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故称
dFX x f X x f x, y dy dx
(3.2.5)
为 X , Y 关于 X 的边际密度函数。 同样称 fY y f x, y dx 为 X , Y 关于Y 的边际密度函数。

(3.2.6)
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例3.2.3 设 X , Y 服从单位圆上的均匀分布，试求 X , Y 的边际密度函数 解 由题知 X , Y 的联合密度函数为
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2. 二维正态分布 设二维随机变量 X , Y 具有联合概率密度函数
f x, y 1 21 2 1 2

e
2 1 2

1

x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 2 2 2 2 1 2 1
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分布函数 F x, y 的性质：
（1）单调不减性： 是变量 X 和 Y 的单调 F x, y 不减函数 （2）有界性： 0 F x, y 1 ，且 x, y ，有 F x, 0 ， F , y 0， F , 0， F , 1 。 F x, y （3）右连续性： 是变量 x 和 y 的右连续函 数，即 F x 0, y F x, y , F x, y 0 F x, y 。 （4）非负性：对于任意 a b, c d，下式成立：
(3)
P X Y
x y 1
x y
e
x y
dxdy 0
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4.常见的二维分布 1. 二维均匀分布 设 D 是平面上的一个有界区域，其面积为 S ， 若随机变量的联合密度函数为： 1 x, y D ， f x, y S 0, 其它 就称 X , Y 服从区域 D上的均匀分布，简记为 X , Y ~ U D
表格形式为：
性质： pij 0, i, j 1,2, （1）非负性： （2）规范性： pij 1
F x, y P X x, Y y pij 联合分布函数：
xi x y j y
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例3.1.1 袋子中有5件产品（3正2次），任取 一件产品，再取一件产品，设 1, 第一次取到正品 1, 第二次取到正品 X ，Y 0，第一次取到次品 0，第二次取到次品 （1）试求有放回抽取方式下 X , Y 的联合分布列； （2）试求无放回抽取方式下 X , Y 的联合分布列. 解：（1）有放回抽取：
n
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3.二维连续型随机变量 定义3.1.4 设二维随机变量 X , Y 的分布函数为 F x, y ，若存在一个非负可积函数 f x, y ，使得对 任意实数 x, y，使得 则称 X , Y 为二维连续型随机变量，称 f x, y 为 X , Y 的联合分布密度或概率密度.
FX x P X x P X x, Y lim F x, y F x,
y
FY y lim F x, y F , y
x
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例3.2.1 设 X , Y 的分布函数为 试求（1）系数 A, B, C （2）FX x , FY y 解： （1）由联合分布函数性质知
p j PY y j i 1 pij , j 1,2,
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例3.2.2 设一个口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2. 从这 袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球. 设每次取球时， 袋中各个球被取到的可能性相同. 以 X , Y 分别记第一次、第二次取 得的球上标有的数字写出下列两种试验的随机变量（X，Y）的联合 分布与边际分布.（1）有放回摸球；（2）无放回摸球. 解 （1）采取有放回摸球时， X , Y 的联合分布与边际分布由下 表给出.
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Pa X b, c Y d F b, d F b, c F a, d F a, c 0
2、二维离散型随机变量 定义3.1.3 若二维随机变量 X , Y 的所有可 能取值是有限对或可列无穷多对，则称 X , Y 为 二维离散型随机变量. 定义3.1.4 设二维离散型随机变量 X , Y 的一 切可能取值为 xi , y j , i, j 1,2, ，且 X , Y 取各对可能 值的概率为 PX xi , Y y j pij , i, j 1,2, （3.1.3） 称式（3.1.3）为 X , Y 的（联合）概率分布或 （联合）分布列. 安庆师范大学
F x, y
x
f u, vdudv
y
n
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f x, y 的性质： (1) 非负性 f x, y 0, x, y ； (2) 正则性 f u, v dudv 1 ； (3) 设 D 为xOy平面上的任一区域，则点 X , Y 落在 D 内的概率为 D f x, y dxdy P X , Y D. (3.1.6) (4) 若 f x, y 在点x, y 处连续，则有
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（2）无放回抽取：
例3.1.2 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等 可能地取值，另一个随机变量Y在1 ~ X中等可能地 取整数值，试求 X , Y 的分布律。 解：由题意易知 X , Y 的取值为：
i 1,2,3,4. j取不大于i的正整数，且
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P( X i, Y j ) P(Y j / X i) P( X i ) 11 , i 1,2,3,4, j i i4 即
1 x
.


综合可得X 的边际密度函数为
2 2 1 x ,1 x 1 f X x 2 2 0, 其它 1 y ,1 y 1 的边际密度函数为 fY y 0, 其它
同理可得 Y
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第三节 随机变量的独立性
1 2 2 , x y 1 f x, y 0, x 2 y 2 1 f X x 0 . 所以，当x 1或者 x 1 时， 当 1 x 1，且 1 x 2 y 1 x 2 时，有 1 x 2 1 2 2 f X x dy 1 x 2
第三章 多维随机向量
第一节 二维随机向量及其分布 第二节 边际分布
n
第三节 第四节 第五节 第六节
随机变量的独立性 两个随机变量的函数的分布 条件分布 n 维随机向量及其分布
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第一节 二维随机向量及其分布 1.二维随机向量的定义及其分布函数 定义3.1.1 设 X ( )， Y ( )是定义在同一个样本空 间 上的两个随机变量，则称向量 X , Y 为 的二维随机变量，简记为 X , Y 。 定义3.1.2 设 X , Y 是二维随机变量，对任意实 数 x 和 y ，称二元函数 F x, y P X x, Y y (3.1.1) 为二维随机变量 X , Y 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数.
x y F x, y A B arctan C arctan 2 3
所以
A
1

2
,B C

2
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（2）两个边际分布函数为
1 FX x lim F x, y arctan y 2
x 2
F x, y f x, y xy
2
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例3.1.3 设二维随机变量 X , Y 的联合密度为 x y ce , x 0, y o f x, y 0, 其它 试求 (1)常数 c ,（2） P X Y 1,（3） P X Y 解 （1）由联合密度函数的正则性知 x y 1 f x, y dxdy ce dxdy k 0 0 从而 k 1 . x y 1 (2) P( X Y 1) e dxdy 1 2e


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3. 二维指数分布 设二维随机变量 X , Y 具有联合概率密度函数 e x y , x 0, y 0 f x, y 0, 其它 其中 0, 0 ， 则称 X , Y 服从参数为 , 的二 维指数分布。 例3.1.4 设（X，Y）在圆域x2+y2≤4上服从 均匀分布，求 （1） （X，Y）的概率密度； （2） P{0＜X＜1，0＜Y＜1}.
1 y FY y lim F x, y arctan x 2 3
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2.二维离散型随机变量的边际分布列 定义3.2.2 设 X , Y 是二维离散型随机变量， 分别称 X , Y 的分布列 pi P X xi , i 1,2, (3.2.3) (3.2.4) p j PY y j , j 1,2, 为 X , Y 关于 X , Y 的边际分布列. 事实上，边际分布列可通过下式表出 pi P X xi j 1 pij , i 1,2,
表给出.
(2）采取无放回摸球时， X , Y 的联合分布与边际布列 定义3.2.3 设 X , Y 是二维连续型随机变量， 联合密度函数为 f x, y ，由 X 的边际分布的定义知
FX x F x, f x, y dy dx x
x , y 其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数，且 1 0, 2 0, 1 ,则称 X , Y 服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的二维正态分 2 2 布，记作 X , Y ~ N 1 , 2 , 1 , 2 , .
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第二节 边际分布 1.边际分布函数 定义3.2.1设二维随机变量 X , Y ， X , Y 各自的分 布函数分别记为FX x 和 FY y , 则称 FX x 为 X , Y 关于 X 的边际分布函数（Marginal distribution function），称FY y 为 X , Y 关于 Y 的边际分布函 数. 依定义有
F , AB 2 C 2 1 x F x, A B arctan C 2 0 2 y F , y A B C arctan 0 2 3