信号与系统例4
信号与系统实验四实验报告
实验四 时域抽样与频域抽样一、实验目的加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、 实验原理时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率sam f 大于等于2倍的信号最高频率m f ，即m sam f f 2≥。
时域抽样是把连续信号x (t )变成适于数字系统处理的离散信号x [k ] ；信号重建是将离散信号x [k ]转换为连续时间信号x (t )。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。
计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。
三．实验内容1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
)102cos()(1t t x ⨯=π答: 函数代码为: t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*10*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs =50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*10*t); stem(t,x); hold offtitle('连续信号及其抽样信号')函数图像为:)502cos()(2t t x ⨯=π同理,函数图像为:)0102cos()(3t t x ⨯=π同理,函数图像为:由以上的三图可知,第一个图的离散序列,基本可以显示出原来信号,可以通过低通滤波恢复,因为信号的频率为20HZ,而采样频率为50>2*20,故可以恢复,但是第二个和第三个信号的评论分别为50和100HZ,因此理论上是不能够恢复的,需要增大采样频率,解决的方案为,第二个信号的采样频率改为400HZ,而第三个的采样频率改为1000HZ,这样可以很好的采样,如下图所示:2. 产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘制波形。
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
信号与系统(第四版)陈生潭第四章课后答案
五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
F (s) f (t) est d t 0
Re[s]>0
F (j) f (t) e j t d t
要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：
（1）0<0，即F(s)的收敛域包含j轴，则f(t)的傅里叶
变换存在，并且
F(j)=F(s) s=j
如f(t)=e-2t(t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2；
则 F(j)=1/( j+2)
第5-13页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴，
F(j) lim F(s) 0
■
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信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3 (t)
f1 (t)
f
2
(t
)
e e
t t
, ,
t0 t 0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
jω
仅当>时，其收敛域为
例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 1
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2) ←→
(s
s 1 1)2
9
e
2 (s1) 3
例2：
e-2t cos 3t
s 2 (s 2)2 9
e 2t sin 3t
信号与系统实验四-信号的采样及恢复
信号与系统实验四-信号的采样及恢复实验四信号的采样及恢复⼀、实验⽬的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进⾏抽样和恢复的基本⽅法；3、通过实验验证抽样定理。
⼆、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进⾏抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产⽣不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ?=π（2）)502cos()(2t t x ?=π（3）)1002cos()(3t t x ?=π2、产⽣幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进⾏抽样以得到离散序列，并进⾏重建。
（1）⽣成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进⾏抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利⽤抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =??=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？（3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利⽤MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进⾏抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ?=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f π⼤于等于2倍的原信号频率m f 时，即m s f f 2≥（抽样时间间隔满⾜ms f T 21≤），抽样信号的频谱才不会发⽣混叠，可⽤理想低通滤波器将原信号从采样信号中⽆失真地恢复。
信号与系统第4章
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
《信号与系统》教与学第四章
j n e 3
j n
e3
1 n
sin
n 3
,
n
0, 1,
2,
2
《信号与系统》教与学第四章答案
4.4 周期信号 f (t ) 的双边频谱 Fn 如图所示，求其三角函数表达式。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念，单边谱与双边谱的关系。
（3）计算信号的功率。
【知识要点：】本题主要考查周期信号的频谱概念应用；帕斯瓦尔功率等式应用。
T
2
；
f
t
A0 2
n1
An
cos
nt n
；P
Fn 2 。
n
【解题方法：】利用已知条件观察求出 ，并带入公式计算求出各次谐波分量；
根据单边幅度谱和双边幅度谱的关系、单边相位谱和双边相位谱的关系画出双
边幅度谱和相位谱；最后利用帕斯瓦尔功率等式计算信号的功率。
解：（1）
x
t
16 cos
20
t
4
6
cos
30
t
6
4
cos
40
t
3
10 (rad/s) ，
T
2
2 10
1 (s) ， 5
周期信号所含谐波次数为二次，三次，四次；
求得。
（1） cos( t ) sin 2t
解： T1
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统基础-第4章
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
信号与系统张晔版第四章ppt
L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？ 双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性
信号与线性系统-4
信号与线性系统-4(总分：100.02，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：20，分数：100.00)已知f(t)的频谱函数为F 1 (jω)，求下列时间信号的频谱函数。
（分数：6.00）(1).tf(2t)（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先由尺度变换特性，有然后利用频域微分特性，得最后得(2).(t-2)f(t)（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 (t-2)f(t)=tf(t)-2f(t)由频域微分特性，有-jtf(t) F" 1 (jω)即tf(t) jF" 1 (jω)最后利用线性特性，得jF" 1 (jω)-2F 1 (jω)1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先由时域微分特性，有再利用频域微分特性，有即得(4).f(1-t)（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先利用时移特性，有f(t+1) F 1 (jω)e jω再利用尺度变换特性，有F 1 (-jω)e -jω(5).(1-t)f(1-t)（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解先由然后利用尺度变换特性，有最后利用时移特性，有[-(t-1)]f[-(t-1)]=(1-t)f(1-t) -jF" 1 (-jω)e -jω或者可利用(4)中结果：(1-t)f(1-t)=f(1-t)-tf(1-t)(6).f(2t+5)（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解证明下列函数的频谱函数，当τ→0时俱逼近于δ(t)的频谱函数1。
信号与系统(程耕国)下册课后习题答案
信号与系统（程耕国）下册课后习题答案6.2 精选例题例 1 设一个LTI 离散系统的初始状态不为零，当激励为)()(1n u n f =时全响应为)(121)(1n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(2n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=。
（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，求系统的全响应)(3n y 。
（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，求系统的全响应)(4n y 。
（3）求该系统的单位序列响应)(n h 。
解：设系统的初始状态保持不变，当激励为)()(1n u n f =时系统的零输入响应和零状态响应分别为)(n y x 、)(n y f 。
依题意，有：)(121)()()(1n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= ○1根据LTI 系统的性质，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(()(2n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=） ○2联立式○1、○2，可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(12121)()(2121(1111n u n y n u n y n n f n n x ）同样，根据LTI 系统的基本性质，不难得到：（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，系统的全响应为：)(4)()(3n y n y n y f x +=)(121214)(21211111n u n u n n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(421321511n u n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，系统的全响应为：)2(4)(2)(4-+=n y n y n y f x)2(121214)(21211111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=--++n u n u n n n n（3）由于)1()()(--=n u n u n δ，所以该系统的单位序列响应为：)1()()(--=n y n y n h f f)1(12121)(1212111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n u n u n n n n 例2 一个LTI 连续系统对激励)(sin )(t tu t f =的零状态响应)(t y f 如例2图所示，求该系统的冲激响应)(t h 。
《信号与系统》课程讲义3-4
t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理
信号与系统4-22例题
信号与系统4-22例题
【例题背景介绍】
信号与系统是一门研究信号及其处理、系统及其特性之间的关系的学科。
在课程中，例题的解析对于理解概念和掌握方法至关重要。
今天，我们来解析4-22例题，这是一道关于线性时不变系统（LTI）的题目。
【例题解析】
（1）问题分析
本题要求我们分析一个线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
给定系统函数H（s），输入信号x（t），求输出信号y（t）。
（2）解决方案
根据线性时不变系统的性质，输出信号y（t）可以表示为：
y（t）= x（t）*h（t）
其中，h（t）是系统函数H（s）的逆傅里叶变换。
（3）步骤详解
步骤1：根据系统函数H（s）求其逆傅里叶变换H（-t）
步骤2：将输入信号x（t）与H（-t）相乘，得到输出信号y（t）
【类似题型总结】
本题考查了线性时不变系统（LTI）的输入输出关系。
解决这类问题的关键是掌握系统函数H（s）与输入输出信号之间的关系，以及如何利用逆傅里叶变换求解输出信号。
【知识点拓展】
线性时不变系统（LTI）在信号与系统课程中占有重要地位。
了解其性质和特点，可以帮助我们更好地理解信号处理和系统分析。
【练习建议】
为巩固所学知识，建议同学们多做类似题型，加强对线性时不变系统（LTI）的理解。
同时，也要注意知识点之间的联系，将信号与系统的基础知识打牢。
通过以上解析，希望能帮助大家更好地掌握线性时不变系统（LTI）的相关知识。
在学习过程中，遇到问题时，可以参考课程教材、请教老师和同学，共同进步。
信号与线性系统分析 (第四版)第四章 级数
T 2 T 2 T 2 T 2
b-n
f (t ) sin( n t ) dt bn
龚茂康
扬州大学信息工程学院
f (t )
a0 2
( an cos n t bn sin n t )
n 1
信号与线性系统分析
A0 2
A0 2
A n cos(n t n )
n 1
A n Cos n Cos(n t ) -A n Sin n Sin(n t )
n 1 n 1
a n An Cos n , b n An Sin n ,
A n an
0
an
信号与线性系统分析
(2)奇函数 : 关于原点对称, f ( t ) f (t )
f (t )
t
a0 0
f (t )
龚茂康
n 1
an 0
b n sin n t
扬州大学信息工程学院
f (t ) cos nt为t的奇函数
an
信号与线性系统分析
信号与线性系统分析
第四章
傅里叶变换和系统的频域分析
很多问题在时域求解比较麻烦, 例如卷积; 很多问题在时域解释不清,例如声 音信号中的高低音处理; 第一个变换域------频域; 如何在频域中描述信号和系统?
龚茂康 扬州大学信息工程学院
信号与线性系统分析
§4-1 信号分解为正交函数 常用正交函数集 ①三角函数集
上式的物理意义：
f t 中含有sint、sin3t、sin5t等的正弦分量。
信号与系统
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
例5 如图所示的周期矩形波，试求其傅里叶级数。
解
由于这里f( t )是奇函数，故有
1 T a0 f (t )dt 0 T 0 T 2 2 an T f (t ) cos n1tdt 0 T 2 T T 2 2 4 2 bn T f (t ) sin n1tdt A sin n1tdt T 2 T 0 4A T (n 1, 3, 5,) 4 A cos n1t 2 n T n1 0 0 (n 2, 4, 6,)
df (t ) dF ( w) t F ( w) w dt dw
时移性
尺度变换（反褶）
（6）
频域微分 尺度变换
时移性
（7） 尺度变换
时移
频域微分
例9
傅里叶变换逆变换
例10
对称性（或利用典型变换直接可得结果）
例11
已知输入信号如图（b）所示， 求输出y(t)的频域表达式
例12
N 2 n ，即要求 N 16 n 8
因此，N不可能为整数，故序列不是周期序列
例 19 求下列各式Z变换，并给出收敛域
典型变换附录5-9
变量代换
0 k
1 k 1 ( ) z ( ) z k (2) ( z 1 ) k 2 k k 0 2 k 0
sin 4 t t
解： （1）
（2）
例13 求下列格式单边拉普拉斯变换
e
s
1 ( jw 0 s )t ( jw 0 s )t e ]dt 欧拉公式 1 [e 2j 1 1 1 ( jw 0 s ) t [ de de( jw 0 s )t ] 2 j jw0 s 1 jw0 s 1 1 e jw 0 s e jw 0 s [ ] 2 j jw0 s jw0 s w0 cos w0 s w0 s sin [ 2 2 ]e 2 2 s w0 s w0
信号与系统第一章习题
(2)
1 2,为时变系统
X
图解说明
xt
1
x t
经系统 1 2
O 1t
O
右移1
2t
x t 1 12 O1
第 17 页
3t
xt
xt 1
1
右移1 1
经系统
x t 1 1 2
O 1t
O 1 2t
O
2
4t
X
例1-7
第 18
页
系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统关系如下,判断系统是否
是因果系统。
X
例1-6
第 16
页
判断系统 yt x t 是否为线性时不变系统？
2
此系统的作用是展宽输入系统的信号，一切变换都是 对t而言
xt
经系统, t t 2
x t 2
时移, t t0
x t t0 2
(1)
xt 时移, t t0
xt t0
经系统, t t 2
x
t 2
t0
X
例1-5
第 14
页
判断方程 yt x2t 描述的系统是否为线性系统？
在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须 同时满足可加性和齐次性。
设x1t, x2t为两个输入信号
先经系统
x1t y1t x12 t
x2 t y2 t x22 t
再线性运算
ay1t by2t ax12t bx22t
2
1
O 1 2 3t
d f 6 2t
dt
1
(1) (1)
3
O 12
t
(2)
对信号的波形进行微分变换时， 应注意在函数的跳变点处会出 现冲激信号。
信号与系统的实际例子
信号与系统的实际例子
以下是 7 条关于“信号与系统”的实际例子：
1. 你知道手机通信吧？那就是一个超级典型的信号与系统的实际例子呀！你想想看，你的声音转化为电信号，然后通过各种复杂的系统传输、处理，最后在对方的手机上又变成声音让对方听到，这多么神奇啊！这不就像魔法一样把你的话语从一个地方“嗖”地变到另一个地方嘛！
2. 嘿，那电视的信号传输也是呢！电视台发出信号，经过一系列的系统，才能在你家电视上呈现出清晰的画面。
这就好像是一场接力赛，信号就是那个接力棒，各个系统就是运动员，一起努力把精彩的节目送到你眼前，是不是很厉害？
3. 咱家里的音响系统不也是吗？音频信号在里面转来转去，经过放大啥的处理，最后让我们能享受到超棒的音乐。
这就像是一个音乐的加工厂，把原始的信号加工成让人陶醉的旋律，哇哦！
4. 交通信号灯你熟悉吧！它也是信号与系统的表现呀！红绿灯交替的信号，指挥着车辆和行人有序通行，这不就像一个无声的指挥官在有条不紊地调度着一切，要是没有它，那交通得多混乱呀！
5. 医院里的医疗设备，好多也是靠信号与系统工作的哟！比如心电图仪，它捕捉人体的电信号，转化成图像，让医生能了解你的心脏状况。
这多重要啊，简直是在为我们的健康保驾护航呢！
6. 网络的传输不也是这样嘛！各种数据信号在网络系统中跑来跑去，让我们能随时聊天、看视频啥的。
这就像是信息的高速公路，让一切变得那么便捷，你说妙不妙！
7. 你看那卫星导航系统，车子里常用的那个。
它接收卫星的信号，然后通过复杂的系统给我们指引方向。
这就像是一个超级智能的向导，无论我们在哪里，都能找到正确的路，这也太牛了吧！
我觉得信号与系统真的是无处不在，而且超级重要，没有它们我们的生活得缺少多少精彩和便利呀！。
《信号与系统》课程讲义4-5
§4.5系统函数零极点∽频响特性一、频响特性1．概念①系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况②H (s )稳定系统0sin()m E t ω0()lim ()~ss t r t r t ω→∞=③包括：幅频特性、相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性00120012...j j n nK K K K K s j s j s p s p s p ωωωω−=++++++−−−−j e H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000−=−−⋅=⋅+=−−=−ϕωωωωωωje H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000ϕωωωωωω=⋅=⋅−==2．稳定系统的频响特性)()(220s H s E s R m zs ωω+=①系统响应：000()j H j H e ϕω=000()j H j H e ϕω−−=令则§4.5系统函数零极点∽频响特性0000()lim ()j t j tss zs j j t r t r t K e K e ωωωω−−→∞==+)sin()(2000)()(00000ϕωωωϕωϕ+=+−=++−t H E e e jE m t j j t j m 0000sin()sin()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++②0000cos()cos()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++§4.5系统函数零极点∽频响特性③ωω()H s 当正弦激励信号频率改变时，将代入得到频率响应()()()|()j s j H j H s H j e ϕωωωω===幅频特性相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性[例1]求系统的稳态响应22()3()2()2()3()d d dr t r t r t e t e t dt dt dt ++=+()sin cos 2e t t t=+解：222323()()3232s j H s H j s s j ωωωω++=→=+++−2(arctan arctan3)33213(1)1310j j H j ej −+==+4(arctan arctan3)32345(2)26210j j H j ej π−−+==−+()ss r t 13251()sin(arctan arctan 3)cos(2arctan arctan 3)10332210ss r t t t π=+−++−−§4.5系统函数零极点∽频响特性c ωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络允许信号通过低通特性时，网络不允许信号通过cωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络不允许信号通过高通特性时，网络允许信号通过1c ω2c ωω()H j ω带阻特性3．滤波网络分类：幅频特性1c ω2c ωω()H j ω带通特性1c ω§4.5系统函数零极点∽频响特性1111()()()()()()mmj j j j nniii i K s z K j z H s H j s p j p ωωω====−−=→=→−−∏∏∏∏Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωi M jN ,j i z p 频率特性取决于零、极点的分布4．频响特性的S 平面几何分析法()H j ωjj j j j z N eψω−=ij i i j p M eθω−=→令§4.5系统函数零极点∽频响特性121212121212[()()]1212()()()m nm n j j j m j j j n j m nj N e N e N e H j KM e M e M e N N N KeM M M H j e ψψψθθθψψψθθθϕωωω+++−+++=== 1212()()()m n ϕωψψψθθθ=+++−+++ 1212()m nN N N H j KM M M ω= 其中Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωiM jN §4.5系统函数零极点∽频响特性RC 21()()11()V s R sH s V s R s sC RC ===++CR++-1v -2v 【例2】研究图示的高通滤波网络的频响特性10z =零点：11p RC=−极点：解：转移函§4.5系统函数零极点∽频响特性()|()s j H s H j ωω==11()1211()j j j N e V H j e M e V ψϕωθω==→211111,()V N V M ϕωψθ==−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ=σ1RC−以矢量因子表示为1211111110,000,90()90N V N M RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩0ω=时，§4.5系统函数零极点∽频响特性121111111222,2245,90()45N V N M RC RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩ 1211111190,90()0N V M V θψϕω⎧→⇒→⎪⎨⎪→=→=⎩1RC ω=时，此点为高通滤波网络截止频率点ω→∞时，45 901RCω()ϕωO ()H j ω221§4.5系统函数零极点∽频响特性s RC 21()()()V j H j V j ωωω=1122R C R C ++-1v -2v C1R1C2R2++--3v 3kv 【例3】由平面几何法研究下图所示二阶系统的频响特性，，且§4.5系统函数零极点∽频响特性1311211112112223221()()1()()11()()()()()1sC V s V s R V s k s sC H s V s R C s s R R C R C V s kV s R sC ⎧⎪⎪=⎪+⎪⇒==⎨⎪++⎪=⎪+⎪⎩i 1121122110;,z p p R C R C ==−=−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ= σ111R C −×2M 2θ221R C−解：零、极点为：1122R C R C 由于221R C −，所以靠近原点，111R C −离开较远。
信号与系统第四章习题
1 3
s +1 ) ，复频移性质、尺度变换、S 域微分 3
b
b ⎤ 1 s - s ⎡ (4) f (at − b) = f ⎢a(t − )⎥ ↔ F( )e a ，时移性质、尺度变换 a ⎦ a a ⎣
4．7 题图 4．2 所示为从 t=0 起始的周期信号。求 f(t)的单边拉氏变换。
解： (a) f (t ) = f a (t ) *
∑ δ (t − nT )
n =0
∞
- s 1 f a (t ) = ε (t ) − ε (t − T / 2) ↔ (1 - e 2 ) s - s 1 1 1- e 2 1 = = ∴ F(s) = (1 - e 2 ) T -s ⎞ s 1 - e -sT s 1 - e -sT ⎛ ⎜ s ⎜1 + e 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ T T - s
2
K1 =
2 jπ / 6 2 − jπ / 6 e , K2 = e 3 3
∴ h(t ) =
π 4 −t 2 −t e cos( 3t + )ε (t ) = e 6 3 3
2
(
3cos 3t - sin 3t ε (t )
)
当 u s (t ) = ε (t ) 时， U( s ) = H ( s) =
−2 t 解：(1) e f (2t ) ↔
1 s+2 F( ) ，复频移性质、尺度变换 2 2 ⎡1 ⎤
2 2 -2s (2) (t − 2) f ( t − 1) = (t − 2) f ⎢ (t − 2)⎥ ↔ 2F′′(2s)e ，时移性质、尺度变换、S 域微分 2 ⎣2 ⎦
1
−t (3) te f (3t ) ↔ − F′(