2014年高考复习文科数学试题(82)
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{2,0,2}A =-，2{|20}B x x x =--=,则A B= (A ） ∅ （B ）{}2 （C ）{}0 （D ） {}2- 考点： 交集及其运算．分析： 先解出集合B ，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答： 解：∵A={﹣2，0，2｝，B={x ｜x2﹣x ﹣2=0｝=｛﹣1，2｝,∴A ∩B=｛2}． 故选： B点评： 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键． (2）131ii+=- () (A ）12i + （B ）12i -+ (C ）1-2i （D) 1-2i - 考点： 复数代数形式的乘除运算．分析： 分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可． 解答： 解：化简可得====﹣1+2i 故选: B点评： 本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．（3）函数()f x 在0x x =处导数存在,若00:()0;:p f x q x x '==是()f x 的极值点，则() （A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 （D ） p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析： 根据可导函数的极值和导数之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 函数f(x ）=x3的导数为f'（x ）=3x2，由f ′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f （x ）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质,若x=x0是f （x)的极值点,则f ′(x0）=0成立，即必要性成立，故p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件，故选: C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．(4）设向量a ,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6,则a ·b= (）(A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D ） 5 考点： 平面向量数量积的运算．分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论． 解答： ∵|+|=，|﹣｜=， ∴分别平方得，+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4••=10﹣6=4，即•=1，故选： A点评： 本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前n 项n S = （） （A) ()1n n + （B ）()1n n - (C ）()12n n + (D ）()12n n -考点： 等差数列的性质．分析： 由题意可得a42=（a4﹣4）(a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得． 解答： 由题意可得a42=a2•a8,即a42=（a4﹣4）(a4+8),解得a4=8, ∴a1=a4﹣3×2=2,∴Sn=na1+d ，=2n+×2=n （n+1），故选： A点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．（6）如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为() (A)1727 （B ） 59 （C)1027 （D) 13考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析： 由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答： 几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力．（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为(）（A ）3 （B ）32 （C ）1 (D ）32考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析: 由题意求出底面B1DC1的面积，求出A 到底面的距离,即可求解三棱锥的体积． 解答： ∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：． 三棱锥A ﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C ．点评： 本题考查几何体的体积的求法,求解几何体的底面面积与高是解题的关键．(8)执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （) （A ）4 （B ）5 （C)6 （D ）7 考点： 程序框图．菁优网版权所有分析： 根据条件，依次运行程序,即可得到结论． 解答： 若x=t=2,则第一次循环，1≤2成立，则M=,S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=,S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D ．点评： 本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为(）（A ）8 （B)7 （C ）2 （D ）1考点： 简单线性规划．分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 解答： 作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y ，得y=﹣,平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A 时,直线y=﹣的截距最大,此时z 最大．由，得, 即A （3,2），此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B ．点评: 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法（10)设F 为抛物线2:3C y x =的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = ()（A ）303（B ）6 （C ）12 (D ）73 考点： 抛物线的简单性质．分析： 求出焦点坐标,利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得｜AB|．解答： 由y2=3x 得其焦点F （,0)，准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x ﹣)=（x ﹣)．代入抛物线方程，消去y ，得16x2﹣168x+9=0．设A （x1，y1），B(x2，y2） 则x1+x2=,所以|AB ｜=x1++x2+=++=12故答案为:12．点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1,+∞）单调递增，则k 的取值范围是() （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ (D ）[)1,+∞ 考点: 函数单调性的性质．分析： 由题意可得，当x ＞1时，f ′（x ）=k ﹣≥0，故 k ﹣1＞0，由此求得k 的范围． 解答： 函数f （x)=kx ﹣lnx 在区间（1，+∞)单调递增，∴当x ＞1时，f ′（x ）=k ﹣≥0，∴k ﹣1≥0，∴k ≥1，故选：D ．点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．（12）设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是(）（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ） 2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，考点： 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析： 根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点M （x0,1)，∴若在圆O ：x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°， 图中M ′显然不满足题意，当MN 垂直x 轴时，满足题意， ∴x0的取值范围是[﹣1，1］． 故选：A点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)(含解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题1、已知集合A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{-2}2、=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i3、函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4、设向量，满足|+|=，|-|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55、等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n-1）C．D．6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B 1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8、执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79、设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711、若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．（-∞，-1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12、设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[-1，1]B．[-，]C．[-，]D．[-，]二、填空题13、甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为__________．14、函数f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx的最大值为__________．15、偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=__________．16、数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1=__________．三、解答题17、四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19、某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20、设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21、已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．24、设函数f（x）=|x+|+|x-a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．试题解析：∵A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}={-1，2}，∴A∩B={2}．故选B2、答案：B试题分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．试题解析：化简可得====-1+2i故选：B3、答案：C试题分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．试题解析：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C4、答案：A试题分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．试题解析：∵|+|=，|-|=，∴分别平方得+2•+=10，-2•+=6，两式相减得4•=10-6=4，即•=1，故选：A．5、答案：A试题分析：由题意可得a42=（a4-4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．试题解析：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4-4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4-3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6、答案：C试题分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．试题解析：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．7、答案：C试题分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．试题解析：∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A-B1DC1的体积为：=1．故选：C．8、答案：D试题分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．试题解析：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．9、答案：B试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．试题解析：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．10、答案：C试题分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．试题解析：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=-．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x-）=（x-）．代入抛物线方程，消去y，得16x2-168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故答案为：12．11、答案：D试题分析：f′（x）=k-，由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．试题解析：f′（x）=k-，∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．12、答案：A试题分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．试题解析：由题意画出图形如图：点M（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[-1，1]．∴x故选：A．二、填空题13、答案：试题分析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．试题解析：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．14、答案：试题分析：展开两角和的正弦，合并同类项后再用两角差的正弦化简，则答案可求．试题解析：∵f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-sinφcosx=sin（x-φ）．∴f（x）的最大值为1．故答案为：1．15、答案：试题分析：根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．试题解析：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1）=3，故答案为：3．16、答案：试题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．试题解析：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=-1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，-1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．三、解答题17、答案：试题分析：（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．试题解析：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=13-12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=5-4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=-，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．18、答案：试题分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．试题解析：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．19、答案：试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．试题解析：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．20、答案：试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．试题解析：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2-c2，即c2+-a2=0，则，即2e2+3e-2=0解得e=或e=-2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（-c，-2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21、答案：试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2-6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为-2，∴f（-2）=-2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3-3x2+x+2，设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由题设知1-k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k＞0，g（x）单调递增，g（-1）=k-1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2-6x=3x（x-2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（-1）=k-1，g（0）=4，则g（x）=0在（-∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点．22、答案：试题分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．试题解析：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．23、答案：试题分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得 cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．试题解析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x-1=cosα∈[-1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．24、答案：试题分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．试题解析：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x-a|≥|（x+）-（x-a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3-a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2-5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6-a+＜5，即 a2-a-1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
2014年陕西高考文科数学试题含答案(Word版)
2014年陕西高考文科数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则MN =（ ）.[0,1]A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D【答案】 D 【解析】D N M N M 选，).1,0[∩∴),11-(),∞,0[==+=2.函数()cos(2)4f x x π=+的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 3.已知复数 Z = 2 - 1，则Z .z 的值为（ ） A.5 B.5 C.3 D.3【答案】 A【解析】A z z i z i z 选.514,2∴,-2=+=+==4.根据右边框图，对大于2的整数N ，得出数列的通项公式是（ ）.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π 【答案】 C 【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D 【答案】 B 【解析】B p 选种，的顶点共是中心到种，距离小于边长只能共有中取.52104441025==∴ 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x =（B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 B【解析】B y f x f y x f B D y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 【答案】 A 【解析】Aa a a a a a n n n n n n 选个命题全真真原命题为真，逆命题为为递减数列，，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.4}{2.11∴∴⇔<⇔<+++ 9.某公司10位员工的月工资（单位:元）为x 1，x 2，''',x 10 ，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这个10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）（A ）x ，s 2+1002 （B ）x +100, s 2+1002 （C ） x ,s 2 （D ）x +100, s 2【答案】 D 【解析】D 选不变均值也加此数，方差也样本数据加同一个数，.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ）（A ）x x x y --=232121 （B ）x x x y 3212123-+= （C ）x x y -=341 （D ）x x x y 2214123-+=【答案】 A【解析】Ab ax x x x f x x x y f f 选经计算得出也可设符合经检验只有，且），三次函数过点.))(2-()(.-21-21.3)2(1-)0(,02(),0,0(23+===′=′ 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.抛物线24y x =的准线方程为___________. 【答案】 -1x =【解析】.-1x (1,0),∴,42==准线方程焦点x y 12.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa ========x a x a x 所以， 13. 设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==，若0=⋅，则=θtan ______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 20,θcos -θ2sin ∴0).θcos -,1(),θcos ,θ2(sin 22====∙==解得即 已知f （x ）=xx+1，x≥0, f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +, 则f 2014(x)的表达式为__________.【答案】 x x20141+【解析】.20141)(,31211,21)(,2111,1)(∴)),(()(,,1)()(,20143211xxx f x x xx x xx f x x x x x x x f x f f x f x x x f x f n n +=+=+++=+=+++==+==+经观察规律，可得 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点 16. （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 （1） 省略（2）43C)sin(A 2sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a（2）.43cosB 434a 2a -4a a 2ac b -a cosB a 2b .∴2ac b ∴,,2222222222==+=+====所以，，，且成等比，c a c c b a17. （本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱BC AD ,的平面分别交四面体的棱 CA DC BD AB ,,,于点H G F E ,,,.（1）求四面体ABCD 的体积； （2）证明：四边形EFGH 是矩形.【答案】 （1） 32（2） 省略【解析】 （1）32ABCD 32122213131BCD -A .BCD -A AD ∴BCD ⊥AD DC,⊥BD Δ,ΔΔBCD -A 的体积为所以，四面体的体积所以，三棱锥的高为三棱锥面且为等腰由题知，=••••=•=AD S V RT BCD BCD （2）.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.（1）若23m n==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【答案】 （1） 22（2）m-n=y-x, 122||22||∴(2,2),∴(2,2))3,3(32)]1,2()2,1[(32)AC AB (32AC AB OP ∴32),,(),2,3(),3,2(),11(22==+====+=+=+===所以，，y x n m n m y x P C B A （2） 1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=19.（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（I ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； （II ）在样本车辆中，车主是新司机的占10％，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20％，估计在已投保车辆中，新司机赔获金额为4000元的概率。
2014年全国高考文科数学试题及答案-全国卷
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72. 已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45- 3. 不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x > 4. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．16B C ．13D5. 函数1)(1)y x =>-的反函数是（ ）A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6. 已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，，则C 的焦距等于（ ）A ．2 B． C ．4 D．12. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答） 14. 函数cos22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 18. （本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13cos 2cos ,tan 3a C c A A ==，求B.19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 1A AB C --的大小. 20.（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.21. （本小题满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.B5.D6.B7.C8.C9.A10.A11.C12.D二、填空题13. -16014.3215. 5 16.43三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年 湖北省 高考数学 试卷及解析(文科)
2014年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁U A=（）A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}2．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 4．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．85．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p26．（5分）根据如下样本数据：1x345678y 4.0 2.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0得到了回归方程=x +，则（）A ．＞0，＜0B ．＞0，＞0C ．＜0，＜0D ．＜0，＞07．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，）③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（8．（5分）设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3}B．{﹣3，﹣1，1，3}C．{2﹣，1，3}D．{﹣2﹣，1，3}210．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V ≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V ≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．12．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为．3415．（5分）如图所示，函数y=f （x ）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x ∈R ，f （x ）＞f （x ﹣1），则正实数a的取值范围为 ．16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为F=．（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时．17．（5分）已知圆O ：x 2+y 2=1和点A （﹣2，0），若定点B （b ，0）（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |=λ|MA |，则：（Ⅰ）b=；（Ⅱ）λ=．三、解答题18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．521．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．62014年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁U A=（）A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7}D．{2，5，7}【分析】根据全集U以及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，∴∁U A={2，4，7}．故选：C．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）i为虚数单位，（）2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．7【解答】解：（）2===﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R ，=x0．故选：D．【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2 B．4 C．7 D．8【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画8出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y，∴Z O=0，Z A=4，Z B=7，Z C=4，故2x+y的最大值是7，故选：C．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记9为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1=，点数之和大于5的概率记为p2=，点数之和为偶数的概率记为p3=，∴p1＜p3＜p2故选：C．10【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（5分）根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5﹣0.50.5﹣2.0﹣3.0得到了回归方程=x +，则（）A ．＞0，＜0B ．＞0，＞0C ．＜0，＜0D ．＜0，＞0【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论．【解答】解：样本平均数=5.5，=0.25，∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，故选：A．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）11A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为（）12A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求出过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y=﹣x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．【解答】解：∵a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，∴a+b=﹣，ab=0，过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y﹣a2=（x﹣a），即y=（b+a）x ﹣ab，即y=﹣x，∵双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=﹣x，∴过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线﹣=1的公共点的个数为0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）13A．{1，3}B．{﹣3，﹣1，1，3}C．{2﹣，1，3}D．{﹣2﹣，1，3}【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．1410．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V ≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V ≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据近似公式V ≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件．【分析】根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的15产品数，乙设备生产的产品总数=．【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．故答案为：1800．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键．12．（5分）若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||=．【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：设=（x，y ），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，∴，解得或．∴=（3，1），（﹣3，﹣1）．∴==（2，4）或（﹣4，2）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．1613．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=1，b=，则B=或．【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b 的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵在△ABC中，A=，a=1，b=，∴由正弦定理=得：sinB===，∵a＜b，∴A＜B，∴B=或．故答案为：或．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为40．17【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n=4，k=1，S=0满足条件k≤4，S=0+21+1=3，k=2满足条件k≤4，S=3+22+2=9，k=3满足条件k≤4，S=9+23+3=20，k=4满足条件k≤4，S=20+24+4=40，k=5不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40．故答案为：40．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题．1815．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x（0，）．∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a 的取值范围为【解答】解：由已知可得：a＞0，且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R ，f（x）＞f（x﹣1），则，解得a＜，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时19间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=．（Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为1900辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．【分析】（Ⅰ）把l带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F的最大值．（Ⅱ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可．【解答】解：（Ⅰ）F==，∵v+≥2=22，当v=11时取最小值，∴F=≤1900，故最大车流量为：1900辆/小时；（Ⅱ）F===，∵v+≥2=20，∴F≤2000，2000﹣1900=100（辆/小时）20故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时．故答案为：1900，100【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．17．（5分）已知圆O：x2+y2=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：（Ⅰ）b=﹣；（Ⅱ）λ=．【分析】（Ⅰ）利用|MB|=λ|MA|，可得（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b；（Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ．【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由|MB|=λ|MA|得（cosθ﹣b）2+sin2θ=λ2[（cosθ+2）2+sin2θ]，即﹣2bcosθ+b2+1=4λ2cosθ+5λ2对任意θ都成立，所以．又由|MB|=λ|MA|得λ＞0，且b≠﹣2，解得．解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则21∵|MB|=λ|MA|，∴（x﹣b）2+y2=λ2（x+2）2+λ2y2，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）2=λ2（1+2）2，（﹣1﹣b）2=λ2（﹣1+2）2，∴b=﹣，λ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=．故答案为：﹣，．【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．【分析】（Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值．（Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin （+t），t∈[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差．22【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣cos t﹣sin t，t∈[0，24）．∴f（8）=10﹣cos﹣sin=10﹣×（﹣）﹣=10，故实验室这一天上午8时的温度为10℃．（Ⅱ）∵f（t）=10﹣cos t﹣sin t=10﹣2sin （+t），t∈[0，24）．∴＜+t ＜，故当+t=，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12，当+t=，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题．19．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根23据不等式的解集来判断．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n ==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱24AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．【分析】（Ⅰ）要证直线BC1∥平面EFPQ，只需证BC1∥FP，且BC1⊄平面EFPQ即可，由AD1∥BC1，FP∥AD1即可证出；（Ⅱ）要证直线AC1⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC1，且PN⊥AC1即可．【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AD1，∵AD1∥BC1，且F、P分别是AD、DD1的中点，∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）连接AC、BD，B1D1，则AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD；25又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1；又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，∴MN∥B1D1，又B1D1∥BD，∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；又PN∥A1D，A1D⊥AD1，C1D1⊥平面ADD1A1，∴C1D1⊥AD1，且AD1∩C1D1=D1，∴A1D⊥平面AC1D1，∴A1D⊥AC1，∴PN⊥AC1；又PN∩MN=N，∴直线AC1⊥平面PQMN．【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空26间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题．21．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．【分析】第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可；第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=e x，y=πx的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）=得．当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，从而有ln3e＜l nπe，lneπ＜ln3π．于是，根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，27可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，∴这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由（Ⅰ）知，f（x）=在[e，+∞）上单调递减，∴即得∴综上可知，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考．2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点：（1）寻找同底的指数式或对数式；（2）分清是递增还是递减；（3）把自变量的值放到同一个单调区间上．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公28共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C 的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C 的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C 恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），29则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k ＞．即当k ∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜．即当﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k ∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；30实用文档用心整理千里之行始于足下31当k ∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）1．（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．72．（5分）已知角α 的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5 分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60 种B．70 种C．75 种D．150 种8．（5 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5 分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．412．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)13．（5 分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是．15．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=x+4y 的最大值为．16．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），则l1 与l2 的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10 分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（I）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（II）求{a n}的通项公式．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（I）证明：AC1⊥A1B；（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（I）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；（II）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（I）求C 的方程；（II）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）1．（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M 与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N 中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5 分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5 分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F，连接EF，则∠CEF 为异面直线CE 与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD 中点F，连接EF，CF，∵E 为AB 的中点，∴EF∥DB，则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角，∵ABCD 为正四面体，E，F 分别为AB，AD 的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF 中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y 的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，、 故选：D ．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为 60°，则（2﹣）•=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】5A ：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得， =1×1×cos60°=， =1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【专题】5O ：排列组合．【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中 选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法， 则不同的选法共有 15×5=75 种；故选：C ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，即3，12，S6﹣15 成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5 分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2 的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4 ，则C 的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B 的周长为4 ，求出a= ，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B 的周长为4，∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO1 上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5 分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y= ，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0 的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)13．（5 分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160 ．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x 的系数为3，可得r=3，将r=3 代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．66 r+1 6【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T =C r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）r•2r•C r x6﹣r，令6﹣r=3 可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C3x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1 ﹣2sin2x+2sinx= ，结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件．15．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=x+4y 的最大值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），则l1 与l2 的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ== ，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ== =，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10 分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（I）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（II）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2 变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n 并令n 从1 开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2 得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n 得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2 的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n 得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（I）证明：AC1⊥A1B；（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E 为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E 为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C 为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F 为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，由AD==1 可知D 为AC 中点，∴DF==，∴tan∠A1FD== ，∴二面角A1﹣AB﹣C 的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（I）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；（II）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k 的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a 的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0 且f′（2）≥0，即可求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1 时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R 上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1 且a≠0 时，△＞0，f′（x）=0 方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1 时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0 时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0 且f′（2）≥0，解得﹣，a 的取值范围[ ）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（I）求C 的方程；（II）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p 的值，可得C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m 的值，可得直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C 的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点F（1，0），设l 的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB 的中点坐标为 D （2m2+1 ，2m ），弦长|AB|= |y1 ﹣y2|= =4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3 ﹣y4|=，∵MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2= MN2，∴4（m2+1）2+ + =×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l 的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．55．（5分）等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．16．（5分）数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x）=0：q：x=x是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{an }的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C． D．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn =na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3 B．C．1 D．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[﹣1，1]．∴x故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sinφcosx 的最大值为 1 ． 【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值． 【解答】解：函数f （x ）=sin （x+φ）﹣2sinφcosx =sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx =sinxcosφ﹣sinφcosx =sin （x ﹣φ）≤1． 所以函数的最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，f （3）=3，则f （﹣1）= 3 ．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f （x+4）=f （x ），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称， 所以f （2+x ）=f （2﹣x ）=f （x ﹣2）， 即f （x+4）=f （x ），则f （﹣1）=f （﹣1+4）=f （3）=3，法2：因为函数y=f （x ）的图象关于直线x=2对称， 所以f （1）=f （3）=3， 因为f （x ）是偶函数， 所以f （﹣1）=f （1）=3， 故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f （x+4）=f （x ）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1=．【分析】根据a 8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a 7，再依次求出a 6，a 5的结果，发现规律，求出a 1的值．【解答】解：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA 以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c 的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g （0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年四川省高考数学试卷(文科)(含解析版)
2014年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A ∩B=（）A ．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A．3B．2C．D．15．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）第 1 页共 27 页 1A．0B．1C．2D．37．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B ，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC 等于（）A．m B．m C．m D．m 9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y ），则|PA |+|PB|的取值范围是（）A ．[，2]B ．[，2]C．[，4]D．[2，4] 10．（5分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）2第 2 页共 27 页A．2B．3C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣y2=1的离心率等于．12．（5分）复数=．13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f （x）=，则f（）=．14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=．15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；第 3 页共 27 页 3（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b 、c 不完全相同”的概率．17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4第 4 页共 27 页19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n ，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．第 5 页共 27 页 521．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．6第 6 页共 27 页2014年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选：D．【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．2．（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本【考点】BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．第 7 页共 27 页7【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，故选：A ．【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题．3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）A．3B．2C．D．18第 8 页共 27 页【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，底面为等边三角形，边长为2，∴三棱锥的体积V=××2××=1．故选：D．【点评】本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．5．（5分）若a＞b ＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D ．＜【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，∴C、D不正确；=﹣3，=﹣∴A不正确，B正确．第 9 页共 27 页9解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a ＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【考点】7C：简单线性规划；E9：程序框图的三种基本逻辑结构的应用．10第 10 页共 27 页【专题】5K：算法和程序框图．【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．7．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．第 11 页共 27 页11【解答】解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC 中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．12第 12 页共 27 页故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB |的取值范围是（）A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]【考点】5A：函数最值的应用；IM：两条直线的交点坐标．【专题】5B：直线与圆．【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，第 13 页共 27 页13第 14 页 共 27 页14 ∴2sin （θ+）∈[，2]，故选：B ．【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．（5分）已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，•=2（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．D ． 【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB 的方程为：x=ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0），由⇒y 2﹣ty ﹣m=0，根据韦达定理有y 1•y 2=﹣m ， ∵•=2，∴x 1•x 2+y 1•y 2=2， 结合及，得， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1＞0，又，∴S △ABO +S △AFO ═×2×（y 1﹣y 2）+×y 1，=．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）双曲线﹣y2=1的离心率等于．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，则c2=a2+b2=4+1=5，第 15 页共 27 页15则a=2，c=，即双曲线的离心率e==，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）复数=﹣2i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．【解答】解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f （x）=，则f（）=1．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．16第 16 页共 27 页【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R ），且与的夹角等于与的夹角，则m=2．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m ∈R），∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．，=2．∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴，化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的第 17 页共 27 页17值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2H：全称量词和全称命题；2I：存在量词和特称命题；2K：命题的真假判断与应用；34：函数的值域．【专题】23：新定义；3A：极限思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g （x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．18第 18 页共 27 页则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f （x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c 的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，第 19 页共 27 页19故“抽取的卡片上的数字a，b ，c完全相同”的概率为=，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z ，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin （α+），又f （）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin （3x +），令2kπ﹣≤3x +≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）20第 20 页共 27 页即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）先证明AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形MDEO为平行四边形即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，第 21 页共 27 页21∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC 1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO，∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC，∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{b n}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n2}的前n项和S n．22第 22 页共 27 页【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b n =＞0，当n≥1时，===2d，∴数列{b n }为首项是，公比为2d的等比数列；（Ⅱ）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n ，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；第 23 页共 27 页23（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF=﹣m，由于TF⊥PQ ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y 1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P （x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．24第 24 页共 27 页∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．【考点】51：函数的零点；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．第 25 页共 27 页25【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b ，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x ﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x ）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a ≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则=，∴．由＞0⇒x 26第 26 页共 27 页＜∴h （x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，==＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，再证明此时f（x）min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）=g（x）=e x﹣2ax﹣b=0，故有e x=2ax+b且f（1）=0知e﹣1=a+b，则f（x）min=2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1=﹣ax2+（3a +1﹣e）x+e﹣a﹣2，开口向下，最大值（5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a=1时取最大）=e2﹣4e+3＜0，故f（x）min＜0，故e﹣2＜a＜1．【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．第 27 页共 27 页27。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）（2014•新课标Ⅰ）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设z＝+i，则|z|＝（）A．B．C．D．24．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为2，则实数a＝（）A．2B．C．D．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•新课标Ⅰ）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos（2x+），④y ＝tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）（2014•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．10．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，则x0＝（）A．1B．2C．4D．811．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）（2014•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）（2014•新课标Ⅰ）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）（2014•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l 与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）（2014•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年年全国高考文科数学试题(卷)与答案解析
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
【推荐】2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={|2﹣﹣2=0}，则A ∩B=（ ） A ．∅ B ．{2} C ．{0} D ．{﹣2} 2．（5分）=（ ） A ．1+2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．﹣1﹣2i3．（5分）函数f （）在=0处导数存在，若p ：f ′（0）=0：q ：=0是f （）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．55．（5分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．n （n+1）B ．n （n ﹣1）C ．D ．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，则三棱锥A ﹣B 1DC 1的体积为（ ） A ．3 B ． C ．1D ．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，t 均为2，则输出的S=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．（5分）设，y满足约束条件，则=+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．711．（5分）若函数f（）=﹣ln 在区间（1，+∞）单调递增，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（，1），若在圆O：2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（）=sin（+φ）﹣2sinφcos的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（）的图象关于直线=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．16．（5分）数列{an }满足an+1=，a8=2，则a1= ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ； （Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P ﹣ABD 的体积V=，求A 到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．21．（12分）已知函数f （）=3﹣32+a+2，曲线y=f （）在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当＜1时，曲线y=f（）与直线y=﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（）=|+|+|﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={|2﹣﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2} C．{0} D．{﹣2}【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={|2﹣﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（）在=0处导数存在，若p：f′（）=0：q：=是f（）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f （）=3的导数为f'（）=32，由f ′（0）=0，得0=0，但此时函数f （）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若=0是f （）的极值点，则f ′（0）=0成立，即必要性成立，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件， 故选：C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4， 即•=1， 故选：A ．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n =（ ）A ．n （n+1）B ．n （n ﹣1）C ．D ．【分析】由题意可得a 42=（a 4﹣4）（a 4+8），解得a 4可得a 1，代入求和公式可得． 【解答】解：由题意可得a 42=a 2•a 8， 即a 42=（a 4﹣4）（a 4+8）， 解得a 4=8， ∴a 1=a 4﹣3×2=2， ∴S n =na 1+d ， =2n+×2=n （n+1），故选：A ．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为：=．故选：C ．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 中点，则三棱锥A ﹣B 1DC 1的体积为（ ） A ．3 B ． C ．1D ．【分析】由题意求出底面B 1DC 1的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC中点，∴底面B 1DC 1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：． 三棱锥A ﹣B 1DC 1的体积为：=1．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，t 均为2，则输出的S=（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设，y满足约束条件，则=+2y的最大值为（）A．8 B．7 C．2 D．1【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由=+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时最大．由，得，即A（3，2），此时的最大值为=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3得其焦点F（，0），准线方程为=﹣．则过抛物线y2=3的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（﹣）=（﹣）．代入抛物线方程，消去y ，得162﹣168+9=0．设A （1，y 1），B （2，y 2）则1+2=，所以|AB|=1++2+=++=12 故选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f （）=﹣ln 在区间（1，+∞）单调递增，则的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[2，+∞）D ．[1，+∞）【分析】求出导函数f ′（），由于函数f （）=﹣ln 在区间（1，+∞）单调递增，可得f ′（）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f ′（）=﹣，∵函数f （）=﹣ln 在区间（1，+∞）单调递增，∴f ′（）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． ∴≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴≥1．∴的取值范围是：[1，+∞）．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（，1），若在圆O：2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，的取值范围是（）则A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（，1），要使圆O：2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，的取值范围是[﹣1，1]．∴故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（）=sin（+φ）﹣2sinφcos的最大值为 1 ．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（）=sin（+φ）﹣2sinφcos=sincosφ+sinφcos﹣2sinφcos=sincosφ﹣sinφcos=sin（﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（）的图象关于直线=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3 ．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（+4）=f（），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（）的图象关于直线=2对称，所以f（2+）=f（2﹣）=f（﹣2），即f（+4）=f（），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（）的图象关于直线=2对称，所以f （1）=f （3）=3，因为f （）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f （+4）=f （）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n }满足a n+1=，a 8=2，则a 1= ．【分析】根据a 8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a 7，再依次求出a 6，a 5的结果，发现规律，求出a 1的值．【解答】解：由题意得，a n+1=，a 8=2，令n=7代入上式得，a 8=，解得a 7=； 令n=6代入得，a 7=，解得a 6=﹣1； 令n=5代入得，a 6=，解得a 5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a 1= 故答案为：． 【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n 具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C 的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC 的距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH ⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16， （Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率；（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与轴垂直， ∴M 的横坐标为c ，当=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为，即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2，即c 2+﹣a 2=0， 则， 即2e 2+3e ﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点，设M （c ，y ），（y ＞0），则，即，解得y=，∵OD 是△MF 1F 2的中位线， ∴=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，则|MF 1|=4|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|， 即设N （1，y 1），由题意知y 1＜0，则（﹣c ，﹣2）=2（1+c ，y 1）． 即，即 代入椭圆方程得， 将b 2=4a 代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f （）=3﹣32+a+2，曲线y=f （）在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当＜1时，曲线y=f （）与直线y=﹣2只有一个交点．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a ；（Ⅱ）构造函数g （）=f （）﹣+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f ′（）=32﹣6+a ；f ′（0）=a ；则y=f （）在点（0，2）处的切线方程为y=a+2，∵切线与轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（）=3﹣32++2，设g（）=f（）﹣+2=3﹣32+（1﹣）+4，由题设知1﹣＞0，当≤0时，g′（）=32﹣6+1﹣＞0，g（）单调递增，g（﹣1）=﹣1，g（0）=4，当＞0时，令h（）=3﹣32+4，则g（）=h（）+（1﹣）＞h（）．则h′（）=32﹣6=3（﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在=2时，h（）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=﹣1，g（0）=4，则g（）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（）＞h（）≥h（2）=0，∴g（）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当＜1时，曲线y=f（）与直线y=﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcos θ，可得C的普通方程为（﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（）=|+|+|﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（）=|+|+|﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（）=|+|+|﹣a|≥|（+）﹣（﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标A
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =I （ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+A. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203 B.72 C.165 D.158（10） 已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()1 13,1,,1,xe xf xx x-⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x≤成立的x的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角60MAN∠=︒，C点的仰角45CAB∠=︒以及75MAC∠=︒；从C点测得60MCA∠=︒.已知山高100BC m=，则山高MN=________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知{}n a是递增的等差数列，2a，4a是方程2560x x-+=的根。
2014高考真题文科数学
2014高考真题文科数学2014年的高考真题文科数学试题涵盖了很多不同的知识点，考查了学生的逻辑推理能力和解题技巧。
下面将对2014年的高考真题文科数学进行详细的解析和分析。
本次数学试题一共有三大部分，分别是选择题、填空题和解答题。
选择题主要考察学生对基础知识的掌握情况，填空题则需要学生结合所学知识进行运算和推理，解答题则要求学生在解决实际问题的过程中运用所学知识进行分析和论证。
在选择题部分，主要考查了学生对基本数学概念和运算规则的掌握情况。
例如，第一题要求学生计算一个多项式的值，考查了学生对多项式运算的熟练程度；第二题则考察了学生对数列的概念和性质的理解。
这些问题旨在检测学生对基础知识的掌握情况，是对学生基础能力的一个综合考察。
接下来是填空题部分，这部分试题主要考察了学生解决实际问题的能力。
例如，第六题要求学生求解一个不等式方程，需要学生结合方程的性质和解题技巧进行分析和运算；第七题则考察了学生对几何图形的认识和理解，要求学生计算一个三角形的面积。
这些问题考查了学生的逻辑推理能力和解题技巧，是对学生实际运用知识进行分析和推理的一个考察。
最后是解答题部分，这部分试题主要考察了学生在解决实际问题的过程中如何运用所学知识进行论证和推理。
例如，第十一题要求学生证明一个不等式，需要学生结合不等式的性质和推导过程进行论证；第十二题则考察了学生对概率的理解，要求学生计算一个事件的概率。
这些问题考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，是对学生综合运用知识进行分析和推理的一个考察。
综上所述，2014年的高考真题文科数学试题涵盖了很多不同的知识点，考查了学生的逻辑推理能力和解题技巧。
通过仔细分析和解答这些试题，可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题能力，为高考取得更好的成绩打下扎实的基础。
希望广大考生能认真对待数学学习，不断提升自己的解题水平，取得优异的成绩。
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2014年高考复习文科数学试题（82）宝安中学、潮阳一中、普宁二中、南海中学、仲元中学、中山一中本试卷分选择题和非选择题两部分，共 2 页，20题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管．第一部分 （选择题 满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，若复数(,)1ia bi ab R i=+∈+，则b 的值是（ ﹡ ）A ．1B ．-1C ．12D ．12-2．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x|0＜x ＜5，x ∈R}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的( ﹡ )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 3．已知函数2()43f x x x =-+，若存在12,[,]x x a b ∈使得12x x <，且12()()f x f x >，则以下对实数a 、b 的描述正确的是（ ﹡ ） A ．2a < B ．2a ≥ C ．2b ≤ D ．2b ≥4．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于(﹡)A ．18B ．24C ．60D ．905．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ﹡ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．),21[+∞-D ．)1,21[-6.函数sinsin cos cos 3232x xy ππ=-在一个周期内的图象是（ ﹡ ）7．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则（ ﹡ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<8. 已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数， 给出结论：①21a a <与32a a >可能同时成立；②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b ．其中正确的是（ ﹡ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -. 将函数sin 23()cos 21x f x x=的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ﹡ ） A ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭ 10．若x xx f a b ln )(,3=>>，则下列各结论中正确的是（ ﹡ ）A ．)()2()(ab f b a f a f <+< B ．)()()2(ab f b f ba f <<+ C ．)()2()(a f b a f ab f <+< D ．)()2()(ab f ba fb f <+<第二部分 （非选择题 满分100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：2)1(-=f 625.0)5.1(=f 984.0)25.1(-=f 260.0)375.1(-=f162.0)4375.1(=f054.0)40625.1(-=f那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到1.0）为 ﹡ ．12. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ﹡ ．13.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒尖位置P （x ，y ），其初始位置为P 0（1，3），当秒针从P 0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ﹡ ．14．在数列{}n a 中，若22*1(2,,)n n a a p n n N p --=≥∈为常数，则{}n a 称为“等 方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 是等差数列；②{(1)}n-是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是等方差数 列． 其中正确命题序号为 ﹡ ．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本小题满分12分）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是 坐标原点，6AOP π∠=，,[0,)AOQ ααπ∠=∈．（1）若34(,)55Q ，求cos()6πα-的值；（2）设函数()f OP OQ α=∙，求()f α的值域．16．（本小题满分14分）某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 2，五合板1m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． （1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？ （2）怎样安排生产可使所得利润最大？17．（本小题满分12分）如图某市现有自市中心O 通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线段，要求AB 路段与市中心O 的距离为10 km ，且使A 、B 间的距离|AB |最小．请你确定A 、B 两点的最佳位置．18．（本小题满分14分）已知x ＝4是函数f （x ）＝a ln x ＋x 2－12x+11的一个极值点． （1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间；（3）若直线y ＝b 与函数y ＝f （x ）的图象有3个交点，求b 的取值范围．19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-= （1）求123,,a a a 的值；（2）求证：数列{1}n a -是等比数列；（3）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知()22(0)bf x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：11111ln(21)3521221n n n n ++++>++-+…（*n N ∈）参考答案一、选择题：（每小题5分，共50分）CAACD ACBBD二、填空题:（每小题5分，共20分）11． （1.4） 12.153 13. 2sin 303y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（本题答案不唯一）14．①②③ 三、解答题：15、（1）由已知可得54sin ,53cos ==αα6s i n s i n 6c o s c o s 6c o s παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴ 1043321542353+=⨯+⨯= …………………………………………………4分 （2） ()f OP OQ α=⋅ ()c o s ,s i n c o s ,s i n 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ …………………6分 ααs i n 21c o s 23+=sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………………………………………………………… 8分 [0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈…………………………………9分3s i n 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ ……………………………………………………………11分()αf ∴的值域是3,12⎛⎤-⎥ ⎝⎦………………………………………………12分16、由题意可画表格如下：方木料（m 3）五合板（m 2）利润（元）书桌（个） 0.1 2 80 书橱（个）0.21120…………………………………………………………………2分（1）设只生产书桌x 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x∴⎩⎨⎧x ≤900x ≤300 ∴x ≤300. …………………………4分所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24000（元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．………………………………………6分（2）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元． 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y . …………………………………………………8分 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． …………………………………………10分 作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ， 此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．………………………………12分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为（100,400）． ∴当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000（元）．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．……………14分17、如图，令|OA |＝a ，|OB |＝b ，则在△AOB 中，∠AOB ＝120°. ……………2分∴12|OC ||AB |＝12ab sin120°. ∴|AB |＝320ab. ① ……………………………………4分 又由余弦定理，|AB |＝a 2＋b 2－2ab cos120°=a 2＋b 2－ab ≥2ab ＋ab ＝3ab ，（当a ＝b 时取等号．） ② ……………6分由①②知3a 2b2400≥3ab .∵ab ＞0，∴ab ≥400 ③ ………………………8分③代入①得|AB |＝3ab20≥203．当a ＝b 时|AB |取得最小值．……………………………10分 而a ＝b 时，△AOB 为等腰三角形， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. ∴a ＝b ＝20.∴A 、B 两点的最佳位置是距市中心O 均为20km 处. ………………12分18、（1）∵f ′（x ）＝ax＋2x －12，∴f ′（4）＝a4＋8－12＝0因此a ＝16 ………………………………………………3分 （2）由（1）知，f （x ）＝16ln x ＋x 2－12x ＋11，x ∈（0，＋∞）f ′(x )＝2(x 2－6x ＋8)x…………………………5分当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＞0当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0………………………………7分 所以f (x )的单调增区间是(0,2)，(4，＋∞)f (x )的单凋减区间是(2,4) …………………………8分(3)由(2)知，f (x )在(0,2)内单调增加，在(2,4)内单调减少，在(4，＋∞)上单调增加，且当x ＝2或x ＝4时，f ′(x )＝0所以f (x )的极大值为f (2)＝16ln2－9，极小值为f (4)＝32ln2－21 因此f (16)＝16ln16+162－12×16+11＞16ln2－9＝f (2)f (e －2)＜－32＋11＝－21＜f (4)所以在f(x)的三个单调区间(0,2)，(2,4) ，(4，＋∞)内，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (4)＜b ＜f (2)成立………………………………………13分因此，b 的取值范围为（32 ln2－21,16ln2－9）． ………………………………14分19、（I ）123137,,248a a a === ……………………………3分（II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ①123111nn na a a a a n a +++++++=+- ② ……5分②-①可得121n n a a +-=即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=- ……………7分 ∴数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列 …………8分 （Ⅲ）由（II ）可得11()2nn a =-， 22n n n b -= ………………9分由111112212(2)302222n nn n n n n n n n nb b +++++-------=-==>可得3n < …………11分 由10n n b b +-<可得3n >,所以 12345n b b b b b b <<=>>>>故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ ………………………………12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-， 解得12t ≥或14t ≤-∴实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞ ，） …………………………14分 20、（1）2)(x b a x f -='，根据题意2)1(=-='b a f ，即2-=a b …………………………………3分（2）由（Ⅰ）知，a x a ax x f 222)(-+-+=，………………………4分令x x f x g ln 2)()(-=x a xa ax ln 2222--+-+=，[)1,x ∈+∞则0)1(=g ，x x a a x g 22)(2---='=2)2)(1(x a ax x a ---………………5分①当10<<a 时，12>-aa，若21a x a -<<，则'()0g x <，()g x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，存在()(1)0g x g <=，即()2ln f x x ≥在[1,)+∞上不恒成立． …………………6分②1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =，∴()(1)0g x g ≥=，∴()2ln f x x ≥恒成立． ………………7分 综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ……………………………………8分 （3）有（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x x x ln 21≥-…………9分令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1212ln212121212-+>+---+n n n n n n ， 即1212ln2)1221(1221-+>+---+n n n n …………………………………10分 ∴)121121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n……………………………11分 上式中令n=1，2，3，…，n ，并注意到：21ln ln(21)ln(21)21n n n n +=+---然后n 个不等式相加得到11111ln(21)3521221nn n n ++++>++-+……………14分。