概率统计第三四章复习题
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（）. （A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ）()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
概率论与数理统计：第二章、第三章和第四章(1)
概率论与数理统计 第二章和第三章-、选择题1. 设随机变量，独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为( A ).(A) (B) (C) (D) 2. 设与为两个分布函数，其相应的概率密度函数与是连续函数，则必为概率密度的是 ( D ).(A) (B)(C) (D)3. 设随机变量，记，则( B ).(A) 随着的增加而增加 (B) 随着的增加而增加 (C) 随着的增加而减少 (D) 随着的增加而减少4. 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且，则必有( A ).(A)(B) (C) (D)二、填空题1. 设二维随机变量服从正态分布，则. 答案：2. 设随机变量服从参数为的指数分布，为常数且大于零，则.答案：3. 设随机变量服从参数为的泊松分布，则.X Y X F(x)Z=max{X,Y}2F (x)F(x)F(y)21-[1-F(x)][1-F(x)][1-F(y)]1F ()x 2F ()x 1()f x 2()f x 12()()f x f x 122()()f x F x 212()()f x F x 1212()()()()f x F x F x f x +2X~N(,) (0)μσσ>2p=P(X +)μσ≤p μp σp μp σX 211N(,)μσY 222N(,)μσ12P(|X-|<1)>P(|Y-|<1)μμ12<σσ12σσ>12<μμ12μμ>(X,Y)N(1,0;1,1;0)P{XY-Y<0}=12X 1a P{Y a+1|Y>a}=≤11e --X 12P{X=E(X )}=答案：4. 设随机变量与相互独立，且他们均服从区间上的均匀分布，则.答案：三、综合题（每题10分）1. 设袋中有个红球，个黑球与个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以，，分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (I) 求； (II) 求二维随机变量的概率分布（即联合分布律）.解： (I).................... （5 分） (II) 与的可能取值均为, .................... （7 分）， ， ， 故的概率分布为.................... （10 分）112e -X Y [0, 3]P(max{X,Y}1)=≤19123X Y Z P{X=1|Z=0}(X,Y)12212P{X=1,Z=0}466P{X=1|Z=0}=P{Z=0}912C ⨯==⎛⎫⎪⎝⎭X Y 0,1,2331P{X=0, Y=0}=664⨯=12231P{X=0, Y=1}=C 663⨯=221P{X=0, Y=2}=69⎛⎫= ⎪⎝⎭12131P{X=1, Y=0}=C 666⨯=12121P{X=1, Y=1}=C 669⨯=211P{X=2, Y=0}=636⎛⎫= ⎪⎝⎭(X,Y)2. 设二维随机变量的概率密度如下，试求.解：.................... （4 分）.................... （8 分）.................... （10 分）第四章-、选择题1. 设随机变量，，且相关系数，则( D ).(A) (B) (C) (D)2. 设随机变量与相互独立，且与存在，记，，则为( B ).(A ) (B) (C) (D)3. 设随机变量与不相关，且，，，则为( D ).(A ) (B) (C) (D)4. 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则为( C ).(X,Y)P{X>2Y}{2,01,010,(,)x y x y f x y --<<<<=其它x>2yP{X>2Y}=f(x,y)dxdy ⎰⎰120=dx (2)xx y dy --⎰⎰12057=()824x x dx -=⎰X~N(0,1)Y~N(1,4)XY 1ρ=P(Y=-2X-1)=1P(Y=2X-1)=1P(Y=-2X+1)=1P(Y=2X+1)=1X Y EX EY U=max{X,Y}V=max{X,Y}E(UV)EU EV ⋅EX EY ⋅EU EY ⋅EX EV ⋅X Y E(X)=2E(Y)=1D(X)=3E[X(X+Y-2)]-33-55X x-1F(x)=0.3(x)+0.7()2ΦΦ(x)ΦE(X)(A ) (B) (C) (D)5. 设连续型随机变量与相互独立且方差均存在，与的概率密度函数分别为与，随机变量的概率密度为，随机变量，则( D ).(A ) (B) (C) (D)二、填空题1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是，均方差是，利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在之间的概率. 答案：2. 设二维随机变量服从正态分布，则. 答案：三、综合题（每题10分）1. 设A 和B 是试验E 的两个事件，且，，并定义随机变量，如下：，，试证明若随机变量与不相关，则与必定相互独立。
概率论与数理统计复习题答案
第一章 随机事件及其概率复习题一. 单选1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. B9. C 10. A. 二. 填空1. 0.9,2. 11(1)n p --, 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2, 8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75. 三.计算与证明 1. 解: 6106610!()10104!P P A ==, 6668()0.810P B ==.2. 解:（1）4134411111(12)C P +=-=0.0372;（2）4124412!110.4271;12128!P P =-=-=（3）4132234444444666610.1004;0.1004.77C C C C P P +++=-===或3．解: ,0()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂∴≤≤=∴=则A ，B ，C 至少发生一个的概率为()()()()()()()()111115000.625.44416168P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=++---+==A ，B ，C 全不发生的概率为3()()1()0.375.8P A B C P A B C P A B C =⋃⋃=-⋃⋃==4．解:设A 表示任意取出一个产品是次品,123,,B B B 分别表示取出一、二、三车间生产的产品，则（1）由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.450.050.350.040.20.020.0405;P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 111()(|)0.450.05(|)0.556.()0.0405P B P A B P B A P A ⨯===5．解:设12,A A 分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,12,B B 分别表示取出第一、第二箱中的零件，则 （1）由全概率公式得1111212()()(|)()(|)0.50.20.50.60.4;P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=21121122122111()()(|)()(|)(2)(|)()()11091817()2504930290.4856.0.4P A A P B P A A B P B P A A B P A A P A P A +==⨯⨯+⨯==6．证明:{()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+- =()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C +- =(()()())()()()P A P B P AB P C P A B P C =+-=⋃ 故 A B ⋃与C 独立.第二章随机变量及其分布复习题一 选择题1. B2. B3. C4. D5. C 二 填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592.27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律：X -1 1 2P 616221三 解答题1. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表示两次调整之间生产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k k P X k C k -=== 设A 表示“5道选择题至少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解：1）一天中必须有油船转走意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞-=>==∑(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y 艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥⇒-≥⇒≤+≥⇒≥∑∑反查泊松分布表得6. 解：21)()()31()31(3131=+=+⇒>=<⎰⎰∞dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=⇒b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥<⇒<=Φ≥-Φ≈⇒≥⇒≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解：(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪-<<+∞⎪⎩011(2)(1)(0)2211(1)(0),22xxP Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==⎰⎰故Y 的概率分布律为 Y -1 1P 1/2 1/2Y 的分布函数为 0,11(),1121,1Y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ 第三章 多维随机变量及其分布复习题1. 解：()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====，i =1，2，3; 0j =，1，2.则X 和Y 的联合概率分布为YX0 1 212311218 124 16 14 11211218124()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11a b +++=，即0.5a b += ()*()00.4P X a ==+， ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得： ()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4a a +=+可得：0.2a =，再有()*式得：0.3b =.3. 解：由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1， 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-=()()()()1,0P X Y P A B P A P AB ====- ()()11,112P X Y P AB ====即YX0 1123 112161124. 解：由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他，()12,X X 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1，则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤111y e dy e --==-⎰()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy ee---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22yP X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰，即：2X1X0 1111e -- 012ee--- 2e-5. 解：()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰，所以()()()6,,,0,,x y G f x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X的边缘密度函数为()()22666,01,0,x x X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()()66,01,0,yy Y dx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y fx y f x f y ≠.6. 解：()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y fx y dxdy -∞-∞⎛⎫<<=⎪⎝⎭⎰⎰111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰第四章 随机变量的数字特征复习题一 选择题B D B D C二 填空题1．18.4 2．1 3．0.9 4．6三 计算题 1.解:⎰+∞∞-dx x f )(=⎰20axdx +42()2621bx c dx a b c +=++=⎰242433222856()()()()6233233a b c E X xf x dx xaxdx x bx c dx xx x a b c +∞-∞==++=++=++=⎰⎰⎰P( 1<x<3)=⎰21axdx +⎰+32)(dx c bx =23a+25b+c=43∴11,,144a b c ==-=2解: E(Z)=21E(X)+31E(Y)=67, Cov(X,Y)= X YρDX DY =1,D(Z)=41D(X)+91D(Y)+31cov(X,Y)=3637Cov(X,Z)= cov(X,2X+3Y )= 21D(X)+31cov(X,Y)=65第七章 参数估计复习题1.解 似然函数为 12222221111()(,)2(2)nii i x x n ni ni i L f x e eσσσσπσπσ=--==∑===∏∏，取对数 221122ln ()ln(2)ln 2ln 22nniii i xxL n n n σπσπσσσ===--=---∑∑令2122ln ()022nii xd n L d σσσσ==-+=∑，解得2σ的极大似然估计值为221ˆxσ=.2.解 记12m in(,,...,)n n X X X X *=，此时θ的似然函数等价于1,()0,ni i x n n n e x L x θθθθ=-+**⎧∑⎪≤=⎨⎪>⎩所以只有当n x θ*≤时，才有可能使()L θ取到最大值.又()L θ对n x θ*≤的θ是增函数，故当n x θ*=取到其最大值.即()m ax ()n L x L θθ*>=所以θ的极大似然估计值为 12ˆmin(,,...,)n n x x x x θ*==.3.解 由于[,1]X U θθ+ ，故总体的期望为212E X θ+=，从而得到方程ˆ21,2X θ+= 解得 1ˆ2X θ=-.所以θ的矩估计量为 1ˆ2X θ=-.又111ˆ()()()222E E X E X E X θθ=-=-=-= ，故1ˆ2X θ=-是θ的无偏估计量.4.证明2221122111ˆ[()]()1(2)nniii i ni i i E E XE X nnEX EX nσμμμμ====-=-=-+∑∑∑2222211(2)ni nμσμμσ==+-+=∑故2ˆσ是2σ的无偏估计量。
概率第四章考研真题及解答
第4章 统计估值1． （1994年、数学三、选择）设),,,(21n X X X 是来自总体),(2N 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11 i i X X n S ，22122)(1 i i X X n S ，22123)(11 i i X n S ，22124)(1 i i X n S 则服从自由度1 n 的t 分布的随机变量是 T （ ）。
A .11n S X B .12n S X C .nS X 3D .nS X 4[答案：选B ]当2212)(11 i i X X n S 时，服从自由度1 n 的t 分布的随机变量应为T nSX A 、由222121)(11S X X n S i i ，111n SX n S X T 而不是nSX TB 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i nSX n SX n S X T nn1112。
2． （1997年、数学三、填空）设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U服从参数为（ ）的（ ）分布。
[答案：参数为（9）的（t ）分布]由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 因而)39,0(~291N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912 i i Y ，且 9191i i X X 与 9123i i Y 相互独立，因而292191912919123919191Y Y X X Y XXi ii ii Y i ii服从参数为9的t 分布。
3． （1998年、数学三、填空）设),,,(4321X X X X 是取自正态总体)2,0(~2N X 的简单随机样本且 Y 243221)43()2(X X b X X a ，则 a （ ）， b （ ）时，统计量Y 服从2分布，其自由度为（ ）。
概率论与数理统计第三、四章答案
概率论与数理统计第三、四章答案第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。
概率论与数理统计复习题
概率论与数理统计复习题（一）判断题第一章 随机事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间（1） 一枚硬币掷三次，观察硬币字面朝上的次数，样本空间为S={}0,123，，. √ （2）袋中有编号为1、2、3的3个球，从中随机取2个，样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}S = . ╳2. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）A B +=（取到1、1、2、3、3、5号球）；╳ （2）\A B E ≠（取到2号球）； ╳ （3）CD = （取到1、2、3、4、5号球）； ╳ （4）\C D = （取到3号球）； √ （5）A D +=（取到1、2、3、4、5号球）； √ （6）AD =（取到1、2、3、4、5号球）. ╳ 3. 甲、乙二人打靶，每人射击一次，设A ，B 分别为甲、乙命中目标，用A 、B 事件的关系式表示下列事件，则（1）（甲没命中目标）AB = ； ╳ （2）（甲没命中目标）A = ； √ （3）（甲、乙均命中目标）A B =+； ╳ （4）（甲、乙均命中目标）AB = . √ 4.一批产品中有3件次品，从这批产品中任取5件检查，设i A =（5件中恰有i 件次品），i=0,1,2,3 叙述下列事件，则（1）0A =（5件中恰有0件次品）=（5件中没有次品）；√（2）0A =（5件中恰有1件次品）； ╳（3）0A =（5件中至少有1件次品）； √ （4）3A =（5件中最多有2件次品）； ╳ （5）23A A + =（5件中至少有3件次品）； ╳ （6）23A A + =（5件中至少有2件次品）. √ 5.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立（1）B A A B A +≠+；╳（2）A B AB AB AB +=++ ；√（3）AB A B A -=-；√（4）A B AB -≠；╳ （5）ABC A B C =；╳ （6）ABC A B C =++ . √6. 袋中有编号为1、2、3、4、5的5个球，从中随机取一个.设A =（取到1、2、3号球），B =（取到奇数号球），C =（取到3、4、5号球），D =（取到4、5号球），E =（取到2号球），则（1）3()5P A =； √ （2）4()()()5P B E P B P E +=+= ； √ （3）4()()()5P A E P A P E +=+= ；╳ （4）3()()5P A E P A +== ； √（5） ()()()P A B P A P B +=+； ╳ （6）4()5P A B += . √7.（1）设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ， )(B P = ，则 5.0)(=+B A P . √ （2） 设事件A 、B 互斥，2.0)(=A P ，5.0)(=+B A P 则)(B P = . ╳（3） 设()0.5P A =，()0.4P B =，()0.7P A B +=， 则()0.2P AB = . √ 8. 设事件,()0.5,A B P A ⊃=()0.2P B = ，则（1）(\)()()0.3P A B P A P B =-= ；√ （2）()()()0.7P A B P A P B +=+= ； ╳ （3）()()0.5P A B P A +== ；√ （4）()0.5P AB = ； ╳ （5）()0.2P AB =； √（6）(\)()()0.3P B A P B P A =-= . √9. 箱中有2件次品与3件正品，一次取出两个，则 （1）恰取出2件次品的概率为251C ；√ （2）恰取出2件次品的概率为251A ； ╳ （3）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C C ； √ （4）恰取出1件次品1件正品的概率为112325C C A . ╳10.上中下三本一套的书随机放在书架上，则 （1）恰好按上中下顺序放好的概率为3311321A =⨯⨯；√ （2）恰好按上中下顺序放好的概率为13； ╳ （3）上下两本放在一起的概率为3322A ⨯ ； √（4）上下两本放在一起的概率为332A . ╳ 11. 若111(),(),()234P A P B P AB === 则 （1） 1()2P B A = √ （2） 2()3P B A = ╳（3） 3()4P A B = √ （4） ()()P A B P A = ╳12. 已知10只电子元件中有2只是次品，在其中取2次，每次任取一只，作不放回抽样，则（1）(P 第一次取到正品8)10= √ （2）(P 第一次取到次品12110)C C = ╳（3）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C A = ； √ （4）(P 第一次取到正品，第二次取到次品1182210)C C C = ； ╳ （5）(P 第一次取到正品，第二次取到次品82)109=⨯ ； √ （6）(P 一次取到正品，一次取到次品82)109=⨯. ╳13.设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现在从甲袋中随机取一球，放入乙袋，再从乙袋中随机取一球，则（1）两次都取到红球的概率为⨯681011；√ （2）两次都取到红球的概率为⨯671010； ╳ （3）已知从甲袋取到红球，从乙袋中取到红球的概率为710 ； ╳（4）已知从甲袋取到白球，从乙袋中取到红球的概率为⨯371011. ╳14.某人打靶，命中率为，则下列事件的概率为（1）第一枪没打中的概率为；√ （2）第二枪没打中的概率为； √ （3）第二枪没打中的概率为 ；╳（4）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.4+= . ╳ （5）第一枪与第二枪全打中的概率为0.20.20.04⨯= √ （6）第三枪第一次打中的概率为20.80.2⨯. √15 .几点概率思想（1）概率是刻画随机事件发生可能性大小的指标；√ （2）随机现象是没有规律的现象； ╳（3）随机现象的确定性指的是频率稳定性，也称统计规律性；√（4）频率稳定性指的是随着试验次数的增多，事件发生的频率接近一个常数；√ （5）实际推断原理为：一次试验小概率事件一般不会发生；√ （6）实际推断原理为：一次试验小概率事件一定不会发生. ╳第二章 随机变量及其分布16.随机变量X 的分布律为1231133p ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则（1）13p = ；√ （2）23p = ╳17.在6只同类产品中有2只次品，4只正品.从中每次取一只，共取5次，每次取出产品立即放回，再取下一只，设X 为5次中取出的次品数，则（1）第3次取到次品的概率为0. ╳ （2）第3次取到次品的概率为13. √ （3）5次中恰取到2只次品的概率{}2522512233P X C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（4）5次中恰取到2只次品的概率{}25212233P X -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳（5）最少取到1只次品的概率{}0505121133P X C ⎛⎫⎛⎫≥=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√（6）最少取到1只次品的概率{}141512133P X C ⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭╳ 18.某交通路口一个月内发生交通事故的次数X 服从参数为3的泊松分布(3)P ，则（1）该交通路口一个月内发生3次交通事故的概率{}31P X ==. ╳（2）该交通路口一个月内发生2次交通事故的概率{}23322!e P X -==. √（3）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率{}13311!e P X -==. ╳（4）该交通路口一个月内最多发生1次交通事故的概率为{}{}031333010!1!e e P X P X --=+==+. √19. 袋中有2个红球3个白球，从中随机取一个球，当取到红球令1X =，取到白球令0X =，则 （1）称X 为服从01-分布. √ （2）X 为连续型随机变量. ╳（3）X 的分布律为103255⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ╳ （4）X 的分布律为102355⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. √ 20. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧=1310）（x F 1100≥<≤<x x x ，则 （1）X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛323110. √ （2）X 的分布律为012133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ ╳ （3）{0.5}0P X ≤= ╳ （4）1{0.5}3P X ≤=√ （5）{0.5}0P X ==√ （6）1{0.5}3P X == ╳（7）2{0.5 1.5}3P X <≤= √ （8）{0.5 1.5}1P X <≤= ╳21.设随机变量X 的概率密度01()0Ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 ， 则（1）常数A =2 . √ （2）常数A =1 . ╳ （3）由积分21Ax dx =⎰可以计算常数A. ╳ （4）由积分1Ax dx +∞-∞=⎰可以计算常数A. ╳(5) 由积分11Axdx =⎰可以计算常数A. √22.设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧=02)(x x f 其它10≤≤x ， 则 （1）1{01}2P X xdx <<=⎰√ （2） 10.5{0.51}2P X xdx <<=⎰ √（3）2{02}2P X xdx <<=⎰╳ （4） 0.5{0.5}2P X xdx +∞>=⎰ ╳23.设随机变量X 的分布函数200()0111x F x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则X 的概率密度 （1）201()0xx f x <<⎧=⎨⎩其它 √ （2）201()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它╳（3）()2f x x x R =∈ ╳ （4）00()20111x f x xx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩╳ 24.公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过，乘客随机到车站等车，则 （1）乘客候车时间不超过5分钟的概率为12；√ （2）乘客候车时间超过5分钟的概率为12√ （3）乘客候车时间不超过3分钟的概率为310；√（4）乘客候车时间超过3分钟的概率为310. ╳25. 随机变量~(0,1)X N 则 (1){}102P X ≥=√ （2） {}102P X ≤= √ （3） {}{}00P X P X ≥=≤ √ （4）{}{}00P X P X ≥≠≤ ╳ 26. 随机变量)2,3(~2N X 则(1){}52≤<X P =)2/1()1(Φ+Φ ╳ (2) {}104≤<-X P =2)5.3(Φ–1 √ 27. 设01~0.40.6X ⎛⎫⎪⎝⎭，则（1）2Y X =的分布律为020.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭ √ （2）21Y X =+的分布律为130.40.6⎛⎫ ⎪⎝⎭√ 28.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=02)(xx f 其它10<<x ,则X e Y =的概率密度为（1）⎩⎨⎧<<=其它01ln )(e y y y f Y ╳ （2）2ln 1()0Y yy e yf y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它√第三章多维随机变量及其分布29.设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F x y (,)，则（1）{}2,1≤≤Y X P = F （1,2） √ （2）{}1123131213P X Y F F F -<≤<≤=---,(,)(,)(,) ╳ 30. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为（1）Y 的边缘分布律为012020404...⎛⎫⎪⎝⎭╳ （2）X ，Y 不独立 ╳（3）（X ，Y ）的分布函数在116(,.)点的值1610(.,)F = ╳（4）20016{,}.P X Y === √ （5）概率1012{}.P X Y +== ╳（6）Z X Y =-的分布律为101201203204016....-⎛⎫⎪⎝⎭√（7）072().E XY = √ （8）相关系数0XY ρ≠ ╳ 31. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则 （1）{}Y X M ,max =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛167163166210 √（2）{}Y X N ,min =的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--167163166012√第四章 随机变量的数字特征32.设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41212116121610311 则（1）)(X E =31 √（2）)(2X E = 4/55/]21)2/1(0)1[(22222=++++- ╳ （3）X 的方差D （X ）=7297 √33.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x则（1） )(X E =1 √ （2）)(X E =⎰⎰-+211)2(dx x dx x ╳（3）)()(22X E X E -=61 √ （4）X 的方差61)(≠X D ╳34.一批产品中有一、二、三等品，等外品及废品五种，分别占产品总数的70%，10%，10%，6%，4%。
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1） 常数A ；（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1） 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12（2） 由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}.【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=⎰⎰⎰⎰如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他.(2)5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,x y x yF x yf x yx y-+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x-≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰x24.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<-.,0,,其他e yxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y xxy x+∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y yxx y y--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)d d(,)d dDf x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c==⎰⎰得214c=.(2) ()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰212422121(1),11,d840,0,.xx x xx y y⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰5227d,01,420,0,.yyx y x y y-⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他xxy求条件概率密度f Y｜X（y｜x），f X｜Y（x｜y）.题11图【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰1d2,01,0,.xxy x x-⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yY yx y yf y f x y x x y y-+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y XXy xf x yf y x xf x⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYy xyf x yf x y y xf y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表 345 {}i P X x =1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8P {Y=y i }YX XYX Y0.4 0.15 0.30 0.350.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他;21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ∆=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-=⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<g g g44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数， 所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为0 1 2 3 4 50 1 2 30 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑X Y{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 1{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max(X ,Y ) 0 12345P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2345678P0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 63 94 9 25 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y Rf x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y XP Y Y XP Y X>>>>=>(,)d(,)dyy xy xf x yf x yσσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d dπ1d dπRRr rRr rRθθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24==(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y>=>=-≤131{0,0}1(,)d1.44xyP X Y f x yσ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X 的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为22e e0111d ln 2.S x xx===⎰（X,Y）的联合密度函数为211,1e,0,(,)20,.x yf x y x⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X，Y）关于X的边缘密度函数为1/211d,1e,()220,.xXy xf x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X 和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y 1 y 2 y 3 P {X =x i }=p i x 1 x 21/8 1/8P {Y =y j }=p j 1/6 1【解】因21{}{,}jjiji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}ijiiP X x P Y y P X x Y y =====g ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===YX又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故1y 2y 3y {}i iP X x P ==1x 124 18 112 14 2x18 38 14 34{}j jP Y y p ==161213123.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.YX【解】(1){|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=L .(2){,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ge C (1),,0,1,2,.!mmn mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=g L24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为-1 01-1 0 1a 00.20.1 b0.20 0.1c其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值；XY（2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由{0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z -2 -1 01 2P 0.2 0.1 0.30.3 0.1(3)====++=++=. {}{0}0.10.20.10.10.20.4 P X Z P Y b。
概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答
解：由 得到
8、一射手对同一目标独立的进行4次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射手的命中率。 解：设命中率为p，则有 9、设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女 生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中 先后抽取两份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。 解：－取第i个地区；（i＝1，2）；B－第i份取到女生的报名表（i＝ 1，2，3）
则利润 要使得达到最大值，即当时
第四章 自测题
6、某流水生产线上每个产品不合格的概率p，各产品合格与否相互独 立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生 产了的产品个数为X，求X的数学期望和方差。 解：
7、设随机变量X的概率密度函数为 （1）求，； （2）求与的协方差，并问与是否相关？ （3）问与是否独立？为什么？ 解：1）
9、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4，现若干门炮同时射 击，欲以99％的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？ 解：由解得
10、一居民区间有6部户用电话，平均每小时每用户用6分钟，而且各用 户是否用电话是相互独立的。求（1）刚好有2户用电话的概率；（2） 至少有2户用电话的概率；（3）最多有2户用电话的概率。 解：A－用户使用电话
1） 2） 3）
第一章 自测题
1、 设在一次实验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立重复试 验，则A至少发生一次的概率是多少？事件A至多发生一次的概率 是多少？
解： 2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑 球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一箱，再从 这个箱子中取出一球，求这个球为白球的概率。若已知取出的一球为白 球，此球属于第二个箱子的概率是多少？
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( ).(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ） ()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件 （C ）A B φ⋂=(空集)（D ）)()(B P A P ≥12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）.（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
第三章试题答案概率论与数理统计
第三章历年考题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为， 则P {X +Y =0}=（ ） A.0.2答案：CYX -1 0 1 0 1度为⎩⎨⎧<<-<<-=,,;y ,x ,c )y ,x (f 其他01111 则常数c=（ ）A.41B.21答案：A律为设p ij =P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误．．的是（ ） A ．p 00<p 01 B ．p 10<p 11 C ．p 00<p 11D ．p 10<p 01答案：DY X 0 1 0 1，律为 YX0 1 20 01 2 0则P{X=Y}=（ ） A ． B ． C ． D ．答案：A5.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=.;0y ,0x ,0,e Ae y 2x 其它>>⎪⎩⎪⎨⎧--则A=（ ）A.21B.1C.23答案：D6.设二维随机变量（X 、Y ）的联合分布为（ ）则P{XY=0}=（ ） A. 41B.125C.43答案：C7．已知X ，Y 的联合概率分布如题6表所示 X -10 2YX0 5 0 4161 231 41Y 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0题6表F （x,y ）为其联合分布函数，则F （0，31）=（ ）A ．0B ．121C ．61D ．41答案：D8．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它00,0)(y x e y x则P （X ≥Y ）=（ ） A ．41 B ．21C ．32D ．43 答案：B9．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，43，则{}=-=1XY P （ ）A ．161B ．163C ．41D ．83答案：D10．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0B ．)(x F XC ．)(y F YD ．1答案：B11.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y). 其联合概率分布为（）Y0 1 2X-10 0 02 0则F（0,1）=A.0.2 答案：B12.设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤+.,0;1y 0,2x 0),y x (k 其它则k=（ ）A.41B.31C.21D.32答案：B13．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X1 231 2101103102101102101则P{XY=2}=（ ）A ．51B ．103C ．21D ．53答案：C14．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0;10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y （ y ）= （ ）A ．x 21B ．2xC ．y 21D ．2y答案：D15．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（ ）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα答案：B 因为91,92==βα31)91(91}1{}2{}1,2{3131********αβα+=======----=+Y P X P Y X P 解方程组即得15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-;,0,0,0,2),()2(其它y x e y x f y x 则P{X<Y}=（ ）A ．41B ．31C ．32 D ．43答案：B15. ．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=⎩⎨⎧>>+-其它0y ,0x e )y x (则P （X ≥Y ）=（ ）A ．41B ．21C ．32 D ．43 答案：B二、填空题（本大题共15小题，每空2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
数学与应用数学概率统计复习题(2011级)有答案.
第一章 复习题一 选择题1.设1(|)(|)4P A B P B A ==，2()3P A =，则（ ） (A) A 与B 独立，且5()12P A B = (B) A 与B 独立，且()()P A P B =(C) A 与B 不独立，且7()12P A B = (D) A 与B 不独立，且(|)(|)P A B P A B =2.设,,A B C 是三个相互独立的随机事件，且0()()1P AC P C <<<，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）(A) A B 与C (B) AC 与C (C) A B -与C (D) AB 与C3.设0()1P A <<，0()1P B <<，(|)(|)1P A B P A B +=，那么下列肯定正确的选项是（ ） (A) A 与B 相互独立 (B) A 与B 相互对立 (C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不对立4.对于事件A 和B ，满足(|)1P B A =的充分条件是（ ） (A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C) A B ⊃ (D) A B ⊂5.设,,A B C 为随机事件，()0P ABC =，且01p <<，则一定有（ ） (A)()()()()P ABC P A P B P C = (B)(()|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+(C)()()()()P AB C P A P B P C =++ (D)(()|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+6.设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（ ）(A)A 与BC 独立 (B)AB 与A C 独立 (C)AB 与AC 独立 (D)A B 与A C 独立 7.对于任意二事件A 和B ,与A B B =不等价的是（ ） (A)A B ⊂ (B)B A ⊂ (C)AB =∅ (D)AB =∅8.设当事件A 与B 同时发生时事件C 也发生，则下列肯定正确的选项是（ ）(A)()()P C P AB = (B)()()P C P A B = (C)()()()1P C P A P B ≤+- (D)()()()1P C P A P B ≥+- 9.设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） (A)A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C)()()()P AB P A P B = (D)()()P A B P A -= 10.若二事A 和B 同时出现的概率()0P AB =，则下列肯定正确的选项是（ ）(A) A 和B 不相容 (B)AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D)()0P A =或()0P B = 11.设A 和B 为二随机事件，且B A ⊂，则下列肯定正确的选项是（ ）(A)()()P A B P A = (B)()()P AB P A = (C)(|)()P B A P B = (D)()()()P B A P B P A -=- 12.对于任意两个事件A 和B ，其对立的充要条件为（ ） (A) A 和B 至少必有一个发生 (B) A 和B 不同时发生 (C) A 和B 至少必有一个发生，且A 和B 至少必有一个不发生 (D) A 和B 至少必有一个不发生13.设事件A 和B 满足条件AB AB =，则下列肯定正确的选项是（ ） (A)A B =Φ(B) A B =Ω (C) A B A = (D) A B B =14.设A 和B 是任意事件且A B ⊂，()0P B >，则下列选项必然成立的是（ ）(A) ()(|)P A P A B < (B) ()(|)P A P A B ≤ (C) ()(|)P A P A B > (D) ()(|)P A P A B ≥ 15.对于任意二事件A 和B ，（ ）(A)若AB ≠Φ，则A 和B 一定独立 (B) 若AB ≠Φ，则A 和B 有可能独立 (C)若AB =Φ，则A 和B 一定独立 (D) 若AB =Φ，则A 和B 一定不独立 16.设随机事件A 与B 互不相容，则下列结论中肯定正确的是(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=17.设A 和B 是两个随机事件，且0()1P A <<，()0P B >，(|)(|)P B A P B A =，则必有（ ） (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠ 18.设A 与B 互为对立事件，且()0,()0P A P B >>, 则下列各式中错误的是（ ） (A) ()1()P A P B =- (B)()()()P AB P A P B = (C) ()1P AB = (D) ()1P A B = 19.设()0,0()1P A P B ><<，且A 和B 二事件互斥，下列关系式正确的是（ ）(A)()(|)P B P B A = (B)P AB P A P B （）＝（）（） (C)()(|)1()P A P A B P B =- (D)()1()P B P A =-20.设A 和B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（ ）(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B > (C) ()()P A B P A = (D) ()()P A B P B =二 填空题1.口袋中有7个白球和3个黑球，从中任取两个，则取到的两个球颜色相同的概率等于______________。
概率论与数理统计第三四章习题
. 第三、四章练习题 一、 填空题1. 设随机变量函数X 和Y 具有联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他020,4081),(y x y x f ，则P{Y X <}= ；2. 已知离散型随机变量X 与Y 相互独立，且{0}{0}0.3P X P Y ====，{1}{1}0.7P X P Y ====，则{1}P X Y +== ，{}P X Y == ；3. 设随机变量~(,)X b n p ，且5.0)(=X E ， 45.0)(=X D ，则=n ，=p ；4. 若~(2)X π，则(22)D X += ；5. 已知随机变量~(2,4)X N ，~(1,3)Y N ，X 与Y 相互独立，则32X Y -服从的分布为 ；6. 已知()1E X =-，()3D X =，则2(31)E X -= ；7. 设~(10,0.6)X N ，~(1,2)Y N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XYE ，=-)3(Y XD ； 8. 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，且21Y X =+，则()E Y=, ()D Y=；9. 设随机变量X 与Y 的方差分别为()25D X =，()16D Y =，相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y += ；10. 若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数XY ρ= .二、 判断题1. 设X 为随机变量，C 为常数，则()()D X C D X C +=+；2. 设X 为随机变量，C 为常数，则()()E X C E X C +=+；3. 若随机变量,X Y 相互独立，则,X Y 一定不相关；4. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则Y X +一定服从正态分布；5. 若X 与Y 相互独立，则cov()0X Y =，；6. 已知随机变量~(0,1)X U ，2Y X =，则随机变量X 与Y 不相关；7. 已知随机变量~(1,1)X U -，2Y X =，则随机变量X 与Y 不相关；8. 随机变量X 和Y 的联合分布决定X 和Y 的边缘分布.三、 计算题1. 设(,)X Y 的概率密度为, 01,0(,)0, cxy x y xf x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他，求（1）c 的值;(2)两个边缘概率密度；（3）说明,X Y 是否相互独立；（4）条件概率密度()X Y f x y .2. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求：（1）系数A ；（2）,X Y 的边缘概率密度函数；（3）问,X Y 是否独立；（4）Z X Y =+的概率密度.3. 某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射到 用完5发子弹，求所用子弹数X 的分布律、数学期望和方差.4. 设二维随机变量(,)X Y 的分布律为（见右表），已知()1E Y =，试求：（1）常数,αλ；（2）()E X .5. 设连续型随机变量X 的分布函数为381, 2,()0, 2x F x x x ⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩.，求X 的期望与方差.6. 按节气出售的某种节令商品，每售出1kg 可获利10元，过了节气可将剩余的这种商品全部处理，每处理1kg 净亏损2元.设某商店在节令内这种商品的销售量X （单位：kg ）服从(20,40)内的均匀分布.为使商店获得利润Y 的数学期望最大，问该商店的进货量t 应为多少？。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
人大概率统计期末复习题-第三章
第3章 随机向量练习题1、设一个袋子中装有3个红色、2个白色、3个蓝色球，从袋中任取两个球，记X 为取到的红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）关于X 、Y 的边缘分布律。
（1）2,1,0,,),(282323====--j i C C C C j Y i X P ji j i（2）2、将一枚均匀的硬币连续掷三次，以随机变量X 表示三次中出现正面的次数，随机变量Y 表示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求随机向量（X ，Y ）的联合分布以及关于X 、Y 的边缘分布。
并判断X 与Y 的独立性。
不独立3、设随机变量X 与Y 相互独立、同分布，P ( X = i ) = 1 / 3，i = 1，2，3。
又设 ξ = max ( X , Y )，η = min ( X , Y )，写出（ξ，η）的联合分布列，并判断 ξ与 η 的独立性。
不独立4、将一枚均匀的骰子掷两次，记X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出3点或6点的次数。
求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）X 与Y 是否相互独立；（3）Z = X - Y 的分布列和分布函数。
（1）（2）相互独立；（3） ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=221100112219/89/536/736/10)(z z z z z z z F Z5、设二维离散型随机变量的联合分布为 求（1）X 、Y 的边缘分布；、（2）cov ( X , Y ) ； （3）P ( Y = 1 | X < 2 ) 。
（1）（2）1 / 2 ；（3）4 / 56、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件和 10件，先从箱中随机抽取一件产品，记 ⎩⎨⎧=其它等品若取到i ,0,1i X （i = 1，2，3），试求：（1）随机变量X 1 与X 2 的联合分布与边缘分布；（2）随机变量X 1 与X 2 的相关系数 21X X ρ；（3）D ( X 1 - X 2 )、D ( X 1 + X 2 ) 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三、四章练习题
一、 选择题
1. 设()~1,1X N ，概率密度为()f x ，则（ ）正确.
A) ()()000.5P X P X ≤=≥= B) ()()110.5P X P X ≤=≥= C) ()()(),,f x f x x =-∈-∞+∞ D)
()()()1,,F x F x x =--∈-∞+∞
2. 已知随机变量X ，Y ，则（ ）是正确的
A. ()()()Y E X E Y X E +=+
B. ()()()Y D X D Y X D +=+
C. ()()()Y E X E XY E =
D. ()()()Y D X D XY D = 3. 设,X Y 是两个随机变量，则有( )正确.
().,A R X Y X Y 是和的相关矩 ().,B R X Y X Y **是和的相关矩
().,C R X Y 的绝对值可以大于一
().,1D X Y Y
b X a
R X Y =+=
和存在线性关系的充要条件 4. 如果X 与Y 不相关,则( ).
()()().A D X Y D X D Y +=+
()()().B D X Y D X D Y -=-
()()().C D XY D X D Y =
.D X Y 与相互立
5. 设(),X Y 都是服从二维正态分布的随机变量,则X Y 与不相关是X Y 与相互独立的 ( ).
.A 充分条件
.B 必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要
6. 如,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-,则必有( )正确. .a X Y 与独立 .b X Y 与不相关
().0c D Y = ()().0d D X D Y ⋅=
7. 已知随机变量X 满足()5
26
P X EX -<=
, 则（ ）
().23A D X ≥
().103B D X ≤ ().23C D X ≤
().103D D X ≥
8. 随机变量()~0,1X N , 21Y X =-, 则Y 服从 ( )
().0,1A N
().1,4B N -
().1,3C N -
().1,1D N -
9．设()2~,X N μσ，其中0σ>，则随着σ的增大，概率()P X μ
σ-<（
）.
A) 单调增大 B)单调减小 C)保持不变 D)增减不定
10.两个随机变量X 与Y 相互独立，且()~0,1X N ，()~1,1Y N ，则（ ）正确.
()1
.02
A P X Y +≤=
()1.12
B P X Y +≤=
()1.02
C P X Y -≤=
()1.12
D P X Y -≤=
11. 设()~3,X B p ，且()()12P X P X ===，则p 为（ ）.
A) 0.5 B) 0.6 C) 0.7 D) 0.8
12. 如果随机变量X 与Y 不相关,则下列选项中错误的是( ).
()()().A E XY E X E Y =⋅ ()()().B D X Y D X D
Y
-=+ ()()().C D XY D X D Y =
()()().D D X Y D X D Y +=+
13. 若存在常数(),0a b a ≠,使得Y aX b =+,则(),R X Y 为( ). ().1.1..,1a A B C D R X Y a
-<
二、 填空题
1. 设()~1,4X N -，且()10.8413Φ=，()20.9772Φ=，()30.9987Φ=，则
()5P X >-=_________，()3P X <=____________，()4P X ==________.
2．设随机变量()2~2,X N σ,且()24P X <<=0.3,则()0P X <= .
3．已知随机变量X ~1(100,)2
B ，则随机变量23Y X =+的数学期望()E Y =
4．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则()2E X =
5．设随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布,则1E X ⎛⎫
⎪⎝⎭
= 。
6. 设()4D X =，()9D Y =，(),R X Y =0.5，则()23D X Y -=
7. 设随机变量X ，Y 相互独立，且()3D X =，()6D Y =，则()2D X Y -= 8．设随机变量()~0,1X N ,则()0Φ= . 9. 随机变量
~(10000,0.01)
X B ，则用切比雪夫不等式估计
(
0.010.01)10000
X
P -< 。
三、计算题
1. 已知随机变量()~,X B n p ，且()
2.4E X =，() 1.44D X =，求二项分布中的参数n 及p 的值. 2．设随机变量
X
的概率密度为
201()0ax bx c x f x ⎧++<<=⎨
⎩
其他，已知
()0.5E X =，()0.15D X =，求c b a ,,
的值。
3．设随机变量X 的密度函数为
(),02,240,ax x f x cx b x ⎧<<⎪⎪
=+≤≤⎨⎪⎪⎩
其它，己知()2=X E ,
()13P X <<=
3
4
,
求,,a b c 的值。
4.设随机变量X 的数学期望为()E X ，方差为()D X 。
证明对任意常数C ，都有()2()E X C D X -≥。
5. 设随机变量X 的概率密度为
01()2120x x f x x x <≤⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
其他，求()E X ，()D X .
6. 某餐厅每天接待300名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从[20，
80]上的均匀分布，顾客的消费额相互独立。
试求；1）该餐厅的
日平均营业额；2）每天平均有几位顾客的消费额超过40元？ 7.设随机变量
X
，Y 相互独立，且概率密度函数分别为：
()201
0 x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其他，()(5)50
y e y f y --⎧>=⎨⎩其他
，求()E XY .
8. 设二维随机变量()Y X ,
的联合概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它
y x y x y x f 0,
20,2081
,
()()()()()()Y D X D Y E X E ,2,1求 ()()Y X ,cov 3 ()()Y X R ,4
9．设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为：
求：1）()()Y E X E , 2）()()Y D X D , 3）()Y X ,cov 4）()Y X
R ,，()Y X D +，X 与Y 是否相互独立。
10. 设离散随机变量X 的分布律为
求()X E ，()532+X E ，()X D 。
11. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正
态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生成绩在60分至84分之间的概率.()977.02=Φ
12. 100名战士举行一次射击练习，每人每次射击的命中率均为0.8；
每人至多射4次，但若中靶，则不再射击，且各次射击互不影响；试问应为战士们准备多少发子弹为宜?
13. 设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角
形区域上服从均匀分布，求随机变量Y
=的方差。
X
Z+。