> 研究平面杆系结构在载荷等外因作用下产生的内力(强度计算)；<2>研究平面杆系结构在载荷等外因作用下产生的变形(刚度计算)；<3>分析平面杆系结构的稳定性；<4>探讨平面杆系结构的组成规律及合理形式(几何构造分析)；结构力学应用举例说明：①设计思路②钢筋混凝土悬臂梁，只考虑自重，钢筋应该配在上部，还是下部？为什么？③脚手架(超静定桁架)的设计1.2结构的计算简图一、结构计算简图在结构计算中，用以代替实际结构，并反应实际结构主要受力和变形特点的计算模型。
二、结构计算简图的简化原则选取的原则是：1、要从实际出发2、要分清主次既要尽可能正确反映结构的实际工作状态，又要尽可能使计算简化。
计算简图不是唯一的：根据不同的要求和具体情况，对于同一实际结构也可选取不同的计算简图。
例如：初步设计阶段，可选取比较粗略的计算简图，施工图设计阶段，则可选取较为精确的计算简图；用手算时，可选取较为简单的计算简图，用电算时，则可选取较为复杂的计算简图。
西北工业大学飞行器结构力学电子教案5-6分析
w z dz (ax by c) z d
不一定符合平面分布。如原来是平面的剖面，变形后发生翘曲， 变形后的剖面不一定再是平面，但其沿母线投影仍是平面的。
▄ 简化假设
显然，满足以上简化假设的薄壁结构，其纤维可以自由伸缩， 剖面可以自由翘曲——称为自由弯曲和自由扭转。 注意，工程梁理论不适用于下列情形： （1）小展翼型机翼如三角型机翼。沿纵向(z向)其剖面变化剧 烈，不符合简化假设(1)要求的棱柱壳体。 （2）长直机翼的根部。不符合简化假设(4)。 （3）开口区附近。不符合简化假设(4)。 （4）材料性质沿纵向不连续。不符合简化假设(4)。 工程梁理论研究的是自由弯曲和自由扭转下薄壁结构的受 力和变形分析，这也是本章的重点内容。
x0
Ax A
i i
i
y0
Ay A
i i
i
相应于形心坐标轴的剖面惯性矩、惯性积和剖面总面积由下列各式确定：
J x Ai y i
2
J y Ai x i
2
进一步可以求出形心主惯性轴x’oy’：
J xy Ai xi y i F0 Ai
tg 2
2 2 J xy
翼肋的构造
典型的机翼布局
典型的机身布局
在飞行器构造中经常遇到梁 式薄壁结构，如长直机翼、后 掠机翼的中外翼、机身等。对 于这类薄壁结构，在已知外载 荷作用下各剖面的总内力(弯矩、 扭矩、轴力和剪力)是静定的， 但若要进一步求出各个元件(桁 条、蒙皮等)的内力，由于这种 梁式长直机翼 具有多桁条的结构是高度静不定 的，要用力法求解就必须借助于电子计算机。倘若蒙皮较厚， 能同时承受正应力和剪应力，此时可以把结构看作是有无穷多 桁条排列着，因而静不定次数是无穷的，用力法来解不可能， 而必须采用有限元素法或能量法，但那也非常麻烦。
薄壁箱梁扭转理论解析
四、偏心荷载作用下的截面应力
1.横向弯曲 箱形梁承受偏心荷载作用，除了按弯扭杆件进行整体分
析外，还应考虑局部荷载的影响。车辆荷载作用于顶板，除 直接受荷载部分产生横向弯曲外，由于整个截面形成超静定 结构，因而引起其它各部分产生横向弯曲，
3.箱形梁的扭转
自由扭转只产生自由扭转剪应力 k 约束扭转产生约束扭转剪应力 w 、约束扭转翘曲正应力 w
4.畸变 畸变（即受扭时截面周边变形）的主要变形特征是畸变角 。
薄壁宽箱的矩形截面受扭变形后，无法保持截面的投影仍为矩形。 畸变产生翘曲正应力和畸变剪应力，同时由于畸变而引起箱形截面 各板横向弯曲，在板内产生横向弯曲应力。
纵向弯曲产生纵向弯曲正应力 M 、弯曲剪应力 M
3.箱形梁的扭转
箱形梁的扭转（这里指刚性扭转，即受扭时箱形的周边不变形）
变
自由扭转，即箱形梁受扭时，截面各纤维的纵向变形是自由的， 杆件端面虽出现凹凸，但纵向纤维无伸长缩短，自由翘曲，因而不 产生纵向正应力，只产生自由扭转剪应力。
（二）箱形截面的配筋
箱形截面的预应力混凝土结构一般配有预应力钢筋和非预应力向
普通钢筋。
1、纵向预应力钢筋：
2、横向预应力钢筋：
3、竖向预应力钢筋： 4、普通钢筋：
两层钢筋网 横向预应力 筋
纵向预应力 筋
竖向预应力 筋
两层钢筋网
箱形截面配筋示意图
三、偏心荷载作用下的变形和位移
作用在箱形梁上的重要荷载是恒载与活载。恒载 通常是对称作用的，活载可以是对称作用，也可以是 非对称偏心作用，必须分别加以考虑。偏心荷载作用， 使箱形梁既产生对称弯曲又产生扭转，因此，作用于 箱形梁的外力可综合表达为偏心荷载来进行结构分析。 在偏心荷载作用下箱梁的四种基本状态：
薄壁梁
薄壁梁bobiliang薄壁梁thin-walled beam由薄板、薄壳及细长杆件组成的梁。
它的截面最大尺寸远小于纵向尺寸，有的还在横向有坚硬的框架（如飞机机身的隔框和机翼的翼肋），以保证受力后横截面在自身平面内不产生大变形。
由于薄壁梁中的材料被置于较能发挥承力作用的位置，所以在保证同样强度和刚度的前提下，它比实心梁轻得多，因此在飞行器和大型桥梁等结构中得到了广泛的应用。
薄壁梁根据其截面几何形状的不同，可分为三种类型：截面中线为开曲线的称为开截面薄壁梁（图1[薄壁梁的种类]之a）；截面中线为单连闭曲线的称为单闭截面薄壁梁(图1[薄壁梁的种类]之b)；截面中线为多连闭曲线的称为多闭截面薄壁梁（图1[薄壁梁的种类]之c）。
薄壁梁上可能作用有三个方向的力和三个轴上的力矩。
在这些力和力矩的作用下，梁内产生两个未知内力：正应力（见应力）和剪应力（或剪流）,但这两个未知内力可以通过沿梁轴方向的平衡方程组相联系，因此只剩一个量是独立的。
薄壁梁应力分析的任务就是根据其受力状态、截面几何形状和尺寸及端部支持等情况计算出梁中的内力值。
在外力和外力矩作用下，薄壁梁一般既产生弯曲变形，又产生扭转变形。
为了简化计算，可分别求出弯曲和扭转两种情况下的内力，然后再进行叠加。
薄壁梁的弯曲薄壁梁在弯矩或剪力的作用下发生弯曲时，梁内产生正应变（见应变）和正应力，剪力作用还会引起剪应力（或剪流）。
为了验算薄壁梁的强度，需要求出应力值。
如果薄壁梁在弯曲时，正应变的分布满足平截面假设，则弯曲称为自由弯曲；反之称为限制弯曲。
自由弯曲由于梁内正应变分布满足平截面假设,所以如果材料的应力－应变关系是线性的，则应力分布也满足平截面假设。
从而可用一般梁的公式来计算正应力。
在剪力作用下薄壁梁截面上产生剪流。
对于不同类型的截面，剪流分布和剪流计算方法也有所不同：①开截面薄壁梁选取以主形心惯性轴（见截面的几何性质）为坐标轴的坐标系,如图2[开截面薄壁梁]所示,并在截面上沿中线选取起点在自由边上的曲线坐标（起点为图2[开截面薄壁梁]中的点），则可根据公式[38-11]求出剪流分布,式中和为剪力分量；和为截面的主形心惯性矩；和为从点起,沿曲线坐标到所求剪流的那一点止，所有承受正应力面积对主形心惯性轴的静矩。
结构力学 薄壁工程梁理论解析
aA xytds bA y2tds cA ytds M x aA x2tds bA xytds cA xtds M y aA xtds bA ytds cAtds Nz
式中，Atds A0 —剖面面积；A ytds Sx A xtds S y —静矩 A y2tds J x A x2tds J y —惯性矩 A xytds J xy —惯性积
y
M
x
J xy Jx
；
M
x
1 k
M
x
M
y
J xy Jy
；
k
1
J
2 xy
JxJy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面
E1 , t1
y E2 , t2
的公式就不能直接使用，
这时可把不同材料向同
一种材料折算；
Mx
E4 , t4
确定剖面几何性质时：
x0
Ai xi Ai
,
y0
Ai yi Ai
y
J x Ai yi2 J y Ai xi2 y0
Jxy Ai xi yi
tan 2 2Jxy
Jx Jy
o
yy
o
x x
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一
y
截面上点b处的剪流q，q t 。
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论
6.1 ห้องสมุดไป่ตู้述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
薄壁梁变形分析的基本理论
薄壁梁变形分析的基本理论薄壁梁变形分析的基本理论1. 引言薄壁梁是一种在工程结构中常见的构件，其具有体积轻、成本低、易加工等优点，被广泛应用于航空、航天、汽车、建筑等领域。
为了确保薄壁梁在使用过程中的安全可靠，需要对其变形特性进行分析和计算。
本文将介绍薄壁梁变形分析的基本理论。
2. 薄壁梁的基本假设薄壁梁是指其截面形状相比于其长度来说非常细长的梁。
在薄壁梁变形分析中，通常采用以下基本假设：(1) 梁截面平面仍保持平面；(2) 梁截面内各点之间的距离不变；(3) 材料力学性质在整个截面中是均匀的；(4) 剪切变形可以忽略。
3. 梁的变形与应变在考虑以上基本假设的情况下，薄壁梁的变形与应变可以通过一系列公式来描述。
其中最常用的是梁的切线方程、挠曲方程和剪切方程。
(1) 切线方程：切线方程描述了梁上任意一点剪力和弯矩之间的关系。
根据切线方程，可以计算出梁在不同位置的弯矩分布情况。
(2) 挠曲方程：挠曲方程描述了梁的挠曲变形情况。
通过挠曲方程，可以计算出梁的挠度分布情况，进而推导出梁的位移和变形。
(3) 剪切方程：剪切方程描述了梁在剪力作用下的变形情况。
通过剪切方程，可以计算出梁在不同位置的剪应变和剪应力。
4. 薄壁梁的应力分析在薄壁梁的变形分析中，计算其应变分布并不足以确定其受力状态。
因此，需要对薄壁梁的应力进行分析。
(1) 弯曲应力：薄壁梁受弯曲作用时，其截面上会产生弯曲应力。
根据材料的弹性力学性质，可以通过弯曲应力计算出梁的弯矩分布。
(2) 剪切应力：薄壁梁在受剪力作用下会产生剪切应力。
根据材料的剪切力学性质，可以通过剪切应力计算出梁的剪力分布。
(3) 拉应力：薄壁梁在受拉力作用下会产生拉应力。
根据材料的拉伸力学性质，可以通过拉应力计算出梁的拉力分布。
5. 薄壁梁的稳定性分析薄壁梁在受外力作用下可能会发生稳定性失效，因此需要进行稳定性分析。
(1) 屈曲分析：屈曲是指薄壁梁在受外力作用下产生的稳定性失效。
飞机结构力学课件6-1
3、基本假设
(3) 剖面上切应力的方向与壁中线的切线方向一致。如果切 应力与壁中线切线方向不一致，则切应力可分解为两个方 向的应力——沿中线的切线方向和法线方向的应力分量， 如图 (b)所示。根据切应力成对作用定理，则结构的表面 上将有切应力存在，这显然与实际不相符。因此，在薄壁 结构的横剖面上只可能有与中线切线方向一致的切应力存 在，如图 (c)所示。亦即剖面上的剪流沿壁中线的切线方 向。
翼肋的构造
典型的机翼布局
典型的机身布局
在飞行器构造中经常遇到梁
式薄壁结构，如长直机翼、后
掠机翼的中外翼、机身等。对
于这类薄壁结构，在已知外载
荷作用下各剖面的总内力(弯矩、
扭矩、轴力和剪力)是静定的，
但若要进一步求出各个元件(桁
条、蒙皮等)的内力，由于这种 具有多桁条的结构是高度静不定
梁式长直机翼
h) 2
Abh
4、例题
例6-1：求如图剖面在自由弯曲下的正应力，设壁不承受正应力。 解 (2)求当量弯矩
k 1 J xy 1 JxJy 2
Mx
1 k
(M x)
2M x
My
1 k
(M x
J xy Jx
)
2
b h
Mx
4、例题
例6-1：求如图剖面在自由弯曲下的正应力，设壁不承受正应力。 解 (3)求应力
3、基本假设
(2)剖面上的正应力和切应力沿壁厚均匀分布。考虑到薄壁结 构中壁很薄这一特点，可以不考虑剖面上任一点处的正应 力和切应力沿壁厚度方向的变化，而认为正应力和切应力 沿壁厚均匀分布。对壁厚度比较小的薄壁结构而言，这一 假设是比较符合实际的。设壁厚度为t，则沿薄壁周边的 切应力用q＝τt 代替，称q为剪流，如图所示。
工程力学中的薄壁结构分析
工程力学中的薄壁结构分析工程力学是一门研究物体在外力作用下产生的形变和破坏的学科。
在工程实践中，薄壁结构被广泛应用于建筑、航空航天、汽车制造等领域。
薄壁结构具有重量轻、刚度高、经济实用等优点，因此对其力学性能的分析和设计显得尤为重要。
薄壁结构是指在一个尺寸相对较大的平面内，其厚度相对较小的结构。
常见的薄壁结构包括板壳、薄壁管和薄壁梁等。
这些结构在受力时，由于其几何形状的特殊性，往往会出现一些特殊的力学问题。
在薄壁结构的力学分析中，最常见的问题之一是弯曲。
当外力作用于薄壁结构时，其会发生弯曲变形。
对于薄壁梁而言，根据其几何形状和材料特性，可以通过应力分析和变形分析来确定其弯曲的程度和形状。
在实际工程中，我们常常需要根据设计要求和使用条件来确定薄壁梁的尺寸和材料，以保证其在使用过程中不会发生过大的变形或破坏。
除了弯曲问题，薄壁结构还常常会遇到屈曲问题。
屈曲是指薄壁结构在受到一定的外力作用下，由于其几何形状和材料特性的限制，出现局部或整体失稳的现象。
屈曲分析是薄壁结构设计中的重要一环，可以通过应力分析和稳定性分析来确定结构的屈曲载荷和屈曲形态。
在实际工程中，我们需要根据结构的使用条件和安全要求来确定薄壁结构的稳定性，并进行相应的设计和加固。
此外，薄壁结构还常常会受到外力的冲击和振动。
冲击和振动分析是薄壁结构设计中的另一个重要方面。
在工程实践中，我们需要通过动力学分析和振动响应分析来确定薄壁结构在受到冲击或振动时的力学性能。
通过合理的设计和加固，可以使薄壁结构在受到外力冲击或振动时保持稳定和安全。
综上所述，薄壁结构在工程力学中具有重要的地位和应用价值。
通过对薄壁结构的力学分析，我们可以确定其弯曲、屈曲、冲击和振动等方面的性能，为工程实践中的设计和加固提供依据。
在未来的发展中，随着科学技术的不断进步，我们可以预见薄壁结构分析的方法和工具将会更加完善和高效，为工程实践中的薄壁结构设计和应用提供更好的支持。
高等桥梁结构理论课程讲义薄壁箱梁弯曲理论
x
式中， M x 、 M y 分别为
Mx
M x M y I xy / I y
1
I
2 xy
/(I
x
I
y
)
My
M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I
x
I
y
)
即当已知 M x , M y 时，由（2-12）、（2-13）即可计算出其截面上任意点的正应力。
当 ox 、 oy 轴为主轴时， I xy 0 ，则
M x M x
My
M
y
即
z
Mx Ix
y My Iy
x
上式即为对称截面薄壁梁在纯弯矩荷载作用下的截面正应力计算公式。
（2-10） （2-11） （2-12）
（2-13）
（2-14） （2-15）
6
【算例 2-1】求图 2-4 所示 Z 形截面薄壁杆件在弯矩 M x 作用下的正应力分布。
1 h3
8
（注：根据基本定义进行积分运算。）
根据式（2-12）可得，
z
Mx Ix
y My Iy
x
其中
所以，
Mx
M x M y I xy / I y
1
I
2 xy
/(I x I
y
)
2.29M x
My
M y M x I xy / I x
1
I
2 xy
/(I x I
y
)
0.86M x
E sin
I xy
结构力学03_概论
12 EI ij Nij 3 lij 12 EI N ji 3 ij lij 6 EI ij M ij 2 lij 6 EI M ji 2 ij lij
1.4
力法原理及其应用
1.4.1 超静定结构概念 • 静定结构是没有多余约束的几何不变体系 • 超静定结构是有多余约束的几何不变体系 • 超静定次数是超静定结构中多余约束的个数 1.4.2 力法的基本概念
• 力法考虑了静力平衡条件和变形协调条件 • 解题思路：去掉结构中的多余约束，保留多
余的约束反力，使其变为静定结构，称为原 结构的基本结构
与原结构的右端弯矩为零不符，出现了力的差 异
位移法的基本思想方法(3)
见图(c)
• 现在再让右端转动，转动时右端将有力矩发生， • 适当转动右端转角，使之发生的弯矩正好与固
端弯矩抵消，符合原结构的要求，这样就求出 了右端转角
位移法的基本思想方法(4)
• 图示双跨梁 • 在三个支座处梁
的断面均可以发 生转动
6 EI ij i 2 lij 6 EI ij 2 j lij
• (3) 由杆端挠度引起的杆端剪力、弯矩
12 EIij Nij N ji 3 lij
6 EIij M ij M ji 2 lij
对相同的弯矩，节点2、3、6、7断面有三个不同的 弯矩
• 需要列出十六个变形协调方程，才能求解
• 利用结构的对称性，可以减少一半的未知数，但仍
然太多
• 以节点转角为未知数，则仅有八个，再利用对称性，
只有四个，未知数量减少，求解也容易
• 显然，解决复杂刚架的问题，位移法比力法优越
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J xy J xy 1 1 Mx Mx My My Mx 式中，M y ； k Jy k Jx
； k 1 J J x y
2 J xy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
A xtds S y
—静矩
A
y 2tds J x
2 x A tds J y —惯性矩
A xytds J xy
—惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
a
My Jy Mx b Jx N c z A0
aJ y M y
cA0 N z
ax by c
My Jy
x
Mx N y z Jx A0
当x，y轴是任意形心轴的情况，J xy 0
正应力的计算公式为:
My Jy x Mx N y z Jx A0
Mz
z
My
Qy o
Nz
力）： —正应力
—切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。 准确地讲，M x , M y , M z , Qx , Qy , N z 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导 剖面上6个内力合力 中， M z 、 Q x 、 Q y 不引起 弯曲正应力。 正应力 壁上一点（x , y）处：M
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
Nzi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
Ai i Ai ，这时对 也就是说，只需要把元件的面积作减缩， 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy x Mx N y z Jx A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
J y 称为主形心惯性矩，且 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x ，
J xy xytds 0
A
所以：
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
bJ x M x
6.1.2 剖面坐标系及符号规定
（1）坐标系 x轴和y轴在剖面 内，z轴平行于母线 （展向）， x 、 y 、 z 构 成右手坐标系。 通常坐标原点位 于剖面上全部能够承 受正应力的面积的形 心上。
y
x
z
（2）剖面内力
M x , M y , M z , Qx , Qy , N z
y
矢量正方向与坐标轴正向 一致。
代入平衡方程
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
式中，A tds A0 —剖面面积；A ytds S x
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t2
E3 , t3
梁腹板
E4 , t4
x
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
Ei i E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
n 0
t
自由表面
剪流的概念：
n
q
q q(s) 剪流 q t ，
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
（3）应变平面分布
z ax by c
a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E(ax by c) ax by c 弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。 当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。
z
z
y
My
t
Q y ds
Nz
( x, y)
o
Qx
Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds 。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E(ax by c) ax by c