辽宁省庄河市两校2018届高三数学上学期第一次联考试题文
庄河2018届高三数学上学期开学考试试题文(含解析)
辽宁省庄河市2018届高三上学期开学考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件知,.所以结果为C2. 已知复数（）的实部和虚部相等，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】令,解得故．3. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，由于，所以，应选答案A 。
4. 下列选项中说法正确的是（）A. 若，则B. 若向量满足，则与的夹角为锐角C. 命题“为真”是命题“为真”的必要条件D. “，”的否定是“，”【答案】C【解析】解：,当时，结果不对. ,当两个向量夹角为零角时，向量点积仍为大于零，所以不对., 为真则两者均为真，为真两者有一个为真即可.D,，应该为.5. 若双曲线：的左、右焦点分别是，为双曲线上一点，且，，，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】解：P为双曲线M上一点，且|PF1|=15，|PF2|=7，|F1F2|=10，由双曲线的定义可得a=4，c=5，则双曲线的离心率为：e==．点睛：利用双曲线的定义以及双曲线的简单性质求解双曲线的离心率即可6. 等差数列中，，则（）A. 10B. 20C. 40D.【答案】D考点：等差数列性质7. 在区间上随机取一个的值，执行如下的程序框图，则输出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，，无解，∴输出的y≥3的概率为.点睛：利用分段函数，求出输出的y≥3时，x的范围，以长度为测度求出相应的概率．8. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B.C.D. 6【答案】A【解析】由三视图知，该几何体为一个边长为2的正方体截去一个底面是直角边分别为1、2的直角三角形、高为2的三棱锥，所以该几何体的体积，故选A．9. 在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知，底面为直角三角形，且，则，则球的直径，则球的表面积选C11. 函数，则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定【答案】C【解析】，令，得到，即函数在上单调递增，在上单调递减，，选C12. 如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，∴的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，∴，∴，故选B.点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键；由抛物线性质抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等可得，从而可得的周长，确定B点横坐标的范围，即可得到结论.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为________．【答案】【解析】由题可得，，故向量与的夹角为（或写成）.14. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为__________．【答案】8【解析】试题分析：当时，，则，函数是偶函数，,故选B.考点：偶函数的性质，导数的运算．15. 已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数只有一个零点，则，则，可知，又，则．故本题应填．.....................16. 设是数列的前项和，且，，则__________．【答案】【解析】解：， ,可得，可得，可得=﹣n，即有S n=﹣，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线是函数的图象的一条对称轴.（1）求函数的单调递增区间；（2）设中角所对的边分别为，若，且，求的取值范围.【答案】（1）增区间：；（2）.【解析】试题分析：（1）是函数的一条对称轴或，根据三角函数的性质，即可求出单调性；（2）可得，又，由正弦定理得：，由，即可求出结果.试题解析：（1）是函数的一条对称轴或增区间：（2）又，由正弦定理得：，即18. 学校为了了解两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：班：5、5、7、8、8、11、14、20、22、31；班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35.将上述数据作为样本.（1）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（2）分别求样本中两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（3）从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，求的概率.【答案】（1）①班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；②班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；③班数据的中位数是10，班数据的中位数是23.；（2）甲的平均数为：13.2；已的平均数为20.3；因为，所以由此估计班学生平均观看的时间较长.（3）.【解析】试题分析：（Ⅰ）按照茎叶图的规则可得茎叶图，从图中可归纳一些数据信息．（Ⅱ）由平均值公式可计算出均值；（Ⅲ）抽出的数据可组成一个数对，可用列举法得出数对个数，并能得出的数对个数，从而得概率．试题解析：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；②班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；③班数据的中位数是10，班数据的中位数是23．（Ⅱ）班样本数据的平均值为小时；班样本数据的平均值为小时．因为，所以由此估计班学生平均观看时间较长．（Ⅲ）班的样本数据中不超过11的数据有6个，分别为5,5,7,8,9,11；班的样本数据中不超过11的数据有3个，分别为3,9,11．从上述班和班的数据中各随机抽取一个，记为，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，其中的有：，，，，，，，共7种．故的概率为．19. 如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面平面，且，，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）EF∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面PAD内一直线平行，连AC，根据中位线可知EF∥PA，EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，满足定理所需条件；（2平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABCD内一直线与平面PAD 垂直，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，满足定理所需条件；（3）过P作PO⊥AD于O，从而PO⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，最后根据棱锥的体积公式求出所求即可．解：(1)如图所示，连接. ∵四边形为矩形，且为的中点,∴也是的中点. 又是的中点，,∵平面，平面.平面(2) 证明：∵平面平面，，平面平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面.(3)取的中点，连接. ∵平面平面，为等腰三角形，∴平面，即为四棱锥的高. ∵，∴. 又，∴四棱锥的体积.20. 设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：两点的横坐标之差为定值.【答案】（1）；（2）当动圆的面积最小时，即当动圆的面积最小时，两点的横坐标之差为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）由切线的性质知点到点的距离与到直线的距离相等，即点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得方程；（Ⅱ）设出直线方程为，与抛物线方程联立方程组，利用相切（判别式为0）可得斜率，点到此直线的距离就是圆的半径，变形为用基本不等式求出它的最小值，而最小值时恰好有，结论得证．试题解析：（Ⅰ）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，所以，点到点的距离与到直线的距离相等.所以，点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以圆心的轨迹方程，即曲线的方程为．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，又，所以，因为直线与曲线相切，所以，解得．所以，直线的方程为．动圆的半径即为点到直线的距离.当动圆的面积最小时，即最小，而当时；.当且仅当，即时取等号，所以当动圆的面积最小时，，即当动圆的面积最小时，、两点的横坐标之差为定值.21. 已知函数，，且函数的图象在点处的切线与直线平行.（1）求；（2）求证：当时，.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：第一问考查导数几何意义,利用，第二问证明题转化为函数最值问题，注意指对分离，利用左侧函数最小值大于右侧函数最大值．解：（1）∵，故，故，①依题意，，又，故②联立①②解得，（2）证明：要证，即证令∴故当时，；令，∵的对称轴为，且故存在，使得故当时，，故，即在上单调递增当时，，故即在上单调递减又∵，故当时，又当时，，∴∴，即.点睛：请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一题计分.22. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线的方程为，点.（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边平行于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.【答案】（1）+点的直角坐标为；（2）周长的最小值为此时点的直角坐标为 .【解析】试题分析：第一问考查定义，极直互化，第二问要明白E，F，两点可以不在曲线上，长度为B，两点横坐标之差，AE长度为两点纵坐标之差，分别为长方形的长和宽.最后利用三角函数求出范围..解：（1）由，，∴曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为.（2）曲线的参数方程为（为参数，），∴设，依题意可得，，矩形的周长当时，周长的最小值为，此时点的直角坐标为.23. 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（Ⅰ）根据方程的解与不等式解集关系得：0,4为方程两根，也可先利用绝对值定义求不等式解集，再根据同解得等量关系得（Ⅱ）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：，再利用绝对值三角不等式求最小值：，即得，解得实数的取值范围是．试题解析：（Ⅰ）∵，∴,∵的解集为，∴，∴．（Ⅱ）∵,∵，使得，即成立，∴，即，解得，或,∴实数的取值范围是．考点：绝对值定义，绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
庄河市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
庄河市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． “方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充要C ．充分不必要D ．不充分不必要2． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1）3． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．4． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5． 复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（ ）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i6． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．567． 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 坐标为（2，1），双曲线C 上点P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（ ）A ．2B ．4C ．1D ．﹣19． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8） B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）10．已知f （x ）=ax 3+bx+1（ab ≠0），若f （2016）=k ，则f （﹣2016）=（ ）A ．kB ．﹣kC ．1﹣kD ．2﹣k11．已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B. C. D.12．设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）二、填空题13．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .15．设R m ∈，实数x ，y 满足23603260y m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若182≤+y x ，则实数m 的取值范围是___________．【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 16．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，则++…+= ．17．17．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．18．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．三、解答题19．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】已知函数()2ln f x ax x =+，()21145ln 639f x x x x =++，()22122f x x ax =+，a R ∈ （1）求证：函数()f x 在点()(),e f e 处的切线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若()()2f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当23a =时，求证：在区间()0,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．（记ln5 1.61,6 1.79ln ==）20．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以 在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m 元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收.（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.21．（本题满分12分）如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．（I）求AM的长；（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．22．在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．23．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．24．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．庄河市高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．2．【答案】D【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．3．【答案】B【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；对C：在（-和（上单调递增，但在定义域上不单调，故C错；故答案为：B4．【答案】B【解析】考点：空间直线与平面的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．5． 【答案】【解析】解析：选D.法一：由2＋2z1－i ＝i z 得2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 6． 【答案】D 【解析】考点：1.斜率；2.两点间距离. 7． 【答案】A【解析】解：几何体如图所示，则V=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，正确得出直观图是解答的关键．8．【答案】A【解析】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．9．【答案】D【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．10．【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，∴20163a+2016b=k﹣1，∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 12．【答案】A【解析】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3 如果x ＜0 则 x+6＞3可得 x ＞﹣3，可得﹣3＜x ＜0．如果 x ≥0 有x 2﹣4x+6＞3可得x ＞3或 0≤x ＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A ．二、填空题13．【答案】cm 3 ．【解析】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：cm3【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．+14．【答案】12320【解析】考点：棱台的表面积的求解.-.15．【答案】[3,6]【解析】16．【答案】 ．【解析】解：点An （n ，）（n ∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，=，=，…， =，∴++…+=+…+=1﹣=，故答案为：． 【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】【解析】解：∵f （x ）=a xg （x ）（a ＞0且a ≠1），∴=a x ， 又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），∴（）′=＞0，∴=a x 是增函数，∴a ＞1，∵+=．∴a 1+a ﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．18．【答案】．【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴=﹣1，=﹣1，∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．∴S n=﹣，n=1时，a1=S1=﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．∴a n=．故答案为：．三、解答题19．【答案】（1）切线恒过定点1,22e ⎛⎫⎪⎝⎭．（2） a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3） 在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求得切线方程为11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故过定点1,22e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；试题解析：（1）因为()12f x ax x '=+，所以()f x 在点()(),e f e 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为()2121y ae x e ae e ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，整理得11222e y ae x e ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以切线恒过定点1,22e ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）令()()()2p x f x f x =-=212ln 02a x ax x ⎛⎫--+< ⎪⎝⎭，对()1,x ∈+∞恒成立，因为()()1212p x a x a x =--+'()22121a x ax x --+=()()()1211*x a x x⎡⎤---⎣⎦=令()0p x '=，得极值点11x =，2121x a =-，①当112a <<时，有211x x >=，即112a <<时，在()2,x +∞上有()0p x '>，此时()p x 在区间()2,x +∞上是增函数，并且在该区间上有()()()2,p x p x ∈+∞，不合题意；②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，()p x 在区间()1,+∞上，有()()()1,p x p ∈+∞，也不合题意； ③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间()1,+∞上恒有()0p x '<， 从而()p x 在区间()1,+∞上是减函数；要使()0p x <在此区间上恒成立，只须满足()111022p a a =--≤⇒≥-， 所以1122a -≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （利用参数分离得正确答案扣2分）（3）当23a =时，()21145ln 639f x x x x =++，()221423f x x x =+ 记()()22115ln 39y f x f x x x =-=-，()1,x ∈+∞．因为22565399x x y x x='-=-，令0y '=，得x =所以()()21y f x f x =-在⎛ ⎝为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，所以当x =时，min 59180y =设()()()15901180R x f x λλ=+<<，则()()()12f x R x f x <<， 所以在区间()1,+∞上，满足()()()12f x g x f x <<恒成立函数()g x 有无穷多个20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.21．【答案】解：（I）由已知可得AM⊥CD，又M为CD的中点，∴；3分（II）在平面ABED内，过AD的中点O作AD的垂线OF，交BE于F点，以OA为x轴，OF为y轴，OC为z轴建立坐标系，可得，∴，，5分设为面BCE的法向量，由可得=（1，2，﹣），∴cos＜，＞==，∴面DCE与面BCE夹角的余弦值为4分22．【答案】【解析】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O 的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）由，可得，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．23．【答案】【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
辽宁省全国大联考(全国Ⅱ卷)2018届高三第一次联考数学(理)试卷(含答案)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集1{|3}3x U x =≥，集合{|10}A x x =->，则U A =ðA ．{1,1}-B ．[1,1)-C ．[1,1]-D ．(1,1]- 2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i e a 为纯虚数，则复数sin 2i 1i a ++在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．“()p q ⌝∨为真命题”是“()p q ∧⌝为假命题”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数2()1x f x x =-的大致图象为A B CD5．已知423401234(21)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a = A ．32 B ．24 C ．12 D ．66．已知等差数列{}n a 的前7项和为21，且87a =，则数列1{}2n a -的前10项和为 A ．1024 B ．1023 C ．512D ．511 7．若直线:10l kx y -+=上不存在满足不等式组020440x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y ，则实数k 的取值范围为A ．7(,0][,)4-∞+∞UB ．[70,4]C ．7(,0)(,)4-∞+∞U D ．(70,4) 8．已知平面向量,,a b c 满足||||||1===a b c ，若12⋅=a b ，则(2)()+-a c b c 的最小值为 A ．2- B ．3- C ．1-D ．0 9．过抛物线24y x =上的点P 作圆22:680C x y x +-+=的切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为A ．5B ．6C ．7D ．22 10．已知直线(0)y m m =<与函数sin()y A x ωϕ=+的图象的三个相邻交点的横坐标分别为1-，3，5，则函数sin()y A x ωϕ=+的单调递增区间为A ．[61,64]()k k k ++∈ZB ．[62,61]()k k k -+∈ZC ．[61,62]()k k k -+∈ZD ．[31,32]()k k k -+∈Z11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A ．11πB ．114πC ．11116πD ．211π12．若函数2()e 1x f x ax x =-+-在区间[1,2]内有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是A ．25e [,)2-+∞ B ．(e],2-∞- C ．25e (,2e)2-- D ．25e [,2e]2-- 第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．120[2sin(2)]d x x x x --π=⎰_______________．14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为_______________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 关于直线b y x a=的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为_______________．16．已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n --=，且2cos 3n n n a b π=，则数列{}n b 的前59项和为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221b c a bc +-==．（Ⅰ）求ABC △的面积；（Ⅱ）若4cos cos 10B C -=，求ABC △的周长．18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 为BC 的中点，现将BAE △与DCE △折起，使得平面BAE ⊥平面ADE ，平面DCE ⊥平面ADE ．（Ⅰ）求证：BC ∥平面ADE ；（Ⅱ）求二面角A BE C --的余弦值．19．（本小题满分12分）前段时间“冰花男孩”成为公众关注对象．某机构为了调查大众的看法，从不同地方、不同年龄段的人群中调查了240000人，每人在“没什么”和“不一般”两种看法中任选一种，然后随机抽取2400人，把被抽取的人按照年龄不低于40岁和年龄低于40岁分成两组，最后采用分层抽样的方法抽取360人作为样本，已知在样本中年龄低于40岁的有210人，选择“没什么”的人中年龄不低于40岁和低于40岁的均有90人．（Ⅰ）估计实际调查的240000人中选择“没什么”的人数；（Ⅱ）根据样本数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为选择“没什么”与年龄有关？ 参考公式和数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 20()P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820已知椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 为第一象限内椭圆E 上一点，且2PF x ⊥轴． （Ⅰ）若12F PF △的面积为232c ，求椭圆E 的离心率e ； （Ⅱ）若以椭圆E 的长轴为直径的圆与y 轴正半轴交于点Q ，点M ，N 在椭圆E 上，且MN PQ ∥，证明：直线OP 经过线段MN 的中点（O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数()cos (1)sin f x x a x x =-+，(,)2x π∈π．（Ⅰ）当(,)2a π∈π时，若曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线平行于x 轴，求a 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a ∈，记函数()f x 的最小值为t ，求t 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2sin()2ρθθπ=-． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，求||||PA PB ⋅的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x a x =---．（Ⅰ）当2a =时，求不等式()f x x >的解集；（Ⅱ）若存在实数0x ，使得0()1f x ≥，求实数a 的取值范围．。
庄河市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
庄河市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线2． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（）A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）3． 在等差数列中，首项公差，若，则{}n a 10,a =0d ≠1237k a a a a a =++++L k =A 、B 、C 、D 、222324254． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即（），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总()2~100,X N a 0a >人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）110（A ） 400（ B ） 500（C ） 600（D ） 8005． 如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么||PQ 的最小值为（）A 1-B1 C. 1- D 1-6． 下列命题中正确的是（）（A ）若为真命题，则为真命题p q ∨p q ∧（ B ） “，”是“”的充分必要条件0a >0b >2b aa b+≥ （C ） 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠（D ） 命题，使得，则，使得:p 0R x ∃∈20010x x +-<:p ⌝R x ∀∈210x x +-≥7． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分8． 已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）2()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ．B ．C ．D ．14129． 已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）P （K 2＞k ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%11．执行如图的程序框图，若输出的值为，则①、②处可填入的条件分别为（）i 12A ．S 384,2i i ≥=+C ．S 3840,2i i ≥=+12）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（）A ．1 13．已知，则不等式的解集为________．,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî2(2)()f x f x ->【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．14．若的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于 ．15．S n =++…+= ．16．下列命题：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点；③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5；④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．17．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．18．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．三、解答题19．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．20．已知函数f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．21．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？22．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．23．已知矩阵A＝，向量＝.求向量，使得A2＝.24．设{a n}是公比小于4的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna3n+1，n=12…求数列{b n}的前n项和T n．庄河市第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0则x 2﹣4=0并且y 2﹣4=0，即，解得：，，，，得到4个点．故选：B ．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力． 2． 【答案】B【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴∁U M={0，1}，∴N ∩（∁U M ）={0，1}，故选：B ．【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题． 3． 【答案】A【解析】，1237k a a a a a =++++L 17672a d ⨯=+121(221)d a d ==+-∴．22k =4． 【答案】A 【解析】P （X ≤90）＝P （X ≥110）＝，P （90≤X ≤110）＝1－＝，P （100≤X ≤110）＝，1000×＝400. 故选A.110154525255． 【答案】A 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域||PQ Z =表示圆上的点到可行域的距离,当在点A 处时,求出圆心到可行域的距离内的点的最小距离5,∴当在点A 处最小, ||PQ 最小值为15-,因此，本题正确答案是15-.考点：线性规划求最值.6． 【答案】D【解析】对选项A ，因为为真命题，所以中至少有一个真命题，若一真一假，则为假命题，p q ∨,p q p q ∧故选项A 错误；对于选项B ，的充分必要条件是同号，故选项B 错误；命题“若2b aa b+≥,a b ，则或”的逆否命题为“若且，则”，故选项C 错误；2320x x -+=1x =2x =1x ≠2x ≠2320x x -+≠故选D ．7． 【答案】C 【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想． 8． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'222()x x a f x x++=2()2ln 2f x a x x x=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2()222h x x x a =++),0(+∞恒成立，，故选A. 110,4a ∴∆≤∴≥考点：导数与函数的单调性．9． 【答案】C【解析】解：已知双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e 2=，∴e ≥2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 10．【答案】D【解析】解：∵k ＞5、024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D ．【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目． 11．【答案】D【解析】如果②处填入，2i i =+则，故选D ．12468103840S =⨯⨯⨯⨯⨯=12．【答案】A【解析】解：∵f （x ）=acosx ，g （x ）=x 2+bx+1，∴f ′（x ）=﹣asinx ，g ′（x ）=2x+b ，∵曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，∴f （0）=a=g （0）=1，且f ′（0）=0=g ′（0）=b ，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题． 二、填空题13．【答案】(-【解析】函数在递增，当时，，解得；当时，，()f x [0,)+¥0x <220x ->0x -<<0x ³22x x ->解得，综上所述，不等式的解集为．01x £<2(2)()f x f x ->(-14．【答案】5【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r （）r =C nr =C n r令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．15．【答案】【解析】解：∵==（﹣），∴S n=++…+=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．16．【答案】 ②③④⑤ 【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是，，因此不是单调递增函数；②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，=11a6＜0，∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确．其中正确命题的序号是②③④⑤．【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．【答案】 2 ．【解析】解：如图所示，连接A1C1，B1D1，相交于点O．则点O为球心，OA=．设正方体的边长为x，则A1O=x．在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：+x2=，解得x=．∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V==2．故答案为：2．18．【答案】 A＜G ．【解析】解：由题意可得A=，G=±，由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号，由题意a，b是互异的负数，故A＜G．故答案是：A＜G．【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2，则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2sin2x﹣+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣2，4]．（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，故解得：A=，B=，C=，∴f（B）=f（）=4sin=2．【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．22．【答案】【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．23．【答案】＝【解析】A2＝.设＝.由A2＝，得，从而解得x＝-1，y＝2，所以＝24．【答案】【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．b n=lna3n+1=ln23n=3nln2．∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）=ln2．第11 页，共11 页。
2017-2018学年辽宁省高三(上)第一次质检数学试卷(文科)Word版含答案
2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．104．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx5．（5分）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．（5分）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38．（5分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P29．（5分）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位10．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c11．（5分）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．112．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为．14．（5分）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x ∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A （优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．20．（12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD 翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•鹰潭二模）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．（5分）（2015•遂宁模拟）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．【解答】解：由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．【点评】考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．3．（5分）（2014•孝感二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．4．（5分）（2013秋•洛阳期末）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx【分析】利用基本初等函数的性质逐一判断得出结论．【解答】解：对于A，由二次函数性质可知，函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除A；对于B，由在（﹣∞，0）上y=得函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除B；对于C，当x∈（﹣∞，0）时，y=，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D．故选C．【点评】考查学生对基本初等函数的性质单调性、奇偶性的掌握运用能力，可用排除法．5．（5分）（2016•南昌校级二模）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣1+i，则在复平面内=i•（﹣1﹣i）=﹣i+1对应的点坐标为（1，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，S=，n=4，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，S=，n=6，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，S=，n=8，k=4，当k=4时，满足进行循环的条件，S=，n=10，k=5，当k=5时，满足进行循环的条件，S=，n=12，k=6，当k=6时，满足进行循环的条件，S=，n=14，k=7，当k=7时，满足进行循环的条件，S=，n=16，k=8，当k=8时，满足进行循环的条件，S=，n=18，k=9，当k=9时，满足进行循环的条件，S=，n=20，k=10，当k=10时，满足进行循环的条件，S=，n=22，k=11，当k=11时，不满足进行循环的条件，故程序框图的功能是计算的S=值，即求{}前10项和，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．（5分）（2016•玉溪三模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（2015•湖北模拟）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P2【分析】运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．【解答】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．9．（5分）（2015秋•长春校级月考）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位【分析】根据相关系数的定义，可判断A；根据回归直线的几何意义判断命题B是否正确；利用椭圆的定义，判断C的正误；设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．判断D的正误．【解答】解：对于A，若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，故A正确；对于B，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；对于C，点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为线段不是椭圆．所以C不正确；对于D，回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位，故D不正确．故选：A．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了回归直线方程的应用，椭圆的定义等知识点，属于基础题．10．（5分）（2010•宝鸡模拟）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【分析】分别写出其逆命题再判断，A、由面面平行的性质定理判断．B、也可能平行C、由三垂线定理判断．D、由线面平行的判定定理判断．【解答】解：A、其逆命题是：当c⊥α时，或α∥β，则c⊥β，由面面平行的性质定理知正确．B、其逆命题是：当b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，也可能平行，相交．不正确．C、其逆命题是当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线定理知正确．D、其逆命题是当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理知正确．故选B【点评】本题主要考查线面平行的判定理，三垂线定理及其逆定理，面面平行的性质定理等，做这样的题目要多观察几何体效果会更好．11．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．1【分析】画出图形，直线l1∥l2，l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，结合选项讨论m的取值是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示；又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质问题，应画出图形，结合图形解答该题，是易错题．12．（5分）（2016春•南昌校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，根据表示的几何意义是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．【解答】解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0又因为表示的是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率．所以当（﹣1，﹣2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，当（﹣1，﹣2）与B（2，0）相连时斜率最小为，∴的取值范围是（，6）故选：A．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与定点连线的斜率．属于线性规划中的延伸题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•石家庄一模）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（0，﹣）．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=﹣2py 的焦点坐标，即可求出物线y=﹣4x2的焦点坐标．【解答】解：抛物线y=﹣4x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．14．（5分）（2015•聊城二模）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，确定区域面积是关键，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【分析】作出图形，求得线段BD=AB=10，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．【解答】解：根据题意得：AB=10，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=10×=5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷=10海里/小时故答案为：10．【点评】本题考查解三角形的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2015秋•固原校级月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【分析】（1）利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数可知f（0）=0，且函数y=f（x）是以2为周期的函数，并在区间（0，1]上单调递减，从而可判断出f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；（2）依题意，知点（0，0）为其对称中心，利用其周期性可知点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；（3）作出函数y=f（x）的图象可知直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（4）利用函数y=f（x）的周期性与在区间[1，2）上为减函数可判断出f（9.2）＜f（π）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与数形结合思想的运用，考查推理运算能力，属于难题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）（2013•江苏一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．【分析】（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC的取值范围．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．18．（12分）（2015秋•长春校级月考）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=2n﹣1，c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S n =，∴a 1=S 1=（a 1﹣1），解得a 1=3． n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，∴a n+1=3a n ．故数列{a n }是公比为3的等比数列． ∴．（2）b n =2n ﹣1，c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n．∴数列{c n }的前n 项和T n =3+3×32+5×33+…+（2n ﹣1）•3n，∴3T n =32+3×33+…+（2n ﹣3）•3nz +（2n ﹣1）•3n+1． ∴﹣2T n =3+2（32+33+ (3)）﹣（2n ﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n ﹣1）•3n+1．∴T n =3+（n ﹣1）•3n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（12分）（2015•石景山区一模）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩，（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（Ⅲ）已知a ≥10，b ≥8，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率． 【分析】（Ⅰ）根据频率=，求出n 的值，即得抽取的学生人数；（Ⅱ）根据语文成绩优秀率是30%，求出a 的值，再利用样本容量n 求出b 的值； （Ⅲ）用列举法求出满足条件的（a ，b ）基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得； =0.18，解得n=100，即抽取的学生人数是100； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n=100； ∴=30%，解得a=14；又7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，解得b=17；（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由（Ⅱ）得，a+b=31，且a≥10，b≥8；∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种；其中b+11＞a+16的有：（10，21），（11，20），（12，19）共3种；∴所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率的问题，是基础题目．20．（12分）（2016•南昌校级二模）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．【分析】（1）由中位线定理得AB∥EF，故而AB∥平面DEF；（2）由直二面角可得BD⊥平面ACD，于是V E﹣AFD=V F﹣ADE=；（3）根据三棱锥的三个侧面两两垂直的性质可求得外接球的半径，从而计算出球的表面积．【解答】解：（1）∵E、F分别是AC和BC边的中点，∴EF∥AB，又EF⊂平面DEF，AB⊄平面DEF，∴AB∥平面DEF．（2）∵CD是正三角形ABC的高，∴AD=BD=2，CD=2，∵二面角A﹣DC﹣B是直二面角，∴BD⊥平面ACD．∵E，F是AC，BC的中点，∴S△ADE=S△ACD==，F到平面ACD的距离等于=1．∴V E﹣AFD=V F﹣ADE===．（3）设外接球的球心为O，∵△BCD是直角三角形，∴O在底面BCD上的投影为BC的中点F，连结OF，则OF⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，∴AD∥OF，∵球O是三棱锥A﹣BCD的外接球，∴OF=AD=1．∴球O的半径OB==．∴球O的表面积S=4πOB2=20π．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，棱锥与外接球的关系，属于中档题．21．（12分）（2016•长春校级模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（4分）（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…（7分）∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）将（•）代入得：m2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．22．（12分）（2012•河北模拟）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．【分析】（1）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（2）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（Ⅰ），，．当时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1．…．．（2分）则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣1．…．．（4分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，，所以．即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．…．．（6分）当x∈（﹣∞，a）时，，令g（x）=e x（x﹣a）+1．…（7分）只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以g（x）在区间（﹣∞，a）最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．…．．（9分）显然，当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0，所以f（x）有两个零点．…．．（12分）【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．。
【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学】2018届高三上学期第一次联考语文试卷-答案
辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考语文试卷答案1．D2．B3．A4．D5．①远古的人根据太阳的出没规律来感知时间，时间是模糊的；②后来根据太阳光和英语的推移，来认识时间被称作光阴；③用铜壶滴漏的办法来显示和彻底时间，更精准。
④发明钟表来清楚地时显示和约定时间，是人类文明的进步的表现，但也使人类成为时间的奴隶。
6．(6分)①心跳是因为感到时间飞逝，人生短暂；②心不跳，是因为明白了生死的规律，无可抗拒，明白了时间的价值，要好好珍惜时间。
③从跳到不跳写出了作者对时间深刻的感悟。
对生命透彻的理解——生命虽然受到时间的制约。
但是也可以在有限的时间里，享受时间带来的快乐。
(每点2分，意思对即可。
) 7．C8．AD9．(4分)①引发了人们对中华传统文化尤其是诗词的关注。
②一些选手被深度挖掘，在社会上传递了温暖与感动。
③使观众增强了对传统文化的敬畏之心，树立了一种文化自信。
④给电视荧屏带来一股清新之风。
(答出一点给1分，其他答案来自文本，意思对也可以给分。
)10．D11．D12．B13．(1)(我)认为文章是气的外在体现，然而文章不是单靠学习就能写好的，气却可以通过培养而得到。
(“形”“能”“致”各1分，语意通畅2分)(2)太尉假如认为(我)可以教诲而肯屈尊教导我的话，那我就更感到幸运了。
(“苟”“辱”“之”“幸”各1分，大意1分)14．B，C15．①上片主要是间接借景抒情(1分)词的上阕在秋夜寒寂静的画面中，寄寓了诗人深切的怀人之情。
(1分)②下片则主要是直抒胸臆(或直接抒情)(1分)，通过“愁”“孤”等字眼直接表达词人的离愁之苦。
(1分)③这两种抒情方式相结合，使词人的感情抒发既委婉含蓄，又浓烈饱满，能够强烈的感染读者(2分) 16．(1)总角之宴，言笑晏晏。
(2)则物与我皆无尽也。
(3)多于在庾之粟粒，多于周身之帛缕。
17．B18．D19．C20．①越来越多的青壮年农民走入城市②留守儿童数目庞大③留守儿童心理问题严重。
2018届辽宁省全国大联考(全国Ⅱ卷)高三第一次联考 数学理(word版有答案)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集1{|3}3xU x =≥，集合{|10}A x x =->，则U A =ð A ．{1,1}-B ．[1,1)-C ．[1,1]-D ．(1,1]-2．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i e a 为纯虚数，则复数sin 2i1ia ++在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“()p q ⌝∨为真命题”是“()p q ∧⌝为假命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数2()1xf x x =-的大致图象为A B CD5．已知423401234(21)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =A ．32B ．24C ．12D ．66．已知等差数列{}n a 的前7项和为21，且87a =，则数列1{}2na -的前10项和为A ．1024B ．1023C ．512D ．5117．若直线:10l kx y -+=上不存在满足不等式组020440x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y ，则实数k 的取值范围为A ．7(,0][,)4-∞+∞B ．[70,4] C ．7(,0)(,)4-∞+∞D ．(70,4)8．已知平面向量,,a b c 满足||||||1===a b c ，若12⋅=a b ，则(2)()+-a c b c 的最小值为 A ．2-B．C ．1-D ．09．过抛物线24y x =上的点P 作圆22:680C x y x +-+=的切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为 ABCD．10．已知直线(0)y m m =<与函数sin()y A x ωϕ=+的图象的三个相邻交点的横坐标分别为1-，3，5，则函数sin()y A x ωϕ=+的单调递增区间为A ．[61,64]()k k k ++∈ZB ．[62,61]()k k k -+∈ZC ．[61,62]()k k k -+∈ZD ．[31,32]()k k k -+∈Z11．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A ．11πB ．114πCD ．12．若函数2()e 1x f x ax x =-+-在区间[1,2]内有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是A ．25e [,)2-+∞B ．(e],2-∞-C ．25e (,2e)2--D ．25e [,2e]2--第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．1sin(2)]d x x -π=⎰_______________．14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为_______________．15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 关于直线by x a=的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为_______________．16．已知数列{}n a 满足11a ==，且2cos 3n n n a b π=，则数列{}n b 的前59项和为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2221b c a bc +-==． （Ⅰ）求ABC △的面积；（Ⅱ）若4cos cos 10B C -=，求ABC △的周长． 18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，24AD AB ==，E 为BC 的中点，现将BAE △与DCE △折起，使得平面BAE ⊥平面ADE ，平面DCE ⊥平面ADE ． （Ⅰ）求证：BC ∥平面ADE ；（Ⅱ）求二面角A BE C --的余弦值．19．（本小题满分12分）前段时间“冰花男孩”成为公众关注对象．某机构为了调查大众的看法，从不同地方、不同年龄段的人群中调查了240000人，每人在“没什么”和“不一般”两种看法中任选一种，然后随机抽取2400人，把被抽取的人按照年龄不低于40岁和年龄低于40岁分成两组，最后采用分层抽样的方法抽取360人作为样本，已知在样本中年龄低于40岁的有210人，选择“没什么”的人中年龄不低于40岁和低于40岁的均有90人．（Ⅰ）估计实际调查的240000人中选择“没什么”的人数；（Ⅱ）根据样本数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为选择“没什么”与年龄有关？参考公式和数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20已知椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 为第一象限内椭圆E 上一点，且2PF x ⊥轴．（Ⅰ）若12F PF △的面积为232c ，求椭圆E 的离心率e ；（Ⅱ）若以椭圆E 的长轴为直径的圆与y 轴正半轴交于点Q ，点M ，N 在椭圆E 上，且MN PQ ∥，证明：直线OP 经过线段MN 的中点（O 为坐标原点）．21．（本小题满分12分）已知函数()cos (1)sin f x x a x x =-+，(,)2x π∈π．（Ⅰ）当(,)2a π∈π时，若曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线平行于x 轴，求a 的值及函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a ∈，记函数()f x 的最小值为t ，求t 的取值范围． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2sin()2ρθθπ=-． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的参数方程为415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设(1,1)P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，求||||PA PB ⋅的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x a x =---． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()f x x >的解集；（Ⅱ）若存在实数0x ，使得0()1f x ≥，求实数a 的取值范围．。
2017-2018学年辽宁省大连市庄河高中高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省大连市庄河高中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x（x﹣3）≤0}，B＝{x|lnx＜1}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{2，3}2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则|z|＝（）A．2B．3C．D．3．（5分）若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．若am2≤bm2，则a≤bB．若向量满足，则与的夹角为锐角C．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件D．“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”5．（5分）若双曲线M：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，则双曲线M的离心率为（）A．B．C．2D．36．（5分）等差数列{a n}中，a5+a6＝4，则log2（•…）＝（）A．10B．20C．40D．2+log257．（5分）在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．69．（5分）在等比数列{a n}中，“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π11．（5分）函数f（x）＝﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）＝f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定12．（5分）如图所示点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2＝8x及圆x2+y2﹣4x﹣12＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△F AB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，满足，则向量与的夹角为．14．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝（2x﹣1）lnx，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+x﹣b+（a，b为正实数）只有一个零点，则+的最小值为．16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝﹣1，，则a100＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知直线是函数f（x）＝m sin2x﹣cos2x的图象的一条对称轴．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC中角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝2，且，求的取值范围．18．（12分）学校为了了解A、B两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：A班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；B班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中A、B两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为b，求a＞b的概率．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△P AD为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，E，F分别是PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面P AD；（2）证明：面PDC⊥面P AD；（3）求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．（12分）设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a＝1时，动圆N 过点M且与直线x＝﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝（a﹣bx3）e x，，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线2ex+y﹣1＝0平行．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）﹣g（x）＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一题计分.22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C的方程为，点．（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的直角坐标；（2）设B为曲线C上一动点，以AB为对角线的矩形BEAF的一边平行于极轴，求矩形BEAF周长的最小值及此时点B的直角坐标．六、标题23．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若∃x0∈R，使得，求实数m的取值范围．2017-2018学年辽宁省大连市庄河高中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A＝{0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B＝（0，e），则A∩B＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：，∵复数的实部和虚部相等，∴﹣b＝﹣3，即b＝3．∴．故选：D．3．【解答】解：∵a＝30.3＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log0.3e＜0，则a＞b＞c．故选：A．4．【解答】解：对于A，当m2＝0，即m＝0时，am2≤bm2恒成立，不能得出a≤b，A错误；对于B，向量满足，则||×||cosθ＞0∴cosθ＞0，此时与的夹角θ为锐角或0°，∴B错误；对于C，命题“p∧q为真”时，p、q都是真命题，∴命题“p∨q为真”，必要性成立，即命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件，C正确；对于D，命题“∃x0∈R，”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，∴D错误．故选：C．5．【解答】解：双曲线M：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，|PF2|＝7，|F1F2|＝10，可得a＝4，c＝5，则双曲线的离心率为：e＝＝．故选：A．6．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a6＝4，∴a1+a10＝a2+a9＝a3+a8＝a4+a7＝a5+a6＝4，∴a1+a2+…+a10＝（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）＝5（a5+a6）＝20，则log2（•…）＝log22a1+a2+…+a10＝a1+a2+…+a10＝20．故选：B．7．【解答】解：由题意，0≤x≤6，2x﹣1≥3，∴2≤x≤6；6＜x≤8，，无解，∴输出的y≥3的概率为＝，故选：B．8．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1＝，故组合体的体积V＝8﹣＝，故选：A．9．【解答】解：∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件，故选：A．10．【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．11．【解答】解：∵，f′（x）＝﹣＝∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选：C．12．【解答】解：抛物线的准线l：x＝﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，圆（x﹣2）2+y2＝16的圆心为（2，0），半径为4，∴△F AB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+（x B﹣x A）+4＝6+x B，由抛物线y2＝8x及圆（x﹣2）2+y2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由题单位向量，满足，2﹣3＝．可得，故向量与的夹角为60°（或写成）．故答案为：60°（或）．14．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝（2x﹣1）lnx，x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝（﹣2x﹣1）ln（﹣x）∴f′（x）＝﹣2ln（﹣x）﹣2﹣，∴f′（﹣1）＝﹣1∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故答案为：﹣1．15．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+x﹣b+只有一个零点，∴△＝a﹣4（﹣b+）＝0，∴a+4b＝1，∵a，b为正实数，∴+＝（+）（a+4b）＝9++≥9+2＝9+4当且仅当＝，即a＝b时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+416．【解答】解：a1＝﹣1，，可得a n+1＝S n S n+1＝S n+1﹣S n，可得﹣＝﹣1，可得＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n，即有S n＝﹣，则a100＝S100﹣S99＝﹣+＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）是函数f（x）＝m sin2x﹣cos2x的一条对称轴，∴f（）＝m+＝或m+＝﹣，解得m＝；…..（3分）∴f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的增区间是：；…（6分）（2）由f（B）＝2，得sin（2B﹣）＝1，解得B＝；又，由正弦定理得：，∴a﹣＝2sin A﹣sin（A+）＝sin（A﹣）；…（8分）又A∈（0，），∴A﹣∈（﹣，），∴sin（A﹣）∈（﹣，1），∴sin（A﹣）∈（﹣，），即a﹣∈（﹣，）．…..（12分）18．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①A班数据有集中在茎0、1、2上，B班数据有集中在茎1、2、3上；②A班叶的分布是单峰的，B班叶的分布基本上是对称的；③A班数据的中位数是10，B班数据的中位数是23．（Ⅱ）A班样本数据的平均值为小时；B班样本数据的平均值为小时．因为，所以由此估计B班学生平均观看时间较长．（Ⅲ）A班的样本数据中不超过11的数据a有6个，分别为5，5，7，8，9，11；B班的样本数据中不超过11的数据b有3个，分别为3，9，11．从上述A班和B班的数据中各随机抽取一个，记为（a，b），分别为：（5，3），（5，9），（5，11），（5，3），（5，9），（5，11），（7，3），（7，9），（7，11），（8，3），（8，9），（8，11）（9，3），（9，9），（9，11），（11，3），（11，9），（11，11）共18种，其中a＞b的有：（5，3），（5，3），（7，3），（8，3），（9，3），（11，3），（11，9），共7种．故a＞b的概率为．19．【解答】证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必过F，又E是PC中点，所以EF∥AP，∵EF在面P AD外，P A在面P AD内，∴EF∥面P AD．证明：（2）∵平面P AD平面ABCD，CD⊥AD，面P AD∩面ABCD＝AD又AD⊂面P AD，∴CD⊥面P AD，又CD在面PCD内，∴面PCD⊥面P AD．解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面P AD⊥平面ABCD及△P AD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝1，∴V＝PO×AB×AD＝．20．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x＝﹣1相切，所以点N到直线x＝﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2＝4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；＝＝．当且仅当，即x0＝a﹣2时取等号，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0＝2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．21．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵f（1）＝e，∴（a﹣b）e＝e，∴a﹣b＝1…①依题意，f'（1）＝﹣2e，又f'（x）＝（﹣3x2﹣x3+2）e x，∴a﹣4b＝﹣2…②联立①②解得a＝2，b＝1…（5分）证明：（Ⅱ）要证f（x）﹣g（x）＞2，即证…（6分）令h（x）＝2e x﹣e x x3，∴h'（x）＝e x（﹣x3﹣3x2+2）＝﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）∴当x∈（0，1）时，﹣e x＜0，x+1＞0，令p（x）＝x2+2x﹣2，∵p（x）的对称轴为x＝﹣1，且p（0）•p（1）＜0∴存在x0∈（0，1），使得p（x0）＝0∴当x∈（0，x0）时，p（x）＝x2+2x﹣2＜0，∴h'（x）＝﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，即h（x）在（0，x0）上单调递增当x∈（x0，1）时，p（x）＝x2+2x﹣2＞0，∴h'（x）＝﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）＜0即h（x）在（x0，1）上单调递减又∵h（0）＝2，h（1）＝e故当x∈（0，1）时，h（x）＞h（0）＝2…（10分）又当x∈（0，1）时，，∴…（11分）所以，即f（x）﹣g（x）＞2…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一题计分.22．【解答】解：（1）曲线C的方程为，即ρ2（1+2sin2θ）＝3，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为．点化为直角坐标为A．（2）曲线C的参数方程为，∴设，依题意可得，矩形BEAF的周长＝＝，当时，周长的最小值为，此时，点B的直角坐标为．六、标题23．【解答】解：（1）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a＝2．（2）∵f（x）+f（x+5）＝|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，∵∃x0∈R，使得，即成立∴4m+m2＞（f（x）+f（x+5））min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5或m＞1．。
辽宁省全国大联考(全国Ⅱ卷)2018届高三第一次联考数学(文)试卷(含答案)
2018年第一次全国大联考【新课标Ⅱ卷】文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合|{x y A ==∈Z，{|}B y y x A ==∈，则A B =I A ．{1,2}B ．2,12{},1,--C ．{2,1,0,1}--D ．{0,1} 2．若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线y x =-上，则z z ⋅= A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 3．已知向量,a b ，若(1,0)=a 且||||=a b ，则下列结论错误的是A ．||-a b 的最大值为2B ．||+a b 的最大值为2C ．当||-a b 最大时1⋅=a bD ．当||+a b 最大时1⋅=a b4．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且数列{}n a 满足21123122221()n nn n a a a a -++++=-∈*N L ，则10S =A ．1023B ．1024C ．512D ．5115．如图，网格纸上小正方形的边长为1，一个长方体被截去一个四棱锥后，剩余部分的三视图如图所示，则该长方体截去部分与剩余部分的体积的比值为A ．13B ．12C ．33D ．4396．已知,x y 满足约束条件10210230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则34z x y =--的最小值为A ．373-B ．9-C ．4-D ．113- 7．甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店．某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店．事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半．其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是A ．甲做微商B ．乙做淘宝店C ．丙做微商D ．甲做实体店 8．执行如下图所示的程序框图，则输出的S 的值为A ．20182019 B ．12018 C ．20172018 D ．120199．已知函数()sin()f A x x ωϕ=+(0,0,||)2A ωϕπ>><的部分图象如下图所示，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的函数图象关于点2(,0)3π对称，则θ的最小值为A ．6πB ．12πC ．4πD ．23π 10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率的取值范围为(2,3)，则该双曲线的渐近线与圆22:(2)3P x y -+=的公共点的个数为A ．1B ．2C ．0D ．411．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且1AA AB BC ==，若D ，M 分别是11A B ，1BB 的中点，则异面直线AD 与MC 所成角的余弦值为A ．25B ．23C ．34D ．5612．已知定义在[e,)+∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且(4)0f =，其中()f 'x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为A ．[e,4)B ．(4,)+∞C ．(e,4)D ．[e,e 1)+第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，半径为4的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入n 个豆子，其中落在阴影区域内的豆子共有m 个，则阴影区域的面积约为________________．14．已知函数cos,5 ()6(4),5x xff x xxπ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则(2018)f=________________．15．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交y轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且2FM MN=u u u u r u u u u r，则||NT=________________．16．已知数列}{na满足11a=，且点1(,2)()n na a n+∈*N在直线0121=+-yx上．若对任意的n∈*N，1231111nn a n a n a n aλ++++≥++++L恒成立，则实数λ的取值范围为________________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin sin1cos21sin sin2sin sinB C AC B B C-+=+．（Ⅰ）求cos()12Aπ+的值；（Ⅱ）若2a=，2CA BA⋅=u u u r u u u r，求1sin sin sinA B C++的最大值．18．（本小题满分12分）某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间，随机收集了若干位学生每周使用手机上网的时间的样本数据（单位：小时），将样本数据分组为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，绘制了如下图所示的频率分布直方图，已知[0,2)内的学生有5人．（Ⅰ）求样本容量n，并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅱ）将使用手机上网的时间在[4,12]内定义为“长时间看手机”，使用手机上网的时间在[0,4)内定义为“不长时间看手机”．已知在样本中有25位学生不近视，其中“不长时间看手机”的有15位学生．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关． 近视 不近视 合计 长时间看手机不长时间看手机15 合计25 参考公式和数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 20()P K k ≥ 0.10 0.05 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 6.635 7.879 10.82819．（本小题满分12分） 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12DD AD ==，4DC =，过D 作1DF D B ⊥交1D B 于点F ，E 是1CD 上一点．（Ⅰ）若BC ∥平面DEF ，求证：15EC D E =；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥1D DEF -的体积．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，其右焦点F 到直线10x y -+=的距离为2（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点F 且斜率不为0的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过坐标原点的直线2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且(0)AB MN λλ=≠u u u r u u u u r ，试判断2||||MN AB 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分12分） 已知函数221()e 2x f x a x =-，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若1[,e]e a ∈，设函数2()()2g f x x a =+的最小值为()h a ，求()h a 的最大值． 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(1,0)F ，曲线2C 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，求||||AF BF ⋅的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|||,f x x a x a =+--∈R ．（Ⅰ）当3a =时，求不等式()30f x ->的解集；（Ⅱ）若不等式()1f x ≤恒成立，求关于x 的不等式212x ax a x ++>+的解集．。
辽宁庄河市两校2018届高三数学上学期第一次联考文!
2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足()211i i z+=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i - C. 1i -+ D ．1i -- 2.若集合{}21314,11x A x x B xx +⎧⎫=-≥=<⎨⎬-⎩⎭，则集合A B ⋂=（ ） A ．(]2,1-- B ．∅ C. [)1,1- D ．()2,1-- 3.函数()21log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C.()2,3 D ．()3,4 4.若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，且3z x y =-则z 的最大值为（ ）A ．32 B ．32- C. 9 D ．3- 5.给出下列四个命题，其中假命题是（ ） A.“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”B.“若a b >，则55a b ->-”的逆否命题是“若55a b -≤-，则a b ≤” C ．,210x x R ∀∈->D ．()00,2x ∃∈，使得0sin 1x =6.已知3,1,0OA OB OA OB ==⋅=，若OP OB =+ ，则AOP ∠=（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56π7.函数2cos cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B．12⎡-⎢⎣⎦ C. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D．⎡⎢⎣⎦8.已知数列{}n a 满足111,2n n n a a a +==+，则10a =（ ）A ．1024B ．1023 C. 2048 D ．20479.已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A ．73 B ．113C.143 D ．23 10.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面枳为（ ）A．4+．4+85D ．1211.函数()()()8sin 201022x x f x f x x π-≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C. 4个 D ．5个12. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足()21n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是（ ） A ．12 B ．11 C. 10 D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b满足()1,a b a a b =⊥+，则a 与b 的夹角的大小是 ．14．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数.如果实数t 满足()()1ln ln 21f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是 ．15.（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 ．16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且222sin sin sin sin A B C A B +=⋅，sin A =，若5c a -=b = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,83C b π==，ABC ∆的面积为（1）求c 的值；（2） 求()cos B C -的值.18.已知函数()32f x x ax bx c =-+++在点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =-+. （1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）若函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.19.某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （1）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值.20.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，数列{}n b 满足1213n n n b a --=. （1）求,n n a b ；（2）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T . 21．已知函数()()222ln f x x ax x x x =-++-. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()0,x ∈+∞时，()20f x x +>恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知1a b +=，对()14,0,,211a b x x a b ∀∈+∞+≥--+.（1）求14a b+的最小值； （2）求x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABCC 6-10: ACBCA 11、12：DD 二、填空题13.34π 14. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭15. 92π三、解答题17.（1）1sin 2ABC S ab C ∆=⨯，∴5a =；2222cos 49c b a ab C =+-=，∴7c =.（2）由（1）得2224925641cos 2707a cb B ac +-+-===，sin B ==所以()1113cos cos cos sin sin 337214B C B B ππ-=+=⨯=18.()232f x x ax b '=-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为3-， 所以()1323f a b '=-++=-，即20a b +=，① 又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-.② （1）函数()f x 在2x =-时有极值， 所以()21240f a b '-=--+=， ③由①②③解得2,4,3a b c =-==-，所以()32243f x x x x =--+-..（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()23f x x bx b '=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()2122000f b b f b '⎧-=-++≥⎪⎨'=≥⎪⎩ 得4b ≥.19.总费用()()800080005000.5500250,0.5y x x x x x=-+=+-> （2）因为80005002502503750y x x =+-≥= 当且仅当8000500x x=且0.5x >，即4x =立方米时不等式取等号， 所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元. 20．（1）21n a n =+；21114133n n n n a n b ----==；（2）11545223nn n T -+=-⨯. （1）令1n =，可得11123a S ==+=；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+；13a =亦满足；所以21n a n =+； 而1213n n n b a --=，所以21114133n n n n a n b ----== （2）由题意得：012213711454133333n n n n n T ----=+++++ ① 所以121137454133333n n n n n T ---=++++ ②②-①得：1211112111414133343433333313n n n n n n T -⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭=++++-=+⨯- ⎪⎝⎭- ； 解得11545223n n n T -+=-⨯ 21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当2a =时，()()2222ln f x x x x x x =++-，所以()()()()2122221ln 242ln f x x x x x x x x x '=-++-+-⋅=-，∴()f x 递增区间为()10,;1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）若()0,x ∈+∞时，()20f x x +>恒成立，则()22ln 0ax x x x +->恒成立， 因为0x >，所以()21ln 0a x x +->恒成立，即：()21ln a x x >--恒成立， 令()()21ln g x x x =--，则()max a g x >， 因为()122ln 2ln 2x g x x x x x -⎛⎫'=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g x '在()0+∞，上是减函数，且()10g '=，所以()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上是减函数， ∴1x =时，()max 0g x =，∴0a >，又因为a Z ∈，所以min 1a =.22．（1）直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）将1,1.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=得：220t +-=得12120,20t t t t +=-⋅=-<，则124PA PB t t +=-=23.（1）∵0,0a b >>且1a b += ∴()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭, 当且仅当2b a =时等号成立，又1a b +=，即12,33a b ==时，等号成立，故14a b+的最小值为9. （2）因为对(),0,a b ∈+∞，使14211x x a b+≥--+恒成立， 所以2119x x --+≤，当1x ≤-时，29x -≤，∴71x -≤≤-， 当112x -<<时， 39x -≤，∴112x -<<， 当12x ≥时，29x -≤，∴1112x ≤≤，∴711x -≤≤.。
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2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数z 满足()211i i z+=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i - C. 1i -+ D ．1i -- 2.若集合{}21314,11x A x x B xx +⎧⎫=-≥=<⎨⎬-⎩⎭，则集合A B ⋂=（ ） A ．(]2,1-- B ．∅ C. [)1,1- D ．()2,1-- 3.函数()21log f x x x=-的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C.()2,3 D ．()3,4 4.若实数,x y 满足22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，且3z x y =-则z 的最大值为（ ）A ．32 B ．32- C. 9 D ．3- 5.给出下列四个命题，其中假命题是（ ） A.“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”B.“若a b >，则55a b ->-”的逆否命题是“若55a b -≤-，则a b ≤” C ．,210x x R ∀∈->D ．()00,2x ∃∈，使得0sin 1x =6.已知3,1,0OA OB OA OB ==⋅=，若3OP OA OB =+，则AOP ∠=（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D．56π 7.函数2cos cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．12⎡-⎢⎣⎦ C. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦8.已知数列{}n a 满足111,2n n n a a a +==+，则10a =（ ）A ．1024B ．1023 C. 2048 D ．20479.已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A ．73 B ．113C.143 D ．23 10.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面枳为（ ）A．4+．4+85D ．1211.函数()()()8sin 201022x x f x f x x π-≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C. 4个 D ．5个12. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足()21n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是（ ） A ．12 B ．11 C. 10 D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b 满足()1,2,a b a a b ==⊥+，则a 与b 的夹角的大小是 ． 14．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数.如果实数t 满足()()1ln ln 21f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时，那么t 的取值范围是 ．15.（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 ．16.在ABC ∆中，角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A BC A B +=⋅，sin A =， 若5c a -=b = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,83C b π==，ABC ∆的面积为（1）求c 的值；（2） 求()cos B C -的值.18.已知函数()32f x x ax bx c =-+++在点()()1,1P f 处的切线方程为31y x =-+. （1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）若函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.19.某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （1）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值.20.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，数列{}n b 满足1213n n n b a --=. （1）求,n n a b ；（2）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T . 21．已知函数()()222ln f x x ax x x x =-++-. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()0,x ∈+∞时，()20f x x +>恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以原点O 为极轴，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标为()1,1，圆C 与直线l 交于,A B 两点,求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知1a b +=，对()14,0,,211a b x x a b ∀∈+∞+≥--+.（1）求14a b+的最小值； （2）求x 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABCC 6-10: ACBCA 11、12：DD 二、填空题13.34π 14. 1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭15. 92π三、解答题17.（1）1sin 2ABC S ab C ∆=⨯，∴5a =；2222cos 49c b a ab C =+-=，∴7c =.（2）由（1）得2224925641cos 2707a cb B ac +-+-===，sin B ==所以()1113cos cos cos sin sin 337214B C B B ππ-=+=⨯=18.()232f x x ax b '=-++，函数()f x 在1x =处的切线斜率为3-， 所以()1323f a b '=-++=-，即20a b +=，① 又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-.② （1）函数()f x 在2x =-时有极值， 所以()21240f a b '-=--+=， ③由①②③解得2,4,3a b c =-==-，所以()32243f x x x x =--+-..（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()23f x x bx b '=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()2122000f b b f b '⎧-=-++≥⎪⎨'=≥⎪⎩ 得4b ≥.19.总费用()()800080005000.5500250,0.5y x x x x x=-+=+-> （2）因为80005002502503750y x x =+-≥= 当且仅当8000500x x=且0.5x >，即4x =立方米时不等式取等号， 所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元. 20．（1）21n a n =+；21114133n n n n a n b ----==；（2）11545223nn n T -+=-⨯. （1）令1n =，可得11123a S ==+=；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+；13a =亦满足；所以21n a n =+； 而1213n n n b a --=，所以21114133n n n n a n b ----== （2）由题意得：012213711454133333n n n n n T ----=+++++① 所以121137454133333n n n n n T ---=++++② ②-①得：1211112111414133343433333313n n n n n n T -⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭=++++-=+⨯- ⎪⎝⎭-；解得11545223n n n T -+=-⨯ 21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当2a =时，()()2222ln f x x x x x x =++-，所以()()()()2122221ln 242ln f x x x x x x x x x '=-++-+-⋅=-，∴()f x 递增区间为()10,;1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）若()0,x ∈+∞时，()20f x x +>恒成立，则()22ln 0ax x x x +->恒成立， 因为0x >，所以()21ln 0a x x +->恒成立，即：()21ln a x x >--恒成立， 令()()21ln g x x x =--，则()max a g x >， 因为()122ln 2ln 2x g x x x x x -⎛⎫'=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g x '在()0+∞，上是减函数，且()10g '=，所以()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上是减函数， ∴1x =时，()max 0g x =，∴0a >，又因为a Z ∈，所以min 1a =.22．（1）直线l 的普通方程为：20x y +-=，圆C 的直角坐标方程为：()2224x y -+=（2）将1,1.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2224x y -+=得：220t +-=得12120,20t t t t +=-⋅=-<，则124PA PB t t +=-=23.（1）∵0,0a b >>且1a b += ∴()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭, 当且仅当2b a =时等号成立，又1a b +=，即12,33a b ==时，等号成立，故14a b+的最小值为9. （2）因为对(),0,a b ∈+∞，使14211x x a b+≥--+恒成立， 所以2119x x --+≤，当1x ≤-时，29x -≤，∴71x -≤≤-， 当112x -<<时， 39x -≤，∴112x -<<， 当12x ≥时，29x -≤，∴1112x ≤≤，∴711x -≤≤.。