宁夏六盘山高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

宁夏六盘山高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知全集U=R ， 集合A={}1|0,|1x x B x x x -⎧⎫<=≥⎨⎬⎩⎭， 则{ x|x≤0 }等于 A. A∩B B. A∪BC. ∁U （A∩B）D. ∁U （A∪B）【答案】D 【解析】 试题分析：由题{}{}1A=|0|01,|1x x x x B x x x -⎧⎫<=<<=≥⎨⎬⎩⎭,则{}{}0()|0U A B x x C A B x x ⋃=∴⋃=≤,故选D考点：集合的运算2.若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A. ﹣7B. 17-C. 7D. ﹣7或17- 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ= 所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.3.已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（ ） A.3π B.6π C.23π D.2π 【答案】B 【解析】记向量a 与向量b 的夹角为θ，a ∴在b 上的投影为cos 2cos a θθ=．a 在bcos 2θ∴=， []0θπ∈，，6πθ∴=．故选B ．4.下列命题中为真命题的是（ ） A. 若0x ≠，则12x x+≥ B. 直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交C. “1a ＝是“直线0xay ﹣＝与直线0x ay +＝互相垂直”的充要条件 D. 若命题p ：”210x R x x -∃∈-，＞”，则命题p 的否定为：”210x R x x -∀∈-≤，” 【答案】D 【解析】 【分析】依次判断每个选项：当0x >时，结论成立，故A 错误；直线a ，b 有可能平行，B 错误；1a =±，C 错误；D 正确，得到答案.【详解】对于A ，只有当0x >时，结论成立； 对于B ，直线a ，b 不相交，直线a ，b 有可能平行；对于C ，直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直时，1a =±； 对于D ，显然成立.故选：D【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.5.从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M 且5PM =，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为（ ） A. 6 B. 8C. 15D. 10【答案】D 【解析】 设00(,)P x y ,则由|PM|=5,可知0001115,4,(4,4),541022MPF x x P S PM y ∆+=∴=∴±∴==⨯⨯=. 6.已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A. -7 B. -9C. -11D. -13【答案】C 【解析】 【分析】由x ＞0时，函数f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称可得出，x ＞0时，f （x ）＝2x ，从而得出x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，再根据g （x ）是奇函数即可求出g （﹣1）+g （﹣2）的值．【详解】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．【点睛】考查奇函数的定义，以及互为反函数的两函数图象关于直线y ＝x 对称，指数函数和对数函数互为反函数的应用，属于中档题． 7.将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图像关于直线4x π=对称，则φ的最小值为（ ） A.34πB.2π C.8π D.38π 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得φ的表达式，进而求得φ的最小值．【详解】将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移φ（0φ>）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后解析式变为 ()2sin 424f x x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为图像关于直线4x π=对称所以42242x k ππφπ-+=+代入4x π=化简得38k πφπ=+，k∈Z所以当k=0时，φ取得最小值为38π所以选D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题． 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）2π B. 22πC. ()221πD.()2π【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是两个底面相同高也相同的圆锥的组合体．其中圆锥的底面半径为1,高也为1．所以此几何体的表面积为()21S π==．故B 正确．考点：三视图．9.若42log (34)log a b +=+a b 的最小值是（ ）A. 7+B. 7+C. 6+D. 6+【答案】A 【解析】340,0,a b ab +>> 0,0,a b ∴>>42log (34)log a b +=44log (34)log ()a b ab ∴+= 34,4,0,0a b ab a a b ∴+=≠>>30,4ab a ∴=>- 4a ∴>,则33(4)1212(4)7444a a ab a a a a a a -++=+=+=-++---77≥=,当且仅当4a =+. 所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.10.如图，棱长为2的正方体1111ABCDA B C D ﹣中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD ﹣的外接球体积为（ ）A.414π B.43π C.414164D.4141【答案】D 【解析】 【分析】三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，利用勾股定理解得半径得到答案.【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,FC FD ， 三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，在ECD 中，取CD 中点H ，连接EH ，则EH 为边CD 的垂直平分线， 所以ECD 的外心在EH 上，设为点M ，同理可得11FC D △的外心N ， 连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ，由图可得，2222EM CM CH MH ==+，又2,1MH EM CH -＝＝， 可得54EM CM ==，所以2222514OC MO CM ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得414OC =，所以344141413448V π⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.11.椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 3 B.22C.233【答案】B 【解析】 【分析】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-，由直线与抛物线相切，可得1m =±，又四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，从而得到a=3，结合交点()1,2在椭圆上，得到c 值，从而得到椭圆的离心率.【详解】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-，联立方程组221,4404x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩， 因为直线与抛物线相切，所以2161601m m ∆-=⇒=±，所以切线方程分别为1x y =-或1x y =--.此时1x =，2y =或1x =，2y =-，即切点()1,2M 或()1,2N -.又椭圆的右顶点(),0A a ，因为四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，即得()()02203111a a ---=⇒=---.又交点()1,2在椭圆上， 所以22149192b b +=⇒=， 所以22293222c a b c =-=⇒=， 所以离心率为322232c c a ===.故选B.【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得,a c 的值，直接代入公式ce a=求解； （2）列出关于,,a b c 的齐次方程(或不等式)，然后根据222b a c =-，消去b 后转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 12.已知函数21()ln ,(),22x x f x g x e -=+=若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（） A. 1ln2- B. ln 2C. 23e -D. 23e -【答案】B 【解析】不妨设()()()21,ln,022m n g m f n t et t -==∴=+=>，122ln ,2ln ,2t m t m t n e-∴-==+=⋅，故()122ln ,0t n m et t --=⋅->，令()()122ln ,0t h t et t -=⋅->，()121'2t h t et-=⋅-，易知()'h t 在()0,∞+上是增函数，且 1'02h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12t >时，()'0h t >，当102t <<时，()'0h t <，即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值，此时11221122ln 22ln 2ln 222h e-⎛⎫=⋅--=-+= ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为ln 2，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________. 【答案】34- 【解析】 【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值．【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =- 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题． 14.若sin 211cos 23αα=-，()tan 21βα-=，则tan αβ______．【答案】2 【解析】【分析】先求出tan α，再由()2αβαβα-=---结合两角差的正切公式可求()tan αβ-.【详解】因为sin 211cos 23αα=-，故22sin cos 112sin tan 3αααα==即tan 3α=，所以()tan 3α-=- ()()()()()()()tan tan 2tan tan 21tan tan 2αβααβαβααβα----=⎡---⎤=⎣⎦+--()312131--==+-⨯.故答案为：2.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，若C 上一点P 满足1212PF PF F F +=，且122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为__________．【答案】2y x =± 【解析】由题意可得：12122PF PF OP F F +==， 则12F PF △是以点P 为直角顶点的直角三角形，设122,PF m PF m ==，由双曲线的定义有：122PF PF a -=，2ma ∴=， 由勾股定理有：22222444,5m m c m c +=∴=， 综上有：2222222414,5,54a a c a ab b =∴=+=， 则双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±. 点睛：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为a y x b =±(即b x x a =±)，应注意其区别与联系.16.如图，矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆，构成四棱锥1A BCDE -，若M 为线段1A C 的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①//MB 平面1A DE ；②存在某个位置，使1DE A C ⊥；③存在某个位置，使1A D ⊥CE ；④点1A 在半径为2的圆周上运动，其中正确的命题是__________．【答案】①③④ 【解析】【详解】对于①，取CD 中点F ,连接,MF BF ,则MF ∥1DA ，BF ∥DE ,所以平面MBF 平行平面1A DE ,所以MB 平面1A DE ，故正确；对于②，因为1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，所以存在某个位置,使1DE A C ⊥不正确，故不正确；对于③，由CE DE ⊥,可得平面1A DE ⊥平面ABCD 时,1A D CE ⊥，故正确；对于④，因为DE 的中点O 是定点,12OA ，所以点1A 是在以O 2为半径的圆上，故正确 故答案为 ①③④三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3b cC C a+=. （1）求A ；（2）若a =ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3A π=（2）【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到sin sin cos sin B C C C A+=，化简得到1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据余弦定理得到2()33b c bc +-=，利用均值不等式得到b c +≤，得到周长范围.【详解】（1）ABC 中，cos b cC C a++=，由正弦定理得，sin sin cos sin B CC C A++=.所以sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即sin cos sin sin()sin sin cos sin cos sin A C A C A C C A C C A C +=++=++，sin sin cos sin A C C A C =+；又()0,C π∈，所以sin 0C ≠cos 1A A -=，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以66A ππ-=，所以3A π=；（2）由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，则223b c bc =+-，∴2()33b c bc +-=，即2213()33()2bc b c b c ⎡⎤=+-≤+⎢⎥⎣⎦，化简得2()12b c +≤（当且仅当b c =时取等号），则b c +≤，又b c a +>=所以ABC 的周长a b c ++的取值范围是.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.18.已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【答案】（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可. 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1．设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭．所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． 由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122nn B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，2AD ＝，60ADC ∠︒＝，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）点G 是线段PD 上一动点，若CG 与平面PAD 6，求二面角G EC F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】 【分析】（1）取PB 的中点H ，连结FH AH ，，证明四边形AEFH 为平行四边形得到证明. （2）连结,,CE EG CG ，证明CGE ∠为CG 与平面PAD 所成角的平面角得到2PA ＝，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，平面CGE 的一个法向量为(0,1,1)n =-，平面ECF 的法向量()0,2,1n =，计算夹角得到答案.【详解】（1）取PB 的中点H ，连结FH AH ，，∵E ，F 分别为AD PC ，的中点，∴//FH BC ，12FH BC ＝， 由题知//AE BC ，12AE BC ＝，∴//AE FH ，AE FH ＝， ∴四边形AEFH 为平行四边形，∴//EF AH ，∵EF ⊄平面PAB ，且AH ⊂平面PAB ，∴//EF 平面PAB .（2）连结,,CE EG CG ，∵四边形ABCD 为菱形，2,60AD ADC ∠︒＝＝， ∴ADC 是等边三角形，E 为AD 中点， ∴CE AD ⊥，且3CE ＝∵PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴CE PA ⊥，AD PA ⊥，∴CE ⊥平面PAD ，∵EG ⊂平面PAD ，∴CE EG ⊥，∴CGE ∠为CG 与平面PAD 所成角的平面角， 在Rt CEG △中，∵tan CE CGE EG EG∠==， ∴当EG 最短时，CGE ∠最大，EG PD ⊥，∵tan CGE ∠=tan 2CE EG CGE ===∠， 在Rt DEG △中，1ED ＝，45EG GDE ∠︒＝，∴2PA ＝， 以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,2,0),(0,1,0),,122P D E C F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则31(0,2,2),(3,0,0),,,12PD EC EF ⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭，∵EG PD CE PD ⊥⊥，，∴PD ⊥平面CGE ， ∴平面CGE 的一个法向量为1(0,1,1)2n PD ==-， 平面ECF 的法向量(),,n x y z=，则00m EC m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴0102x y z =-+=，取1z =，得()0,2,1n =，设二面角G EC F --的平面角为θ， 则||cos ||||102mn m n θ⋅===⋅⨯， ∴二面角G EC F --【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，线面角的定义及二面角的向量求法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.在直角坐标系xOy 中，已知圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:22l y x =+A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点满足OM AM ON +=，设动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，求OT 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）222⎣ 【解析】 【分析】（1）设动点()00(,),,M x y A x y ，根据相切得到圆221:4C x y +=，向量关系得到002x xy y =⎧⎨=⎩，代入化简得到答案. （2）考虑PQ 的斜率不存在和存在两种情况，联立方程利用韦达定理得到2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，根据1214k k =-得到2231|0|2,242T m ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得到答案.【详解】（1）设动点()00(,),,M x y A x y ，由于AN x ⊥轴于点N ， ∴()0,0N x ，又圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:22l y x =+∴2r ==，则圆221:4C x y +=. 由题意，OM AM ON +=，得()()000(,),,0x y x x y y x +--=， ∴000220x x x y y -=⎧⎨-=⎩，即002x xy y =⎧⎨=⎩，又点A 为圆1C 上的动点，∴2244x y +=，即2214x y +=；（2）当PQ 的斜率不存在时，设直线1:2OP y x =，不妨取点2P ⎫⎪⎪⎭，则2Q ⎭，T，∴OT .当PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ， 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得()222148440k x kmx m +++-=. ∴2121222844,1414km m x x x x k k--+==++. ∵1214k k =-，∴121240x y x y +=. ∴()()()()221212121241444kx m kx m x x k x x km x x m +++=++++2222232444014k m m m k=-+=+. 化简得：22214m k =+，∴212m ≥. ()()()222222264441441641160k m k mk m m ∆=-+-=+-=>.设()33,T x y ，则1233321,22x x k x y kx m m m+-===+=. ∴2222332224131|0|2,2442k T x y m m m ⎡⎫=+=+=-∈⎪⎢⎣⎭∴||2OT ∈⎣.综上，OT的取值范围是2⎣. 【点睛】本题考查了轨迹方程，线段长度的取值范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.设函数2()ln f x x m x =-，2()g x x x a =-+.（1）当0a =时，()()f x g x ≥在(1,)+∞上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当2m =时，若函数()()()h x f x g x =-在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）m e ≤；（2）(22ln 2,32ln3--] 【解析】试题分析：（1）由0a = ，由f x h x ≥（）（） 在（1+∞，）上恒成立，得到mlnx x -≥- ，即x m lnx ≤在（1，+∞）上恒成立，构造函数() xh x lnx＝，求出函数的最小值，即可得到实数m 的取值范围；（2）当2m = 时，易得函数g x f x h x =-（）（）（） 的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为2x lnx a -=， 在[1]3，上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案． 试题解析：（1）当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤， ∵1x >，∴ln 0x >，∴有ln xm x≤在()1,+∞上恒成立， 令()()2ln 1,ln ln x x h x h x x x-='=，由()0h x '=得x e =， 当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数， ∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤； （2）当2m =时，函数()()()2ln h x f x g x x x a ===--，()h x 在[]1,3上恰有两个不同的零点，即2ln x x a -=在[]1,3上恰有两个不同的零点，令()2ln x x x φ=-，则()221x x x xφ'-=-=，当12x <<，()0x φ'<；当23x <<，()0x φ'>，∴()x φ在()1,2上单减，在()2,3上单增，()()min 222ln2x φφ==-， 又()()11,332ln3φφ==-，()()13φφ>如图所示，所以实数a 的取值范围为(22ln2,32ln3--]【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a 的不等式组．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）122FA FB t t ⋅==；（2）16． 【解析】【详解】(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: 221124x y += ∴()22,0F -∴直线l的参数方程为xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）将,22t⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭代入221124x y+=得：2220t t--=设A B、两点所对应的参数为12,t t，则122t t⋅=-∴2FA FB⋅=(2) 设P为内接矩形在第一象限的顶点,(),2sinPθθ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则矩形的周长()42sin16sin3lπθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭∴当6πθ=即()3,1P时周长最大，最大值为16．23.已知函数()2f x x a a=-+.（1）若不等式()6f x≤的解集{}23x x-≤≤，求实数a的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数x使()()f x x m+-≤成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1a=（2）[)4,+∞【解析】【分析】（1）由()6f x≤根据绝对值不等式的解法列不等式组，结合不等式()6f x≤的解集，求得a 的值.（2）利用绝对值不等式，证得()()f x f x+-的最小值为4，由此求得m的取值范围. 【详解】（1）∵函数()2f x x a a=-+，故不等式()6f x≤，即216x a-≤-，即60626aa x a a-≥⎧⎨-≤-≤-⎩，求得33a x-≤≤.再根据不等式的解集为{}|23x x-≤≤.精品文档 欢迎下载- 21 - 可得32a -=-，∴实数1a =.（2）在（1）的条件下，()211f x x =-+，∴存在实数x 使()()f x f x m +-≤成立，即21212x x m -+++≤， 由于()()212121212x x x x -++≥--+=， ∴2121x x -++的最小值为2，∴4m ≥，故实数m 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本小题主要考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。