最新华师大版八年级数学下册矩形的判定同步练习华东师大版

合集下载

2020—2021年华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》题1及答案.docx

（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA ＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC 也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等答案：D解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF ⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．．分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：对角线相等的平行四边形是矩形．分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BDD．AB＝AD答案：A解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6 答案：B解答：如图，连接PA ，∵在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴222BC AB AC =+，∴∠BAC ＝90°，又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ．∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°，∴四边形PEAF 是矩形，AP ＝EF ，当PA 最小时，EF 也最小，即当AP ⊥CB 时，PA最小，∵12AB •AC ＝12BC •AP ，即AP ＝BC AC AB ⋅＝6810⨯＝4.8，∴线段EF 长的最小值为4.8；故选B ．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF 是矩形；连接PA ，则PA ＝EF ，所以要使EF ，即PA 最短，只需PA ⊥CB 即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA 的值．10．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对边相等B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等答案：C解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少答案：C解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC 时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．13．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形答案：B解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A 项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；故选B．分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．14．对角线的平行四边形是矩形（）A．互相垂直且平分B．互相平分C．互相垂直D．相等答案：D解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．15．在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的周长（）A ．1023+B ．825+C ．835+D ．1025+答案：A 解答：如下图所示，延长BC 、AD 交于O ，∵∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝∠CDO ＝90°，∠O ＝30°，∵AB ＝4，CD ＝2，∴OA ＝2AB ＝8，CO ＝2CD ＝4，由勾股定理得：228443OB =-=，224223OD =-=，∴434BC =-，823AD =-，∴AB ＋AD ＋DC ＋BC ＝482324341023+-++-=+，故选A ．分析：延长BC 、AD 交于O ，求出OA 、OD 、OC 、OB 的值，求出BC 、AD ，即可求出答案．二、填空题16．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．答案：∠ABC ＝90°或AC ＝BD （不唯一）解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC ＝90°或AC ＝BD ，故答案为∠ABC ＝90°或AC ＝BD ．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．17．对角线的四边形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A＝90°．分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD 是矩形的有（填写序号）．答案：①④解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE为矩形．答案：60解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC 上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．答案：四边形AFBD是矩形解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：BD＝CD；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．答案：四边形AFBD是矩形解答：四边形AFBD是矩形，理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AF＝BD，又∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．（1）求证：OE＝OD；答案：解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED 的中点．∴OE＝OD．（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB中，O点为斜边AB的中点．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．答案：解答：证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∵点E是BC的中点，∴EC＝BE＝AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，点E是BC的中点，∴AE ⊥BC，即∠AEC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形．．分析：先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC＝90°即可判断出四边形AECD是矩形．25．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长至点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；答案：解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠AEC ，又∵CE ＝CD ，∴AB ＝CE ，在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFCAB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）．（2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC 是矩形？请说明理答案：当∠AFC ＝2∠D 时，四边形ABEC 是矩形解答：解：当∠AFC ＝2∠D 时，四边形ABEC 是矩形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥DC ，AB ＝DC ，∴∠BCE ＝∠D ，AB ∥EC ，又∵CE ＝DC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∵∠AFC ＝∠FEC ＋∠BCE ，∴当∠AFC ＝2∠D 时，则有∠FEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∴四边形ABEC 是矩形．分析：（1）由四边形ABCD 是平行四边形，CE ＝DC ，易证得∠ABF ＝∠ECF ，∠AFB ＝∠EFC ，AB ＝EC ，则可证得△ABF ≌△ECF ；（2）首先根据四边形ABCD 是平行四边形，得到四边形ABEC 是平行四边形，然后证得FC ＝FE ，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC 是矩形．。

华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t=s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．30．如图，在▱ABCD中，AB=DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DFBE是矩形．31．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC 的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．32．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：平行四边形ADBE是矩形．33．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．34．已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形．35．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．36．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．37．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．38．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．39．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF 交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．40．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AC=FD，∠CEF=90°．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）求证：四边形BCEF是矩形．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠DFA=∠DAF，∴AD=DF=5，在Rt△ADE中，DE=，∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×8=32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，得t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16﹣6=10cm，则周长为4×10cm=40cm；面积为10cm×8cm=80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°∴∠ABE=∠EBC=45°∴∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN．∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°．∴四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC=∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE=OC，同理：OC=OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解答】解：（1）OE=OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠OEC=∠ACE，∴OE=OC，同理可得：OC=OF，∴OE=OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA=OC，OE=OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACG，∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∠ABO=∠CDO，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF，∠BAE=∠CDF，∴∠ABO﹣∠BAE=∠CDO﹣∠CDF，即∠EBO=∠DFO，∴BE∥DF，∴四边形EBDF是平行四边形，∵EF=BD，∴平行四边形EBDF是矩形．【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CDF．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．【解答】证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）．（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=AC，OB=OD=BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO=CO，BO=DO，∵∠1=∠2，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴▱ABCD为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【分析】由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD，再得出OA=OB，进而得出AC=BD，证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠BDC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定方法，由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．【分析】首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．【解答】证明：∵AE∥BO，BE∥AO，∴四边形OAEB是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB．∴∠AOB=90°，∴平行四边形OAEB是矩形．【点评】此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可推出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AE∥BD，DE∥AB∴四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE，AE=BD∵AB=AC∴DE=AC∵点D是BC的中点∴BD=CD AD⊥BC所以AE=DC，AE∥DC∴四边形ADCE是平行四边形∵∠ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】利用平行线的性质得出∠ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，进而得出答案．【解答】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°，又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EO=AC=BD，从而得到AC=BD，利用矩形的判定定理判定即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接EO，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴EO=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，难度不大．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA=90°，再利用三角形内角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠DEA=90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，∴∠HAB+∠HBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题利用了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定，关键是利用三个内角等于90°的四边形是矩形证明．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．又∵点E在DC的延长线上，∴AB∥CE．又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE．又BD=BE，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．【解答】解：（1）四边形ACFD为矩形，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BF，∴∠DAF=∠CFE，∵∠DAF=∠DCF，∴∠DCF=∠CFE，∴EF=EC，同理可求得DE=EA，∵E为CD的中点，∴CE=DE=AE=FE，∴四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，如图，在矩形ACFD和▱ABCD中，则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，∴CG=CF=2，BG=6，∵AE=EF，∴EG=AC=，∴Rt△EBG中，BE==．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和矩形的性质和判定，利用平行线的性质结合角相等求得EC=EF是解题的关键．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形的矩形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△OAB为等边三角形，∴OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】只要证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠DAB=90°即可．【解答】证明：∵AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，∴∠CAF=∠CAM，∠CAB=∠CAN，∴∠CAF+∠CAB=（∠CAM+∠CAN）=90°，即∠DAB=90°∵OD=OB，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查角平分线的定义，矩形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于直径基础题．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD即可；（2）由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE=BD；（2）证明：由（1）得：AE=BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∴AE=CD，∠ADC=90°，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．∴四边形ADCE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由EF=DB，可证得四边形DEBF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF=DB，∴四边形DEBF是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有对角线相等的平行四边形是矩形，首先证得四边形DEBF是平行四边形是关键．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．【分析】依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s 的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t= 6.5s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=8cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．【分析】（1）由AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26﹣2t，解此方程即可求得答案．（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；（3）由菱形的性质得出CD=CQ=PD，得出24﹣t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，则AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC﹣BM=2，在Rt△CDM 中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，∴DP=AD﹣AP=24﹣t（cm），BQ=26﹣3t（cm），∵AD∥BC，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，∴t=26﹣3t，解得：t=6.5，即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；故答案为：6.5；。

2020—2021年华东师大版八年级数学下册矩形的判定与性质同步练习试题.doc

（新课标）华东师大版八年级下册19.1.2矩形的判定与性质一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．62．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.58．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+29．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是_________ ．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为_________ ．12．（如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是_________ ．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是_________ ．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是_________ ．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？19.1.2矩形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P 不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D． 6考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．解答：解：如图，连接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵AB•AC=BC•AP，即AP===4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．2．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．解答：解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．点评：本题考查了矩形、平行四边形的性质和判定的应用，主要培养学生的判断能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少考点：矩形的判定与性质；垂线段最短．菁优网版权所有分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．解答：解：如图，连接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．4．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．解答：解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）．故选C．点评：本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．5．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据矩形的性质得到：矩形的对角线相等且互相平分．解答：解：A、矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C、对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．6．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：推理填空题．分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．7．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．解答：解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故选C．点评：此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．8．在四边形ABCD中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形ABCD的周长（）A．10+2B．8+2C．8+3D．10+2考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有分析：延长BC、AD交于O，求出OA、OD、OC、OB的值，求出BC、AD，即可求出答案．解答：解：延长BC、AD交于O，∵∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠B=∠CDO=90°，∠O=30°，∵AB=4cm，CD=2cm，∴OA=2AB=8cm，CO=2CD=4cm，由勾股定理得：OB==4（cm），OD==2（cm），∴BC=（4﹣4）cm，AD=（8﹣2）cm，∴AB+AD+DC+BC=4cm+（8﹣2）cm+2cm+（4﹣4）cm=（10+2）cm，故选A．点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，垂直定义，勾股定理的应用，关键是求出BC、AD的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D． 2.5考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．解答：解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：×4=×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．点评：本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．二．填空题（共5小题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB边上（不与A、B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是 2.4 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．解答：解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=BC•AC=AB•CP，即×4×3=×5•CP，解得CP=2.4．故答案为：2.4．点评：本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为 4.8 ．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有分析：连接CP，根据矩形的性质可知：DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，连接CP，∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，∴四边形DPEC是矩形，∴DE=CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，∴DE=CP==4.8，故答案为：4.8．点评：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是18 ．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有分析：求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．解答：解：∵AE∥BD，∴∠CDB=∠DAE，∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴∠C=∠ADE=90°，∴DE∥BC，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADE和△DCB中∵，∴△ADE≌△DCB（ASA），∴DE=BC=4，在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，由勾股定理得：DC=3，∴AD=DC=3，∵ED=BC，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴CD=BE=3，∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18，故答案为：18．点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，关键是求出各个边的长度，本题综合性比较强，有一定的难度．13．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PECF是矩形；连接PC，则PC=EF，所以要使EF，即PC最短，只需PC⊥AB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PC的值．解答：解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AC•BC=AB•PC，∴PC=．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．点评：本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PC⊥AB时，PC取最小值是解答此题的关键．14．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是2．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由AF=BF得到F为AB的中点，又DF垂直平分AC，得到D为AC 的中点，可得出DF为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长，由两直线平行同旁内角互补得到∠C=90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值，由∠A=30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC于宽CD 的乘积即可求出矩形BCED的面积．解答：解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC 的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2，∴DF=BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=，∴CD=AD=，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2．故答案为：2点评：此题考查了矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，是一道多知识的综合性题，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．三．解答题（共6小题）15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．解答：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点评：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．16．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．考点：矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；（2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在△EFC中利用勾股定理列式进行计算即可；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．解答：（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE=AB=10，AE2=102=100，又∵AD2+DE2=82+62=100，∴AD2+DE2=AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD﹣DE=10﹣6=4cm，FC=BC﹣BF=8﹣x，在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故BF=5cm；（3）解：在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，∵AB=10cm，BF=5cm，∴AF==5cm．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大．17．如图：在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．求证：四边形EFPH为矩形．考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：求出平行四边形APCE、DEBP，推出HP∥EF，HE∥FP，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：∵在矩形ABCD中，∴AB=DC，AD∥BC，∵ED=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵在矩形ABCD中，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，∴CE=，同理BE=2，∴BE2+CE2=BC2∴∠BEC=90°，∴四边形EFPH是矩形．点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出四边形HPFE是平行四边形和求出∠BEC=90°．18．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．考点：矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有分析：（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．解答：解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．点评：本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD 边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF ≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）点评：本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定求解．20．在矩形ABCD中，AD=12cm，点P在AD边以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以4cm/s的速度在CB间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当t为多少时，四边形ABQP为矩形？考点：矩形的判定与性质．菁优网版权所有专题：动点型．分析：当四边形ABQP为矩形时，则AP=BQ，列式可求得t的值．解答：解：∵在矩形ABCD中，AD=12cm，∴AD=BC=12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP=BQ．①当0＜t＜3时，t=12﹣4t，解得，t=；②当3≤t＜6时，t=4t﹣12，解得t=4；③当6≤t＜9时，t=36﹣4t，解得t=；④当9≤t≤12时，t=4t﹣36，解得，t=12．综上所述，当t 为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．点评：本题考查了矩形的性质和平行线的性质．解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。

华师大版初中数学八年级下册《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷

华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．17．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．（1）求证：OE＝OF；（2）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是矩形？请说明理由；（3）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．如图：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．22．如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形．（1）试判断四边形ADEF的形状并说明理由．（2）当△ABC满足，四边形ADEF是矩形（不需证明）．（3）当△ABC满足，四边形ADEF是菱形（不需证明）．（4）当△ABC满足，四边形ADEF不存在（不需证明）．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）填空：①当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是矩形；②当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是菱形．24．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s 的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？25．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，若∠ABE＝∠BAE＝60°，BC＝4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；（2）求四边形ABFC的周长和面积．26．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF ⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形PECF是矩形．（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值：．28．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．30．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．31．如图，平行四边形ABCD中，P是AD上一点，E为BP上一点，且AE＝BE＝EP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP＝BC，S△BEF＝5，CD＝4，求CF．32．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：（1）DA⊥AE；（2）AC＝DE．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，延长BC到点E，使得BC ＝CE，连结DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BD＝6，求CD的长．34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，（1）证明：△ADE≌△DCB；（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；（3）若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是多少？35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE．36．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ACD＝∠BDC，过点C作CE ⊥BD于点E，交AB于点H，过点A作AF∥BD，交CH的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BO，连接BG、OF，OF交AB于点M．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）四边形BOFG是什么特殊四边形？请说明理由；（3）若AF＝8，GF＝6，AM＝5，∠HCA＝∠HAC，求HF的长．37．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E、F是矩形内两点，BE＝DF＝3，AE ＝CF＝4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，（1）求证：四边形EHFG是矩形；（2）求EF的长．38．如图，沿△ABC的各边想同侧作正三角形ABD、BCF、ACE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEFD是矩形？（3）当△ABC的边满足什么条件时，四边形AEFD是菱形？39．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF（1）判断四边形ADEF的形状．并证明你的结论；（2）当∠BAC＝时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．40．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）当AB，BC满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？并给出证明．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；（2）由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而可得四边形ADCF是矩形；（3）根据∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，从而得到AD＝BC＝DC，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝BD．∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形．证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【分析】（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE＝DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB＝AC，BD＝CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．【解答】解：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE ＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，根据中点的定义求出DE＝AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND＝MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，四边形AMDN是矩形．∵AM＝1＝AD，∴∠ADM＝30°∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．【解答】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度，四边形ADCN是平行四边形，∴四边形ADCN是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．（3）AB＝AC，根据菱形的判定推出即可；（4）当∠BAC＝60°时四边形不存在．【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA．∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°，∵∠DAB＝∠F AC＝60°，∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠F AC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；（3）解：当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形，∴四边形AFED是菱形；（4）解：当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？【分析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE＝OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO＝CO，OE＝OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足AC＝BC时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．【分析】（1）求出∠EAD＝∠CFE，根据AAS证△AED≌△FEC，推出AD＝CF，根据AD ＝BD即可求出答案；（2）根据等腰三角形性质求出∠CDB＝90°，根据平行四边形的判定推出平行四边形BDCF，即可推出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠CFE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵在△AED和△FEC中，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AD＝CF，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF．（2）解：在△ABC中添加一个条件：AC＝BC，使四边形BDCF为矩形，理由是：∵BD＝CF，CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴平行四边形BDCF是矩形，故答案为：AC＝BC．【点评】本题考查了矩形、平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，主要考查学生能否熟练地运用性质进行推理，题型较好，难度适中．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB ＝EC，AB∥EC，即可证得四边形ABEC是平行四边形，继而证得结论；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出F A＝FE＝FB ＝FC，AE＝BC，得证．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝BC；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴F A＝FE，FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC，∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴F A＝FB，∴F A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．关键是利用平行四边形的性质，通过角的关系证矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案AB＝AC．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF 是菱形，此时AB＝AC．【解答】解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝DE，∵△ACF为等边三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证得△ACB≌△FCD，∴AB＝DF，而AB＝AE，∴AE＝DF，∴四边形DEAF是平行四边形；（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠F AC＝60°∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°∴四边形DEAF是矩形；（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，∴AE＝AF，∴四边形DEAF是菱形．故答案为：AB＝AC．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形、矩形的判定．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是150°．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是PB＝PC．【分析】（1）理由全等三角形的性质证明AD＝PE，AE＝PD即可解决问题；（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形；【解答】（1）证明：∵△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，∴BP＝EP，CD＝CP，AC＝CB，∠DCP＝∠BCA＝60°，∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB＝PE，同理可证：AE＝DP，∴四边形AEPD是平行四边形．（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；理由：∵∠EPB＝∠DPC＝60°，∴∠EPD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形AEPD是矩形．故答案为∠BPC＝150°．（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形．理由：∵PB＝PE，PD＝PC，PB＝PC，∴PE＝PD，∴四边形PEAD是菱形．故答案为PB＝PC．【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【解答】（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠A＝90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12＝15•AP．∴AP＝．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝4﹣t，得t＝2故当t＝2s时，四边形ABQP为矩形．。

19.1.2 矩形华东师大版八年级下册同步练习(含答案)

【精挑】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.1.2.矩形的判定课时练习一、单选题1．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等且垂直的四边形是正方形B．有一个角是直角的菱形是正方形C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）.①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组3．下列说法正确的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4．下列命题是假命题的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形B．四条边都相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线相等D．菱形的对角线互相垂直平分5．下列四个命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形6．下列四个命题中的假命题是( )A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：D．对角线相等的四边形是平行四边形7．下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形8．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）.A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：，可使它成为矩形．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可)14．在平行四边形ABCD中，若再增加一个条件，使平行四边形ABCD能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．三、解答题15．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°。

华师版八年级下册数学19.1.2 矩形的判定2同步练习

2.矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列命题中，正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．D ACF OEB第4题图第6题图5．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？DACFPEB9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12.（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．。

19.1 矩形华东师大版八年级下册同步练习(含解析)

第19章　矩形、菱形与正方形19.1　矩形基础过关全练知识点1　矩形的定义与性质1.(2022江西上饶期末)如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,AC=4,则OB的长为( )A.8B.4C.3D.22.(2022安徽中考)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )A.α-90°B.α-45°C.180°-αD.270°-α3.(2022河南南阳邓州期末)关于矩形的性质,下列说法不正确的是( ) A.四个角都是直角 B.对角线相等C.对角线互相垂直D.是中心对称图形4.【教材变式·P100T2变式】(2022河南信阳潢川期中)一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°,对角线长为16 cm,则这个矩形较短边的长为( ) A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm5.(2022重庆巴蜀中学期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD交BD于点E,∠AOB=110°,则∠DAE的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.25°6.【教材变式·P101T3变式】如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,对角线AC、BD相交于点O,点P是AD上一动点(不与A、D重合),过点P 作AC和BD的垂线,垂足分别为E、F,则PE+PF的值是( )A.2.4B.1.2C.0.6D.37.(2021湖南株洲中考)如图所示,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=2,则AC= .8. (2022北京海淀实验中学期中)在矩形ABCD中,AD=12 cm,AB=18 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,点C落在点C'处,折痕为EF,则DE= cm.9.(2021广西贺州中考)如图,在矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,以CD为斜边作Rt△GCD,GD=GC,连结GE,GF.若BC=2GC,则∠EGF= .10.(2022重庆中考B卷)我们知道,矩形的面积等于这个矩形的长乘宽,ah.想法小明想用其验证一个底为a,高为h的三角形的面积公式为S=12是以BC为边作矩形BCFE,点A在边FE上,再过点A作BC的垂线,将其转化为证三角形全等,由全等图形面积相等来验证,按以上思路完成下面的作图与填空.证明:过点A作BC的垂线AD交BC于点D.(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵∠F=90°,∴ ① ,∵EF∥BC,∴ ② ,又∵ ③ ,∴△ADC ≌△CFA (A.A.S.).同理可得, ④ .∴S △ABC =S △ADC +S △ABD =12S 矩形ADCF +12S 矩形AEBD =12S 矩形BCFE =12ah.11.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在矩形ABCD 中,点M 在DC 上,AM =AB ,且BN ⊥AM ,垂足为N.(1)求证:△ABN ≌△MAD ;(2)若AD =3,AN =4,求四边形BCMN 的面积.12.【新独家原创】如图,四边形ABCD 各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ,若四边形EFGH 是矩形,试判断四边形ABCD 的形状,并说明理由.知识点2　矩形的定义判定法13.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要添加的条件是( )A.∠A+∠B=180°B.∠C+∠B=180°C.∠A=∠BD.∠B=∠D14.(2022福建福州屏东中学期末)如图,在平行四边形ABCD中,DE⊥AB,点F在AB的延长线上,且CF⊥AB.求证:四边形CDEF是矩形.15.(2022山东青岛胶州二模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线GH经过点O,分别与BA、DC的延长线交于点G、H,与AD、CB交于点E、F.(1)求证:△BOG≌△DOH.(2)连结AH、CG、GD,若GH=GD,当点C位于DH上的什么位置时,四边形AHCG是矩形?请说明理由.知识点3　矩形的判定定理116.(2022湖南娄底模拟)如图,点A在∠MON的边ON上,AB⊥OM于点B,AE=OB,DE⊥ON于点E,AD=AO,DC⊥OM于点C.求证:四边形ABCD是矩形.17.【新独家原创】如图,已知MD∥NB,AC分别交NB、MD于点A、C,∠DCA、∠BAC的平分线相交于点E,∠MCA、∠NAC的平分线相交于点F.求证:四边形AECF是矩形.知识点4　矩形的判定定理218.(2022四川绵阳三台期末)如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其判断依据是　( )A.矩形的对角线相等B.矩形的四个角是直角C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线相等的平行四边形是矩形19.(2022河南平顶山一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,添加下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )A.AC⊥BDB.AB⊥BCC.AC=BDD.∠1=∠220.(2022福建厦门逸夫中学期中)如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.21.(2021天津静海联考)如图,在▱ABCD中,将边AB延长至点E,使AB=BE,连结DE,EC,BD,DE交BC于点O,且∠BOD=2∠A.求证:四边形BECD是矩形.22.(2022江苏南京玄武二模)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,连结CE并延长,与BA的延长线交于点F.(1)求证:EF=EC;(2)连结AC,DF,若CA平分∠FCB,求证:四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.(2022湖南邵阳中考,15,)已知矩形的一边长为6 cm,一对角线长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.24.【新考法】(2022湖南株洲中考,16,)如图所示,矩形ABCD的顶点A、D在y轴上,顶点C在第一象限内,x轴为该矩形的一条对称轴,的图象经过点C,则k的值且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx为 .25.(2022四川内江中考,25,)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是 .26.(2022吉林长春高新区一模,20,)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形.27.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.(1)求证:△PDE≌△CDF;(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.素养探究全练28.【推理能力】已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图1所示)时,易证PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究,当点P分别在图2、图3中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系.请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图2、图3证明你的结论.图1 图2 图3答案全解全析基础过关全练BD,∴OB=2,故选D.1.D　∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=4,OB=122.C　如图,∵∠3+∠4=90°,∠2+∠4=90°,∴∠2=∠3,∵∠1+∠3=180°,∴∠3=180°-∠1=180°-α,∴∠2=180°-α.故选C.3.C　矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等且互相平分,矩形是中心对称图形,但矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.4.C　如图,∵四边形ABCD是矩形,对角线长为16 cm,∴AC=BD=16 cm,∴AO=BO=8 cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=BO=8 cm,故矩形较短边的长为8 cm.故选C.5.B　∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OB,∵∠AOB=110°,∴∠ABO=∠OAB=35°,∵AE⊥BD,∴∠BAE=90°-35°=55°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-55°=35°,故选B.6.A 如图所示,连结OP ,过点A 作AG ⊥BD 于G ,∵AB =3,AD =4,∴BD =32+42=5,∵S △ABD =12AB ·AD =12BD ·AG ,∴12×3×4=12×5×AG ,解得AG =2.4,∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OD ,∵S △AOD =12OA ·PE +12OD ·PF =12OD ·AG ,∴PE +PF =AG =2.4.7.答案　4解析　∵四边形ADBE 是矩形,∴AB =DE =2OD =4,∵△ABC 为等腰三角形,∴AB =AC =4.8.答案　13解析　∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DAE =90°,根据折叠的性质得,DE =BE ,设DE =BE =x cm,∵AB =18 cm,∴AE =(18-x )cm .在Rt △ADE 中,AD 2+AE 2=DE 2,即122+(18-x )2=x 2,解得x =13,即DE =13 cm .9.答案　45°解析　∵以CD 为斜边作Rt △GCD ,GD =GC ,∴∠GDC =∠GCD =45°,∠DGC =90°,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC =∠DCB =90°,AD =BC ,∴∠FDG =∠FDC +∠CDG =90°+45°=135°,∠ECG =∠DCB +∠DCG =90°+45°=135°,∵E ,F 分别为BC ,DA 的中点,BC =2GC ,∴DF =DG ,CE =CG ,∴∠DGF =∠DFG =12(180°-∠FDG )=12×45°=22.5°,∠EGC =∠GEC =12(180°-∠ECG )=12×45°=22.5°,∴∠EGF =∠DGC -∠DGF -∠EGC =90°-22.5°-22.5°=45°.10.解析　作图如下:①∠F =∠ADC ;②∠1=∠2;③AC =AC ;④△ADB ≌△BEA (A.A.S.).11.解析　(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90°,DC ∥AB ,∴∠BAN =∠AMD ,∵BN ⊥AM ,∴∠BNA =90°,在△ABN 和△MAD 中,∠BNA =∠D =90°,∠BAN =∠AMD ,AB =AM ,∴△ABN ≌△MAD (A.A.S.).(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=32+42=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.AN·BN=6,∵S△ABN=12∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=3.12.解析　四边形ABCD是平行四边形,理由如下:∵四边形EFGH是矩形,∴∠HEF=90°,∴∠AED=∠HEF=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°.∵DF、AH分别平分∠ADC、∠DAB,∴∠ADC=2∠EDA,∠DAB=2∠EAD,∴∠ADC+∠DAB=2(∠EDA+∠EAD)=180°,∴AB∥DC.同理,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.13.C　A.当∠A+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;B.当∠C+∠B=180°时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,若∠A=∠B,则∠A=∠B=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,符合题意;D.当∠B=∠D时,不能判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意.故选C.14.证明　∵DE⊥AB,CF⊥AB,∴∠DEA=∠CFB=90°,DE∥CF,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴四边形DEFC是平行四边形,∵∠CFB=90°,∴四边形DEFC是矩形.15.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠G=∠H,在△BOG与△DOH中,∠G=∠H,∠BOG=∠DOH, OB=OD,∴△BOG≌△DOH(A.A.S.).(2)当C为DH的中点时,四边形AHCG是矩形.理由:如图,∵△BOG≌△DOH,∴BG=DH,∵AB=CD,∴AG=CH,又∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形.∵GH=GD,C为DH的中点,∴GC⊥CD,∴∠GCH=90°,∴四边形AHCG是矩形.16.证明　∵AB⊥OM,DC⊥OM,ED⊥ON,∴∠ABC =∠ABO =∠DCB =∠DEA =90°,∵AO =AD ,OB =AE ,∴Rt △ABO ≌Rt △DEA (H.L.),∴∠AOB =∠DAE.∵∠AOB +∠OAB =90°,∴∠DAE +∠OAB =90°,∴∠BAD =180°-(∠DAE +∠OAB )=90°,∴∠BAD =∠ABC =∠DCB =90°,∴四边形ABCD 是矩形.17.证明　∵MD ∥NB ,∴∠MCA +∠NAC =180°,∵∠MCA 、∠NAC 的平分线相交于点F ,∴∠FAC =12∠NAC ,∠FCA =12∠MCA ,∴∠FAC +∠FCA =12(∠NAC +∠MCA )=90°,∴∠CFA =180°-(∠FAC +∠FCA )=90°,同理,∠AEC =90°,∠FCE =90°,∴∠CFA =∠AEC =∠FCE =90°,∴四边形AECF 是矩形.18.D 四边形ABCD 是平行四边形,若对角线AC =BD ,则根据对角线相等的平行四边形是矩形可判定四边形ABCD 是矩形.19.A A.由四边形ABCD 是平行四边形,AC ⊥BD 不能判定四边形ABCD 是矩形,故选项A 符合题意;B.∵AB ⊥BC ,∴∠ABC =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项B 不符合题意;C.∵AC =BD ,∴平行四边形ABCD 是矩形,故选项C 不符合题意;D.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,∵∠1=∠2,∴OA=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项D不符合题意.故选A.20.证明　∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2AO,BD=2OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.21.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴BE∥CD.∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴OD=OE,OC=OB.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC,∠A=∠OCD,∴∠OCD=∠ODC,∴OC=OD,∴OC+OB=OD+OE,即BC=ED,∴平行四边形BECD为矩形.22.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EAF=∠EDC,∵E是AD的中点,∴AE=DE,∵∠FEA=∠DEC,∴△EAF≌△EDC(A.S.A.),∴EF=EC.(2)如图,∵EF=EC,AE=DE,∴四边形ACDF是平行四边形,∵CA平分∠FCB,∴∠ACE=∠BCA,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∴∠ACE=∠DAC,∴AE=CE,∴AD=FC,∴四边形ACDF为矩形.能力提升全练23.答案　48解析　如图,在矩形ABCD中,BC=6 cm,AC=10 cm,∴在Rt△ABC中,AB=102―62=8 cm,∴S矩形ABCD=AB·BC=8×6=48 cm2.24.答案　3解析　如图所示,设BC与x轴交于点E,∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,∴四边形DOEC是矩形,且矩形DOEC的面积是3.设C(m,n),则OE=m,CE=n,mn=3,∵点C在反比例函数y=k的图象上,x,∴k=mn,∴n=km∴k=3.25.答案　10解析　如图,延长BC到G,使CG=EF,连结FG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小,为AG的长,由勾股定理得,AG=AB2+BG2=62+(4+4)2=10,∴AF+CE的最小值为10.26.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE,∵E为BC的中点,∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF.∴四边形ABFC是平行四边形,∵AD=BC,AD=AF,∴BC=AF,∴四边形ABFC是矩形.27.解析　(1)证明:由题意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD =AB =CD ,∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,即∠PDE =∠CDF ,∴△PDE ≌△CDF (A.S.A.).(2)如图,过点E 作EG ⊥BC 于点G ,∴∠EGC =90°,EG =CD =4 cm,在Rt △EGF 中,EG 2+GF 2=EF 2,∵EF =5 cm,∴GF =3 cm .设CF =x cm,易得BG =AE =PE =CF =x cm,∴DF =BF =(x +3)cm,在Rt △CDF 中,CF 2+CD 2=DF 2,即x 2+42=(x +3)2,解得x =76.∴BC =BG +GF +CF =2×76+3=163 cm .素养探究全练28.解析　结论均是PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.证明如下:如图1,过点P 作MN ∥AB ,交AD 于点M ,交BC 于点N ,则四边形ABNM 和四边形NCDM 均为矩形,由题意可得,在矩形ABNM 中,PA 2+PN 2 =PB 2+PM 2,在矩形NCDM 中,PC 2+PM 2=PD 2+PN 2,两式相加得,PA 2+PN 2+PC 2+PM 2=PB 2+PM 2+PD 2+PN 2,∴PA 2+PC 2=PB 2+PD 2.如图2,过点P 作MN ∥AD ,交BA 的延长线于点M ,交CD 的延长线于点N ,则四边形BCNM 和四边形ADNM 均为矩形,由题意可得,在矩形BCNM中,PC2+PM2=PB2+PN2,在矩形ADNM中,PA2+PN2=PD2+PM2,两式相加得,PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2,∴PA2+PC2=PB2+PD2.图1 图2。

2020—2021年华东师大版八年级数学下册《矩形的判定》同步练习题1及答案.docx

（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等答案：D解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB ＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF ⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．．分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：对角线相等的平行四边形是矩形．分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BDD．AB＝AD答案：A解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 答案：B解答：如图，连接PA，∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴222BC AB AC=+，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，AP＝EF，当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵12AB•AC＝12BC•AP，即AP＝BCACAB⋅＝6810⨯＝4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．10．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等答案：C解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少答案：C解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC 时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．13．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形答案：B解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A 项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；故选B．分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．14．对角线的平行四边形是矩形（）A．互相垂直且平分B．互相平分C．互相垂直D．相等答案：D解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．15．在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的周长（）A ．1023+B ．825+C ．835+D ．1025+答案：A解答：如下图所示，延长BC 、AD 交于O ，∵∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝∠CDO ＝90°，∠O ＝30°，∵AB ＝4，CD ＝2，∴OA ＝2AB ＝8，CO ＝2CD ＝4，由勾股定理得：228443OB =-=，224223OD =-=，∴434BC =-，823AD =-，∴AB ＋AD ＋DC ＋BC ＝482324341023+-++-=+，故选A ．分析：延长BC 、AD 交于O ，求出OA 、OD 、OC 、OB 的值，求出BC 、AD ，即可求出答案．二、填空题16．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．答案：∠ABC＝90°或AC＝BD（不唯一）解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC＝90°或AC＝BD，故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．17．对角线的四边形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A＝90°．分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD 是矩形的有（填写序号）．答案：①④解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE 为矩形．答案：60解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．答案：四边形AFBD是矩形解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．22．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．（1）求证：BD ＝CD ；答案：解答：证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF ＝DC ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ．（2）如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．答案：四边形AFBD 是矩形解答：四边形AFBD 是矩形，理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∵AF ＝BD ，又∵过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，即AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD 于点E．（1）求证：OE＝OD；答案：解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED的中点．∴OE＝OD．（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB 中，O点为斜边AB的中点．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．答案：解答：证明：∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ＝BE ，∵点E 是BC 的中点，∴EC ＝BE ＝AD ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，点E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，即∠AEC ＝90°，∴平行四边形AECD 是矩形．．分析：先判断四边形AECD 为平行四边形，然后由∠AEC ＝90°即可判断出四边形AECD 是矩形．25．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长至点E ，使CE ＝DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；答案：解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠AEC ，又∵CE ＝CD ，∴AB ＝CE ，在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFC AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）．（2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理答案：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形解答：解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥DC，AB＝DC，∴∠BCE＝∠D，AB∥EC，又∵CE＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC ＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE＝DC，易证得∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC 是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。

2020-2021学年华东师大版八年级下册数学 19.1矩形同步练习

19.1矩形同步练习一．选择题1．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 2．矩形邻边之比为3：4，对角线长为10cm，则周长为（）A．14cm B．28cm C．20cm D．22cm3．如图，矩形ABCD中，作CE⊥BD于点E，若∠DCE＝3∠ECB，则∠ACE度数为（）A．30°B．60°C．45°D．22.5°4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，若S△APC＝15，那么点P到对角线BD的长是（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝．则AF的长为（）A．B．2C．3D．7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F、G、H分别在矩形的各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．3B．6C．6D．98．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2B．C．3D．9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（）A．43°B．34°C．33°D．19°10．如图，矩形ABCD和矩形CEFG，AB＝1，BC＝CG＝2，CE＝4，点P在边GF上，点Q在边CE上，且PF＝CQ，连接AC和PQ，M，N分别是AC，PQ的中点，则MN的长为（）A．3B．6C．D．二．填空题11．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD 的长为．12．在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作AC的垂线，垂足为E，若AC ＝10，OE＝3，则线段BC的长为．13．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．14．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，点F在AE边上，连FC，∠BAE＝∠EFC，CF＝CD，AB：BC＝3：2，若AE＝，则AB的长为．15．如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB＝6，BC＝5，EF∥AD，HG∥AB，则HE+FG的最小值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若BE＝2，AE＝2，求EF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．18．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO 的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．参考答案一．选择题1．解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．2．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3xcm，4xcm，∵对角线长为10cm，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的周长为28cm，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠DCE＝3∠ECB，∠DCB＝90°，∴∠ECB＝×90°＝22.5°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠ECB＝67.5°＝∠OCB，∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°，故选：C．4．解：连接OP，作PE⊥AC，PF⊥BD于点E，F，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝，∵S△APC＝AC•PE＝×10×PE＝15，∴PE＝3，∴PF＝﹣PE＝﹣3＝．故选：B．5．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO，∵DF垂直平分OC，∴OD＝DC，∴OD＝DC＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OC＝CD＝，∴AC＝2，∴BC＝＝＝3，∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC，∴∠CDE＝∠ODE＝30°，∴DC＝CF＝，∴CF＝1，∴BF＝2，∴AF＝＝＝，故选：A．7．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝3，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝＝3，∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝6．故选：C．8．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG＝，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故选：C．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AE＝BE，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣52°＝38°，∴∠ABD＝∠BAC＝38°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝×38°＝19°，∵BF⊥AM，∴∠ABF＝90°﹣∠BAM＝90°﹣19°＝71°，∴∠DBF＝∠ABF﹣∠ABD＝71°﹣38°＝33°，故选：C．10．解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：则四边形ABEH是矩形，∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，∵四边形CEFG是矩形，∴FG∥CE，EF＝CG＝2，∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝＝＝，在△RFP和△RCQ中，，∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，∴点R与点M重合，∵点N是AC的中点，∴MN是△CAF的中位线，∴MN＝AF＝×＝，故选：C．二．填空题11．解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．12．解：如图1，当E在线段OA上，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝5，∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，∵BE⊥AC，∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝42，∴BC＝＝＝4；如图2，当E在线段OC上，CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，∵BE⊥AC，∴BE2＝OB2﹣OE2＝52﹣32＝42，∴BC＝＝＝2，故答案为：2或4．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∵CF＝CD，∴AB＝CF，过B作BG⊥AE于G，过C作CH⊥AE于H，∴∠AGB＝∠FHC＝90°，在△ABG与△FCH中，，∴△ABG≌△FCH（AAS），∴AG＝FH，BG＝CH，在△EBG与△ECH中，，∴△EBG≌△ECH（AAS），∴BE＝CE，∵AB：BC＝3：2，∴设AB＝CD＝3x，BC＝2x，∴BE＝CE＝x，∴AE＝＝x＝，∴x＝1，∴AB＝3x＝3．故答案为：3．15．解：如图所示，连接AI，CI，AC，在矩形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝∠B＝90°，AB∥CD，AD∥BC，又∵EF∥AD，HG∥AB，∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，∴HE＝AI，FG＝CI，∴HE+FG的长度即为AI+CI的长度，又∵AI+CI≥AC，∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小值等于AC的长度，在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴HE+FG的最小值为．故答案为：．三．解答题16．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵AE＝2，BE＝2，∴AB＝4，∴EC＝＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．18．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．。

八年级数学下册矩形的性质练习新版华东师大版

八年级数学下册矩形的性质练习新版华东师大版19.1 矩形1.矩形的性质1.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C′处,点B落在点B′处,其中AB=9,BC=6,则FC′的长为( D )(A)(B)4 (C)4.5 (D)52.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6 cm,则AB的长是( A )(A)3 cm (B)6 cm(C)10 cm (D)12 cm3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,EF∥BC,DE∥CA.若四边形C DEF周长是y,DE是x,DC是10,则y与x之间的函数表达式是( B )(A)y=x+10 (B)y=2x+20(C)y=10x (D)y=4.(整体思想)如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )(A)4.8 (B)5(C)6 (D)7.25.如图,在矩形ABCD中,AB>BC,点E,F,G,H分别是边DA,AB,BC,CD的中点,连结EG,F H,则图中矩形共有9 个.6.(2018常德)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连结BG,则∠AGB= 75°.7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 3 .8.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 22.5 度.9.(2018广东)如图,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连结DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:△DEF是等腰三角形.证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以AD=BC,AB=CD.由折叠的性质得BC=CE,AB=AE.所以AD=CE,AE=CD.因为DE=ED,所以△ADE≌△CED.(2)因为△ADE≌△CED,所以∠DEF=∠EDF.所以EF=DF.所以△DEF是等腰三角形.10.(2018北京东城区期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=9,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF.(1)求证:BE=BF;(2)求BE的长.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC.所以∠DEF=∠EFB.根据折叠的性质得∠BEF=∠DEF.所以∠BEF=∠EFB.所以BE=BF.(2)解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°.由折叠的性质得BE=ED.设BE=x,则AE=9-x.因为AE2+AB2=BE2,所以(9-x)2+32=x2.解得x=5.所以BE=5.11.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动,速度为1 cm/s,点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动,速度为2 cm/s,如果动点E,F同时从A,B两点出发,连结EF,DE,DF,若设运动的时间为t s,解答下列问题:(1)当t为何值时,△BEF为等腰直角三角形?(2)是否存在某一时刻t,使△DCF为等腰直角三角形?解:(1)根据题意,得AE=t cm,BF=2t cm.所以BE=(6-t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°.因为要使△BEF为等腰直角三角形,应有BE=BF,所以6-t=2t.所以t=2.所以当t=2时,△BEF为等腰直角三角形.(2)根据题意,得BF=2t cm.所以CF=(12-2t)cm.因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°.因为要使△DCF为等腰直角三角形,应有CF=DC,所以12-2t=6.所以t=3.所以当t=3时,△DCF为等腰直角三角形.12.(方程思想)如图,矩形ABCD中,AB长6 cm,对角线比AD边长2 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.解:设AD=x cm,则对角线长为(x+2) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD2+AB2=BD2,所以x2+62=(x+2)2,解得x=8.则AD=8 cm,DB=8+2=10(cm).在Rt△ABD中有,=,而DB=10 cm,AD=8 cm,AB=6 cm,所以AE===4.8(cm).。

华师大版数学八年级下册_《矩形的判定》基础训练

《矩形的判定》基础训练一、选择题（本大题共5小题，共50.0分）1．（10分）下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形2．（10分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DAC C．AC⊥BD D．AB＝BC 3．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝BC，AB∥CD D．∠BAD＝∠ADC4．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.55．（10分）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形二、填空题（本大题共5小题，共50.0分）6．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．7．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D 作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．8．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．9．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，且AD⊥DC，∠A＝135°，BC＝6，AD ＝，则四边形ABCD的面积为．10．（10分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可）《矩形的判定》基础训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共50.0分）1．（10分）下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）2．（10分）已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DAC C．AC⊥BD D．AB＝BC【分析】因为矩形是特殊的平行四边形，所以根据矩形的判断方法来添加条件即可．【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB，（对角线相等的平行四边形是矩形）故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．3．（10分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．AD＝BC，AB∥CD D．∠BAD＝∠ADC【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形．据此分析判断．【解答】解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B、根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C、不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D、由平行四边形ABCD中AB∥CD，可得∠BAD+∠ADC＝180°，又∠BAD＝∠ADC，得出∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．4．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.5【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．5．（10分）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判定即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选：B．【点评】此题主要考查了对矩形定义和判定的理解．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．二、填空题（本大题共5小题，共50.0分）6．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．7．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D 作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．【分析】连接CD，由题意可证四边形DECF是矩形，可得CD＝EF，根据垂线段最短，可得当CD⊥AB时，EF长度最短，即根据三角形的面积公式可求CD的长度，即可得线段EF长度的最小值．【解答】解：如图连接CD∵∠C＝90°，DF⊥AC，DE⊥BC∴四边形DECF是矩形∴EF＝CD∵垂线段最短∴当CD⊥AB时，CD的长度最短，即EF的长度最短．∵BC＝4，AC＝3，∠C＝90°∴AB＝5∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD∴CD＝∴EF长度的最小值为故答案为【点评】本题考查了矩形的性质和判定，利用垂线段最短求CD的长度最小值是本题的关键．8．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB＝DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB＝DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC，又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB＝DC．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．9．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，且AD⊥DC，∠A＝135°，BC＝6，AD ＝，则四边形ABCD的面积为12．【分析】根据题意推知△BCE和△AED是等腰直角三角形，则S四边形ABCD＝S△BCE﹣S△AED．【解答】解：如图，延长BA、CD交于点E．∵∠DAB＝135°，∴∠EAD＝45°．∵AD⊥DC，∴∠E＝∠EAD＝45°．∴AD＝ED＝2，又∵AB⊥BC，∴∠C＝∠E＝45°，∴BC＝BE＝6，∴S四边形ABCD＝S△BCE﹣S△AED＝BC•BE﹣AD•ED＝×6×6﹣×2×2＝12．故答案是：12．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质．此题利用“分割法”求得四边形ABCD 的面积．10．（10分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，不添加任何辅助线，平行四边形满足AC＝BD或∠ABC＝90°条件时，平行四边形ABCD是矩形．（填一个即可）【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．。

八年级数学下册矩形菱形与正方形矩形矩形的判定练习新版华东师大版

课时作业(三十一)[19.1 2. 第1课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )图K－31－1A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )A．AD⊥CD B．AD＝CDC．AC⊥BD D．AC＝BDK－31－2K－31－34．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．A．①②B．①④C．①③④ D．②③④二、填空题5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．图K－31－4图K－31－56．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结图K－31－67．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.三、解答题8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图K－31－79.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结图K－31－810．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．图K－31－911．2020·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结图K－31－1012．·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．图K－31－11动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？图K－31－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 27．[答案] 68．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC.∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.同理FH ＝12BD.又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°， ∴∠CEF ＝90°.∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ， ∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°. ∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.又∵BO＝CO，∴四边形BECD是平行四边形．(2)10012．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∵∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝AF.(2)四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，∴四边形ACDF为矩形．[素养提升][解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.解：根据题意，当AP＝DQ时，由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。

华东师大版八年级数学下册同步练习矩形、菱形与正方形复习题

《矩形、菱形与正方形复习题》同步练习1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2. 下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804.平行四边形的一边长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm5. 如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分为草坪，则草坪面积为( )A.5 0502m B.4 9002m C.5 0002m D.4 9982m 6. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，cm,那么矩形ABCD的面积是）若正方形ABEF和ADGH的面积之和682A．212cm D．92cmcm C．242cm B．1627. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）A．10 B．20 C．24 D．258．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（）A.10°B.15°C.20°D.25°答案和解析一．基础训练1.【答案】B；【解析】由题意先证明△AOE ≌△COF ，∴S 阴影=S △COD=S 矩形ABCD 。

2.【答案】C ；【解析】A 、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C 、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D 、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）．
A ．A
B ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°
C ．AB=BC ，AD=C
D ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°
2．已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，• ④BC=AD ，⑤AC=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______ 3 个，能使四边形ABCD 是矩形．
3．已知：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：ABCD 是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组
成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．
5．已知：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．
6．已知：如图，在ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直
角．• 求证：•四边形ABCD 是矩形．
后花园智力操如图，以△ABC 的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角
形，•即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF 是什么四边形？（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？
B A
C
D B A C D N M B A C
E
F B A C E D O
A
C E
D F
参考答案:
1．C
2．（答案不唯一，只要写出一组即可）①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②
④⑥．
3．由ABCD，可得AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO，∠BOC=∠DCO．又∵∠AOD=∠BOC，∴∠CDO=∠DCO．∴OD=OC．
又∵AO=BO，∴△ADO≌△BCO．∴∠A=•∠B=90°，∴ABCD是矩形．
4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN是矩形．5．∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，∴△AEB≌△AFC．∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．• 又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．
∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形．
6．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．
以AC为斜边的Rt△ACE中，OE•为斜边AC上的中线，∴OE=1
2
AC，即AC=2OE．
以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，
∴OE=1
2
BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．
智力操（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：△ABD、△BCE•是等边三角形，•∠ABD=∠EBC=60°．∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．
又∵DB=AB，EB=CB，•∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．
同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．。