“且”与“或”

[思路点拨]
解答本题注意正确理解逻辑联结词，
并注意语法的准确． 返回
[精解详析]
(1)p∧q： 2是无理数且大于 1，
p∨q： 2是无理数或大于 1. (2)p∧q：N⊆Z 且{0}⊆N， p∨q：N⊆Z 或{0}⊆N. (3)p∧q：35 是 15 的倍数且是 7 的倍数， p∨q：35 是 15 的倍数或是 7 的倍数．
解：(1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形
顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线 垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”真．所以该命题是
真命题．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2 ＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假q真，
则“p或q”真，所以该命题是真命题.
(4)∵p为真命题，q为假命题， ∴p∧q为假命题，p∨q为真命题． 返回
[一点通]
判断含有“且”“或”的命题的真假的方法：
(1)对“p∨q”命题：一真必真．也就是p，q中只要有一 个是真命题，则“p∨q”一定是真命题； (2)对“p∧q”命题：一假必假．也就是p，q中只要有一 个是假命题，则“p∧q”一定是假命题．
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解：(1)p∧q：李明是老师且赵山是老师；
p∨q：李明是老师或赵山是老师．
(2)p∧q：1是合数且是质数；p∨q：1是合数或是质数． (3)p∧q：他是运动员兼教练员； p∨q：他是运动员或是教练员． (4)p∧q：这些文学作品艺术上有缺点且语法上也有错误； p∨q：这些文学作品艺术上有缺点或语法上有错误．
q：函数y＝cos x是奇函数．
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[思路点拨]
判断p、 利用真值表判断 → q的真假 “p∧q”“p∨q”的真假
[精解详析]
(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题． (2)∵p为假命题，q为假命题， ∴p∧q为假命题，p∨q为假命题． (3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．
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[一点通]
用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，
关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义
词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的 通顺也可进行适当的省略和变形．
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1．将下列命题写成“p∧q”“p∨q”的形式
(1)p：李明是老师，q：赵山是老师．
(2)p：1是合数，q：1是质数． (3)p：他是运动员，q：他是教练员． (4)p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作 品语法上有错误．
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1．两种基本逻辑联结词
(1)“且”
逻辑联结词“且”与日常语言中的 “并且”、“及”、“和” 相当． (2)“或” 逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“ 或者 ”是相
当的．
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2．由“且”与“或”构成的新命题的写法及读法
(1)用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来，就得到一
p∧q ，读作“ p且q ”． 个新命题，记作 (2)用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一 个新命题，记作 p∨q ，读作“ p或q ”.
真
假
假
假
假
假
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1．对“或”的理解，可联想集合中并集的概念．A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，是指“x∈A”“x∈B”其中至少一 个是成立的，即x∈A，且x∉B，也可以x∉A，且x∈B，也可 以x∈A，且x∈B.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“ 或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含
②其次根据命题p∧q、p∨q的真假判定命题p、q的
真假； ③根据p、q的真假建立不等式(组)，求出参数的取值 范围． 返回
1 5．已知 p： <0，q：x2－4x－5<0，若 p 且 q 为假命题， x－3 则 x 的取值范围是________．
解析：p：x<3；q：－1<x<5.∵p且q为假命题，
p且q：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同且绝对值不同．
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[例2]
分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形
式的命题的真假． (1)p：6<6，q：6＝6. (2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分． (3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点， q：不等式x2＋x＋2<0无解． (4)p：函数y＝cos x是周期函数．
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解析：由已知条件知命题p与命题q中应该有一个为真，一
个为假．
选项A中命题p、q均假，排除； 选项B中，命题p、 q均为真，排除； 选项C中命题q为真，p为假； 选项D中，命题p和命题q都为真，排除． 答案：C
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4．判断下列命题的真假： (1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)x＝1是方程x2＋3x＋2＝0的根或x＝－1是方程x2＋3x ＋2＝0的根．
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用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且
仅 当“p真q真”时，“p且q”为真．
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[例 1]
分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”，“p
∨q”形式的命题 (1)p： 2是无理数，q： 2大于 1； (2)p：N⊆Z，q：{0}⊆N； (3)p：35 是 15 的倍数，q：35 是 7 的倍数．
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2．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的新命题． (1)p：π是有理数，q：π是无理数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同，q：方程x2＋x
－1＝是有理数且 是无理数； (2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两根符号不同或绝对值不同．
m>2， 即 m≤1，或m≥3， m≤2， 或 1<m<3.
解得 m≥3，或 1<m≤2. 所以 m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
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1．判断命题“p∧q”“p∨q”的真假的依据是真值
表．
2．已知命题的真假求参数的取值范围．可以先求 出构成命题的p和q为真时参数的范围，然后根据条件判 断出p和q的真假，建立不等式(组)求参数的范围．
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如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对 应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、
p∨q的真与假．
问题1：什么情况下，p∧q为真？ 提示：当p真，q真时． 问题2：什么情况下，p∨q为假？ 提示：当p假，q假时． 返回
“p∧q”、“p∨q”的真假判断 p 真 真 假 q 真 假 真 p∨q 真 真 p∧q 真 假
设g(x)＝x2＋2ax＋4.由于关于x的不等式
x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开 口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0， ∴－2<a<2， ∴p：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数， 则有5－2a>1，即a<2.∴q：a<2.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
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[例3]
已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切
x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q
为真，p且q为假，求实数a的取值范围． [思路点拨] 解答本题可先求p，q为真时a的范围，再
利用p∨q为真，p∧q为假，构造关于a的不等式组，求出a 的范围．
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[精解详析]
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－2<a<2， (1) 若 p 真 q 假，则 此不等式组无解． a≥2， a≤－2，或a≥2， (2)若 p 假 q 真，则 a<2，
∴a≤－2. 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－2]．
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[一点通]
(1)根据p、q的真假可判断命题p∧q、p∨q的真假；
反之根据命题p∧q、p∨q的真假也可以判断命题p、q的 真假． (2)解答这类问题的一般步骤： ①先求出命题p、q为真时参数的条件；
第 一 章 常 用 逻 辑 用 语
理解教 材新知 1.2 1.2.1 “且” 与“或”
知识点一 知识点二
考点一 把握热 点考向
考点二 考点三
应用创新演练
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1.2.1 “且”与 “或”
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如图所示，有两种电路图．
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问题1：甲图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合且q闭合． 问题2：乙图中，什么情况下灯亮？ 提示：开关p闭合或q闭合．
义，生活用语中的“或”表示“不兼有”．由“或”联结两个命题
p和q构成的新命题“p或q”，当“p真q假”“p假q真”“p真q真”时， 都真． 返回
2．对“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念， ∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，它是指x∈A”“x∈B” 同时满足的意思，即x既属于集合A，同时又属于集合B.
∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1. 答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)
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6．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程
4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假， 求m的取值范围．
Δ＝m2－4>0， 解：p： m>0
解得 m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0. 解得 1<m<3，∵p 或 q 为真，p 且 q 为假， ∴p 为真，q 为假，或 p 为假，q 为真．
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3．下列各组命题中，满足“p∨q”为真，“p∧q”为假 的是 A．p：0＝∅；q：0∈∅ B．p：在△ABC 中，若 cos 2A＝cos 2B，则 A＝B；q：y ＝sin x 在第一象限不是增函数 C．p：a＋b≥2 ab(a，b∈R)；q：不等式|x|＞x 的解集 为(－∞，0) D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 的面积被直线 x＝1 平分； q：3≥3 ( )