量子力学薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
薛定谔方程形式解
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化规律。
该方程的形式非常复杂，涉及到时间和空间的偏微分以及波函数等概念。
下面是对薛定谔方程形式解的一些说明：
1. 薛定谔方程的基本形式为：
- ihbar/tau粒*▽ψ(x, t) = Hψ(x, t)
其中，H是哈密顿量，ψ(x, t)是波函数，τ是时间演化参数。
这个方程表示，在给定初始条件下的波函数随时间的演化满足微分方程。
2. 波函数的求解依赖于具体的哈密顿量以及初始条件。
一般来说，我们可以通过分离变量等方法将波函数展开成一系列不同频率的谐波之和，从而得到波函数的解析解。
但是，对于一些复杂的哈密顿量，波函数的求解通常需要使用数值方法。
3. 薛定谔方程的解通常被称为波包，它描述了微观系统随时间的演化过程。
波包的形状和大小取决于初始条件和哈密顿量的性质。
对于一些简单的情况，例如一维无限深势阱或者谐振子等，我们可以得到一些具有实际意义的波包形状。
4. 薛定谔方程在量子力学中具有非常重要的地位，它描述了微观系统的波粒二象性以及量子叠加态等基本概念。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观系统的量子态，从而对量子系统进行计算和控制。
5. 除了薛定谔方程本身，还有许多其他的量子力学方程和近似方法，例如狄拉克方程、海森堡方程、路径积分等。
这些方法在量子力学中都有重要的应用，可以解决不同类型的问题和计算任务。
总之，薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化过程。
通过对波函数的求解和计算，我们可以对量子系统进行深入的研究和实验控制。
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。
它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
图2.3 例题2.2中的初始波函数
所有这些概率的之和一定为1， ∑∞n=1cn2=1.(2.38)
能量的期望值一定是 〈H〉=∑∞n=1cn2En.(2.39)
例题2.3 在例题2.2中的初始波函数(图2.3)与基态 ψ1(图2.2)很相似，这意味着 c12将是主要的，事实 上c12=815π32=0.998555….其余的系数之和为与1 的差额
2.3.1 代数法 2.3.2 解析法
2.3 谐振子
图2.4 对任意势能极小值点附近的抛物线形近似(虚线)
图2.5 谐振子的能态“梯子”
2.3.1 代数法
ψ0(x)=mωπћ1/4e-mω2ћx2。(2.59) 我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量
(以式2.57的形式)，ћω(a+a-+1/2)ψ0=E0ψ0， 利用a-ψ0=0，有：
解：第一问很简单： Ψ(x,t)=c1ψ1(x)e-iE1t/ћ+c2ψ2(x)e-iE2t/ћ， 这里的E1,E2是ψ1,ψ2相应的能量，由此 Ψ(x,t)2=(c1ψ1eiE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)(c1ψ1e-
iE1t/ћ+c2ψ2eiE2/ћ)=c21ψ21+c22ψ22+2c1c2ψ1ψ2cos［(E2E1)t/ћ］. (这里用了欧拉公式expiθ=cos θ+isin θ来化简。)很显 然，概率密度以正弦形式振动，角频率是(E2E1)t/ћ；这当然不是一个定态。但是注意它是(具有 不同能量的)定态的线性组合，并且这种组合会产生 运动
2.1 定态
1.它们是定态(stationary states)。 ２.它们是具有确定总能量的态。 3.一般解是分离变量解的线性组合。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
量子物理第二章薛定谔方程(20211023)(有补充)
第27章薛定谔方程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
·薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程·一维自由运动粒子无势场，不受力，动量不变。
· 一维自由运动粒子的波函数(前已讲)由此有· 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程·推广到若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有 ∂ψ∂ x = ( )P ψi h∂2ψ ∂ x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = P 22m E = +U (x , t )∂ t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ∂x 2∂ ∂2一维薛定谔方程 式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相比较,只要把再作用到波函数 ψ (x , t ) 上，即可得到 上述方程。
P 22m E = +U (x , t )2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式· 拉普拉斯算符(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材B 版p332)·当 U (r , t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数∂2 ∂x 2 ∂2 ∂y 2 ∇2≡ + + ∂2 ∂z 2·波函数的叠加原理薛定谔方程是ψ的线性微分方程；若ψ1、ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。
(c1、c2是常数)★E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 若粒子在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔方程式可用分离变量法求解。
薛定谔方程、量子力学简介
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
量子力学中的薛定谔方程和量子力学
薛定谔方程的物理意义
它决定了粒子在给定势能下 的波函数和概率密度
薛定谔方程是描述量子力学中 粒子运动状态的偏微分方程
薛定谔方程是量子力学的基本 方程之一，是理解和预测物质
行为的关键工具
薛定谔方程的解可以揭示粒子 的能量、动量和角动量等属性
薛定谔方程的解 法
分离变量法
分离变量法：将薛定谔方程中的波 函数分离为空间和动量两个部分， 从而简化求解过程
无法处理量子纠缠 和量子误差问题
在某些情况下会导 致波函数塌缩的不 确定性问题
不能解释量子纠缠现象
不能解释量子纠缠现象 无法描述粒子间的相互作用 对初始条件的敏感性 无法预测量子系统的长期演化
量子力学的其他 重要概念和方程
波函数的概念和性质
波函数定义：描 述微观粒子状态 的函数
波函数的性质： 概率幅、复数、 归一化
波函数的物理意义： 微观粒子在空间中 的概率分布
波函数与薛定谔方 程的关系：薛定谔 方程用于求解波函 数的演化
量子态的概念和描述
定义：量子态是量子力学中一个物理系统的状态，由波函数描述
特性：量子态具有叠加性和相干性，即一个量子态可以表示为其他量子态的线性 组合，且不同量子态之间存在干涉现象 描述方法：通常使用波函数来描述量子态，波函数满足薛定谔方程，并具有归一 化条件
为
薛定谔方程的应 用
在原子物理中的应用
解释原子光谱的线型
描述原子状态的波函数
揭示原子能级的分布规律
预测原子辐射和吸收光子的 过程
在固体物理中的应用
描述电子行为： 薛定谔方程是描 述固体中电子行 为的基石。
计算能带结构： 通过求解薛定谔 方程，可以计算 出固体的能带结 构。
薛定谔方程
Acos(
2m
E
x
)
B
sin(
2m
E
x)
这样得到的解为:
( x) Acos(
2m E
x
)
B sin(
2m E
x
)
代入边界条件得：
(0) Acos(0) B sin(0) 0, A 0
(l) B sin(
2m
E
l
)
0,
B
0,
sin(
2m
E
l
)
0
得 能 量 及 波 函 数 ：2m E
0)要求 2mEx必须是实数。
解的结论:
(i) Ex 必须是正数，既 0∞之间的 任何值，即自由粒子的能谱是连续 的而不是分立的。
(ii)粒子在x轴上任何位置出现的几率
相等, 即:ρ=*=A*A=常数,因
此 x的位置完全不确定。
三、势阱中的粒子
1.一维无限势阱
在区间I和III, Schroedinger方程为:
2.定态Schrödinger方程
The Time-Independent Schrödinger Equation
假定: V与时间无关, 即: V=V(x,y,z)
且 (x,y,z,t) = f(t) (x,y,z)
(1.2)
Ψ df (t) ,
t dt
2Ψ x 2
f
(
t
)
d 2
dx2
,
2Ψ y2
22 Βιβλιοθήκη 22 y 22 z 2
为拉普拉斯算符
Ψ 2 2Ψ VΨ
(1.1)
i t 2m
上式中: ħ = h/2π; = (x,y,z,t) 为波
量子力学常用计算公式
量子力学常用计算公式1. 哈密顿算符（Hamiltonian Operator）哈密顿算符在量子力学中用于描述系统的总能量。
它的一般形式为：H = K + V其中，K表示动能算符，V表示势能算符。
2. 薛定谔方程（Schrödinger Equation）薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的时间演化。
其一维形式为：iℏ∂ψ/∂t = -ℏ^2/(2m) ∂^2ψ/∂x^2 + Vψ其中，i表示虚数单位，ℏ为约化普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，V为势能。
3. 波函数归一化（Normalization of Wavefunction)波函数必须满足归一化条件，即在整个空间积分后等于1。
对一维情况而言，归一化条件表示为：∫|ψ|^2 dx = 14. 物理量期望值（Expectation Value of Physical Quantity)物理量的期望值表示在量子态中对该物理量进行测量得到的平均值。
对一个可观测量A而言，其期望值定义为：<E[A]> = ∫ψ*Aψ dx其中，A表示物理量算符，ψ为波函数，*表示复共轭。
5. 不确定度原理（Uncertainty Principle)不确定度原理描述了同时测量一对共轭物理量（如位置和动量）的限制。
其数学表达为：ΔxΔp >= ℏ/2其中，Δx表示位置测量精度，Δp表示动量测量精度，ℏ为约化普朗克常数。
6. 一维势阱（One-dimensional Potential Well)一维势阱是一个常见的量子力学模型，用于探讨粒子在势能为零或有限的区域内的行为。
在无穷深势阱中，粒子的波函数为定态波函数，表示为：ψ_n(x) = sqrt(2/L) * sin(nπx/L)其中，L表示势阱的长度，n为正整数。
7. 自旋（Spin)自旋是粒子的固有属性，在量子力学中用于描述粒子的角动量。
自旋算符的本征态表示自旋的量子态，常用的自旋算符包括Sx、Sy和Sz。
量子力学：薛定谔方程
ikx
Be
ikx
由边界条件，可得：
Ae Ae
ika ika
(a ) 0 ( a ) 0
Be
ika ika
0 0
Be
方程组具有非零解的条件是系数行列式应等于零
即
e e
ika
e
ika ika
ika
0
sin 2 ka 0
两缝同时打开
依次打开一个缝
b .双缝依次打开 上缝打开， p 1 ; 1 1 2＝P1 2 2＝P2 c.同时打开
p 22 1
2 2
下缝打开
p 2 ; 2
2
p 12 p 1 p 2 1
2 2
22 1 2
p 2 2 p 12
( r ) 满足的方程即是定态薛定谔方程。
2 ( t , r ) f ( t ) ( r )
2
代入薛定锷方程
i t
2
( t ,r ) t
f ( t ) (r ) t
2
U
2
2m
f(t ) 2 i ( r ) f ( t ) ( r ) Uf ( t ) ( r ) t 2m 两边同除 ( r ) f ( t )
其中：
En h t
a
n
( x, t)
n
(x) e
1 a
cos
nx 2a
e
i
En
2
2
n
2
8 ma
概率密度：
w ( x ) n ( x ) 1 a cos 1 sin a
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
量子力学：薛定谔方程
在汤姆逊电子衍射实验中， 在汤姆逊电子衍射实验中，衍射图象上亮条纹处出 现的电子数目多。 现的电子数目多。 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。 电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现 电子作为一个整体，只能在某处出现， 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 粒子性的表现 在某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定， 但是，电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这 就是它的波动性的表现。 波动性的表现 就是它的波动性的表现。
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ 2m ∂t
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 式中： 式中： ∂x ∂y ∂z
称为拉普拉斯算符
二．薛定谔一般方程 当粒子处在势场中时， 当粒子处在势场中时，粒子的能量
p2 E= + U( t , x, y,z ) 2m
与上同样推导： 与上同样推导：
∂Ψ h2 2 ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
2
代入薛定锷方程
h2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + UΨ 2m ∂t
r r ∂f ( t ) ∂Ψ ( t , r ) =ψ ( r ) ∂t ∂t
r ∂ f(t ) r r h2 2 i hψ ( r ) f ( t )∇ ψ ( r ) + Uf ( t ) ψ ( r ) =− ∂t 2m 2m r 两边同除 ψ ( r ) f ( t )
第20章 薛定谔方程 20章
量子力学——薛定谔方程
U（r） 力F
• 初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时 刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。
t=0
t=T
x
多粒子（N个粒子）情况
非定域性：
整个体系的 状态用3N个 空间坐标和 一个时间坐 标描述。
2. 几率守恒定律与几率流密度
• 由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定 律，从而引入几率流密度概念。
该满足以下三个条件：
• (1)单值性；
• (2)有限性；
• (3)连续性。
• 连续性通常意味着
和
都连续，
但在势能有无穷大跳跃的地方，
允许不连续。
§2.3 一维运动问题的一般分析
1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质
二阶常微分方程，容易求解 它的解有如下的规律
Wronskian定理
•若 能量相同)，则
3. 一维束缚态的一般性质
• 先引入一个概念－简并与非简并 – 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波 函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非 简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函 数的个数称为它的简并度。
线性独立的定义：对常数c1，c2
一维束缚态不简并定理
• 定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。
都是方程的解(
( c 是与 x 无关的常数)，
称为Wronskian定理。
Wronskian定理的证明
证明：定态方程的两个解满足
另外两个定理
• 共轭定理：若 的解，则
能量E相同)。
是定态行薛定谔程 也是该方程的解(且
• 反射定理：对 势)，那么若
(原点对称的 是该方程的解，则
也是该方程的解(且能量E相同)。
量子物理第二章薛定谔方程
a 2 o
2
dx
A2
a 2 sin2 n
a 2
a
xdx
A 2 a
x a 2
o
2 sin n x
aa
n 2,4,6
能 量
e
2 cos n x
aa
本
n 1,3,5 征
函 数
n 0 x f a 2
能量本征波函数：n (x, t) n (x)eiEnt h
本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。
可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格 结构，表面缺陷细节，观测活体 DNA 基因，病毒。
STM
下图为镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显 微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电 子形成驻波：
由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
积分 :
df (t) f (t)
i h
E
dt
i Et
f (t) e h
(x,
t) E (x) f
t
E
(
x)e
i h
Et
右边:
h2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
---- 一维定态薛定谔方程普遍形式
§2.2 无限深方势阱中的粒子
一 、 一维无限深势阱
1 、 势能曲线
E 为有限值，所以
(x a ,x a) 22
(x) 0
势阱内
h2 2m
d 2
dx2
0
E
( a x a )
2
2
d2
d x2
2mE h2
自由薛定谔方程
自由薛定谔方程
自由薛定谔方程是描述量子力学中自由粒子运动的基本方程。
它是由
奥地利物理学家薛定谔在1925年提出的，是量子力学的重要基础之一。
自由薛定谔方程的形式为：
iℏ∂ψ/∂t = -ℏ²/2m ∇²ψ
其中，i是虚数单位，ℏ是普朗克常数除以2π，m是粒子的质量，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，ψ是波函数。
这个方程的意义是，波函数的时间变化率与波函数的空间二阶导数成
反比。
这个方程可以用来描述自由粒子在空间中的运动，即没有受到
任何外力的作用。
自由薛定谔方程的解可以用波函数表示，波函数是一个复数函数，它
描述了粒子在空间中的位置和运动状态。
波函数的模的平方表示粒子
在某个位置的概率密度，即在这个位置找到粒子的概率大小。
自由薛定谔方程的解可以用量子力学中的态叠加原理来表示。
即，一
个粒子的波函数可以表示为多个不同能量的波函数的叠加。
这个原理
可以用来解释量子力学中的干涉现象和波粒二象性。
自由薛定谔方程在量子力学中有着重要的应用。
它可以用来描述自由粒子在空间中的运动，也可以用来描述粒子在势场中的运动。
在量子力学中，势场可以用势能函数来描述，势能函数与波函数的关系可以用薛定谔方程来表示。
总之，自由薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，它描述了自由粒子在空间中的运动，是量子力学中的重要基础。
通过解自由薛定谔方程，我们可以了解粒子在空间中的运动状态，进而研究量子力学中的各种现象和应用。
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1
学习量子力学的现实意义
量子力学已成为今天我们认识世界的基本 理论 现代的主要自然科学分支都以量子力学为 基础。 工程技术科学也有以量子力学为基础的。 电子科学与技术—微电子学、光电子学、 电子材料与元器件都是直接以量子力学为 基础。
第一章 薛定谔方程
I. 绪论
一、经典物理遇到的困难与能量量子化 二、波粒二象性
Cs
Na Ca
b. 逸出光电子的
能量，只与 照射 光的频率有关。
0.0
4.0 6.0 8.0 10.0 (1014Hz)
14
按照光的经典电磁理论： 光的强度与频率无关，不应存在
截止频率。 爱因斯坦对光电效应的解释
1905年，爱因斯坦提出了光量子的假说 1）光是一束以光速运动的粒子流，
这些粒子称为光子（光量子）
实验结果
维恩线 瑞利－金斯线 普朗克线
E ( ) C3 4T
3 普朗克公式(1900)
l
E( )
2 hc2 5
hc
e kT 1
与实验结果 惊人地符合
普朗克常数：h = 6.6260755×10-34 J·s
普朗克量子假说
辐射黑体中分子和原子的振动可视 为线性谐振子，这些线性谐振子可 以发射和吸收辐射能。谐振子发射 和吸收辐射的能量不能取任意值，
2
υ
此关系与实验及日常经验严重不符！
6
绝对黑体和黑体辐射 能完全吸收各种波长电磁波 而无反射和透射的物体
但由于存在热辐射过程
任何物体在任何温度下都在不断 地向外发射各种波长的电磁波
不同温度下黑体的辐射率
1 维恩公式(1893)
E
C2
E( ) C1 5e T
2 瑞利—金斯公式
(1900-1905)
光子的能量与动量
在假定光子的能量E = h的基础上，再利
用狭义相对论中的公式 p =E/c和= c / λ， 推
出光子的动量p为 p = h / λ. －频率， λ－波长， h－普朗克常数
18
20世纪初物理学界遇到的几个难题 三、原子的稳定性问题
原子塌陷与氢原子光谱
按经典理论，如果采用卢瑟福的原子 有核模型，电子绕核做加速运动，因而 以连续谱的形式向外辐射能量，并最终 因能量耗尽而掉到原子核里，原子的寿 命约为1ns。
12
20世纪初物理学界遇到的几个难题 二、光电效应的 解释
光照射到金属材 料上，会产生光 电子。但产生条 件与光的频率有 关，与光的强度 无关（Hertz， 1888）。
13
光电效应
a. 只有当入射光频
金属
率 大于一定的频 率 0时才会逸出 Ua(V)
光电子, 0 称为截 2.0
止频率或红限频率. 1.0
19
氢原子光谱与原子塌陷
实验观测到 氢原子光谱是彼此分裂的线状光谱， 每一条谱线具有确定的波长（或频率）
0
Ha 6562.8 A,
0
Hb 4861.3A,
0
Hg 4340.5 A,
Balmer（1885）公式：
%
1
l
R
1 22
1 n2
R 109677.581cm1
20
按经典理论，如果采用卢瑟 福的原子有核模型，应该观测 到的是连续谱。但连续谱会导 致原子的塌陷。可是，为何会 产生分立谱？
问题：
原子的稳定性问题？
原子分立的线状光谱？
玻尔
（Niels Henrik David Bohr） （1885-1962）
玻尔的假设 (1913 “论原子分子结构” )
1）定态假设：原子系统只能处在一系列具有不连续能量的状态，
在这些状态上电子虽然绕核做园周运动但并不向外辐射电磁波。这
4
1899年开尔文在欧洲科学家新年聚会的贺词中说： 物理学晴朗的天空上， 飘着几朵令人不安的乌云
迈克尔逊 —莫雷实验
光电效应
黑体辐射
氢原子光谱
狭义相对论
量子力学
20世纪初物理学界遇到的几个难题
一、黑体辐射问题－紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁 波的能量E与频率υ的关系为
E
E(
)
8kT
c3
只能是某一最小能量 的整数倍
,2 ,3 ,4 ,, n
能量不连续，只 能取某一最小能 量的整数倍!!!!!
n为整数，称为量子数
对频率为 的谐振子, 最小能量为: h ν
称为能量子
普朗克从这些假设出发可以得到著名的普
朗克公式：
E( )
c1 3
ec2 /T 1
普朗克后来又为这种与经典物理格格不入的观 念深感不安，只是在经过十多年的努力证明任何 复归于经典物理的企图都以失败而告终之后，他化
19世纪末，物理学界建立了牛顿力 学、电动力学、热力学与统计物理，统 称为经典物理学。在经典物理学中: 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的： 带电体做加速运动时，会向外辐射电磁 波。如：回旋加速器中的轫至辐射。
但是，20世纪初物理学晴朗的天空 上， 却飘着几朵令人不安的乌云！
ν
A h
ν0
1 2
mv2m
0
为红限频率
16
康普顿(Compton,1920)散射的实验：
l
0
450
散射角
900
135 0
h mc2
pr
pr e
pr
Ee
h
1927年，诺贝尔物理奖。
质量较小的粒子,康普顿散 射较强。
爱因斯坦“因在数学 物理方面的成就，尤其发 现了光电效应的规律”， 获得了1921年诺贝尔物理 奖。
2）每个光子的能量 E = hν
普朗克常数：h = 6.6260755×10-34 J·s
爱因斯坦对光电效应的解释
当频率为 的光照射金属时，一个电子
只能以整体的形式吸收一个光子。
根据能量守恒
hν =
1 2
mVm2
+
A
Vm－光电子的最大初动能。 A －该金属材料的逸出功。
当光电效应发生时，必然有
hν A 0
才坚定地相信h 的引入确实反映了新理论的本质。
1918年他荣获诺贝尔物理学奖
他的墓碑上只刻着他的姓名和
h 6.62 1027尔格 秒
10
能量的量子化假设
经典物理学认为能量永远是连续的。在解释 黑体辐射时遇到困难。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电 磁波，只能以“量子”的方式进行，那末黑 体辐射问题就能得到很好的解释。
经典理论认为能量是连续不断的；普朗克的 观点改变了这种认识，认为能量是量子化的， 是一份一份的。于是，量子的概念浮出水面。 只是由于普朗克常数太小，我们通常感受的 能量都是连续的。
普朗克常数：h = 6.6260755×10-34 J·s 11
问题
Planck有没有提出光子概念，即 光的粒子性概念？