高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题[1]
黄冈中学高考数学典型例题3---运用向量法解题
黄冈中学高考数学典型例题详解运用向量法解题每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证：C1C⊥BD.(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a,=b,=c,依题意，|a|=|b|，、、中两两所成夹角为θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，∴=1时，A1C⊥平面C1BD.［例2］如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos<>的值；(3)求证：A1B⊥C1M.命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy内的A、B、C点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1) 解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴||=.(2) 解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴==(0，1，2)=1×0+(－1)×1+2×2=3||=(3) 证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()∴∴A1B⊥C1M.●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？●歼灭难点训练一、选择题1. (★★★★) 设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2. (★★★★) 已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30°B.－150° C.150° D.30°或150°二、填空题3. (★★★★★) 将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底边AB，它们所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC中，设=a，=b，=c,=λa,(0<λ<1),=μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a.(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为与的夹角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；(2)用向量法证明：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有.参考答案难点磁场解：(1)点M的坐标为xM=D点分的比为2.∴xD=(3)∠ABC是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.歼灭难点训练一、1.解析：=(1，2），=(1，2），∴=，∴∥，又线段AB与线段DC无公共点，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又||=，=(5，3），||=，∴||≠|},∴ ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故选D.答案：D2.解析：∵·3·5sinα得sinα=,则α=30°或α=150°.又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m=m(－)=m(μb－a),∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb①又与共线，∴=n=n(－)=n(λa－b),∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ②由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.∵a与b不共线，∴③解方程组③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.6.解：(1)以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a).(2)取A1B1的中点M，于是有M(0，a），连AM，MC1，有=(－a,0,0）,且=(所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.7.解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，=－=(－1－x,－y）,=(1－x,－y),=－=(2,0),∴·=2(1+x),·=x2+y2－1,=2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.(2)点P的坐标为(x0,y0)8.证明：(1）连结BG，则由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，(其中=）(2）因为.所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH所以BD∥平面EFGH.(3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一点M且被M平分，所以.。
高考数学中如何运用向量的性质解决几何问题
高考数学中如何运用向量的性质解决几何问题在高考数学中，几何问题一直是重点和难点，而向量作为一种重要的数学工具，为解决几何问题提供了全新且有效的途径。
向量具有独特的性质和运算规则，灵活运用这些性质能够帮助我们更轻松、更准确地解决各种几何难题。
向量的基本性质包括大小和方向。
这两个要素使得向量能够精确地描述空间中的位置和移动。
在几何问题中，我们常常利用向量的模长来计算线段的长度，通过向量的方向来确定角度和直线的平行、垂直关系。
比如，在求两点之间的距离时，如果我们知道这两点对应的向量，那么就可以通过计算向量的模长来得到两点之间的距离。
假设点 A 的坐标为(x1, y1)，点 B 的坐标为(x2, y2)，那么向量 AB ＝（x2 x1, y2 y1)，其模长｜AB| ＝√（x2 x1)²＋（y2 y1)²，这样就巧妙地将几何中的距离问题转化为向量的运算。
向量的加法和减法运算在解决几何问题中也有着广泛的应用。
当我们需要证明三角形的中位线定理时，就可以利用向量的加法。
假设三角形 ABC，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，那么向量 DE ＝ 1/2 向量BC 。
通过向量的加法，我们可以将三角形中的线段关系用向量表示出来，从而简化证明过程。
向量的数量积是另一个重要的性质。
对于两个非零向量 a 和 b，其数量积 a·b ＝｜a| ｜b| cosθ，其中θ 为 a 和 b 的夹角。
利用数量积，我们可以方便地计算向量的夹角、判断向量的垂直关系以及求解三角形的面积等。
例如，如果已知向量 a ＝（x1, y1)，向量 b ＝（x2, y2)，那么它们的数量积 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 。
如果 a·b ＝ 0 ，则说明向量 a 和向量 b垂直。
在几何问题中，判断两条直线是否垂直时，常常可以通过这种方式将直线转化为向量，然后计算数量积来判断。
再比如，求三角形的面积时，如果知道三角形的两条边对应的向量a 和b ，那么三角形的面积 S ＝ 1/2 ｜a×b| （这里的×表示向量的叉乘），而通过数量积可以将其转化为 S ＝ 1/2 ｜a| ｜b| sinθ ，其中θ 为a 和b 的夹角。
如何利用向量解决高考数学中的几何问题
如何利用向量解决高考数学中的几何问题几何问题在高考数学中占据了相当大的比重，许多同学在几何方面的理解和解题能力都尤为薄弱。
针对这一问题，目前解决的方法有很多，其中较为有效的一种方法是借助向量知识来解决几何问题。
一、向量的基本概念向量可以简单地理解为“有方向的线段”，用字母块表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。
向量有两个基本属性，即大小和方向。
向量的大小表示为模，用$|\vec{a}|$表示，表示一个向量的长度，方向表示向量的朝向。
二、向量的加减向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的过程。
加法满足向量的交换律、结合律和分配律。
具体来说，设$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$是三个向量，则：（i）$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$（向量加法的交换律）（ii）$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$（向量加法的结合律）（iii）$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$（向量加法的分配律）同样，向量的减法是指将两个向量相减得到一个新向量的过程。
三、向量的数量积和向量积向量的数量积是指将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值，用$\vec{a}\cdot\vec{b}$或$\langle\vec{a},\vec{b}\rangle$表示，其中$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha$表示$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角余弦值，$\alpha$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。
向量的数量积有如下性质：（i）${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={\vec{b}}\cdot{\vec{a}}$（交换律）（ii）${\vec{a}}\cdot({\vec{b}}+{\vec{c}})={\vec{a}}\cdot{\vec{b}}+{\v ec{a}}\cdot{\vec{c}}$（分配律）（iii）${k}\cdot({\vec{a}}\cdot{\vec{b}})=({k}\cdot{\vec{a}})\cdot{\vec{b }}={\vec{a}}\cdot({k}\cdot{\vec{b}})$（数乘结合律）向量积又叫叉乘，用$\vec{a}\times\vec{b}$或$[\vec{a},\vec{b}]$表示，表示一个新的向量，其模长等于$\vec{a}$和$\vec{b}$所组成的平行四边形的面积，方向垂直于$\vec{a}$、$\vec{b}$构成的平面，其方向顺序由右手定则决定。
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题运用向量法解题是高考数学中的一个难点，需要掌握向量的性质和运算规则，并能够灵活运用向量的概念和方法解决问题。
下面将结合具体例题，深入探讨如何突破这一难点。
例题一：已知点A(2,1)，B(4,5)，C(6,3)，求点D使得ABCD为平行四边形。
解析：首先，我们可以使用向量的方法来解决这一问题。
设向量AB 为a，向量AD为b，则向量AC为a+b。
根据平行四边形的性质，向量BD 与向量AC平行且等长，即向量BD与向量AC共线且大小相等。
由向量的定义可知，向量BD=向量AC=(6-2,3-1)=(4,2)。
所以点D的坐标为B的坐标加上向量BD的坐标，即D(4,5)+(4,2)=(8,7)。
通常情况下，解这类问题时可以设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，向量AB为a=(x2-x1,y2-y1)，向量AC为a+b。
然后，我们可以用(x1,y1)+b=(x4,y4)代表点D的坐标。
再将向量BD与AC进行运算，找到满足平行四边形的点D坐标。
例题二：已知直线l的方程为x-2y+3=0，点A(1,2)，求点P使得AP 垂直于直线l。
解析：根据题意，点P在直线l上，假设点P的坐标为(x,y)。
则向量AP=(-1,2)+(x-1,y-2)=(x-2,y)。
由垂直向量的性质可知，向量AP与直线l的法向量垂直。
直线l的法向量为(1,-2)。
因此，AP与(1,-2)的点乘为0，即(x-2,y)•(1,-2)=0。
将点乘展开计算，得到x-2y=2、由此可得到点P的坐标为(x,y)=(2,-1)。
综上所述，使用向量法解题可以使解题过程更加简洁明了。
但是在运用向量法解题时，需要掌握向量的性质，并能够运用垂直、平行、共线和点乘等相关概念来解决不同类型的问题。
同时，我们还需要注意合理地选取坐标系和使用向量的运算规则。
合理地选取坐标系可以简化计算，使问题更具可行性。
难点运用向量法解题
难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分容的考查力度，本节容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设CD =a , CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，于是DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC AA C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . ［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M . ●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.(★★★★)已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分BC 的比为2.∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8），BC =(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA BC BA ABC 歼灭难点训练一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ), ∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b ②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）, 且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aa a a =-a a a AC 49240221=++=⋅∴a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -==(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM x x x y x y x PM y x PM Θ||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则+=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=EH ）(2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知BD EH 21=，同理21=，所以=，EHFG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21+++=+++=+=+=.。
高考数学如何利用向量解决几何问题
高考数学如何利用向量解决几何问题高考数学是中国高中生的重要一课，其中几何问题一直是考试的重点之一。
在解决几何问题时，向量是一种常用的工具和方法。
本文将介绍如何利用向量来解决高考数学中的几何问题，并提供几个实例来加深理解。
一、向量简介向量是指有大小和方向的量，常用箭头表示，如A B⃗。
向量可以表示位移、速度、力等概念。
向量的加法、减法和数乘运算与数的运算类似。
在几何中，常用向量表示线段。
例如，A B⃗表示从点A到点B的位移向量。
二、向量的基本性质1. 平行向量：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 相等向量：若两个向量的大小相等且方向相同，则它们是相等向量。
3. 垂直向量：若两个向量的数量乘积为0，则它们是垂直向量。
三、向量解决几何问题的应用1. 判断线段垂直、平行关系利用向量的垂直性质可以判断两个线段是否垂直。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若A B⃗·C D⃗ = 0，则可以得出线段A B⃗和C D⃗垂直。
利用向量的平行性质可以判断两个线段是否平行。
设A B⃗和C D⃗是两个线段的位移向量，若存在λ，使得A B⃗ = λC D⃗，则可以得出线段A B⃗和C D⃗平行。
2. 求线段的中点坐标设A B⃗是线段AB的位移向量，点M是线段AB的中点，则A M⃗= M B⃗ = 1/2A B⃗。
利用向量的数乘运算可以求得线段中点的坐标。
3. 判断三角形的形状利用向量可以判断三角形的形状，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
对于等腰三角形，可以利用向量A B⃗和A C⃗的相等性质来判断，若A B⃗ = A C⃗或者A B⃗ = -A C⃗，则可以得出三角形ABC是等腰三角形。
对于等边三角形，可以利用向量A B⃗、B C⃗和C A⃗相等性质来判断，若A B⃗= B C⃗= C A⃗，则可以得出三角形ABC是等边三角形。
对于直角三角形，可以利用向量的内积来判断，若A B⃗·B C⃗ = 0或者B C⃗·C A⃗ = 0或者C A⃗·A B⃗ = 0，其中·表示两个向量的数量乘积，则可以得出三角形ABC是直角三角形。
高考数学如何利用向量解决平面几何题目
高考数学如何利用向量解决平面几何题目在高考数学中，平面几何题目是一类重要且需要灵活运用数学知识的题型。
在解决这类问题时，向量是一种非常有用的工具。
通过运用向量的性质和运算，我们可以简化计算，提高解题效率。
本文将探讨如何利用向量解决高考数学中的平面几何题目。
一、向量的基本概念和性质在进一步探讨如何利用向量解决平面几何题之前，我们需要对向量的基本概念和性质有所了解。
向量可以用来表示大小和方向都有意义的物理量。
常用的表示向量的方法是使用箭头或者使用字母加上上方的箭头符号，如a→。
向量的几何意义是有起点和终点的有向线段，起点和终点分别称为向量的始点和终点。
两个向量相等，意味着它们有相同的大小和方向。
两个向量的和是将它们的起点放在一起，然后将它们的终点连成一条线段。
向量的运算有加法、减法和数量乘法。
向量加法满足交换律和结合律。
向量减法可以通过加上负向量来实现。
数量乘法是将向量的大小与标量相乘，同时改变向量的方向。
二、向量解决平面几何题目的应用1. 向量的共线性在平面几何问题中，有时需要判断三个点是否共线。
可以使用向量来解决这个问题。
考虑三个点A、B、C，如果向量AB和向量BC平行或者反向，则可以判断这三个点共线。
2. 向量表示线段通过向量的性质，我们可以使用向量表示线段。
考虑线段AB，可以用向量→AB来表示。
线段的长度可以通过求向量的模来计算。
3. 向量的垂直性在平面几何问题中，有时需要判断两条直线的垂直性。
可以使用向量的内积来判断。
如果两条向量的内积等于0，则可以判断这两条直线垂直。
4. 向量的平行性判断两条直线的平行性也可以使用向量。
如果两条直线的方向向量平行或者反向，则可以判断这两条直线平行。
5. 向量的投影在解决平面几何问题中，有时需要求一个向量在另一个向量上的投影。
可以通过计算这两个向量的内积，再除以投影向量的模得到。
6. 向量运算简化计算通过利用向量的运算规则，有时可以简化计算过程。
特别是在证明平行四边形性质或计算面积时，向量运算可以大大简化计算过程。
高考数学中的解析几何及向量的应用技巧
高考数学中的解析几何及向量的应用技巧高考数学作为整个高考考试中的一部分，在很多考生眼中显然都是一个“千难万难”，“唯有加油”的题型。
然而，在解析几何这一章节里，很多高考数学题目的难度其实并不那么高，只要掌握一些应用技巧就能够迎刃而解。
本文将会从向量的定义、向量的加减法及其运算规律、向量坐标以及向量的应用角度出发，为大家介绍一些高考数学中关于解析几何及向量的小技巧，旨在帮助广大考生能够更轻松的应对高考数学中的各类题目。
向量的定义在解析几何的章节中，向量的定义是很重要的一个概念。
简单来说，向量就是有大小有方向的，并用箭头来表示的一个量。
具体来说，对于两个点A和B，我们可以定义向量$\overrightarrow{AB}$来表示从点A到点B的某种位移或平移状态。
而至于向量的大小和方向，通常来说用一组数字或分数来表示（例如：$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1\\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}$，表示向量AB的大小是从点A到点B的x坐标之差和y坐标之差）。
向量的加减法及其运算规律在解析几何的章节中，所谓的向量加减法可以这样理解：对于两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，我们可以通过将它们的起点相连，使之形成一个三角形来得到一个新的向量$\overrightarrow{AC}$。
具体而言，我们可以通过以下公式来计算它的大小和方向：$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$。
而对于向量的减法，也可以用类似的思路来解决：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}$。
除此之外，向量还有一些重要的运算规律，例如：向量的加减法满足运算交换律、结合律以及分配律。
专题六 函数与导数 难点突破03 极值点偏移问题-2023年高考数学二轮复习(全国通用)
例3 (2022年全国甲卷)已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；（2）证明：若 有两个零点 ， ，则 .
[解析] （1） 的定义域为 ， ，令 ，解得 ，令 ,解得 ,故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
要使得 恒成立，仅需 ，故 ，即 的取值范围是 .（2）因为函数 有两个零点，所以 ，即 .不妨设 ， ， ，要证明 ，即证明 ，即证明 .又 在 上单调递增，∴即证明 .
得 ，即 ．要证 ，需证 ，即证 ．设 ，则要证 ．令 ，则 ．
在 上单调递增，则 ，即 ．故 ．
3.(2022·山东月考)已知函数 有两个零点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；（2）证明： ．
[解析] （1） 的定义域为 ， ，①当 时， ，所以 在 上单调递增，故 至多有一个零点，不符合题意.②当 时，令 ，得 ；令 ，得 .故 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
2.(2022·天津模拟)已知函数 （ ， 为实数）的图象在点 处的切线方程为 ．
（1）求实数 ， 的值及函数 的单调区间；
（2）设函数 ，证明当 时， ．
[解析] （1） 的导数为 ，∵曲线在点 处的切线方程为 ，∴ 解得 ， ．
令 ，得 ．当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减． 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .（2）由（1）得 ，故 .由 ，
2.构造函数，即根据极值点构造辅助函数 ，若证 ，则令 .
3.判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
4.比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的大小关系．
5.转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与 之间的关系，进而得到所证或所求．
高考数学中的向量运算技巧
高考数学中的向量运算技巧高考中的数学考试中，向量运算是一个重要的内容，且常常涉及到一些技巧和方法。
掌握了这些技巧和方法，不仅可以帮助我们更好地解答向量运算题目，还能提高我们的解题效率。
本文将介绍一些高考数学中的向量运算技巧，帮助同学们更好地备考和应对考试。
一、向量的加减法向量的加法和减法是数学中最基本的运算之一。
在高考中，常常会遇到需要进行向量的加减法运算的题目。
在进行向量的加减运算时，需要注意以下几点：1. 向量的加法满足交换律和结合律，即无论向量的顺序如何，其和向量的和不变。
2. 向量的减法可以看作是加法的反运算，即 a - b = a + (-b)。
3. 在进行向量的加减运算时，要特别注意向量的方向和长度。
需要保持相同方向和长度的向量进行运算。
二、向量的数量积数量积是向量运算中的重要概念之一，常用于计算两个向量之间的夹角、判断向量的垂直性等。
在高考中，需要掌握以下几个与数量积相关的技巧：1. 数量积的计算公式：对于向量 a 和向量 b，其数量积的计算公式为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别为向量 a 和 b 的长度，θ 为 a 和 b 之间的夹角。
2. 使用数量积判断两向量的夹角：根据数量积的性质，若两向量的数量积为零，则它们夹角为 90°，即垂直；若两向量的数量积为正数，则它们夹角为锐角；若两向量的数量积为负数，则它们夹角为钝角。
3. 使用数量积计算向量在某个方向上的投影：若向量 a 在向量 b 上的投影为 p，则p = |a| cosθ。
三、向量的叉乘运算向量的叉乘是向量运算中的另一个重要概念，常用于计算两向量所在平面的法向量和计算向量的面积等。
在高考中，需要了解以下几个与叉乘相关的技巧：1. 叉乘的计算公式：对于向量 a 和向量 b，其叉乘的计算公式为 a ×b = |a| |b| sinθ n，其中 |a| 和 |b| 分别为向量 a 和 b 的长度，θ 为 a 和 b 之间的夹角，n 为 a 和 b 所在平面的法向量。
高中数学解向量题的常用技巧和注意事项
高中数学解向量题的常用技巧和注意事项在高中数学中，向量是一个重要的概念，涉及到向量的运算、性质以及应用等方面。
解向量题需要掌握一些常用的技巧和注意事项，本文将通过具体的题目举例，分析解题的关键点，并给出一些解题技巧和注意事项。
一、向量的基本概念和性质在解向量题之前，首先需要了解向量的基本概念和性质。
向量由大小和方向两个要素组成，用有向线段表示，记作AB→。
向量的加法、减法、数乘等运算都遵循一定的规律。
同时，向量还有重要的性质，如共线、共面、平行、垂直等。
掌握这些基本概念和性质，对于解向量题具有重要的指导意义。
二、解决向量的运算问题1. 向量的加法与减法向量的加法与减法是解向量题中最常见的运算问题。
在解决这类问题时，可以利用向量的平行四边形法则或三角形法则进行计算。
具体来说，对于两个向量A→和B→，其和向量C→可以通过将A→和B→的起点相连得到，C→的起点为A→的起点，终点为B→的终点，即C→=A→+B→。
同样，向量的减法也可以通过向量的加法来进行计算。
举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量C→=A→-B→的模长。
解析：根据向量的减法定义，C→=A→-B→=2i+3j-(4i-2j)=2i+3j-4i+2j=-2i+5j。
所以，向量C→的模长为√((-2)^2+5^2)=√29。
2. 向量的数量积与向量积向量的数量积和向量积是解向量题中常见的运算问题。
数量积（又称点积）是两个向量的乘积的数量，可以用来求解向量的夹角、判断两个向量的关系等。
向量积（又称叉积）是两个向量的乘积的向量，可以用来求解平行四边形的面积、判断两个向量的关系等。
举例：已知向量A→=2i+3j，向量B→=4i-2j，求向量A→与向量B→的夹角。
解析：根据向量的数量积公式，A→·B→=2×4+3×(-2)=8-6=2。
又因为A→的模长为√(2^2+3^2)=√13，B→的模长为√(4^2+(-2)^2)=√20，所以|A→·B→|=|A→||B→|cosθ，代入已知数据，可得cosθ=2/(√13×√20)。
高考数学如何解决复杂的平面向量问题
高考数学如何解决复杂的平面向量问题平面向量作为高考数学的重要内容之一，经常出现在试卷中。
但是对于一些复杂的平面向量问题，很多同学可能会感到头疼。
本文将介绍一些解决复杂平面向量问题的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地应对高考数学考试。
一、基本概念回顾在解决复杂的平面向量问题之前，我们首先需要回顾一些基本概念。
平面向量具有大小和方向两个方面的特点，通常用有向线段来表示。
记作$\vec{a}$，表示向量$\overrightarrow{AB}$，其中A为起点，B为终点。
平面向量有加法和数乘两种运算，向量的加法满足三角形法则，即$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$，其中$\vec{c}$为以$\vec{a}$和$\vec{b}$为边的三角形第三边的向量。
二、平面向量的表示方法解决复杂的平面向量问题，首先要熟练掌握平面向量的表示方法。
常见的平面向量的表示方法有坐标表示法和基本单位向量表示法。
1. 坐标表示法坐标表示法是指用向量在坐标系中的投影表示向量。
例如，向量$\vec{a}$的坐标表示法为$(a_1, a_2)$，其中$a_1$为向量在x轴上的投影，$a_2$为向量在y轴上的投影。
2. 基本单位向量表示法基本单位向量表示法是指将向量表示为标准基向量的线性组合。
平面直角坐标系中，常用的基本单位向量有$\vec{i}$和$\vec{j}$，分别表示x轴和y轴的正方向。
通过学习和掌握这两种表示方法，我们可以更加灵活地处理平面向量问题。
三、解决复杂平面向量问题的方法和技巧在解决复杂平面向量问题时，可以采用以下方法和技巧：1. 使用向量的性质和运算法则对于平面向量问题，我们可以利用向量的性质和运算法则来简化问题。
例如，利用向量的共线性质，我们可以判断三个向量是否共线；利用向量的数量积，我们可以求出两个向量的夹角等。
2. 利用平行四边形法则和三角形法则利用平行四边形法则和三角形法则是解决平面向量问题的常用方法。
高考数学如何解决复杂的向量几何问题
高考数学如何解决复杂的向量几何问题高考数学中，向量几何问题一直是考试中的重点和难点之一。
解决复杂的向量几何问题需要掌握一定的基础知识和技巧。
本文将介绍一些解决复杂向量几何问题的具体方法和步骤。
一、向量的基本概念与性质在解决复杂的向量几何问题之前，我们首先要掌握向量的基本概念与性质。
向量有大小和方向两个要素，用有向线段来表示。
向量的几何表示可以是箭头，也可以是点标。
二、向量的运算解决复杂的向量几何问题需要熟练掌握向量的运算。
向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
向量的数量积等于两个向量的模长之积与夹角的余弦值的乘积。
三、向量的投影在解决复杂的向量几何问题中，经常会涉及到向量的投影。
向量的投影可以分为数量投影和向量投影。
数量投影是指向量在某个方向上的投影，可以通过向量的模长与夹角的余弦值的乘积计算得到。
向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过数量投影与投影方向的单位向量的乘积计算得到。
四、向量的共线与垂直在解决复杂的向量几何问题时，常常需要判断向量的共线与垂直关系。
两个向量共线的条件是它们平行或者其中一个是另一个的倍数。
两个向量垂直的条件是它们的数量积等于零。
五、平面向量的应用平面向量的应用广泛且重要，解决复杂的向量几何问题也需要运用平面向量的相关知识。
平面向量可以表示平面上的点，通过两个不共线的向量可以确定一个平面，并且平面上所有向量都可以表示为这两个向量的线性组合。
六、向量的夹角与方向角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
夹角的计算可以通过向量的内积公式得到。
向量的方向角是指向量与坐标轴正向的夹角。
在解决复杂的向量几何问题时，可以通过夹角和方向角的计算来确定向量的具体方向。
七、坐标系与向量的平移在解决复杂的向量几何问题中，常常需要运用坐标系和向量的平移。
坐标系分为直角坐标系和极坐标系，可以通过它们来确定向量的位置和方向。
向量的平移可以通过向量相加的方式进行，从而得到新的向量。
高考数学难点突破_难点03__运用向量法解题
由
=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得
当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，
2.(★★★★)已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )
A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°
二、填空题
3.(★★★★★)将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.
∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故选D.
答案：D
2.解析：∵·3·5sinα得sinα=,则α=30°或α=150°.
又∵a·b＜0,∴α=150°.
答案：C
二、3.(2,0) 4.13 cm
三、5.解：∵与共线，∴=m=m(－)=m(μb－a),
且=(0，a,0）,=(0,0a)
由于·=0，·=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵=
பைடு நூலகம்
所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
7.解：(1)设P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴·=2(1+x), ·=x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于
掌握高考数学中的向量运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的向量运算技巧有哪些关键点向量运算是高考数学中的重要内容之一，掌握其中的技巧对于提高解题效率和正确率至关重要。
以下是我总结的几个掌握高考数学中的向量运算技巧的关键点。
一、向量的基本概念在学习向量运算之前，我们首先需要了解向量的基本概念。
向量由大小和方向组成，通常用有向线段来表示，记作→AB。
向量的起点为A，终点为B，可以用坐标表示，如→AB = (x2-x1, y2-y1)。
除了坐标表示，向量还可以用字母表示，如→a、→b等。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，对于两个向量→a和→b，它们的和向量→c可用以下公式表示：→c = →a + →b加法的几何解释是将两个向量首尾相连，新的向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以转化成向量的加法。
具体而言，对于向量→a和→b，它们的差向量→c可用以下公式表示：→c = →a - →b减法的几何解释是从第一个向量的起点出发，朝第二个向量的终点的相反方向行走得到新的向量的终点。
四、数量积与向量积在向量运算中，还存在数量积和向量积两种重要的运算。
数量积也称为点乘，用符号·表示。
对于两个向量→a = (a1, a2)和→b = (b1, b2)，它们的数量积可以用以下公式表示：→a·→b = a1b1 + a2b2其中，a1、a2为向量→a的坐标，b1、b2为向量→b的坐标。
数量积的结果是一个标量。
向量积也称为叉乘，用符号×表示。
对于两个向量→a = (a1, a2)和→b = (b1, b2)，它们的向量积可以用以下公式表示：→a×→b = a1b2 - a2b1其中，a1、a2为向量→a的坐标，b1、b2为向量→b的坐标。
向量积的结果是一个新的向量。
高考数学向量法解题的思路及方法
1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD(1)求证C1C⊥BD(2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥b a·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设CB =a , CD =b ,1CC c =,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，于是DB =a －b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅- =(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2 =|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD 例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点 (1)求BN 的长；(2)求cos<11,BA CB >的值； (3)求证 A 1B ⊥C 1M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1BA =1(1,1,2),CB -=(0，1，2) 11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+- 1||(0CB ==111111cos ,||||6BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅ (3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21) 1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==-- ∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥ ∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值 解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- ||(52AM ∴= 22(2)||(51)(17)10,||(51)5AB AC =++--==-=D 点分BC 的比为2 ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y ||(5AD ==(3)∠ABC是BA与BC的夹角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）2629 cos145||||6BA BCABCBA BC⋅∴====⋅学生巩固练习1设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A正方形B矩形C菱形D 平行四边形2已知△ABC AB =a，AC=b，a·b<0，S△ABC=415,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A30°B－150°C150°D30°或150°3将二次函数y=x2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y=2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________4等腰△ABC和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB，它们所在的两个平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则CD =_________5如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，AP=c,AD=λa,(0<λ<1),AE=μb(0<μ<1),试用向量a，b表示c6正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB 1A1所成的角7已知两点M(－1，0)，N(1，0)，且点P使,,MP MN PM PN NM NP⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0,y0),Q为PM与PN的夹角，求tanθ8已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA(1)用向量法证明E、F、G、H四点共面；(2)用向量法证明BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证 对空间任一点O ，有1(4OM OA OB OC OD =+++ 参考答案 1 解析 AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ， 又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34， ∴|AB |≠|AC },ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D答案 D 2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150° 又∵a ·b ＜0,∴α=150° 答案 C3 (2,0)4 13 cm5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a +m μb ①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n ) b ∵a 与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即 ③ 解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m ) a +m μb =πμ-11［λ(1-μ) a +μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a )(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1， 有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a ) 由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1， ∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1AC=(,),(0,),22a a AM = 22190244a AC AM a a ∴⋅=++= 22221313||23,||2a AC a a a a AM a =++==+=而 2194cos ,32a AC AM a ∴<>==⨯所以1AC AM 与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30° 7 解 (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， PM =－MP =(－1－x ,－y ）,PN NP =- =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NM NP ⋅ =2(1－x ) 于是，,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||(1PM PN xy PM PN⋅=+-=⋅=+ ==cos ||4PM PN PM PN θ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤< ||3cos sin tan ,411cos 1sin 020202y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8 证明 (1）连结BG ，则 1()2EG EB BG EB BC BD EB BF EH EF EH =+=++=++=+ 由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ） (2）因为1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-= 所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知12EH BD =，同理12FG BD =，所以EH FG =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++ 1().4O A O B O C O D =+++ 课前后备注。
利用向量解决几何问题的技巧
利用向量解决几何问题的技巧在数学中，几何问题是一种常见的难题，许多学生常常感到困惑。
然而，利用向量解决几何问题可以为我们提供新的思路和方法，使解题过程更加简洁和直观。
本文将介绍一些利用向量解决几何问题的技巧，并举例说明其应用。
一、向量的表示与计算在开始介绍向量解决几何问题的技巧之前，我们需要先了解向量的表示与基本计算方法。
在几何问题中，向量通常用字母加上箭头来表示，例如向量AB用→AB表示。
向量的计算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法和减法可以通过将向量的坐标分量进行相应的运算得到。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
点积运算可以用来计算两个向量之间的夹角或者两个向量之间的投影关系。
二、向量的长度和方向在几何问题中，我们常常需要求解向量的长度和方向。
向量的长度可以通过向量的坐标分量计算得到，即利用勾股定理求解向量的模。
向量的方向可以通过计算向量相对于坐标轴的夹角得到。
利用这些计算方法，我们可以更准确地描述问题中所涉及的向量。
三、向量的平移和旋转向量的平移和旋转是几何问题中常用的操作。
平移是指将一个向量沿着另一个向量的方向移动一定的距离，而保持其大小和方向不变。
旋转是指将一个向量绕着某个点或者轴旋转一定的角度，而保持其长度和方向不变。
利用向量解决几何问题时，我们可以利用平移和旋转来简化问题的表达和求解过程。
通过将问题中的向量进行平移或者旋转，我们可以将问题转化为更简单和直观的形式，从而更容易求解。
四、向量的投影和垂直性向量的投影和垂直性是几何问题中常用的概念。
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以利用向量的点积运算来计算。
向量的垂直性是指两个向量之间的夹角为90度，可以利用向量的点积运算来判断。
利用向量的投影和垂直性，我们可以解决一些几何问题，如求解点到直线或者平面的距离，判断两个直线或者平面是否垂直等。
这些概念和方法为我们提供了一种新的思路和工具，使解题过程更加简单和直观。
高中数学向量运算题解题技巧
高中数学向量运算题解题技巧在高中数学中，向量运算是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型之一。
掌握好向量运算的解题技巧，可以帮助我们更好地解答相关问题。
本文将介绍一些高中数学向量运算题解题技巧，希望对广大高中学生及其父母有所帮助。
一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的操作。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B +C)。
这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。
2. 在计算向量的加法和减法时，我们需要保持向量的方向和大小不变。
可以通过画图的方式来帮助理解和计算。
举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A + B和向量A - B。
解析：根据向量的加法和减法定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。
计算得到向量A + B = (3 + 4)i + (2 - 5)j = 7i - 3j，向量A - B = (3 - 4)i + (2 + 5)j= -1i + 7j。
二、向量的数量积向量的数量积是向量运算中的另一个重要概念。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数。
这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。
2. 在计算向量的数量积时，我们需要注意向量的方向和大小。
向量的数量积等于向量的模长乘积与夹角的余弦值的乘积。
举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A·B的值。
解析：根据向量的数量积定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。
计算得到向量A·B = (3)(4) + (2)(-5) = 12 - 10 = 2。
2022年高中数学高考重点难点讲解：运用向量法解题
难点3 运用向量法解题1C 1C1CC CD 1CDBCD BD -=BDCC ⋅11C 1C 1C 1C)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅1C 1C1CC CD1C 1C 1A 11,CB BA 1M 3)01()10()01(222=-+-+-1),2,1,1(CB -11CB BA ⋅6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA 2,21,21)2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C ,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅1M41516 cm17 cm 1C 1ANPNM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,)(41OD OC OB OA OM +++=)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-.2221)291()05(||22=--+-=∴AM 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC AB 31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y .2314)3111()315(||22=--+-=AD 1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅⋅=∴BC BA BC BA ABC 21415=214.13 cm=m －=m μb －a ,∴==a m μb －a =1－m a m μb ① 又与共线，∴=n =n －=n λa －b , ∴==b n λa －b =n λa 1－n b②由①②，得1－m ）a μm b =λn a 1－n b∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =1－m a m μb =πμ-11［λ1－μa μ1－λb ］6解：1以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为O 轴，以AA 1所在直线为O 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为O 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A 0，0，0），B 0，a ,0）,A 10,0,a ,C 1－,2,23aa a 2取A 1B 1的中点M ，于是有M 0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有=－23a ,0,0）, 且=0，a ,0）,=0,0a由于·=0，·=0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵=),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°7解：1设－1，0），N 1，0）得， =－=－1－,－）,NP PN -= =1－,－, =－=2,0,∴·=21, ·=22－1,NP NM ⋅ =21－于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点,30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,2102200020202022020πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM ||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθEHEF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(2121BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FG EH =，EHFG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++=+=+=。
2020高考数学重拳运用向量法解题
2020高考数学重拳运用向量法解题难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐步加大了对这部分内容的考查力度，本节内容要紧是关心考生运用向量法来分析，解决一些相关咨询题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 命题意图：此题要紧考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等咨询题以及对立体几何图形的解读能力.知识依靠：解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直咨询题，这就使几何咨询题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：此题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再确实是要清晰条件中提供的角与向量夹角的区不与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设CD =a , CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，因此DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：假设使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . ［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分不是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：此题要紧考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何咨询题.属 ★★★★级题目.知识依靠：解答此题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标. 错解分析：此题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：能够先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方一直找出其他的点的坐标. (1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C∴,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M . ●锦囊妙计1.解决关于向量咨询题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和紧密结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等咨询题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行咨询题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的咨询题.3.用空间向量解决立体几何咨询题一样可按以下过程进行摸索： (1)要解决的咨询题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否？假设未知，是否可用条件转化成的向量直截了当表示？(3)所需要的向量假设不能直截了当用条件转化成的向量表示，那么它们分不最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由条件转化的向量有何关系？(4)如何样对差不多表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ ●消灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，那么四边形ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形2.(★★★★)△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,那么a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，那么向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，假设AB =16 cm,AC =17 cm,那么CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)假设点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)E 、F 、G 、H 分不是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=. 参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC ABD 点分BC 的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8〕，BC =(2，－5〕.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA BC BA ABC 消灭难点训练一、1.解析：AB =(1，2〕，DC =(1，2〕，∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3〕，|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1〕，∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，应选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,那么α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m 〕a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以通过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由，得A (0，0，0〕，B (0，a ,0〕,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，因此有M (0，2,2aa 〕，连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0〕, 且=(0，a ,0〕,1AA =(0,02a )由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，因此M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角确实是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aa a a =-a a a AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC因此AM AC 1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y 〕,由M (－1，0〕，N (1，0〕得，PM =－=(－1－x ,－y 〕,-= =(1－x ,－y ), =－=(2,0),∴·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).因此，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM x x x y x y x PM y x||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8.证明：(1〕连结BG ，那么EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21 由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH 〕 (2〕因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=. 因此EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 因此BD ∥平面EFGH .(3〕连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2〕知BD EH 21=，同理BD FG 21=，因此FG EH =，EH FG ,因此EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，因此).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++=+=+=.难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐步加大了对这部分内容的考查力度，本节内容要紧是关心考生运用向量法来分析，解决一些相关咨询题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 命题意图：此题要紧考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等咨询题以及对立体几何图形的解读能力.知识依靠：解答此题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直咨询题，这就使几何咨询题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：此题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再确实是要清晰条件中提供的角与向量夹角的区不与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ·b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设CD =a , CB =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，因此DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：假设使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD . ［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分不是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：此题要紧考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何咨询题.属 ★★★★级题目.知识依靠：解答此题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标. 错解分析：此题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：能够先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方一直找出其他的点的坐标. (1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==B A M C∴,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅ ∴A 1B ⊥C 1M .●锦囊妙计1.解决关于向量咨询题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和紧密结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等咨询题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行咨询题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的咨询题.3.用空间向量解决立体几何咨询题一样可按以下过程进行摸索： (1)要解决的咨询题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否？假设未知，是否可用条件转化成的向量直截了当表示？(3)所需要的向量假设不能直截了当用条件转化成的向量表示，那么它们分不最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由条件转化的向量有何关系？(4)如何样对差不多表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ ●消灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，那么四边形ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形2.(★★★★)△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,那么a 与b 的夹角是( ) A.30° B.－150° C.150° D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，那么向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，假设AB =16 cm,AC =17 cm,那么CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)假设点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)E 、F 、G 、H 分不是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=. 参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴AM5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=AC ABD 点分BC 的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=AD(3)∠ABC 是BA 与BC 的夹角，而BA =(6，8〕，BC =(2，－5〕.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA BC BA ABC 消灭难点训练一、1.解析：AB =(1，2〕，DC =(1，2〕，∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3〕，|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1〕，∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，应选D. 答案：D 2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,那么α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m 〕a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以通过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由，得A (0，0，0〕，B (0，a ,0〕,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，因此有M (0，2,2aa 〕，连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0〕, 且=(0，a ,0〕,1AA =(0,02a )由于1MC ·=0，1MC ·1AA =0，因此M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角确实是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC因此AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y 〕,由M (－1，0〕，N (1，0〕得，PM =－MP =(－1－x ,－y 〕,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).因此，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1〕连结BG ，那么EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH 〕 (2〕因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=. 因此EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH因此BD ∥平面EFGH .(3〕连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2〕知BD EH 21=，同理BD FG 21=，因此FG EH =，EH FG ,因此EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，因此).(41)](21[21)](21[212121)(21+++=+++=+=+=.。
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15 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( 4 D.30°或 150°
)
1 (OA OB OC OD) . 4
III
参考答案 难点磁场 解：(1)点 M 的坐标为 xM=
11 72 9 9 0; y M , M (0, ) 2 2 2 2
9 221 | AM | (5 0) 2 ( 1 ) 2 . 2 2
CD 的值为多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？请给出证明. CC1
命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读 能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化， 使繁琐的论证变得简单. 错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚 已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系. 技巧与方法：利用 a⊥b a·b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零 即可. (1)证明：设 CD =a, CB =b, CC1 =c,依题意，|a|=|b|， CD 、 CB
难点 3 运用向量法解题 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部 分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场 (★★★★★)三角形 ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线 AD 的长；(3)cosABC 的值. ●案例探究 ［例 1］如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 ABCD 是 菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当
3 a a, , 2 a). 2 2
a 3 (2)取 A1B1 的中点 M，于是有 M(0， , 2 a） ，连 AM，MC1，有 MC1 =(－ a,0,0）, 2 2
且 AB =(0，a,0）, AA1 =(0,0 2 a) 由于 MC1 · AB =0， MC1 · AA1 =0，所以 MC1⊥面 ABB1A1，∴AC1 与 AM 所成的角就是 AC1 与 侧面 ABB1A1 所成的角. ∵ AC1 = (
3 a a a, , 2a ), AM (0, , 2a ), 2 2 2 2 a 9 AC1 AM 0 2a 2 a 4 4
而 | AC1 |
3 2 1 2 a2 3 a a 2a 2 3a, | AM | 2a a 4 4 4 2
9 2 a 3 cos AC1 , AM 4 3 2 3a a 2
所以 AC1与AM 所成的角，即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 7.解：(1)设 P(x,y）,由 M(－1，0） ，N(1，0）得， PM =－ MP =(－1－x,－y）, PN NP =(1－ x, － y), MN = － NM =(2,0), ∴ MP · MN =2(1+x), PM · PN =x2+y2 － 1, NM NP =2(1 － x). 于是，
1 1 (3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M( , ,2 ) 2 2 1 1 C1 M ( , ,0), A1 B ( 1,1,2) 2 2 1 1 ∴ A1 B C1 M ( 1) 1 ( 2) 0 0, A1 B C1 M , 2 2 ∴A1B⊥C1M. ●锦囊妙计 1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的 各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想. 2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运 算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间 距离的问题. 3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
∴1·4+2·1=6≠0,∴ AB 不垂直于 BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选 D. 答案：D
15 1 1 ·3·5sinα 得 sinα = ,则α =30°或α =150°. 2 4 2 又∵a·b＜0,∴α =150°. 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm
2.解析：∵ 三、5.解：∵ BP 与 BE 共线，∴ BP =m BE =m( AE － AB )=m(μ b－a), ∴ AP = AB + BP =a+m(μ b－a)=(1－m)a+mμ b ①
BA1 CB1 =1×0+(－1)×1+2×2=3
| BA1 |= (1 0) 2 (0 1) 2 (2 0) 2 6
| CB1 | (0 0) 2 (1 0) 2 (2 0) 2 5
cos BA1 , CB1 BA1 CB1 | BC1 | | CB1 | 3 6 5 30 . 10
V
MP MN , PM PN , NM NP 是公差小于零的等差数列，等价于
1 2 2 2 x y 1 [2(1 x ) 2(1 x )] x y 3 即 2 x 0 2(1 x ) 2(1 x ) 0
CD =1 时，A1C⊥平面 C1BD. CC1
［例 2］如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1，底面△ABC 中，CA=CB=1， ∠BCA=90°，AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长； (2)求 cos< BA1 , CB1 >的值；
I
(3)求证：A1B⊥C1M. 命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目. 知识依托： 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O－xyz,进而找到点的坐标和求出向量 的坐标. 错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标. 技巧与方法：可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、B、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出 其他的点的坐标. (1)解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O－xyz. 依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴| BN |= (1 0) 2 (0 1) 2 (1 0) 2 3 . (2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴ BA1 = (1,1,2), CB1 =(0，1，2)
II
(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3) 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表 示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)设 A、B、C、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形 ABCD 为( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 2.(★★★★)已知△ABC
解方程组③得：m=
③
1 1 1 代入①式得 c=(1－m)a+mμ b= ［λ (1－μ )a+μ (1－ ,n 1 1 1
λ )b］. 6.解：(1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1 所在直线为 Oz 轴，以经过原点 且与平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系. 由已知，得 A(0，0，0） ，B(0，a,0）,A1(0,0, 2 a),C1(－
歼灭难点训练 一、1.解析： AB =(1，2） ， DC =(1，2） ，∴ AB = DC ，∴ AB ∥ DC ，又线段 AB 与线段 DC 无 公共点，∴AB∥DC 且|AB|=|DC|，∴ABCD 是平行四边形，又| AB |= 5 ， AC =(5，3） ，| AC |= 34 ， ∴| AB |≠| AC }, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4，1） ，
CC1 中两两所成夹角为θ ，于
是 BD CD DB =a－b， CC1 BD =c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ －|c|·|b|cosθ =0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使 A1C⊥平面 C1BD，只须证 A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 CA1 C1 D (CA AA1 ) (CD CC1 ) =(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ －|b|·|c|·cosθ =0,得 当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD， ∴
(2) | AB | (5 1) 2 ( 1 7) 2 10, | AC | (5 1) 2 ( 1 2) 2 5
D 点分 BC 的比为 2. ∴xD=
1 2 1 1 7 2 2 11 , yD 1 2 3 1 2 3
1 11 14 | AD | (5 ) 2 ( 1 ) 2 2. 3 3 3
AB =a， a· b<0， S△ABC= AC =b，
A.30° B.－150° C.150° 二、填空题 3.(★★★★★)将二次函数 y=x2 的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x－5 的图象只有 一个公共点(3，1)，则向量 a=_________. 4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB， 它们所在的平面成 60°角， 若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________. 三、解答题 5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设 AB =a， AC =b， AP =c, AD = λ a,(0<λ <1), AE =μ b(0<μ <1),试用向量 a，b 表示 c. 6.(★★★★)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系，并写出 A、B、A1、C1 的坐标； (2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. 7.(★★★★★)已知两点 M(－1，0)，N(1，0)，且点 P 使 MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于 零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线？ (2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角，求 tanθ . 8.(★★★★★)已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 OM .