全等三角形证明辅助线分析实例

全等三角形综合复习
切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：
ACF BDE ∆≅∆。

思路：从结论A C F B D E ∆≅∆入
手，全等条件只有A C B D =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

证明AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠=
在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF AC BD =⎧⎨=⎩
∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL)
∴A B ∠=∠
AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =
在ACF ∆与BDE ∆中
AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)
思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：
21C ∠=∠+∠。

思路：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

证明：延长AD 交BC 于F
在ABD ∆与FBD ∆中
90
ABD FBD BD BD
ADB FDB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2D FB ∠=∠ 又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

证明：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点
∴90ABC CBF ∠=∠=
在ABE ∆与CBF ∆中
AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)
∴AE CF =。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC
AB //CD ，AD //BC
∴12∠=∠，34∠=∠
在ABC ∆与CDA ∆中
1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴ABC CDA ∆≅∆(ASA)
∴AB CD =。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

思路：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，
故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

证明：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E
∴PD PE =
CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F
∴PE PF =
PD PE =，PE PF =
∴PD PF =
PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F
∴BP 为MBN ∠的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

思路：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF
在ABE ∆与FDE ∆中
AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)
∴B EDF ∠=∠
ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠
∴ADF ADC ∠=∠
AB DF =，AB CD =
∴DF DC =
在ADF ∆与ADC ∆中
AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADF ADC ∆≅∆(SAS)
∴AF AC =
又2AF AE =
∴2AC AE =。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在ABC ∆中，A B A C >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

原图 法一图 法二图
思路：欲证AB AC PB PC ->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。

由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC -。

而构造AB AC -可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：
在AB 上截取AN AC =，连接PN
在APN ∆与APC ∆中
12AN AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴APN APC ∆≅∆(SAS)
∴PN PC =
在BPN ∆中，PB PN BN -<
∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：
延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM
在ABP ∆与AM P ∆中
12AB AM AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABP AM P ∆≅∆(SAS)
∴PB PM =
在PCM ∆中，CM PM PC >-
∴AB AC PB PC ->-。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。

我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。