2014年高考理科数学百天冲刺模拟题3含答案

2014年高考理科数学百天冲刺模拟题3 （含答案）本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分l50分．考试时间l20分钟 注意事项：1、答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合U =R ，2{560}A x x x =-+≥，那么U A =ð(A) {2x x <或3}x > (B) {23}x x << (C) {2x x ≤或3}x ≥ (D) {23}x x ≤≤2．6的展开式中常数项是 (A) -160(B) -20(C) 20(D) 1603．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b(A) 2(C)(D)4．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，14a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = (A) 3或-1 (B) 3或1(C) 3 (D) 1 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题： ① 若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ② 若α//β，m α⊂，则m //β；xy OAC y x=2y x =(1,1)B③ 若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥； ④ 若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②(C)③④ (D) ②③6．已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩ 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是 (A) (,1)(2,)-∞-⋃+∞ (B) (,2)(1,)-∞-⋃+∞ (C) (1,2)-(D) (2,1)-7．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为(A) 12(B) 13(C) 14(D) 168．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点x ∈[0，1]称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的n 阶周期点的个数是(A) 2n(B) 2(2n -1)(C) 2n(D) 2n 29. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 ( )A ．21 B ．1 C ．2 D ．不确定10. 函数()(a x y a 13lo g -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于 A.16 B.12 C.9 D. 8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，AαxyO点A 的纵坐标为45，则cos α= ． 12．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方 程为 ，渐近线方程为 ．13．已知圆M ：x 2+y 2-2x -4y +1=0，则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为 ．14．如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ． ．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．17.（本小题共12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =12AD =1，CD． （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：P A // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．PABCDQMB18.（本小题共12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题共13分）已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项.(1)求数列的通项公式；20.（本小题共13分） 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值； （Ⅱ）若函数()'()axg x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．{}n a 6a 1a 21a {}n a21.（本小题共13分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM =成立，求实数m 的取值范围．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1--10BACCD,DBCCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．35-12．221432x y -=，y =± 13．2 14．254 15．n 2-n +5注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12．∵ 0<A <π ， ∴3A π=． ……………………5分（Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 22x x =++1sin()62x π=++， ∵3A π=∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+<∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23．又∵3A π=， ∴3C π=∴△ABC 为等边三角形． ……………………13分17.（本小题共12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥PABCD QM底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =12AD =1，CD（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：P A // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （Ⅲ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ． 证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC =12AD ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // P A ∵ MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ， ∴ P A // 平面MBQ ．（Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．又∵平面P AD ⊥平面ABCD 且平面P AD ∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面P AD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD ．另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD //BQ ．∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°． ∵ P A =PD ， ∴PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD ． （Ⅲ）∵P A =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD∩平面ABCD=AD ，∴PQ ⊥平面ABCD．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q ，P ，B ，(C -．设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z = ，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC = ，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴1t x t y z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+ ，∴ 平面MBQ法向量为)m t =．∵二面角M-BQ-C 为30°，c o s 30n m n m ︒⋅===，∴ 3t =． ……………………12分 18.（本小题共12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率； （Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ．则P (A )=111114444256⨯⨯⨯=，P (B ) 3311115(1)4444256A =⨯⨯⨯⨯-=， 三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P (C )222444111111111111()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=． …………6分（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则1,2,3ξ=．1(1)4P ξ==，313(2)4416P ξ==⨯=， 3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==．故取球次数ξ的分布列为139271234 2.754166464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．(约为2.7) ………………12分19.（本小题共13分）解：（1）设等差数列的公差为()，则解得…………………4分∴． ………………6分 （Ⅱ）由， ∴，． ∴． …………………9分∴………………11分 … 13分{}n a d 0d ≠()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩12,5,d a =⎧⎨=⎩23n a n =+1n n n b b a +-=11n n n b b a ---=()*2,n n ≥∈N()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 1211n n a a a b --=++++ ()()()11432n n n n =--++=+()2n b n n =+()*n ∈N ()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭ ()()21311352212412n n n n n n +⎛⎫=--= ⎪++++⎝⎭20.（本小题共13分）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）设函数f (x )的图象与x 轴交点为A ，曲线y =f (x )在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间． 解：（Ⅰ）∵3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，∴2'()1f x x ax =++． ∵()f x 在(1,0)处切线方程为33y x =-， ∴'(1)3(1)0f f =⎧⎨=⎩，∴1=a ，611-=b ． ……………………5分（Ⅱ）'()()ax f x g x e =21ax x ax e ++=()x R ∈． '()g x =22(2)(1)()ax axax x a e a x ax e e +-++2[(2)]ax x ax a e -=-+-． ……………………7分①当0a =时，'()2g x x =，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．②当0a >时，令'()0g x =，得0x =或2x a a =-（ⅰ）当20a a ->，即0a <<()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，22(,)a a -+∞； （ⅱ）当20a a -=，即a ='()g x =2220xx e -=-≤，故()g x 在(,)-∞+∞单调递减；（ⅲ）当20a a -<，即a >时，()g x 在22(,0)a a -上单调递增，在(0,)+∞，22(,)a a --∞上单调递 ……………13分综上所述，当0a =时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；当0a <<()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -，单调递减区间为(,0)-∞，当a =()g x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当a >()g x 的单调递增区间为22(,0)a a -，单调递减区间为(0,)+∞，22(,)a a --∞．21.（本小题共13分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足||||PA PB +=，记动点P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM=成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B为焦点，长轴长为∴1c =，a =22b =． ∴W 的方程是22132x y +=． ……………………4分（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．当0k =时，显然0m =； 当0k ≠时，由221132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(32)630k x kx ++-=． 所以122632k x x k +=-+， ∴12023232x x k x k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332MNy k k k x m mk +==---+． 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥，∴222132332k k k mk +=---+ 即212323k m k k k =-=-++[(0,]1212∈- ． 故所求m的取范围是[1212-． ……………………13分。