高考理科数学复习函数的奇偶性与周期性练习测试题含答案解析

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函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数，则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．【答案】－1【解析】∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.3.若的图像是中心对称图形,则( )A．4B．C．2D．【答案】B【解析】，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．故选B.【考点】奇函数4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选A.5.已知函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝()A．－20B．－18C．－15D．17【答案】C【解析】由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.6.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.7.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.8.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.9.函数y＝sin22x是()．A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】D【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，则周期为：＝，且为偶函数．10.已知，其中是常数．（1））当时，是奇函数；（2）当时，的图像上不存在两点、，使得直线平行于轴．【答案】证明见解析．【解析】(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，当然如果你代数式变形的能力较强，可以直接求然后化简变形为，从而获得证明；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，，，因此原方程最多只有一解，或者用反证法证明，设存在，即有两个，且，使，然后推理得到矛盾的结论，从而完成证明．试题解析：（1）由题意，函数定义域， 1分对定义域任意，有：4分所以，即是奇函数. 6分（2）假设存在不同的两点，使得平行轴，则9分化简得：，即，与不同矛盾。

高考数学考点练习第二章函数导数及其应用7函数的奇偶性与周期性试题理

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________．答案－25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习附答案

2023 届高考数学专项(函数的奇偶性与周期性)经典好题练习-x的图象关于()1.函数f(x)=1xA.y轴对称B.直线y=-x对称C.原点中心对称D.直线y=x对称2.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)3.已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上单调递减,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)4.设偶函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=x3-8,则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}5.(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列判断错误的有()A.若f(-2)>f(2),则函数f(x)在R上是增函数B.若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数C.若f(0)=0,则函数f(x)是奇函数D.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,在区间(0,+∞)上也单调递增,则f(x)是R上的增函数6.(多选)(2020山东淄博一模,12)已知函数y=f(x)是R上的奇函数,对于任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,当x∈[0,2)时,f(x)=2x-1.给出下列结论,其中正确的是()A.f(2)=0B.点(4,0)是函数y=f(x)的图象的一个对称中心C.函数y=f(x)在[-6,-2]上单调递增D.函数y=f(x)在[-6,6]上有3个零点7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)8.(2020山东潍坊临朐模拟一,14)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+4)=f (x ),且当x ∈(0,2)时,f (x )=x 2+1,则f (7)的值为 .9.定义在R 上的函数f (x )满足f (x+6)=f (x ),当x ∈[-3,-1)时,f (x )=-(x+2)2,当x ∈[-1,3)时,f (x )=x ,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 021)= .10.已知f (x )是R 上的奇函数,f (1)=2,且对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3)成立,则f (2 017)= . 11.函数f (x )=π2sinx3 |x |的最大值是M ,最小值是m ,则f (M+m )的值等于( )A.0B.2πC.πD.π212.(2020全国2,理9)设函数f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,则f (x )( ) A.是偶函数,且在 12, ∞ 上单调递增 B.是奇函数,且在 -12,12 上单调递减 C.是偶函数,且在 -∞,-12 上单调递增 D.是奇函数,且在 -∞,-12 上单调递减13.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x+1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( ) A.2 B.1 C.-1D.-214.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x+2)=f (x ),当x ∈[0,1]时,f (x )=3x ,若12<a<34,关于x 的方程ax+3a-f (x )=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为 . 15.在下列函数中,与函数f (x )=2x-1-12x 1的奇偶性、单调性均相同的是()A.y=e xB.y=ln(x+√x 1)C.y=x 2D.y=tan x16.如果存在正实数a ,使得f (x-a )为奇函数,f (x+a )为偶函数,我们称函数f (x )为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f (x )=(x-1)2+5;②f (x )=cos 2x-π4;③f (x )=sin x+cos x ;④f (x )=ln |x+1|.其中“和谐函数”的个数为 .参考答案1.C ∵f (-x )=-1x+x=-1x-x =-f (x ),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴f (x )为奇函数,故f (x )的图像关于原点中心对称.故选C . 2.C f (x )的图像如图.当x ∈[-1,0)时,由xf (x )>0得x ∈(-1,0); 当x ∈[0,1)时,由xf (x )>0得x ∈⌀; 当x ∈[1,3]时,由xf (x )>0得x ∈(1,3). 故x ∈(-1,0)∪(1,3).故选C .3.D 由y=f (x+8)为偶函数,知函数f (x )的图像关于直线x=8对称.又因为f (x )在(8,+∞)上单调递减,所以f (x )在(-∞,8)上单调递增.可画出f (x )的草图(图略),知f (7)>f (10),故选D .4.B f (x-2)>0等价于f (|x-2|)>0=f (2).又f (x )=x 3-8在[0,+∞)上单调递增,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4,故选B .5.ACD 对于A,若f (-2)>f (2),则f (x )在R 上必定不是增函数,故A 错误;对于B,若函数f (x )是偶函数,则f (-2)=f (2),所以若f (-2)≠f (2),则函数f (x )不是偶函数,故B 正确;对于C,f (x )=x 2,满足f (0)=0,但不是奇函数,故C 错误;对于D,该函数为分段函数,在x=0处,有可能会出现右侧比左侧低的情况,故D 错误.故选ACD .6.AB 在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (-2)=0,又因为函数y=f (x )是R 上的奇函数,所以f (2)=-f (-2)=0,f (x+4)=f (x ),故y=f (x )是一个周期为4的奇函数,因为(0,0)是f (x )的图像的一个对称中心,所以点(4,0)也是函数y=f (x )的图像的一个对称中心,故A,B 正确;作出函数f (x )的部分图像如图所示,易知函数y=f (x )在[-6,-2]上不具单调性,故C 不正确;函数y=f (x )在[-6,6]上有7个零点,故D 不正确.故选AB .7.C ∵f (x )是奇函数,∴当x<0时,f (x )=-x 2+2x.作出函数f (x )的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f (x )是R 上的增函数,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a<1,故选C .8.-2 因为f (x+4)=f (x ),所以f (x )的周期为4.又因为f (x )是奇函数,所以f (7)=f (8-1)=f (-1)=-f (1),由题意f (1)=12+1=2,所以f (7)=-2,故答案为-2.9.337 由题意得函数的周期为6,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以数列{f (n )}从第一项起,每连续6项的和为1,则f (1)+f (2)+…+f (2 021)=336×1+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=337. 10.2 ∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (0)=0.又对任意x ∈R 都有f (x+6)=f (x )+f (3),∴当x=-3时,有f (3)=f (-3)+f (3), ∴f (-3)=0,f (3)=-f (-3)=0, ∴f (x+6)=f (x ),f (x )的周期为6. 故f (2 017)=f (1)=2. 11.D 设h (x )=sinx3 |x |,则h (-x )=-h (x ),所以h (x )是一个奇函数,所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0,所以M+m=π,所以f (M+m )=π2,故选D .12.D 由题意可知,f (x )的定义域为 x x 12,关于原点对称.∵f (x )=ln |2x+1|-ln |2x-1|,∴f (-x )=ln |-2x+1|-ln |-2x-1|=ln |2x-1|-ln |2x+1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.当x ∈ -12,12时,f (x )=ln(2x+1)-ln(1-2x ),∴f'(x )=22x 1 -21-2x4(2x 1)(1-2x )>0,∴f (x )在区间 -12,12上单调递增.同理,f (x )在区间 -∞,-12, 12, ∞ 上单调递减. 故选D .13.A ∵f (x+1)为偶函数,f (x )为奇函数,∴f (-x+1)=f (x+1),f (x )=-f (-x ),f (0)=0,∴f (x+1)=f (-x+1)=-f (x-1),∴f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=f (x+2+2)=-f (x+2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2, ∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A .14.5 ∵f (x+2)=f (x ),∴函数f (x )是周期为2的函数,若x ∈[-1,0],则-x ∈[0,1],f (-x )=-3x ,由题意f (-x )=f (x )=-3x.由ax+3a-f (x )=0,得a (x+3)=f (x ),设g (x )=a (x+3),分别作出函数f (x ),g (x )在区间[-3,2]上的图像如图.∵12<a<34,∴当a=12和34时,对应的直线为两条虚线,则由图像知两个函数有5个不同的交点,故方程有5个不相等的实数根. 15.B 由题意,f (-x )=2-x-1-12-x 112x 1-2x-1=-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为2x-1和-12x 1都为R 上的增函数,所以f (x )=2x-1-12x 1为R 上的增函数.对于A,y=e x 不是奇函数,排除A;对于B,由f (-x )=ln(-x+ (-x ) 1)=ln1x x 2 1=-ln(x+√x 1)=-f (x ),所以f (x )为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+√x 1)为增函数,故B 正确;对于C,y=x 2不是奇函数,排除C;对于D,y=tan x 在R 上不是单调函数,排除D .故选B .16.1 ①中f (0)=6≠0,无论正数a 取什么值f (x-a )都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f (x )=cos 2x-π2=sin 2x ,f (x )的图像向左或右平移π4个单位长度后其函数变为偶函数,f (x )的图像向左或右平移π2个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f (x )=sin x+cos x=√2sin x+π4,因为f x-π4=√2sinx 是奇函数,f x+π4=√2cos x 是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f (x )=ln |x+1|,所以只有f (x-1)=ln |x|为偶函数,而f (x+1)=ln |x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a 使得函数f (x )是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.。

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (含详解)

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称． (2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称． (3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称． (4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称． 4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期. 【方法技巧与总结】 1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与1的大小关系； ④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数； ④若()0f x >且()f x1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（） A ．f (x )在R 上是增函数 B ．f (x )在R 上是减函数 C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）． A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()()2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数； 2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e e x xx xf x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-. （1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值． 4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ． 5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,xm m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数2axf x a（0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈ ，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（） A ．24y x x =- B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是 A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()3log 7b f =， ()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ． a c b <<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）． A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x= B ．ln y x x =-- C ．3y x x =--D ．3=-+y x x 例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x =B ．()22g x x x =+C ．()3g x x x =-D ．()()x x g x e e -=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ) （4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在0,上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性. 题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a+=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330xxa a af x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为( )A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+. (1)求()1f 和()1f -的值； (2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式. 【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =+（a ，b 为实数），()3lglog 102022f =，则()lglg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113esin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___. 【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+= （2）max min ()()2f x f x M += 题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称 C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln3e e f f f <<- B ．()()()3e ln3ef f f -<< C ．()()()3e e ln3f f f <-<D ．()()()3ln3e e f f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x π-=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x π=≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ， ()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i i i x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．(](],10,3-∞-B．((,0,3⎤-∞⎦C ．[)[)1,03,-+∞D ．))3,⎡⎡+∞⎣⎣例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf xa +≤恒成立，则1a ≥ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】 1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()()xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n n g x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（） A ．()3,1- B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1xf x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；xx②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数) (2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数) (3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数) (4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增. 若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x x f x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33e x x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞ B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+ B ．(),e -∞- C ．[]e,0- D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ 【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（） A ．2x y <B ．2x y >C ．x y >D ．x y <3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于( )A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x -=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（） A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lgf x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（） A ．()f x 的图象关于()0,1对称 B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________． 14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ()1212xx f x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥； (3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+- ②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由. （2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.专题07 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性【考点预测】 1.函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上； ②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <； ③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇。

高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解

高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解一、选择题1．(文)以下函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A ．y ＝x ＋x 3(x ∈R) B ．y ＝3x (x ∈R)C ．y ＝－log 2x (x >0，x ∈R)D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)[答案] A[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C ，假设x ＝0在定义域内，那么应有f (0)＝0，排除B ；又函数在定义域内单调递增，排除D ，应选A.(理)以下函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x ＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x )为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．应选D.2．(2021·安徽理，4)假设f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，那么f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，应选A.3．(2021·河北唐山)f (x )与g (x )分别是定义在R 上奇函数与偶函数，假设f (x )＋g (x )＝log 2(x 2＋x ＋2)，那么f (1)等于( )A ．－12B.12 C ．1D.32[答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2f (－1)＋g (－1)＝1，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝2g (1)－f (1)＝1，∴f (1)＝12.4．(文)(2021·北京崇文区)f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，那么f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.5[答案] D[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.(理)(2021·山东日照)函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，假设f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] A[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )得出周期T ＝2， ∵f (x )在[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，从而f (x )在[2,3]上为增函数．5．(2021·辽宁锦州)函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．假设g (x )＝f (x )＋2，那么g (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．2C ．4D ．不能确定[答案] C[解析] ∵f (x )是定义在[－a ，a ]上的奇函数，∴f (x )的最大值与最小值之和为0，又g (x )＝f (x )＋2是将f (x )的图象向上平移2个单位得到的，故g (x )的最大值与最小值比f (x )的最大值与最小值都大2，故其和为4.6．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，那么函数f (x )＝2⊗x(x ⊕2)－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B[解析] f (x )＝4－x 2|x －2|－2，∵x 2≤4，∴－2≤x ≤2，又∵x ≠0，∴x ∈[－2,0)∪(0,2]．那么f (x )＝4－x 2－x ，f (x )＋f (－x )＝0，应选B.7．f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，那么a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .应选C.8．函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，那么f (2021)等于( )A ．2B ．－3C ．－12D.13[答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2021)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，9．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，那么使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )<0得0<x ＋11－x<1，∴－1<x <0，应选A. 10．(文)(09·全国Ⅱ)函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 [答案] A[解析] 首先由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，其次令f (x )＝log 22－x 2＋x ，那么f (x )＋f (－x )＝log 22－x2＋x ＋log 22＋x2－x＝log 21＝0.故f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，应选A.(理)函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是以下图象中的( )[答案] C [解析] ∵y ＝xsin x是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D ，当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B ，应选C.二、填空题11．(文)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (x <0)f (x －1)－1 (x >0)，那么f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． [答案] －2[解析] f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－52， f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin π6＝12，∴原式＝－2. (理)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.[答案] 0[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝12对称，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝12对称∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.12．(2021·深圳中学)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如下图，那么不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.13．(文)假设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.那么f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0.(理)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，当x ≥1时，f (x )＝(x ＋b )2，那么f (－3)＋f (5)＝________.[答案] 12[解析] ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∵－1≤x ≤1时，f (x )＝a ，∴a ＝0. ∴f (1)＝(1＋b )2＝0，∴b ＝－1.∴当x ≤－1时，－x ≥1，f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－(x ＋1)2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)2 x ≤－10 －1≤x ≤1(x －1)2 x ≥1∴f (－3)＋f (5)＝－(－3＋1)2＋(5－1)2＝12.[点评] 求得b ＝－1后，可直接由奇函数的性质得f (－3)＋f (5)＝－f (3)＋f (5)＝－(3－1)2＋(5－1)2＝12.14．(文)(2021·山东枣庄模拟)假设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R)是奇函数，那么a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，即lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝lg ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝0.∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝⎛⎭⎫2xx －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0a 2－1＝0，∴a ＝－1. [点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，那么问题变得比拟简单．f (x )＝lg (a ＋2)x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)(2021·吉林长春质检)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2＋x 为奇函数，那么使不等式f (x )<－1成立的x 的取值范围是________．[答案]1811<x <2 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立，∴lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ＋lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝0，∴⎝⎛⎭⎫－1＋a 2－x ⎝⎛⎭⎫－1＋a2＋x ＝1，∵a ≠0，∴4－ax 2－4＝0，∴a ＝4，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋42＋x ＝lg 2－xx ＋2，由f (x )<－1得，lg 2－x2＋x<－1，∴0<2－x 2＋x <110，由2－x 2＋x >0得，－2<x <2，由2－x 2＋x <110得，x <－2或x >1811，∴1811<x <2.三、解答题15．(2021·杭州外国语学校)f (x )＝x 2＋bx ＋c 为偶函数，曲线y ＝f (x )过点(2,5)，g (x )＝(x ＋a )f (x )．(1)假设曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；(2)假设当x ＝－1时函数y ＝g (x )取得极值，且方程g (x )＋b ＝0有三个不同的实数解，求实数b 的取值范围．[解析] (1)由f (x )为偶函数知b ＝0，又f (2)＝5，得c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1. ∴g (x )＝(x ＋a )(x 2＋1)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，因为曲线y ＝g (x )有斜率为0的切线，所以g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1＝0有实数解． ∴Δ＝4a 2－12≥0，解得a ≥3或a ≤－ 3. (2)由题意得g ′(－1)＝0，得a ＝2. ∴g (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2，g ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)．令g ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝－13.∵当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，当x ∈(－1，－13)时，g ′(x )<0，当x ∈(－13，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝－13处取得极小值．又∵g (－1)＝2，g (－13)＝5027，且方程g (x )＋b ＝0即g (x )＝－b 有三个不同的实数解，∴5027<－b <2，解得－2<b <－5027.16．(2021·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)．[分析] 由f (x ＋2)＝－f (x )可得f (x ＋4)与f (x )关系，由f (x )为奇函数及在(0,2]上解析式可求f (x )在[－2,0]上的解析式，进而可得f (x )在[2,4]上的解析式．[解析] (1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由得 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2， ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 又f (x )是周期为4的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4) ＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时， f (x )＝x 2－6x ＋8.(3)f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＋f (2021)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)＝0.17．(文)函数f (x )＝1－42a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2.(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y1－y ，由2x >0知1＋y1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤022－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0－f (x ) x <0.(1)假设f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2 x >03(x ＋1)2 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3，所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0，可知m ，n 异号．假设m >0，那么n <0.那么F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 假设m <0，那么n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.。

高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习含答案

1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 c ＜a ＜b解析由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0，所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析函数的周期是2，所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)．答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________．答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________．答案 ①解析对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________．答案－4解析由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案－2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________．答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，(x＋1)，则f(－2012)＋f(2013)＝________________．f(x)＝log2【答案】1【解析】试题分析:∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又∵对于x≥0都有f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(－2012)＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(1006×2)＋f(1006×2＋1)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1．故答案为：1．【考点】函数的周期性2.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则．【答案】．【解析】∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．【考点】函数的奇偶性．3.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．5.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】先画出当时，函数的图象，又为偶函数，故将轴右侧的函数图象关于轴对称，得轴左侧的图象，如下图所示，直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为，由图象可知，或，解得，选A．【考点】１、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集．6.若是偶函数，则____________.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,故填.【考点】奇偶性对数运算7. [2013·重庆高考]已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log10))＝5，则f(lg(lg2))＝2()A．－5B．－1C．3D．4【答案】C【解析】∵f(x)＝ax3＋bsinx＋4，①∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4，即f(－x)＝－ax3－bsinx＋4，②①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③又∵lg(log10)＝lg()＝lg(lg2)－1＝－lg(lg2)，2∴f(lg(log10))＝f(－lg(lg2))＝5，2又由③式知f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝8，∴5＋f(lg(lg2))＝8，∴f(lg(lg2))＝3.故选C.8.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．9.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．10.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【答案】A【解析】因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.已知是奇函数，且，若，则= ．【答案】【解析】因为为奇函数，所以．∵，∴，∴．13.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．14.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，都有,当时，，设函数在区间上的反函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以函数周期为，所以时，，所以＝，又函数为偶函数，所以时，则＝．令＝＝19，解得＝，从而＝，故选D．【考点】1、反函数；2、函数奇偶性的性质；3、函数的周期性．15.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.18.设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝3xC．y＝－3x D．y＝4x【答案】A【解析】由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.19.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．【答案】{x|－7<x<3}【解析】当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．20.已知是定义域为R的奇函数，当x≤0时，，则不等式的解集是（）A．(5，5)B．(1，1)C．(5，+)D．(l，+)【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以对于任意实数x，都有且.又当时，则当时，，有，所以：，则，解不等式，即或或得，选C.【考点】函数的奇偶性，分段函数，一元二次不等式的解法.21.设函数（）（Ⅰ）若函数是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，代入解析式得：，.即对任意都成立，由此得，．（Ⅱ）不等式对任意，恒成立，则小于等于的最大值，而．所以对任意恒成立，令，这是关于的一次函数，故只需取两个端点的值时不等式成立即可，即，解之即可得实数m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由函数是定义在R上的偶函数，则恒成立，即，所以，所以恒成立，则，故． 4分（Ⅱ）．所以对任意恒成立，令，由解得，故实数m的取值范围是． 12分【考点】1、函数的奇偶性；2、不等式恒成立问题.22.函数f(x)是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数上必过点.又因为函数是偶函数所以函数经过点 .又因为.所以函数一定经过和.故选A.本小题关键是考查函数的的奇偶性问题.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的对称性问题.23.已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则 .【答案】-1【解析】∵的图象关于直线对称,∴，又是上的奇函数，∴，∴，即4为的周期，∴.由时，，得，由，得，∴，故答案为．【考点】函数的奇偶性、周期性24.已知函数.（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）既不是奇函数，也不是偶函数；（2）所以或；（3）当时，的取值范围是，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．【解析】（1）时，为确定的函数，要证明它具有奇偶性，必须按照定义证明，若要说明它没有奇偶性，可举一特例，说明某一对值与不相等（不是偶函数）也不相反（不是奇函数）．（2）当时，为，这是含有绝对值符号的方程，要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号里的式子的正负，以根据绝对值定义去掉绝对值符号，变成通常的方程来解．（3）不等式恒成立时要求参数的取值范围，一般要把问题进行转化，例如分离参数法，或者转化为函数的最值问题．即为，可以先把绝对值式子解出来，这时注意首先把分出来，然后讨论时，不等式化为，于是有，即，这个不等式恒成立，说明，这时我们的问题就转化为求函数的最大值，求函数的最小值．试题解析：（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数（2分）所以既不是奇函数，也不是偶函数（4分）（2）当时，，由得（1分）即（3分）解得（5分）所以或（6分）（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为（1分）即故又函数在上单调递增，所以；（2分）对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是（3分）②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有，此时的取值范围是（4分）综上，当时，的取值范围是当时，的取值范围是；当时，的取值范围是（6分）【考点】（1）函数的奇偶性；（2）含绝对值的方程；（2）含参数的不等式恒成立问题．25.如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关【答案】B【解析】：∵当直线与边重合时，，当直线与重合时，，∴，∵正六边形即是中心对称图形又是轴对称图形，∴函数为偶函数.【考点】1.函数的奇偶性；2.数形结合思想.26.设函数是偶函数，则实数的值为___________.【答案】-1.【解析】因是偶函数，则，所以.【考点】函数的奇偶性.27.设是周期为2的奇函数，当时，=，则=．【答案】【解析】由是周期为2的奇函数可知，.【考点】函数的周期性与奇偶性.28.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．29.已知m为常数，函数为奇函数.（1）求m的值；（2）若，试判断的单调性（不需证明）；（3）若，存在，使，求实数k的最大值．【答案】（1）；（2）在R上单调递增；（3）.【解析】（1）由奇函数的定义得：，将解析式代入化简便可得m的值；（2），结合指数函数与反比例函数的单调性，便可判定的单调性；（3）对不等式：，不宜代入解析式来化简，而应将进行如下变形：，然后利用单调性去掉，从而转化为：.进而变为：.由题设知：.这样只需求出的最大值即可.将配方得：.所以在时,取得最大值，最大值为10.∴，从而.试题解析：（1）由，得,∴，即,∴. 4分（2），在R上单调递增. 7分(3)由，得， 9分即.而在时,最大值为10.∴，从而 12分【考点】1、函数的奇偶性和单调性；2、二次函数的最值；3、不等关系.30.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则=____________.【答案】1【解析】由题意可知函数的周期，于是，又函数是上的偶函数，所以，则.【考点】周期函数、奇偶性.31.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为（）A．3B．4C．6D．8【答案】C【解析】由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和－1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍，在（0，+∞）上，，图象过（1，0），和（4，1），是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选.【考点】函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质.32.若函数f(x) (x∈R)是奇函数，函数g(x) (x∈R)是偶函数，则 ( )A．函数f(x)g(x)是偶函数B．函数f(x)g(x)是奇函数C．函数f(x)＋g(x)是偶函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数【答案】B【解析】令，由于函数为奇函数，，由于函数为偶函数，则，，故函数为奇函数，故选；对于函数，取，，则，此时函数为非奇非偶函数，故、选项均错误.【考点】函数的奇偶性33.已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，，则,∴定义在实数集上的偶函数在上是减函数.∵, ∴, 即.∴或解得或.∴.故选B．【考点】函数的奇偶性、单调性.34.函数（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.35.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于函数是上的偶函数，若对于，都有，可知函数的周期为2，且当时，，那么则有，故可知答案为C。

2022届高考理科数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性练习(含解析)

函数的奇偶性与周期性一、选择题1．[2021·开封市高三模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x－1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．152．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ≥1时，f (x )＝x －2x，则{x |f (x ＋2)>1}＝( )A ．{x |x <－3或x >0}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <－2或x >0}D ．{x |x <2或x >4}3．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则满足f (18log x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x >0，则f (2 025)的值为( )A ．－2B ．－1C ．2D ．0 二、填空题6．[2021·长沙市高三年级统一模拟考试]已知函数f (x )＝ax －log 2(2x＋1)＋cosx (a ∈R )为偶函数，则a ＝________.7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．8．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3，则f (10)＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．11．[2021·山西省八校高三联考]已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x －1)，且当x ∈(－1,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2 020)＝( ) A ．22 019B ．22 018C ．21 010D ．21 00912．[2021·福建省高三毕业班质量检测]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )满足f (x )＝f (4－x )；③f (x )在(0,2)上单调递减；④f (x )＝cos πx2是满足条件的一个函数．其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．113．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．39答案与解析1．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x－1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A2．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为当x ≥1时，f (x )＝x －2x，易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (0)＝1，所以由f (x ＋2)>1得x ＋2>2或x ＋2<0，解得x >0或x <－2，故选C.答案：C3．解析：由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，且f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调递增，由f (18log x )>0，得18log x >13或－13< 18log x <0，解得0<x <12或1<x <2，所以满足f (18log x )>0的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1,2)．故选B.答案：B4．解析：因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f (7)＝f (7－9)＝f (－2)．又因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)，所以f (7)＝f (2)>1.所以a >1，即a ∈(1，＋∞)．故选D.答案：D5．解析：当x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2) ①，当x >1时，f (x －1)＝f (x －2)－f (x －3) ②，两式相加可得f (x )＝－f (x －3)，所以f (x ＋3)＝－f (x )，f (x ＋6)＝－f (x＋3)＝f (x )，因此当x >1时，f (x )是以6为周期的周期函数．由2 025＝6×337＋3可知f (2025)＝f (3)＝f (2)－f (1)＝－f (0)＝－log 21＝0.故选D 项．答案：D6．解析：通解 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－ax －log 2(2－x＋1)＋cos(－x )＝ax －log 2(2x＋1)＋cos x ，∴2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x＋12－x ＋1＝x ，由x 的任意性，可得a ＝12.优解因为f (x )是偶函数，所以f (2)＝f (－2)，即2a －log 2 5＋cos 2＝－2a －log 254＋cos(－2)，所以4a ＝log 2 5－log 254＝2，解得a ＝12.答案：127．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.联立方程组解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．解析：由f (2－x )－f (x )＝0得f (2－x )＝f (x )，又f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即f (2－x )＝f (－x )，则f (2＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的函数，所以f (10)＝f (0)＝ 3.答案： 39．解析：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．解析：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈0，1，－x ＋2，x ∈[1，2].11．解析：由f (x ＋1)＝2f (x －1)得，f (x ＋2)＝2f (x )，于是f (2 020)＝f (2 020－2＋2)＝2f (2 020－2)＝22f (2 020－2×2)＝23f (2 020－2×3)＝…＝21 010f (2 020－2×1 010)＝21 010f (0)．当x ∈(－1,1]时，f (x )＝2x －1，所以f (0)＝2－1＝12，所以f (2 020)＝21 010f (0)＝21 010×12＝21 009，故选D. 答案：D12．解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，又其图象关于点(1,0)对称，所以f (－x )＝－f (2＋x )，故f (x ＋2)＝－f (x )，故有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，故①正确．f (－x )＝f (x )＝f (x ＋4)，把x 替换成－x 可得f (x )＝f (4－x )，故②正确．f (x )＝cos πx2是定义在R 上的偶函数，且(1,0)是它的图象的一个对称中心，可得④正确．不妨令f (x )＝－cos πx2，此时f (x )满足题意，但f (x )在(0,2)上单调递增，故③错误．故正确结论的个数是3.答案：B13．解析：因为函数y ＝f (x ＋2)是连续的偶函数，所以直线x ＝0是其图象的对称轴，从而直线x ＝2就是函数y ＝f (x )图象的对称轴．因为f (x )＝f (4－x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或4－x ＝1－1x ＋4. 由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，Δ>0，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝－3；由4－x ＝1－1x ＋4，得x 2＋x －13＝0，Δ>0，设方程的两根为x 3，x 4，则x 3x 4＝－13，所以x 1x 2x 3x 4＝39.故选D.答案：D。

函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( )A ．f(x)＝x2＋xB ．f(x)＝tan xC ．f(x)＝x ＋sin xD ．f(x)＝lg 1－x1＋x2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f(x)g(x)是偶函数B ．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f(x)|g(x)|是奇函数D ．|f(x)g(x)|是奇函数3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )x2＋x ＋1x2＋123A. B ．－ C. D ．－232343434．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．985．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a 2a －3a ＋1的取值范围是( )A ．a<－1或a≥B ．a<－1C ．－1<a≤D ．a≤232323二、填空题7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．9．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．10．(文科)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x －1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x ，则(12)①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x －3.(12)其中所有正确命题的序号是________．10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.三、解答题11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．x 12．已知函数f(x)＝Error!是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1．解析：函数f(x)＝x2＋x 不是奇函数；函数f(x)＝tan x 的定义域不是R ；函数f(x)＝lg 的定义域是(－1,1)．故选C.1－x1＋x 答案：C2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D 也错．答案：C3．解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故x2＋x ＋1x2＋1x x2＋1xx2＋1f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.2343答案：C4．解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R 上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案：A5．解析：f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f(－1)＝f(2)，由≤－1，解得－1<a≤.2a －3a ＋123答案：C 二、填空题7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，∴2ax＝－ln e3x ＝－3x ，∴a＝－.32答案：－328．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.答案：29．解析：y ＝(x －2)|x|＝Error!函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x ＝－1，得x ＝1－.2借助图形可知1－≤a≤1.2答案：[1－，1]210．解析：由已知条件：f(x ＋2)＝f(x)，则y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x ，(12)函数y ＝f(x)的图象如图所示：当3<x<4时，－1<x －4<0，f(x)＝f(x －4)＝x －3，因此②④正确．③不正确．(12)答案：①②④10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)，即y ＝f(x)的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图象，其图象也关于x ＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8三、解答题11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，有f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)．从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.－x 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.－x x∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，－x－4f(x)＝f(x＋4)＝－.－x－4从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. 12．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知Error!所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．。

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解

高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<，因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数，又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称，作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称，所以方程。

高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性

高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性随着数学的不断深入，三角函数已经成为高中数学中不可或缺的一部分。

但是，对于初学者来说，理解三角函数的奇偶性与周期性并不容易。

本文将为大家介绍一些练习题，并附带解析，帮助大家更好地掌握三角函数的奇偶性与周期性。

练习题 1求下列函数的奇偶性：$f(x) = \sin 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (-x)=-\sin x$。

因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$f(x)$ 是一个奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$。

因此，$f(x)$ 是奇函数。

练习题 2求下列函数的奇偶性：$g(x) = \cos 3x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (-x)=\cos x$。

因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$g(x)$ 是一个偶函数，即 $g(-x)=g(x)$。

因此，$g(x)$ 是偶函数。

练习题 3求下列函数的周期：$h(x) = \sin 5x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+2\pi)=\sin x$。

因此，当$x$ 取遍全体实数时，$h(x)$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{5}$。

即$h(x+2\pi/5)=h(x)$。

练习题 4求下列函数的周期：$k(x) = \cos \dfrac{x}{4}$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (x+2\pi)=\cos x$。

因此，当$x$ 取遍全体实数时，$k(x)$ 的周期是 $8\pi$。

即 $k(x+8\pi)=k(x)$。

练习题 5求下列函数的周期：$m(x) = \sin x + \cos 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+\pi)=-\sin x$，$\cos(x+\pi)=-\cos x$。

因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$m(x)$ 的周期是$\pi$ 的公倍数和 $2\pi$ 的公倍数的最小正周期。

5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案

函数函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性知识点归纳1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x , 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=；若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x )或f(-x)=f(x)是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- (2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y 轴）对称. 5设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇应用举例1、常见函数的奇偶性：奇函数：ax y =（a 为常数），x y sin =，x y tan =，k xky (=为常数）偶函数：a y =（a 为常数），0=a 时既为奇函数又为偶函数2ax y =（)0≠a ，c ax y +=2（)0≠a ，ax y =（a 为常数），x y cos = 非奇非偶函数：)0(≠+=b b kx y ，)0(2≠++=b c bx ax y ，)0(≠+=c c ax y ，)0(≠+=c cx ky ，)1,0(≠>=a a a y x ，)1,0(log ≠>=a a x y a既奇又偶函数：0=y2、对奇偶性定义的理解例1 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x ∈R ，故④错误，选A ．练习：1、（2007全国Ⅰ）)(x f ，是定义在R 上的函数，，则“)(x f ，均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件解析:∵f (x )、g (x )均为偶函数,∴f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ).∴h (－x )=f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x )=h (x ).∴h (x )为偶函数. 但若h (－x )=h (x ),即f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x ), 不一定f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ), 例f (x )=x 2+x ,g (x )=－x . 2、（2007江苏）设f （x ）=l g （）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是AA.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）解析:∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.解之,得a =－1. ∴f (x )=lg.令f (x )＜0,则0＜＜1,∴x ∈(－1,0).3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1) f (x)=x 3+x (2) f (x)=3x 4+6x 2 +a (3) f (x)=3x+1 (4) f (x)=x 2 ，x ∈[- 4 , 4)，（5）1sin +=x y 例3判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]此时 f ( x ) =故 f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4（2007北京西城）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，2|2|12-+-x x ⎩⎨⎧≠-+≥-02|2|012x x ⎩⎨⎧±≠+≤-+⇒220)1)(1(x x x ⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒4011x x x 且2)2(12-+-x x x x 21-=x x x f ---=-2)(1)(又x x 21--== －f ( x )令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数．（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．例5．(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C ）Ａ．是奇函数Ｂ．是奇函数Ｃ．是偶函数Ｄ．是偶函数解：据奇偶函数性质：易判定f （x ）·f （-x ）是偶函数，f （x ）-f （-x ）是奇函数 f （x ）·|f （-x ）|的奇偶取决于f （x ）的性质，只有f （x ）+f （-x ）是偶函数正确。

函数的奇偶性问题练习题(含答案)

函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____．解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．（x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

2025届高考数学复习：历年优质真题专项(函数的奇偶性与周期性)阶梯练习(附答案)

2025届高考数学复习：历年优质真题专项（函数的奇偶性与周期性）阶梯练习[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝－lg |x | D ．y ＝2x2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－8)＝( ) A ．3 B ．13 C ．－13 D ．－34．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52 ＝( ) A ．－12 B ．－14 C ．14 D ．125．[2024ꞏ广西桂林测试]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝3x ，则( )A ．f (－1)＝f (2)B ．f (－1)＝f (4)C ．f ⎝⎛⎭⎫－32 >f ⎝⎛⎭⎫53 D ．f ⎝⎛⎭⎫－32 ＝f (4) 6．函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．17．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知f (x )＝x e xe ax －1 是偶函数，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．28．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知函数f (x )的定义域为R ，f (xy )＝y 2f (x )＋x 2f (y )，则( ) A ．f (0)＝0 B ．f (1)＝0 C ．f (x )是偶函数D ．x ＝0为f (x )的极小值点9．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2) 二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )＝x 3(a ꞏ2x －2－x )是偶函数，则a ＝________．11．[2023ꞏ全国甲卷(理)]若f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin (x ＋π2 )为偶函数，则a ＝________． 12．若f ()x ＝ln ⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝________，b ＝________．[能力提升]13．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]若f (x )＝(x ＋a )ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12 D ．114．已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则k ＝122 f(k)＝( ) A ．－21 B ．－22 C ．－23 D ．－2415．[2024ꞏ惠州一中测试]已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a16．(多选)[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )＝f ′(x ).若f ⎝⎛⎭⎫32－2x ，g (2＋x )均为偶函数，则( ) A ．f (0)＝0 B ．g ⎝⎛⎭⎫－12 ＝0 C ．f (－1)＝f (4) D ．g (－1)＝g (2)参考答案[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝－lg |x | D ．y ＝2x 答案：C2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|g (x )是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：B3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－8)＝( ) A ．3 B ．13 C ．－13 D ．－3 答案：D过程解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 28＝－3.4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52 ＝( ) A ．－12 B ．－14 C ．14 D ．12 答案：A过程解析：∵f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52 ＝－f ⎝⎛⎭⎫52 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12 ＝－2×12 ×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝－12 . 5．[2024ꞏ广西桂林测试]定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝3x ，则( )A ．f (－1)＝f (2)B ．f (－1)＝f (4)C ．f ⎝⎛⎭⎫－32 >f ⎝⎛⎭⎫53 D ．f ⎝⎛⎭⎫－32 ＝f (4)答案：C过程解析：∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为2，又f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)＝31＝3，∴f (2)＝f (0)＝1，∴f (4)＝f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32 ＝f ⎝⎛⎭⎫12 ＝3 ，f ⎝⎛⎭⎫53 ＝f ⎝⎛⎭⎫－13 ＝f ⎝⎛⎭⎫13 ＝33 ， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32 >f ⎝⎛⎭⎫53 . 6．函数f (x )为奇函数，定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 答案：D过程解析：∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )为奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x －2)， ∴f (x ＋2)＝－f (x －2)，∴f (x ＋4)＝－f (x )， ∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以8为周期的周期函数，∵f (0)＝0，∴f (2 016)＝f (0)＝0，f (2 017)＝f (1)＝1， ∴f (2 016)＋f (2 017)＝0＋1＝1.7．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知f (x )＝x e xe ax －1 是偶函数，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：D过程解析：方法一 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x e x e ax－1 ＝－x e －x e －ax －1，即e (1－a )x －e x ＝－e (a －1)x ＋e －x ，即e (1－a )x ＋e (a －1)x ＝e x ＋e －x ，所以a －1＝±1，解得a ＝0(舍去)或a ＝2，故选D.方法二 f (x )＝x e x e ax －1 ＝x e （a －1）x －e －x ，f (x )是偶函数，又y ＝x 是奇函数，所以y ＝e (a －1)x－e －x 是奇函数，故a －1＝1，即a ＝2，故选D.8．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知函数f (x )的定义域为R ，f (xy )＝y 2f (x )＋x 2f (y )，则( ) A ．f (0)＝0 B ．f (1)＝0 C ．f (x )是偶函数D ．x ＝0为f (x )的极小值点答案：ABC过程解析：取x ＝y ＝0，则f (0)＝0，故A 正确；取x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，故B 正确；取x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝0，取y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋x 2f (－1)，所以f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故C 正确；由于f (0)＝0，且函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以x ＝0可能为函数f (x )的极小值点，也可能为函数f (x )的极大值点，也可能不是函数f (x )的极值点，故D 不正确．综上，选ABC.9．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，0)C ．(－1，0)D ．(－1，2) 答案：A过程解析：∵f (x )是周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)＝2a －3a ＋1，又f (1)<1，∴2a －3a ＋1 <1，得－1<a <4.二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )＝x 3(a ꞏ2x －2－x )是偶函数，则a ＝________．答案：1过程解析：因为f ()x ＝x 3()a ꞏ2x－2－x，故f ()－x ＝－x 3()a ꞏ2－x －2x，因为f ()x 为偶函数，故f ()－x ＝f ()x ，即x 3()a ꞏ2x－2－x＝－x 3()a ꞏ2－x －2x ，整理得到()a －1 ()2x ＋2－x ＝0，故a ＝1.11．[2023ꞏ全国甲卷(理)]若f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin (x ＋π2 )为偶函数，则a ＝________．答案：2过程解析：方法一因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x －1)2－ax ＋sin ⎝⎛⎭⎫－x ＋π2 ＝(x －1)2＋ax ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ，得a ＝2.方法二因为f (x )为偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ，即⎝⎛⎭⎫－π2－1 2－π2 a ＝⎝⎛⎭⎫π2－1 2＋π2 a ，得a ＝2.12．若f ()x ＝ln ⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝________，b ＝________．答案：－12 ln 2过程解析：本题先采用特殊值法求出f (x )，再检验正确性．因为f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （2）＋f （－2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln |a ＋1|＋b ＝0 ①，ln |a －1|＋ln ⎪⎪⎪⎪a ＋13＋2b ＝0 ②.由①可得－b ＝ln |a ＋1| ③.将③代入②可得，⎪⎪⎪⎪（a －1）（a ＋13）＝|a ＋1|2.当(a －1)(a ＋13 )＝(a ＋1)2时，解得a ＝－12 .把a ＝－12 代入①，可得b ＝ln 2，此时f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪－12＋11－x ＋ln 2＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 1－x ，所以f (－x )＋f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 1＋x ＋ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 1－x ＝ln 1＝0，所以f (x )为奇函数，且f (0)，f (2)，f (－2)均有意义．当(a －1)(a ＋13 )＝－(a ＋1)2时，整理可得a 2＋23 a ＋13 ＝0，此时Δ＝49 －4×13 <0，所以a 无解．综上可得，a ＝－12 ，b ＝ln 2.[能力提升]13．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]若f (x )＝(x ＋a )ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．12 D ．1 答案：B过程解析：方法一设g (x )＝ln 2x －12x ＋1，易知g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－12 ∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ ，且g (－x )＝ln －2x －1－2x ＋1 ＝ln 2x ＋12x －1 ＝－ln 2x －12x ＋1＝－g (x )，所以g (x )为奇函数．若f (x )＝(x＋a )ln2x －12x ＋1为偶函数，则y ＝x ＋a 也应为奇函数，所以a ＝0，故选B. 方法二因为f (x )＝(x ＋a )ln2x －12x ＋1为偶函数，f (－1)＝(a －1)ln 3，f (1)＝(a ＋1)ln 13 ＝－(a ＋1)ln 3，所以(a －1)ln 3＝－(a ＋1)ln 3，解得a ＝0，故选B.14．已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则k ＝122 f(k)＝( ) A ．－21 B ．－22 C ．－23 D ．－24答案：D过程解析：若y ＝g(x)的图象关于直线x ＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x －4)＝7，得g(2－x)＝f(－x －2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x －2)＝－2，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x －2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x ＋2)＝－2，所以f(x ＋2)＋f(x ＋4)＝－2，所以f(x ＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以k ＝122 f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D .15．[2024ꞏ惠州一中测试]已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <b D ．c <b <a 答案：B过程解析：由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7).因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c ，故选B.16．(多选)[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )＝f ′(x ).若f ⎝⎛⎭⎫32－2x ，g (2＋x )均为偶函数，则( ) A ．f (0)＝0 B ．g ⎝⎛⎭⎫－12 ＝0 C ．f (－1)＝f (4) D ．g (－1)＝g (2) 答案：BC过程解析：因为f (32 －2x )，g (2＋x )均为偶函数，所以f (32 －2x )＝f (32 ＋2x )，g (2＋x )＝g (2－x ).令t ＝32 －2x ，则x ＝34 －t2 ，所以f (t )＝f (3－t )，即f (x )＝f (3－x ).对两边求导，得f ′(x )＝－f ′(3－x )，即g (x )＋g (3－x )＝0，所以g (x )的图象关于点(32 ，0)对称，即g (32 )＝0.又因为g (2＋x )＝g (2－x )，所以g (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以g (x )的周期为4×(2－32 )＝2，所以g (32 )＝g (－12 )＝0，所以B 正确．因为f ′(2＋x )＝f ′(2－x )，所以f (2＋x )＝－f (2－x )＋C ，其中C 为常数，所以f (2＋x )＋f (2－x )＝C ，所以f (x )的图象关于点(2，C2 )对称．又因为f (x )＝f (3－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝32 对称，所以f (x )的周期为4×(2－32 )＝2，所以f (－1)＝f (1)，f (4)＝f (2).又因为f (x )＝f (3－x )，所以f (1)＝f (2)，所以f (－1)＝f (4)，所以C 正确．g (x )的图象不关于直线x ＝12 对称，所以D 错误．因为f (0)＝f (2)＝C 2 ，所以当C ＝0时，f (0)＝0，当C ≠0时，f (0)≠0，所以A 错误．故选BC.。

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