2019届河北省中考系统复习：第10讲第2课时一次函数的实际应用

第2课时 一次函数的实际应用命题点 一次函数的实际应用1．(2015·河北T23·10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y 毫米．(1)只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式(不必写出x 大的范围)； (2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小． ①求y 与x 小的函数关系式(不必写出x 小的范围)； ②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？解：(1)y ＝4x 大＋210.(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234， ∴y ＝3x 小＋234.②依题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823.∵x 小为自然数，∴x 小最大为8，即最多能放入8个小球．2．(2016·河北T24·10分)某商店通过调低价格的方式促销n 个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系，如下表：已知这n 个玩具调整后的单价都大于2元．(1)求y 与x 的函数关系式，并确定x 的取值范围；(2)某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？(3)这n 个玩具调整前、后的平均单价分别为x ，y ，猜想y 与x 的关系式，并写出推导过程．解：(1)设y ＝kx ＋b ，1分依题意，得x ＝6，y ＝4；x ＝72，y ＝59.∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝6k ＋b ，59＝72k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝56，b ＝－1.∴y ＝56x －1.3分依题意，得56x －1＞2，解得x ＞185.∴x 的取值范围为x ＞185.5分(2)将x ＝108代入y ＝56x －1，得y ＝56×108－1＝89，∴108－89＝19(元).6分 ∴顾客购买这个玩具省了19元.7分 (3)y ＝56x －1.8分推导过程如下：由(1)，得y 1＝56x 1－1，y 2＝56x 2－1，…，y n ＝56x n －1，∴y ＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n )＝1n [(56x 1－1)＋(56x 2－1)＋…＋(56x n －1)]＝1n [56(x 1＋x 2＋…＋x n )－n]＝56×x 1＋x 2＋…＋x n n －1＝56x －1.10分3．(2011·河北T24·9分)已知A ，B 两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x 吨保鲜品一次性由A 地运往B 地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)，上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：货运收费项目及收费标准表图1 图2(1)汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y 汽(元)和y 火(元)，分别求y 汽，y 火与x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)及x 为何值时，y 汽＞y 火；(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？解：(2)依题意，得y 汽＝240×2x ＋24060×5x ＋200＝500x ＋200，y 火＝240×1.6x ＋240100×5x ＋2 280＝396x ＋2 280.若y 汽 >y 火，则500x ＋200>396x ＋2 280，∴x>20.(3)上周货运量x ＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21(吨)>20吨． 从平均数分析，建议预定火车费用较省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.重难点1 一次函数的图象信息题(2018·咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】首先注意，y表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到3个确定的点(0，0)，(4，240)，(16，0)．点(4，240)的实际意义就是，甲4分钟步行了240米；(16，0)的实际意义是甲步行16分钟时，两人距离为0，即乙追上了甲，所以乙12分钟追上甲；同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等；乙走完全程时，甲走了34分钟，走了2 040米，距离终点360米．【变式训练1】(2018·丽水)某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是(D)A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱方法指导解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决”的过程．其中最重要的环节是利用数形结合思想解读函数图象，其方法是：(1)明确“两坐标轴”所表示的意义；(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；(3)弄清上升线和下降线所表示的意义．易错提示注意，y表示的是两人之间的距离．重难点2 一次函数的实际应用(2018·梧州)我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．(1)求A，B两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A型电动自行车每辆售价为2 800元，B型电动自行车每辆售价为3 500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？【思路点拨】(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，(x＋500)元，构建分式方程即可解决问题；(2)根据总利润＝A型的利润＋B型的利润，列出函数关系式即可；(3)利用一次函数的性质即可解决问题．【自主解答】 解：(1)设A ，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为x 元，(x ＋500)元．由题意，得50 000x ＝60 000x ＋500，解得x ＝2 500. 经检验，x ＝2 500是分式方程的解．答：A ，B 两种型号电动自行车的进货单价分别为2 500元，3 000元． (2)y ＝300m ＋500(30－m)＝－200m ＋15 000. (3)∵2 500m ＋3 000(30－m)≤80 000，∴m ≥20. ∵m ≤30，∴20≤m ≤30. y ＝－200m ＋15 000， ∵－200＜0，20≤m ≤30，∴m ＝20时，y 有最大值，最大值为11 000元．【变式训练2】(2017·临沂改编)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m 3)之间的关系如图所示．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)按照新标准，用户A 一个月用水10 m 3，需缴纳水费多少元？用户B 一个月缴纳水费51元，用水量是多少？(3)若某用户二、三月份共用水40 m 3(二月份用水量不超过25 m 3)，缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？解：(1)当0≤x ≤15时，设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ，则 15k ＝27，解得k ＝1.8. ∴y ＝1.8x.当x ＞15时，设y 与x 的函数解析式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15a ＋b ＝27，20a ＋b ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.4，b ＝－9. ∴y ＝2.4x －9.综上，y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.8x （0≤x ≤15），2.4x －9（x ＞15）.(2)当x ＝10时，y ＝1.8×10＝18.由题意，得51＝2.4x －9，解得x ＝25.答：用户A 需缴纳水费18元，用户B 的用水量是25 m 3.(3)设二月份的用水量是x m 3，当15＜x ≤25时，2.4x －9＋2.4(40－x)－9＝79.8， 方程无解． 当0＜x ≤15时，1.8x ＋2.4(40－x)－9＝79.8，解得x ＝12. ∴40－x ＝28.答：该用户二、三月份的用水量各是12 m 3，28 m 3. 方法指导1．根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，本题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式．2．一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值．易错提示1．解分式方程注意要检验．2．注意“某商店计划最多投入8万元购进A ，B 两种型号的电动自行车共30辆”，是用来求自变量取值范围的．1．若弹簧的总长度y(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是(B)A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm2．(2017·德州)公式L ＝L 0＋KP 表示当重力为P 的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 0代表弹簧的初始长度，用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米(cm)表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)A ．L ＝10＋0.5PB ．L ＝10＋5PC ．L ＝80＋0.5PD ．L ＝80＋5P3．(2018·河北二模)超市有A ，B 两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满，且无剩油)；当日促销活动：购买A 型瓶3个或以上，一次性返还现金5元．设购买A 型瓶x(个)，所需总费用为y(元)，则下列说法不一定成立的是(C)A.购买B 型瓶的个数是(5－23x)为正整数时的值B ．购买A 型瓶最多为6个C ．y 与x 之间的函数关系式为y ＝x ＋30D ．小张买瓶子的最少费用是28元4．(2017·唐山路北区模拟)甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y(吨)与清雪时间x(时)之间的函数图象如图所示．(1)乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨； (2)求此次任务的清雪总量m ；(3)求乙队调离后y 与x 之间的函数关系式．解：(2)乙队调离之前，甲、乙两队每小时的清雪总量为2703＝90(吨)，乙队每小时清雪50吨，∴甲队每小时清雪量为90－50＝40(吨)． ∴m ＝270＋40×3＝390.∴此次任务的清雪总量为390吨．(3)由(2)可知，点B 的坐标为(6，390)，设乙队调离后y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． ∵图象经过点A(3，270)，B(6，390)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝270，6k ＋b ＝390，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝40，b ＝150. ∴乙队调离后y 与x 之间的函数关系式为y ＝40x ＋150.5．(2018·河北模拟)石家庄市为积极响应中央文明办关于创建全国文明城市的通知，积极组织运输队清理城市垃圾．某运输公司承担了某标段的垃圾运输任务，派出大、小两种型号的垃圾运输车，已知1辆大型垃圾运输车和2辆小型垃圾运输车每次共运20吨，2辆大型垃圾运输车和5辆小型垃圾运输车每次共运45吨．(1)1辆大型垃圾运输车和1辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨？(2)该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共30辆参与垃圾运输任务，已知1辆大型垃圾运输车运输花费是500元/次，1辆小型垃圾运输车运输花费是300元/次．若每次运输垃圾总量不少于199吨，则每次运输的运费最少是多少？解：(1)设1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾x 吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾y 吨，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝20，2x ＋5y ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝5. 答：1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾10吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾5吨． (2)设派出大型垃圾运输车a 辆，则派出小型垃圾运输车(30－a)辆，根据题意，可得 10a ＋5(30－a)≥199，解得a ≥9.8.设运输总花费为W 元，则W ＝500a ＋300(30－a)＝200a ＋9 000. ∵200>0，∴W 随a 的增大而增大． 又∵a ≥9.8，且a 为整数，∴当a ＝10时，W 取得最小值，最小值为200×10＋9 000＝11 000(元)． 答：每次运输的运费最少是11 000元．6．(2018·唐山乐亭县二模)某新建小区要修一条1 050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程，经了解得到下表所示信息：(1)＝35天，乙队每天修路的长度＝50米；(2)甲队先修了x 米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程(其中x ，y 为正整数)． ①当x ＝90时，求出乙队修路的天数；②求y 与x 之间的函数关系式(不用写出x 的取值范围)； ③若总费用不超过22 800元，求甲队至少先修了多少米？ 解：(2)①乙队修路的天数为1 050－9030＋50＝12(天)．②由题意，得x ＋(30＋50)y ＝1 050. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x 80＋1058.③由题意，得600×x30＋(600＋1 160)y ≤22 800.∴20x ＋1 760×1 050－x80≤22 800，解得x ≥150.又∵y 为正整数，∴x 至少取170米．答：若总费用不超过22 800元，则甲队至少先修了170米．7．(2018·南京)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16 min 回到家中．设小明出发第t min 时的速度为v m/min ，离家的距离为s m ，v 与t 之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点)．(1)小明出发第2 min 时离家的距离为200m ； (2)当2＜t ≤5时，求s 与t 之间的函数解析式； (3)画出s 与t 之间的函数图象．解：(2)当2＜t ≤5时，s ＝100×2＋160(t －2)＝160t －120. ∴s 与t 之间的函数解析式为s ＝160t －120. (3)s 与t 之间的函数关系式为 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧100t （0≤t ≤2），160t －120（2<t ≤5），80t ＋280（5<t ≤6.25），1 280－80t （6.25<t ≤16）.如图所示：8．(2018·重庆A 卷)A ，B 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A 地出发到B 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达B 地．甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B 地还有90千米．9．(2018·广西)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a 元/吨(10≤a ≤30)，从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m 吨原料到工厂，请求出总运费W 关于m 的函数解析式(不要求写出m 的取值范围)；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明：随着m 的增大，W 的变化情况． 解：(1)设甲仓库存放原料x 吨，乙仓库存放原料y 吨，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝450，（1－0.4）y －（1－0.6）x ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝240，y ＝210. 答：甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨．(2)由题意，从甲仓库运m 吨原料到工厂，则从乙仓库运(300－m)吨原料到工厂， 总运费W ＝(120－a)m ＋100(300－m)＝(20－a)m ＋30 000.(3)①当10≤a ＜20时，20－a ＞0，由一次函数的性质，得W 随m 的增大而增大； ②当a ＝20时，20－a ＝0，W 随m 的增大没变化；③当20<a ≤30时，则20－a ＜0，W 随m 的增大而减小．10．甲、乙两地之间有一条笔直的公路L ，小明从甲地出发沿公路L 步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L 骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地，设小明与甲地的距离为y 1米，小亮与甲地的距离为y 2米，小明与小亮之间的距离为s 米，小明行走的时间为x 分钟，y 1，y 2与x 之间的函数图象如图1所示，s 与x 之间的函数图象(部分)如图2所示．(1)求小亮从乙地到甲地过程中y 2(米)与x(分钟)之间的函数关系式；(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式； (3)在图2中，补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象，并确定a 的值．图1 图2解：(1)设小亮从乙地到甲地过程中y 2与x 的函数关系式为y 2＝kx ＋b ，由图象，得⎩⎪⎨⎪⎧2 000＝b ，0＝10k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－200，b ＝2 000. ∴y 2＝－200x ＋2 000.(2)由题意得，小明的速度为2 000÷40＝50(米/分)，小亮的速度为2 000÷10＝200(米/分)． ∴小亮从甲地出发追上小明用时为24×50÷(200－50)＝8(分钟)．∴24分钟两人距离为24×50＝1 200(米)，相遇时间为24＋8＝32(分)，s ＝0，设s ＝k ′x ＋b ′，则⎩⎪⎨⎪⎧1 200＝24k ′＋b ′，0＝32k ′＋b ′.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－150，b ′＝4 800. ∴s ＝－150x ＋4 800. (3)如图所示，当0≤x ≤10时，y 1＝50x ，y 2＝－200x ＋2 000， 令y 1 ＝y 2，解得x ＝8. ∴a 的值为8.。