[VIP专享]分形几何在实际生活中的应用
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种具有自相似性的几何图形，它可以在不同的尺度上重复出现相似的形态。
分形原理在自然界和科学领域中都有着广泛的应用，对于理解复杂系统和解决实际问题具有重要意义。
首先，分形原理在自然界中有着丰富的表现。
例如，树叶的脉络、云朵的形状、山脉的轮廓等都可以用分形来描述。
这些自然界中的分形结构展现了一种美妙的规律性，而这种规律性也被广泛运用在艺术创作和设计中。
艺术家们可以通过分形原理来创作出富有美感和动感的作品，设计师们也可以借鉴分形原理来设计出更加优美和高效的产品。
其次，分形原理在科学领域中也有着重要的应用价值。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形几何可以用来描述海岸线的形态、分形维数可以用来描述复杂流体的运动规律等。
在生物学领域，分形可以用来描述生物体的形态结构和生长规律，对于研究生物体的形态和生长过程具有重要意义。
在经济学和金融学中，分形可以用来描述市场的波动规律，对于预测市场的走势和制定投资策略具有一定的指导意义。
此外，分形原理还在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在图像压缩和信号处理中，分形压缩算法可以有效地减小数据量，提高数据传输和存储的效率。
在网络设计和城市规划中，分形原理可以用来设计出更加高效和合理的网络结构和城市布局。
在材料科学和制造工艺中，分形原理也可以用来设计出更加坚固和轻量的材料结构，提高材料的性能和使用寿命。
总之，分形原理是一种具有重要应用价值的科学原理，它不仅可以帮助我们更好地理解自然界和复杂系统，还可以为我们解决实际问题提供重要的思路和方法。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理的应用领域将会更加广泛，为人类社会的发展和进步带来更多的惊喜和帮助。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何原理，是由波兰数学家曼德尔布罗特于1975年首次提出的。
分形原理指的是存在于自然界和人
造物体中的重复模式，这些模式在不同的尺度上都呈现出相似的结构和特征。
换句话说，分形是一种具有自相似性的形态。
分形原理的应用十分广泛，下面列举几个主要领域：
1. 自然科学领域：生物学、地理学、气象学、天文学等都能从分形原理中获得启示。
例如，树叶、花瓣和岩石都具有分形结构，通过分析这些结构可以揭示它们的生长和形成规律。
2. 数学与计算机图形学：分形理论为图形图像的生成、压缩和渲染提供了新的思路和方法。
通过分形原理，可以生成具有逼真效果的山水画、云彩图等。
3. 经济学和金融学：金融市场中的价格变动往往呈现出分形特征，通过分析分形模式可以帮助预测市场走势和制定投资策略。
4. 艺术设计：分形原理在艺术设计中被广泛应用。
通过将分形结构应用到艺术作品中，可以创造出独特而美丽的图案和形态。
5. 计算机网络和通信：分形技术可以用于改进数据传输的效率和可靠性。
通过在网络中应用分形压缩算法，可以减少数据传输的带宽需求，提高网络性能。
综上所述，分形原理作为一种有着广泛应用价值的理论，已经
渗透到了各个学科和领域中，为科学研究和技术创新提供了新的思路和方法。
几何的实际应用认识几何在日常生活中的实际应用
几何的实际应用认识几何在日常生活中的实际应用几何的实际应用——认识几何在日常生活中的应用在我们的日常生活中，几何无处不在。
几何学不仅仅是一门学科，更是一种实际应用的工具。
本文将介绍几何在日常生活中的实际应用，并探讨其所带来的意义和影响。
1. 图形的测量与计算几何学最基本的应用之一就是图形的测量与计算。
我们常常会用到几何的知识来求解一些图形的面积、周长、体积等。
比如，我们需要计算一个房间的面积时，就需要使用几何学中的面积计算公式。
几何的测量与计算应用广泛，涉及到房屋建筑、土地测量、绘图制作等多个领域。
2. 地图与导航系统地图和导航系统是我们生活中常用的工具，而它们背后也离不开几何学的应用。
地图上的距离、方向、比例尺等信息都是通过几何学原理进行测量和计算得到的。
导航系统则利用几何学中的三角定位原理，通过卫星信号和几何算法来确定位置和导航路线。
这些几何学的应用帮助我们更加方便和准确地进行位置导航。
3. 建筑与设计几何学在建筑和设计领域有着广泛的应用。
建筑师利用几何学的原理来设计和构建各种建筑物，如房屋、桥梁、摩天大楼等。
几何的对称性、比例关系和空间感等都对建筑物的美观和稳定性产生重要影响。
同时，在家居设计中，我们也会运用几何学的知识来进行布局、选择家具的尺寸等，以达到更好的空间利用效果。
4. 美术与绘画几何学在美术和绘画中也扮演着重要的角色。
艺术家们经常使用几何原理来构建作品中的形状、比例和对称性。
几何学帮助艺术家们更好地表现出绘画作品的美感和艺术效果。
同时，几何的透视原理也被广泛应用于绘画和摄影中，使画面更加逼真和立体感。
5. 工程与制造在工程和制造领域，几何学也起到关键的作用。
例如，制造业中常用的零件加工、装配过程中，需要准确计算物体的尺寸、角度和位置。
几何学为工程师和技术人员提供了精确测量和计算的工具和方法，以确保产品的质量和精度。
同时，工程中的机械设计、结构设计和流体力学等也离不开几何学的应用。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何，是一种描述自相似性和复杂性的数学理论。
它指的是在自然界和人造物中，许多物体和现象都具有在不同尺度上重复出现的特征。
分形几何试图通过数学模型来解释这种自相似性，并提供了一种理解和描述复杂系统的方法。
分形原理的应用非常广泛。
以下是几个常见的应用领域：
1. 自然科学：许多自然界中的物体和现象都具有分形特征，如云朵、植物的分枝结构、山脉的形状等。
通过分形原理，科学家可以更好地理解和描述这些自然现象，并研究它们背后的原理。
2. 数据压缩：分形压缩是一种常用的图像和视频压缩方法。
它基于分形原理，将复杂的图像分解成一系列相似的子图像，并利用这些子图像的变换来重建原始图像。
分形压缩能够在保持图像质量的同时实现较高的压缩比。
3. 金融市场：金融市场的价格走势也常常具有分形特征。
通过分形分析，可以识别出市场中的重要转折点和趋势，为投资决策提供参考。
4. 计算机图形学：分形几何提供了一种生成逼真自然风景的方法。
通过分形算法，可以模拟出山脉、云彩等自然对象的形态和纹理，用于电影特效、游戏开发等领域。
5. 网络优化：分形原理可以应用于网络布线、数据传输等领域的优化。
比如，通过分析网络的分形结构，可以设计出更高效的布线方案，提高数据传输速度和可靠性。
以上只是一些分形原理应用的例子，实际上分形几何在科学、艺术、工程等各个领域都有广泛的应用，并且不断地拓展出新的应用领域。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。
分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。
分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。
在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。
利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。
而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。
比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。
在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。
除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。
比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。
在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。
在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。
总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。
希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。
分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。
分形几何在实际生活中的应用
分形几何在实际生活中的应用J XX-■课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometrynd itsApplicati ons课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press※课题背景些自然科学等等。
由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛但是，它的应用究度”为课题作进一步的探究。
人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。
但是也有一些新问题皂在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。
它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。
它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。
但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现一一原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。
其实不然。
在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实 例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好 的应用。
分形理论与分形几何在自然科学中的应用
分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。
在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。
这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。
分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。
他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。
自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。
分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。
分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。
分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。
分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。
分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。
分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。
分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。
地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。
通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。
例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。
其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。
生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。
通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。
例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。
此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。
在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。
分形几何学与生物
分形几何学与生物
分形几何学是一种抽象的数学理论，主要用于描述复杂多边形的
形状和表面。
它的起源可以追溯到17世纪前期，当时科学家们尝试分
解自然形成的物体，从而揭示它们背后的规律。
今天，分形几何学仍
然影响着很多有关形状和表面的研究，特别地，它对生物领域也有影响。
分形几何学应用于生物学研究具有多种不同的方法，主要侧重于
探究许多自然形成的结构，并预测更多自然形态。
例如，医学科学家
可以利用这一理论来更好地理解生物组织的细节结构，特别是神经系
统的发育过程。
此外，分形几何学还能用于探讨动物尾部的形成，而
这可以促进动物进化研究。
此外，它还可以帮助用于动物圈，因为它
可以用来研究并建模动物系统的复杂性和许多动物共生关系。
同时，分形几何学也可以用在植物学研究中，它可以帮助科学家
更准确地理解植物形成的规律。
例如，分形几何学可以用来探讨许多
植物如何增长叶片的形状，这又进一步影响着植物的光合生态学。
同
样的，它也可以帮助科学家们分析复杂植物细胞结构的外部表面结构，以及研究几何植物繁殖习性及其自然形成的结构和设计。
总之，分形几何学对于生物学领域的研究起着至关重要的作用，
它提供了一个明确科学研究自然形成事物的有力工具，帮助我们有效
地识别，理解并促进自然形态的形成。
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
分形几何学的应用领域与实例
分形几何学的应用领域与实例一、简介分形几何学是一门研究自相似结构的几何学分支，它的应用涵盖了许多领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
本文将介绍分形几何学在不同领域的应用，并举例说明其实际应用。
二、自然科学领域的应用1. 生态学分形几何学可以描述生态系统的空间结构和模式，揭示物种多样性和物种分布的规律。
例如，通过分析森林的分形维度，可以评估生物多样性和生态系统的稳定性。
2. 气象学分形几何学被用于分析天气系统中的云朵形态和气象图像的变化。
通过计算云朵的分形维度，可以对天气系统的复杂性和演化进行研究，并提供天气预报模型的改进。
3. 地质学分形几何学在地质学中的应用广泛，如地貌形态的分析和土地利用规划。
通过分形维度的计算，可以量化地表的粗糙度和复杂性，为地质灾害的预测和防治提供依据。
三、社会科学领域的应用1. 经济学分形几何学可以应用于金融市场的分析和预测。
股市价格的波动、股市指数和交易量等变量的时间序列数据都具有分形特征，分形几何学的方法可以揭示这些数据背后的模式和规律。
2. 城市规划分形几何学可以应用于城市结构的研究和规划。
通过计算城市空间的分形维度，可以评估城市发展的复杂性和组织性，为优化城市规划和交通规划提供指导。
3. 社交网络分形几何学可以用于分析和模拟社交网络的结构和演化。
通过研究社交网络的分形特征，可以揭示社交网络中的群体结构、信息传播模式等，为社交媒体的设计和社交行为的预测提供支持。
四、工程技术领域的应用1. 通信工程分形几何学可以用于无线信号传输中的天线设计和信道建模。
通过利用分形结构的多频段和多尺度特性，可以提高无线信号的传输效率和抗干扰能力。
2. 图像处理分形几何学在图像压缩和图像分割领域有着广泛的应用。
通过使用分形编码算法，可以实现对图像的高效压缩和恢复，实现图像传输和存储的节约。
3. 材料科学分形几何学可以用于研究材料表面的粗糙度和纹理特征。
通过分析材料表面的分形维度，可以评估材料的机械性能和耐磨性，为材料设计和制造提供指导。
分形学原理及应用
分形学原理及应用分形学是一种描述自然现象的数学理论，其核心原理是“自相似性”，即自然界中很多事物都有相似的形态和结构，如树叶的分支、云朵的形状、岩石的形态等，这些事物都有很强的自相似性。
通过分形学的研究，可以深入了解事物之间的相互关系，从而推动技术和科学的发展。
分形学的基本原理是一些简单形态的反复复制和缩放，从而形成复杂的图形和结构。
这种缩放可以进行无限次，因此分形图形是无穷大的，即便只看其中的一部分，也可以看到图形中具有类似整体的形态。
对于这些分形图形，我们可以通过数学公式进行描述和模拟，从而进一步了解它们的特点和本质。
分形学在很多领域都有应用，其中最为明显的是在自然科学领域。
例如，通过分形图形的研究，可以深入了解植物的生长规律、地质学中岩石的形成过程、气象学中天气模型等。
此外，分形学还被应用于医学、神经科学、艺术等领域。
在医学领域，分形学被应用于研究人体的生理过程和疾病的形成机理。
例如，通过对心电图的分形分析可以研究心脏的节律和健康状态，通过对癌症断层扫描图像的分形分析可以研究肿瘤的形态和生长规律。
此外，分形学还被用于神经科学中，可以研究神经元的连接方式和神经网络的构造。
在艺术领域，分形学的原理也被用于生成艺术作品。
例如，可以通过分形生成程序来产生各种形态的图形，这些图形可以用于艺术家设计各种艺术形式，如绘画、音乐等。
同时，分形图形也具有美学价值，不少艺术家使用它们来表达自己的情感和思想。
总之，分形学是一种有广泛应用前景的数学理论，在科学、医学、艺术等领域都有着重要的作用。
通过对分形学的深入研究和应用，我们可以进一步了解自然现象和人类社会之间的关系，推进技术和科学的快速发展。
分形几何学的应用领域与实例
分形几何学的应用领域与实例引言：分形几何学是一门研究自相似性质的数学学科，它对于描述自然界中的复杂结构和模式具有重要的应用价值。
本文将探讨分形几何学在不同领域中的具体应用，并介绍一些相关的实例，以展示分形几何学的实际应用价值。
一、自然科学领域的应用分形几何学在自然科学领域中有着广泛的应用，以下将介绍两个具体的实例。
实例一：自然界中的分形结构自然界中许多景观和生物结构都表现出分形特征。
例如，树叶的分支、闪电的形状以及云朵的结构都有着类似的分形特征。
通过分形几何学的方法，我们可以对这些自然现象进行更深入的研究，并通过数学模型描述它们的形态与特征。
实例二：生物系统的分形模型分形几何学在生物系统的研究中也具有重要的应用价值。
例如，生物的血管网络、肺泡结构以及神经细胞的分支等都可以通过分形模型进行表达和分析。
这种基于分形几何学的模型可以帮助科学家更好地理解生物系统的结构与功能，从而为生物医学领域的研究提供有益的工具和方法。
二、计算机图形学和数字媒体的应用分形几何学在计算机图形学和数字媒体领域也有着广泛的应用。
以下将介绍两个具体的实例。
实例一：分形压缩算法分形图像压缩算法是一种基于分形几何学原理的图像压缩方法。
通过将原始图像划分为一组自相似的小块，并使用数学函数来描述块之间的相似性，可以实现对图像的高效压缩。
这种方法可以在减小存储空间的同时保持图像的质量，因此在图像传输和存储方面具有重要的应用价值。
实例二：分形生成艺术分形几何学可以用来生成各种艺术形式，如绘画、音乐和动画等。
通过使用分形生成算法，艺术家可以创造出具有自相似性质的艺术作品，展现出独特的美学效果。
这种分形生成艺术在数字媒体领域中得到广泛应用，为艺术创作提供了新的可能性。
三、金融市场的应用分形几何学在金融市场的研究中也具有重要的应用价值。
以下将介绍两个具体的实例。
实例一：股市价格波动的分形模型分形几何学可以帮助研究股市价格波动的模式与规律。
通过对股市价格的分形分析，可以揭示出价格的自相似性质，进而提供对股市价格未来走势的预测和决策支持。
分形几何在自然界中的应用
分形几何在自然界中的应用自然界是一个充满了神秘和美妙的世界，我们可以在大自然中发现许多神奇的现象和形态。
其中，分形几何是一种独特的数学工具，可以帮助我们解释和理解这些复杂的自然现象。
本文将探讨分形几何在自然界中的应用。
一、植物的分形结构植物是自然界中最常见的分形结构之一。
无论是树木的枝干，还是花朵的形态，都展现出分形的特征。
以树木为例，我们可以观察到树干不仅会分成更小的树枝，而且每个树枝上的小树枝也会再次分叉，形成一个层层递进的分形结构。
这种分形结构不仅使得树木更加坚固和稳定，还能够最大化地吸收阳光和水分，提高植物的生存能力。
二、海岸线的分形特征海岸线是另一个常见的分形现象。
我们可以观察到，无论是大海岸线，还是小河流的岸线，都呈现出错综复杂的形态。
如果我们仔细测量海岸线的长度，会发现无论我们用多大的尺寸来测量，得到的结果都是不同的。
这是因为海岸线的形态是分形的，具有自相似的特性。
分形几何可以帮助我们理解海岸线的形成原理，以及预测海岸线的演化趋势。
三、云朵的分形形态云朵是自然界中另一个充满分形特征的现象。
我们可以观察到云朵的形态非常复杂，有着层层叠加的云团和细小的云朵。
这种分形形态使得云朵看起来更加柔软和丰满。
通过分形几何的分析，我们可以揭示云朵形成的物理过程，以及预测天气变化。
四、山脉的分形结构山脉是地球上最壮丽的景观之一，而且也展现出分形的特征。
从远处观察山脉，我们可以看到山峰之间错综复杂的纹理和形态。
如果我们放大观察山脉的一小部分，会发现同样的形态在更小的尺度上重复出现，形成分形结构。
这种分形结构使得山脉更加具有美感和层次感。
五、自然界中的分形模式除了以上几个具体的例子，我们还可以发现自然界中存在着许多其他的分形模式。
例如，叶子的纹理、蚂蚁的行走路径、河流的分支网络等等，都展现出分形的特征。
这些分形模式不仅令人惊叹，而且对我们理解自然界的规律和设计人工系统也有着重要的启示。
总结起来，分形几何在自然界中有着广泛的应用。
几何知识在日常生活中有哪些实际应用
几何知识在日常生活中有哪些实际应用在我们的日常生活中，几何知识无处不在，它以各种形式和方式影响着我们的生活，从简单的家居布置到复杂的建筑设计，从日常的出行导航到艺术创作，都离不开几何知识的应用。
先来说说家居装修方面。
当我们规划房间的布局时，几何知识就发挥了重要作用。
比如，要确定家具的摆放位置，我们需要考虑房间的形状和尺寸。
如果房间是长方形的，那么我们可能会选择将床沿着长边放置，以留出更多的活动空间。
在选择家具时，也需要考虑几何形状。
例如，圆形的餐桌在视觉上会让空间显得更加柔和，而方形的餐桌则更适合规则的餐厅布局。
此外，墙面的装饰也会用到几何元素。
像是几何图案的壁纸或者壁画，可以增加空间的层次感和立体感。
在建筑领域，几何知识更是至关重要。
从古老的金字塔到现代的摩天大楼，几何结构都为建筑物提供了稳固的支撑和独特的外观。
金字塔的三角形结构具有极高的稳定性，能够历经数千年而不倒。
而现代的高层建筑则常常采用框架结构，利用几何原理来分散重力和承受风力等外力。
建筑师在设计建筑物时，需要精确计算角度、长度和面积，以确保建筑物的安全性和功能性。
例如，计算屋顶的坡度可以保证雨水顺利排出，设计窗户的形状和位置可以最大程度地利用自然光。
同时，几何形状也赋予了建筑物独特的美学价值。
比如，悉尼歌剧院的独特贝壳形状成为了城市的标志性景观。
出行方面，几何知识同样不可或缺。
在地图导航中，我们经常会用到两点之间的直线距离、最短路径等概念。
通过计算不同路线的长度和角度，导航软件可以为我们规划出最快捷的出行路线。
此外，在交通标志和道路设计中也充满了几何元素。
圆形的交通环岛可以有效地疏导交通流量，三角形的交通警示标志能够引起驾驶员的注意。
道路的弯道和斜坡的设计也需要考虑几何原理，以确保行车的安全和舒适。
在艺术创作中，几何知识也有着广泛的应用。
画家和雕塑家常常利用几何形状来构建作品的框架和结构。
比如，蒙德里安的作品就以简洁的几何图形和鲜明的色彩组合而闻名。
几何知识在日常生活中有哪些应用
几何知识在日常生活中有哪些应用在我们的日常生活中，几何知识其实无处不在，它以各种形式融入到我们的日常活动和决策中，虽然有时我们可能没有意识到，但它确实发挥着重要的作用。
首先，让我们从家居装修说起。
当我们规划房间的布局时，几何知识就派上了用场。
比如，我们要确定家具的摆放位置，需要考虑房间的形状和尺寸。
如果房间是长方形的，我们可能会选择将床沿着长边放置，以节省空间并使房间看起来更整洁。
在选择家具时，几何形状也很重要。
例如，圆形的餐桌可能更适合小空间，因为它没有尖锐的边角，能让人们更自由地活动；而方形的餐桌则更适合较大的餐厅，能更好地与周围的环境搭配。
此外，计算房间的面积和周长对于购买合适数量的地板材料、壁纸等也至关重要。
如果不知道这些几何计算，很可能会导致材料的浪费或者不足。
在建筑领域，几何知识更是不可或缺。
建筑师们运用各种几何形状和原理来设计建筑物的结构和外观。
从古老的金字塔，其稳定的三角形结构历经千年不倒，到现代的摩天大楼，其复杂的几何外形不仅美观，还能承受巨大的风力和重力。
桥梁的设计也是一个很好的例子。
拱桥利用弧形的结构将重量分散到两端的支撑点上，从而能够跨越较大的距离；斜拉桥则通过钢索形成的几何形状来支撑桥身的重量。
在建筑施工过程中，工人需要根据图纸上的几何尺寸进行精确的测量和施工，以确保建筑物的安全性和稳定性。
当我们进行户外活动时，几何知识同样能帮助我们。
比如，在足球比赛中，场地的大小和形状是有严格规定的。
球员们需要了解场地的边界和角度，以便更好地控制球的运动方向和传球的准确性。
在登山或者徒步旅行时，我们需要通过地图和指南针来确定自己的位置和行进方向。
地图上的线条和符号实际上就是几何图形和坐标的表示，通过运用几何知识，我们能够计算出距离、角度和海拔高度等信息，从而规划出最佳的路线。
在农业生产中，几何知识也有不少应用。
农民在规划农田时，需要考虑土地的形状和面积，以便合理地划分种植区域和安排灌溉系统。
几何模型在现实生活中的应用
⼏何模型在现实⽣活中的应⽤天津师范⼤学本科⽣毕业论⽂（设计）题⽬：⼏何模型在现实⽣活中的应⽤学号： 02505075姓名：刘静专业：数学与应⽤数学年级： 2002级学院：数学科学学院完成⽇期： 2006年5⽉指导教师：张智⼴⼏何模型在现实⽣活中的应⽤摘要：⼏何模型是数学建模的重要⼯具，合理使⽤它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作⽤．⼀般来说，⼏何模型是针对具体实物建⽴起来的，即可在现实⽣活中找到原型，其⽬的是为了解决实际问题．它的应⽤范围⾮常⼴泛，在许多领域发挥着重要作⽤．本⽂从物体运动、运输、汽车设计优化等问题⼊⼿，分析如何建⽴其⼏何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应⽤领域，即还可利⽤此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，⼏何模型，简化The Application of Geometrical Model in Our Daily LifeAbstract:Geometrical model is a very important tool in mathematical modeling. Rational of it will simplify the original complex problems. Generally, geometrical models are constructed according to the concrete materials, namely, people can find their original models in real life. As geometrical model aims at solving the programmatic problems, it has been widely used. It plays a very important role in various fields. This paper mainly analyses the methods of constructing geometrical model from the perspectives of transportation, the moving of the object, and the optimal design of cars, and then explores the way of solving the problem. This paper also researches the applying fields of all the constructing models and the solving of some certain problems with these models.Key words:Mathematical modeling, Mathematical model, Geometrical model, Simplify⽬录⼀、前⾔ (1)⼆、⼏何模型在物体运动问题中的应⽤ (2)（⼀）步长选择 (2)（⼆）⾬中⾏⾛ (3)三、⼏何模型在运输问题中的应⽤ (6)（⼀）冰⼭运输 (6)四、⼏何模型在汽车设计优化问题中的应⽤ (10)（⼀）驾驶盲区 (10)（⼆）车灯线光源的优化设计模型 (12)五、⼏何模型在其它问题中的应⽤ (15)（⼀）医学中的应⽤ (15)1．⾎管分⽀ (15)（⼆）⽇常⽣活中的应⽤ (16)1．动物的⾝长与体重 (16)2．拐⾓问题模型 (17)参考⽂献 (19)⼀、前⾔近年来，数学模型和数学建模这两个术语使⽤的频率越来越⾼．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多⼈还不是很清楚．所谓数学建模就是利⽤数学⽅法解决实际问题的⼀种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题⽤数学⽅式表达，建⽴起数学模型，然后运⽤先进的数学⽅法及计算机技术进⾏求解．当⼀个数学结构作为某种形式语⾔（即包括常⽤符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换⾔之，数学模型可以描述为：对于现实世界的⼀个特定⽬的，根据特有的内在规律，做出⼀些必要的简化假设，运⽤适当的数学⼯具得到的⼀个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，⽤数学语⾔对实际现象的⼀个近似的刻画，从⽽便于⼈们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了⼀个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它⽤精确的语⾔表达了对象的内在特性，是利⽤函数、⽅程等变量描述⽅法以及数学概念创⽴的模型．但建⽴数学模型并⾮以模型为⽬标，⽽是为了解决实际问题．当我们建⽴⼀个数学模型时，我们从现实世界进⼊了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们⽤数学⽅法对数学模型进⾏推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即⽤现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界⼜终结于现实世界，数学模型是⼀道理想的桥梁．在实际应⽤中，数学模型可按不同⽅式分类．若按建⽴模型的数学⽅法分类，则它可分为⼏何模型、微分⽅程模型、图论模型、规划论模型、马⽒链模型等．这些模型彼此之间并⾮绝对孤⽴，⽽是互相渗透，互为⼯具．在可⽤数学建模的⽅法解决的问题中，有些⽐较简单，只使⽤其中的⼀种模型即可．例如，⼀把梯⼦斜靠在墙上，如何测得梯⼦和墙的夹⾓呢？⾸先建⽴梯⼦的⼏何模型，即将其假设为⼀线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯⼦与墙的交点到地⾯的垂直距离．再利⽤三⾓函数，便可计算出夹⾓．但在解决复杂问题时，仅使⽤⼏何⽅⾯的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使⽤，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使⽤⼏何模型作为辅助⼿段，也会为问题的解决带来惊喜．⼏何模型不是原型，既简单于原型，⼜⾼于原型，它是对原物体简化后的产物．⼏何模型有⼀定的适⽤条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建⽴所研究问题的⼏何模型就⼀定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则⼏何模型也⽆从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以⼏何模型的应⽤范围是很⼴泛的，地位是举⾜轻重的．下⾯我们将从四个⽅⾯，介绍⼏何模型的具体应⽤．⼆、⼏何模型在物体运动问题中的应⽤数学建模过程是由若⼲个有明显差别的阶段性⼯作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建⽴、模型求解、模型分析、模型检验、模型应⽤等过程．但建模要经过哪些步骤并没有⼀定的模式，以上只是机理分析⽅法建模的⼀般过程．在本⽂中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．物体运动中所涉及到的物体⼀定是有具体形状的，所以符合⼏何模型的应⽤条件．分析运动物体的⼏何结构，对其进⾏合理简化，是⼏何模型的⼀个重要应⽤．（⼀）步长选择问题描述：⼈在⾏⾛时所做的功等于抬⾼⼈体重⼼所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最⼩（即消耗能量最⼩）为原则．问⾛路步长选择多⼤为合适？问题分析：此问题若陷⼊⼈体复杂的⽣理结构之中，将会得出过于复杂的模型⽽失去使⽤价值．对⼈体进⾏合理的简化，是解决问题的⾸要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则⼈体的⽣理结构这⼀复杂因素是可以忽略的．另外，依靠平时⽣活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）⾝⾼H （或腿长h ）；（2）体重M ．为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设⼈体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h 、质量为m 的均匀杆；（2）设躯体以匀速v 前进．模型建⽴：如图1所⽰，重⼼升⾼12222cos 148l l h h h h h h δθ??=-=--≈（当l h 较⼩时）．腿的转动惯量23mh I =，⾓速度v w h =，单位时间图1的步数为v l ．所以单位时间⾏⾛所需的动能为32126e v mv W Iw l l==．单位时间内使⾝体重⼼升⾼所做的功为8v Mglv W mg l hδδ==，所以单位时间⾏⾛所需的总功368e mv Mglv W W W l h δ=+=+．代⼊v n l =，得2168m Mg W v n h n ??=+ ．于是当v ⼀定时，n =W 最⼩．由0v l n =，得0l =．求解完毕．（⼆）⾬中⾏⾛问题描述：⼀个⾬天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅⼀公⾥，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找⾬具，决定碰⼀下运⽓，顶着⾬去学校．假设刚刚出发⾬就⼤了，但你也不再打算回去了．⼀路上，你将被⼤⾬淋湿．⼀个似乎是很简单的事实是你应该在⾬中尽可能地快⾛，以减少淋⾬的时间．但是如果考虑到降⾬⽅向的变化，在全部距离上尽⼒地快跑不⼀定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在⾬中⾏⾛才能减少淋⾬的程度．问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，⼈⼈皆知⽆需进⼀步论述．我们的问题是，要在给定的降⾬条件下设计⼀个⾬中⾏⾛的策略，使得你被⾬⽔淋湿的程度最低．分析参与这⼀问题的因素，主要有：（1）降⾬的⼤⼩；（2）风（降⾬）的⽅向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降⾬的速度（即⾬滴下落速度）和降⽔强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把⼈体看成是⼀个长⽅体的物体（此项为⼏何⽅⾯的假设）．在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：⾬中⾏⾛的距离D （⽶）、时间t （秒）、速度v （⽶秒）；⼈的⾝⾼h （⽶）、宽度w （⽶）和厚度d （⽶）；⾝上被淋的⾬⽔总量C （升）．关于降⾬的⼤⼩，在这⾥⽤降⽔强度（单位时间平⾯上降下⾬⽔的厚度）I （厘⽶时）来描述．模型求解：为进⼀步简化这⼀问题的研究，⾸先讨论最简单的情形，即不考虑降⾬⾓度的影响，也就是说在你⾏⾛的过程中⾝体的前后左右和上⽅都将淋到⾬⽔．经简单论证可知，这是⼀个荒谬的假设，所建模型⽤以描述⾬中⾏⾛的⼈被⾬⽔淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降⾬⾓度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．若考虑降⾬⾓度的影响，则降⾬强度已经不能完全描述降⾬的情况了．现给出降⾬的速度，即⾬滴下落的速度r （⽶），以及降⾬的⾓度（⾬滴下落的反⽅向与你前进的⽅向之间的夹⾓）θ．显然，前⾯提到的降⾬强度将受降⾬速度的影响，但它并不完全决定于降⾬的速度，它还决定于⾬滴下落的密度．我们⽤ρ来度量⾬滴的密度，称为降⾬强度系数，它表⽰在⼀定的时刻在单位体积的空间内由⾬滴所占据的空间的⽐例数．于是有I pr =．显然，1p ≤，⽽当1p =时意味着⼤⾬倾盆，有如河流向下倾泻⼀般．如图2所⽰，在这种情形下为了估计出你被⾬⽔淋湿的程度，关键是考虑⾬滴相对于⾬中⾏⾛⽅向的下落⽅向．⾸先考虑02πθ<≤的情况．这时⾬⽔是从前⽅迎⾯⽽来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前⽅．因此淋在⾝上的⾬⽔将分为两部分来计算．先考虑顶部被淋的⾬⽔．⾬滴速度垂直⽅向的分量是sin r θ，顶部的⾯积是wd ．不难得到，在时间t D v =内淋在顶部的⾬⽔量应该是：()()1sin C D v wd pr θ=．再考虑前⽅表⾯淋⾬的情况．⾬速⽔平⽅向的分量是cos r v θ+，前⽅的⾯积是wh ，故前⽅表⾯被淋到的⾬⽔的量应该是()()2cos C D v wh p r v θ=+．因此在整个⾏程中被淋到的⾬⽔的总量应该是()12sin cos pwD C C C dr h r v vθθ=+=++．（1）如果假设落⾬的速度是4r =⽶，由降⾬强度2I =厘⽶时可以估算出它的强度系数61.3910p -=?．把这些参数值代⼊（1）式可以得到()46.95100.8sin 6cos 1.5C v vθθ-?=++．在这个模型⾥有关的变量是v 和θ，其中θ是落⾬的⽅向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值；⽽v 是要选择的⾬中⾏⾛的速度．由于在我们讨论的情形下有图2v02πθ<≤，⽽且C 是v 的减函数，因此当v 增⼤时淋⾬量C 将逐渐减⼩．考虑2πθπ<<的情形．在这种情形下，⾬滴将从后⾯向你⾝上落下．令90θα=+ ，则02απ<<．这个情形还要按照你在⾬中⾏⾛的速度再分成两种情况．⾸先考虑sin v r α≤的情形，也就是说⾏⾛的速度慢于⾬滴的⽔平运动速度．这时⾬滴将淋在后背上．淋在背上的⾬⽔的量是()sin pwDh r v α-，于是淋在全⾝的⾬⽔的总量应该是()cos sin C pwD rd h r v v αα=+-．当你以可能的最⼤速度sin v r α=在⾬中⾏进时，⾬⽔的总量的表达式可以化简为()cos C pwD rd α=．它表明你仅仅被头顶部位的⾬⽔淋湿了．实际上，这意味着你刚好跟着⾬滴向前⾛，所以⾝体前后都没有淋到⾬．如果你的速度低于sin r α，则由于⾬⽔落在背上，⽽使得被淋的⾬量增加．因此在这种情形下淋⾬量仍然是⾏⾛速度的减函数．第⼆个情形是sin v r α>的情形，这时在⾬中的奔跑速度⽐较快，要快于⾬滴的⽔平运动速度．这时⼈将不断地追赶⾬滴，⾬⽔将淋在你的胸前．被淋的⾬量是()sin pwhD v r v α-．于是全⾝被淋的⾬⽔的总量是()cos sin C pwD rd h v r v αα=+-．综合上⾯分析的结果，我们可以得到淋⾬量的数学模型为：()()()sin cos ,02,cos sin ,02,sin ,cos sin ,02,sin .pwD r d h hv v pwD C r d h hv v r v pwD r d h hv v r v θθθπαααπααααπα?++ <≤=+-<<≤-+<<>??????正如上⾯分析所得到的，模型中前两个式⼦都是速度v 的减函数．但是第三个式⼦的情形就⽐较复杂了，它的增减性将取决于括号内的式⼦cos sin d h αα-是正还是负，它刚好是关于⼈的体形的⼀个指标．从这个模型我们可以得到如下结论：（1）如果⾬是迎着你前进的⽅向向你落下，这时的策略很简单，应该以最⼤的速度向前跑；（2）如果⾬是从你的背后落下，这时你应该控制你在⾬中的⾏⾛的速度，让它刚好等于落⾬速度的⽔平分量．这时⾬滴不会淋到你的前胸和后背，只淋到了头顶上．⼩结：通过研究前⾯两个问题，我们作以下三点总结：（1）在第⼀个问题中，我们⽤⼏何模型结合物理知识，解决了⼈体⾏⾛中的步长问题．建⽴模型时，把⼈体只看作由躯⼲和下肢两部分组成，是对⼈体的第⼀次简化；接着⼜将下肢看作长为h、质量为m的均匀杆，是对⼈体的第⼆次简化．两次简化对问题的解决起到了关键作⽤，既合理简化了问题，⼜未因过分简化⽽使模型失去其使⽤价值．⽽在第⼆个问题的模型建⽴中，将⼈体直接看成是⼀个长⽅体的物体．通过对⽐我们可以看出，在解决不同的实际问题时，对同⼀物体可根据实际需要做出不同的模型假设．（2）通过解决第⼆个问题我们还可以发现，数学模型的建⽴是⼀个对模型反复推敲不断完善的过程．虽然建⽴模型是为了简化问题，但有时这种简化是过度的，即得到的结果与现实情况出⼊过⼤．这时就需要返回问题分析这⼀步骤，对模型原有假设进⾏修改，使其逐渐向原型靠近，从⽽得出合理的结论．（3）除⼈在⾏⾛中的步长选择问题以及⾬中⾏⾛问题外，还有很多物体运动值得我们研究．例如汽车刹车距离问题，即两车之间保持多长距离能保证司机在发⽣意外时可以及时刹车．在汽车驾驶中有这样的规则：正常驾驶条件下车速每增加10英⾥，后⾯与前⾯⼀辆车的距离应增加⼀个车⾝的长度．有⼈根据这⼀规则，推出了所谓的“2秒准则”，即后车司机若能在前车经过某⼀标志的2秒钟后到达同⼀标志，则此时两车之间的距离刚好．这个准则的合理性如何，是否有更好的准则？这些问题都值得研究．如果此准则合理，就可以确定两车在驾驶过程中应保持的车距了．三、⼏何模型在运输问题中的应⽤英国媒体于近⽇报道，英国最⼤的供⽔⼚商泰晤⼠⾃来⽔公司正在考虑将北极冰⼭拖运到伦敦，以化解可能⾯临的百年来最严重的⽔荒．该公司在伦敦举⾏的⼀次会议上说：“我们不得不考虑任何可能的⽅案，包括从北极拖运冰⼭及⼈⼯造⾬．尽管许多⼈可能觉得利⽤冰⼭的想法愚蠢荒唐，但不能排除这种可能性．”那么拖运冰⼭这⼀想法可⾏吗？⽤数学建模的⽅法便可解决这⼀问题．（⼀）冰⼭运输问题描述：在⽔资源⼗分贫乏的国家，政府不得不采⽤淡化海⽔的办法为国民提供⽤⽔，成本⼤约是每⽴⽅⽶淡⽔0.1英镑．有些专家提出从南极⽤拖船运送冰⼭到本国，以取代淡化海⽔的办法．这个模型要从经济⾓度研究冰⼭运输的可⾏性．问题分析：为了计算⽤拖船运送冰⼭获得每⽴⽅⽶⽔所花的费⽤，我们需要搜集关于拖船的租⾦、运量、燃料消耗及冰⼭运输过程中融化速率等⽅⾯的数据，以此作为建模必须的准备⼯作．在此我们只研究冰⼭⼏何模型的建⽴⽅法，故只给出冰⼭运输过程中的融化速率的数据表（见表1）．所谓融化速率是指在冰⼭与海⽔、⼤⽓接触处冰⼭每天融化的速度．融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰⼭与南极的距离有关．这是由于冰⼭要从南极运往⾚道附近的缘故．表1 冰⼭运输过程中的融化速率建⽴模型的⽬的是选择拖船的船型和船速，使冰⼭到达⽬的地后，可得到的每⽴⽅⽶⽔所花的费⽤最低，并与海⽔淡化的费⽤相⽐较．模型假设：根据建模⽬的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设．（1）拖船航⾏过程中船速不变，航⾏不考虑天⽓等任何因素的影响．总航⾏距离为9600km ．（2）冰⼭形状为球形，球⾯各点的融化速率相同．这是相当⽆奈的假设，在冰⼭上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，这样体积的变化才能简单地计算．（3）冰⼭到达⽬的地后，13m 冰可以融化成0.853m ⽔．模型建⽴：⾸先需要知道冰⼭体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航⾏中的燃料消耗，由此可以算出到达⽬的地后的冰⼭体积和运费．在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式．模型构成可分为以下⼏步．（1）冰⼭融化规律根据假设（2）先确定冰⼭球⾯半径的减⼩量，从⽽得到冰⼭体积的变化规律．记冰⼭球⾯半径融化速率为r ⽶，船速为u km h ，拖船与南极距离为d km ．根据表1中融化速率的数据，可设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正⽐，⽽当4000d km >时r 与d ⽆关，即设()()121,04000,1,4000,a d bu d r a bu d +≤≤??=?+>?? （2）其中1a ，2a ，d 为待定参数．这可以解释为04000d km ≤≤相当于从南极到⾚道以南，海⽔温度随d 增加⽽上升，使融化速率r 也随d 的增加⽽变⼤．⽽4000d km >后海⽔温度变化较⼩，可以忽略．利⽤表1所给数据确定出51 6.510a -=?，20.2a =，0.4d =．（3）当拖船从南极出发航⾏第t 天时，与南极的距离为24d ut =．（4）记第t 天冰⼭球⾯半径融化速率为t r ，将（3）、（4）式代⼊（2）式得()()310001.561010.4,0,610000.210.4,.6t u u t t u r u t u -??+≤≤??=??+>??（5）记第t 天冰⼭半径为t R ，体积为t V ，则01tt k k R R r ==-∑，（6）343t t V R π=，30043V R π=，（7）其中0R ，0V 为从南极启运时冰⼭的初始半径和体积．由（5）～（7）式可知冰⼭体积是船速u 、初始体积0V 和航⾏天数t 的函数，记作()0,,V u V t ，有()3014,,3t k k V u V t r π=?=∑，（8）其中k r 由（5）式表⽰．（2）燃料消耗费⽤：记为()t V u q ,,0（天英镑）．已知燃料消耗对船速u 和冰⼭体积V 的对数V lg 均按线性关系变化．利⽤搜集的数据，计算出()()-???? ??-+=∑=378.043lg 362.7,,1300t k k r V u u t V u q π．（3）运送冰⼭费⽤：记为()0,V u S ．费⽤由拖船的租⾦和燃料消耗两部分组成．根据搜集的数据，得()()()-???? ??-++=∑∑==T t t k k u r V u u u V f V u S 11300015143lg 362.7400,π．（9）其中，()0V f 表⽰⽇租⾦，且()5056006704.0,510,6.2,51010,8.0,1010.V f V V V ?≤??=?<≤??<≤?（4）冰⼭运抵⽬的地后可获得⽔的体积：将T t =代⼊（7）式，得冰⼭运抵⽬的地后的体积．再由假设（3），得⽔的体积为()313004334.3,???? ??-=∑=T t t r V V u W ππ．（10）（5）每⽴⽅⽶⽔所需费⽤：记为()0,V u y ．由（9）、（10）式显然有()()()000,,,V u W V u S V u y =．模型分析：此题假设冰⼭呈球形，简化了计算．但球形与现实中冰⼭的形状相去甚远，将其假设为圆台更为接近．此举势必将加⼤解题难度，甚⾄导致结果的变更．下⾯我们简单分析⼀下，将冰⼭的形状从球形改为圆台后，会对整个建模过程造成何种影响．若假设为圆台，则圆台的上下底⾯半径r 、R 及⾼度h 的变化都要考虑．在拖运之初测量冰⼭圆台的上下底⾯半径0r 、0R 及初始⾼度0h ，有以下关系：010r R ρ=，020h R ρ=．（11）且此⽐例在冰⼭融化过程中不变．记冰⼭圆台下底⾯半径融化速率为r ⽶天．与例题⼀样，设r 是船速u 的线性函数，且当04000d km ≤≤时r 与d 成正⽐，⽽当4000d km >时r 与d ⽆关，即设()()121,04000,1,4000,a d bu d r a bu d +≤≤??=?+>?? （12）其中1a ，2a ，d 为待定参数．要确定1a 、2a 、d 的值，需要给出另外⼀组测量数据．将24d ut =代⼊（12）式，即得第t 天冰⼭圆台下底⾯半径的融化速率t r ．记圆台所在圆锥的⾼为H ，则Rh H R r=-．（13）记第t 天冰⼭上下底⾯半径为t r 、t R ，⾼为t h ，圆台所在圆锥的⾼为t H ，体积为t V ，则01tt k k R R r ==-∑，（14）1t t r R ρ=，2t t h R ρ=，t t t t tR h H R r =-，（15） ()2213t t t t t t V R H r H h π??=--??，()2200000013V R H r H h π??=--?．（16）由（11）～（16）式可知冰⼭体积是船速u 、初始体积0V 和航⾏天数t 的函数，记作()0,,V u V t ．⾄此，只要给出所需数据，我们便可计算出()0,,V u V t ．由于0V 的改变，之后的燃料消耗费⽤、运送冰⼭费⽤、冰⼭运抵⽬的地后可获得⽔的体积、每⽴⽅⽶⽔所需费⽤都会发⽣变化，从⽽可能导致此⽅案的可⾏性发⽣变更．四、⼏何模型在汽车设计优化问题中的应⽤汽车在我国的普及率正在稳步提升，它以其便捷⾼速的特性吸引着⼈们的注意⼒，所以有越来越多的⼈选择汽车作为了代步⼯具．但是汽车的设计还有许多有待改进的地⽅，例如车⾝的形状、各部件的设计、安全装置等都有继续完善的必要．所以此领域的研究有着重要的应⽤价值和商业价值，已为更多⼈所重视．（⼀）驾驶盲区问题描述：在汽车驾驶过程中会出现这种情况：在拥挤的道路变换车道与转弯时，后⽅突然有车辆出现，司机防范不及，造成车祸．试分析车祸原因，并给出解决⽅案．问题分析：汽车上共有内外三⾯后视镜，驾驶员通过这三⾯镜⼦来观察后⾯的车流情况，以决定何时可以转弯，⽽不会有危险发⽣．但是由于后视镜的尺⼨都不是很⼤，这样使驾驶员能看到的范围就很⼩．需要看到的地⽅没办法看到，那块地⽅就是所谓的盲区．存在着盲区就存在着⼀定的安全问题，车祸出现的原因就在于此．若想避免此类车祸的发⽣，必须改善后视镜的设计，使盲区的范围缩⼩或者消失．后视镜的⾓度虽然可调节，但⼀般都由司机固定在其最习惯的地⽅，即可观察到的区域范围已确定，如图3所⽰．模型假设：（1）设汽车为长⽅体，俯视为长⽅形，且关于直线l 对称，司机位于其对称轴上⼀点（在车内）；（2）假设两外后视镜与车⾝的夹⾓为θ，此值固定不变；（3）假设汽车所⾏驶的车道两旁分别只有⼀个车图3道．由对称性，我们只研究左侧车道上的车辆．通常汽车所安装的后视镜均为平⾯镜，这样设计是为了使驾驶员观察到的物体不变形，符合⼈的视觉习惯，但缺点是视野较⼩．扩⼤视野是解决此问题的关键．众所周知，凸⾯镜的成像区域要⽐平⾯镜⼤很多，所以考虑将平⾯镜换为凸⾯镜是否可以．若直接将平⾯镜换为凸⾯镜，势必将影响司机的正常驾驶，从⽽造成新的隐患．所以我们不妨考虑在外后视镜的外端或内后视镜的上⽅添加凸⾯镜（本⽂只研究在外后视镜的外端添加凸⾯镜这种情况），这样便可使问题得到解决．接下来，需要考虑的问题是，选择什么弧度的球冠最为合适．球冠的选择不是半径越⼩、弧度越⼤就越好，⽽是使司机可以观察到需要观察的车辆就可以了．根据上⾯的假设，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：汽车的长a 、宽b ；驾驶时前后两车的车距d ；视野需扩⼤到?⾓；所需凸⾯镜的长度m ．模型建⽴：球⾯上各点⼊射光线的反射光线可根据该点的切平⾯确定．由于车道上需要观察的车辆与所在车辆位于同⼀⽔平位置，所以要确定取何种球冠最为合适，只需研究球冠与此⽔平⾯相交的弧上的A 点的反射光线即可．如图4所⽰，标出各变量．如图5所⽰，由汽车的长a 、宽b 及车距d ，可知 arctan b a d=+．（17）若?⾓确定，则反射光线也可确定，即两线的夹⾓可测．设测量结果为α，因⼊射⾓等于反射⾓，故⼊射⾓的⾓度为2α．图4中的φ表⽰的是法线与凸⾯镜的边的夹⾓，显然有()22ααφ?θθ?=--=+-．（18）故球的半径为 2cos m r φ=．（19）综合（17）～（19）式，便可确定球的⼤⼩及所需球冠的⼤⼩．问题得解．模型分析：在本题中，我们选取的是整个球冠．其实，在平时使⽤时，球冠的上图4图5半部分基本没有太⼤⽤途．因为由上半球冠观察到的物体多为⾼空景物，这对驾驶员来说不仅没有太⼤⽤处，⽽且还会分散其注意⼒，带来不必要的⿇烦．所以，我们还可对模型做进⼀步的修改，将球冠改为半球冠，只要其下半部分就⾜够了．本例题的研究结果可应⽤到其他⽅⾯．例如在某些⼩区的⼗字路⼝会放有⼀个凸⾯镜．⾏⼈可以⽤它观察到其它路⼝的路况，从⽽减少交通事故的发⽣．这个凸⾯镜的放置原理和汽车的后视镜是⼀样的，所以它的位置亦可⽤此模型来确定．（⼆）车灯线光源的优化设计模型问题描述：假设汽车头部的车灯的反光⾯为⼀旋转抛物⾯，灯丝是⼀线光源．要求设计线光源的长度，使车灯既满⾜技术要求，⼜使线光源的功率最⼩．问题分析：线光源任意⼀点发出的光，可直接照射在光屏上，也可以经过灯罩(旋转抛物⾯)⼀次反射(不考虑⼆次反射)后，间接照射在光屏上．线光源上不同位置的点发射的光线投射到抛物⾯上，反射后能够到达指定点的投射点的集合(称为有效投射点的集合)是不同的．因为线光源过焦点对称⽔平放置，线光源上点的位置分布仅与长度有关，因此在满⾜设计规范要求的条件下，寻求线光源功率最⼩，线光源长度是决定因素，⽽弄清线光源上各点有效投射点的情况，则是解决问题的⼀个关键所在．模型假设：（1）不考虑光的⼆次反射；（2）不考虑光的折射；（3）不考虑光的⼲涉和衍射；（4）光在传播过程中不吸收新的能量，仅考虑光的扩散；（5）光在同⼀连续均匀介质中(例如空⽓)传播；（6）灯丝为理想线光源，没有横向尺⼨，不考虑灯管遮光；（7）旋转抛物⾯可认为由⽆数微⼩平⾯镜组成，⼊射光发⽣完全镜⾯反射，旋转抛物⾯不吸收能量．模型建⽴：如图6所⽰，按照右⼿螺旋准则建⽴空间直⾓坐标系（单位：mm ），根据已知数据可以求出旋转抛物⾯的⽅程为2260x z y +=，焦点()0,15,0F ，()0,25015,0A ，()1300,25015,0B ，()2600,25015,0C ，。
分形几何在实际生活中的应用
分形几何在实际生活中的应用课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometry and itsApplications课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press※课题背景人们常说，数学是一门古老的学科，无论是历史悠久的《九章算术》，还是让欧几里德全球闻名的不朽名著《几何原本》，都在古代起就对数学这门学科的发展起到极其重要的作用。
但是也有一些新问题是在二十世纪中后期才被发现的，分形几何就是其中最具有代表性的。
分形几何被誉为大自然的几何学，它又是现代数学的一个崭新分支。
它的发现填补了数学领域上实际应用较少的空白，但是它的本质却是一种新的世界观和方法论。
它的发现是人类打开了一个完全崭新、令人兴奋中带着些惊讶的几何学大门。
但人熟知分形几何时，他们会有不可思议的发现——原来分形几何无处不在，而且正因为在地球上有了分形几何之一学科，世界才会变得更加精彩，分形几何这一新兴的数学领域触及到我们生活中许多学科方面的知识，比如天文学、地理学、经济学、气象学、生物学、电影摄像学，以及另外的一些自然科学等等。
也许有人说，分形几何和代数、方程一样，在一般的实际生活中几乎没有应用和实例。
其实不然。
在生活、学习、工业、农业、饮食、文化、娱乐、气象、交通等等各个领域中都有着许许多多的应用与实例，只要做个有心人，仔细观察身边的事物就能找到它们了。
由此我们可以看出分形几何的应用十分广泛。
但是，它的应用究竟有多广泛呢？因此我们将围绕“分形几何在生活中的应用的广泛程度”为课题作进一步的探究。
研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。
几何图形在生活中的应用
几何图形在生活中的应用曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个端点就是家和学校。
每天清晨，在紧张的自行车铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一天的学习旅程；傍晚，伴随着“回家”的萨克斯乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书包回家。
随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是个多边形，复杂而又丰富。
果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影与花相映，人比花娇，花比人艳。
恩，生活是个三角形！书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部长方形的“大块头”都是我的挚爱。
啊，生活还是个四边形！田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，赏花开……这时，我忽然感到：生活是五角形、六边形……在这么多形状中，我最喜欢圆形。
圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，最富有人情味，最富有诗意的图形。
我追求完美。
什么事都要求尽善尽美，就像圆一样。
所有学科我都要争做第一，语、数、外，理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要一争高下。
我富于想象、创造。
每一道数学思考题我都想别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，就像圆一样，一个圆心，无数的半径。
因为只有不停地想象，不断地创新，我们的未来才更宽广！我广交朋友。
“手拉手”的小伙伴，我有一大堆。
陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我们的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使远在天涯海角。
“海内存知己，天涯若比邻”，就像圆心与圆上的点一样，心心相印。
“但愿人长久，千里共婵娟”，人们祈盼团圆，追求团圆；“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。
”人不可能事事圆满，就像圆心是固定的，而半径是无穷的，是要我们自己去努力拓展的。
让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆吧！朋友，相信你一定能成功！。
分形几何的应用
分形几何的应用分形几何是法国数学家芒德布罗在1975年将具有分数维数的图形，例如科赫曲线，称为分形，建立了以这类自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体为对象的数学新分支。
分形几何作为一门新兴的学科已经开始逐渐发展，它的应用遍及哲学、数学、物理学、化学、地质学、水文学、气象学、天文学、地震科学、人口学、情报学、经济学、管理科学，甚至在电影、音乐、美术、书法等。
下面介绍一些分形几何在当代社会中的应用。
在生命科学的研究中，科学家发现，细胞的分裂正是生物体分形的基础以及近几年来的研究表明，蛋白质的分子链具有分形特征，这就为揭开生命之谜提供了新的思维方法；而且分形在中医治病的病理中起着重要的作用，因为分形理论从人体分形着手进行分析，得出令人耳目一新的结论，以针灸为例，一个穴位是人体某一部分的缩影，是一个分形元，当人体的某一器官或部位有病时，就必然要在相应的穴位上表现出来，在穴位上产生对痛刺激敏感，皮肤电阻降低等病理生理反映，因此，对特定穴位施加刺激，就会产生治疗效果，这就是中医治病的病理分形性。
在实际工程问题中，如石油开采就可以利用分形理论进行研究则有可能大幅度地增产石油；而且分形理论为化学家深化对高分子地认识提供了有利的工具使得对凝胶形成的机理、凝胶点的确定、凝胶的生成的控制都有很好的作用。
芒德布罗经过研究不仅计算出英国西海岸线、澳大利亚海岸线、南非海岸线、西班牙与葡萄牙的国界线的分形维数分别是1.25、1.13、1.02、1.14，还将分形应用于经济学，他测定出美国60年的棉花价格随时间变化的分形维数；在矿业应用方面，中国工程院院士谢和平教授将分形理论应用于岩石损伤力学的研究，提出了演示损伤的分形模型及演化机理；国际上的一些学者将分形应用于情报学，语言学和证券的变化进行深入的研究，得出了相应的分形维数，有了这些分形维数，专家们就可以预测出在该方面的一些结果，这有利于人类的进步。
近二十年来，国外许多大公司组织了大批科学家致力于分形的应用研究，取得了一批富有价值的成果，例如：根据分形几何原理合成了保温性能最佳的人造羽绒。
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分形几何在实际生活中的应用课程名称：分形几何在实际生活中的应用英文名称：Fractal Geometry and itsApplications课题组成员名单：李蕴白（组长）、俞梦倩、杨婷怡、成祖泓、楼琪伟、杨德峻选用教材或参考书：教材：《分形几何---数学基础与应用》参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press泛程度”为课题作进一步的探究。
研究目的：对分形几何的知识有初步的了解，在生活中找实例来研究分形几何的实用性，一边去拓宽思维及更好的应用。
研究方法：研究方法是理论与实际相结合，大约能分成六个阶段。
第一阶段：认真查阅老师所发的资料，并上网查询分形几何的基础知识，要对分形几何有一个初步了解第二阶段：继续上网查找网络上对分形几何应用情况的数据资料，仔细阅读以便对下步研究活动作铺垫。
第三阶段：拟定一份调查问卷，在各自班中做调查问卷，统计数据。
问卷中包括他们对分形几何的了解程度，以及他们认为分形几何在现实生活中所应用的实力。
第四阶段：对一致的一些可能是分形几何的实例进行调查，并用数码照相机拍摄一些关于实例方面的照片。
第五阶段：小组讨论，对拍回的照片和实例作进一步分析，讨论这些实例是不是分形几何的应用。
第六阶段：结合各种资料图片，做出最后的研究报告。
姓名：李蕴白 昵称：小白出生年月：８８．１１．２１ 星座：天蝎海拔（c m）：１６２ 爱好：吃喝玩乐睡、电视唱歌聊天…… 最喜欢的明星：最爱吃的东东：钵崽糕 个性签名：个人说明：姓名：俞梦倩 昵称：ＦＩＳＨ 出生年月：８９.１.２７ 星座：水瓶海拔（cm）：１５９ 爱好：睡觉最喜欢的明星：王力宏最爱吃的东东：巧克力个性签名：个人说明：姓名：杨婷怡 昵称：ＫＩＴＥＲ 出生年月：８８.１２.２１ 星座：射手海拔（cm）：１６５ 爱好：运动最喜欢的明星：最爱吃的东东：烧烤 个性签名：个人说明：姓名：成祖泓 昵称： 出生年月：８９.７.２２ 星座：巨蟹海拔（c m）：１７０ 爱好：Ｆ１、Football最喜欢的明星：Rooney、吉祥兄弟、Albers最爱吃的东东： 荤菜 个性签名：There is only one united in the world个人说明：马丁内斯的身高+王珂的体型+C.罗的冲劲+陈佩斯的搞笑力+Albers的韧劲=我姓名：楼琪伟 昵称：出生年月：８９.４.２３ 星座：金牛海拔（c m）：１６８ 爱好：幻想最喜欢的明星：最爱吃的东东： 牛肉 个性签名：个人说明：※分形几何内容简介分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。
“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。
与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。
作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。
可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。
♀※什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
将两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。
所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。
"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。
这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。
同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
这一点与上面所讲的例子："一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息"，完全吻合。
不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。
我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
分形几何：复平面中的神奇迭代（专业知识）Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图形。
虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。
在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。
Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。
例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。
但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。
Julia 集合在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。
每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。
现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。
将其代入下面方程中进行反复迭代运算：就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。
再把新的Z作为旧的Z，重复运算。
当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。
非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。
问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。
一般按下述算法近似计算：n=0;while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax)){Z=Z*Z+C;}其中：Nmax为最大迭代次数Rmax为逃离界限退出while循环有两种情况，第一种情况是：(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。
第二种情况是：n >= Nmax属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。
黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。
"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。
黑白两色的图形艺术感染力不强。
要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。
要想获得较好的艺术效果，一般对n做如下处理：Red = n*Ar+Br;Grn = n*Ag+Bg;Blu = n*Ab+Bb;if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red^ 0xFF;if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn^ 0xFF;if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^0xFF;其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为修正量获得的Red、Grn、Blu为RGB三基色，着色效果为周期变化，具有较强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏在周期变化的色彩之中。
你可以想象得出，在屏幕上顺序的试用每个像素点来反复迭代方程要花费很长的时间。
一幅1024x768 屏幕尺寸的画面有786432个点。
其中一些点在计算机上要反复迭代方程次数达1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃运算。
运算产生一幅Julia集合需要花费很长的时间，有时需要产生一幅做海报用的大图像时，如10240x7680，要花几天的时间。
当然，你使用高速计算机会缩短这个时间。
Mandelbrot 集合将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。
Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。
迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2Mandelbrot集合是所有的朱莉娅集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。
Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状（见图1）。
你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是受到计算机精度的限制。
Newton/Nova 分形Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。