2.5_角平分线的性质

前者用来证明线段相等，后者用 来证明角相等（角平分线）
随 一 填空：
练习
A
1 2
E C
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线上的点到角的两边的距离相等 (___________________________________________)
3、作射线AP，射线OP即为所求。
证明:连结PE,PC由作法知:
在△AEP和△AFP中 AE=AF PE=PF AP=AP ∵△AEP≌△AFP(SSS) ∴∠EAP=∠FAP 即:AP 是∠BAC的角平分线. E
B P
A
F
C
1 问题1.在上面作法的第二步中，去掉“大于 EF的长” 2 这个条件行吗？
离相等的点。作直线AP。 如果将 BAC 沿AP对折， 你发现BAP与CAP 重合吗？
A
P
l2
C
由此，你能得到什么结论？
角的内部到角的两边距离相等 的点在角的平分线上。
温馨提醒
性质和判定的区别和联系：
性质说明只要是角平分线上的点，它到角 两边的距离一定相等，无一例外；判定反 映了只要是到角两边距离相等的点，都一 定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个。
A
B
D
C
4、 ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：点P到三边AB,BC,CA的距 离相等。
A N M P C B
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 角的内部到角的两边距离相等的 点,在角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
1 【答案】不行.因为去掉“大于2 EF的长”这个条件， 所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
1 【答案】若分别以E、F为圆心，大于 2 EF的长为半
问题2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？ 径画两弧，两弧的交点可能在∠BAC的内部，也可能 在∠BAC的外部，而我们要找的是∠BAC内部的交 点，• 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是 ∠BAC的平分线了．
M P N C
在AD上另取一点Q,试一试， D 你能得出同样的结论吗？
A
角平分线上的点，到这个角的两边的 距离相等。
已知：AD为BAC 角平分 B 线，P为AD上任意一点， 性质主要用于证 M 明两线段相等，使 PM AB, PN AC, D 用的前提是有角的 P 试说明：PM=PN A 平分线，关键是图 中是否有“垂直”。 N C
（1）思考：角是轴对称图形吗？ A 如果是，请找出它的对称轴。 （2）结论： C
D
角是轴对称图形，角的平分线所 在的直线是它的对称轴。
动动手 做一做
在角平分线AD上任取一点P， 过点P作 PM AB, PN AC, 垂足分别为点M,N,用圆规比较 PM与PN的大小，你有什么发 现？ B 由此，你能得到什么结论？
合作探究
已知BAC, 经过BAC内部任意作直线 l1 ∥ AB, 作直线l2 ∥ AC, 使l2与AC之间的
B
l1
距离等于l1与AB之间 的距离。记 l1、l2的交点 BAP CAP P是 BAC 内部一 点P在 P BAC 的平分线上 为 . 则 个到 BAC 的两边AB、AC距
点在角平分线上 相等
点到角两边的距离
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上( 或直线经过某一点)的根据之一.
情境引入 天泉农副产品集散基地M位于李 庄A、王庄B、赵庄C三个村庄 之间，其位置到三条公路AB、 AC、BC的距离相等。你能在图 中 ABC 内部画出M的位置吗？
情境引入 天泉农副产品集散基地M位于李 庄A、王庄B、赵庄C三个村庄 之间，其位置到三条公路AB、 AC、BC的距离相等。你能在图 中 ABC 内部画出M的位置吗？
C
A
B
动动手 画一画
请同学们拿出一张纸，在纸 上任意画出一个角 BAC , 把它剪下并对折，使角的两 边重合，然后展开铺平，你 B 有什么发现？
BD = CD ，( 角的平分线上的点到角的 )
两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
DB = DC ，（ 角的平分线上的点到角的两 ）
√
边的距离相等。
B
A D
C
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3.性质定理和逆定理的关系
C
A
B
观察领悟作法，探索思考证明方法
怎样作一个角的平分线？（不用 量角器）
E E P B
P
A
F
A
C F
已知： ∠BAC(如图) 求作： ∠BAC的角平分线OP 作法：1、以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于E，交AC于F。
1 2、分别以E、F为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧在 2
∠BAC内部交于点P。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1 ： 20 000 ） Ｏ
铁路 公路
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
Ｏ
铁路
公路
s
D
C
3，在Rt三角形ACB中， AD平分 ∠BAC 交BC于D, 若BC=9，BD=6，求点D 到AB边2
B
l2
图1
图2
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
M
N
P
A
P A
三 判断：
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD ，( 角的平分线上的点到角的 )
两边的距离相等。
（×）
B D C
A
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________ (_到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
D
B
______________________________________________)
二 选择题：
1：下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2 的距离的是（ ）